1.3.2等比数列前n项和(第2课时)教学设计

§1.3.2等比数列的前n项和（第二课时）教学设计一、教材分析1、在教材中所处的地位和作用《等比数列的前n项和》是数列这一章中的一个重要内容，它不仅在现实生活中有着广泛的实际应用，如储蓄、分期付款的有关计算等等，而且公式推导过程中所渗透的类比、化归、分类讨论、整体变换和方程等思想方法，都是学生今后学习和工作中必备的数学素养．2、从学生的认知角度看学生很容易把本节内容与等差数列前n项和公式的应用进行类比，这是认知的有利因素．认知的不利因素有：本节公式的应用与等差数列前n项和公式的应用有着很大的不同，这对学生的思维定势是一个突破，另外，对于q=1这一特殊情况，学生往往容易忽视，尤其是在后面使用的过程中容易出错3、学情分析教学对象学习了必修1和必修4的高中生，虽然具有一定的分析问题和解决问题的能力，逻辑思维能力也初步形成，但由于年龄的原因，思维尽管活跃、敏捷，却缺乏冷静、深刻，因而片面、不够严谨．并且由于湖北省对教材的安排顺序，导致算法的内容学生没有学习，所以课本例3不能讲解.4、教学重难点分析教学重点：进一步熟练掌握等比数列的通项公式和前n项和公式教学难点：灵活使用公式解决问题这样确定重点，既能夯实“双基”，又凸现了掌握知识的三个层次：识记、理解和运用．而公式的运用又用到了多种重要的数学思想方法，所以既是重点又是难点．二、教学目标分析1、知识与技能目标;掌握等比数列前n项和公式的的特点，在此基础上能初步应用公式解决与之有关的问题．分析：这一目标体现了基础知识的落实、基本技能的形成，这是数学教学的首要环节，也正符合课程标准的要求．2、过程与方法目标：通过对公式运用的探索与发现，向学生渗透特殊到一般、类比与转化、分类讨论等数学思想，培养学生观察、比较、抽象、概括等逻辑思维能力和逆向思维的能力．分析：因为数学教学的最终目的是通过思想方法的渗透以及思维品质的锻炼，从而让学生在能力上得到发展．3、情感态度与价值观目标：通过对公式运用的探索与发现，优化学生的思维品质，渗透事物之间等价转化和理论联系实际的辩证唯物主义观点．三，教法分析采用“问题――探究”的教学模式，把整个课堂分为呈现问题、探索规律、总结规律、应用规律四个阶段．利用多媒体辅助教学，直观地反映了教学内容，使学生思维活动得以充分展开，从而优化了教学过程，大大提高了课堂教学效率．四、教学过程分析 （一）、复习回顾、引入新课 1、等比数列的定义 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列.2、等比数列的通项公式11n n m n m a a q a q --==3、等比数列的前n 项和公式111111nn na q S a a q q -q =⎧⎪=-⎨≠⎪⎩，。

或11111n n na q S a a q q -q=⎧⎪=-⎨≠⎪⎩，。

设计意图：在认识到需要用到上节课学习过的等比数列的求和公式的时候，顺其自然的复习旧知（1）、课前练习2111()n a a a n - 、数列，，，，，的前项和为1.1n a A a -- 11.1n a B a +-- 11.1n a C a--- D.以上均不正确 2{},{}()n n n a n S S 、若等比数列的前项和为则数列中A.任意一项都不为0B.必有一项为0C.至多有有限项为0D.可以有无数项为023{}21{}1{}(41)3n n n n n n n n n a n S b b a b n T =-==-、若等比数列的前项和，数列满足：，则的前项和。

（2）、实例引入，提出运用例1. 如图，画一个边长为2cm 的正方形，再将这个正方形各边的中点相连得到第二个正方形，依此类推，这样一共画了10个正方形.求：（1）第5个正方形的边长； （2）第10个正方形的面积； （3）这10个正方形的面积之和.设计意图：通过实例激发学生的兴趣，调动学习的积极性师生互动探究问题问题1：第一个正方形的边长和第二个正方形的边长有什么关系？你能发现规律吗？问题2：第一个正方形的面积和第二个正方形的面积有什么关系？你能发现规律吗？问题3：怎样求这10个正方形的面积之和？设计意图：层层设问，由边长到面积再到面积的和，引导学生发现边长和面积的变化规律，从而主动去运用等比数列的相应公式，符合学生的认知规律.（3）合作探究，形成规律 探究一；1111111n n n n a a q a aS S q -q -q -q-=⇒=-+011≠-=-q a A 令A Aq S n n -=则：（这个形式和等比数列等价吗）等比数列前n 项和性质1；是等比数列数列}{n a ⇔)0(-≠=A A Aq S n n类似结论)1,0(≠≠+=A AB B Aa S n n （Ａ与Ｂ互为相反数）例题讲解的值，求项和的前、若等比数列a a S n a n n n +=4}{1提示：)0(-≠=A A Aq S n n 系数和常数互为相反数1-=∴a变式练习；的值。

，求项和的前、若等比数列a a S n a n n n 23}{11+=- a S n n 2331+⨯=化简到：0231=+∴a 61-=⇒a探究二；我们知道，等差数列有这样的性质：{}K 232S ,,新的数列首项为，也成等差数列。

则为等差数列如果k k k k k n S S S S S a --。

公差为d k 2那么，在等比数列重，也有类似的性质吗？等比数列前n 项和性质２；{}232,,n k k k k k a S S S S S --，则如果为等比数列也成等比数列。

新的等比数列的首项为k S ，公比为kq （怎么证明？）设计意图：1.公式解答，渗透整体思想；2.渗透合情推理中的类比推理思想例题讲解；的值。

，求，，若项和为的前、等比数列m m m n n S S S S n a 323010}{2== 的值。

，求若，项和为的前、等比数列101551013231,1}{3S SS S a S n a n n =-= 解：1010553131,32(0)32S S k S k k S =∴==≠设 25105151010551510--,(-)(-)S S S S S S S S S S ∴=⋅ ，，成等比数列215151510993993(31-32)32(-31),32992S k k k S k S k S =⋅=∴=即：解得： 变式训练102030{}2080260n n a n S S SS ===1、等比数列的前项和为，若，，则。

２、任意等比数列，它的前 n 项和、前 2n 项和与前 3n 项和分别为 X 、Y 、Z ，则下列等式中恒成立的是（ Ｄ ）A ．X ＋Z ＝2YB ．Y(Y －X)＝Z(Z －X)C ．Y2＝XZD ．Y(Y －X)＝X(Z －X) 等比数列前n 项和性质３；{}2n S a n q S =偶奇若等比数列共有项，则：等比数列前n 项和性质４；{}n a q m p N *∀∈，、：如果为公比为的等比数列对有 m m p m p S S q S +=+（以上性质的证明，学生自己探讨）例题解析；139914{}60,{}100803n n a a a a a +++= 、若等比数列的公比为，且则的前项和为。

变式训练：１、已知一个等比数列其首项是1，项数是偶数，所有奇数项和是85，所有偶数项和是170，求此数列的项数？提示：17021708525585n S q S S S S ====+=+=偶偶奇奇12255812nn n --=⇒=由等比数列前项和公式得：121{}66128126n n n na a a a a n S n q-+=⋅==2、在等比数列中，，，前项和，求及公比。

（三）、综合例题解析，拨开云雾例１、求和()()()212na a a n -+-++- （能看成等比数列吗？）设计意图：1.等比数列中不能有“0”这样的项；2.等比数列的前n 项和公式需要注意公比q 是否等于1，渗透分类讨论数学思想.（四）实际应用，游刃有余例２、一个热气球在第一分上升了25m 的高度，在以后的每一分里，它上升的高度都是它在前一分高度的80%，这个热气球上升的高度能超过125m 吗？例３如图120-所示，作边长为a 的正三角形的内切圆，在这个圆内作内接正三角形，然后，再作新三角形的内接圆。

如此下去，求前ｎ个内切圆的面积和。

设计意图：课本例题2，３让学生理解等比数列的相关知识在实际生活中有着广泛的应用.激励学生从实际问题中建立数学模型，并且渗透方程的思想.（五）、课时练习与课时小结及作业布置课时作业：１、课本第２９页练习２第１、２题 拓展练习：23147555{}224;(31)n n a n S a a a a a S S ==2、已知等比数列前项和为，若，且与的等差中项为，求243553{}17;31()4n n a n S a a S S S ===、已知正项等比数列前项和为，若，，求14{}42{}24())33n n n n n n n a n S S a a a -=+=-⨯、已知数列的前项和满足：，求数列的通项公式。

(课时小结１、等比数列前ｎ项和的性质，在这五个量中，知三求二；２、运用等比数列求和公式的时候，一定要对公比是否为１进行检查，注意分类讨论； ３、在解决实际问题的时候，注意根据题目的意思建立等比数列的模型，转化为能用公式解决的问题；４、等比数列与等差数列有很多的性质可以类比； 作业布置习题1—3A 组 第10题 Ｂ组 第３、４题五、评价分析本节课通过对等比数列前n 项和公式的运用，使学生既巩固了知识，又形成了技能．在此基础上，通过民主和谐的课堂氛围，培养了学生自主学习、合作交流的学习习惯，也培养了学生勇于探索、不断创新的思维品质．六、课后反思。