数据包络分析简介
数据包络分析
数据包络分析数据包络分析（Data Envelopment Analysis，简称DEA）是一种优化技术，用于评估各种类型的组织或单位的相对效率。
它是在20世纪70年代初由Farrell提出的，经过多年的发展和应用，已成为管理科学和运筹学领域中的重要工具。
本文将介绍数据包络分析的基本原理、应用领域和未来发展趋势。
数据包络分析的基本原理是利用线性规划的方法，通过构建一个数学模型来评估各个单位的相对效率。
在这个模型中，每个单位被表示为一组输入和输出变量的向量。
输入变量是用于生产或运营的资源，如资金、人力、设备等；输出变量是单位创造的产品或提供的服务。
通过比较各个单位的输入和输出，可以计算出它们的效率水平。
数据包络分析的核心概念是效率前沿，即在给定的输入条件下，单位可以实现的最大输出。
如果一个单位的效率达到了前沿线上的一个点，那么它就被认为是100%的效率；如果一个单位的效率低于前沿线，那么它就被认为是相对低效的。
通过比较各个单位的效率，可以找到效率较高的单位，并为其他单位提供改进的方向。
数据包络分析的应用非常广泛。
首先，它在生产效率评估方面发挥重要作用。
如工业生产中，可以通过数据包络分析来确定哪些工厂的生产效率较高，哪些工厂需要改进。
其次，数据包络分析还可以用于评估医院、学校、银行等服务行业的效率。
通过比较各个单位的效率，可以为决策者提供改进管理和资源配置的建议。
此外，数据包络分析还可以用于评估环境效率，即单位实现一定产出时所消耗的资源是否最小化。
未来，数据包络分析在以下几个方面有望得到进一步发展。
首先，随着大数据和人工智能技术的快速发展，数据包络分析有望应用于更多领域。
例如，在金融行业中，可以利用大数据分析技术，结合数据包络分析方法，对公司的风险管理和绩效评估进行更精准的评估。
其次，数据包络分析的方法也在不断演化和改进。
研究人员正在探索如何考虑不确定性因素和松弛约束等问题，以提高模型的准确性和实用性。
数据包络分析法概述
数据包络分析法概述数据包络分析法（Data Envelopment Analysis, DEA）是一种评价相对效率的方法，可以对多个输入与输出指标进行综合评估，通常用于评估单位、企业或组织的效率水平。
DEA被广泛应用于经济学、管理学、行政学、工程管理等多个领域。
DEA最早由Cooper、Seiford和Tone于1978年提出，旨在评估多个决策单元的效率水平，即根据输入与输出的关系，评估每个决策单元的相对效率水平。
其核心思想是寻找一种有效的方式，将一个Efficiency Score（相对效率评分）赋予每个决策单元。
在数据包络分析中，输入和输出指标是关键要素。
输入指标是指用于在决策过程中消耗的资源，而输出指标是指预期的产出或结果。
一般来说，输入越小，输出越大，效率就越高。
DEA的基本步骤如下：1.确定输入和输出指标：首先，需要明确评估对象和评估的不同方面。
然后，根据评估目的和数据可用性，选择适当的输入和输出指标，并确保它们能够真实、准确地反映决策单元的效能。
2. 构建评估模型：根据选择的输入和输出指标，建立数据包络模型。
最常见的模型是CCR模型（Charnes-Cooper-Rhodes model）和BCC模型（Banker-Charnes-Cooper model），它们都使用线性规划的方法来测量相对效率。
3.优化决策单元的效率得分：通过求解线性规划的问题，确定每个决策单元的效率得分。
这个得分表明相对于其他决策单元，一个决策单元在给定的输入与输出下的效率水平。
4.空间解释和内部效率分析：通过解释得分和计算效率间隔，可以评估决策单元与最有效率单元之间的差距。
这可以帮助分析员确定决策单元的潜力和优化方向。
5.敏感性分析和改进建议：DEA方法提供了适应性较强的结果，可以在受到噪声和误差的影响下进行灵活的判断。
敏感性分析可以测试结果对参数变化的敏感性，并提供改进建议。
DEA的优势在于可以综合考虑多个输入输出之间的关系，并且不需要关于效用函数或生产函数的任何假设。
数据包络分析
数据包络分析在当今复杂多变的经济和管理领域中，我们常常需要评估各种决策单元（Decision Making Unit，简称 DMU）的效率和绩效。
数据包络分析（Data Envelopment Analysis，简称 DEA）就是一种强大而实用的工具，它为我们提供了一种科学、客观且有效的方法来进行这样的评估。
那么，什么是数据包络分析呢？简单来说，它是一种基于线性规划的方法，用于衡量一组具有相同类型输入和输出的决策单元的相对效率。
想象一下，有多个工厂都在生产同一种产品，它们使用不同数量的原材料、劳动力和设备等投入，同时产出不同数量的产品。
我们想知道哪个工厂的生产效率更高，这时候数据包络分析就派上用场了。
数据包络分析的基本思想是通过构建一个生产前沿面，来确定每个决策单元与这个前沿面的相对位置。
生产前沿面代表了在给定的输入条件下，能够实现的最大输出水平。
如果一个决策单元位于前沿面上，那么它被认为是有效的；如果在前沿面下方，那么它就是低效的。
为了更好地理解数据包络分析，让我们来看一个具体的例子。
假设有三个学校，它们都有相同的教学资源投入，比如教师数量、教学设备和教学时间等，而产出则是学生的考试成绩。
我们可以使用数据包络分析来评估这三个学校的教学效率。
通过分析输入和输出的数据，计算出每个学校相对于其他学校的效率得分。
如果学校 A 的效率得分是 1，说明它位于生产前沿面上，教学效率达到了最优；而如果学校 B 的效率得分是 08，那就意味着它还有 20%的提升空间。
数据包络分析具有许多优点。
首先，它不需要事先设定生产函数的具体形式，避免了因函数形式设定错误而导致的偏差。
其次，它能够同时处理多个输入和多个输出变量，非常适合评估具有复杂生产过程的决策单元。
此外，数据包络分析还可以对无效的决策单元进行投影分析，指出它们需要改进的方向和程度。
然而，数据包络分析也并非完美无缺。
它对数据的准确性和可靠性要求较高，如果数据存在误差或偏差，可能会影响评估结果的准确性。
数据包络分析
数据包络分析数据包络分析（Data Envelopment Analysis，简称DEA）是一种以线性规划为基础的效率评价方法，用于评估决策单元的相对效率。
它是由Charnes、Cooper和Rhodes于1978年首次提出，并逐渐发展成为管理科学领域中重要的工具和方法。
数据包络分析的基本原理是通过构建数学模型，通过比较决策单元投入与产出之间的差异，计算出每个决策单元的效率得分。
这些决策单元可以是企业、组织、部门或个人等。
通过这种方法，可以找出相对效率较高的决策单元，并为效率较低的决策单元提供改进的方向。
数据包络分析的优势在于可以同时考虑多个输入和输出指标，而不需要事先确定权重。
它能够根据现有数据自动计算决策单元的效率得分，并对其进行排名。
此外，数据包络分析还能够帮助发现潜在的改进空间，并对目标设定提供参考。
数据包络分析的主要应用领域包括生产效率评价、性能评估、资源配置和效率提升等。
在生产效率评价方面，数据包络分析可帮助企业评估和优化生产过程，提高资源利用率和生产效率。
在性能评估方面，此方法可以用于评估学校、医院、银行等组织的绩效，并为其提供改进建议。
在资源配置方面，数据包络分析可以帮助管理者合理分配资源，并提供最佳决策支持。
在效率提升方面，数据包络分析可通过分析不同决策单元之间的差异，找出效率最高的决策单元，并借鉴其经营管理模式。
虽然数据包络分析在实践中有着广泛的应用，但其方法也存在一些局限性。
首先，数据包络分析对数据的质量要求较高，需要准确和完备的数据才能得出可靠的结果。
其次，数据包络分析假设每个决策单元在同一时期内具有相同的技术效率，忽略了随时间变化的因素。
此外，数据包络分析方法对异常值较为敏感，可能会产生误导性的结果。
总的来说，数据包络分析是一种有效的评估方法，适用于各种决策单元效率评价和资源配置问题。
在实际应用中，需要结合具体情况，灵活运用数据包络分析方法，并注意其局限性，以获得准确的结果和有效的决策支持。
数据包络分析概述
数据包络分析概述数据包络分析（Data Envelopment Analysis，DEA）是一种运筹学工具，用于评估相对效率和效果的方法。
它是由美国科学家Charnes、Cooper和Rhodes在20世纪70年代初期提出的，被广泛应用于评估不同单位（如企业、组织、机构等）的绩效。
数据包络分析的核心思想是利用线性规划方法，将输入和输出数据转化为数学模型，通过计算得出各个单位的相对效率。
相对效率是单位输出与输入的比值，表示单位在给定的输入资源下所能获得的最大产出。
相对效率值越高，表示单位的绩效越好。
相对于传统的相对比较法，数据包络分析的优点主要有以下几点：1.能够充分利用多个指标进行评估。
数据包络分析可以同时考虑多个输入和输出指标，通过最大化单位产出与输入的比值，综合评估单位在不同方面的绩效。
2.不依赖于具体的单位尺度。
数据包络分析通过相对效率的计算，能够比较不同规模的单位之间的绩效差异，不受单位规模的限制。
3.客观公正，不需要主观判断。
相对于主观评估方法，数据包络分析是一种客观的评估方法，不会受到个人偏好或主观判断的影响。
4.可以进行有效的优化分析。
数据包络分析不仅能够计算单位的相对效率，还可以通过优化模型找出资源利用率最高的单位，为绩效改进提供依据。
然而，数据包络分析也存在一些限制和挑战。
首先，数据包络分析的计算结果高度依赖于输入和输出指标的选取。
不同的指标选择可能导致不同的结果。
其次，数据包络分析假设各个单位的生产技术相同，忽略了技术差异的影响。
最后，数据包络分析对于数据的准确性和完整性要求较高，如果数据质量不佳或缺失，可能会影响评估结果的准确性。
综上所述，数据包络分析是一种用于评估相对效率和效果的方法。
它通过构建评估模型，计算单位的相对效率，并通过优化模型进行进一步分析。
数据包络分析在实际应用中具有广泛的应用领域，可以帮助决策者了解单位的现状和潜力，提供改进绩效的战略建议。
然而，数据包络分析也有一些限制和挑战，需要慎重使用和解释评估结果。
数据包络分析
各储蓄所完成10000笔存取款的投入
储蓄所
B1
B2
B3
B4
职员数
6
3
10
7
营业面积
100
120
50
70
营业 面积
120
90
60 30
• B2
B1 D ••
B4 •
• B3
由虚线和B2B4B3 折线右上方所有 点组成的集合为 生产可行集。
由虚线和B2B4B3 形成的数据包络 线称为生产前沿 面
职员数
s
u r yrj
hj
r 1 m
( j 1, , n)
vi xij
i 1
---公式1
有h j 1, 则对第j0个决策单元的
绩效评价可归结为如下优化模型：
s
u r yrj0
maxh j0
r 1 m
vi xij0
i 1
s
ur yrj
r1 1( j 1,, n)
m
vi xij
i1
vi 0(i 1,, m),ur 0(r 1,,s)
2、投入导向模式可变规模 1个产出1个投入
vrste：纯技术效率 scale：规模效率
(drs：规模报酬递减； -：规模报酬不变； irs：规模报酬递增)
crste=vrste×scale
技术效率，也叫综合效率
如果样本单元的纯技术效率（vrste）为1，而规模 效率（scale）小于1时，说明样本单元本身的综合 效率没有投入需要减少、没有产出需要增加；
规模有效 设某一单输入、单输出的生产函数曲线 Y=f(x)具有下图所示的形状
生产函数曲线上的点均为技术有 效，但它们的规模收益却不同。
数据包络分析
数据包络分析（Data Envelopment Analysis，DEA）是一种用于评估相对效率的非参数方法。
该方法始于20世纪70年代，用于评估企业的生产效率。
随着时间的推移，被广泛应用于评估医院、学校、政府机构等公共部门，以及评估金融机构、创新企业等私营部门的效率。
一、的基本概念的核心思想是将输入与输出联系在一起，能够充分利用所收集到的数据，对各个参与单位进行比较。
经过分析，将输入输出联系起来，每一个决策单位被认为是一个“生产者”。
生产者产生的输出需要经过投入才能得到，即生产者的资源消耗是需要考虑进来的。
在中，每个已知数据的生产者都可以转化成一个点，这个点的位置表示了该生产者的净产出值。
而净产出值是由生产者的输入和输出变量决定的。
二、的应用的应用非常广泛。
在工业、运输、金融、政府等各个领域中都有广泛应用。
这种方法不仅可以评估企业、学校等结构性过程的效率，还可以对某些复杂问题进行分析。
在有些领域，如政府设施的安全、治安状况、资源利用率、劳动力生产力等，也可以为我们提供支持。
的优点之一是可以通过多种不同的方式来计算效率。
这些方法包括基于相对效率、绝对效率、变量选取和前沿选择等因素的计算，可以根据不同情况选择最适合的方法来确定效率。
三、的局限性在一些应用领域中具有显著的局限性。
首先，它不能识别负效率，也就是说在理论上有可能出现负效率的情况。
其次，是基于成本或价格来确定产品或服务价值的，而在某些情况下，这种评价有可能被低估或高估了。
此外，也不能完全确定因素，因此它在比较不同部门或领域的总体效率方面还存在问题。
四、总体结论总的来说，作为一种非常实用的评估方法，被广泛用于各行各业的效率评估和分析。
它在分析过程中，考虑了产品或服务的成本和价格，考虑了输入与输出的关联性，能够充分利用所收集到的数据，有效地评估不同部门或机构的绩效。
然而，它还存在一些限制，需要在应用时进行相应的修正和调整。
数据包络分析概述
数据包络分析概述数据包络分析是线性规划模型的应用之一，常被用来衡量拥有相同目标的运营单位的相对效率。
数据包络分析是一种基于线性规划的用于评价同类型组织（或项目）工作绩效相对有效性的特殊工具手段。
这类组织例如学校、医院、银行的分支机构、超市的各个营业部等，各自具有相同（或相近）的投入和相同的产出。
衡量这类组织之间的绩效高低，通常采用投入产出比这个指标，当各自的投入产出均可折算成同一单位计量时，容易计算出各自的投入产出比并按其大小进行绩效排序。
但当被衡量的同类型组织有多项投入和多项产出，且不能折算成统一单位时，就无法算出投入产出比的数值。
例如，大部分机构的运营单位有多种投入要素，如员工规模、工资数目、运作时间和广告投入，同时也有多种产出要素，如利润、市场份额和成长率。
在这些情况下，很难让经理或董事会知道，当输入量转换为输出量时，哪个运营单位效率高，哪个单位效率低。
因而，需采用一种全新的方法进行绩效比较。
这种方法就是二十世纪七十年代末产生的数据包络分析（DEA）。
DEA方法处理多输入，特别是多输出的问题的能力是具有绝对优势的。
数据包络分析（DEA）源起1978年，著名运筹学家、美国德克萨斯大学教授A.Charnes及W.W.Cooper和E.Rhodes发表了一篇重要论文：“Measuring the efficiency of decision making units”（决策单元的有效性度量），刊登在权威的“欧洲运筹学杂志”上。
正式提出了运筹学的一个新领域：数据包络分析，其模型简称C2R 模型。
该模型用以评价部门间的相对有效性（因此被称为DEA有效）。
数据包络分析应用现状DEA的优点吸引了众多的应用者，应用范围已扩展到美国军用飞机的飞行、基地维修与保养，以及陆军征兵、城市、银行等方面．目前，这一方法应用的领域正在不断地扩大。
它也可以用来研究多种方案之间的相对有效性（例如投资项目评价）；研究在做决策之前去预测一旦做出决策后它的相对效果如何（例如建立新厂后，新厂相对于已有的一些工厂是否为有效)。
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DMU 可以是一个企业、公司、等盈利性单位，也 可以是象学校、科研部门等非盈利性部门。
基本概念
同类型决策单元
➢ 他们有相同的目标和任务； ➢ 他们有相同或相似的外部环境； ➢ 他们有相同的输入或输出指标。
有效性
所谓有效性就是以最低的投入得到指定的产出或是以一定 的投入获得最大产出的能力。
Pareto有效性 称一个决策单元为Pareto有效的，如果在不增加任
或单元在一定可能的范围内，通过一定数量的生产 要素并生产出一定量的“产品”的生产过程。虽然 这种活动的具体内容各不相同，但是其目的都是尽 可能地使这一活动取得最大的“效益”。由于从投 入到产出需要经过一系列决策才能实现，或者说由 于产出是决策的结果，所以这样的人或单元就称为 决策单元(Decision Making Units, DMU)。
s
x0
n
y j j s y0
j1
n
j 1, j 0, j 1, 2,L , n, E1
j1
模型扩展
▪综合模型
▪逆DEA模型
▪加法模型和Log型模型 ▪模糊模型
▪锥比率模型
▪具有独立子系统的模型
▪具有无穷多个DMU的模型 ▪拟凸和可凸化模型
▪机会约束模型
▪具有非期望输出的模型
数据包络分析(Data Envelopment Analysis)简称 DEA是运筹学、管理科学和数理经济学交叉研究的 一个新领域。它是著名的运筹学家A.Charnes 和 W.W.Cooper等学者于1978年在“相对效率评价” 概念基础上发展起来的一种新的系统分析的方法， 它是应用数学规划模型将经济学家Ferrell于1957年 对于单输入单输出的有效性度量方法推广到多输入 多输出的情形。
s.t.
(
D C
2
R
)
j 1 n
xjj
s
x0
y j j s y0
j 1
（4）
j 0, j 1, 2,L , n, E1 , s , s 0
CCR的生产可能集是多面凸锥
T
(x, y) x
n
jx j,y
j1
n
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j1
0, j 1,2,
, n
CCGSS模型的生产可能集是多面凸集
t 1 , vT x0
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n
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j 0, j 1, 2,L , n, E1
（3）
max
n
出
投入2
投影区域
图1
投入1
，
， .
第一个DEA模型——CCR模型
A.Charnes, W.W.Cooper, E.Rhodes 1978
max
uT vT
y0 x0
s.t.
u v
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1，j 1,2,
n，
（1）
u 0, v 0,u 0, v 0
x j (x1j , x2 j , , xmj )T y j ( y1j , y2 j , , ysj )T j 1,2, , n
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（6）
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j1
n
j 1, j 0, j 1,2, , n, E1
j1
（8）
max
n
s.t.
xjj
j 1
▪动态模型
▪赋予加法权重的模型
应用领域
▪运筹学的某些领域 ▪相对效率与效益评价 ▪产品质量评估 ▪管理决策分析 ▪宏观经济发展评价 ▪不同产业发展评价
▪环保问题评价 ▪经济系统建模及参数估计 ▪成本收益和利润分析 ▪预测和预警 ▪系统分类 ▪控制
DEA的主要优点
DEA根据一组关于输入输出的观察值来估计有 效生产前沿面，进行相对有效性评价，位于生 产前沿面上的点都是相对有效的DMU。
DEA是用数学规划模型来评价具有多个输入，特 别是多个输出的 同类型“部门”或“单位”称为 决策单元（decision making units DMUs for short）的相对有效性(DEA有效)的，它是一种非 参数的统计估计方法。
相对效率概念为基础 数学规划为工具 优化为主要方法
决策单元 一个经济系统或一个生产过程可以看成是一个人
T
(x, y) x
n
jx j,y
j1
n
jyj,
j1
n
j
j1
1, j
0, j 1,2,
,
n
输入输出数据
DMU
1
2
3
输入
1
3
4
输出
2
3
1
max
u
T y0 vT x0
V4
s.t. vT x j uT y j 0,
பைடு நூலகம்v 0, u 0
j 1,2, , n
（5）
T (x, y) 产出y Es能用投入x Em生产出来
为所有可能的生产活动构成的生产可能集。
定义2 设 (x, y) T ， 如果不存在(x, y ' ) T ，
且 y y ' ，则称 为有效的生产活动。即同样的
投入不能生产出更多的产出，则称该生产活动为有 效的。
定义3 对生产可能集T，所有的有效生产活动 (x, y) 构成的 Rms 空间中的超曲面 y f (x) 称为生产 前沿面。
表1
DMUj 1 2
投 19 1
入1
投 10 1
入2
产 120 8
出
34567 1 2 10 5 8 6 15 17 1 1 24 40 120 20 24
表2
1234567
投 19 15 5
入1
6 10 30 40
投 10 15 30 45 17 6 5
入2
产 120 120 120 120 120 120 120
DEA可以方便处理多投入特别是多产出问题 应用DEA估计生产函数时不需要预先给定生产
函数的形式或者作出某种假设 应用DEA不需要预先给定指标权重 从投入产出的角度考虑问题（与AHP不同）
主要缺点
对数据的敏感性 得到的是相对效率
何一种投入并不减少任何一种产出的条件下，不可 以增加任何一种产出；或者在不减少任何一种产出 并且不增加任何投入的条件下，任何投入量都不能
减少，则称该DMU为Pareto有效的。
生产可能集 设某个决策单元在一项经济或生产活动中的输入
向量为x ，输出向量为y ，于是我们可以简单地用 (x,y)来表示这个决策单元的整个生产活动。 定义1 称集
应用数据包络分析方法对决策单元进行分析和评价， 本质上就是分析哪些决策单元是有效的，即位于生 产前沿面上。哪些决策单元是非有效的，即不在生 产前沿面上，非有效的原因是什么？
举例
设有七个生产任务相同的工厂（学校，医院等）， 每个厂由两种投入，一种产出，各自的投入产出 情况如表1所示：现在提一个问题，如何对这七 个厂的经营和管理状况进行合理评价？