19、古希腊数学史
古希腊数学(雅典时期)
抽象化的数学精神——古希腊数学分析与讨论岭南学院经济学类 2012级4班苏博学号：12327203在古希腊人的科学成就中，数学可谓是最抽象也是最迷人的科学体系。
古希腊数学可大致分为两个阶段，第一阶段是公元前600-公元前300的雅典时期，第二阶段是公元前300-641的亚历山大时期。
本次讨论稿中将着重讨论雅典时期的古希腊数学。
这一时期始于泰勒斯为首的伊奥尼亚学派，其贡献在于开创了命题的证明，为建立几何的演绎体系迈出了第一步。
伊奥尼亚学派否认神是世界的创造者，认为水是万物之基，崇尚自然规律，并对数学的一些基本定理做了科学论证。
“数学之父”泰勒斯在数学方面的划时代贡献是开始引入了命题证明的思想。
命题的证明，就是借助一些公理或真实性业经确定的命题来论证某一命题真实性的思想过程。
它标志着人们对客观事物的认识从经验上升到理论。
这在数学史上是一次不寻常的飞跃。
在数学中引入逻辑证明，它的重要意义可以从下面这几个方面看出来：一、保证命题的正确性，使理论立于不败之地；二、揭露各定理之间的内在联系，使数学构成一个严密的体系，为进一步发展打下基础；三、使数学命题具有充分的说服力，令人深信不疑。
证明命题是希腊几何学的基本精神，而泰勒斯是希腊几何学的先驱。
《普罗克洛斯概要》写道：“泰勒斯是到埃及去将这种学问(几何学)带回希腊的第一人．他自己发现了许多命题，又将好些别的重要原理透露给他的追随者。
他的方法有些是具有普遍意义的，也有一些只是经验之谈。
”普罗克洛斯指出他发现的命题有：(1)圆的直径将圆平分(2)等腰三角形两底角相等(3)两直线相交，对顶角相等(4)有两角夹一边分别相等的两个三角形全等(5)对半圆的圆周角是直角历史学家强调他证明了(至少是企图证明)这些命题．在数学中引入证明的思想，这是难能可贵的．从此数学从具体的、实验的阶段过渡到抽象的、理论的阶段，逐渐形成一门独立的、演绎的科学。
稍后有毕达哥拉斯领导的学派，这是一个带有神秘色彩的政治、宗教、哲学团体，以万物皆数作为信条，毕达哥拉斯学派认为数是万物的本原，事物的性质是由某种数量关系决定的，万物按照一定的数量比例而构成和谐的秩序。
数学史(第2章古希腊数学)
第2章古代希腊数学主题：希腊文化与理论数学的起源人类理性思维的形成在唯理的社会气氛中，希腊人将埃及和美索不达米亚的数学经验算术和几何法则加工成具有初步逻辑结构的论证数学体系。
概述：希腊数学分为三个阶段：一是从公元前6C到约公元前3C，这一时期以雅典为中心，形成了论证几何数学的思想基础和有关方法上的基础；二是从约公元前3C到约公元前30年，这一时期主要以亚历山大为中心，形成的系统的论证几何体系，建立理论方法，为数学的发展提供了一种基本的观点和方法。
三是从约公元前30年到公元6C，这是希腊数学发展后期，主要发展带有实用特点的数学。
同时也有对前人进行评述和整理工作。
主要成就：1 论证数学的鼻祖及主要贡献：泰勒斯（前625－前547）泰勒斯领导的爱奥尼亚学派据说开了希腊命题论证之先河，并证明了四条定理和“泰勒斯定理”。
毕达哥拉斯（前580－前500）毕达哥拉斯创立了毕达哥拉斯学派，从事哲学和数学研究。
普鲁克鲁斯在《评注》中论述了毕达哥拉斯学派的主要成就有：（1）证明了毕达哥拉斯定理，即勾股定理。
其方法最著名的猜测是“面积剖分法”。
（2）正多面体作图（包括正四、六、八、十二、二十面体）。
以正十二面体的作图最为著名，它的每个面都是正五边形，并且和“黄金分割”相关（注：黄金分割这一名字并不是来源该学派，见书36页注）。
（3）关于数的研究，毕达哥拉斯学派的基本信条是“万物皆数”（这里指整数），并讨论了许多数论的性质，如偶数与奇数，完全数等。
该学派还有关于“形数”的研究，他们把数作为几何思维元素的精神，“形数”体现了数与形的结合。
（4）发现了不可公度量。
评论：毕达哥拉斯学派把数看成是世界的基础，客观上形成对世界数量关系的认识，是人类认识上的一大进步。
加强了数概念中的理论倾向，推动了几何学的抽象化倾向，这些研究使人类抽象思维能力达到了一个高的水平。
不可公度量的发现，由此产生了“第一次数学危机”，这一问题的根本解决是人们对连续性有更精确的定义后才完全解决。
《数学史》古希腊数学 ppt课件
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2.3 亚历山大后期和希腊数学的衰落
通常从公元前30-公元6世纪的这一段时期，称为 希腊数学的“亚历山大后期”。
亚历山大后期的希腊几何，已失去前期的光辉。这一时期开 始阶段唯一值得一提的是几何学家海伦（Heron，公元前1世纪公元1世纪间），代表作《量度》，主要讨论各种几何图形的面 积和体积的计算，其中包括后来以它的名字命名的三角形面积公 式
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总评
▪ 《圆锥曲线论》可以说是希腊演绎几何的最高成 就。阿波罗尼奥斯用纯几何的手段达到了今日解 析几何的一些主要结论，这是令人惊叹的。
▪ 另一方面，这种纯几何的形式，也使其后数千年 间的几何学裹足不前。几何学中的新时代，要到 17世纪，笛卡尔等人打破希腊式的演绎传统后， 才得以来临。
▪ 此书集前人之大成，且提出很多新的性质。他推广了梅内赫莫斯 （公元前4 世纪，最早系统研究圆锥曲线的希腊数学家）的方法，证 明三种圆锥曲线都可以由同一个圆锥体截取而得，并给出抛物线、 椭圆、双曲线、正焦弦等名称。
▪ 书中已有坐标制思想。他以圆锥体底面直径作为横坐标，过顶点的 垂线作为纵坐标，这给后世坐标几何的建立以很大的启发。他在解 释太阳系内5大行星的运动时， 提出了本轮均轮偏心模型，为托勒密 的地心说提供了工具。
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《圆锥曲线论》中包含了许多即使是按今天的 眼光看也是很深奥的结果，尤其突出的是第5卷关于 从定点到圆锥曲线的最长和最短线段的探讨，其中 实质上提出了圆锥曲线的法线包络即渐屈线的概念， 它们是近代微分几何的课题。
第3、4卷中关于圆锥曲线的极点与极限的调和 性质的论述，则包含了射影几何的萌芽思想。
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亚历山大里亚时期的希腊数学
数学史与数学思想
数学史与数学思想数学，作为一门抽象而精确的科学，扮演着推动人类文明进步的重要角色。
本文将从数学史的角度，探讨数学思想的演进与影响。
第一部分：古代数学古代数学源远流长，最早的数学思想可以追溯到古巴比伦、古埃及和古印度。
这些古代文明的数学成就，在农业、建筑和天文学等领域都发挥了重要作用。
1. 古巴比伦数学古巴比伦人发展了一套基于60进制的计数系统，并开发了用于计算乘法和除法的算法。
他们还提出了一些几何问题，并发现了勾股定理的特例。
2. 古埃及数学古埃及人主要应用数学知识于土地测量、建筑和商业交易。
他们制定了计算面积和体积的方法，并发展了以10为基数的计数系统。
3. 古印度数学古印度人在数学领域有许多重要贡献，这些贡献对现代数学产生了深远影响。
他们首先提出了零的概念，并发展了一套精确的计数系统。
此外，他们还发现了平方根、立方根，以及一些三角函数的近似值。
第二部分：古希腊数学古希腊数学是数学史上一个重要的里程碑，它代表着理性思维的巅峰，并为后世数学家提供了许多启示。
1. 毕达哥拉斯学派毕达哥拉斯学派强调数与形的关系，提出了许多几何定理，如勾股定理。
他们还发现了数学中的整数、有理数和无理数的概念，为数论的发展奠定了基础。
2. 现代几何的奠基人：欧几里得欧几里得的《几何原本》被视为几何学的经典之作。
他以严谨的推理方式，系统整理了古希腊几何学的知识，并提出了许多著名的定理，如平行线之间的角度和等角定理。
第三部分：近代数学革命自17世纪开始，数学经历了一系列革命性的变革，这些变革深刻地改变了人们对数学的认识。
1. 微积分的创立牛顿和莱布尼茨同时独立发现了微积分的基本原理，从而为数学打开了新的大门。
微积分的发展和应用，解决了众多自然科学和工程学中的问题，为现代科学的发展做出了重要贡献。
2. 非欧几何学在19世纪，黎曼和庞加莱提出了非欧几何学的概念，打破了古希腊几何学的局限性。
他们探索了曲线和曲面的性质，为后来的广义相对论等科学理论的发展奠定了基础。
《数学史》古希腊数学(1)解析
轶事典故
▪
欧多克斯是证明一年不是整三百六十五天而是三百
六十五天又六小时的第一个希腊人。既然埃及人对此已
有所了解，那么欧多克斯只不过是把这传到了希腊，而
并不是他发现的。
▪
他接受了柏拉图关于行星必须在正圆轨道上运行的
观点。然而他在观察了行星运动之后不得不承认，行星
的实际运动并不是正圆轨道上的匀速运动。为了当时所
轶事典故
▪ 后来，在今天土耳其西北岸的锡塞克斯创办了他自己 的学校，最后他把学校迁到雅典，在那里任教多年。那 时他已成为公认的有成就的哲学家。他再次拜访了过去 的老师柏拉图，主人专为他举行了宴会。（当公元前367 年柏拉图在西西里时，欧多克斯甚至可能还是柏拉图学 园的积极负责人。）在这些年里，他提出了许多几何证 法，后来被纳入欧几里得所总结的几何学。他还对不能 直接确定其长度和面积的图形的近似值开始进行研究， 这在一百年后由阿基米德作了进一步的发展。
主要贡献：倡导逻辑演绎结构
• 亚里斯多德学派(吕园学派)
代表人物：亚里士多德(Aritotle,BC.383-BC.322) 欧多谟斯
主要贡献：倡导逻辑演绎结构。
▪ 欧多克斯
欧多克斯（Eudoxus of Cnidus, 408 BC - 355 BC） 希腊天文 学家和数学家。
公元前约400年生于奈得斯。欧多克斯在柏拉图学园中学习时， 处境十分困难。他很贫困，故住在雅典的港口比雷埃夫斯，因为这 里可以找到较便宜的的住处。这样他每天往返学校不得不走十英里。 毕业后他到了埃及，进行天文学的我们今天称作研究生的学业。
西比阿斯：发明 “割圆曲线”. 如果这种曲线能够作出，那么它不但能够三等分角，而
且可以任意等分角，并且也可以用来化圆为方。
第二章 古代希腊数学
上述诸派多以哲学探讨为主，但他们的研究活动极大地加强 了希腊数学的理论化色彩，主要表现在以下几个方面。
（一）三大几何问题
古希腊三大著名几何问题是： ⊙化圆为方，即作一个与给定的圆面积相等的正方形。 ⊙倍立方体，即求作一立方体，使其体积等于已知立方体的两倍。 ⊙三等分角，即分任意角为三等分。
三大几何问题的起源涉及一些古老的传说。如 倍立方体问题：说神话中的米诺斯王(King Minos)嫌儿子格劳 卡斯(Glaucus)为他建造的坟墓太小，命令将其扩大一倍。
虽然泰勒斯沿着论证数学的方向迈出了第一步，但希腊数学著 作的评注者主要是将数学中这一新方向的成长归功于毕达哥拉斯 学派。
一般认为，欧几里得《原本》前二卷的大部分材料来源于毕达 哥拉斯学派，包括西方文献中一直以毕达哥拉斯的名字命名勾股定 理。但迄今并没有毕达哥拉斯发现和证明了勾股定理的直接证据。
尽管如此，人们仍然对毕达哥拉斯证明勾股定理的方 法给出了种种猜测，其中最著名的是普鲁塔克（Plutarch, 约46-120）的面积剖分法。
毕达哥拉斯生于靠近小亚细亚西部海岸的萨摩斯岛，曾游历 埃及和巴比伦，可能还到过印度，回希腊后定居于当时的大希腊 (Magna Graecia)，即今意大利东南沿海的克洛托内(Crotone)，并 在那里建立了一个秘密会社，也就是今天所称的毕达哥拉斯学派。 这是一个宗教式的组织。
相传“哲学”（希腊原词φιλοσοφια意为“智力爱好”）和数学 （希腊原词µαθηµατιχα，意为“可学到的知识”）这两个词正是毕 达哥拉斯本人所创。
''
用 DA 和 A B 分别表示这两条移动线段在任一时刻的位置， 那么他们的交点P产生的曲线就是割圆曲线。
希腊波斯战争（公元前492-前449）以后，雅典成为希腊 民主政治与经济文化的中心，希腊数学也随之走向繁荣，学派 林立，主要有： ●伊利亚学派 以居住在意大利南部依利亚(Eles)地方的芝 诺（Zeno,约公元前490-前430）为代表。 ●诡辩学派 活跃于公元前5世纪下半叶的雅典城，主要代 表人 物有希比阿斯（Hippias,约生于公元前460年）、安 提丰（Antiphon,约公元前480-411）等，均以雄辩著称。 ●雅典学院（柏拉图学派） 柏拉图（Plato,公元前427-前 347）曾师从毕达哥拉斯学派的学者，约公元前387年在雅典 创办学院，讲授哲学与数学，形成了自己的学派。 ●亚里士多德学派 亚里士多德（Aristotle,公元前384前322）是柏拉图的学生，公元前335年建立自己的学派。
数学史
古典时期的希腊数学摘要:本节主要讲述了巧辩学派的产生和它的历史背景，并由此引出了几何作图三大问题的出现过程，以及尺规作图出现的原因，并由许许多多的前人研究得出的结论：几何三大作图问题是不能由尺规作图解出．同时，许多人由于有尺规的限制而闯入了其他的数学领域，从而发现了许许多多新的数学问题．下面我将对此做个详细介绍．一：历史背景和巧辩学派希波战争以后，希腊城邦经济进入繁荣时期，农业、手工业、商业、航海业高度发达．雅典成为经济、政治和文化的中心．在雅典，仅手工业就有数十种分工，冶金、造船、制陶和建筑业都很兴旺．随着生产力的迅速提高，海外贸易也盛极一时．雅典的昌盛是和它在希波战争之后掌握海上霸权分不开的．公元前478年，当希腊人在希波战争中稳操胜券时，以雅典为首的城邦缔结了一个共同抗击波斯的海上同盟，因盟址在提洛岛而称为提洛同盟，入盟的城邦达二百个．雅典控制了财政、军事大权，为商品生产的市场、原料和粮食提供了方便条件．在政治上，雅典实行民主政治．在历史上，雅典素有民主的传统．公元前594年，雅典由选举产生的执政官梭伦实行一系列的改革，打击了氏族贵族的势力，维护了平民的利益，为民主政治开辟了道路．公元前509年，平民领袖克利斯提尼实行民主改革，推翻贵族统治，奠定了雅典民主政治的基础．从公元前444年起，民主政治家伯利克利进一步完善民主制度．制定雅典民主宪法，加强公民大会的权力，实行公职，向全体公民开放，发展工商业，鼓励科学文化．伯利克利时代是雅典经济文化发展的极盛时代．希腊光辉灿烂的文化，是和民主制度分不开的．新思想的萌芽和成长，需要有一个自由的气氛，要允许发表不同的一件，不压制“离经叛道”的言论．这就必须要有政治上的民主．我国“五四运动”时期提出只有民主和科学才能救中国，是有深刻意义的．民主制度的精髓，是崇尚公开精神．在公开的讨论或辩论中，要想取得胜利，必须具有雄辩、修辞、哲学及数学等方面的知识．于是“桥边学派”应运而生．“巧辩”一次，希腊文是使人智慧的意思．也意为“诡辩学派”、“智人学派”或“哲人学派”．巧辩学派的学者经常出入群众的集会场所，发表应时的演说．他们以教授学生雄辩术、修辞学、文法、逻辑、数学、天文等科为职业．最著名的有普罗泰戈拉，高尔吉亚，希比阿及安蒂丰等人．这个学派的数学研究中心是三大问题：1化圆为方—求做一正方形，使其面积等于一已知圆；2：三等分任意角；3：倍立方——求做一立方体，使其体积等于已知立方体的2倍这些问题的难处，是作图只许用直尺和圆规．在整个数学史上很难找出像这三个问题那样具有历久衰的魅力．希腊人的巧思，阿拉伯人的学识，西方文艺复兴时期大师们的睿智，都曾倾注于此而得不到丝毫结果．实际上这三大问题都是不可能用尺规经有限次步骤来解决的．二：尺规作图的来历几何作图，规定只能用直尺圆规，为什么要这样限制呢？原来这是希腊人遗留下来的习惯．他们这样规定有下列的原因：(1)自从泰勒斯在数学中引入了逻辑证明之后，经过两三个世纪的演变，几何逐渐发展成为一门独立的、演绎的科学．这一点突出体现在欧几里得《几何原本》之中．这本书从不多的几个基本假定出发，推导出一系列的定理，这就是希腊数学的基本精神．它要求基本假定越少越好，而推出的命题则越多越好．对于作图工具，自然也相应地限制到不能再少的程度．在欧几里得之前，早已有这种思想．到欧几里得时代，才成功的建立里这样的演绎体系．《几何原本》对作图作了几条规定：1.任何两点之间可联一直线；2.直线可以任意延长；3.以任何中心，任何半径可做一圆．根据这几条共设，作图工具就只能用尺规．由于这本书的巨大影响，尺规作图边成为希腊几何学的金科玉律，一直沿用至今．(2)和希腊人一贯提倡的奥林匹克精神有关．从公元前776年开始，希腊每4 年在伊利斯的奥林匹亚举行竞技大会．吧宗教祭祀和体育竞技结合起来，认为这是神圣的、至高无上的．他们崇尚公开平等的竞赛．要做到公开平等，就一定要共同遵守某些规则，对器械也要有所限制．智力也是一样．几何学除了有实用价值之外，还有训练智力的巨大作用．这一点充分反映在帕拉图的著作中．他主张通过几何的学习达到训练逻辑思维的目的．训练逻辑思维为什么不直接学习逻辑规律而要借助几何学呢？理由是几何能给人以强烈的直观印象，将抽象的逻辑规律体现在具体的图形之中．逻辑的推理和结论，还可以通过实际的观测来印证，是抽象的规律和感情认识结合起来，收到想得益彰之效．两千多年来的实践证明，通过几何学习来培养逻辑思维能力的确是行之有效的办法．同样锻炼智力也应该有某种器械的限制，这种限制最好是简单可行，容易检验的．于是就想到使用最基本的作图工具直尺和圆规．(3)以毕达哥拉斯学派为代表的希腊人认为圆是最完美的平面图形．圆和直线是几何学最基本的研究对象．有了尺规，圆和直线已经能够作出，因此就规定作图只能使用这两种工具了．三：三大作图问题的起源(1)化圆为方问题——圆和正方形都是最常见的几何图形，自然会想到可否作一个正方形和已知圆等面积．这就是化圆为方问题．他相当于用尺规作出π的值．设圆的半径是一个单位，那么面积就是π．若能作出一个长度为π的线段，以这个线段为矩形的一边，单位线段为另一边，这个矩形的面积就和圆相等．再将这矩形改为面积相等的正方形，就达到化圆为方的目的．在历史上，也许没有任何一个几何问题像化圆为方问题那样强烈地引起人们的兴趣．化圆为方的最早研究者是安纳萨格拉斯，以后有希波克拉底．巧辩学派的代表人物安蒂丰提出一种“穷竭法”，具有划时代的意义，它是近代极限论的雏形．关于安蒂丰的生平，，各家说法不一．他大概是和苏格拉底同时代的人，在雅典以教授雄辩术为职业，积极参加政治活动，后以失败而告终．他提出用“穷竭法”解决化圆为方的问题，记在在亚里士多德《物理学》一书中．所谓穷竭法，是先做圆内接正方形，将边数加倍，得内接正八边形，在加倍的正十六变形．这样继续下去，安蒂丰深信到“最后”，正多边形必与圆周重合，也就是多边形与圆的“差”必会“穷竭”，于是便可以化圆为方了．结论虽然是错误的，但却提供了一种求圆面积的近似方法，成为阿基米德计算圆周率方法的先导．安蒂丰的说法和我国刘徽的“割圆术”不谋而合．刘徽从圆内接正六边形开始，每次把边数加倍，边数越多，多边形越与圆周接近．刘徽说：“割之弥细，所失越少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣．”意思是割的越细，正多边形与圆周的“差”也越少．最后于圆周重合，便没有差了．这和安蒂丰的说法一致．比安蒂丰稍晚的巧辩学派另一个成员是布里松提过类似的说法，他指出圆内接正多边形的面积小于圆的面积，而外切正多边形的面积大于圆的面积．因此有一个介于两者之间的多边形，恰好等于圆的面积．至于怎样找出这个多边形却没有说清楚．(2)三等分任意角——用尺规二等分一个角是轻而易举的，自然会提出三等分一个角的问题．对于某些角如90°，135°，180°，三等分并不难，是否所有的角都是这样的？比如60°，它的1/3是20°，如果尺规可以作出，那么正9边形，正18边形也都可以作出来了．在历史上，三等分角问题就是由求作多边形这一类问题引起的．(3)倍立方——埃拉托塞尼在他的《帕拉图》一书中记述一个神话故事，后来为塞翁所引用．说是鼠疫袭击提洛岛，一个先知者说已得到神的谕示，必须将立方形的祭坛的体积加倍，瘟疫方可停息．建筑师很为难，不知怎样才能使体积加倍．于是将这个“提洛问题”去请教哲学家帕拉图．帕拉图对他们说：神的真正意图不在于神坛的加倍，而是想使希腊人为忽视几何学而感到羞愧．另一个故事也是埃拉托塞尼记述的，说古代一位悲剧诗人描述克里特王谜诺斯为格劳科斯修坟．他嫌造的太小，命令说：“必须将体积加倍，但是要保持立方的形状．”接着又说：“赶快将每边的边长加倍．”埃拉托塞尼指出这样是错误的，因为边长加倍，体积就变成原来的8倍．他接着叙述了解决这问题的历史，最后给出自己的器械解法．这些内容它是用短诗的形式写成一封信，奉献给国王托勒密三世的．并郑重其事地刻在国王圣殿的大理石板上，还附有一个解决倍立方问题的器械模型．埃拉托塞尼这封信记载在欧托基奥斯为阿基米德《论球与圆柱》所作的注释中，这两个传说都表明倍立方问题起源于建筑的需要．倍立方问题的起源还有几种说话．例如说神坛的形状和大小问题见于早期的印度文献，有可能通过毕达哥拉斯等人传到欧洲去．四：三大问题的解决一个人不管力气多大，也不可能把自己高举起来．一个学科的问题，往往要借助别的学科的知识才能解决．尺规能作出那些图形？反过来，哪些图形可以用尺规作出？这个问题欧几里得几何本身不能解决．1637年笛卡儿创建解析几何以后，尺规作图的可能性才有了准则．许多几何问题可以转化为代数问题来研究．1837年，旺策尔给出三等分任意角及倍立方不可能用尺规作图的严格证明；1882年，林德曼证明了π的超越性(即π不可能是任何整系数多项式的根)，化圆为方的不可能性也得以确立．1895年，德国现代数学家兼教育家克莱因总结了前人的研究，给出三大问题不可能用尺规作图的简明证明，著《几何三大问题》一书，，彻底解决了两千多年来的悬案．除此之外，还是有很多书和文章给出不可能性的证明．虽然如此，还是有许多人不开这些证明，想独步古今中外，压倒所有前人的工作．他们宣称自己已经解决了三大问题中的某一个．实际上他们并不了解所设的条件和问题之所以不可解的道理，也分不清不可能与困难的本质区别．三大问题不能解决，关键在工具及作图共设的限制．如果不限制工具，那就根本不是什么难题，而且早已解决．五：其它解法三大问题的难处，是工具的限制．如不限制工具或不必遵守作图公设，三大问题是可以解决的，事实上早在古希腊时代已有各种各样的解法．正因为只有冲破尺规限制才能解决问题，所以常常使人闯入未知的领域里去，有所新的发现．门奈赫莫斯为了解倍立方问题而发现圆锥曲线便是最突出的例子．除此以外，还有很多出色的例子,下面再举几个：(1)割圆曲线——关于这曲线的发明人有两种说法，第一种认为是希比阿，这首先为蒙蒂克拉所提倡，以后为希思等人所采用；另一种说法认为是蒂诺斯特拉托斯，这是奥尔曼等人的主张．实际的情况可能是希比阿较早认识这种曲线，以后蒂诺斯特拉托斯在祥加研究．(2)尼科米迪斯的蚌线——尼科米迪斯描述这样一种曲线：设OY⊥OX，EF∥OX，与OX的距离是a．过O作直线OAP交EF于A，在此直线上取P，M两点，使AP=AM=b(定长)，则P及M的轨迹称为蚌线，蚌线分上线两支，P 的轨迹叫上蚌线，M的轨迹叫下蚌线．O称为极点，EF称为准线，b称为模．在笛卡尔直角坐标系中，蚌线的方程是2)2222x=-+y(y)(bay*(3)埃拉托塞尼方法——希波克拉底已将倍立方问题归结为求线段a与2a 之间的两个等比中项x，y的问题．埃拉托塞尼发明一种巧妙的器械求出这两个等比中项．制造三个相同的矩形薄片AF，MG，NH，镶嵌在两条平行的沟槽AQ、EH内．薄片可以彼此独立左右平行滑动，也可以重叠．三条对角线永远是平行的．左边第一个薄片不动，向左移动第二片，使它的一部分重叠在第一片下面，对角线MG与FM交与B点．再移动第三片，使它的一部分重叠在第二片下面，对角线NH交第二片的GN边于C．设D是HQ中点，HD=a，则EA=2a．先调整薄片的位置，使A,B,C,D在一条直线上．由于所构成的三角形的相似性，记FB=y，GC=x，则a：x=x：y=y：2ax，y就是所求的等比中项．三大问题还有多种解法，或是用特殊曲线，或是用尺规以外的特殊器械．如化圆为方问题有阿基米德的螺线解法，倍立方问题有门奈赫莫斯解法、怕波斯解法、阿尔希塔斯的圆柱解法．帝俄克利斯的蔓叶线可接倍立方问题和三分角问题．近代人研究的更多，可列出一长串名单，如韦达、笛卡尔、费马、斯吕塞、维维亚尼、惠更斯、牛顿等都提出过解法．时至今日，三大问题可以说已经彻底解决．可是仍然有人试图用尺规去解，他们不了解问题的实质和它的历史，白白浪费了许多时间和精力，这是很可惜的．理学院08数学05号房振2010-1-13Some people who against occupying seats argue that it's a bad manner to do so有些人对谁占用座位认为，这是一个糟糕的方式这样做We often see there is a table cloth, a book or something else on the desk in the classroom or library, indicating the seat is taken.我们经常看到有台布，一本书或什么就在教室或图书馆服务台否则，说明座位的意见。
数学史--第二讲-古希腊数学--课件
• 通常把公元前30年到公元6世纪(641年，阿拉伯人占 领亚历山大）称为希腊数学的“亚历山大后期”。
趣事
• 欧几里得是希腊论证几何的集大成者。 • 在公元前300年左右，欧几里得受托勒密一世之邀到亚
历山大，成为亚历山大学派得奠基人。据说受托勒密 曾问欧几里德有无学习几何的捷径？欧几里德回答说 ：“几何学无王者之道”。 • 有一次一个学生刚学了第一个几何命题便问“学了这些 我能获得什么呢？”欧几里德叫来一个仆人吩咐说：“ 给这位先生三个分币，因为他一心想从学过的东西中 捞点什么”。－－欧几里德反对狭隘的实用观点
毕达哥拉斯学派的数学成就
• 数的研究 完全数：12，28；亲和数：220和284；形数： “三角 形数”、“正方形数”、 “五角形数”等等；勾股数：
• 几何成就 欧几里得《原本》第8卷附注指出五个正多面体的作图 的其中前三个归功于毕达哥拉斯学派，后两个归功于 蒂奥泰德（毕达哥拉斯学派晚期成员西奥多罗斯的学 生，深受毕达哥拉斯学派影响）。 一般认为，欧几里得《原本》第1卷和第2卷的大部分 资料来源于毕达哥拉斯学派，包括西方文献中一直以 毕达哥拉斯的名字命名的勾股定理。
其贡献涉及几何学和天文学。最重要的数学成就是在 前人基础上创立了相当完美的圆锥曲线论。《圆锥曲 线论》就是这方面的系统总结。
评价：
（1）他对圆锥曲线的研究所达到的高度，直到17世纪 笛卡尔和帕斯卡出场之前，始终无人能够超越。
（2）他的工作中包含了近代微分几何的课题和射影几 何学的萌芽思想。
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毕氏学派百牛大祭
希 腊——已婚妇女定理 法 国——驴桥问题 中 国----商高定理 阿拉伯——新娘的坐椅
欧几里得的证明原图
赵爽的“弦图 ”
二三
一
b
c
1
a
2
3a
刘徽的“青朱出入图”
2002.8 国际数 学家大会会徽
1972年星际飞船 “先锋10号”带 着 “出入相补图
”飞向太空
二、毕达哥拉斯学派
• 希腊论证数学的、天文
学、音乐理论 • 毕达哥拉斯学派创始人 • 信奉“万物皆数 费洛罗斯曾说:“人们所知道的”任何事物都包含数。因此，如果没有数
就既不可能表达，也不可能理解任何事物。”
二、毕达哥拉斯学派 2．勾股定理（毕达哥拉斯定理）
古希腊最早的数学家、哲学家
“希腊七贤”之首
泰从勒泰斯勒最斯先开证始明了，如命下题的证定明理成: 为 1希.两腊直数线学相的交基，对本顶精角神相。等。
2.等腰三角形两底角相等。 3.圆被直径二等分。 4.半圆上的圆周角是直角。
----泰勒斯定理 5.两个三角形全等的边角边定理。
二、毕达哥拉斯学派
1．毕达哥拉斯（Pythagoras）
信徒
μαθηματικοί
普通听讲者
数学
mathematics
二、毕达哥拉斯学派 3．多边形数
应用之妙
精神之美
多边形数
? 多面体数
二、毕达哥拉斯学派 4．不可公度
万物皆数
可公度
不可公度
第一次数学危机
发现
希帕苏斯
证明
阿基米德
若想预见数学的未来，正确的方法是研究它的历史和现状。 ——H．彭加勒
命题证明
把数学当作思想 兴趣和实际应用 追求永恒的真理
伊奥尼亚学派
毕达哥拉斯学派
理那性是的一火个炬涌已动经着点智燃慧,、希思腊想数和学理的性黄的金光时辉期时即代将…来…临。
..\结 束 .MPG
古希腊数学
公元前600年——600年 授课人 天台育青中学 庞永江
数学作为一门有组织、独立的和理性的学科来 说，在古希腊学者登场之前是不存在的。
---M·克莱 因
伊奥尼亚学派
亚里士多德学派
毕达哥拉斯学派
欧多克斯学派
柏拉图学派 诡辩学派 埃利亚学派
一、古希腊数学的先行者—— 泰勒斯
伊奥尼亚学派创始人