上海市2019年高二上学期期末数学试卷-Word版含解析

上海市复旦大学附中高二（上）期末数学试卷

一、填空题（共48分，每空4分）

1．抛物线C的顶点在坐标原点，焦点在坐标轴上，且C过点（﹣2，3），则C的方程是．2．若过点P（2，2）可以向圆x2+y2﹣2kx﹣2y+k2﹣k=0作两条切线，则实数k的取值范围是．3．参数方程（θ∈R）化为普通方程是．

4．M是椭圆上动点，F1，F2是椭圆的两焦点，则∠F1MF2的最大值为．

5．圆x2+（y﹣a）2=9与椭圆有公共点，则实数a的取值范围是．

6．与圆x2+y2﹣4x=0外切，且与y轴相切的动圆圆心的轨迹方程是．

7．双曲线2x2﹣3y2=k（k＜0）的焦点坐标是（用k表示）．

8．已知P（x，y）是圆（x+1）2+y2=1上一点，则2x+3y的最大值为．

9．若直线与圆x2+y2=1在第一象限有两个不同的交点，则实数a的取值范围是．10．椭圆E：的右顶点为B，过E的右焦点作斜率为1的直线L与E交于M，N两点，则△MBN的面积为．

11．设实数x，y满足x2=4y，则的最小值是．

12．椭圆C：向右平移一个单位、向上平移两个单位可以得到椭圆C′：．设直线l：（2a+1）x+（1﹣a）y﹣3=0，当实数a变化时，l被C′截得的最大弦长是．

二、选择题（共20分，每题5分）

13．圆x2+y2+2x+4y﹣3=0上到直线x+y+1=0的距离为的点有（）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

14．“ab＜0”是“方程ax2+by2=c表示双曲线”的（）

A．充分必要条件B．充分不必要条件

C．必要不充分条件 D．既不必要也不充分条件

15．过点（3，0）和双曲线x2﹣ay2=1（a＞0）仅有一交点的直线有（）

A．1条 B．2条 C．4条 D．不确定

16．双曲线C的左、右焦点为F1，F2，P为C的右支上动点（非顶点），I为△F1PF2的内心．当P变化时，I的轨迹为（）

A．双曲线的一部分 B．椭圆的一部分

C．直线的一部分D．无法确定

三、解答题（共52分，8+10+10+12+12）

17．已知抛物线C：y=2x2和直线l：y=kx+1，O为坐标原点．

（1）求证：l与C必有两交点；

（2）设l与C交于A，B两点，且直线OA和OB斜率之和为1，求k的值．

18．斜率为1的动直线L与椭圆交于P，Q两点，M是L上的点，且满足|MP|•|MQ|=2，求点M的轨迹方程．

19．已知椭圆x2+2y2=1上存在两点A，B关于直线L：y=4x+b对称，求实数b的取值范围．20．已知双曲线C的渐近线方程为x±2y=0，且点A（5，0）到双曲线上动点P的最小距离为，求C的方程．

21．设定点A（0，1），常数m＞2，动点M（x，y），设，，且．（1）求动点M的轨迹方程；

（2）设直线L：与点M的轨迹交于B，C两点，问是否存在实数m使得？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．

上海市复旦大学附中高二（上）期末数学试卷

参考答案与试题解析

一、填空题（共48分，每空4分）

1．抛物线C的顶点在坐标原点，焦点在坐标轴上，且C过点（﹣2，3），则C的方程是y2=﹣x或x2=y．

【考点】抛物线的简单性质．

【分析】对称轴分为是x轴和y轴两种情况，分别设出标准方程为y2=﹣2px和x2=2py，然后将（﹣2，3），代入即可求出抛物线标准方程．

【解答】解：（1）抛物线的顶点在坐标原点，对称轴是x轴，并且经过点（﹣2，3），

设它的标准方程为y2=﹣2px（p＞0），∴9=4p

解得：2p=，

∴y2=﹣x；

（2）对称轴是y轴，并且经过点（﹣2，3），抛物线的方程为x2=2py（p＞0），

∴4=6p，

得：2p=，

∴抛物线的方程为：x2=y．

所以所求抛物线的标准方程为：y2=﹣x或x2=y．

故答案为：y2=﹣x或x2=y．

2．若过点P（2，2）可以向圆x2+y2﹣2kx﹣2y+k2﹣k=0作两条切线，则实数k的取值范围是（﹣1，1）∪（4，+∞）．

【考点】圆的切线方程．

【分析】将圆化成标准方程，得（x﹣k）2+（y﹣1）2=k+1，根据方程表示圆的条件和点与圆的位置关系，结合题意建立关于k的不等式组，解之即可得到实数k的取值范围．

【解答】解：圆x2+y2﹣2kx﹣2y+k2﹣k=0，可化为（x﹣k）2+（y﹣1）2=k+1．

∵方程x2+y2﹣2kx﹣2y+k2﹣k=0表示圆，

∴k+1＞0，解之得k＞﹣1．

又∵过点P（2，2）可以向圆x2+y2﹣2kx﹣2y+k2﹣k=0作两条切线，

∴点P（2，2）在圆外，可得（2﹣k）2+（2﹣1）2＞k+1，

解之得k＜1或k＞4

综上所述，可得k的取值范围是（﹣1，1）∪（4，+∞），

故答案为（﹣1，1）∪（4，+∞）．

3．参数方程（θ∈R）化为普通方程是x2+（y﹣1）2=1．

【考点】参数方程化成普通方程．

【分析】利用同角三角函数平方关系，可得结论．

【解答】解：由题意，消去参数θ，可得普通方程是x2+（y﹣1）2=1，

故答案为x2+（y﹣1）2=1．

4．M是椭圆上动点，F1，F2是椭圆的两焦点，则∠F1MF2的最大值为π﹣arccos．【考点】椭圆的简单性质．

【分析】求得椭圆的a，b，c，由椭圆中焦点三角形中，焦距所对角最大，可得∠F1MF2最大，此时M为短轴端点．再由余弦定理，计算即可得到所求最大角．

【解答】解：椭圆的a=3，b=1，c==2，

由椭圆中焦点三角形中，焦距所对角最大，

可得∠F1MF2最大，此时M为短轴端点．

则cos∠F1MF2=

==﹣，

可得∠F1MF2的最大值为π﹣arccos．

故答案为：π﹣arccos．

5．圆x2+（y﹣a）2=9与椭圆有公共点，则实数a的取值范围是[﹣6，6] ．