二次函数的最值问题总结

二次函数的最值问题

二次函数2

(0)y ax bx c a =++≠是初中函数的主要内容，也是高中学习的重要基础．在初中阶段大家已经知道：二次函数在自变量x 取任意实数时的最值情况(当0a >时，

本节我们将在这个基础上继续学习当自变量x 在某个范围内取值时，函数的最值问题．同时还将学习二次函数的最值问题在实际生活中的简单应用．

二次函数求最值（一般范围类）

例1．当22x -≤≤时，求函数2

23y x x =--的最大值和最小值．

分析：作出函数在所给范围的及其对称轴的草图，观察图象的最高点和最低点，由此得到函数的最大值、最小值及函数取到最值时相应自变量x 的值．

解：作出函数的图象．当1x =时，min 4y =-，当2x =-时，max 5y =．

例2．当12x ≤≤时，求函数21y x x =--+的最大值和最小值．

解：作出函数的图象．当1x =时，min 1y =-，当2x =时，max 5y =-．

由上述两例可以看到，二次函数在自变量x 的给定范围内，对应的图象是抛物线上的一段．那么最高点的纵坐标即为函数的最大值，最低点的纵坐标即为函数的最小值．

根据二次函数对称轴的位置，函数在所给自变量x 的范围的图象形状各异．下面给出一些常见情况：

例3．当0x ≥时，求函数(2)y x x =--的取值范围．

解：作出函数2(2)2y x x x x =--=-在0x ≥内的图象．

可以看出：当1x =时，min 1y =-，无最大值．

所以，当0x ≥时，函数的取值范围是1y ≥-．

例4．当1t x t ≤≤+时，求函数21522

y x x =--的最小值(其中t 为常数)． 分析：由于x 所给的范围随着t 的变化而变化，所以需要比较对称轴与其范围的相对位置．

解：函数21522

y x x =--的对称轴为1x =．画出其草图． (1) 当对称轴在所给范围左侧．即1t >时： 当x t =时，2min 1522y t t =

--； (2) 当对称轴在所给范围之间．即1101t t t ≤≤+⇒≤≤时：

当1x =时，2min 1511322

y =

⨯--=-； (3) 当对称轴在所给范围右侧．即110t t +<⇒<时：

当1x t =+时，22min 151(1)(1)3222y t t t =+-+-=-．

综上所述：2213,0

23,0115,12

2t t y t t t t ⎧-<⎪⎪=-≤≤⎨⎪⎪-->⎩

在实际生活中，我们也会遇到一些与二次函数有关的问题：

二次函数求最值(经济类问题)

例1．为了扩大内需，让惠于农民，丰富农民的业余生活，鼓励送彩电下乡，国家决定对购买彩电的农户实行政府补贴．规定每购买一台彩电，政府补贴若干元，经调查某商场销售彩电台数y （台）与补贴款额x （元）之间大致满足如图①所示的一次函数关系．随着补贴款额x 的不断增大，销售量也不断增加，但每台彩电的收益Z （元）会相应降低且Z 与x 之间也大致满足如图②所示的一次函数关系．

（1）在政府未出台补贴措施前，该商场销售彩电的总收益额为多少元？

（2）在政府补贴政策实施后，分别求出该商场销售彩电台数y 和每台家电的收益Z 与政府补贴款额x 之间的函数关系式；

（3）要使该商场销售彩电的总收益w （元）最大，政府应将每台补贴款额x 定为多少？并求出总收益w 的最大值．

分析：（1）政府未出台补贴措施前，商场销售彩电台数为800台，每台彩电的收益为200元；（2）利用两个图像中提供的点的坐标求各自的解析式；（3）商场销售彩电的总收益＝商场销售彩电台数×每台家电的收益，将（2）中的关系式代入得到二次函数，再求二次函数的最大值.

解：（1）该商场销售家电的总收益为800200160000⨯=（元）；

（2）依题意可设1800y k x =+，2200Z k x =+，∴有14008001200k +=，

2200200160k +=，解得12115k k ==-，．所以800y x =+，12005

Z x =-+． （3）1(800)2005W yZ x x ⎛⎫==+-+ ⎪⎝⎭

21(100)1620005x =--+，政府应将每台补贴款额x 定为100元，总收益有最大值，其最大值为162000元．

说明：本题中有两个函数图像，在解题时要结合起来思考，不可顾此失彼.

例2．凯里市某大型酒店有包房100间，在每天晚餐营业时间，每间包房收包房费100元时，包房便可全部租出；若每间包房收费提高20元，则减少10间包房租出，若每间包房收费再提高20元，则再减少10间包房租出，以每次提高20元的这种方法变化下去.

（1）设每间包房收费提高x （元），则每间包房的收入为y 1（元），但会减少y 2间包房租出，请分别写出y 1、y 2与x 之间的函数关系式.

（2）为了投资少而利润大，每间包房提高x （元）后，设酒店老板每天晚餐包房总收入为y （元），请写出y 与x 之间的函数关系式，求出每间包房每天晚餐应提高多少元可获得最大包房费收入，并说明理由.

分析：（1）提价后每间包房的收入＝原每间包房收包房费+每间包房收包房提高费，包房减少数＝每间包房收包房提高费数量的一半；（2）酒店老板每天晚餐包房总收入＝提价后每间包房的收入×每天包房租出的数量，得到二次函数后再求y 取得最大值时x 的值.

解：（1）x y +=1001，x y 212=

； （2）)21100()100(x x y -∙+=y 11250)50(2

12+--=x ，因为提价前包房费总收入为100×100=10000，当x=50时，可获最大包房收入11250元，因为11250>10000又因为每次提价为20元，所以每间包房晚餐应提高40元或60元.

说明：本题的答案有两个，但从“投资少而利润大”的角度来看，因尽量少租出包房，所以每间包房晚餐应提高60元应该更好.

例3．某水产品养殖企业为指导该企业某种水产品的养殖和销售，对历年市场行情和水产品养殖情况进行了调查．调查发现这种水产品的每千克售价1y （元）与销售月份x （月）