2017年山东省济南市中考数学试卷(含答案)

2017年济南市中考数学试卷
一、选择题（每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．一元二次方程的根是
A． B．
C． D．
2．两个相似多边形的面积比是9∶16，其中小多边形的周长为36 cm，则大多边形的周长为
A．48 cm B．54 cm C．56 cm D．64 cm
3．端午节吃粽子是中华民族的传统习俗，小颖的妈妈买了2只红豆粽、3只碱水粽、5只干肉粽，粽子除内部馅料不同外其他均相同，若小颖随意吃一个，则吃到红豆粽的概率是
A． B． C． D．
4．中央电视台有一个非常受欢迎的娱乐节目《墙来了》，选手需按墙上的空洞造型摆成相同的姿势，才能穿墙而过，否则会被墙推入水池．类似地，有一个几何体能恰好无缝隙地以三个不同形状的“姿势”穿过“墙”上的三个空洞（如图），则该几何体为
A B C D
5．如图，是的直径，弦，，．则阴影部分的面积是
A．32π B．16π C．16 D．32
6．二次函数的图象可由的图象
A．向左平移1个单位，再向下平移2个单位得到
B．向左平移1个单位，再向上平移2个单位得到
C．向右平移1个单位，再向下平移2个单位得到
D．向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到
7．如图，在直角三角形中，，点是斜边的中点，经过、、三点，是弧上的一个点，且，则
A． B． C． D．
8．如图，直线与曲线交于点A，将直线向右平移6个单位后，与曲线交于点B，与轴交于点C，若，则的值为
A．12 B．14 C．18 D．24
二、填空题（每小题3分，共21分）
9．在实数范围内定义一种运算“”，其规则为，则方程的所有解的和为____________．
10．如图，，分别是正五边形的边，上的点，，连接，．将绕正五边形的中心按逆时针方向旋转到，旋转角为（），则
____________．
11．若，是一元二次方程的实根，且满足，，则实数的取值范围是____________．
12．设二次函数的图象经过点(3，0)，(7，–8)，当时，y随x的增大而减小，则实数a的取值范围是____________．
13．中，，cm，cm，以为圆心，为半径作圆，若圆与直线相切，则____________cm．
14．如图，将边长为6 cm的正方形折叠，使点落在边的中点处，折痕为，点落在处，与交于点，则的周长是____________cm．
第14题图第15题图
15．如图，一段抛物线：，记为，它与x轴交于点，；
将绕点旋转得，交x轴于点；
将绕点旋转得，交x轴于点；
…
如此进行下去，直至得．若在第13段抛物线上，则____________．
三、解答题（本大题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16．（本题8分）如图，一次函数与反比例函数的图象相交于，两点，已知．
（1）求及的值；
（2）不解关于x，y的方程组，直接写出点的坐标；
（3）根据图象，直接写出当时，自变量x的取值范围．
17．（本题9分）某单位计划于“十一”期间组织职工到清明上河园观光旅游．下面是领队与旅行社导游关于收费标准的一段对话：
领队：组团去清明上河园旅游每人收费是多少？
导游：如果人数不超过25人，人均旅游费用为100元．
领队：超过25人怎样优惠呢？
导游：如果超过25人，每增加1人，人均旅游费用降低2元，但人均旅游费用不得低于70元．
该单位按旅行社的收费标准组团游览清明上河园结束后，共支付给旅行社2700元．
请你根据上述信息，求该单位这次到清明上河园观光旅游的共有多少人？
18．（本题9分）某景区为了对一棵倾斜的古杉树进行保护，需测量其高度．如图，在地面上选取一点，测得，m，，求这棵古杉树的高度．（结果取整数）
参考数据：，，，．
19．（本题9分）在同一平面内，和如图①放置，其中．
小明做了如下操作：
将绕着边的中点旋转得到，将绕着边的中点旋转得到，如图②所示，请完成下列问题：
（1）试猜想四边形是什么特殊四边形，并说明理由；
（2）如图③，连接，，求证：四边形是平行四边形．
20．（本题9分）某校九年级举行毕业典礼，需要从九年级（1）班的2名男生、1名女生（男生用A，B 表示，女生用a表示）和九年级（2）班的1名男生、1名女生（男生用C表示，女生用b表示）共5人中随机选出2名主持人．
（1）用树状图或列表法列出所有可能情形；
（2）求2名主持人来自不同班级的概率；
（3）求2名主持人恰好1男1女的概率．
21．（本题10分）如图1，在中，，，点，分别是边，的中点，连接．将绕点按顺时针方向旋转，记旋转角为．
图1 图
2 备用图
（1）问题发现
①当时，_____________；
②当时，_____________．
（2）拓展探究
试判断：当时，的值有无变化？请仅就图2的情况给出证明．
（3）问题解决
当旋转至，，三点共线时，直接写出线段的长．
22．（本题10分）如图，内接于，为直径，点是弧的中点，连接，设，交于点，于点，交于点．
备用图
（1）求证：；
（2）判断与是否相等，并说明理由；
（3）当点为半圆弧的中点，小李通过操作发现，请问小李的发现是否正确？若正确，请说明理由；若不正确，请写出与正确的关系式．
23．（本题11分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过，两点，且与y轴交于点，．动点从点出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向点移动，同时动点从点出发，沿线段以某一速度向点移动．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若经过秒的移动，线段被垂直平分，求此时的值；
（3）在第一象限的抛物线上取一点，使得，再在抛物线上找点（不与点，，重合），使得，求点的坐标．
9．1 10． 11． 12．或
13． 14．12 15．2
16．（本题8分）【解析】（1）将点的坐标分别代入一次函数与反比例函数，
可得，，解得，．（3分）
（2）∵，两点关于直线对称，∴点的坐标为．（6分）
（3）当时，自变量x的取值范围为或．（8分）
17．（本题9分）【解析】设该单位这次参加旅游的共有人，因为，所以．（2分）依题意得，即，解得，
．（4分）
①当时，，符合题意；（5分）
②当时，，不符合题意，应舍去．（6分）
由①②可得．（7分）答：该单位这次参加旅游的共有人．（9分）
18．（本题9分）【解析】如图，过点作于．（2分）
∵，，∴在中，，（4分）
在中，，∵m，∴，解得m，
（6分）∴m．（8分）故这棵古杉树的高度大约为m．（9分）
19．（本题9分）【解析】（1）四边形是菱形．（1分）
理由如下：∵将绕着边的中点旋转得到，∴，，（2分）
∵，∴，∴四边形是菱形．（4分）
（2）∵四边形是菱形，∴，且，∵将绕着边的中点旋转得到，∴，，（6分）∴四边形为平行四边形，∴，且，∴，，∴四边形是平行四边形．（9分）20．（本题9分）【解析】（1）列表可得：
B BA
共有20种等可能的结果．（3分）
（2）∵2名主持人来自不同班级的情况有12种，∴2名主持人来自不同班级的概率为．（6分）
（3）∵2名主持人恰好1男1女的情况有12种，∴2名主持人恰好1男1女的概率为．（9分）21．（本题10分）
【解析】（1）①当时，在中，，
，
点，分别是边，的中点，，，．
②当时，可得，，．（3分）
（2）无变化．如题图2中，在旋转过程中形状、大小不变，．
又，，，在中，
，，，的值不变．（6分）
（3）或．（10分）注：如图①，当在上方，且，，三点共线时，四边形为矩形，；如图②，当在下方，且，，三点共线时，为直角三角形，由勾股定理可得，∴，根据，可得．
图①图②
22．（本题10分）
【解析】（1）如图1，连接，∵是的直径，∴，∵于，∴，
∴，∴，∵点是弧的中点，∴
，∴，∴．（3分）
（2）．理由如下：由（1）知，，∴，∴．（3）小李的发现是正确的．理由如下：如图2，延长，交于点，∵为半圆弧的中点，
是弧的中点，∴，，，
在和中，，∴，∴．（7分）
∵为直径，∴，∵为弧的中点，∴．在和
中，，∴，（9分）∴，∴
．（10分）
23．（本题11分）【解析】（1）将，代入，得，解得，故抛物线的解析式为．（3
分）
（2）如图，连接，由和，可得，。