二阶递推数列特征方程
人教A版高中数学必修五 特征方程法求解递推关系中的数列通项
高中数学学习材料 （灿若寒星 精心整理制作）特征方程法求解递推关系中的数列通项一、（一阶线性递推式）设已知数列}{n a 的项满足d ca a b a n n +==+11,,其中,1,0≠≠c c 求这个数列的通项公式。
采用数学归纳法可以求解这一问题，然而这样做太过繁琐，而且在猜想通项公式中容易出错，本文提出一种易于被学生掌握的解法——特征方程法：针对问题中的递推关系式作出一个方程,d cx x +=称之为特征方程；借助这个特征方程的根快速求解通项公式.下面以定理形式进行阐述.定理1：设上述递推关系式的特征方程的根为0x ，则当10a x =时，na 为常数列，即0101,;xb a a x a a n n n +===时当，其中}{n b 是以c 为公比的等比数列，即01111,x a b c b b n n -==-.证明：因为,1,0≠c 由特征方程得.10cdx -=作换元,0x a b n n -=则.)(110011n n n n n n cb x a c ccdca c d d ca x a b =-=--=--+=-=--当10a x ≠时，01≠b ，数列}{n b 是以c 为公比的等比数列，故;11-=n n c b b当10a x =时，01=b ，}{n b 为0数列，故.N ,1∈=n a a n （证毕） 下面列举两例，说明定理1的应用.例1．已知数列}{n a 满足：,4,N ,23111=∈--=+a n a a n n 求.n a解：作方程.23,2310-=--=x x x 则 当41=a 时，.21123,1101=+=≠a b x a数列}{n b 是以31-为公比的等比数列.于是.N ,)31(2112323,)31(211)31(1111∈-+-=+-=-=-=---n b a b b n n n n n n例2．已知数列}{n a 满足递推关系：,N ,)32(1∈+=+n i a a n n 其中i 为虚数单位。
特征方程解数列递推关系
用特征方程与特征根解数列线性递推关系式的通项公式一.特征方程类型与解题方法类型一 递推公式为An+2＝aAn+1＋bAn 特征方程为 X 2=aX+b 解得两根X 1 X 2(1)若X 1≠X 2 则A n =pX 1n +qX 2n(2)若X 1=X 2=X 则A n =(pn+q)X n(其中p.q 为待定系数，由A 1.A 2联立方程求得) (3)若为虚数根，则为周期数列 类型二 递推公式为特征方程为X =dc b a X X ++解得两根X 1 X 2(1)若X 1≠X 2 则计算2111x A x A n n --++=21x d cA b aA x d cA baA n n n n -++-++=k21x A x A n n --接着做代换B n =21x A x A n n -- 即成等比数列（2）若X 1=X 2=X 则计算x A n -+11=x dcA b aA n n -++1=k+x A n -1接着做代换B n =xA n -1即成等差数列(3)若为虚数根，则为周期数列类型三 递推公式为特征方程为X =dc b ax X ++2解得两根X 1 X 2 。
然后参照类型二的方法进行整理类型四 k 阶常系数齐次线性递归式 A n+k =c 1A n+k-1+c 2A n+k-2+…+c k A n 特征方程为 X k = c 1X k-1+c 2X k-2+…+c k(1) 若X 1≠X 2≠…≠X k 则A n =X k n11+X k n22+…+X k k nk(2) 若所有特征根X 1,X 2,…,X s.其中X i 是特征方程的t i 次重根,有t 1+t 2+…+t s =k 则A n=Xn Q n)(11+X n Q n)(22+…+X n Q s n s)( ，其中)(n Q i=B 1+n B 2+…+n B ti ti 1-（B 1,B 2，…，B ti 为待定系数）二.特征方程的推导及应用类型一、p ，q 均为非零常数）。
特征方程法求递推数列的通项公式之欧阳文创编
特征方程法求解递推关系中的数列通项一、（一阶线性递推式）设已知数列}{n a 的项满足d ca a b a n n +==+11,,其中,1,0≠≠c c 求这个数列的通项公式。
采用数学归纳法可以求解这一问题，然而这样做太过繁琐，而且在猜想通项公式中容易出错，本文提出一种易于被学生掌握的解法——特征方程法：针对问题中的递推关系式作出一个方程,d cx x +=称之为特征方程；借助这个特征方程的根快速求解通项公式.下面以定理形式进行阐述.定理1：设上述递推关系式的特征方程的根为x ，则当10a x =时，na 为常数列，即0101,;x b a a x a a n n n +===时当，其中}{n b 是以c为公比的等比数列，即01111,x a b c b b n n -==-.证明：因为,1,0≠c 由特征方程得.10cdx -=作换元,0x a b n n -=则.)(110011n n n n n n cb x a c ccd ca c d d ca x a b =-=--=--+=-=-- 当10a x ≠时，01≠b ，数列}{n b 是以c 为公比的等比数列，故;11-=n n c b b当10a x =时，01=b ，}{n b 为0数列，故.N ,1∈=n a a n（证毕）下面列举两例，说明定理1的应用. 例1．已知数列}{n a 满足：,4,N ,23111=∈--=+a n a a n n 求.n a解：作方程.23,2310-=--=x x x 则 当41=a 时，.21123,1101=+=≠a b x a数列}{n b 是以31-为公比的等比数列.于是.N ,)31(2112323,)31(211)31(1111∈-+-=+-=-=-=---n b a b b n n n n n n例2．已知数列}{n a 满足递推关系：,N ,)32(1∈+=+n i a a n n 其中i 为虚数单位。
二阶常系数递推关系求解方法
二阶常系数递推关系求解方法一、递推关系的定义与性质在数学中，递推关系是指通过递推公式来描述数列中各项之间的关系。
常系数递推关系是指递推关系中各项的系数都是常数。
设有一个序列 {an}，其中 n 表示序列中的项数。
如果序列满足递推关系 an = c1an-1+ c2an-2 + ... + ck an-k ，其中ci (1 ≤ i ≤ k) 为常数，那么我们称该序列满足一个 k 阶常系数递推关系。
常系数递推关系的性质：1. 齐次性：如果一个递推关系的非齐次项为0，即对于所有的 i，ci = 0，则该递推关系称为齐次线性递推关系。
2. 非齐次性：如果一个递推关系的非齐次项不为0，即存在一些 i，ci ≠ 0，则该递推关系称为非齐次线性递推关系。
3.初值条件：对于一个k阶线性递推关系，需要给出前k项的初值条件才能确定整个序列。
二、求解齐次线性递推关系的通解对于线性递推关系 an = c1an-1+ c2an-2 + ... + ck an-k ，其中ci (1 ≤ i ≤ k) 为常数，我们可以采用特征根法求解其通解。
1. 假设通解为an = λn ，将其代入递推关系，得到λ^n = c1λ^(n-1)+ c2λ^(n-2) + ... + ck λ^(n-k)2.将等式左边的λ^n移至等式右边，得到λ^n - c1λ^(n-1) - c2λ^(n-2) - ... - ck λ^(n-k) = 03.将该齐次方程转化为特征方程，即λ^k - c1λ^(k-1) - c2λ^(k-2) - ... - ck = 04.解特征方程，得到k个实数或复数根λ1,λ2,...,λk。
5.得到齐次线性递推关系的通解为an = A1λ1^n + A2λ2^n + ... + Akλk^n其中A1,A2,...,Ak为待定系数。
通过给定的初值条件，可以使用线性方程组求解方法来确定待定系数A1,A2,...,Ak。
三、求解非齐次线性递推关系的通解对于非齐次线性递推关系 an = c1an-1+ c2an-2 + ... + ck an-k + f(n)，其中 f(n) 为一个关于 n 的函数，我们可以采用常数变易法求解其通解。
二阶递推数列特征根结论推导
二阶递推数列特征根结论推导【摘要】本文主要探讨了二阶递推数列特征根的推导过程。
在介绍了递推数列及其特征根的重要性。
在首先推导了一阶递推数列的特征根，然后详细解释了特征方程的求解方法。
接着，深入分析了二阶递推数列特征根的推导过程，并探讨了特征根的性质。
总结了特征根的结论。
通过本文的研究，读者可以更深入地理解递推数列特征根的求解方法及其在数学领域的应用价值。
结论部分对整篇文章进行了简洁明了的总结，强调了特征根的重要性。
本文旨在帮助读者加深对二阶递推数列特征根的理解，为相关领域的学习提供指导。
【关键词】二阶递推数列、特征根、特征方程、性质分析、结论、推导、引言1. 引言1.1 引言递推数列在数学中扮演着重要角色，它们描述了数列中每个元素如何由前面的元素递推而来。
在研究递推数列时，我们常常会遇到特征根的概念。
特征根可以帮助我们解出递推数列的通项公式，从而更深入地理解数列的性质和规律。
在本文中，我们将探讨二阶递推数列特征根的推导过程。
我们会回顾一阶递推数列特征根的推导过程，然后引出二阶递推数列特征根的推导方法。
通过对特征根的性质进行分析，我们将探讨特征根对递推数列的影响，以及特征根的结论推导过程。
通过本文的学习，读者将能够更深入地理解递推数列中特征根的重要性，以及如何利用特征根推导递推数列的通项公式。
希望本文能够帮助读者在数学领域中更好地理解和运用递推数列的知识。
2. 正文2.1 一阶递推数列特征根推导设一阶递推数列为{a_n}，其通项公式为a_n = c_1\lambda^n，其中c_1为常数，\lambda为特征根。
进一步化简得到\lambda = p，即一阶递推数列的特征根\lambda等于递推式中的常数p。
这个结论可以直接由递推数列的定义推导得到，不需要特殊的推理过程。
一阶递推数列的特征根推导是比较简单和直接的。
总结一下，一阶递推数列特征根推导的过程可以归结为将递推式表示为a_{n+1} = p\cdot a_n，然后将通项公式代入递推式，通过化简得到特征根等于常数p的结论。
一类特殊的二阶非常系数递推数列的通项公式
一类特殊的二阶非常系数递推数列的通项公式
一阶非常系数递推数列是一类特殊的数列，其中每一项都有一个确定的数值，它们可以按照一定的规则进行组合，从而构成一个递推数列。
而二阶非常系数递推数列就是这一类特殊的递推数列的一个具体的例子。
以二阶非常系数递推数列为例，它的公式为，第n项的值a_n=<a_(n-1)> + <a_(n-2)> 乘以具体的常数，其中a_(n-1)和a_(n-2)是前面两项的值。
如前提供的例子，它们就是公式
a_n=1.2 x <a_(n-1)> + 0.5 x <a_(n-2)>。
从公式可以看出，第n项的值受到前两个项的影响，即前两项的值的变化会影响第n项的值的变化，要求出某一项的值就必须知道前两项的值。
二阶非常系数递推数列的通项公式就是根据上述条件来求解的。
将前两项的值替换进去: an = c1 x a_(n-1) + c2 x a_(n-2), an+1= c1 x an + c2 x a_(n-1) , an+2= c1 x an+1 + c2 x an , ...... 将n步进后则可以得到通项公式，即 an= c1^n x a_(o) + c2^n x a_1。
以上就是二阶非常系数递推数列的通项公式，它用来求出任意一项的值，是一种特殊的数列求解方法。
通过了解二阶非常系数递推数列通项公式，可以更好地理解这一特殊数列的运用。
数列特征根和不动点法解题原理
数列特征根和不动点法解题原理一、数列特征根法。
1. 原理。
- 对于二阶线性递推数列a_n + 2=pa_n+1+qa_n（p,q为常数，n∈ N^*），其特征方程为x^2=px + q。
- 设特征方程的两个根为x_1,x_2。
- 当x_1≠ x_2时，数列a_n的通项公式为a_n=C_1x_1^n+C_2x_2^n，其中C_1,C_2由初始条件a_1,a_2确定。
- 当x_1 = x_2时，数列a_n的通项公式为a_n=(C_1+C_2n)x_1^n，同样C_1,C_2由初始条件确定。
2. 例题。
- 例1：已知数列{a_n}满足a_n + 2=3a_n+1-2a_n，且a_1=1,a_2=3，求数列{a_n}的通项公式。
- 解：特征方程为x^2=3x - 2，即x^2-3x + 2=0。
- 分解因式得(x - 1)(x - 2)=0，解得x_1=1,x_2=2。
- 所以a_n=C_1×1^n+C_2×2^n=C_1+C_2×2^n。
- 由a_1=1,a_2=3可得C_1+2C_2=1 C_1+4C_2=3。
- 用第二个方程减去第一个方程得2C_2=2，解得C_2 = 1。
- 把C_2=1代入C_1+2C_2=1得C_1=-1。
- 所以a_n=-1 + 2^n。
- 例2：已知数列{a_n}满足a_n + 2=2a_n+1-a_n，a_1=1,a_2=2，求a_n。
- 解：特征方程为x^2=2x - 1，即x^2-2x + 1 = 0。
- 解得x_1=x_2=1。
- 所以a_n=(C_1+C_2n)×1^n=C_1+C_2n。
- 由a_1=1,a_2=2可得C_1+C_2=1 C_1+2C_2=2。
- 用第二个方程减去第一个方程得C_2=1。
- 把C_2=1代入C_1+C_2=1得C_1=0。
- 所以a_n=n。
二、数列不动点法。
1. 原理。
- 对于一阶分式递推数列a_n + 1=frac{pa_n+q}{ra_n+s}（p,q,r,s为常数，r≠0），令x=(px + q)/(rx + s)，这个方程称为不动点方程。
二阶递推数列的常用处理策略及其应用
二阶递推数列的常用处理策略及其应用作者：宣培霞来源：《数学教学通讯·中等教育》2014年第05期摘要：本文对近几年数学竞赛中二阶线性递推数列的常见题型进行了总结，得出二阶线性递推数列的通项公式的求法以及几个常见的变化.关键词：二阶线性递推数列；特征根法；整除问题求递推数列的通项，是数学竞赛中最为常见的考查内容之一，其中二阶线性递推数列在竞赛题的设置中是一个比较常用的选择，因此在竞赛辅导中对这一内容要重点突破. 以下是本人针对此内容在近几年竞赛中的考查进行了一些归纳，以期在竞赛辅导中能够对学生掌握这一知识点做一些参考.特征根法求二阶线性递推数列的通项公式例1 （2009年全国数学联赛）已知p，q（q≠0）是实数，方程x2-px+q=0有两个实根α，β，数列{an}满足a1=p，a2=p2-q，an=pan-1-qan-2（n=3，4，…）.（1）求数列{an}的通项公式（用α，β表示）；（2）若p=1，q=，求{an}的前n项和.解：（1）an=pan-1-qan-2，可化为an=（α+β）·an-1-αβ·an-2，an-α·an-1=β·（an-1-α·an-2）和an-β·an-1=α·（an-1-β·an-2），所以数列{an-α·an-1}，{an-β·an-1}是等比数列.由a1=p，a2=p2-q，得a2-α·a1=β2，a2-β·a1=α2，所以an-α·an-1=βn，an-β·an-1=αn.所以①若α≠β，从上二式中消去an-1得an=；？摇②若α=β，则an-α·an-1=αn可化为-=1，即数列为等差数列. 由a1=p=2α，所以=n+1，即an=（n+1）αn.（2）若p=1，q=，得α=β=，所以an=（n+1）n，用错位相减法求得前n项和为Sn=3-.一般地，在线性二阶递推数列中，在一些参考书中通常用特征根法：由an=pan-1-qan-2，写出特征方程：x2=px-q，得到两特征根：α、β. ①若α≠β，则an=Aαn+Bβn；②若α=β，则an=（An+B）·αn.再由a1，a2的值来确定其中的系数A，B.或者结合转化的思想，对上面的递推式an-α·an-1=βn再转化为-=n，再用累加法得到通项公式.而上面这个问题的设置，一方面强调了在处理二阶递推数列中的转化思想，让学生能够掌握这个基本方法；另一方面在解法上用上面的解法可以简化求出通项的过程，其中对初始项的选择也有其独到之处，当然，在其他二阶递推数列中也可以推广这一处理方法.在竞赛题中的几个变式的处理策略典型的二阶递推数列作为考查方式，学生基本上都能解决，在上题中命题者是希望通过此题对处理策略有所改变，特别是针对初始项做了巧妙的设计. 但作为试题设置，主要是考查学生能否把转化的思想运用在解决问题中.例2 （2000年全国数学联赛）设数列{an}和{bn}满足a0=1，b0=0，且an+1=7an+6bn-3，bn+1=8an+7bn-4， n=0，1，2，…，求证：an是完全平方数.解：此题给出了两个数列间的互相递推式，但只要求证数列{an}的一个性质，因此把递推式中的bn消去的这个想法是自然的，先得到an+2=14an+1-an-6. 从形式上看，已经很接近二阶线性递推数列，只不过还要处理数字-6.此时，再次用转化的思想，化为（an+2-A）=14（an+1-A）-（an-A），得A=.令cn=an-，可用二阶递推数列的处理方法得到cn=.所以an==.最后结合二项式定理，可得an是完全平方数.从此题的设计来看，我们可以在二阶递推式中加上一些非线性因素，考查学生运用转化思想的能力，其常用的方法是在二阶递推式上加上常数，或者与n有关的表达式. 如以下几题：1. 已知数列{an}中，a1=a2=1，an+2=3an+1+18an+2n，求an.策略一：把an+2=3an+1+18an+2n转化为an+2+A·2n+2=3（an+1+A·2n+1）+18（an+A·2n），用待定系数法得A=.设数列bn=an+·2n，满足bn+2=3bn+1+18bn.用特征方程法解决得bn=-，所以an=--.策略二：（化二阶为一阶）先忽略2n，用特征方程x2=3x+18得特征根6，-3.把an+2=3an+1+18an+2n转化为an+2+3an+1=6（an+1+3an）+2n，设数列bn=an+1+3an，满足bn+1=6bn+2n，再用累加法处理.2. 已知数列{an}中，a0=a1=1，an+2=an+1+2an+n-1，求an.从以上几题中我们可以看出，在处理以二阶递推数列为主线的递推数列问题中，重点应注意转化思想的使用，把我们不熟悉的递推数列转化为常用的、能解决的，但特别要注意选择新数列.二阶递推数列的一个应用上面的问题还主要是通过对递推数列的变形来得到其通项公式，在数学问题的设计中，我们还经常对这个问题的各个环节进行分析，从每个点都可出发构造问题，因此深入研究这个问题的各个环节的特征，是我们在遇到新的问题时能够联想到这一知识的关键.在上面二阶递推数列的解决中，特征方程是一个二次方程ax2+bx+c=0，通常有两个根，而这两个根的表达式x=是对称的. 其通项公式是an=A·n+B·n，而这个形式在二项式定理中有类似的用法.实际上在例2中对项an=是完全平方数这一结论已经使用了二项展开式的方法. 因此，在遇到类似的二项式问题中我们也可以逆用这一用法，用递推数列的方法来解决二项式方面的问题.例3 数[（1+）1000]的个位数字是______（其中[x]表示不超过x的最大整数）.分析：（1+）1000是一个无理数，但取整后的个位数如何求这一问题我们先得分解为两个问题：（1）如何取整；（2）如何求个位数.在二项式定理的应用中，我们很快就想到了它的对称式（1-）1000.利用二项式定理展开得：（1+）1000+（1-）1000=2（+C·2+C·22+…+C·2500）；这样由于组合数都是整数且（1-）1000是小于1的正数，故解决了取整的问题. 而个位数字的问题即是除以10所得余数的问题，在这个展开式中需要组合数与2n一起工作是一件麻烦事！为了减少麻烦，也可以把目标转换为（3+2）500+（3-2）500来得到. 在这里，我们也注意到，这里的目标的形式与递推关系中的形式的一致性，所以有了以下的想法.由方程x2-2x-1=0的两根就是1±.我们设计一个数列{an}如下：a0=a1=2，an+2=2an+1+an.由二阶递推数列求通项的方法我们得到an=（1+）n+（1-）n.根据递推方法我们得到数列{an}的模10数列为：2，2，6，4，4，2，8，8，4，6，6，8，2，2，6， 4，4，…注意到a12的模10后出现与a0到a11的一样的数，所以a1000模10的数字应该与a4模10的数字相同，即4.再由（1-）1000是小于1的正数，所以[（1+）1000]的个位数字为3.上面一例中我们注意到应用形式上的共同性，把不同知识点联系起来，用递推的方法来解决二项展开式中的一个问题. 应用这种思想，在下例中充分地把各个知识点：方程的根、递推的方法、整除问题联系到一起.例4 已知方程x3-7x2+1=0的最大实根为t，则[t2000]被除7的余数为_____.简解：由三次函数y=x3-7x2+1的图象，可得三次方程的根有三个α、β、t，且三个根的取值范围大约是-为了解决取整的问题，我们构造了“整数”：t2000+α2000+β2000.因为0接下来，我们要重点证明这个数是一个整数，且它除以7所得余数为多少？联想到上面对这一类问题的处理策略，我们构造数列{an}如下：通项公式为an=tn+αn+βn，其中a0=3，a=t+α+β=7，a2=t2+α2+β2=（t+α+β）2-2（tα+tβ+αβ）=49，an+3=7an+2-an（证明略）.上面充分运用了三次方程的韦达定理以及转化的思想得到了一个递推数列. 然后我们运用上例的方法得到数列{an}模7的数列如下：3，0，0，3，0，0，…所以[t2000]除以7所得余数为6.。