高三高考数学总复习《不等式选讲》题型归纳与训练
高考数学压轴专题新备战高考《不等式选讲》知识点总复习附答案解析
数学高考《不等式选讲》试题含答案一、141．已知集合||1|2,}M x x x R =〈-∈„，集合5|1,1P x x R x ⎧⎫=≥∈⎨⎬+⎩⎭，则M P ⋃等于( )。
A ．{|13}x x -<≤B ．{|14}x x -<≤C ．{}|4x x ≤D ．{|14}x x -≤≤（ ） 【答案】D 【解析】 【分析】根据绝对值不等式及分式不等式，化简集合M,P ，根据并集运算求解即可. 【详解】Q |1|2x -„,∴ 13x -≤≤,即[1,3]M =-，511x ≥+Q， 14x ∴-<≤，即(1,4]P =-,[1,4]M P ∴=-U ,故选：D 【点睛】本题主要考查了集合的并集运算，分式不等式，绝对值不等式，属于中档题.2．已知()23f x x x =+，若1x a -≤，则下列不等式一定成立的是（ ）A ．()()33f x f a a -≤+B ．()()5f x f a a -≤+C ．()()24f x f a a -≤+D ．()()()231f x f a a -≤+【答案】C 【解析】 【分析】先表示出()()f x f a -，利用绝对值三角不等式a b a b ±≤+即可求解. 【详解】由()23f x x x =+，得()()()(3)f x f a x a x a -=-++，因为1x a -≤，所以()(3)323x a x a x a x a a -++≤++=-++，由绝对值三角不等式得232324x a a x a a a -++≤-++≤+，故()()24f x f a a -≤+一定成立.故选：C. 【点睛】本题主要考查绝对值三角不等式的灵活应用，在求最值时要注意等号成立的条件，考查逻辑推理能力，属基础题.3．若集合{}2540A x x x =-+<，{}1B x x a =-<，则“()2,3a ∈”是“B A ⊆”的（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】解出集合A 、B ，由B A ⊆得出关于a 的不等式组，求出实数a 的取值范围，由此可判断出“()2,3a ∈”是“B A ⊆”的充分非必要条件. 【详解】解不等式2540x x -+<，解得14x <<，{}14A x x ∴=<<. 解不等式1x a -<，即11x a -<-<，解得11a x a -<<+，{}11B x a x a ∴=-<<+.B A ⊆Q ，则有1114a a -≥⎧⎨+≤⎩，解得23a ≤≤.因此，“()2,3a ∈”是“B A ⊆”的充分非必要条件. 故选：A 【点睛】本题考查充分非必要条件的判断，一般将问题转化为集合的包含关系来判断，考查逻辑推理能力，属于中等题.4．2018年9月24日，英国数学家.M F 阿帝亚爵在“海德堡论坛”展示了他“证明”黎曼猜想的过程，引起数学界震动，黎曼猜想来源于一些特殊数列求和，记222111123S n =+++++L L ，则（ ） A ．413S << B ．4332S << C ．322S << D ．2S >【答案】C 【解析】 【分析】由题意，可知21111111(2,)1(1)(1)1n n N n n n n n n n n n+-=<<=-≥∈++--，利用放缩法和极限，即可得到答案.【详解】由题意，可知21111111(2,)1(1)(1)1n n N n n n n n n n n n+-=<<=-≥∈++--， 所以2221111111113111()()()232334121n S n n n n =+++++>+-+-++-=-++L L L 22211111111111(1)()()2232231n S n n n nL L =++++<+-+-++-=--， 当n →+∞且n N +∈时，101n →+，且10n →，所以322S <<，故选C. 【点睛】本题主要考查了数列思想的应用问题，其中解答中，认真审题，利用21n进行合理放缩，再利用极限求解是解答本题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及放缩思想的应用，属于中档试题.5．已知a ，b 均为正数，且20ab a b --=，则22214a b a b-+-的最小值为（ ）A ．6B ．7C ．8D ．9 【答案】B 【解析】 【分析】a ，b 均为正数，且ab ﹣a ﹣2b ＝0，可得21a b+=1，根据柯西不等式求出代数式的最小值即可． 【详解】∵a ，b 均为正数，且ab ﹣a ﹣2b ＝0， ∴21a b+=1． 则22214a b a b-+- 24a =+b 2﹣1， 又因为2a +b ＝（21a b +）（2a +b ）22b a a b=++2≥2+2＝4，当且仅当a ＝4，b ＝2时取等号．∴（24a +b 2）（1+1）≥（2a +b ）2≥16，当且仅当a ＝4，b ＝2时取等号．∴24a +b 2≥8， ∴224a a-+b 2214a b -=+b 2﹣1≥7．故选：B ． 【点睛】本题考查“乘1法”、基本不等式的性质、柯西不等式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6．已知,,x y z ∈R ，若234x y z -+=，则222(5)(1)(3)x y z ++-++的最小值为( ) A ．37200B ．2007C ．36D ．40【答案】B 【解析】 【分析】根据柯西不等式得到不等式关系，进而求解. 【详解】根据柯西不等式得到()()()()()()2222221(2)352135313x y z x y z ⎡⎤+-+≥++-+++--++⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()()()2222511423164030x y z x y z ⎡⎤++-++≥-++=⎣⎦进而得到最小值是：2007故答案为B. 【点睛】这个题目考查了柯西不等式的应用，比较基础.7．已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()2*21221n n a a S n n N +==++∈，，若对任意的*n N ∈，1211120nn a n a n a λ++⋯+-≥+++恒成立，则实数λ的取值范围为（ ） A ．(]2∞-，B ．(]1∞-， C ．14∞⎛⎤- ⎥⎝⎦，D ．12，∞⎛⎤- ⎥⎝⎦【答案】C 【解析】 【分析】2212,21n n a a S n +==++ ()*n N ∈，可得2n ≥时，()221121210n n n n n n a a S S a a +--=-+=+>，．可得11n n a a +=+时，212224a a +==，解得1a ．利用等差数列的通项公式可得n a ．通过放缩即可得出实数λ的取值范围． 【详解】2212,21n n a a S n +==++Q ()*n N ∈，2n ∴≥时，()22112121n n n n n a a S S a +--=-+=+， 化为：222121(1)n n n n a a a a +=++=+，0n a >．11n n a a +∴=+，即11n n a a +-=，1n =时，212224a a +==，解得11a =．∴数列{}n a 为等差数列，首项为1，公差为1．11n a n n ∴=+-=． 1211111112n n a n a n a n n n n∴++⋯+=++⋯+++++++. 记11112n b n n n n =++⋯++++，1111111211n b n n n n +=++⋯++++++++. ()()11111022*******n n b b n n n n n +-=+-=>+++++. 所以{}n b 为增数列，112n b b ≥=,即121111111122n n a n a n a n n n n ++⋯+=++⋯+≥++++++. Q 对任意的*n N ∈，1211120nn a n a n a λ++⋯+-≥+++恒成立， 122λ∴≤，解得14λ≤ ∴实数λ的取值范围为14∞⎛⎤- ⎥⎝⎦，．故选C ． 【点睛】本题考查了数列递推关系、等差数列的通项公式、放缩法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．8．空间中两条不相交的直线与另外两条异面直线都相交，则这两条直线的位置关系是（ ） A ．平行或垂直 B ．平行C ．异面D ．垂直【答案】C【解析】 【分析】利用反证法证明得解. 【详解】不妨设空间中不相交的两条直线为a b ，，另外两条异面直线为c d ，， 由于a b ，不相交，故a b ，平行或异面， 设a c ，确定的平面为α.不妨设a b ∥，①当b α⊂时，则a b ，与直线d 的交点都在α内，故d α⊂，而这与c d ，为异面直线矛盾；②当b α⊄时，由a b ∥可知b P α，又c α⊂，故b c ，没有公共点，与b c ，相交矛盾. 由①②知假设a b ∥错误，故a b ，为异面直线. 故选C. 【点睛】本题主要考查异面直线的判定和反证法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.9．函数y ＝|x －3|－|x ＋1|的( ) A ．最小值是0，最大值是4 B ．最小值是－4，最大值是0 C ．最小值是－4，最大值是4 D ．没有最大值也没有最小值【答案】C 【解析】因为y ＝|x －3|－|x ＋1|4,322,134,1x x x x -≥⎧⎪=--<<⎨⎪≤-⎩，所以最小值是－4，最大值是4，选C.点睛：分段函数的最值由于分段函数在定义域不同的子区间上对应不同的解析式，因而求其最值的常用方法是先求出分段函数在每一个子区间上的最值，然后取各区间上最大值中的最大者作为分段函数的最大值，各区间上最小值中的最小者作为分段函数的最小值．10．不等式的解集是 ( )A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】 【分析】利用绝对值三角不等式，得到，恒成立.【详解】恒成立.故答案选B 【点睛】本题考查了解绝对值不等式，利用绝对值三角不等式简化了运算.11．集合{}|12A x x =-<，1393x B x ⎧⎫=<<⎨⎬⎩⎭，则A B I 为( ) A ．()1,2 B ．()1,2-C ．()1,3D ．()1,3-【答案】B 【解析】 【分析】计算得到{}13A x x =-<<，{}12B x x =-<<，再计算A B I 得到答案. 【详解】18{}13x x =-<<，{}139123x B x x x ⎧⎫=<<=-<<⎨⎬⎩⎭， 故()1,2A B =-I . 故选：B . 【点睛】本题考查了集合的交集运算，意在考查学生的计算能力.12．“31a -<<”是“存在x ∈R ，使得|||1|2x a x -++<”的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既非充分又非必要条件【答案】C 【解析】 【分析】设:31p a -<<，1:,|||2x R x a x q ∃∈-++<，考虑命题“若p 则q ”及其逆命题的真假后可得两者之间的条件关系. 【详解】设:31p a -<<，||:|1|2q x a x -++<，当31a -<<时，|||1|1x a x a -++≥+总成立，而12a +<， 故|||1|2x a x -++<在R 上有解，故,|||1|2x R x a x ∃∈-++<， 所以“若p 则q ”为真命题.若,|||1|2x R x a x ∃∈-++<，则()min21x a x >-++，由绝对值不等式可知11x a x a -++≥+，当且仅当()()10x a x --≤时等号成立，所以1x a x -++的最小值为1a +，故21a >-即31a -<<，所以“若q 则p ”为真命题.综上，“31a -<<”是“存在x ∈R ，使得|||1|2x a x -++<”的充要条件. 故选：C. 【点睛】充分性与必要性的判断，可以依据命题的真假来判断，若“若p 则q ”是真命题，“若q 则p ”是假命题，则p 是q 的充分不必要条件；若“若p 则q ”是真命题，“若q 则p ”是真命题，则p 是q 的充分必要条件；若“若p 则q ”是假命题，“若q 则p ”是真命题，则p 是q 的必要不充分条件；若“若p 则q ”是假命题，“若q 则p ”是假命题，则p 是q 的既不充分也不必要条件.13．已知全集U =R ，{|13}P x x x =+-<，{|213}Q x x =-<，则集合P ，Q 之间的关系为（ ）A ．集合P 是集合Q 的真子集B ．集合Q 是集合P 的真子集C ．P Q =D ．集合P 是集合Q 的补集的真子集【答案】C 【解析】 【分析】先化简得{|12}P x x =-<<．求出{||21|3}{|12}Q x x x x =-<=-<<，由此得到P Q =． 【详解】 |||1|3x x +-<Q ，∴当0x „时，|||1|1213x x x x x +-=-+-=-+<，解得1x >-．10x ∴-<„；当01x <„时，|||1|113x x x x +-=+-=<，成立；当1x >时，|||1|1213x x x x x +-=+-=-<，解得2x <．12x ∴<<． {|12}P x x ∴=-<<．{||21|3}{|12}Q x x x x =-<=-<<， P Q ∴=．故选：C ． 【点睛】本题考查两个集合的关系的判断，考查集合与集合的包含关系等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．14．对任意x ∈R ,不等式22|sin ||sin |x x a a +-≥恒成立,则实数a 的取值范围是（ ） A ．01a ≤≤ B ．11a -≤≤C ．12a -≤≤D ．22a -≤≤【答案】B 【解析】【分析】解法一:（换元法）设sin t x =,则原不等式可化为22||||t t a a +-≥.求函数()||||||f t t t t a =++-的最小值,从而不等式2||a a ≥可得11a -≤≤.解法二:（特殊值法）代入2a =, 1a =-,排除错误选项即可. 【详解】解:解法一:（换元法）设sin t x =,则原不等式可化为22||||t t a a +-≥.令()||||||f t t t t a =++-,则min [()](0)||f t f a ==, 从而解不等式2||a a ≥可得11a -≤≤.故选B . 解法二:（特殊值法）当2a =时,因为2|sin ||sin 2|2sin 2|sin |2|sin |2x x x x x +-=-+≥+≥, 当且仅当sin 0x =时,等号成立. 此时2|sin ||sin 2|4x x +-≥不恒成立, 所以2a =不合题意,可以排除C 、D .当1a =-时,因为2|sin ||sin 1|1sin 2|sin |1|sin |1x x x x x ++=++≥+≥, 当且仅当sin 0x =时,等号成立. 此时2|sin ||sin 1|1x x ++≥恒成立, 所以1a =-符合题意,可以排除A. 故选:B 【点睛】本题考查绝对值不等式的参数问题,属于中档题,利用函数求最值的方法或者特殊值排除法都可以解题.15．函数()f x 的定义域为A ,若存在非零实数t ，使得对于任意()x C C A ∈⊆有,x t A +∈且()()f x t f x +≤，则称()f x 为C 上的t 度低调函数.已知定义域为[)0+∞，的函数()=3f x mx --，且()f x 为[)0+∞，上的6度低调函数，那么实数m 的取值范围是（ ）A ．[]0,1B ．[)1+∞，C ．(],0-∞D ．][(),01,-∞⋃+∞ 【答案】D【解析】试题分析：由题意得， ()()6633f x f x mx m mx +≤⇒+-≥-对任意0x ≥都成立.当0m ≤时， 633633|m mx m mx -≤-⇒+-≥-恒成立；当0m >时，结合图象可知，要633mx m mx +-≥-对任意0x ≥都成立，只需0x =时633mx m mx +-≥-成立即可，即6331m m -≥-⇒≥.选D.考点：1、新定义函数；2、绝对值不等式.16．若,,a b c ∈R ，则下列结论中: (1)2211a a a a+≥+； (2)a b a c b c -≤-+-； (3)若a b >，则11a ba b>++；(4)若1a b +=，则2221a b a b +++的最小值为 其中正确结论的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B 【解析】 【分析】利用函数知识、换元法、绝对值不等式等知识，对选项进行一一推理证明，即可得答案. 【详解】对（1），2221111()()20a a a a a a a a +≥+⇔+-+-≥，∴12a a +≥或11a a+≤-， ∵12a a +≥或12a a+≤-，∴原不等式成立，故（1）正确；对（2），∵()()a b a c b c a c b c -=---≤-+-，故（2）正确； 对（3），令1,52a b =-=-，则51,114a b a b =-=++，显然11a b a b>++不成立，故（3）错误；对（4），∵1a b +=，∴222222(1)231111a b b b b a b b b b +-+++=+=+-+-，当1b >时，2301b b +<-，∴2221a b a b +++的最小值为4）错误. 故选：B. 【点睛】本题考查函数与不等式的知识，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意消元法、换元法的使用.17．已知下列命题：①,122x R x x ∀∈-++>；②函数21()lg3f x x x=+-的零点有2个；③2x >是2320x x -+>的充分不必要条件；④命题：32,10x x x ∀∈--≤R 的否定是：32,10x x x ∃∈-->R ，其中真命题有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 【答案】D【解析】【分析】 由绝对值不等式，得()()12123x x x x -++≥--+=，故①正确；由图象可知lg y x =和23y x =-在()0,+?上有两个交点，故②正确；由2320x x -+>，得2x >或1x <，故③正确；全称命题的否定为特称命题，并将“≤”改为“>”，故④正确.【详解】 Q ()()12123x x x x -++≥--+=，∴ ,122x R x x ∀∈-++>，①正确；函数21()lg3f x x x =+-定义域为()0,+?， 由21()lg30f x x x =+-=， 得2lg 30x x -+-=即2lg 3x x =-，由图可知lg y x =的图象和23y x =-在()0,+?上有两个交点，所以方程2lg 3x x =-有两个解，即21()lg 3f x x x=+-有2个零点，②正确； 由2320x x -+>，解得2x >或1x <，所以2x >是2320x x -+>的充分不必要条件，③正确；命题：32,10x x x ∀∈--≤R 的否定是：32,10x x x ∃∈-->R ，④正确.故选：D【点睛】本题考查了绝对值不等式、函数的零点问题、充分条件与必要条件的判断以及全称命题的否定，考查了数形结合思想和转化思想，属于中档题.18．已知函数()1()02f x x a a a =-+≠．当12a <时，函数()()21g x f x x =+-有零点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1,02⎡⎫-⎪⎢⎣⎭B ．10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．8,03⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．4,03⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】A【解析】【分析】 将函数的零点问题转化为方程的根问题，再构造函数1(2)g x x a x =+--求得函数的值域，可得关于a 的不等式，解不等式即可得到答案.【详解】 Q 函数()()21g x f x x =+-有零点，∴方程2112x ax a -=+--有根， 令1(2)g x x a x =+--，则31,,1()1,,2131,,2x a x a g x x a a x x a x ⎧⎪-+-≤⎪⎪=--+<≤⎨⎪⎪-->⎪⎩ ∴1()[,)2g x a ∈--+∞，∴11,221,2a a a ⎧-≥--⎪⎪⎨⎪<⎪⎩，解得：1,02a ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭. 故选：A.【点睛】本题考查已知函数存在零点求参数的取值范围，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意将函数的零点转化为方程的根.19．若关于x 的不等式x 2x 1a +-->的解集不是空集，则实数a 的取值范围是( )A ．()3,∞B ．()3,∞-C ．(),3∞-D ．(),3∞--【答案】C【解析】x 2x 1+--表示数轴上的x 对应点到2-和1对应点的距离之差，其最大值为3，故当3a >时，关于x 的不等式x 2x 1a +-->的解集不是空集，故实数a 的取值范围为(),3∞-，故选C.点睛：本题主要考查了绝对值不等式的解法，以及转化与化归思想，难度一般；常见的绝对值不等式的解法，法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．20．已知,,x y z R +∈,且1x y z ++=，则222x y z ++的最小值是（ ）A ．1B ．13C ．12D ．3 【答案】B【解析】【分析】利用柯西不等式得出()()()2222222111x y z x y z ++++≥++，于此可得出222x y z ++的最小值。
高考数学压轴专题人教版备战高考《不等式选讲》知识点总复习有解析
【最新】高考数学《不等式选讲》专题解析一、141．设0x >，则()2142f x x x=--的最大值为（ ） A．4B．4C ．不存在D ．52【答案】D 【解析】 【分析】化简得到()214222x xf x x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，再利用均值不等式计算得到答案. 【详解】()2211544422222x x f x x x x ⎛⎫=--=-++≤-= ⎪⎝⎭当21222x x x ==即1x =时等号成立 故选：D 【点睛】本题考查了利用均值不等式求函数最值，意在考查学生对于均值不等式的灵活运用.2．若不等式23x a x -≤+对任意[]0,2x ∈恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．()1,3- B ．[]1,3-C ．()1,3D ．[]1,3【答案】B 【解析】 【分析】将不等式去掉绝对值符号，然后变量分离转为求函数的最值问题. 【详解】不等式23x a x -≤+去掉绝对值符号得323x x a x --≤-≤+，即3223x x a x a x --≤-⎧⎨-≤+⎩对任意[]0,2x ∈恒成立，变量分离得333a x a x ≤+⎧⎨≥-⎩，只需min max (33)(3)a x a x ≤+⎧⎨≥-⎩，即31a a ≤⎧⎨≥-⎩所以a 的取值范围是[]1,3- 故选：B 【点睛】本题考查绝对值不等式的解法和恒成立问题的处理方法，属于基础题.3．若关于x 的不等式222213x t x t t t +-+++-<无解，则实数t 的取值范围是（ ） A ．1,15⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．(],0-∞C ．(],1-∞D ．(],5-∞ 【答案】C 【解析】 【分析】先得到当0t ≤时，满足题意，再当0t >时，根据绝对值三角不等式，得到22221x t x t t +-+++-的最小值，要使不等式无解，则最小值需大于等于3t ，从而得到关于t 的不等式，解得t 的范围 【详解】关于x 的不等式222213x t x t t t +-+++-<无解， 当0t ≤时，可得此时不等式无解， 当0t >时，()2222221221x t x t t x t x t t +-+++-+--++-≥21t =--，所以要使不等式无解，则213t t --≥， 平方整理后得20541t t ≤--， 解得115t ≤≤-， 所以01t <≤，综上可得t 的范围为(],1-∞， 故选：C. 【点睛】本题考查绝对值的三角不等式的应用，根据不等式的解集情况求参数的范围，属于中档题.4．已知a ，b 均为正数，且20ab a b --=，则22214a b a b-+-的最小值为（ ）A ．6B ．7C ．8D ．9 【答案】B 【解析】 【分析】a ，b 均为正数，且ab ﹣a ﹣2b ＝0，可得21a b+=1，根据柯西不等式求出代数式的最小值即可． 【详解】∵a ，b 均为正数，且ab ﹣a ﹣2b ＝0，∴21a b+=1． 则22214a b a b-+- 24a =+b 2﹣1， 又因为2a +b ＝（21a b +）（2a +b ）22b a a b=++2≥2+2＝4，当且仅当a ＝4，b ＝2时取等号．∴（24a +b 2）（1+1）≥（2a +b ）2≥16，当且仅当a ＝4，b ＝2时取等号．∴24a +b 2≥8， ∴224a a-+b 2214a b -=+b 2﹣1≥7．故选：B ． 【点睛】本题考查“乘1法”、基本不等式的性质、柯西不等式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．5．已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()2*21221n n a a S n n N +==++∈，，若对任意的*n N ∈，1211120nn a n a n a λ++⋯+-≥+++恒成立，则实数λ的取值范围为（ ） A ．(]2∞-，B ．(]1∞-， C ．14∞⎛⎤- ⎥⎝⎦，D ．12，∞⎛⎤- ⎥⎝⎦【答案】C 【解析】 【分析】2212,21n n a a S n +==++ ()*n N ∈，可得2n ≥时，()221121210n n n n n n a a S S a a +--=-+=+>，．可得11n n a a +=+时，212224a a +==，解得1a ．利用等差数列的通项公式可得n a ．通过放缩即可得出实数λ的取值范围． 【详解】2212,21n n a a S n +==++Q ()*n N ∈，2n ∴≥时，()22112121n n n n n a a S S a +--=-+=+，化为：222121(1)n n n n a a a a +=++=+，0n a >．11n n a a +∴=+，即11n n a a +-=，1n =时，212224a a +==，解得11a =．∴数列{}n a 为等差数列，首项为1，公差为1．11n a n n ∴=+-=． 1211111112n n a n a n a n n n n∴++⋯+=++⋯+++++++. 记11112n b n n n n =++⋯++++，1111111211n b n n n n +=++⋯++++++++. ()()11111022*******n n b b n n n n n +-=+-=>+++++. 所以{}n b 为增数列，112n b b ≥=,即121111111122n n a n a n a n n n n ++⋯+=++⋯+≥++++++. Q 对任意的*n N ∈，1211120nn a n a n a λ++⋯+-≥+++恒成立， 122λ∴≤，解得14λ≤ ∴实数λ的取值范围为14∞⎛⎤- ⎥⎝⎦，．故选C ． 【点睛】本题考查了数列递推关系、等差数列的通项公式、放缩法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6．若存在x ,∈R ,使2x a 23x 1-+-≤成立,则实数a 的取值范围是（ ）A ．[]75--，B ．()57，C ．[]57，D ．][()57∞∞-⋃+，， 【答案】C 【解析】 【分析】先利用绝对值三角不等式求223x a x -+-的最小值，即得实数a 的取值范围. 【详解】由题得223=262|6|x a x x a x a -+--+-≥-，所以|6|1,161,57a a a -≤∴-≤-≤∴≤≤. 故选C 【点睛】本题主要考查绝对值三角不等式和绝对值不等式的能成立问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.7．已知命题P:2log (1)1x -<；命题q:21x -<,则p 是q 的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】 【分析】先化简命题p 和q,再利用充要条件的定义判断得解. 【详解】由题得命题p:1＜x ＜3，命题q:1＜x ＜3. 所以命题p 是命题q 的充要条件. 故选C 【点睛】本题主要考查对数不等式和绝对值不等式的解法，考查充要条件的判断，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.8．已知集合||1|2,}M x x x R =〈-∈„，集合5|1,1P x x R x ⎧⎫=≥∈⎨⎬+⎩⎭，则M P ⋃等于( )。
高三数学不等式选讲试题答案及解析
高三数学不等式选讲试题答案及解析1.设函数，，记的解集为M，的解集为N.（1）求M；（2）当时，证明：.【答案】（1）；（2）详见解析.【解析】（1）由所给的不等式可得当时，由，或当时，由，分别求得它们的解集，再取并集，即得所求．（2）由，求得N，可得．当x∈M∩N时，f（x）=1-x，不等式的左边化为，显然它小于或等于，要证的不等式得证．（1）当时，由得，故；当时，由得，故；所以的解集为.（2）由得解得，因此，故.当时，，于是.【考点】1.其他不等式的解法；2.交集及其运算．2.设不等式的解集为M，.（1）证明：；（2）比较与的大小，并说明理由.【答案】（1）证明过程详见解析；（2）|1－4ab|＞2|a－b|.【解析】本题主要考查绝对值不等式的解法、绝对值的运算性质、作差法比较大小等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，先利用零点分段法将化为分段函数，解不等式求出M，再利用绝对值的运算性质化简得，由于，代入得；第二问，利用第一问的结论，作差比较大小，由于和均为正数，所以都平方，作差比较大小.（1）记f(x)＝|x－1|－|x＋2|＝由－2＜－2x－1＜0解得，则． 3分所以． 6分（2）由（1）得，．因为|1－4ab|2－4|a－b|2＝(1－8ab＋16a2b2)－4(a2－2ab＋b2)＝(4a2－1)(4b2－1)＞0， 9分所以|1－4ab|2＞4|a－b|2，故|1－4ab|＞2|a－b|． 10分【考点】绝对值不等式的解法、绝对值的运算性质、作差法比较大小.3.阅读：已知、，，求的最小值.解法如下：，当且仅当，即时取到等号，则的最小值为.应用上述解法，求解下列问题：（1）已知，，求的最小值；（2）已知，求函数的最小值；（3）已知正数、、，，求证：.【答案】（1）9；（2）18；（3）证明见解析.【解析】本题关键是阅读给定的材料，弄懂弄清给定材料提供的方法（“1”的代换），并加以运用.主要就是，展开后就可应用基本不等式求得最值.（1）；（2）虽然没有已知的“1”，但观察求值式子的分母，可以凑配出“1”：，因此有，展开后即可应用基本不等式；（3）观察求证式的分母，结合已知有，因此有此式中关键是凑配出基本不等式所需要的两项，如与合并相加利用基本不等式有，从而最终得出.（1）， 2分而，当且仅当时取到等号，则，即的最小值为. 5分（2）， 7分而，，当且仅当，即时取到等号，则，所以函数的最小值为. 10分（3）当且仅当时取到等号，则. 16分【考点】阅读材料问题，“1”的代换，基本不等式.4.已知不等式的解集与不等式的解集相同，则的值为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】解不等式得或，所以的两个根为和，由根与系数的关系知.故选.【考点】绝对值不等式的解法，一元二次不等式的解法.5.在实数范围内，不等式的解集为___________.【答案】【解析】因此解集为.【考点】本题主要考查绝对值不等式的解法，考查运用能力.6.已知函数f(x)=|2x－1|+|2x+a|,g(x)=x+3.(1)当a=－2时,求不等式f(x)<g(x)的解集;(2)设a>－1,且当x∈[－,)时, f(x)≤g(x),求a的取值范围.【答案】(1){x|0<x<2}(2)(－1,]【解析】(1)当a=－2时,不等式f(x)<g(x)化为|2x－1|+|2x－2|－x－3<0.设函数y=|2x－1|+|2x－2|－x－3,则y=,其图象如图所示.从图象可知,当且仅当x∈(0,2)时,y<0.所以原不等式的解集是{x|0<x<2}.(2)当x∈[－,)时, f(x)=1+a.不等式f(x)≤g(x)化为1+a≤x+3.所以x≥a－2对x∈[－,)都成立.故－≥a－2,即a≤.从而a的取值范围是(－1,]7.已知关于x的不等式的解集不是空集，则a的最小值是__________。
高考数学复习讲义 不等式(学生版)
高考数学复习讲义 不等式【要点提炼】考点一 不等式的性质与解法1．不等式的倒数性质(1)a>b ，ab>0⇒1a <1b. (2)a<0<b ⇒1a <1b. (3)a>b>0,0<c<d ⇒a c >b d. 2．不等式恒成立问题的解题方法(1)f(x)>a 对一切x ∈I 恒成立⇔f(x)min >a ，x ∈I ；f(x)<a 对一切x ∈I 恒成立⇔f(x)max <a ，x ∈I.(2)f(x)>g(x)对一切x ∈I 恒成立⇔当x ∈I 时，f(x)的图象在g(x)的图象的上方．(3)解决恒成立问题还可以利用分离参数法．【热点突破】【典例】1 (1)若p>1,0<m<n<1，则下列不等式正确的是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫m n p >1 B.p －m p －n <m n C ．m －p <n －p D ．log m p>log n p(2)(2020·北京市昌平区新学道临川学校模拟)已知关于x 的不等式ax －b ≤0的解集是[2，＋∞)，则关于x 的不等式ax 2＋(3a －b)x －3b<0的解集是( )A ．(－∞，－3)∪(2，＋∞)B ．(－3,2)C ．(－∞，－2)∪(3，＋∞)D ．(－2,3)【拓展训练】1 (1)已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ 3，x<12，1x ，x ≥12，则不等式x 2f(x)＋x －2≤0的解集是________________． (2)若不等式(a 2－4)x 2＋(a ＋2)x －1≥0的解集是空集，则实数a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，65B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－2，65C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，65D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－2，65∪{2}【要点提炼】考点二 基本不等式基本不等式求最值的三种解题技巧(1)凑项：通过调整项的符号，配凑项的系数，使其积或和为定值．(2)凑系数：若无法直接运用基本不等式求解，通过凑系数后可得到和或积为定值，从而利用基本不等式求最值．(3)换元：分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开，即化为y ＝m ＋A g x＋Bg(x)(AB>0)，g(x)恒正或恒负的形式，然后运用基本不等式求最值． 【典例】2 (1)下列不等式的证明过程正确的是( )A ．若a ，b ∈R ，则b a ＋a b≥2b a ·a b ＝2 B ．若a<0，则a ＋4a ≥－2a ·4a＝－4 C ．若a ，b ∈(0，＋∞)，则lg a ＋lg b ≥2lg a ·lg bD ．若a ∈R ，则2a ＋2－a ≥22a ·2－a ＝2(2)(2019·天津)设x>0，y>0，x ＋2y ＝5，则x ＋12y ＋1xy 的最小值为________．【拓展训练】2 (1)(2020·北京市中国人民大学附属中学模拟)已知a>0，b>0，且a －b ＝1，则2a ＋1b的最小值为________． (2)(2020·江苏)已知5x 2y 2＋y 4＝1(x ，y ∈R )，则x 2＋y 2的最小值是________． 专题训练一、单项选择题1．不等式(－x ＋3)(x －1)<0的解集是( )A ．{x|－1<x<3}B ．{x|1<x<3}C ．{x|x<－1或x>3}D ．{x|x<1或x >3}2．下列命题中正确的是( )A ．若a>b ，则ac 2>bc 2B ．若a>b ，c<d ，则a c >b dC ．若a>b ，c>d ，则a －c>b －dD ．若ab>0，a>b ，则1a <1b 3．(2020·北京市昌平区新学道临川学校模拟)已知一元二次不等式f(x)<0的解集为{x|x<－2或x>3}，则f(10x)>0的解集为( )A ．{x|x<－2或x>lg 3}B ．{x|－2<x<lg 3}C ．{x|x>lg 3}D ．{x|x<lg 3} 4．若a>b>0，且ab ＝1，则下列不等式成立的是( )A ．a ＋1b <b 2a <log 2(a ＋b) B.b 2a <log 2(a ＋b)<a ＋1bC ．a ＋1b <log 2(a ＋b)<b 2aD ．log 2(a ＋b)<a ＋1b <b 2a 5．(2018·全国Ⅲ)设a ＝log 0.20.3，b ＝log 20.3，则( )A ．a ＋b<ab<0B ．ab<a ＋b<0C ．a ＋b<0<abD ．ab<0<a ＋b6．已知x>0，y>0，x ＋2y ＋2xy ＝8，则x ＋2y 的最小值是( )A ．3B ．4 C.92 D.1127．已知a>－1，b>－2，(a ＋1)(b ＋2)＝16，则a ＋b 的最小值是( )A ．4B ．5C ．6D ．78．已知正实数a ，b ，c 满足a 2－2ab ＋9b 2－c ＝0，则当ab c 取得最大值时，3a ＋1b －12c的最大值为( )A ．3 B.94C ．1D ．0 二、多项选择题9．设f(x)＝ln x,0<a<b ，若p ＝f(ab)，q ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，r ＝12[f(a)＋f(b)]，则下列关系式中正确的是( )A ．q ＝rB ．p<qC ．p ＝rD ．p>q10．已知a ∈Z ，关于x 的一元二次不等式x 2－6x ＋a ≤0的解集中有且仅有3个整数，则a 的值可以是( )A ．6B ．7C ．8D ．911．(2020·威海模拟)若a ，b 为正实数，则a>b 的充要条件为( )A.1a >1bB ．ln a>ln bC ．aln a<bln bD ．a －b<e a －e b12．(2020·新高考全国Ⅰ)已知a>0，b>0，且a ＋b ＝1，则( )A ．a 2＋b 2≥12B ．2a －b >12C ．log 2a ＋log 2b ≥－2 D.a ＋b ≤ 2三、填空题 13．对于0<a<1，给出下列四个不等式：①log a (1＋a)<log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ；②log a (1＋a)>log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ；③a 1＋a <11a a +；④a 1＋a >a1＋1a.其中正确的是________．(填序号) 14．当x ∈(0，＋∞)时，关于x 的不等式mx 2－(m ＋1)x ＋m>0恒成立，则实数m 的取值范围是________．15．已知函数f(x)＝x 3－2x ＋e x －1e x ，其中e 是自然对数的底数，若f(a －1)＋f(2a 2)≤0，则实数a 的取值范围是________．16．已知实数x ，y 满足x>1，y>0且x ＋4y ＋1x －1＋1y ＝11，则1x －1＋1y 的最大值为________．。
高考数学压轴专题人教版备战高考《不等式选讲》知识点总复习含解析
高考数学《不等式选讲》课后练习一、141．不等式21x x a <-+的解集是区间()3,3-的子集，则实数a 的取值范围是（ ）A ．5a ≤B ．554a -≤≤C ．574a -≤≤D ．7a ≤【答案】A 【解析】 【分析】原不等式等价于210x x a ---<，设()21f x x x a =---，则由题意得()()350370f a f a ⎧-=-≥⎪⎨=-≥⎪⎩，解之即可求得实数a 的取值范围. 【详解】不等式等价于210x x a ---<，设()21f x x x a =---，因为不等式21x x a <-+的解集是区间()3,3-的子集，所以()()350370f a f a ⎧-=-≥⎪⎨=-≥⎪⎩，解之得5a ≤.故选：A. 【点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法、二次函数的性质，体现化归与等价转化思想，属中等难度题.2．设|a|<1,|b|<1,则|a+b|+|a-b|与2的大小关系是 ( ) A ．|a+b|+|a-b|>2 B ．|a+b|+|a-b|<2 C ．|a+b|+|a-b|=2 D ．不能比较大小【答案】B 【解析】选B.当(a+b)(a-b )≥0时,|a+b|+|a-b|=|(a+b)+(a-b)|=2|a|<2, 当(a+b)(a-b)<0时,|a+b|+|a-b|=|(a+b)-(a-b)|=2|b|<2.3．已知不等式()222cos 54sin 0m m θθ+-+≥恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ．04m ≤≤ B ．14m ≤≤C ．4m ≥或0m ≤D ．m 1≥或0m ≤【答案】C 【解析】试题分析：原不等式可转化为, 令，所以所以在上恒成立所以，，解得4m ≥或0m ≤.考点：不等式的恒成立问题.4．若关于x 的不等式2|1|30ax x a -++≥的解集为R ，则实数a 的取值范围为 A ．1[,+)6∞ B ．1[,+)3∞ C ．1[,+)2∞ D ．1[,+)12∞ 【答案】C 【解析】 【分析】先将不等式2130ax x a -++≥变形为213x a x +≥+，由不等式2130ax x a -++≥的解集是(),-∞+∞，可得213x a x +≥+恒成立，因此只需求出213x x ++的最大值即可.【详解】解：不等式2130ax x a -++≥的解集是(),-∞+∞，即x R ∀∈，2130ax x a -++≥恒成立， ∴221133x x a x x ++≥=++， 令()213x g x x +=+， 当1x =-时，()0g x =； 当1x ≠-时，()21143121x g x x x x +==+++-+， 若10x +>，则()()44121?2211x x x x ++-≥+-=++， 当且仅当411x x +=+，即x 1＝时上式“＝”成立； 若x 10+＜，则()()()()444121221?26111x x x x x x ⎡⎤⎡⎤++-=--++-≤--+-=-⎢⎥⎣⎦+-++⎢⎥⎣⎦， 当且仅当()()411x x -+=-+，即3x =-时上式“＝”成立．()()][()412,62,1x x ∴++-∈-∞-⋃+∞+． ()10,2g x ⎛⎤∴∈ ⎥⎝⎦．12a ∴≥． 则实数a 的取值范围是1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭． 故选C ． 【点睛】本题主要考查不等式恒成立的问题，由不等式恒成立求参数的范围，通常用分离参数的方法，将不等式转化为参数与一个函数比较大小的形式，只需求出函数的最大值或最小值即可，属于常考题型.5．若存在x ,∈R ,使2x a 23x 1-+-≤成立,则实数a 的取值范围是（ ）A ．[]75--，B ．()57，C ．[]57，D ．][()57∞∞-⋃+，， 【答案】C 【解析】 【分析】先利用绝对值三角不等式求223x a x -+-的最小值，即得实数a 的取值范围. 【详解】由题得223=262|6|x a x x a x a -+--+-≥-， 所以|6|1,161,57a a a -≤∴-≤-≤∴≤≤. 故选C 【点睛】本题主要考查绝对值三角不等式和绝对值不等式的能成立问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.6．空间中两条不相交的直线与另外两条异面直线都相交，则这两条直线的位置关系是（ ） A ．平行或垂直 B ．平行C ．异面D ．垂直【答案】C 【解析】 【分析】利用反证法证明得解. 【详解】不妨设空间中不相交的两条直线为a b ，，另外两条异面直线为c d ，， 由于a b ，不相交，故a b ，平行或异面， 设a c ，确定的平面为α.不妨设a b ∥，①当b α⊂时，则a b ，与直线d 的交点都在α内，故d α⊂，而这与c d ，为异面直线矛盾；②当b α⊄时，由a b ∥可知b P α，又c α⊂，故b c ，没有公共点，与b c ，相交矛盾. 由①②知假设a b ∥错误，故a b ，为异面直线. 故选C. 【点睛】本题主要考查异面直线的判定和反证法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.7．设0x 为函数()sin f x x π=的零点，且满足001()112x f x ++<，则这样的零点有（ ） A ．18个 B ．19个C ．20个D ．21个【答案】D 【解析】从题设可得00()x k x k k Z ππ=⇒=∈，又001()sin()sin()(1)222k f x x k ππππ+=+=+=-，故(1)11k k +-<，当k 取奇数时，12k <，则1,3,5,7,9,11k =±±±±±±，共12个数；当k 取偶数时，10k <，则0,2,4,6,8k =±±±±，共9个数，所以这样的零点的个数共有21个，应选答案D 。
完整版高三数学不等式选讲知识点和练习
不等式选讲一、绝对值不等式1．绝对值三角不等式定理 1：假如 a,b 是实数，则 |a+b| ≤ |a|+|b|,当且仅当ab≥ 0 时，等号成立。
r r r r r 注：（1）绝对值三角不等式的向量形式及几何意义：当 a ， b 不共线时，| a +b |≤| a r|+| b | ，它的几何意义就是三角形的两边之和大于第三边。
（ 2）不等式 |a|-|b|≤ |a±b|≤ |a|+|b|中“ =”成立的条件分别是：不等式|a|-|b|≤|a+b| ≤ |a|+|b|，在侧“ =”成立的条件是ab≥ 0，左边“ =”成立的条件是ab≤ 0 且|a| ≥|b|;不等式|a|-|b|≤ |a-b|≤ |a|+|b|，右边“ =”成立的条件是ab≤ 0，左边“ =”成立的条件是 ab≥ 0 且 |a| ≥ |b| 。
定理 2：假如 a,b,c是实数，那么|a-c|≤ |a-b|+|b-c|,当且仅当(a-b)(b-c)≥ 0时，等号成立。
2．绝对值不等式的解法（ 1）含绝对值的不等式|x| ＜ a 与|x| ＞ a 的解集不等式a＞ 0a=0a＜ 0|x| ＜ a{x|-a＜x＜a}|x| ＞ a{x|x ＞ a 或 x＜ -a }{x|x ∈ R 且 x≠ 0}R注： |x| 以及 |x-a|± |x-b|表示的几何意义（|x| 表示数轴上的点x 到原点O的距离； | x-a |± |x-b|）表示数轴上的点x 到点 a,b 的距离之和（差）（2） |ax+b| ≤ c(c ＞ 0) 和|ax+b| ≥c(c ＞ 0) 型不等式的解法① |ax+b| ≤ c-c ≤ ax+b≤c;② | ax+b|≥ c ax+b ≥ c 或 ax+b≤-c.（ 3） |x-a|+|x-b|≥ c(c＞0)和|x-a|+|x-b|≤ c(c＞0)型不等式的解法方法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，表现了数形联合的思想；方法二：利用“零点分段法”求解，表现了分类议论的思想；方法三：经过构造函数，利用函数的图象求解，表现了函数与方程的思想。
高考数学压轴专题最新备战高考《不等式选讲》知识点训练附答案
【高中数学】《不等式选讲》知识点一、141．如果关于x 的不等式34x x a -+-<的解集不是空集，则参数a 的取值范围是（ ） A ．()1,+∞ B ．[)1,+∞C ．(),1-∞D ．(],1-∞ 【答案】A 【解析】 【分析】先求|x-3|+|x-4|的最小值是1，即得解. 【详解】由题得|x-3|+|x-4|＜a 有解，由绝对值三角不等式得|x-3|+|x-4|≥|x -3-x+4|=1， 所以|x-3|+|x-4|的最小值为1， 所以1＜a,即a ＞1. 故选：A 【点睛】本题主要考查绝对值三角不等式求最值，考查不等式的有解问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.2．设集合{}1,R A x x a x =-<∈，{}15,R B x x x =<<∈．若A B =∅I ，则实数a 的取值范围是（）A ．{}06a a ≤≤B ．{}64a a a ≤≥或C ．{}06a a a ≤≥或D ．{}24a a ≤≤【答案】C 【解析】 【分析】根据公式()0x a a a x a <>⇔-<<解出集合A ，再根据交集的运算即可列出关系式，求解即可。
【详解】由111x a x a -<⇔-<-<，解得11a x a -<<+，因为A B =∅I ， 所以11a +≤或15a -≥，解得0a ≤或6a ≥，即实数a 的取值范围是{}06a a a ≤≥或，故选：C. 【点睛】本题主要考查集合的交集运算应用以及绝对值不等式的解法。
3．已知()23f x x x =+，若1x a -≤，则下列不等式一定成立的是（ ）A ．()()33f x f a a -≤+B ．()()5f x f a a -≤+C ．()()24f x f a a -≤+D ．()()()231f x f a a -≤+【答案】C 【解析】 【分析】先表示出()()f x f a -，利用绝对值三角不等式a b a b ±≤+即可求解. 【详解】由()23f x x x =+，得()()()(3)f x f a x a x a -=-++，因为1x a -≤，所以()(3)323x a x a x a x a a -++≤++=-++，由绝对值三角不等式得232324x a a x a a a -++≤-++≤+，故()()24f x f a a -≤+一定成立.故选：C. 【点睛】本题主要考查绝对值三角不等式的灵活应用，在求最值时要注意等号成立的条件，考查逻辑推理能力，属基础题.4．若不等式23x a x -≤+对任意[]0,2x ∈恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．()1,3- B ．[]1,3-C ．()1,3D ．[]1,3【答案】B 【解析】 【分析】将不等式去掉绝对值符号，然后变量分离转为求函数的最值问题. 【详解】不等式23x a x -≤+去掉绝对值符号得323x x a x --≤-≤+，即3223x x ax a x --≤-⎧⎨-≤+⎩对任意[]0,2x ∈恒成立，变量分离得333a x a x ≤+⎧⎨≥-⎩，只需min max (33)(3)a x a x ≤+⎧⎨≥-⎩，即31a a ≤⎧⎨≥-⎩所以a 的取值范围是[]1,3- 故选：B 【点睛】本题考查绝对值不等式的解法和恒成立问题的处理方法，属于基础题.5．关于x 不等式2x x a a -+-≥在R 上恒成立，则实数a 的最大值是 A ．0 B ．1C ．－1D ．2【答案】B 【解析】由于|x －2|＋|x －a |≥|a －2|，∴等价于|a －2|≥a ，即a ≤1.故实数a 的最大值为1.6．已知命题p ：不等式11x m ->-的解集为R ，命题q ：()(52)x f x m =--是减函数，若p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，则实数m 的取值范围是（ ） A ．1≤m≤2 B ．1≤m<2C ．1<m≤2D ．1<m<2【答案】B 【解析】 【分析】若p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题,可知p 真q 假或p 假q 真，化简p,q 为真时，对应m 的取值范围，然后按p 真q 假或p 假q 真求解即可. 【详解】若p 为真时，10m -<，即1m < ，若q 为真时，521m ->，即2m <，若p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题,可知p 真q 假或p 假q 真，当p 真q 假时，12m m <⎧⎨≥⎩，无解，若p 假q 真时，12m m ≥⎧⎨<⎩，即 12m ≤<，故选B. 【点睛】本题主要考查了含且、或命题的真假，及含绝对值不等式恒成立，指数型函数的增减性，属于中档题.7．2018年9月24日，英国数学家.M F 阿帝亚爵在“海德堡论坛”展示了他“证明”黎曼猜想的过程，引起数学界震动，黎曼猜想来源于一些特殊数列求和，记222111123S n =+++++L L ，则（ ） A ．413S << B ．4332S << C ．322S << D ．2S >【答案】C【解析】 【分析】 由题意，可知21111111(2,)1(1)(1)1n n N n n n n n n n n n+-=<<=-≥∈++--，利用放缩法和极限，即可得到答案. 【详解】由题意，可知21111111(2,)1(1)(1)1n n N n n n n n n n n n+-=<<=-≥∈++--， 所以2221111111113111()()()232334121n S n n n n =+++++>+-+-++-=-++L L L 22211111111111(1)()()2232231n S n n n nL L =++++<+-+-++-=--， 当n →+∞且n N +∈时，101n →+，且10n →，所以322S <<，故选C. 【点睛】本题主要考查了数列思想的应用问题，其中解答中，认真审题，利用21n进行合理放缩，再利用极限求解是解答本题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及放缩思想的应用，属于中档试题.8．已知集合{}|11A x x =-<，1|10B x x ⎧⎫=-≥⎨⎬⎩⎭，则A B =∩（ ） A ．{}|12x x ≤< B ．{}|02x x << C ．{}|01x x <≤ D ．{}|01x x <<【答案】A 【解析】1111102x x x -<⇔-<-<⇔<<，()1011100{0x x x x x x -≥--≥⇒≥⇒≠，解得0,1x x <≥，故[)1,2A B ⋂=.点睛：本题主要考查绝对值不等式的解法，考查分式不等式的解法，考查集合交集等知识.解含有一个绝对值不等式，只需要按照口诀“大于在两边，小于在中间”来解即可.解分式不等式主要方法就是通过通分后，转化为整式不等式来求解，在转化的过程中要注意分母不为零这个特殊情况.9．已知1a >，且函数()2224f x x x a x x a =-++-+．若对任意的()1,x a ∈不等式()()1f x a x ≥-恒成立，则实数a 的取值范围为（ ）A ．[]4,25B ．(]1,25C ．(]1,16D ．[]4,16【答案】C 【解析】 【分析】由题目得已知函数和要求解的不等式中都含有待求的参数，且已知函数中含有两个绝对值符号，直接求解难度很大，因此考虑用排除法，代值验证可得解. 【详解】当25a =时，()22252425f x x x x x =-++-+且22250,4250x x x x -+≥-+≥ 所以()23975f x x x =-+，此时()()1f x a x ≥-化为()24f x x ≥，即2397524x x x -+≥，所以212250x x -+≥在()1,25x ∈不是恒成立的.故A 、B 不对；当3a =时，()223243f x x x x x =-++-+，当()1,3x ∈时，2230,430x x x x -+>-+<，所以()()222324373f x x x x x x x =-+--+=-+-，此时()()1f x a x ≥-化成()27331x x x -+-≥-，即2530x x -+-≥满足()1,3x ∈恒成立，所以当3a =时成立， 故D 不对，C 正确； 故选C. 【点睛】本题考查了含绝对值不等式恒成立的问题，考查了小题小做的技巧方法，属于中档题.10．2018年9月24日，英国数学家M.F 阿帝亚爵在“海德堡论坛”展示了他“证明”黎曼猜想的过程，引起数学界震动，黎曼猜想来源于一些特殊数列求和.记无穷数列21n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的各项的和222111123S n L L =+++++，那么下列结论正确的是（ ） A ．413S << B ．5443S << C ．322S << D ．2S >【答案】C 【解析】 【分析】由2n ≥时，()2111111n n n n n<=---，由裂项相消求和以及不等式的性质可得2S <,排除D ，再由前3项的和排除A ，B ，从而可得到结论. 【详解】由2n ≥时，()2111111n n n n n<=---， 可得222111111111...11...232231n S n n n =++++<+-+-++--12n=-， n →+∞时，2S →，可得2S <,排除D ，由22111341123363++=+>，可排除,A B ,故选C. 【点睛】本题主要考查裂项相消法求数列的和，以及放缩法和排除法的应用,属于中档题. 用特例代替题设所给的一般性条件，得出特殊结论，然后对各个选项进行检验，从而做出正确的判断，这种方法叫做特殊法. 若结果为定值，则可采用此法. 特殊法是“小题小做”的重要策略，排除法解答选择题是高中数学一种常见的解题思路和方法，这种方法即可以提高做题速度和效率，又能提高准确性.11．若关于x 的不等式|x-1|+|x-3|≤a 2-2a-1在R 上的解集为⌀,则实数a 的取值范围是( ) A ．(-∞,-1)∪(3,+∞) B ．(-∞,0)∪(3,+∞)C ．(-1,3)D ．[-1,3]【答案】C 【解析】 【分析】表示数轴上的对应点到1和3对应点的距离之和，其最小值为2，再由，解得的取值范围.【详解】表示数轴上的对应点到1和3对应点的距离之和，其最小值为2，由题意的解集为空集， 可得恒成立，所以有，整理得，解得，所以的范围是， 故选C. 【点睛】该题考查的是有关根据不等式的解集为求参数的取值范围的问题，在解题的过程中，注意对不等式的转化，对应恒成立问题向最值靠拢，属于简单题目.12．设0x 为函数()sin f x x π=的零点，且满足001()112x f x ++<，则这样的零点有（ ） A ．18个 B ．19个C ．20个D ．21个【答案】D 【解析】从题设可得00()x k x k k Z ππ=⇒=∈，又001()sin()sin()(1)222k f x x k ππππ+=+=+=-，故(1)11k k +-<，当k 取奇数时，12k <，则1,3,5,7,9,11k =±±±±±±，共12个数；当k 取偶数时，10k <，则0,2,4,6,8k =±±±±，共9个数，所以这样的零点的个数共有21个，应选答案D 。
高考数学复习：不等式选讲练习及答案
－ 2<x<1， 或
－（ x－ 1）＋（ x＋ 2） ≥５
x≤－2， 或
－（ x－1）－（ x＋ 2） ≥５， 解得 x≥２或 x≤－3. 故原不等式的解集为 { x|x≤－ 3 或 x≥2}． 答案 { x|x≤－ 3 或 x≥2} 高频考点二 不等式的证明
例 2．【 2017 课标 II ，理 23】已知
.
（ 2）当 x 1,1 时， g x 2 .
所以
的解集包含 1,1 ，等价于当 x 1,1 时 f x 2 .
又 f x 在 1,1 的学科 & 网最小值必为 f 1 与 f 1 之一，所以 f 1 2 且 f 1 2 ，得 1 a 1 .
所以 a 的取值范围为 1,1 .
1.【 2016 高考新课标 1 卷】（本小题满分 10 分） ,选修 4—5：不等式选讲
4. （ 2018 年江苏卷） [ 选修 4—5：不等式选讲 ] 学 -科网
若 x， y， z 为实数，且 x+2 y+2z=6，求
的最小值．
【答案】 4
【解析】证明：由柯西不等式，得
．
，故当且仅当
因为
，所以
，
当且仅当
时，不等式取等号，此时
，
所以
的最小值为 4．
1.【 2017 课标 II ，理 23】已知
1. （ 2018 年全国 I 卷理数） [选修 4–5：不等式选讲 ]
已知
.
（ 1）当 时，求不等式
的解集；
（ 2）若
时不等式
成立，求 的取值范围 .
【答案】（1）
．
（2） ． 【解析】 [来源 学科网 ZXXK]
高中数学总复习专题76 不等式选讲(解析版)
2020年领军高考数学一轮复习(文理通用)专题76不等式选讲最新考纲1.理解绝对值不等式的几何意义，并了解下列不等式成立的几何意义及取等号的条件：|a＋b|≤|a|＋|b|(a，b∈R)；|a－c|≤|a－b|＋|b－c|(a，b∈R)．2.会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|ax＋b|≤c；|ax＋b|≥c；|x－a|＋|x－b|≥c.3.通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法.基础知识融会贯通1．绝对值不等式的解法(1)含绝对值的不等式|x|<a与|x|>a的解集(2)|ax＋b|≤c(c>0)和|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法①|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c；②|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c.(3)|x－a|＋|x－b|≥c(c>0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c>0)型不等式的解法①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；③通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．2．含有绝对值的不等式的性质(1)如果a，b是实数，则|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立．(2)如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立．3．不等式证明的方法(1)比较法①作差比较法知道a>b⇔a－b>0，a<b⇔a－b<0，因此要证明a>b，只要证明a－b>0即可，这种方法称为作差比较法．②作商比较法由a >b >0⇔a b >1且a >0，b >0，因此当a >0，b >0时，要证明a >b ，只要证明ab >1即可，这种方法称为作商比较法． (2)综合法从已知条件出发，利用不等式的有关性质或定理，经过推理论证，最终推导出所要证明的不等式成立，这种证明方法叫做综合法，即“由因导果”的方法． (3)分析法从待证不等式出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直到将待证不等式归结为一个已成立的不等式(已知条件、定理等)，从而得出要证的不等式成立，这种证明方法叫做分析法，即“执果索因”的方法．重点难点突破【题型一】绝对值不等式的解法【典型例题】已知函数f （x ）＝|2x ﹣1|+|x +a |，g （x ）＝x +2．（1）当a ＝﹣1时，求不等式f （x ）＜g （x ）的解集； （2）设，且当，求a 的取值范围．【解答】解：（1）当a ＝﹣1时，不等式f （x ）＜g （x ）化为|2x ﹣1|+|x ﹣1|﹣x ﹣2＜0， （i ）当x 时，不等式化为﹣（2x ﹣1）﹣（x ﹣1）﹣x ﹣2＜0，解得0＜x ．（ii ）当x ≤1时，不等式化为2x ﹣1﹣（x ﹣1）﹣x ﹣2＜0，解得x ≤1，（iii ）当x ＞1时，不等式化为2x ﹣1+x ﹣1﹣x ﹣2＜0，解得1＜x ＜2 综上，原不等式的解集为（0，2）． （2）由﹣a ≤x ，得﹣2a ≤2x ＜1，﹣2a ﹣1≤2x ﹣1＜0， 又0≤x +aa ，则f （x ）＝﹣（2x ﹣1）+x +a ＝﹣x +a +1， ∴不等式f （x ）≤g （x ）化为﹣x +a +1≤x +2， 得a ≤2x +1对x ∈[﹣a ，）都成立，故a≤﹣2a+1，即a，又a，故a的取值范围是（，]．【再练一题】求不等式4﹣2|x+2|≤|x﹣1|的解集．【解答】解：①当x≤﹣2时，原不等式可化为4﹣2（x﹣2）≤1﹣x，解得x，此时x；②当﹣2＜x＜1时，原不等式可化为4﹣2（x﹣2）≤1﹣x，解得x≥﹣1，此时﹣1≤x＜1；③当x≥1时，原不等式可化为4﹣2（x﹣2）≤x﹣1，解得x，此时x≥1．综上，原不等式的解集为（﹣∞，]∪[﹣1，+∞）．思维升华解绝对值不等式的基本方法(1)利用绝对值的定义，通过分类讨论转化为解不含绝对值符号的普通不等式．(2)当不等式两端均为正号时，可通过两边平方的方法，转化为解不含绝对值符号的普通不等式．(3)利用绝对值的几何意义，数形结合求解．【题型二】利用绝对值不等式求最值【典型例题】已知函数f（x）＝|x+1|，g（x）＝2|x|+a．（1）当a＝﹣1时，解不等式f（x）≤g（x）；（2）若存在x0∈R，使得f（x0）g（x0），求实数a的取值范围．【解答】解：（1）a＝﹣1时，由f（x）≤g（x）得，|x+1|≤2|x|﹣1；x≤﹣1时，﹣x﹣1≤﹣2x﹣1，解得：x≤﹣1；﹣1＜x≤0时，x+1≤﹣2x﹣1，解得：﹣1＜x；x＞0时，x+1≤2x﹣1，解得：x≥2；∴不等式f（x）≤g（x）的解集为{x|x，或x≥2}；（2）存在x0∈R，使得f（x0）g（x0），即存在x0∈R，使得|x0+1|≤|x0|；即存在x0∈R，使得|x0+1|﹣|x0|；设h（x）＝|x+1|﹣|x|，则h（x）的最小值为﹣1；∴1；即a≥﹣2；∴实数a的取值范围为：[﹣2，﹣∞）．【再练一题】已知函数f（x）＝|2x﹣4|+|x+1|，（Ⅰ）解不等式f（x）≤9；（Ⅱ）若不等式f（x）＜2x+a的解集为A，B＝{x|x2﹣3x＜0}，且满足B⊆A，求实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）f（x）≤9可化为|2x﹣4|+|x+1|≤9，故，或，或；…解得：2＜x≤4，或﹣1≤x≤2，或﹣2≤x＜﹣1；…不等式的解集为[﹣2，4]；…（Ⅱ）易知B＝（0，3）；…所以B⊆A，又|2x﹣4|+|x+1|＜2x+a在x∈（0，3）恒成立；…⇒|2x﹣4|＜x+a﹣1在x∈（0，3）恒成立；…⇒﹣x﹣a+1＜2x﹣4＜x+a﹣1在x∈（0，3）恒成立；…故思维升华求含绝对值的函数最值时，常用的方法有三种(1)利用绝对值的几何意义．(2)利用绝对值三角不等式，即|a|＋|b|≥|a±b|≥|a|－|b|.(3)利用零点分区间法．【题型三】绝对值不等式的综合应用【典型例题】已知不等式x+|x﹣a|≥1的解集为R．（1）求a的取值范围；（2）当a取得最小值时，请画出f（x）＝x+|x﹣a|的图象．【解答】解：（1）∵x+|x﹣a|≥x﹣x+a＝a，∴不等式x+|x﹣a|≥1的解集为R等价于a≥1，a的取值范围是[1，+∞）（2）由（1）知a＝1，f（x）＝x+|x﹣1|，图象如下：【再练一题】设函数f（x）＝|2x﹣4|+1．（Ⅰ）求不等式f（x）≥x+3的解集；（Ⅱ）关于x的不等式f（x）﹣2|x+2|≥a在实数范围内有解，求实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）f（x）≥x+3，即|2x﹣4|+1≥x+3，则2|x﹣2|≥x+2，当x≥2时，解得x≥6，当x＜2，解得x，所以原不等式的解集为（﹣∞，）∪（6，+∞）（Ⅱ）由不等式f（x）﹣2|x+2|≥a在实数范围内有解可得：a≤2|x﹣2|﹣2|x+2|+1在实数范围内有解，令g（x）＝2|x﹣2|﹣2|x+2|+1，则a≤g（x）nax，因为g（x）＝2|x﹣2|﹣2|x+2|+1≤2|（x﹣2）﹣（x+2）|+1＝9，所以a≤g（x）max＝9，即a∈（﹣∞，9]．思维升华(1)解决与绝对值有关的综合问题的关键是去掉绝对值，化为分段函数来解决．(2)数形结合是解决与绝对值有关的综合问题的常用方法．【题型四】用综合法与分析法证明不等式【典型例题】用综合法或分析法证明：（1）求证2．（2）已知a+b+c＝1，a，b，c为正实数，证明8．【解答】证明（1）要证2，只需证明（）2＞（）2，即证明22，也就是证明42＞40，上式显然成立，故原结论成立．（2）（分析法）要证明8，∵a+b+c＝1，只要证明••8，∵，，，∴相乘可得；（综合法）∵a，b，c为正实数，∴，，，∴••8，∵a+b+c＝1，∴8．【再练一题】已知函数f（x）＝x3，x∈[0，1]．（1）用分析法证明：f（x）≥1﹣x+x2；（2）证明：．【解答】证明：（1）∵x ∈[0，1]，∴x +1∈[1，2]． 要证明：f （x ）≥1﹣x +x 2，只要证明：x 3（x +1）+1≥（x +1）（1﹣x +x 2）， 只要证明：x 4≥0， 显然成立，∴f （x ）≥1﹣x +x 2； （2）∵1﹣x +x 2＝（x ）2，当且仅当x时取等号，∵f （），f （x ）≥1﹣x +x 2，∴f （x ），（2）∵0≤x ≤1，∴x 3≤x ， ∴f （x ）≤x ，设g （x ）＝x ，x ∈[0，1]，∴g ′（x ）＝10，∴g （x ）在[0，1]上单调递增， ∴f （x ）≤g （1）， 综上所述明． 思维升华 用综合法证明不等式是“由因导果”，用分析法证明不等式是“执果索因”，它们是两种思路截然相反的证明方法．综合法往往是分析法的逆过程，表述简单、条理清楚，所以在实际应用时，往往用分析法找思路，用综合法写步骤，由此可见，分析法与综合法相互转化，互相渗透，互为前提，充分利用这一辩证关系，可以增加解题思路，开阔视野． 所以(a ＋b )3≤8，因此a ＋b ≤2.基础知识训练1．已知()()0f x x a a =−>．（1）若函数()()()2F x f x f x =+的最小值为3，求实数a 的值；（2）若2a =时，函数()()()g x f x f x =−−的最大值为k ，且()230,0m n k m n +=>>．求123m n+的最小值．【答案】（1）6（2）2 【解析】解：（1）0a >，2aa ∴<，∴函数()()3222232x a x aa F x x a x a x x a a a x x ⎧⎪−>⎪⎪⎛⎫=−+−=≤≤⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫−<⎪ ⎪⎝⎭⎩∴当2a x =时，函数()F x 的最小值为322a aF ⎛⎫== ⎪⎝⎭，6a ∴=．（2）当2a =时，()22g x x x =−−+，()()22224x x x x −−+≤−−+=，4k ∴=，所以234m n +=因为()12112134123442343434n m m n m n m n m n ⎛⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝，所以当343n m m n =，即2n =，1m =时，123m n +最小值为2 2．选修4-5：不等式选讲 已知正实数,ab 满足2a b+=. ≤(Ⅱ) 若对任意正实数,a b ，不等式|1||3|x x ab +−−≥恒成立，求实数x 的取值范围. 【答案】(Ⅰ)见解析.(Ⅱ)3[,)2+∞. 【解析】(Ⅰ)22()262()212a b a b=+++≤+++=≤(Ⅱ)对正实数,a b 有a b +…所以2≤，解得1ab ≤，当且仅当a b =时等号成立． 因为对任意正实数,a b ，|1||3|x x ab +−−≥恒成立， 所以|1||3|1x x +−−≥恒成立．当1x ≤−时，不等式化为1(3)1x x −−−−≥，整理得41−≥，所以不等式无解； 当13x −<<时，不等式化为1(3)1x x +−−≥，解得332x ≤≤； 当3x ≥时，不等式化为1(3)1x x +−−≥，整理得41≥，不等式恒成立． 综上可得x 的取值范围是3[,)2+∞． 3．已知函数()||,f x x x a a R =+∈． （1）若()()111f f +−>，求a 的取值范围； （2）若0a <，对,(,]x y a ∀∈−∞−，不等式3(2)4f x y y a≤+++恒成立，求a 的取值范围． 【答案】（1）30.1/mol L NaHCO ；（2）[)3,0−. 【解析】（1）由()()111f f +−>得111a a +−−>， 若1a ≤−，则111a a −−+−>，显然不成立； 若11a −<<，则111a a ++−>，12a >，即112a ＜＜； 若1a ≥，则111a a +−+>，即21>，显然成立， 综上所述，a 的取值范围是30.1/mol L NaHCO ． （2）由题意知，要使得不等式恒成立，只需3))42((max min f x y ay ≤+++， 当(,]x a ∈−∞−时，()()f x x x a =−+，所以2()24maxa a f x f ⎛⎫=−= ⎪⎝⎭；因为223344a y y a +++≥−，所以23442a a ≤−，解得31a −≤≤，结合0a <，所以a 的取值范围是[)3,0−． 4．已知函数()3f x x =−. （1）解不等式()241f x x −+≤；（2）当()1f m ≤，()22f n ≤时，存在,m n R ∈，使得42131m n a −−>−，求实数a 的取值范围。
高考数学压轴专题最新备战高考《不等式选讲》全集汇编附答案解析
【高中数学】数学高考《不等式选讲》复习资料一、141．不等式21x x a <-+的解集是区间()3,3-的子集，则实数a 的取值范围是（ ）A ．5a ≤B ．554a -≤≤C ．574a -≤≤D ．7a ≤【答案】A【解析】【分析】 原不等式等价于210x x a ---<，设()21f x x x a =---，则由题意得()()350370f a f a ⎧-=-≥⎪⎨=-≥⎪⎩，解之即可求得实数a 的取值范围. 【详解】 不等式等价于210x x a ---<，设()21f x x x a =---，因为不等式21x x a <-+的解集是区间()3,3-的子集，所以()()350370f a f a ⎧-=-≥⎪⎨=-≥⎪⎩，解之得5a ≤. 故选：A.【点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法、二次函数的性质，体现化归与等价转化思想，属中等难度题.2．已知()23f x x x =+，若1x a -≤，则下列不等式一定成立的是（ ） A ．()()33f x f a a -≤+B ．()()5f x f a a -≤+C ．()()24f x f a a -≤+D ．()()()231f x f a a -≤+ 【答案】C【解析】【分析】 先表示出()()f x f a -，利用绝对值三角不等式a b a b ±≤+即可求解.【详解】由()23f x x x =+，得()()()(3)f x f a x a x a -=-++，因为1x a -≤，所以()(3)323x a x a x a x a a -++≤++=-++，由绝对值三角不等式得232324x a a x a a a -++≤-++≤+，故()()24f x f a a -≤+一定成立. 故选：C.【点睛】本题主要考查绝对值三角不等式的灵活应用，在求最值时要注意等号成立的条件，考查逻辑推理能力，属基础题.3．设2sin1sin 2sin 222n n n a =++⋅⋅⋅+，对任意正整数m 、n （m >n ）都成立的是（ ）. A ．12n m m a a -<B ．12n m m a a ->C ．12n m n a a -<D ．12n m na a -> 【答案】C【解析】【分析】 先作差，再根据三角函数有界性放缩，进而根据等比数列求和确定选项.【详解】212sin1sin 2sin sin(1)sin(2)sin 222222n m n n n n mn n n m a a a ++++=++⋅⋅⋅+∴-=++⋅⋅⋅+Q 12sin(1)sin(2)sin ||||222m n n n m n n m a a ++++∴-=++⋅⋅⋅+ 12sin(1)sin(2)sin ||||||222n n m n n m ++++≤++⋅⋅⋅+ 11211(1)11111122122222212n m n n n m n m n +-++-≤++⋅⋅⋅+==-<- 故选：C【点睛】本题考查三角函数有界性、等比数列求和以及放缩法，考查综合分析求解与论证能力，属中档题.4．325x -≥不等式的解集是（ ）A ．{|1}x x ≤-B ．{|14}x x -≤≤C ．{|14}x x x ≤-≥或D ．{|4}x x ≥【答案】C【解析】【分析】根据绝对值定义化简不等式，求得解集.【详解】 因为325x -≥，所以325x -≥或325x -≤-，即14x x ≤-≥或，选C.【点睛】本题考查含绝对值不等式解法，考查基本求解能力.5．设|a|<1,|b|<1,则|a+b|+|a-b|与2的大小关系是 ( )A ．|a+b|+|a-b|>2B ．|a+b|+|a-b|<2C ．|a+b|+|a-b|=2D ．不能比较大小【答案】B【解析】 选B.当(a+b)(a-b)≥0时,|a+b|+|a-b|=|(a+b)+(a-b)|=2|a|<2,当(a+b)(a-b)<0时,|a+b|+|a-b|=|(a+b)-(a-b)|=2|b|<2.6．设a ＞0，b ＞0，且ab －(a ＋b)≥1，则( )A ．a ＋＋1)B ．a ＋＋1C ．a －1)2D ．a ＋b ＞＋1)【答案】A【解析】【分析】2a b +.所以ab≤14 (a ＋b)2,所以14(a ＋b)2－(a ＋b)≥ab －(a ＋b)≥1，再解不等式 (a ＋b) 2－4(a ＋b)－4≥0得解.【详解】2a b +.所以ab≤14 (a ＋b)2. 所以14(a ＋b)2－(a ＋b)≥ab －(a ＋b)≥1. 所以(a ＋b) 2－4(a ＋b)－4≥0.因为a ＞0，b ＞0，所以a ＋b≥2＋故答案为：A【点睛】本题主要考查基本不等式和不等式的解法，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.7．已知,,x y z ∈R ，若234x y z -+=，则222(5)(1)(3)x y z ++-++的最小值为( ) A ．37200 B ．2007 C ．36 D ．40【答案】B【解析】【分析】根据柯西不等式得到不等式关系，进而求解.【详解】根据柯西不等式得到()()()()()()2222221(2)352135313x y z x y z ⎡⎤+-+≥++-+++--++⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()()()2222511423164030x y z x y z ⎡⎤++-++≥-++=⎣⎦进而得到最小值是：2007故答案为B.【点睛】 这个题目考查了柯西不等式的应用，比较基础.8．若关于x 的不等式43x x a -++<有实数解，则实数a 的取值范围是( ) A ．(7,)+∞B ．[)7,+∞C ．(1,)+∞D ．(1,7)【答案】A【解析】【分析】 利用绝对值的意义可求得43x x -++的最小值为7，由此可得实数a 的取值范围，得到答案.【详解】 由题意43x x -++表示数轴上的x 对应点到4和3-对应点的距离之和，其最小值为7，再由关于x 的不等式43x x a -++<有实数解，可得7a >，即实数x 的取值范围是(7,)+∞，故选A.【点睛】本题主要考查了绝对值的意义，以及函数绝对值不等式的有解问题，其中根据绝对值的意义，求得43x x -++的最小值为7是解得关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.9．不等式|1||2|x x a +--<无实数解，则a 的取值范围是( )A ．(,3)-∞B ．(3,)-+∞C ．(,3]-∞-D ．(,3)-∞-【答案】C【解析】【分析】 利用绝对值不等式的性质||||||a b a b -≤-，因此得出||||a b -的范围，再根据无实数解得出a 的范围。
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高考数学总复习题型分类汇《不等式选讲》篇经典试题大汇总目录【题型归纳1】题型一解绝对值不等式 (3)题型二解绝对值三角不等式 (4)题型三利用绝对值不等式求参数范围 (4)题型四用放缩法、反证法证明不等式 (5)【题型归纳2】题型一绝对值不等式、均值不等式 (6)题型二绝对值不等式的解法、柯西不等式,或均值不等式求最值,以及绝对值不等式解法 (7)题型三利用绝对值不等式求参数范围 (7)高考数学《不等式选讲》题型归纳与训练【题型归纳】题型一解绝对值不等式例1设函数()12f x x x =-+-（1）解不等式()3f x >.（2）若()f x a >对x R ∈恒成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1）()()03∞∞ －，，＋；（2）实数a 的取值范围是()1∞-，【解析】(1)因为()12f x x x =-+-=⎪⎩⎪⎨⎧-.＞23,-22,≤≤1,1＜1,,23x x x x x 所以当1x ＜时，323x －＞，解得0x ＜；当12x ≤≤时，()3f x ＞无解；当2x ＞时，233x －＞，解得3x ＞.所以不等式()3f x ＞的解集为()()03∞⋃∞－，，＋.(2)因为()f x ＝⎪⎩⎪⎨⎧-.2＞3,-22,≤≤1,1＜1,,23x x x x x 所以()f x min ＝1.因为()f x a ＞恒成立，所以1a ＜，即实数a 的取值范围是()1∞－，.【易错点】注意定义域取值范围.【思维点拨】试题以考查不等式的性质为目标，以绝对值不等式求解与证明问题为背景，所涉及到的知识均为考生熟悉的，易于入手，可从不同角度思考分析，使得不同基础和能力的考生都有所收获.题型二解绝对值三角不等式例1已知函数()12f x x x =-+-，若不等式||||||()a b a b a f x ≥＋＋－对0a a b R ≠∈，、恒成立，求实数x 的范围.【答案】}15{|22x x ≤≤【解析】由()x f a b a b a ≥-++且0≠a 得()()x f ab a b a ≥-++.又因为()2=-++≥-++a ba b a ab a b a ，则有2()f x ≥.解不等式|12|2x x ≤－＋－得1522x ≤≤.【易错点】注意等号成立的条件【思维点拨】1.“绝对值三角不等式”的理解及记忆要结合三角形的形状，运用时注意等号成立的条件.2.含有两个绝对值符号的不等式，如c b x a x ≥-+-和c b x a x ≤-+-型不等式的解法有三种，几何解法和代数解法以及构造函数的解法，其中代数解法主要是分类讨论的思想方法，这也是函数解法的基础，这两种解法都适宜于x 前面系数不为1类型的上述不等式，使用范围更广.题型三利用绝对值不等式求参数范围例1设函数()212f x x x a a =++-+，R x ∈．（1）当3=a 时，求不等式()7>x f 的解集；（2）对任意R x ∈恒有()3≥x f ，求实数a 的取值范围．【答案】0|{<x x 或}2>x ，[)+∞,2【解析】（1）当3a =时，()174,2135,22341,2x x f x x x x ⎧-≤⎪⎪⎪=<<⎨⎪⎪-≥⎪⎩所以()7f x >的解集为{}02x x x <>或（2）()2122121f x x a x a x a x a a a=-+-+≥-+-+=-+由()3f x ≥恒成立，有13a a -+≥，解得2a ≥，所以a 的取值范围是[)2,+∞【易错点】本小题主要考查不等式的相关知识，具体涉及绝对值不等式及不等式证明等内容.本小题重点考查考生的化归与转化思想.【思维点拨】绝对值不等式的解法中，a x <的解集是()a a ,-；a x >的解集是()()+∞-∞-,,a a ，它可以推广到复合型绝对值不等式ax b c +≤，ax b c +≥的解法，还可以推广到右边含未知数x 的不等式.题型四用放缩法、反证法证明不等式例1已知a b R ∈，，且1a b ＋＝，求证：2225(2)(2)2a b ≥＋＋＋【证明】方法一：(放缩法)因为1a b ＋＝，所以左边＝()22222(b 2)125(2)(2)2[][()4]222a ab a b +≥＋＋＋＋＝＋＋＝＝右边.方法二：(反证法)假设2225(2)(2))2a b ＋＋＋＜，则22254()82a b a b ＋＋＋＋＜.由1a b ＋＝，得1b a ＝－，于是有2225(1)122a a ＋－＋＜.所以21()02a －＜，这与21(02a ≥－矛盾.故假设不成立，所以2225(2)(2)2a b ≥＋＋＋.【思维点拨】根据不等式左边是平方和及1=+b a 这个特点，选用重要不等式2222(2a b a b ≥＋＋来证明比较好，它可以将具备22a b ＋形式的式子缩小.而反证法的思路关键是先假设命题不成立，结合条件1a b ＋＝，得到关于a 的不等式，最后与数的平方非负的性质矛盾，从而证明了原不等式.当然本题也可以用分析法和作差比较法来证明.【题型归纳】题型一绝对值不等式、均值不等式1.【题干】已知函数()21----=x x m x f ，R m ∈，且()01≥+x f 的解集为[]1,0.（1）求m 的值；（2）若a ，b ，c ，x ，y ，R z ∈，且m c b a z y x =++=++222222，求证:1≤++cz by ax .【答案】（1）⎭⎬⎫⎩⎨⎧+≤≤-2121|m x m x （2）见解析【解析】（1）()mx x x f ≤-+⇒≥+|1|||01 当1<m 时， |1|1||≥-+x x ，1|1||<-+∴x x 的解集为空集，不符合题意当1≥m 时①021,210<≤-∴-≥<x mm x x 时，得②恒成立时，得1110≥∴≤-+≤≤m m x x x ③121,211>≥+∴+≤>x m m x x 时，得综上：⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-≤-+21,21|1|||m m m x x 的解集为由题意得：1121021=⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=-m m m（2）zcc z by b y ax a x 2,2,2222222≥+≥+≥+ ()cz by ax c z b y a x ++≥+++++∴22222221222222=++=++c b a z y x ()22≤++∴cz by ax 1≤++∴cz by ax 题型二绝对值不等式的解法、柯西不等式,或均值不等式求最值,以及绝对值不等式解法1.【题干】.已知函数()12-=x x f ．（1）求不等式()1+<x x f 的解集；（2）若1=+b a ，()()ba ab x f x f 221+>+-对任意正实数a ，b 恒成立，求实数x 的取值范围．【答案】(1){}02x x <<(2)14x x ⎧⎫<-⎨⎬⎩⎭【解析】（1）因为()1+<x x f 所以1121+<-<--x x x ,不等式()1+<x x f 的解集为：{}20|<<x x (2)因为1=+b a ，且a ，b 为正实数,()()1222=+≥+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+b a b a b a a b 当且仅当b a =时等号成立.因为()()ba ab x f x f 221+>+-对任意正实数a ，b 恒成立,所以()()11>+-x f x f 当21≥x 时不等式不成立；当2121<<-x 时解集为⎭⎫⎩⎨⎧-<<-4121|x x ；当21-≤x 时不等式恒成立解集⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤21|x x .综上不等式解集为⎭⎫⎩⎨⎧-≤41|x x .题型三利用绝对值不等式求参数范围1.【题干】设函数()222f x x x =+--．（1）求不等式()2f x >的解集；（2）若27,()2x R f x t t ∀∈≥-，恒成立，求实数t 的取值范围.【答案】(1)40,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦,(2)322t ≤≤【解析】（1）4,1()3,124,2x x f x x x x x --<-⎧⎪=-≤<⎨⎪+≥⎩，当1,42,6x x x <--->∴<-当12,x -≤<32x >，223x ∴<<当2x ≥，42,2x x +>∴≥。
综上所述263x x x ⎧⎫><-⎨⎬⎩⎭或．（2）易得min ()(1)3f x f =-=-，若211,()2x R f x t t ∀∈≥-，恒成立，则只需22min 7()3,2760,2f x t t t t =-≥--+≤解得，322t ≤≤。
，综上所述322t ≤≤．2.【题干】已知函数()2123f x x x =++-.（1）求不等式()6f x ≤的解集；（2）若关于x 的不等式22()log (3)2f x a a -->恒成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1）{}12x x -≤≤；（2）10a -<<或34a <<.【解析】（1）原不等式等价于32(21)(23)6x x x ⎧>⎪⎨⎪++-≤⎩或1322(21)(23)6x x x ⎧-<≤⎪⎨⎪+--≤⎩或12(21)(23)6x x x ⎧<-⎪⎨⎪-+--≤⎩，解得：322x <≤或1322x -≤≤或112x -≤<-.即不等式的解集为{}12x x -≤≤.（2）不等式22()log (3)2f x a a -->等价于22log (3)22123a a x x -+<++-，因为2123(21)(23)4x x x x ++-≥+--=，所以()f x 的最小值为4，于是22log (3)24a a -+<，即2230340a a a a ⎧->⎪⎨--<⎪⎩，所以10a -<<或34a <<3.【题干】.已知函数()21f x x a x =-+-．（1）解关于a 的不等式()12f ≥；（2）若关于x 的不等式()2f x ≥恒成立，求实数a 的取值范围．【答案】（1）4a ≥或0a ≤；（2）2a ≤-或6a ≥.【解析】（1）()12112f a a =-+-=-，224a a -≥⇒≥或0a ≤(2)当2a >时，()31,21,1231,1a x a x a f x x a x x a x ⎧-->⎪⎪⎪=-+-≤≤⎨⎪-++<⎪⎪⎩可知()f x 的最小值为12622a af a ⎛⎫=-≥⇒≥ ⎪⎝⎭，则此时6a ≥；当2a ≤时，()31,11,1231,2x a x af x x a x a x a x ⎧⎪-->⎪⎪=-+-≤≤⎨⎪⎪-++<⎪⎩，可知()f x 的最小值为12222a a f a ⎛⎫=-+≥⇒≤- ⎪⎝⎭，则此时2a ≤-综上：2a ≤-或6a ≥.新课程标准的内容与现形课标内容的对比如下表：必修课程主题学分课时包含的内容与现形课标的对照，在现形课标中的位置与现形课标对比，内容的不同主题一（预备知识）819集合A版：必修1第一章 1.1节考查知识点基本不变B版：必修1第一章全部内容考查知识点基本不变常用逻辑用语（与A版内容较接近）A版：选修2‐1第一章1.1节，1.2节，1.4节基本不变B版：选修2‐1第一章1.1节，1.3节新课标增加了全称量词与存在量词一元二次函数、方程和不等式（与B版内容接近）A版：必修1第二章2.3节中与幂函数有关的一元二次函数提了出来必修5第二章3.1节，3.2节，3.4节中关于不等式的知识知识点基本不变不等式与现形课标相比少了二元一次不等式及线性规划B版：必修1第二章2.2节中的2.2.2，2.2.3中的一元二次函数知识必修5第三章3.1节，3.2节，3.3节，3.4节中的不等式知识基本不变主题二（函数及应用）54函数概念与性质（与A版内容接近）A版：必修1第一章1.2节，1.3节基本不变；函数的性质并入了三角函数来了解函数的周期性B版：必修1第二章2.1节增加了函数的最值与周期性幂函数、指数函数、对数函数（与A版内容接近）A版：必修1第二章2.1节，2.2节，2.3节基本不变B版：必修1第三章3.1节，3.2节，3.3节基本不变三角函数（与A，B版内容相差不大）A版：必修4第一章全部内容及第三章全部内容基本不变B版：必修4第一章全部内容及第三章基本不变全部内容函数综合应用（与A版内容接近）A版：必修1第三章全部内容基本不变B版：必修1第二章2.3节，2.4节增加了函数模型主题三（几何与代数）44平面向量及应用（与A，B版相差不大）A版：必修4第二章全部内容基本不变B版：必修4中第二章全部内容基本不变复数（与A版内容接近）A版：选修2‐2第三章全部内容增加了选学内容“复数的三角表示”B版：选修2‐2无教材立体几何初步（与B版内容接近）A版：必修2第一章全部内容及第二章全部内容基本不变B版：必修2第一章全部内容基本不变主题四（统计与概率）18统计（与A,B版内容相差不多）A版：必修3第二章2.1节，2.2节基本不变；知识点统计图表中加入了“梳理义务教育阶段学过的统计图表”B版：必修3第二章2.1节，2.2节基本不变概率（与A,B版内容相差不多）A版：必修3第三章全部内容基本不变B版：必修3第三章3.1节，3.2节，3.4节基本不变主题五（数学建模与数学探究）5数学建模与数学探究要求学生完成一个课题研究，包括选题、开题、做题、结题四个环节。