分式章节复习(教师版)
新人教版-八年级(初二)数学上册-分式章节-分式的化简求值(1).讲义教师版
内容 基本要求略高要求较高要求分式的概念 了解分式的概念，能确定分式有意义的条件能确定使分式的值为零的条件分式的性质 理解分式的基本性质，并能进行简单的变型能用分式的性质进行通分和约分分式的运算 理解分式的加、减、乘、除运算法则会进行简单的分式加、减、乘、除运算，会运用适当的方法解决与分式有关的问题一、比例的性质： ⑴ 比例的基本性质：a cad bc b d=⇔=，比例的两外项之积等于两内项之积. ⑵ 更比性（交换比例的内项或外项）： ( ) ( ) ( )a bc d a c d cb d b a d bc a ⎧=⎪⎪⎪=⇒=⎨⎪⎪=⎪⎩交换内项 交换外项 同时交换内外项⑶ 反比性（把比例的前项、后项交换）：a c b db d a c=⇒=⑷ 合比性：a c a b c d b d b d ±±=⇒=，推广：a c a kb c kdb d b d±±=⇒=（k 为任意实数） ⑸ 等比性：如果....a c m b d n ===，那么......a c m ab d n b+++=+++（...0b d n +++≠）二、基本运算分式的乘法：a c a cb d b d⋅⋅=⋅分式的除法：a c a d a db d bc b c⋅÷=⨯=⋅乘方：()n nn nn a a aa a aa ab b bb b bb b ⋅=⋅=⋅个个n 个＝(n 为正整数) 整数指数幂运算性质：⑴m n m n a a a +⋅=(m 、n 为整数) ⑵()m n mn a a =(m 、n 为整数) ⑶()n n n ab a b =(n 为整数)知识点睛中考要求分式的化简求值（1）⑷m n m n a a a -÷=(0a ≠，m 、n 为整数) 负整指数幂：一般地，当n 是正整数时，1n n a a-=(0a ≠)，即n a -(0a ≠)是n a 的倒数 分式的加减法法则：同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减，a b a bc c c+±=异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式再加减，a c ad bc ad bcb d bd bd bd±±=±=分式的混合运算的运算顺序：先算乘方，再算乘除，后算加减，如有括号，括号内先算．结果以最简形式存在.一、化简后直接代入求值【例1】 先化简再求值：2111x x x---，其中2x = 【考点】化简后直接代入求值 【难度】2星 【题型】解答【关键词】2010年，湖南郴州【解析】原式()()111x x x x x =---()111x x x x-==-当2x =时，原式112x ==【答案】12【例2】 已知：2221()111a a a a a a a ---÷⋅-++，其中3a =【考点】化简后直接代入求值 【难度】2星 【题型】解答 【关键词】【解析】222221(1)()4111(1)a a a a a a a a a ---+÷⋅=-=--++-【答案】4-【巩固】先化简，再求值：22144(1)1a a a a a-+-÷--，其中1a =- 【考点】化简后直接代入求值 【难度】2星 【题型】解答【关键词】2010年，安徽省中考例题精讲【解析】()2221144211122a a a a a a a a a a a a --+-⎛⎫-÷=⋅= ⎪----⎝⎭- 当1a =-时，原式112123a a -===---【答案】13【例3】 先化简，再求值：211(1)(2)11x x x -÷+-+-，其中x =【考点】化简后直接代入求值 【难度】2星 【题型】解答【关键词】2010年，湖北省十堰市中考试题【解析】原式()()()111121x x x x x +-=⋅+-+-+ ()()12x x x =-+-22x =-当x 时，原式224=-=．【答案】4【例4】 先化简，后求值：22121(1)24x x x x -++÷--，其中5x =-． 【考点】化简后直接代入求值 【难度】2星 【题型】解答【关键词】2010年，广东省肇庆市中考试题【解析】22121(1)24x x x x -++÷--=221(1)2(2)(2)x x x x x -+-÷-+- =21(2)(2)2(1)x x x x x -+-⋅-- =21x x +- 当5-=x 时，原式21x x =+-521512+-=-=-. 【答案】12【巩固】先化简，再计算：231124a a a +⎛⎫+÷ ⎪--⎝⎭，其中3a =． 【考点】化简后直接代入求值 【难度】2星 【题型】解答【关键词】2010年，湖南省岳阳市中考试题【解析】原式2223221a a a a a a +--⎛⎫=+⨯⎪--+⎝⎭()()22121a a a a a +-+=⨯-+ 2a =+【答案】2a +【例5】 当12x =-时，求代数式22226124111x x x x x x x x ⎛⎫++-+-+÷ ⎪--+⎝⎭的值 【考点】化简后直接代入求值【难度】3星 【题型】解答 【关键词】【解析】原式2224(1)1(1)(1)2413x x x x x x x x x x -++=⨯==+--+- 【答案】13【例6】 先化简分式22222936931a a a a a a a a a ---÷-+-+-，然后在0，1，2，3中选一个你认为合适的a 值，代入求值．【考点】化简后直接代入求值 【难度】2星 【题型】解答【关键词】2010年，广东省深圳市中考试题【解析】原式()()()()223332313a a a a a a a a a a a a +-+-=⋅-=+=--+ 当0123a =，，，时，原式0246=，，， 【答案】0，2，4，6【巩固】先化简：22222a b ab b a a ab a⎛⎫-+÷+ ⎪-⎝⎭，当1b =-时，再从22a -<<的范围内选取一个合适的整数a 代入求值．【考点】化简后直接代入求值 【难度】2星 【题型】解答【关键词】2010年，贵州省贵阳市中考试题【解析】原式()()()()22221a b a b a ab b a b a a a b a a a ba b +-+++=÷=⋅=-++在22a -<<中，a 可取的整数为101-，，，而当1b =-时，①若1a =-，分式222a b a ab--无意义；②若0a =，分式22ab b a +无意义；③若1a =，分式1a b+无意义． 所以a 在规定的范围内取整数，原式均无意义（或所求值不存在）【答案】a 在规定的范围内取整数，原式均无意义（或所求值不存在）【巩固】已知212242xA B C x x x ===--+，，将它们组合成()A B C -÷或A B C -÷的形式，请你从中任选一种进行计算，先化简，再求值其中3=x ． 【考点】化简后直接代入求值 【难度】3星 【题型】解答【关键词】2010年，河南省中考试题【解析】选一：()()()21221242222x x x A B C x x x x x x x +⎛⎫-÷=-÷=⨯= ⎪--++--⎝⎭ 当3x =时，原式1132==- 选二：()21212124222x A B C x x x x x x x -÷=-÷=-=--+--，当3x =时，原式13=【答案】选一：当3x =时，原式1132==- 选二：当3x =时，原式13=【例7】 先化简，再求值:224125(2)2[2()](34)(2)a a a a a a a a +++÷--÷-+，其中4a =【考点】化简后直接代入求值【难度】3星 【题型】解答 【关键词】【解析】原式2224(3)5(2)(2)[2](34)(2)a a a a a a a a +++=÷--÷-+4(3)(2)(2)5(34)(2)2a a a a a a +-+-=÷-++ 4(3)2(34)(2)(3)(3)a a a a a a ++=⋅-+-+4(34)(3)a a =-- 当4a =时，原式441(34)(3)(344)(43)2a a ===--⨯--本题含分式乘方、加、减、乘、除混合运算；与分式四则混合运算类似，分式的四则混合运算 的顺序是:先算乘方，再算乘除，后算加减，如有括号，括号内先算． 【答案】12【例8】 已知22a b ==a bb a-的值． 【考点】化简后直接代入求值 【难度】2星 【题型】解答【关键词】2010年，湖北荆门市中考试题【解析】∵22a b =+=∴4a b +=，a b -=，1ab =而a b b a -22()()a b a b a b ab ab -+-==∴a b b a -=()()a b a b ab+-==【答案】【例9】 先化简，再求值：()()x yy x y x x y -++，其中11x y ==，． 【考点】化简后直接代入求值 【难度】2星 【题型】解答【关键词】2010年，湖南湘潭市中考试题【解析】原式()()22x y xy x y xy x y =-++ ()22x y xy x y -=+()()()x y x y xy x y -+=+x y xy-=当 11x y ==，时，11221x yxy--=== 【答案】2【例10】 化简，再求值：11-a b b a ⎛⎫+ ⎪+⎝⎭ab a b ÷+.其中1a =, b =. 【考点】化简后直接代入求值 【难度】3星 【题型】解答【关键词】2010年，黄石市中考试题【解析】原式()()()()()2b a a b a b a b b a ab a b b++-+=⋅=-+-∵1a b ==，∴原式1b ==，∴=【巩固】先化简，再求值：22112b a b a b a ab b⎛⎫-÷ ⎪-+-+⎝⎭，其中11a b ==-【考点】化简后直接代入求值 【难度】3星 【题型】解答【关键词】2010年，宣武一模试题【解析】原式()()()()()()22a b a b a b a b a b a b b a b+----=⋅=-++当11a b ==-==【答案】【例11】 先化简，再求值：22211x yx y x y x y ⎛⎫+÷ ⎪-+-⎝⎭，其中11x y ==， 【考点】化简后直接代入求值 【难度】3星 【题型】解答【关键词】2010年，广西桂林中考试题 【解析】原式2222222x y x y x yx y x y x y ⎛⎫+-=+÷ ⎪---⎝⎭ 22222x y x y x y x y x y++--=⨯- 222x x y xy==当11x y ==，原式22131xy====-【答案】1【例12】 求代数式()()22222222222a b c a b c ab ac a a ab ab a b a b -----+⋅÷-++-的值，其中1a =，12b =-，23c =- 【考点】化简后直接代入求值 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】【解析】()()22222222222a b ca b c ab ac a a ab ab a b a b -----+⋅÷-++-()()()()2a b c a a b c a b c a b a b a a b a b c a b c a b -+-+--+-=⋅⋅-+--++a b ca b --=+． ∴当1a =，12b =-，23c =-时，原式12123112++=-1313263=⨯=． 【答案】133二、条件等式化简求值1. 直接换元求值【例13】 已知：2244a b ab +=（0ab ≠），求22225369a b a b ba b a ab b a b--÷-++++的值． 【考点】直接换元求值（分式） 【难度】3星 【题型】解答【关键词】2010年，石景山二模【解析】由2244a b ab +=得2b a =原式2a ba b-=+当2b a =时，原式42a aa a-=+1=-【答案】1-【例14】 已知：34x y =，求2222222x y xy y x xy y x xy -+÷-+-的值【考点】直接换元求值（分式）【难度】3星 【题型】解答 【关键词】【解析】2222222()()()32()()4x y xy y x y x y y x y x x xy y x xy x y x x y y -++-+÷=÷==-+--- 【答案】34【巩固】已知x y z ，，满足235x y z z x ==-+，则52x yy z-+的值为（ ） A.1 B.13C.13-D.12【考点】直接换元求值（分式） 【难度】4星 【题型】选择【关键词】2007年，全国初中数学联赛试题【解析】B ；由235x y z z x ==-+得332y x z x ==，，∴55312333x y x x y z x x --==++ 【答案】13【例15】 已知12=x y ，求2222222-⋅+-++-x x y y x xy y x y x y 的值． 【考点】直接换元求值（分式）【难度】2星 【题型】解答【关键词】2010年，海淀一模【解析】y x y y x y x y xy x x-++-⋅+-2222222 22()()2()x x y x y yx y x y x y -+=⋅++--22()x y x y x y =+--2()()x y x y +=-．当21=y x 时，x y 2=. 原式2(2)6(2)x x x x +==--.【答案】6-【例16】 已知221547280x xy y -+=，求xy的值. 【考点】直接换元求值（分式） 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】【解析】221547280x xy y -+=，∴(37)(54)0x y x y ++=，∴370x y +=或540x y +=，由题意可知:0y ≠，73x y =-或45x y =-. 【答案】45-【巩固】已知22690x xy y -+=，求代数式 2235(2)4x yx y x y+⋅+-的值. 【考点】直接换元求值（分式） 【难度】3星 【题型】解答【关键词】2010年，海淀二模【解析】22690x xy y -+=，2(3)0x y -=．∴ 3x y =． ∴原式35(2)(2)(2)x yx y x y x y +=⋅++-352x yx y +=-3(3)52(3)y yy y+=-145=． 【答案】145【例17】 已知x =，求351x x x ++的值．【考点】条件等式化简求值 【难度】4星 【题型】解答【关键词】降次，整体置换【解析】21x -=21x x =+，0x ≠．则()233245555111x x x x x x x x x x x++++=====【例18】 已知123a b c a c ==++，求ca b+的值． 【考点】直接换元求值（分式） 【难度】4星 【题型】解答【关键词】第8届，华罗庚金杯复赛【解析】23b c a a c a +=⎧⎨+=⎩22b c a c a +=⎧⇒⎨=⎩02b c a =⎧⇒⎨=⎩，所以220c aa b a ==++．【答案】2【例19】 已知22(3)0x y a b -+-=，求32223322232332a x ab y b xya x ab y b xy++++的值．【考点】直接换元求值（分式）【难度】3星【题型】解答【关键词】第9届，华罗庚金杯总决赛1试【解析】由已知可得：2y x =，3a b =，故原式7297=. 【答案】7297【巩固】已知2232a b ab -=，0a >，0b >，求证：252a b a b +=- 【考点】直接换元求值（分式）【难度】4星【题型】解答【关键词】【解析】由已知可得22230a ab b --=，则(3)()0a b a b -+=，所以3a b =或a b =-∵0a >,0b >，∴3a b =，则23255322a hb b b a b b b b ++===-- 【答案】52【巩固】已知分式1x y xy+-的值是m ，如果用x ，y 的相反数代入这个分式，那么所得的值为n ，则m 、n 是什么关系？【考点】直接换元求值（分式）【难度】3星【题型】解答【关键词】 【解析】由题可知：()()()1.1x y m xy x y n x y +⎧=⎪-⎪⎨-+-⎪=⎪---⎩，①② 由②得：11x y x y n m xy xy--+==-=---． ∴m n =-，∴0m n +=．所以m n ，的关系为互为相反数．【答案】m n ，的关系为互为相反数【例20】 已知：233mx y +=，且()22201nx y x y -=≠≠-，．试用x y ，表示m n． 【考点】直接换元求值（分式）【难度】4星【题型】解答【关键词】【解析】∵0x ≠，∴由233mx y +=，得：()()231133y y y m x x +--==．由222nx y -=，得：222122y y n x x ++==． ∵1y ≠-，∴0n ≠， ∴()()()231121y y y m n x x +-+=÷()()()231121y y x x y +-=⋅+()312x y -=． 【答案】()312x y -【例21】 已知：230a b c -+=，3260a b c --=，且0abc ≠，求3332223273a b c ab bc a c-++-的值. 【考点】直接换元求值（分式）【难度】4星【题型】解答【关键词】【解析】由题意可知：2303260a b c a b c -+=⎧⎨--=⎩，解得43a c b c =⎧⎨=⎩，333322233215173453a b c c ab bc a c c -+-==-+- 【答案】13-【巩固】已知方程组:230230x y z x y z -+=⎧⎨-+=⎩(0xyz ≠)，求：::x y z 【考点】直接换元求值（分式）【难度】3星【题型】解答【关键词】【解析】把z 看作已知数，解关于x 、y 的方程组，解得5y z =，7x z =，所以::7:5:1x y z =.【答案】::7:5:1x y z =【例22】 设自然数x 、y 、m 、n 满足条件58x y m y m n ===，求的x y m n +++最小值． 【考点】直接换元求值（分式）【难度】5星【题型】解答【关键词】黄冈市初中数学竞赛 【解析】58x y =，58y m =，85m y =，864525n m y ==，从而y 是825200⨯=的倍数，当200y = 586412520032051211578525x y m n y y y y +++=+++=+++= 【答案】1157【例23】 设有理数a b c ，，都不为0，且0a b c ++=， 则222222222111b c a c a b a b c +++-+-+-的值为___________。
《分式》总复习-华东师大版知识讲解
《分式》总复习-华东师大版《分式》总复习一. 本周教学内容：《分式》总复习[全章知识网络图][全章重点难点]重点：同底数幂的除法、单项式除以单项式；分式的意义及相关概念、分式的基本性质；分式的四则运算；可化为一元一次方程的分式方程及其应用；零指数幂和负整指数幂、用科学记数法表示绝对值小于1的数。
难点：整式的除法运算、分式的运算及分式方程的解法、检验与应用、零指数幂和负整指数幂、用科学记数法表示绝对值小于1的数（同底数幂的除法是基础和关键。
）[本章考点]同底数幂的除法、整式的除法、分式概念、分式的基本性质、分式的运算、分式方程的解法及应用题、零指数和负整指数、科学记数法。
[主要知识与技能整和]一. 同底数幂的除法运算及应用1. 同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减。
公式：n m n m a a a -=÷（n m n m a >≠,,,0都是正整数）。
2. 同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
公式：n m n m a a a +=⨯（都是正整数n m a ,,0≠）。
3. 幂的乘方法则：底数不变，指数相乘。
公式：),,0()(都是正整数n m a a a n m n m ≠=⨯。
4. 121222)()(++-=-=-n n n n a a a a ；；（n 为正整数） n n n n b a b a a b b a 2222)()()()+=---=-；（；（n 为正整数）12121212)()()()(+++++-=----=-n n n n b a b a a b b a ；。
（n 为正整数） 例1.计算下列各题：（1）a a a 13⋅÷a aa =⋅=12 ； （2）m m a a a ÷÷+35235a a m m ==--+ ；（3）m m k k k ÷)(21122+-+==÷⋅=m m m m m k k k k k ；(4)])()[()(322425x x x ÷÷82106810)(x x x x x x =÷=÷÷=；（5）y y y x y x xy y x 16)414(414)21(4232232232=÷=÷=-÷-； （6）b ax x a ax abx x a x a ++-=-÷--39)3()3927(22223 。
人教版八年级数学上册第15章《分式》复习课件
解之得：
经检验：
是原方程的解．
答：乙工程队单独完成这项工程所需的天数为60天．
2.已知轮船在静水中每小时行20千米，如 果此船在某江中顺流航行72千米所用的 时间与逆流航行48千米所用的时间相同， 那么此江水每小时的流速是多少千米?
解:设江水每小时的流速是x千米，根据题 意得：
约分一般是将一个分式化为最简分式，将分式 约分所得的结果有时可能是整式.
分式的乘法法则： 分式乘以分式，用分子的积做积的分子，分母的积做
积的分母.
化简下列分式：
（1）a 2bc ab x2 1
(2) x2 2x 1 5xy
(3) 20x2y (4) a(a b)
b(b2 a2 )
分式的运算
列分式方程解应用题的一般步骤
1.审:分析题意,找出研究对象，建立等量关系. 2.设:选择恰当的未知数,注意单位. 3.列:根据等量关系正确列出方程. 4.解:认真仔细. 5.验:有二次检验. 6.答:不要忘记写.
例9、A、B两地相距80千米，甲骑车从A地出发1小时后， 乙也从A地出发，用相当于甲1.5倍的速度追赶， 当追到B地时，甲比乙先到20分钟，求甲、乙的速度．
变式: 如果把分式 x 2 y 中的xy都扩大10倍,则分式的值( ）
x ２．下列等式从左到右的变形一定正确的是（ ）
( A) a a m (B) a ac
b bm
b bc
ak a
a a2
(C) bk b
(D) b b2
分式约分的主要步骤是： 1、把分式的分子与分母分解因式。 2、然后约去分子与分母的公因式.
72 48 20 x 20 x
反馈练习
苏科版八年级数学《分式》章节复习总结
答：王老师步行速度为 5 km/h,骑自行车的速度为 15 km/ h.．
例 11 我市受 14 号台风 “云娜 ”的影响后，部分街道路面积水比较严重．为了改善这一状况，市政公
司决定将一总长为 1200m 的排水工程承包给甲、乙两工程队来施工。若甲、乙两队合做需
12 天完成此项
工程；若甲队先做了 8 天后，剩下的由乙队单独做还需 18 天才能完工．问甲、乙两队单独完成此项工程
)
(
an
) . [来源:]
b
3．分式方程及其应用
（ 1）分式方程的概念
分母中含有未知数的方程叫分式方程
注意：它和整式方程的区别就在于分母中是否含未知数
（ 2）分式方程的解法
① 方程两边都乘以最简公分母，去分母，化为整式方程；
② 解这个整式方程； ③ 验根
（ 3）分式方程的应用
列分式方程解应用题的一般步骤：
诊断：乘法对加法有分配律，而除法对加法没有分配律．
m 2 m2 m 6 m 2
m2
1
正解：原式 =
．
2(m 2) m 2 2(m 2) (m 2)( m 3) 2(m 3)
7．忽略分数线的括号作用
x3
例 7．计算：
x2 x 1 ．
x1
x3
错解：原式 =
x2 x 1
x1
1
x3 ( x 1)( x2 x 1)
检验：把 y=1 代入最简公分母： (y+1)( y－ 1)=(1+1)(1 － 1)=0 ， ∴y=1 是增根．
所以，原方程无解．
2x 3 m
例 7．关于 x 的方程
=3 有增根，求 m 的值．
x2 2x
解：方程两边都乘以 (x－ 2) ，得 2x－ (3－ m)=3( x－ 2) ，把 x=2 代入上面得到的整式方程，得
数学：第十六章《分式》复习课件2(人教新课标八年级下)
例题欣赏
R≠R1，已知R和R1求出表示R2的公 式。
1 1 1 例2：在公式 R R1 R2
试一试
（1）、解方程
x 9 1 1 2 x 6x 9 x 3
2
(2)解关于x的分式方程： a b （a b）； x x 5
复习回顾三: 分式方程解的情况
例3；分式方程
x2 x
）个
x
(3)
3 x
x 1 x 2x 10 （6） 5 2
1 （5）x 2 x
2x 1 3x 1 x
复习回顾二:
二、解分式方程
（1）基本思路： 分式方程 去分母 整式方程
复习回顾二:
（2）.解分式方程的一般步骤
(1)、 在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母， 化成整式方程. (2)、解这个整式方程. (3)、 把整式方程的根代入最简公分母，看结果是 不是为零，使最简公分母为零的根是原方程的增根， 必须舍去.
x 3 1 2 的解是 X=2 x 1 x 1
.
x a 1 2 的解是x=4， 变式1:分式方程 x 1 x 1
a的值是 5
.
x a 1 2 产生增根， 变式2:分式方程 x 1 x 1
则增根可能是 X=1或x=-1 ;a的值 是 2或0 .
变式 3
已知关于ｘ的方程
综上所述，a的值是1 问题：若方程①有增根，则增根必为 X=1 。
x a 1 2 变式4、当a为何值时,方程 x 1 x 1
的解是正数?
x ax 1 2 变式5、当a为何值时,方程 x 1 x 1
无解?
若解是负数呢？
3 a 1 有增根，则增根 1.若方程 2x 4 x 2
苏教版八年级下册数学第十章分式复习课
在化学中，酸碱度可以用分式表示，其中分子是溶液中氢离 子或氢氧根离子的浓度，分母是溶液的体积。通过测量溶液 的pH值，可以计算出酸碱度。
经济学中的应用
投资回报率的计算
在经济学中，投资回报率可以用分式 表示，其中分子是投资的收益，分母 是投资的金额。通过比较不同投资方 案的收益和风险，可以计算出投资回 报率。
分式的混合运算
在混合运算中，如何正确处理 运算的优先级和运算顺序是学 生的难点。
分式的实际应用
将分式的知识应用于实际问题 中，需要学生具备较强的数学 建模能力，这是学生的一个难
点。
解题技巧与策略
理解概念，打好基础
对于分式的概念和基本性质， 学生需要深入理解，打好基础 。
掌握运算规则
在进行分式的加减乘除混合运 算时，学生需要熟练掌握运算 的优先级和顺序。
供需关系的分析
在市场经济中，供需关系可以用分式 表示，其中分子是供给量或需求量， 分母是市场价格。通过分析供需关系 的变化，可以预测市场价格的走势。
05 分式的易错点与难点解析
易错点解析
混淆分式与整式的概念
部分学生容易将分式误认为是整式， 导致后续计算错误。
分母取值问题
在分式中，分母不能为零，但部分学 生常常忽略这一点，导致分式无意义。
运算顺序错误
在进行分式的加减乘除混合运算时， 学生容易忽略运算的优先级，导致结 果错误。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
对分式的基本性质理解不足
分式的基本性质是分式运算的基础， 部分学生对这一知识点掌握不牢，导 致后续计算出错。
难点解析
分式的约分与通分
约分和通分是分式中较为复杂 的内容，部分学生难以理解和
掌握。
人教版数学八年级上册第十五章分式全章复习(第二课时)教学设计
（3）采用分组合作学习，培养学生的团队协作能力和交流表达能力。
2.教学过程：
（1）导入：通过回顾分式的概念，引导学生思考分式在生活中的应用，为新课的学习做好铺垫。
（2）新知传授：以问题为导向，引导学生探究分式的性质和运算法则，总结解题方法。
4.能够利用分式解决一些生活中的优化问题，如折扣、百分比等，提高学生的应用能力。
（二）过程与方法
1.通过对分式的复习，培养学生自主探究、合作交流的学习习惯，提高学生分析问题和解决问题的能力。
2.引导学生运用数形结合的思想，通过绘制图像、列式分析等方法，加深对分式性质和运算的理解。
3.通过设计不同难度的练习题，让学生在解答过程中逐步掌握分式运算的技巧和方法，提高解题效率。
4.引导学生总结分式学习中的常见错误，分析原因，培养学生自我纠正和反思的能力。
（三）情感态度与价值观
1.培养学生对数学学习的兴趣和热情，激发学生主动参与课堂活动的积极性。
2.通过分式的学习，让学生认识到数学与实际生活的紧密联系，增强学生的应用意识。
3.培养学生严谨、细致的学习态度，提高学生的逻辑思维能力和判断力。
4.鼓励学生面对困难时，保持积极的心态，培养良好的学习习惯和自主学习能力。
在教学过程中，教师要关注学生的个体差异，因材施教，充分调动学生的积极性，使学生在复习分式的过程中，既能巩固基础知识，又能提高解决问题的能力，从而达到教学目标。
二、学情分析
八年级学生在学习分式这一章节时，已经具备了一定的代数基础，掌握了整式的运算和方程求解，这为学习分式打下了基础。然而，分式的概念和运算对学生来说仍存在一定的难度，尤其是在分式的有理化、分式方程的求解等方面，学生容易产生混淆和错误。此外，学生在解决实际问题时，往往难以将分式知识灵活运用，需要教师引导和指导。
苏教版八年级下册数学第十章 分式复习课 PPT
答案 B
知识点4 最简分式
分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式。约分一般是将 一个分式化为最简分式，分式约分所得的结果有时可能成为整式。
例 3 下列分式中为最简分式的是（ ）
答案 C
例 4 约分：
解析
知识点5 通分及通分法则
1.通分
根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分 式，叫做分式的通分。
答案 B
例 9 解分式方程：
例 10 解分式方程：
例 11 关于x的方程
有增根，求k的值。
知识点8 列分式方程解应用题
1.列分式方程解应用题的一般步骤：
审：理解题意，弄清具体情境中的已知量与未知量以及它们之间的关系； 设：设未知数，用x表示某个未知量，由该未知量与其他数量的关系，写出表 示相关量的式子； 列：找出等量关系，列出分式方程； 解：解这个分式方程； 验：双重检验，先检验是否为增根，再检验是否符及约分法则
1.约分 和分数一样，根据分式的基本性质，把一个分式的分子和分母的公因式 约去，叫做分式的约分。 2.约分法则 把一个分式约分，如果分子和分母都是几个因式乘积的形式，约去分子 和分母中相同因式的最低次幂；分子与分母的系数，约去它们的最大公 约数。如果分式的分子、分母是多项式，先分解因式，然后约分。 如：
2.列分式方程解应用题的常见题型：
⑴ 行程问题有路程、时间和速度三个量，其关系是路程=速度×时间；
⑵ 工程问题有工作效率、工作时间和工作总量三个量，工作总量=工作效率 × 工作时间
⑶ 增长率问题，其等量关系是原量× （1+增长率）=增长后的量，原量× （1减少率）=减少后的量。
工程问题有工作效率工作时间和工作总量三个量工作总量工作效率工作时间增长率问题其等量关系是原量1增长率增长后的量原量1减少率减少后的量
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1.先化简，再求值．
，其中满足．
2.已知，，则的值＝________．
222142442
x x x x x x x x ---⎛⎫-÷ ⎪++++⎝⎭x 2210x x +-=1327m =1162n
⎛⎫= ⎪⎝⎭n m
知识点一（分式的有关性质和运算）
【知识梳理】
一、分式的有关概念及性质
1．分式：一般地，如果A 、B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子
叫做分式.其中A 叫做分子，B 叫做分母.
2.分式的基本性质 （M 为不等于0的整式）.
3．最简分式：分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式.如果分子分母有公因式，要进行约分化简.
二、分式的运算
1．约分：利用分式的基本性质，把一个分式的分子和分母的公因式约去，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分.
2．通分：利用分式的基本性质，使分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把异分母的分式化为同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分．
3．基本运算法则
分式的运算法则与分数的运算法则类似,具体运算法则如下:
（1）加减运算
；同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减. ；异分母的分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减.
A B
a b a b c c c
±±=
（2）乘法运算 ，其中是整式，. 两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母.
（3）除法运算 ，其中是整式，. 两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后，与被除式相乘.
（4）乘方运算
分式的乘方，把分子、分母分别乘方。
4．零指数
.
5.负整数指数
6.分式的混合运算顺序 先算乘方，再算乘除，最后加减，有括号先算括号里面的.
【例题精讲】
类型一、分式及其基本性质
1.当为任意实数时，下列分式一定有意义的是（ C ）
A.
B. C. D.
2.不改变分式的值，把下列各式分子与分母中各项的系数都化为最简整数．
（1）； （2）； （3）． a c ac b d bd
⋅=a b c d 、、、0bd ≠a c a d ad b d b c bc
÷=⋅=a b c d 、、、0bcd ≠x 14231134a b a b +-0.30.20.05x y x y +-22
22
30.41010.64
x y x y +-
类型二、分式运算
3.计算：． 解：原式． 类型三、分式条件求值的常用技巧
4.已知，求的值．
5.设，且，，求的值．
【课堂练习】
1.计算…． 2411241111x x x x
+++-+++224448224448111111x x x x x x =
++=+=-++-+-14x x
+=2421x x x ++0abc ≠3270a b c +-=74150a b c +-=222
222
45623a b c a b c --++111(1)(1)(2)(2)(3)a a a a a a ++++++++1(2005)(2006)
a a +++
2.若0＜x ＜1，且的值．
3.已知，且，求的值．
知识点二（分式方程）
【知识梳理】
一、分式方程
22230x xy y --=x y ≠-2x
x
y x y --
1．分式方程的概念：分母中含有未知数的方程叫做分式方程． 2．分式方程的解法：关键是去分母,即方程两边都乘以最简公分母将分式方程转化为整式方程．
3．分式方程的增根问题：增根的产生：分式方程本身隐含着分母不为0的条件，当把分式方程转化为整式方程后，方程中未知数允许取值的范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好使原方程中分母的值为0，那么就会出现不适合原方程的根---增根.
二、分式方程的应用
列分式方程解应用题与列一元一次方程解应用题类似，但要稍复杂一些．解题时应抓住“找等量关系、恰当设未知数、确定主要等量关系、用含未知数的分式或整式表示未知量”等关键环节，从而正确列出方程，并进行求解.
【例题精讲】
类型一、分式方程的解法
1.解方程．
类型二、分式方程的应用
2.某车间计划加工360个零件，由于技术上的改进，提高了工作效率，每天比原计划多加工20%，结果提前10天完成任务，求原计划每天能加工多少个零件？
【课堂练习】
1.若关于x 的方程﹣=有增根，求增根和k 的值．
263525(3)(5)(3)(5)
x x x x x =+-+++-
2.某项工程限期完成，甲队独做正好按期完成，乙队独做则要误期3天．现两队合做2天后，余下的工程再由乙队独做，也正好在限期内完成，问该工程限期是多少天？
1.b
a b a b a b a b a b a -+⨯-+÷-+22)()(的结果是（ B ） A ．b a b a +- B ．b a b a -+ C ．2)(b a b a -+ D ．1
2.若关于x 的分式方程
1322m x x x ++=--有增根，则m 的值是（ C ） A ．m =﹣1 B ．m =2
C ．m =3
D ．m =0或m =3 3.某农场挖一条480米的渠道，开工后，每天比原计划多挖20米，结果提前4天完成任务，若设原计划每天挖x 米，那么下列方程正确的是（ A ）
A ．480480420x x -=+
B ．480480204x x -=+
C ．480480420x x -=-
D ．480480204x x
-=- 4.甲、乙两人分别从两地同时出发，若相向而行，则经过ah 相遇；若同向而行，则经过bh 甲追上乙．那么甲的速度是乙的（ C ）
A ．a b b +倍
B ．b a b
+倍 C ．a b b a +-倍 D ．b a b a -+倍 5.若2212x y xy -=，且xy ＞0，则分式y
x y x -+23的值为______．1 6.a 个人b 天可做c 个零件(设每人速度一样)，则b 个人用同样速度做a 个零件所需天数是________．2
a c
7.a 为何值时，关于x 的方程223242
ax x x x +=--+会产生增根？
8.某文化用品商店用2000元购进一批学生书包，上市后发现供不应求，商店又购进第二批同样的书包，所购数量是第一批购进数量的3倍，但单价贵了4元，结果第二批用了6300元．
（1）求第一批购进书包的单价是多少元？
（2）若商店销售这两批书包时，每个售价都是120元，全部售出后，商店共盈利多少元？
分式：分母表示除数，由于除数不能为0，所以分式的分母不能为0，即当B≠0时，分式才有意义. 分式方程的增根问题：因为解分式方程可能出现增根，所以解分式方程必须验根．验根的方法是将所得的根带入到最简公分母中，看它是否为0，如果为0，即为增根，不为0，就是原方程的解.
1.（硚口区八上期末）武汉市某区的天然气管道升级工程，若由乙工程队单独完成所需天数是由甲工程队单独完成所需天数的两倍；若甲工程队单独做5天后，再由乙工程队单独做15天，恰好完成该工程的一半，共需施工费28万元，甲工程队每天的施工费用比乙工程队每天的施工费用多8.0万元，
（1）单独完成此项工程，甲、乙两工程队各需多少天？
（2）甲、乙两工程队每天的施工费各为多少万元？
A B。