几种常用的插值方法
几种常用的插值方法
几种常用的插值方法常用的插值方法包括线性插值、多项式插值、样条插值和径向基函数插值等，下面将依次介绍这些方法。
1.线性插值：线性插值是最简单的插值方法之一，它假设函数在两个已知点之间的变化是线性的。
对于给定的两个点(x0,y0)和(x1,y1)，线性插值公式为：y=y0+(x-x0)*(y1-y0)/(x1-x0)其中，y是需要插值的点对应的函数值，x是插值点的横坐标。
2.多项式插值：多项式插值方法通过在给定的一组点上构建一个多项式函数来进行插值。
常用的多项式插值方法包括拉格朗日插值和牛顿插值。
- 拉格朗日插值通过构建一个n次多项式来插值n+1个给定的点。
具体来说，对于给定的n+1个点(x0, y0), (x1, y1), ..., (xn, yn)，拉格朗日插值公式为：y = Σ(yk * lk(x))其中，lk(x)是拉格朗日基函数，计算公式为：lk(x) = Π((x - xj) / (xi - xj))，(j ≠ i)- 牛顿插值通过构建一个n次插值多项式来插值n+1个给定的点。
具体来说，对于给定的n+1个点(x0, y0), (x1, y1), ..., (xn, yn)，牛顿插值公式为：y = Σ(Π(x - xj) / Π(xi - xj) * finDiff(yj))其中，finDiff(yj)是每个节点的差商，计算公式为：finDiff(yj) = (ΣΠ(xj - xi) * yj) / ΣΠ(xi - xj)，(i ≠ j) 3.样条插值：样条插值方法通过使用分段函数来逼近给定的一组点。
常用的样条插值方法有线性样条插值和三次样条插值。
-线性样条插值在每两个相邻点之间使用线性函数进行插值，保证了插值函数的一阶导数是连续的。
-三次样条插值在每两个相邻点之间使用三次多项式进行插值，保证了插值函数的一阶和二阶导数都是连续的。
三次样条插值具有良好的平滑性和精度。
4.径向基函数插值：径向基函数插值是一种基于局部函数的插值方法，它假设函数值仅取决于与插值点的距离。
常见几种插值方法
1、距离倒数乘方法距离倒数乘方格网化方法是一个加权平均插值法，可以进行确切的或者圆滑的方式插值。
方次参数控制着权系数如何随着离开一个格网结点距离的增加而下降。
对于一个较大的方次，较近的数据点被给定一个较高的权重份额，对于一个较小的方次，权重比较均匀地分配给各数据点。
计算一个格网结点时给予一个特定数据点的权值与指定方次的从结点到观测点的该结点被赋予距离倒数成比例。
当计算一个格网结点时，配给的权重是一个分数，所有权重的总和等于1.0。
当一个观测点与一个格网结点重合时，该观测点被给予一个实际为 1.0 的权重，所有其它观测点被给予一个几乎为0.0 的权重。
换言之，该结点被赋给与观测点一致的值。
这就是一个准确插值。
距离倒数法的特征之一是要在格网区域内产生围绕观测点位置的"牛眼"。
用距离倒数格网化时可以指定一个圆滑参数。
大于零的圆滑参数保证，对于一个特定的结点，没有哪个观测点被赋予全部的权值，即使观测点与该结点重合也是如此。
圆滑参数通过修匀已被插值的格网来降低"牛眼"影响。
2、克里金法克里金法是一种在许多领域都很有用的地质统计格网化方法。
克里金法试图那样表示隐含在你的数据中的趋势，例如，高点会是沿一个脊连接，而不是被牛眼形等值线所孤立。
克里金法中包含了几个因子：变化图模型，漂移类型和矿块效应。
3、最小曲率法最小曲率法广泛用于地球科学。
用最小曲率法生成的插值面类似于一个通过各个数据值的，具有最小弯曲量的长条形薄弹性片。
最小曲率法，试图在尽可能严格地尊重数据的同时，生成尽可能圆滑的曲面。
使用最小曲率法时要涉及到两个参数：最大残差参数和最大循环次数参数来控制最小曲率的收敛标准。
4、多元回归法多元回归被用来确定你的数据的大规模的趋势和图案。
你可以用几个选项来确定你需要的趋势面类型。
多元回归实际上不是插值器，因为它并不试图预测未知的Z 值。
它实际上是一个趋势面分析作图程序。
使用多元回归法时要涉及到曲面定义和指定XY的最高方次设置，曲面定义是选择采用的数据的多项式类型，这些类型分别是简单平面、双线性鞍、二次曲面、三次曲面和用户定义的多项式。
常见插值方法和其介绍
常见插值方法及其介绍Inverse Distance to a Power（反距离加权插值法）”、“Kriging（克里金插值法）”、“Minimum Curvature（最小曲率)”、“Modified Shepard's Method（改进谢别德法）”、“Natural Neighbor（自然邻点插值法）”、“Nearest Neighbor（最近邻点插值法）”、“Polynomial Regression（多元回归法）”、“Radial Basis Function（径向基函数法）”、“Triangulation with Linear Interpolation（线性插值三角网法）”、“Moving Average（移动平均法）”、“Local Polynomial（局部多项式法）”1、距离倒数乘方法距离倒数乘方格网化方法是一个加权平均插值法，可以进行确切的或者圆滑的方式插值。
方次参数控制着权系数如何随着离开一个格网结点距离的增加而下降。
对于一个较大的方次，较近的数据点被给定一个较高的权重份额，对于一个较小的方次，权重比较均匀地分配给各数据点。
计算一个格网结点时给予一个特定数据点的权值和指定方次的从结点到观测点的该结点被赋予距离倒数成比例。
当计算一个格网结点时，配给的权重是一个分数，所有权重的总和等于1.0。
当一个观测点和一个格网结点重合时，该观测点被给予一个实际为 1.0 的权重，所有其它观测点被给予一个几乎为0.0 的权重。
换言之，该结点被赋给和观测点一致的值。
这就是一个准确插值。
距离倒数法的特征之一是要在格网区域内产生围绕观测点位置的"牛眼"。
用距离倒数格网化时可以指定一个圆滑参数。
大于零的圆滑参数保证，对于一个特定的结点，没有哪个观测点被赋予全部的权值，即使观测点和该结点重合也是如此。
圆滑参数通过修匀已被插值的格网来降低"牛眼"影响。
常见插值方法及其介绍
常见插值方法及其介绍常见的插值方法有最邻近插值、双线性插值、双三次插值和基于样条的插值方法。
下面将对这些方法进行介绍。
1.最邻近插值：最邻近插值是最简单也是最直观的插值方法之一、该方法的原理是将待插值点附近最近的一个已知像素的灰度值赋给待插值点。
这种插值方法的优点是计算简单且实时性好，但缺点是结果较为粗糙，会出现明显的锯齿状边缘。
2.双线性插值：双线性插值是一种基于线性插值的方法，它考虑了待插值点附近四个已知像素的灰度值来生成新的像素值。
具体而言，对于一个待插值点，首先在水平方向上计算它上下两个已知像素的插值，然后在竖直方向上计算其左右两个已知像素的插值，最后再在这两次插值的基础上进行一次线性插值。
这种插值方法的优点是计算相对简单，效果较好，但仍然会存在锯齿状边缘。
3.双三次插值：双三次插值是一种更为复杂的插值方法，它通过分析待插值点周围的16个已知像素的灰度值来生成新的像素值。
具体而言，双三次插值首先根据已知像素的位置与待插值点的距离计算出一个权重系数矩阵，然后将这个系数矩阵与对应的已知像素灰度值相乘并相加。
这种插值方法的优点是结果较为平滑，点缺失问题较少，但计算量较大。
4.基于样条的插值方法：基于样条的插值方法主要包括线性样条插值、三次样条插值和B样条插值。
这些方法是基于插值函数的一种改进，通过选取合适的插值函数形式来拟合已知像素点，从而实现待插值点的灰度值推测。
这些方法计算量较大，但插值效果相对较好，具有高度灵活性。
总结：常见的插值方法包括最邻近插值、双线性插值、双三次插值和基于样条的插值方法。
最邻近插值计算简单且实时性好，但结果较为粗糙；双线性插值效果较好，但仍然存在锯齿状边缘；双三次插值平滑度较高，但计算量较大；基于样条的插值方法具有高度灵活性，但计算量较大。
选择适合的插值方法需根据具体需求考虑。
常见的插值方法及其原理
常见的插值方法及其原理1. 拉格朗日插值法（Lagrange Interpolation）拉格朗日插值法是一种基于多项式的插值方法，通过n+1个已知点的函数值来构造一个n次多项式。
具体的计算公式如下：L(x) = Σ[yk * lk(x)], k=0 to n其中yk为已知点（xi, yi）的函数值，lk(x)为拉格朗日基函数，定义为：lk(x) = Π[(x - xj)/(xi - xj)], j=0 to n, j≠k拉格朗日插值法的原理是通过构造一个通过已知点的n次多项式，来代替未知函数的近似值。
利用拉格朗日基函数的性质，可以保证插值多项式通过已知点。
2. 牛顿插值法（Newton Interpolation）牛顿插值法是一种递推的插值方法，通过已知点的函数值和差商来逐步构造插值多项式。
差商的定义如下：f[x0]=y0f[x1]=(f[x1]-f[x0])/(x1-x0)f[x2]=(f[x2]-f[x1])/(x2-x1)...f[xn] = (f[xn] - f[xn-1]) / (xn - xn-1)利用差商的定义，可以得到牛顿插值多项式的表达式：N(x) = f[x0] + f[x0, x1](x-x0) + f[x0, x1, x2](x-x0)(x-x1) + ... + f[x0, x1, ..., xn](x-x0)(x-x1)...(x-xn)牛顿插值法的原理是通过递推计算差商来得到插值多项式。
通过使用差商来处理已知点的函数值差异，可以得到更高次的插值多项式。
3. 样条插值法（Spline Interpolation）样条插值法是一种基于分段低次插值函数的插值方法，常用的是三次样条插值。
样条插值法通过寻找一组分段函数，使得满足原函数的插值条件，并要求函数在每个插值点处的函数值、一阶导数和二阶导数连续。
这样可以保证插值函数在每个插值点处的平滑性。
三次样条插值法的原理是将整个插值区间划分为多个小区间，在每个小区间内使用三次多项式进行插值。
插值法计算公式范文
插值法计算公式范文插值法是一种数值计算方法，用于在已知数据点之间进行估计或预测。
它基于假设函数在相邻数据点之间是连续的，并利用这种连续性来进行估计。
插值法的计算公式可以根据不同的方法和情况而有所不同。
下面将介绍两种常用的插值方法及其计算公式。
1.线性插值法线性插值法假设假设函数在相邻数据点之间是线性的，即通过两个数据点的直线来进行估计。
设已知数据点为(x0,y0)和(x1,y1)，要在这两个数据点之间的任意位置x进行估计，计算公式如下：y=y0+(x-x0)*(y1-y0)/(x1-x0)这个公式表示了一个斜率为(y1-y0)/(x1-x0)的直线，通过(x0,y0)点，并与x轴交于x点。
通过该公式，我们可以根据已知数据点在特定位置进行线性插值估计。
2.拉格朗日插值法拉格朗日插值法是一种基于拉格朗日多项式的插值方法。
假设已知n+1个数据点(x0, y0)，(x1, y1)，...(xn, yn)，要在这些数据点之间的任意位置x进行估计，计算公式如下：y = L0(x) * y0 + L1(x) * y1 + ... + Ln(x) * yn其中Li(x)表示拉格朗日插值多项式的第i个基函数Li(x) = (x - x0) * (x - x1) * ... * (x - xi-1) * (x - xi+1)* ... * (x - xn) / ((xi - x0) * (xi - x1) * ... * (xi - xi-1) * (xi - xi+1) * ... * (xi - xn))这个公式表示了一个以数据点(xi, yi)为中心的拉格朗日插值多项式的基函数，通过已知数据点进行插值估计。
总结：插值法是一种根据已知数据点之间的连续性进行估计的数值计算方法。
线性插值法和拉格朗日插值法是两种常用的插值方法。
线性插值法假设函数在相邻数据点之间是线性的，通过两个数据点的直线进行估计。
拉格朗日插值法基于拉格朗日多项式，通过已知数据点进行插值估计。
高维数据插值方法
高维数据插值方法引言：在现实生活中，我们常常遇到需要对数据进行插值的情况。
数据插值是指根据已有数据的特征和规律，通过一定的数学方法来推测未知数据的值。
而对于高维数据来说，插值问题变得更加复杂。
本文将介绍几种常见的高维数据插值方法，并对其原理和应用进行分析和讨论。
一、Kriging插值方法Kriging插值方法是一种基于统计学原理的插值方法，也是一种常用的高维数据插值方法。
它基于数据的空间相关性来进行插值，利用已知数据点之间的空间关系来推测未知点的值。
Kriging插值方法在地质勘探、气象预测等领域有广泛的应用。
Kriging插值方法的基本原理是通过构建协方差函数来描述数据点之间的空间相关性，然后利用协方差函数来推算未知点的值。
在进行Kriging插值时，需要先确定合适的协方差函数模型，并通过已知数据点的值来估计协方差函数的参数。
然后，根据已知数据点的空间分布和协方差函数的值，通过最小化预测误差来确定未知点的值。
二、径向基函数插值方法径向基函数插值方法是一种常用的高维数据插值方法，其基本思想是利用径向基函数来对数据进行插值。
径向基函数是一种关于距离的函数，可以通过距离来描述数据点之间的相似性。
常用的径向基函数有高斯函数、多孔径函数等。
径向基函数插值方法的具体步骤是先选择合适的径向基函数，并通过已知数据点的值来确定径向基函数的参数。
然后，根据未知点与已知点之间的距离和径向基函数的值，通过加权平均来确定未知点的值。
径向基函数插值方法适用于高维数据的插值，且对数据的空间分布没有特殊要求。
三、样条插值方法样条插值方法是一种常用的高维数据插值方法，它通过构建光滑的曲线来对数据进行插值。
样条插值方法在图像处理、地理信息系统等领域有广泛的应用。
样条插值方法的基本原理是通过将插值函数表示为一系列小区间上的低次多项式的线性组合，来实现对数据的插值。
常用的样条插值方法有分段线性插值、三次样条插值等。
在进行样条插值时，需要先确定合适的插值函数，并通过已知数据点的值来确定插值函数的参数。
插值法计算方法举例
插值法计算方法举例插值法是一种数值逼近方法，用于在给定的一些数据点之间进行数值求解。
插值法的基本思想是通过已知数据点的函数值来构建一个插值函数，并利用该插值函数来估计未知数据点的函数值。
以下是一些常见的插值方法。
1.线性插值：线性插值是最简单的插值方法之一、假设我们有两个已知数据点 (x1, y1) 和 (x2, y2)，我们想要在这两个数据点之间估计一个新的点的函数值。
线性插值方法假设这两个点之间的函数关系是线性的，即 y = f(x)= mx + c，其中 m 是斜率，c 是截距。
通过求解这两个点的斜率和截距，我们可以得到插值函数的表达式，从而计算出新点的函数值。
2.拉格朗日插值：拉格朗日插值是一种经典的插值方法，它利用一个多项式函数来逼近已知数据点之间的关系。
对于一组已知数据点 (x1, y1), (x2, y2), ..., (xn, yn)，拉格朗日插值方法构建一个函数 L(x) 来逼近真实的函数f(x)。
L(x) 的表达式为 L(x) = y1 * L1(x) + y2 * L2(x) + ... + yn* Ln(x)，其中 Li(x) 是拉格朗日插值基函数，定义为Li(x) = Π(j=1to n, j≠i) (x - xj) / (xi - xj)。
通过求解 L(x) 的表达式，我们可以计算出任意新点的函数值。
3.牛顿插值：牛顿插值是另一种常用的插值方法，它是通过一个递推的过程来构建插值函数。
对于一组已知数据点 (x1, y1), (x2, y2), ..., (xn, yn)，牛顿插值方法定义一个差商表，然后根据该表构建一个递推的多项式函数来逼近真实的函数 f(x)。
差商表的计算使用了递归的方式，其中第 i 阶差商定义为 f[xi, xi+1, ..., xi+j] = (f[xi+1, xi+2, ..., xi+j] - f[xi, xi+1, ..., xi+j-1]) / (xi+j - xi)。
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数学系 信息与计算科学1班 李平指导老师：唐振先摘要:插值在诸如机械加工等工程技术和数据处理等科学研究中有许多直接的应用,在很多领域都要用插值的办法找出表格和中间值,插值还是数值积分微分方程数值解等数值计算的基础。
本文归纳了几种常用的插值方法,并简单分析了其各自的优缺点。
关键词:任意阶多项式插值,分段多项式插值。
引言:所谓插值,通俗地说就是在若干以知的函数值之间插入一些未知函数值,而插值函数的类型最简单的选取是代数多项式。
用多项式建立插值函数的方法主要用两种：一种是任意阶的插值多项式,它主要有三种基本的插值公式：单项式,拉格朗日和牛顿插值；另一种是分段多项式插值,它有Hermite 和spine 插值和分段线性插值。
一．任意阶多项式插值：1.用单项式基本插值公式进行多项式插值：多项式插值是求通过几个已知数据点的那个n-1阶多项式,即P n-1(X)=A 1+A 2X+…A n X n-1,它是一个单项式基本函数X 0,X 1…X n-1的集合来定义多项式,由已知n 个点（X,Y ）构成的集合,可以使多项式通过没数据点,并为n 个未知系数Ai 写出n 个方程,这n 个方程组成的方程组的系数矩阵为Vandermonde 矩阵。
虽然这个过程直观易懂,但它都不是建立插值多项式最好的办法,因为Vandermonde 方程组有可能是病态的,这样会导致单项式系数不确定。
另外,单项式中的各项可能在大小上有很大的差异,这就导致了多项式计算中的舍入误差。
2.拉格朗日基本插值公式进行插值： 先构造一组插值函数L i （x ）=011011()()()()()()()()i i n i i i i i i n x x x x x x x x x x x x x x x x -+-+--------，其中i=0，…n.容易看出n 次多项式L i （x ）满足L i （x ）=1，（i=j ）；L i （x ）=0，（i ≠j ），其中i=0，1…n ，令L i （x ）=0()ni i i y l x =∑这就是拉格朗日插值多项式。
与单项式基本函数插值多项式相比,拉格朗日插值有2个重要优点:首先,建立插值多项式不需要求解方程组；其次,它的估计值受舍入误差要小得多。
拉格朗日插值公式结构紧凑,在理论分析中很方便,但是,当插值节点增加、减少或其位置变化时全部插值函数均要随之变化,从而整个插值公式的结构也将发生变化,这在实际计算是非常不利的。
3.使用牛顿均差插值公式进行多项式进行插值：首先,定义均差,f在xi,xj上的一阶均差()()[,]j ii jj if x f xf x xx x-=-，其中(i≠j)。
f在xi ，xj，xk的二阶均差f[xi，xj，xk]=[,][,]i j j kj kf x x f x xx x--，k阶均f[xi (x)k]=01[][]k i kkf x x f x xx x---。
由此得出牛顿均值插值多项式的公式为Pn(x)=f[x0]+f[x-x1](x-x)+…+f[x，x n ](x-x)…(x-xn-1)。
实际计算中经常利用下表给出的均差表直接构造牛顿插值公式,，……凡是拉格朗日插值解决的问题牛顿插值多项式都可以解决,不仅如此,更重要的是牛顿均值克服了拉格朗日插值多项式的缺点,当需要提高近似值的精确度而增加结点时,它不必重新计算,只要在后面再计算一项均插即可,减少了计算量,不用计算全部系数,节约了大量人力,物力,财力。
增加插值多项式的阶数并不一定能增加插值的精度,据定义,插值式,F(x)可以与结点(xi，yi)，i=1，…，n处的实际函数匹配,但却不能保证支点之间求F(x),还能很好的逼近产生(xi，yi)数据的实际函数F(x)。
例如,如果F(x)为一个已知的解析函数,而且定义F(x)的节点集合中数据点的数目可以增加（多项式F(x)的阶数也增加）,但是,由于F(x)的起伏增加,那么插值式就可能在节点见振带,基于当实际函数F(x)平滑时,这种多项式摆动也可能发生,这种振荡不是由多项式摆动引起的,而是由多项式的项相加来求插值多项式时发生舍入误差造成的。
有时多项式摆动可通过谨慎选择基础函数的取样来成为,但如果数据是由不容易重复实验取得的,就不能这么做了,这会司会用下面介绍分段插值法。
二、分段插值多项式1、分段线性插值：分段线性插值最简单的插值方案,只要将每个相邻的节点用直线接起来,如此形成的一条新的折线就是分段线性插值函数,记作I n (x j )=y i 而且I n (x)在每个区间[x j x j+1]上是线性函数（j=0,1…n-1） I n (X)可以定义为I n (x j )= 0()ni i i y l x =∑其中l 0(x)=101x x x x --，[0,1]x x x ∈其他，l 0(x)=0 l j (x)=11j j j x x x x ----，1[,]j j x x x -∈；n l ()x =11j j j x x x x ++--1,[,];j j x x x +∈其他，l j (x)=0l n (x)=11n n n x x x x ----1,[,];n n x x x -∈其他，l n (x)=0I n (x j )具有很好的收敛性,即对于x ∈[a,b]有：当n 趋向于无穷大时,I n (x )=g(x)成立。
用I n (x )计算x 点的插值时,只用到x 左右的两个节点,计算量与节点个数n 无关,但n 越大分段越多,插值误差就越小,但是,该方法折线在节点处显然不光滑,即I n (X)在节点处导数不存在着影响它在需要光滑插值曲线的（如机械插值等领域中的应用）。
2分段三次Hermite 插值为清楚起见,先用三次Hermite 插值的构造方法加以解释,三次Hermite 插值的做法是,在[x k x k+1]上寻找一个次数不超过3的多项式H 3(x) 它满足插值条件 H 3(x k )=f(x k ),H 3(x k+1)=f(x k+1)'3()k H x =m k , '31()k H x +=m k+1相应的插值基函数为211121111()12,()12,k k k k k k k k k k k k k k x x x x x x x x x x x x x x x x x x αα+++++++⎧⎛⎫⎛⎫--⎪=+ ⎪⎪--⎪⎝⎭⎝⎭⎨⎛⎫⎛⎫⎪--=+ ⎪⎪⎪--⎝⎭⎝⎭⎩2112111()(),()().k k k k k k k k k k x x x x x x x x x x x x x x ββ+++++⎧⎛⎫-⎪=- ⎪-⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪-=- ⎪⎪-⎝⎭⎩于是有H 3(x)=αk （x ）f(x k ) +αk+1（x ）f(x k+1)＋m k βk (x) ＋m k+1βk+1(x)。
如果函数Ψ满足条件： （1） Ψ∈C 1[a,b]（2） 满足插值条件：Ψ（x k ）=f(x k ), ''()()k k x f x ϕ=,k=0,1,2,…,n. （3） 在每个小区间[x k-1, x k ],k=1,2, …,n 上Ψ是三次多项式。
则称Ψ为f 的分段三次Hermite 插值多项式。
根据分段线性插值和三次Hermite 插值公式可得到Ψ的表达式 Ψ(x)= '0[()()()()]nk k k k k f x x f x x αβ=+∑其中20101010010112,[,]()0,[,]x x x x x x x x x x x x x x x α⎧⎛⎫⎛⎫--⎪+∈ ⎪⎪=--⎨⎝⎭⎝⎭⎪∉⎩ 21111211111112,[,]()12,[,]0,[,]k k k k k k k k k k k k k k k k k k k x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x α----++++-+⎧⎛⎫⎛⎫--⎪+∈ ⎪⎪--⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎛⎫⎛⎫--⎪=+∈⎨ ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭⎪⎪∉⎪⎪⎩21111112,[,]()0,[,]k k n n n k k k k n n x x x x x x x x x x x x x x x α-----⎧⎛⎫⎛⎫--⎪+∈ ⎪⎪=--⎨⎝⎭⎝⎭⎪∉⎩2100100101(),[,]()0,[,]x x x x x x x x x x x x x β⎧⎛⎫-⎪-∈ ⎪=-⎨⎝⎭⎪∉⎩2111211111(),[,]()(),[,]0,[,]k k k k k k k k k k k k k k k x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x β---+++-+⎧⎛⎫-⎪-∈ ⎪-⎪⎝⎭⎪⎛⎫-⎪=-∈⎨ ⎪-⎝⎭⎪⎪∉⎪⎪⎩21111(),[,]()0,[,]n n n n n n n n n x x x x x x x x x x x x x β----⎧⎛⎫-⎪-∈ ⎪=-⎨⎝⎭⎪∉⎩αk ，βk ， k=0,1,2,…,n ，称为以节点x 0，x 1,…, x n 的分段三次Hermite 插值基函数，对于给定n 个插值点x 1＜x 2＜…＜x n 和其相应函数值 f(x k )和一阶函数值f '(x k ),k=0,1,2,…,n.显然,分段三次Hermite 插值可以产生平滑变化的插值式,但它有一个明显的缺点,就是在每个界点处的函数斜率必须已知,而从实验中获得的数据,这个斜率就不存在。
下面要介绍的三次样条插值可以解决这个问题,同时能得到插值式所期望的光滑度。
3、三次样条插值 1. 样条函数在[a,b]上取n+1个插值结点a=x 0<x 1<…<x n =b 已知函数f(x)在这n+1个点的函数值为y k =f(x k )则在[a,b]上函数y=f(x)的m 次样条插值函数S(x)满足: (1)S(x)在(a,b)上直到m-1阶导数连续; (2)S(x k )=y k ,(k=0 1…n);(3)在区间[x k ,x k+1](k=0 1 …n-1)上,S(x)是m 次多项式。
2.三次样条函数在[a,b]上函数y=f(x)的三次样条插值函数S(x)满足: (1)在(a,b)上0、1、2阶导数连续,即:s '(x k -0)=s '(x k +0)，s ″(x k -0)=s ″(x k +0) (k=0 1…n-1) (2)S(x k )=y k (k=0，1，…n);(3)在区间[x k x k+1](k=0，1…n-1)上S(x)是三次多项式。