高考数学题型全归纳：判定等差数列的方法(含答案)

判定等差数列的方法
本文介绍判定等差数列的方法、目的在于深刻理解等差数列的定义、灵活运用有关知识、为解有关数列的综合题奠定基础、那么怎样判定等差数列呢？
一、定义法
如果一个数列{a n}满足a n+1－a n＝常数、则这个数列叫做等差数列、据此定义、要证数列是等差数列、只需证明a n+1－a n＝常数、这种方法叫做定义法、
例1 已知数列{a n}是等差数列、而数列{b k}的通项公式为
证明设数列{a n}的公差为d、则有
二、通项公式法
大家知道、等差数列{a n}的通项公式为a n＝a1＋(n－1)d、反之如果数列{a n}的通项公式为a n＝a1＋(n－1)d、则数列{a n}是等差数列、这样、数列{a n}为等差数列的充分必要条件是a n＝a1＋(n－1)d、因此通项公式也是判定等差数列的好方法、
求证：数列{b n}是等差数列、
证明设等比数列{a n}的公比是q、由a n＞0知q＞0、于是
三、等差中项法
三数a、A、b成等差数列、即2A＝a＋b、A叫a、b等差中项、反之、若2A＝a＋b、则a、A、b成差数列、因此、我们常用后一结论来判定等差数列、
例3 已知x、y、z成等差数列、求证x2(y＋z)、y2(x＋z)、z2(x＋y)也成等差数列、
证明∵x2(y＋z)＋z2(x＋y)
＝x2y＋x2z＋z2x＋z2y
＝x2y＋z2y＋xz(x＋z)
＝x2y＋z2y＋2yxz(∵2y＝x＋z)
＝y(x2＋z2＋2xz)＝4y3、
而2y2(x＋z)＝2y2·(2y)＝4y3、
∴x2(y＋z)＋y2(x＋y)＝2y2(z＋x)、
故x2(y＋x)、y2(z＋x)、z2(x＋y)也成等差数列、
有些数列题需要根据上面的方法证明所给数列是等差数列后、再求解、至于证明时选用哪个方法、应因题而异、
解因为数列的第k项
大、必须前k项非负、而从第k＋1项起以后各项都是负数、因此k适合下列条件：
由①得k≤14.2、由②得k＞13.2、
所以、13.2＜k≤14.2、
由于k为自然数、故k＝14、即该数列前14项的和最大、。