PPT课件-几何概型
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《高二数学几何概型》课件
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进阶习题
进阶习题1
一个半径为10cm的圆，随机选择一个面积 为4π cm²的扇形，求扇形弧长大于圆周长 1/4的概率。
进阶习题2
一个边长为10cm的正六边形，随机选择一 个面积为30cm²的子多边形，求子多边形完 全位于正六边形的内部的概率。
答案解析
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基础习题答案解析
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04
常见题型解析
长度型几何概型题型解析
总结词
涉及线段的长度比较，通过比例关系求解概率。
详细描述
这类题目通常给定两个线段或点的长度，要求比较它们的长度或计算某线段长度所占的 比例，从而得出概率。解题时需要仔细分析长度之间的关系，利用比例关系进行计算。
面积型几何概型题型解析
总结词
涉及面积的比较，通过面积比例关系 求解概率。
几何概型
每个基本事件的发生都具有等可 能性，但试验的所有可能结果通 常是无限多个，且对应于一个可 度量的几何区域。
02
几何概型的概率计算公式
公式推导
几何概型的概率计算公式是基于面积和体积的等可能性和对 称性推导出来的。
通过将试验的全部结果所构成的区域长度、面积或体积分别 除以满足条件的结果构成的区域长度、面积或体积，得到概 率的长度型公式、面积型公式和体积型公式。
详细描述
这类题目通常给定两个图形的面积， 要求比较它们的面积或计算某面积所 占的比例，从而得出概率。解题时需 要利用几何图形的面积公式和性质， 进行面积的计算和比较。
体积型几何概型题型解析
总结词
涉及三维空间的体积比较，通过体积比 例关系求解概率。
VS
详细描述
这类题目通常给定两个三维空间的体积， 要求比较它们的体积或计算某体积所占的 比例，从而得出概率。解题时需要利用几 何体的体积公式和性质，进行体积的计算 和比较。
进阶习题
进阶习题1
一个半径为10cm的圆，随机选择一个面积 为4π cm²的扇形，求扇形弧长大于圆周长 1/4的概率。
进阶习题2
一个边长为10cm的正六边形，随机选择一 个面积为30cm²的子多边形，求子多边形完 全位于正六边形的内部的概率。
答案解析
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基础习题答案解析
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04
常见题型解析
长度型几何概型题型解析
总结词
涉及线段的长度比较，通过比例关系求解概率。
详细描述
这类题目通常给定两个线段或点的长度，要求比较它们的长度或计算某线段长度所占的 比例，从而得出概率。解题时需要仔细分析长度之间的关系，利用比例关系进行计算。
面积型几何概型题型解析
总结词
涉及面积的比较，通过面积比例关系 求解概率。
几何概型
每个基本事件的发生都具有等可 能性，但试验的所有可能结果通 常是无限多个，且对应于一个可 度量的几何区域。
02
几何概型的概率计算公式
公式推导
几何概型的概率计算公式是基于面积和体积的等可能性和对 称性推导出来的。
通过将试验的全部结果所构成的区域长度、面积或体积分别 除以满足条件的结果构成的区域长度、面积或体积，得到概 率的长度型公式、面积型公式和体积型公式。
详细描述
这类题目通常给定两个图形的面积， 要求比较它们的面积或计算某面积所 占的比例，从而得出概率。解题时需 要利用几何图形的面积公式和性质， 进行面积的计算和比较。
体积型几何概型题型解析
总结词
涉及三维空间的体积比较，通过体积比 例关系求解概率。
VS
详细描述
这类题目通常给定两个三维空间的体积， 要求比较它们的体积或计算某体积所占的 比例，从而得出概率。解题时需要利用几 何体的体积公式和性质，进行体积的计算 和比较。
几何概型(优秀课件)
例2.甲、乙二人约定在下午12点到17点之间在某地会面， 先到者等一个小时后即离去,设二人在这段时间内的各时刻 到达是等可能的，且二人互不影响。求二人能会面的概率。
解： 以 X , Y 分别表示甲、乙二人到达的时刻，
于是 0 X 5, 0 Y 5.
y
即 点 M 落在图中的阴影部
分.所有的点构成一个正 方形，即有无穷多个结果. 由于每人在任一时刻到达 都是等可能的，所以落在正 方形内各点是等可能的.
3.3.1几何概型
问创题设情情境境3：
下图是卧室和书房地板的示意图，图中 每一块方砖除颜色外完全相同，小猫分别在 卧室和书房中自由地走来走去，并随意停留 在某块方砖上。在哪个房间里，小猫停留在 黑砖上的概率大？
卧室
书房
几何图形
思考：上述问题的概率与什么有关？ 这是古典概型问题吗？
古典概型的两个基本特点: （1）所有的基本事件只有有限个; （2）每个基本事件发生都是等可能的.
那么对于有无限多个试验结果的情况 相应的概率应如果求呢?
问题
1.取一根长度为30cm的绳子，拉直后在任意位 置剪断，那么剪得两段的长度都不小于10cm的 概率有多大？
基本事件: 从30cm的绳子上的任意一点剪断.
解：记“剪得两段绳长都不小于10cm”为事件A. 把绳子三等分,于是当剪断位置处在中间一段上时, 事件A发生.由于中间一段的长度等于绳长的1/3.
练一练:
4.有一杯1升的水,其中含有1个大肠杆 菌,用一个小杯从这杯水中取出10毫升, 求小杯水中含有这个细菌的概率.
思 考:
国家安全机关监听录音机记录了两个间谍的谈话， 发现30min的磁带上，从开始30s处起，有10s长的一段 内容包含间谍犯罪的 信息．后来发现,这段谈话的部分被 某工作人员擦掉了，该工作人员声称他完全是无意中按 错了键，使从此后起往后的所有内容都被擦掉了．那么 由于按错了键使含有犯罪内容的谈话被部分或全部擦掉 的概率有多大？
《高一数学几何概型》课件
几何概型的发展可以追溯到古代数学，最初用于解 决面积和体积问题。随着数学的发展，几何概型逐 渐成为概率论的一部分，用于研究随机现象。
几何概型的现代发展
在现代概率论中，几何概型的应用更加广泛，涉及 到各种不同的领域，如统计学、物理、工程等。几 何概型的理论也在不断完善和发展。
几何概型与其他数学知识的联系
02
在日常生活中，几何概型的应用可以帮助我们更好地理解和预测事物发生的可能 性，从而做出更明智的决策。
在概率统计中的应用
01
几何概型是概率统计中的重要概 念，它可以用来计算一些复杂事 件的概率，例如计算几何形状内 随机点的数量等。
02
在概率统计中，几何概型的应用 可以帮助我们更好地理解和分析 数据，从而得出更准确的结论。
示例
在一条直线上随机取一段长度，观察该长度是否大于等于1。所取长度大于等于 1的概率即为长度型的几何概型。
体积型的几何概型的概率计算
总结词
通过比较基本事件所对应的体积与试 验全部结果所对应的体积来计算概率 。
示例
在一个立方体中随机取一个点，观察 该点是否位于立方体的内部。该点位 于立方体内部的概率即为体积型的几 何概型。
几何概型的特点在于其概率计算依赖于几何量的大小和 比例，而不是具体的数量值。
几何概型的特点
几何概型具有无限性
几何概型具有直接性
由于基本事件是无限的，因此无法通 过列举所有基本事件来计算概率。
在某些情况下，可以通过直接测量或 计算几何量的大小来得到概率。
几何概型具有等可能性
每个基本事件的发生概率是相等的， 这使得概率的计算依赖于几何量的大 小和比例。
《高一数学几何概型》ppt课件
目录
• 几何概型的定义 • 几何概型的概率计算 • 几何概型的应用 • 几何概型的扩展知识 • 练习与巩固
几何概型的现代发展
在现代概率论中，几何概型的应用更加广泛，涉及 到各种不同的领域，如统计学、物理、工程等。几 何概型的理论也在不断完善和发展。
几何概型与其他数学知识的联系
02
在日常生活中，几何概型的应用可以帮助我们更好地理解和预测事物发生的可能 性，从而做出更明智的决策。
在概率统计中的应用
01
几何概型是概率统计中的重要概 念，它可以用来计算一些复杂事 件的概率，例如计算几何形状内 随机点的数量等。
02
在概率统计中，几何概型的应用 可以帮助我们更好地理解和分析 数据，从而得出更准确的结论。
示例
在一条直线上随机取一段长度，观察该长度是否大于等于1。所取长度大于等于 1的概率即为长度型的几何概型。
体积型的几何概型的概率计算
总结词
通过比较基本事件所对应的体积与试 验全部结果所对应的体积来计算概率 。
示例
在一个立方体中随机取一个点，观察 该点是否位于立方体的内部。该点位 于立方体内部的概率即为体积型的几 何概型。
几何概型的特点在于其概率计算依赖于几何量的大小和 比例，而不是具体的数量值。
几何概型的特点
几何概型具有无限性
几何概型具有直接性
由于基本事件是无限的，因此无法通 过列举所有基本事件来计算概率。
在某些情况下，可以通过直接测量或 计算几何量的大小来得到概率。
几何概型具有等可能性
每个基本事件的发生概率是相等的， 这使得概率的计算依赖于几何量的大 小和比例。
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目录
• 几何概型的定义 • 几何概型的概率计算 • 几何概型的应用 • 几何概型的扩展知识 • 练习与巩固
几何概型课件
合起来，可以创造出更富表现
力的作品。
结论和总结
应用广泛
造型优美
发展迅速
几何概型在设计、建筑、
几何概型具有简洁、明了、
通过不断的创新与拓展，
自动化等多个领域都有应
富表现力的特点，能够设
几何概型正在向更多领域
用。
计出精美优雅的作品。
渗透，应用范围不断扩大。
3
多样性
几何图形非常灵活，可以具有多种效果，根据不同的设计思路展示完全不同的效果。
基本几何概念
直线
三角形
这是一个无限延伸的长度为0的图形。它由
这是由三条线段组成的图形，可以组合出各
两个端点连接而成，可以与其他图形组成不
种各样的三角形类型，例如等边三角形、等
同的几何概型。
腰三角形等。
正方形
圆
这是一种四条相等线段组成的方形图形。它
度之和、直线延伸之类的常
用于建筑设计、计算机图形
见概念。
学等领域。
几何概型的应用
1
建筑设计
通过使用高效、可靠的几何概型工具，设计师可以大大减少设计错误的发生，并
加快设计的进度。
2
自动化设计
自动化设计通过将几何概型应用于设计软件中，可以帮助工程师设计出更加精确、
高效、复杂的设计。
3
特效制作
电影、广告等特效往往离不开几何概型的运用，通过将特效和现实完美地结合，
这是一个无限延伸的相同曲线轨迹，由圆心
具有对称性、稳定性等特点，常用于图形设
和半径共同决定。常用于图形设计中。
计中。
几何概型的分类
基础几何概型
非欧几何概型
三维几何概型
包含我们熟知的直线、三角
几何概型课件(公开课)(28张PPT)
1比赛靶面直径为122cm,靶心直径为12.2cm，随机射箭，
假设每箭都能中靶，射中黄心的概率
P( A)
A对应区域的面积 试验全部结果构成区域的面积
1 100
2 500ml水样中有一只草履虫，从中随机取出2ml水样放
在显微镜下观察，发现草履虫的概率
P(
A)
A对应区域的体积 试验全部结果构成区域的体积
= A C '= A C = 2 AB AB 2
则AM小于AC的概率为2
2
解：如图，当P所在的区域为正方形ABCD的内部(含边界)， 满足x2+y2≥4的点的区域为以原点为圆心，2为半径的圆的外 部(含边界)． 故所求概率
练习 5.在半径为1的圆上随机地取两点，连成一条线，则
其长超过圆内等边三角形的边长的概率是多少？
2 500
1 250
某人在7：00-8：00任一时刻随机到达单位， 问此人在7：00-7：10到达单位的概率？
设“某人在7:10-7:20到达单位”为事件A
P( A)
A对应区域的长度 试验全部结果构成区域的长度
1 6
不是古典概 型！
问此人在7：50-8：00到达单位的概率？
类比古典概型，这些实验有什么特点？ 概率如何计算？
2a
解: 记“豆子落在圆内”为事件A,
P(A)
圆的面积 πa2 正方形面积 4a2
π 4
答 豆子落入圆内的概率为π4 .
应用巩固：
(1)在区间（0，10）内的所有实数中随机.
(2) 在1万平方千米的海域中有40平方千米的与大面陆积架成储比藏例 着石油,如果在海域中任意点钻探,钻到油层面的概率 .
F
E B
P=2/9
假设每箭都能中靶，射中黄心的概率
P( A)
A对应区域的面积 试验全部结果构成区域的面积
1 100
2 500ml水样中有一只草履虫，从中随机取出2ml水样放
在显微镜下观察，发现草履虫的概率
P(
A)
A对应区域的体积 试验全部结果构成区域的体积
= A C '= A C = 2 AB AB 2
则AM小于AC的概率为2
2
解：如图，当P所在的区域为正方形ABCD的内部(含边界)， 满足x2+y2≥4的点的区域为以原点为圆心，2为半径的圆的外 部(含边界)． 故所求概率
练习 5.在半径为1的圆上随机地取两点，连成一条线，则
其长超过圆内等边三角形的边长的概率是多少？
2 500
1 250
某人在7：00-8：00任一时刻随机到达单位， 问此人在7：00-7：10到达单位的概率？
设“某人在7:10-7:20到达单位”为事件A
P( A)
A对应区域的长度 试验全部结果构成区域的长度
1 6
不是古典概 型！
问此人在7：50-8：00到达单位的概率？
类比古典概型，这些实验有什么特点？ 概率如何计算？
2a
解: 记“豆子落在圆内”为事件A,
P(A)
圆的面积 πa2 正方形面积 4a2
π 4
答 豆子落入圆内的概率为π4 .
应用巩固：
(1)在区间（0，10）内的所有实数中随机.
(2) 在1万平方千米的海域中有40平方千米的与大面陆积架成储比藏例 着石油,如果在海域中任意点钻探,钻到油层面的概率 .
F
E B
P=2/9
《高一数学几何概型》PPT课件
解 : 如图,正方体ABCD A1B1C1D1, 设棱锥M ABCD的高为h,
则
1 3
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
SABCD
h
1 6
.又SABCD
1,h
1 2
.
即点M在正方体的下半部分.
故所求的概率P
1 2
V正方体
1.
V正方体 2
规律技巧:这是一道与体积有关的几何概型题,事件的全部结 果对应的区域就是棱长为1的正方体.所求事件需满足MABCD的体积小于.画出示意图,结合体积公式,确定点M在 正方体内的位置,从而获解.
解析:由题意可知,只有硬币中心投在阴影部分时才符合要求.
所以不与圆相碰的概率P 810 22 1 .
8 10
20
10.一个路口的红绿灯,红灯的时间为30秒,黄灯的时间为5秒, 绿灯的时间为40秒,当你到达路口时,看见下列三种情况的 概率各是多少?
(1)红灯;(2)黄灯;(3)不是红灯.
P( A) TT2 13 . T1T2 15
(2)当t落在T0T2上时,乘客立即上车,故所求的概率
P T0T2 3 1 . T1T2 15 5
题型二 与角度有关的几何概型 例2:如图所示,在等腰Rt△ABC中,过直角顶点C在∠ACB内 部作一条射线CM,与线段AB交于点M,求AM<AC的概率.
典例剖析
题型一 与长度有关的几何概型
例1:取一根长为5 m的绳子,拉直后在任意位置剪断,那么剪得 两段的长都不少于2 m的概率有多大?
分析:从每一个位置剪断都是一个基本事件,剪断位置可以是 长度为5 m的绳子上的任意一点,其基本事件有无限多个, 显然不能用古典概型计算,可考虑运用几何概型计算.
几何概型课件
角度型的几何概型的概率计算
总结词：基于角度
详细描述：角度型的几何概型是以角度作为概率测度的概率 模型。例如，在等可能的角度分布情况下，某事件发生的角 度越大，其发生的概率就越大。
03
几何概型的应用
在日常生活中的应用
交通信号灯
天气预报
几何概型可以用于计算不同方向的车 流等待时间。
几何概型可以用于预测降雨、降雪等 天气事件。
随机过程
几何概型可以用于研究随 机过程的变化和趋势。
统计学
几何概型可以用于统计分 析，如回归分析和方差分 析等。
04
几何概型的实际案例
掷骰子问题
总结词
等可能性和有限性
详细描述
掷一颗骰子，观察出现的点数，因为骰子有六个面，每个面上的点数都是等可 能的，所以这是一个几何概型问题。
转盘游戏问题
总结词
详细描述
数形结合思想在几何概型中主要体现在将概 率问题转化为几何图形问题，通过图形的性 质和变化来研究概率的变化规律。例如，在 几何概型中，等可能事件可以通过几何图形 来表示，概率的大小可以通过图形的面积或
体积来度量。
等可能性的思想方法
总结词
等可能性是几何概型中的一个基本思想，它认为在相 同的条件下，各个事件发生的可能性是相等的。
总结词：基于Байду номын сангаас积
详细描述：面积型的几何概型是以面积作为概率测度的概率模型。例如，在等可能的点分布情况下，某事件发生的区域面积 越大，其发生的概率就越大。
体积型的几何概型的概率计算
总结词：基于体积
详细描述：体积型的几何概型是以空间体积作为概率测度的概率模型。例如，在等可能的点分布情况 下，某事件发生的空间体积越大，其发生的概率就越大。
精品课件：几何概型
(2)先求点 P 到点 O 的距离小于或等于 1 的概率，圆柱的体积 V 圆柱
＝π×12×2＝2π，以 O 为球心，1 为半径且在圆柱内部的半球的体积
2 V 半球＝12×43π×13＝32π.则点 P 到点 O 的距离小于或等于 1 的概率为32ππ
＝13，故点 P 到点 O 的距离大于 1 的概率为 1－13＝23.
无限多
• 2．特点：
均匀
• (1)无限性：试验中所有可能出现的结果
(P基(A)本＝ 事试验件的构全)成有部事结件果A所的构区成域的长区度域个面长积度．或面体积积或 体积 . • (2)等可能性：试验结果在每一个区域内
• 几何概型是与古典概型最为接近的一种概 率模型，两者的共同点是基本事件的发生 是等可能的，不同点是基本事件的个数前 者是无限的(基本事件可以抽象为点)，后 者是有限的．对于几何概型而言，这些点 尽管是无限的，但它们所占据的区域是有 限的，可以利用相关几何知识求概率．
• (1)与三角形、矩形、圆等平面图形面积有 关的问题．
• (2)与线性规划知识交汇命题的问题． • (3)与平面向量的线性运算交汇命题的问
题．
• 角度一 与三角形、矩形、圆等平面图形 面积有关的问题
• 1.如图，在圆心角为直角的扇形OAB中， 分别以OA，OB为直径作两个半圆．在扇 形OAB内随机取一点，则此点取自阴影部 分的概率是( )
如图，S1＝01exdx＝ex|10＝e1－e0＝e－1. ∴S 总阴影＝2S 阴影＝2(e×1－S1)＝2[e－(e－1)]＝2， 故所求概率为 P＝e22.
答案：e22
规律方法 数形结合为几何概型问题的解决提供了简捷直观的解 法．用图解题的关键：用图形准确表示出试验的全部结果所构成的区域， 由题意将已知条件转化为事件 A 满足的不等式，在图形中画出事件 A 发 生的区域，通用公式：P(A)＝试验的构全成部事结件果A所的组区成域的的区测域度的测度.
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构成事件 A的区域长度 (面积或体积） 实验的全部结果所构成 的区域长度 (面积或体积）
(1) “一维型几何概型”: 概率用区间长度比;
(2) “二维型几何概型”: 概率用区域面积比; (3) “三维型几何概型”: 概率用空间体积比.
[作业]
1.基础性作业:课本142页习题3.3A组第三题 2.附有
[复习]古典概型的条件及概率计算
1.古典概型的条件
(1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个; (2)每个基本事件出现的可能性相等.
2.古典概型的概率计算
A包含的基本事件的个数
P(A)
基本事件的总数
看一看
几何概型的概念及概率计算
1.如果每个事件发生的概率只与构成该事 件区域的长度(面积或体积)成比例,则称 这样的概率模型为几何概率模型,简称为 几何概型.
(3)当动点受到三个变量制约时,可简记为“三 维型几何概型”,概率用空间体积比.
[课堂练习]
C
1 4
[课堂练习] A
[课堂小结]
1.几何概型 如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的 长度(面积或体积)成比例,则称这样的概率模型 为几何概率模型,简称为几何概型.
2.几何概型的计算公式
P( A)
谢谢！
2.几何概型的计算公式
构成事件 A的区域长度 (面积或体积） P(A) 实验的全部结果所构成 的区域长度 (面积或体积）
[探究一] B
[探究二] D
[探究三]
1
12
[归纳小结]
(1)当动点只受到一个变量制约时,可简记为 “一维型几何概型”,概率用区间长度比;
(2)当动点受到两个变量制约时,可简记为“二 维型几何概型”,概率用区域面积比;