第八章实验的抽样和实设计
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第八章 二阶及多阶抽样课件
n
M
i 2V
( yi)
V1
N
i1
n
E
1
N
2
i1
n2
V1
N
n
Y
i
i1
n
E
1
N
2
n i1
M
2 i
1 f2i mi
S
2 2i
n2
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15
(2)比估计:
N
Yi
Y M0
i1 N
, 可用比估计
Mi
i1
,以
M
为辅助变量：
i
n
Yˆi
YˆR M 0
i1 n
Mi
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2
性质l 对于两阶抽样，有
(1)E(ˆ)E1E2(ˆ)
(2 )V (ˆ) V 1 E 2 (ˆ) E 1 V 2 (ˆ)
式中，E2，V2为在固定初级单元时对第二阶抽样 求均值和方差；E1，V1为对第一阶抽样求均值和 方差。
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3
8.2 初级单元大小相等时的二阶抽样
9.2.1总体均值的估计量： 假定总体由N个初级单元组成，每个初级单元都含有M个次级单元。 从N个初级单元中按简单随机抽样抽取n个初级单元， 在每个被抽中的初级单元中按简单随机抽样抽取m个次级单元。
142 5[1 ( 51.8 4)2(16.15.8 4)2(1 61.8 4)2(1 31.8 4)2(1.5 31.8 4)2] 5(51)
97.6 72 65
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21
估计量的标准差为 s(Y ˆPP ) S v(Y ˆPP ) S 97.672 6 9 5.8 88 因此，小区居民数为2146人，在置信度为 95%时，估计的相对误差为
第八章工作抽样 85页PPT文档
基础工业工程
1、正态分布
正态分布是概率分布中的一种极为重要的分布，用途十 分广泛，工作抽样法处理的现象接近于正态分布曲线。以 平均数为中线的两侧取标准差的1倍、2倍、3倍时，其面 积分别为总面积的68.25%、95.45%、99.73%。
68.27%
95.45%
-3σ －2σ
99.73%
-σ
X
+σ
概念：工作抽样（Work Sampling）是指对作业 者和机器设备的工作状态进行瞬时观测，调查各种 作业活动事项的发生次数及发生率，进行工时研究， 并用统计方法推断各观测项目的时间构成及变化情 况。 工作抽样的概念例证。
基础工业工程
工作抽样的概念例证
例如，欲调查某车间设备的开动情况，经过数日随机 抽样观察120次，发现有90次处于工作状态，30次处 于停止，则可推断该车间设备开动率、停止率为：
4 326
102 857
4 114
P（％）
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78
n
绝对误差
1％
5％
400
9 996
400
9 984
399
9 964
398
9 936
397
9 900
开动 9率 010% 07% 5 停止 3率 010% 02% 5
120
120
若对该车间的4名作业者（A、B、C、D）进行秒表测 时，其工作状态如图8-1所示，可以推算出阴影部分的 面积占63.75%。若采用工作抽样法，可以选择任意时 刻对被观测对象进行观测。图8-1右侧箭头表示观测次 数是10次，同时观测了4名操作者，所以总观测次数为 10次×4=40次。将统计结果列成表格，如表8-1所示。
08-第八章_整群抽样
i = 1,2, , N ； j = 1,2,, M 。记 y ij 为样本第 i 群中第 j 的小单元（次级
单元）的指标值， i = 1,2, , n ； j = 1,2, , M ，又 f =
n 是抽样比。 N
Yi = å Yij ， y i = å y ij
j =1 j =1
M
M
分别是总体和样本中第 i 群的指标和，简称为群和。
过程完毕。 在求出了总体均值 Y 的无偏估计量 y 及其方差 V ( y ) 后，我们现在求估 计量方差的估计量 v( y ) 。 容易知道， v( y ) = 过程如下： 因为对群的抽样是简单随机的， 若将 Y i =
1- f 2 sb nM Yi 看作是单元指标值， 则Y i M
的样本方差
2 sb S2 2 2 是总体方差 b 的无偏估计，从而 sb 是 Sb 的无偏估计。也 M M
N
N
M
因为中间项等于零
N é M ù ( Y Y )( Y Y ) = ( Y Y ) (Yij - Y i )ú i i i ê åå å å ij i =1 j =1 i =1 ë j =1 û N M
= å (Y i - Y ) × 0
i =1
N
=0
所以平方和的分解式变为
åå (Yij - Y ) 2 = åå (Yij - Y i ) 2 + åå (Y i - Y ) 2
过程如下： 如果将 Z i =
1 M (Yij - Y i ) 2 作为单元的指标值，则它的样本均值 å M - 1 j =1
n M 1 n é 1 M 1 2ù 2 y y = ( ) ( yij - y i )2 = sw åê å ij i ú n( M - 1) åå n i =1 ë M - 1 j =1 i =1 j =1 û
抽样检验及实验设计(ppt 62页)
49
配對控制實驗設計
群組門比較乃是基於研究母群體在相關特 質上具有全然的相似性，如社經地位、現 有條件，或問題的範圍。
在配對研究中，其相似性乃取決於個體對 個體的基礎。
研究母群體中兩個個體其所選定的特質或 條件幾乎非常相似，而依此予以配對並分 派到不同群組中。
步驟九 以簡單隨機抽樣抽出每一層 所需的個數。
22
叢集抽樣
將抽樣母體分成若干團體，稱為“叢集”。 對每個叢集使用簡單隨機抽樣，抽出所需個數。 範例：
23
非隨機 / 非機率抽樣設計
定額抽樣(quota sampling)﹔ 偶遇抽樣(accidental sampling)﹔ 立意抽樣(judgemental or purpose sampling)﹔ 滾雪球抽樣(snowball sampling)。
混合抽樣
簡單隨機 抽樣
分層隨機 抽樣
叢集抽樣
定額抽樣
分層比例 抽樣
分層非比 例抽樣
單一階段 雙階段 多階段
偶遇抽樣
系統抽樣 立意抽樣
滾雪球抽樣
10
隨機 / 機率抽樣設計
隨機/機率樣本須符合下列兩要件：
相等：被抽取的機率相同﹔ 獨立：不受其他因素影響。
隨機/機率樣本主要的優點：
可代表抽樣的母群體﹔ 可作為機率理論統計的資料。
步驟二 決定樣本大小(n)。
步驟三 以籤筒、亂數表、或電腦程式來抽選樣本
20
分層隨機抽樣的步驟
步驟一 確認母群體中的每一個抽樣單位。 步驟二 決定母群體的分層數(K)。 步驟三 每個個體分到適當的分層中。 步驟四 將每個分層內的個體予以編號。 步驟五 決定樣本大小。 步驟六 決定使用比例或非比例分層抽樣。
配對控制實驗設計
群組門比較乃是基於研究母群體在相關特 質上具有全然的相似性，如社經地位、現 有條件，或問題的範圍。
在配對研究中，其相似性乃取決於個體對 個體的基礎。
研究母群體中兩個個體其所選定的特質或 條件幾乎非常相似，而依此予以配對並分 派到不同群組中。
步驟九 以簡單隨機抽樣抽出每一層 所需的個數。
22
叢集抽樣
將抽樣母體分成若干團體，稱為“叢集”。 對每個叢集使用簡單隨機抽樣，抽出所需個數。 範例：
23
非隨機 / 非機率抽樣設計
定額抽樣(quota sampling)﹔ 偶遇抽樣(accidental sampling)﹔ 立意抽樣(judgemental or purpose sampling)﹔ 滾雪球抽樣(snowball sampling)。
混合抽樣
簡單隨機 抽樣
分層隨機 抽樣
叢集抽樣
定額抽樣
分層比例 抽樣
分層非比 例抽樣
單一階段 雙階段 多階段
偶遇抽樣
系統抽樣 立意抽樣
滾雪球抽樣
10
隨機 / 機率抽樣設計
隨機/機率樣本須符合下列兩要件：
相等：被抽取的機率相同﹔ 獨立：不受其他因素影響。
隨機/機率樣本主要的優點：
可代表抽樣的母群體﹔ 可作為機率理論統計的資料。
步驟二 決定樣本大小(n)。
步驟三 以籤筒、亂數表、或電腦程式來抽選樣本
20
分層隨機抽樣的步驟
步驟一 確認母群體中的每一個抽樣單位。 步驟二 決定母群體的分層數(K)。 步驟三 每個個體分到適當的分層中。 步驟四 將每個分層內的個體予以編號。 步驟五 決定樣本大小。 步驟六 決定使用比例或非比例分層抽樣。
08整群抽样
8.3群大小不等的整群抽样
一、记号
M i 表示群的大小，M 0 M i为总体中小单元的总数。
i 1 N
群和： 第i群的 平均数： 平均
Yi Yij
j 1
Mi
yi yij
j 1
Mi
Yi Yi Mi
yi yi Mi 1 n y yi n i 1
ij
1 Y N 群和： 按小 单元 的均值： Y
估计量 1 ˆ Y Ny N yi n i 1 估计量的理论方差
2 1 N 2 1 f ˆ) N V (Y Yi Y n N 1 i 1 n
估计量的方差估计 ˆ ) N 1 f 1 y y 2 v(Y i n n 1 i 1
n 2
1 f 1 n 2 v (Y ) N yi y 2 nM 0 n 1 i 1
群内方差 群间方差
1 N S M Yi Y N 1 i 1
2 b
2
故 则
2 N ( M 1) S w ( N 1) Sb2 S2 , 若 NM 1 NM , N 1 N , NM 1 2 ( M 1) S w Sb2 2 S M
三、设计效应
2
为对这两个方差作比较，需对( NM 1) S 2作分解：
三、设计效应
Y
N M i 1 j 1
ij
Y
2 w
2
Yij Yi M Yi Y
N M 2 N i 1 j 1 i 1
2
记
N M 2 1 S yij Yi N ( M 1) i 1 j 1
统计学第八章 抽样推断
②
和P的使用及使用条件
（1）σ2取最大值；（2）P取接近于0.5的值
（3）可以用样本 s或2 代p替；（4）可以用估计值或实验值代替。
计算例题：
在10000只电池中，随机抽检1%的产品进行检查，检查结果如下：
电流强度 （安培） 4－4.5 4.5－5 5－5.5 5.5－6 6－6.5 6.5－7
2
f
P 2N 0 1 P 2 N1
f
N
P2N0 1 P2 N1 P2Q 1 P2 P
N
N
P2Q Q2P PQP Q PQ P1 P
例（1）：已知某产品的合格率为95%，则其标准差为：
0.951 0.95 21.79%.
2、样本指标（统计量）
根据样本总体各单位的数量标志值或属性计算所得的指 标，称为样本指标。样本指标通常包括：
统计指标 抽样平均数 抽样成数 抽样平均数的标准差 抽样成数的标准差 抽样平均数的方差
抽样成数的方差
未分组资料
x x n
p n1 n
sx
xx 2
n
分组资料
x xf f
sx
x
2
x
f
f
sP p(1p)
s2
2
xx
x
n
sP2 p(1 p)
s2
2
xx f
x
f
四、抽样方法（P151）
（二）抽样极限误差的意义
（三）抽样极限误差的计算
平均数的抽样极限误差
Δx
t
μ x
成数的抽样极限误差
Δp
t
μ p
正态分布图示
68.27%
95.45%
99.73%
第八章 抽样调查与推断
第8章抽样调查与推断【教学内容】本章主要阐述:抽样调查的概念、特点、作用和几个基本概念;影响抽样误差的主要因素;抽样调查几种主要组织方式及其抽样平均误差的计算;抽样估计推断;点估计和区间估计;必要抽样数目的确定。
【教学目标】1、理解抽样误差的影响因素；2、掌握抽样调查的概念、特点和作用；3、掌握抽样平均误差的计算方法、抽样估计推断和必要抽样数目的确定原理及方法；4、初步具备在实际工作中正确运用抽样方法搜集资料并据以做出准确推断的能力。
【教学重点、难点】1、抽样调查的特点和作用；2、抽样调查的组织方式和方法；3、抽样误差的概念与计算；4、抽样推断方法；5、必要抽样数目的确定方法。
第一节抽样调查的一般问题一、抽样调查的概念、特点与作用（一）抽样调查的概念与特点概念：抽样调查又称抽样推断或抽样估计,它是从总体中按随机原则抽取一部分单位进行观测,并根据这部分单位的资料推断总体数量特征的一种方法。
特点:(1)按随机原则抽取调查单位。
(2)由部分推断全体。
(3)抽样误差可以事先计算并加以控制。
（二）抽样调查的作用1、用于不可能进行全面调查的无限总体。
2、用于不可能进行全面调查而又需要了解全面情况的现象。
3、用于不必要进行全面调查的现象。
4、用于对全面调查的资料进行评价与修正。
5、用于工业生产过程的质量控制。
二、抽样调查中的几个基本概念（一）全及总体和抽样总体1.全及总体全及总体简称总体或母体,它是指所要调查研究对象的全体。
2.抽样总体抽样总体也称样本或子样,它是指在全及总体中按随机原则抽取的那部分单位所构成的集合体。
（二）总体指标和样本指标1.总体指标总体指标也称为母体参数或全及指标,它是根据全及总体各单位的标志值或标志特征计算的,反映总体某种属性的综合指标。
2.样本指标样本指标也称样本统计量或抽样指标,它是根据抽样总体各单位的标志值或标志特征计算的综合指标。
三、抽样调查的组织方式（一）简单随机抽样概念：简单随机抽样也叫纯随机抽样,它对总体单位不作任何分类排序(队),而是直接从总体中随机抽取一部分单位来组成样本的抽样组织方式。
《概率统计简明教程》第二版(第8章-统计量与抽样分布)统计与统计学、统计量、抽样分布
《概率统计简明教程》第二版
第八章 统计量与抽样分布
三、什么是统计学
◆短期的机遇变异
重复投掷一枚均匀硬币六次，观察每次出现的面： （1）正反正反反正 （2）反反反正正正 （3）正反反反反反
直觉认为结果（1）是随机的，结果（2）和结果 （3）很不随机。 从概率的观点认为结果（1）、（2）、（3）的发 生有相同的概率，因而没有哪一个结果比其他结果更多 一点或少一点随机性。
《概率统计简明教程》第二版
第八章 统计量与抽样分布
◆变异性(Variablity)
统计数据和统计资料具有变异性， 即个体之间有 差异，而对同一个体的多次观察，其结果也会不一样， 并且几乎每一次观察都随着时间的不同而改变，因而变 异性是一个重要的统计观念。 抽样结果的差异是变异性的主要表现 不能仅仅根据一次抽样的结果就断下结论！
《概率统计简明教程》第二版
第八章 统计量与抽样分布
二、总体和样本
1.总体
我们关心的是总体中的个体的某项指标(如人的身高、 灯泡的寿命, 汽车的耗油量…) .
由于每个个体的出现是随机的，所以相应的数量指标 的出现也带有随机性 . 从而可以把这种数量指标看作一 个随机变量X ，因此随机变量X的分布就是该数量指标在 总体中的分布.
《概率统计简明教程》第二版
第八章 统计量与抽样分布
三、什么是统计学
◆长期的规律性
在某地的彩票活动中，七年中有人累计中两次大 奖的机会是： 一半对一半
人们的潜意识常常与理性思考的结果有很大差别， 如不善于统计思考，即使面对十分平常的现象，也会闹 出笑话。
《概率统计简明教程》第二版
第八章 统计量与抽样分布
第八章 统计量与抽样分布
二、总体和样本
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数理统计在化学中的应用
李 振 华 制 造
抽样的问题既有采样的技术性问题；也有数 理统计学的方法学的问题。后者是采样理论 的核心问题。
数理统计在化学中的应用
李 振 华 制 造
一、正确的采样是分析测试的第一步
从分析采样的技术来考虑：这里有着采集、储存、 制备的过程。 1. 气体的采样 气体的性质受温度、压力的影响，因密度不一 样会产生分层现象，难以储存、运输，这些都 表明气休样品采集后应该马上进行分析． 气体样品可以通过抽吸、液体置换或扩散到真 空接受器中吸取．气体采样装置一般是由玻璃 制成，并带有适宜的旋塞，应采用不需涂油就 能保证气体密封的金属旋塞．
数理统计在化学中的应用
李 振 华 制 造
例如，含硼的水样必须放于钠玻璃容器中而不是硼 硅玻璃容器中运输． 强碱性样品一定不能贮存干玻璃容器中．测定痕量 元素的样品必须贮存于塑料容器中。 样品中的有些成分仅只能化学固定后才能贮存，例 如转变成更稳定的状态．比如．水样中的硫化氢要 与镉、锌或铜盐形成沉淀而固定，氧要与锰（Ⅱ） 盐沉淀而固定，氢氰酸要加入氢氧化钠而固定．
数理统计在化学中的应用
数理统计在化学中的应用
李 振 华 制 造
气体采样泵，采样箱
数理统计在化学中的应用
李 振 华 制 造
困难的是大气空气的采样，许多因素，如风、沉降 、对流、人类活动产生的污染等等，会改变大气的 组成，尤其是微量组分。 因为大气的组成是连续 变化的，采集一个具有整体代表性的样品是无意义 的，也是不可能的。唯一有用的办法是分析短时间 内多点采集的多个样品． 直接采样法：注射器采样；塑料袋采样；采气 管采样；真空瓶采样； 富集(浓缩)采样法：溶液吸收法；填充柱阻留 法(固体阻留法)；低温冷凝法等等
数理统计在化学中的应用
李 振 华 制 造
二.样品的装运与保存
运送到实验室进行分析的样品，应遵循下述规则： 保证样品的完整性与可鉴性． 根据样品的性质与密度，可以将其装人不透气的金 属、玻璃或塑料容器、塑料包或蜡纸包．在处理、 运输、贮存时，防止样品被污染是十分重要的．一 些样品暴露于潮湿、二氧化碳或氧气中，其组成可 能要发生变化．一些样品在光照下或温度变化时， 有可能被分解．为了避免这些情况发生，根据样品 的性质（挥发性、腐蚀性、溶解作用）和所要测定 的组分，有必要对容器进行选择．
李 振 华 制 造
数理统计在化学中的应用
Hale Waihona Puke 采集大量的样品，则应由物料中各部分所得的样品 组合而成．运输的样品可在装货、卸货时进行采样 ． 运动中的物料（在运输带上）的主要采样方法包 括用人工或机械从物料中的某一部分取得样品，这 可以沿着直线的或交叉的方向，连续地成等时间间 隔地进行．各部分采的样品混合就可以得到一个代 表性样品． 工厂的生产过程控制，根据工艺条件和分析目的， 可以从流线上的任何点进行，如流程是闭合回路控 制的，则一定要尽可能在流程或反应器附近采样， 分析仪器要紧靠采样点．
第八章 实验的抽样和实验设计
数理统计在化学中的应用
8-1实验的抽样
抽样（又叫采样）是人们对客观世界的认识，生 活的体验，真理的追求乃至科学实验、社会调查中常 用的一种方法，其目的就是要通过局部来了解总体。 特别是那些工作量大而没有条件进行全部调查、 分析、试验的，或者数据的测定是破坏性的试验，此 时要想对被研究物质进行整体研究是不可能的，而只 能采取抽样来进行。
李 振 华 制 造
数理统计在化学中的应用
3．固体的采样 与气体和液体物质不同，固体物质还受颗粒大 小的影响．大多数固体物质是由不同大小的颗 粒组成，明显不均．另外，也许感兴趣的物种 仅存在于某一形式的颗粒中（细的、粗的或离 散的纯颗粒）或分散于整个物料之中．各种颗 粒、团粒、块团，其形式也是不尽相同的．所 以这些因素就使得代表性固体物质的采样十分 困难。
数理统计在化学中的应用
李 振 华 制 造
如果目标是测定液体中气体的含量，采样要特别谨 慎．例如，测定水样中的氧，一定要小心处理不能 让其暴露于大气中．
腐蚀性液体采样器
美国 Lighthouse LS-60液体采 样仪
数理统计在化学中的应用
李 振 华 制 造
另一个重要的问题是大流量的流动水源和固定水源（湖泊 、海洋）水样的采样与分析．流动水的化学组成随沉淀、 温度、流速、离水源的距离、深度、污染、水源等因素的 不同而变化．同样，湖泊、海洋中水的组成也是因深度、 温度、水体流出与流人、污染的不同而变化．例如，水中 自由氧的含量随气温、季节、地理位置（山区或平原）、 深度等的不同而不同．不同深度的采样，用一个特殊的装 置，当到达某一深度时，装置就能打开关闭，这类装置称 之为水深测量器．由于影响的因素太多，从大量水体中是 不可能采集到代表样品的．大量的信息也许只能通过大量 的分析试样获取。
数理统计在化学中的应用
李 振 华 制 造
大气中有害物质的含量非常小，如果吸取的样品体积较小 ，那么就存在着这样一个危险，被测物质的量在最灵敏方 法的检测限之下．因此，要用一个流量计采集较大体积的 空气，采样装置中应配有能阻挡固体颗粒的过滤器，能阻 挡烟雾的薄膜，能吸收各种气体组分的溶液。
甲醛苯氨气体采样器CD-3
数理统计在化学中的应用
OdaLog 硫化氢气体记录仪
李 振 华 制 造
2．液体的采样 液体的采样方法有流动法、吸移法和虹吸法 如果液体因不相溶或密度不同而分层，在采样 前应摇动使之均匀． 具有不混溶而分层的液体应从各分层中吸取与 层厚度成一定比例的体积，对各层样品分别进 行分析，或者将它们重新混合配成一个具有代 表性的样品．
数理统计在化学中的应用
李 振 华 制 造
当液体含有悬浮颗粒时，建议通过搅拌和加热使之 溶解．如果溶解不了，将悬浮物过滤，对两相分别 进行分析． 含有不同挥发性组分的液体采集于并排连接的两个 容器中． 液体经过一个带有旋塞试管流入到第一 个容器的底部，容器装满后，液体溢出进入第二个 容器的底部．液体继续流动直至第一个容器中确证 是代表性样品．