一元二次方程与二次三项式因式分解
二次三项式的因式分解(用公式法)及一元二次方程的应用 人教版
二次三项式的因式分解（用公式法）及一元二次方程的应用一. 本周教学内容：二次三项式的因式分解（用公式法）及一元二次方程的应用［学习目标］1. 熟练掌握二次三项式的意义；了解二次三项式的因式分解与解一元二次方程的关系；运用一元二次方程的求根公式在实数范围内将二次三项式分解因式。
2. 学会用列一元二次方程的方法解实际应用题。
3. 通过二次三项式的因式分解的学习，提高分析问题，解决问题的能力；进一步了解认识问题和解决问题的一般规律，即由一般到特殊，再由特殊到一般。
4. 通过一元二次方程的应用的学习，提高化实际问题为数学问题的能力和分析问题，解决问题的能力，培养用数学的意识；深刻体会转化，方程，数形结合等初等数学的思想方法。
二. 重点、难点：1. 教学重点：①应用公式法将二次三项式因式分解；会用列一元二次方程的方法解决实际应用的问题。
②在列一元二次方程的方法解应用题时，分析题意找出表示全部含义的相等关系，是能否列出方程的前提和保证。
2. 教学难点：①一元二次方程的根与二次三项式因式分解的关系；一个二次三项式在实数范围内因式分解的条件。
②在列一元二次方程的方法解应用题时，分析题意找等量关系是难点；注意求解后，检验根是否符合实际意义。
【典型例题】例1. 分解因式①x x 264-+②32312x x -+ ③24322x xy y +-④-+-x x 2525 ⑤()x x 221+- 分析：前四个均为二次三项式ax bx c a 20++()≠或二元二次三项式Ax Bxy Cy 22++的因式分解，直接用公式进行分解。
ax bx c a x x x x 212++=--()()其中x x 12，为方程ax bx c a 200++=()≠的两根。
Ax Bxy Cy A x x x x 2212++=--()()，其中x x 12，为关于x 的方程Ax Bxy Cy A 2200++=()≠的两根。
第五个用平方差公式，再用公式法分解二次三项式。
二次三项式的因式分解(用公式法)
1、如果x1、x2是一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根，那么分解因式ax2+bx+c= 。
2、当k 时，二次三项式x2－5x+k的实数范围内可以分解因式。
3、如果二次三项式x2+kx+5(k－5)是关于x的完全平方式，那么k= 。
4、4x2+2x－35、x4－x2－66、6x4－7x2－37、x+4y+4xy(x>0,y>0)8、x2－3xy+y29、证明：m为任何实数时，多项式x2+2mx+m－4都可以在实数范围内分解因式。
10、分解因式4x2－4xy－3y2－4x+10y－3。
11、已知：6x2－xy－6y2=0，求：y3x62y6x4--的值。
12、6x2－7x－3；13、2x2－1分解因式的结果是。
14、已知－1和2是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根，那么，ax2+bx+c可以分解因式为。
15、3x2－2x－8；16、2x2－3x－2；17、2x2+3x+4；18、4x2－2x；19、3x2－1。
20、3x2－3x－1；21、22x2－3x－2。
22、方程5x2－3x－1=0与10x2－6x－2=0的根相同吗?为什么?二次三项式2x2－3x－4与4x2－6x－8 分解因式的结果相同吗?把两个二次三项式分别分解因式，验证你的结论。
23、二次三项式2x2－2x－5分解因式的结果是( )A.⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-21112111xxB.⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-211121112xxC.⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫⎝⎛++21112111xxD.⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫⎝⎛++211121112xx24、二次三项式4x2－12x+9分解因式的结果是( )A.⎪⎭⎫⎝⎛-234xB.⎪⎭⎫⎝⎛-23xC.223⎪⎭⎫⎝⎛-xD.2234⎪⎭⎫⎝⎛-x25、2x2－7x+5；26、4y2－2y－1。
27、5x2－7xy－6y2；28、2x2y2+3xy－3。
一元二次方程的解法因式分解法知识点总结
一元二次方程的解法--公式法，因式分解法—知识讲解（基础）【学习目标】1.理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念，能熟练应用公式法解一元二次方程；2.正确理解因式分解法的实质，熟练运用因式分解法解一元二次方程；3.通过求根公式的推导，培养学生数学推理的严密性及严谨性，渗透分类的思想．【要点梳理】要点一、公式法解一元二次方程1.一元二次方程的求根公式一元二次方程，当时，.2.一元二次方程根的判别式一元二次方程根的判别式：． ①当时，原方程有两个不等的实数根；②当时，原方程有两个相等的实数根；③当时，原方程没有实数根.3.用公式法解一元二次方程的步骤用公式法解关于x 的一元二次方程的步骤：①把一元二次方程化为一般形式； ②确定a 、b 、c 的值（要注意符号）； ③求出的值；④若，则利用公式求出原方程的解；若，则原方程无实根.要点诠释：（1）虽然所有的一元二次方程都可以用公式法来求解，但它往往并非最简单的，一定要注意方法的选择.（2）一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠，用配方法将其变形为：2224()24b b ac x a a -+=.①当240b ac ∆=->时，右端是正数．因此，方程有两个不相等的实根：21,242b b acx a -±-=.②当240b ac ∆=-=时，右端是零．因此，方程有两个相等的实根：1,22b x a =-.③当240b ac ∆=-<时，右端是负数．因此，方程没有实根.要点二、因式分解法解一元二次方程 1.用因式分解法解一元二次方程的步骤 （1）将方程右边化为0；（2）将方程左边分解为两个一次式的积；（3）令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程； （4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解. 2.常用的因式分解法提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等. 要点诠释：（1）能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点：方程的一边是0，另一边可以分解成两个一次因式的积；（2）用分解因式法解一元二次方程的理论依据：两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0；（3）用分解因式法解一元二次方程的注意点：①必须将方程的右边化为0；②方程两边不能同时除以含有未知数的代数式. 【典型例题】类型一、公式法解一元二次方程1.用公式法解下列方程．(1)x 2+3x+1=0；(2)2241x x =-； (3)2x 2+3x-1=0．【答案与解析】(1)a=1，b=3，c=1∴x==．∴x 1=，x 2=．(2)原方程化为一般形式，得22410x x -+=．∵2a =，4b =-，1c =，∴224(4)42180b ac -=--⨯⨯=>．∴42221222x ±==±⨯，即1212x =+，2212x =-．(3)∵a=2，b=3，c=﹣1∴b 2﹣4ac=17＞0∴x=∴x 1=，x 2=．【总结升华】用公式法解一元二次方程的关键是对a 、b 、c 的确定．用这种方法解一元二次方程的步骤是：(1)把方程化为一元二次方程的一般形式；(2)确定a ，b ，c 的值并计算24b ac -的值；(3)若24b ac -是非负数，用公式法求解． 举一反三：【变式】用公式法解方程：（2014•武汉模拟）x 2﹣3x ﹣2=0．【答案】解：∵a=1，b=﹣3，c=﹣2；∴b 2﹣4ac=（﹣3）2﹣4×1×（﹣2）=9+8=17；∴x==， ∴x 1=，x 2=．2．用公式法解下列方程： (1)（2014•武汉模拟）2x 2+x=2；(2)（2014秋•开县期末）3x 2﹣6x ﹣2=0 ；（3）（2015•黄陂区校级模拟）x 2﹣3x ﹣7=0．【思路点拨】针对具体的试题具体分析，不是一般式的先化成一般式，再写出a,b,c 的值，代入求值即可.【答案与解析】解：(1)∵2x 2+x ﹣2=0，∴a=2，b=1，c=﹣2，∴x===，∴x 1=，x 2=．(2)∵a=3，b=﹣6，c=﹣2，∴b 2﹣4ac=36+24=60＞0，∴x=， ∴x 1=，x 2=（3）∵a=1，b=﹣3，b=﹣7．∴b 2﹣4ac=9+28=37.x==，解得 x 1=，x 2=．【总结升华】首先把每个方程化成一般形式，确定出a 、b 、c 的值，在240b ac -≥的前提下，代入求根公式可求出方程的根． 举一反三：【变式】用公式法解下列方程： 2221x x +=； 【答案】解：移项，得22210x x +-=．∵ 2a =，2b =，1c =-，224242(1)120b ac -=-⨯⨯-=>，∴ 21213222x -±-±==⨯， ∴ 1132x --=，2132x -+=．类型二、因式分解法解一元二次方程3．用因式分解法解下列方程：(1)3(x+2)2＝2(x+2)； (2)(2x+3)2-25＝0； （3）x （2x+1）=8x ﹣3．【思路点拨】 用因式分解法解方程，一定要注意第1小题，等号的两边都含有（x+2）这一项，切不可在方程的两边同除以（x+2）,化简成3（x+2）=2,因为你不知道（x-2）是否等于零.第2小题，运用平方差公式可以，用直接开方也可以.第3小题化成一般式之后，再运用分解因式法解方程. 【答案与解析】(1)移项．得3(x+2)2-2(x+2)＝0，(x+2)(3x+6-2)＝0．∴ x+2＝0或3x+4＝0，∴ x 1＝-2，243x =-． (2)(2x+3-5)(2x+3+5)＝0，∴ 2x-2＝0或2x+8＝0， ∴ x 1＝1，x 2＝-4．（3）去括号，得：2x 2+x=8x ﹣3，移项，得：2x 2+x ﹣8x+3=0合并同类项，得：2x 2﹣7x+3=0， ∴（2x ﹣1）（x ﹣3）=0， ∴2x﹣1=0或 x ﹣3=0，∴，x 2=3．【总结升华】(1)中方程求解时，不能两边同时除以(x+2)，否则要漏解．用因式分解法解一元二次方程必须将方程右边化为零，左边用多项式因式分解的方法进行因式分解．因式分解的方法有提公因式法、公式法、二次三项式法及分组分解法．(2)可用平方差公式分解．4．解下列一元二次方程： (1)(2x+1)2+4(2x+1)+4＝0； (2)(31)(1)(41)(1)x x x x --=+-．【答案与解析】(1)(2x+1)2+4(2x+1)+4＝0，(2x+1+2)2＝0．即2(23)0x +=， ∴ 1232x x ==-． (2)移项，得(3x-1)(x-1)-(4x+1)(x-1)＝0，即(x-1)(x+2)＝0，所以11x =，22x =-．【总结升华】解一元二次方程时，一定要先从整体上分析，选择适当的解法．如 (1)可以用完全平方公式．用含未知数的整式去除方程两边时，很可能导致方程丢根，（2）容易丢掉x ＝1这个根． 举一反三：【变式】（1）（x+8）2-5(x+8)+6=0 （2）3(21)42x x x +=+【答案】（1）（x+8-2）(x+8-3)=0(x+6)(x+5)=0 X 1=-6,x 2=-5. (2)3x(2x+1)-2(2x+1)=0(2x+1)(3x-2)=01212,23x x =-=.5．探究下表中的奥秘，并完成填空：一元二次方程 两个根 二次三项式因式分解 x 2﹣2x+1=0 x 1=1，x 2=1 x 2﹣2x+1=（x ﹣1）（x ﹣1） x 2﹣3x+2=0 x 1=1，x 2=2 x 2﹣3x+2=（x ﹣1）（x ﹣2） 3x 2+x ﹣2=0 x 1=，x 2=﹣1 3x 2+x ﹣2=3（x ﹣）（x+1） 2x 2+5x+2=0x 1=﹣，x 2=﹣2 2x 2+5x+2=2（x+）（x+2）4x 2+13x+3=0 x 1= ，x 2= 4x 2+13x+3=4（x+ ）（x+ ）将你发现的结论一般化，并写出来．【思路点拨】利用因式分解法，分别求出表中方程的解，总结规律，得出结论． 【答案与解析】填空：﹣，﹣3；4x 2+13x+3=4（x+）（x+3）．发现的一般结论为：若一元二次方程 ax 2+bx+c=0的两个根为x 1、x 2，则 ax 2+bx+c=a （x ﹣x 1）（x ﹣x 2）．【总结升华】考查学生综合分析能力，要根据求解的过程，得出一般的结论，解一元二次方程——因式分解法．一元二次方程的解法--公式法，因式分解法—巩固练习（基础）【巩固练习】 一、选择题 1．（2014•泗县校级模拟）下列方程适合用因式方程解法解的是（ ） A ．x 2﹣3x+2=0 B ．2x 2=x+4 C ．（x ﹣1）（x+2）=72 D ．x 2﹣11x ﹣10=02．方程(1)2x x -=的解是( )A ．1x =-B ．2x =-C ．11x =-，22x =D ．11x =，22x =-3．一元二次方程2340x x +-=的解是( ) A ．11x =；24x =- B ．11x =-；24x = C ．11x =-；24x =- D ．11x =；24x =4.方程x 2-5x-6＝0的两根为( )A ．6和1B ．6和-1C ．2和3D ．-2和3 5．方程(x-5)(x-6)＝x-5的解是 ( )A ．x ＝5B ．x ＝5或x ＝6C ．x ＝7D ．x ＝5或x ＝7 6．已知210x x --=，则3222012x x -++的值为 ( )A ． 2011B ．2012C ． 2013D ．2014 二、填空题7．（2015•厦门）方程x 2+x ＝0的解是___ _____； 8．方程(x-1)(x+2)(x-3)＝0的根是_____ ___．9．请写一个两根分别是1和2的一元二次方程___ _____．10．若方程x 2-m ＝0的根为整数，则m 的值可以是_____ ___．(只填符合条件的一个即可) 11．已知实数x 、y 满足2222()(1)2x y x y ++-=，则22x y +=________．12．已知y ＝(x-5)(x+2)．(1)当x 为 值时，y 的值为0； (2)当x 为 值时，y 的值为5.三、解答题 13．（2014秋•宝坻区校级期末）解方程 （1）2（x ﹣3）2=8（直接开平方法）（2）4x 2﹣6x ﹣3=0（运用公式法）（3）（2x ﹣3）2=5（2x ﹣3）（运用分解因式法） （4）（x+8）（x+1）=﹣12（运用适当的方法）14.用因式分解法解方程（1）x 2-6x-16＝0．（2）(2x+1)2+3(2x+1)+2＝0．15(2)请观察上表，结合24b ac -的符号，归纳出一元二次方程的根的情况． (3)利用上面的结论解答下题．当m 取什么值时，关于x 的一元二次方程(m-2)x 2+(2m+1)x+m-2＝0， ①有两个不相等的实数根； ②有两个相等的实数根； ③没有实数根．【答案与解析】 一、选择题 1.【答案】C ；【解析】解：根据分析可知A 、B 、D 适用公式法．而C 可化简为x 2+x ﹣72=0，即（x+9）（x ﹣8）=0， 所以C 适合用因式分解法来解题．故选C ．2.【答案】C ；【解析】整理得x 2-x-2＝0，∴ (x-2)(x+1)＝0.3.【答案】A ；【解析】可分解为(x-1)(x+4)＝04.【答案】B ；【解析】要设法找到两个数a ，b ，使它们的和a+b ＝-5，积ab ＝-6，∴ (x+1)(x-6)＝0，∴ x+1＝0或x-6＝0． ∴ x 1＝-1，x 2＝6． 5.【答案】D ；【解析】此方程左右两边含有相同的因式(x-5)，应移项后用因式分解法求解．即(x-5)(x-6)-(x-5)0．∴ (x-5)(x-6-1)＝0，∴ 15x =，27x =6.【答案】C ；【解析】由已知得x 2-x ＝1，∴ 322222012()20122012120122013x x x x x x x x 2-++=--++=-++=+=．二、填空题 7．【答案】x 1＝0，x 2＝-1．【解析】可提公因式x ，得x(x+1)＝0．∴ x ＝0或x+1＝0，∴ x 1＝0，x 2＝-1． 8．【答案】x 1＝1，x 2＝-2，x 3＝3.【解析】由x-1＝0或x+2＝0或x-3＝0求解． 9．【答案】2320x x -+=；【解析】逆用因式分解解方程的方法，两根为1、2的方程就是(x-1)(x-2)＝0，然后整理可得答案． 10．【答案】4；【解析】 m 应是一个整数的平方，此题可填的数字很多． 11．【答案】2；【解析】由(x 2+y 2)2-(x 2+y 2)-2＝0得(x 2+y 2+1)(x 2+y 2-2)＝0又由x ，y 为实数，∴ x 2+y 2＞0，∴ x 2+y 2＝2． 12．【答案】 (1) x ＝5或x ＝-2；(2) 3692x +=或3692x -=． 【解析】(1)当y ＝0时(x-5)(x+2)＝0，∴ x-5＝0或x+2＝0，∴ x ＝5或x ＝-2．(2)当y ＝5时(x-5)(x+2)＝5，∴ 23150x x --=，3941(15)369212x ±-⨯⨯-±==⨯，∴ 3692x +=或3692x -=． 三、解答题13.【解析】解：（1）（x ﹣3）2=4x ﹣3=2或x ﹣3=﹣2， 解得，x 1=1或x 2=5； （2）a=4，b=﹣6，c=﹣3，b 2﹣4ac=（﹣6）2﹣4×4×（﹣3）=84，x==，，；（3）移项得，（2x ﹣3）2﹣5（2x ﹣3）=0，因式分解得，（2x ﹣3）（2x ﹣3﹣5）=0，，x 2=4；（4）化简得，x 2+9x+20=0，（x+4）（x+5）=0，解得，x 1=﹣4，x 2=﹣5．14.【解析】（1）(x-8)(x+2)＝0，∴ x-8＝0或x+2＝0，∴ 18x =，22x =-．（2）设y ＝2x+1，则原方程化为y2+3y+2＝0，∴ (y+1)(y+2)＝0，∴ y+1＝0或y+2＝0， ∴ y ＝-1或y ＝-2．当1y =-时，211x +=-，1x =-；当2y =-时，212x +=-，32x =-． ∴ 原方程的解为11x =-，232x =-．15.【解析】(2)①当240b ac ->时，方程有两个不相等的实数根； ②当240b ac -=时，方程有两个相等的实数根；③当240b ac -<时，方程没有实数根． (3)242015b ac m -=-，①当原方程有两个不相等的实数根时，2420150b ac m -=->，即34m >且m ≠2； ②当原方程有两个相等的实数根时，b 2 -4ac =20m -15=0，即34m =； ③当原方程没有实数根时， 2420150b ac m -=-<，即34m <．一元二次方程的解法--公式法，因式分解法—知识讲解（提高）【学习目标】1.理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念，能熟练应用公式法解一元二次方程；2.正确理解因式分解法的实质，熟练运用因式分解法解一元二次方程；3.通过求根公式的推导，培养学生数学推理的严密性及严谨性，渗透分类的思想．【要点梳理】要点一、公式法解一元二次方程 1.一元二次方程的求根公式一元二次方程，当时，.2.一元二次方程根的判别式一元二次方程根的判别式：． ①当时，原方程有两个不等的实数根；②当时，原方程有两个相等的实数根；③当时，原方程没有实数根.3.用公式法解一元二次方程的步骤 用公式法解关于x 的一元二次方程的步骤：①把一元二次方程化为一般形式； ②确定a 、b 、c 的值（要注意符号）； ③求出的值；④若，则利用公式求出原方程的解；若，则原方程无实根.要点诠释：（1）虽然所有的一元二次方程都可以用公式法来求解，但它往往并非最简单的，一定要注意方法的选用.（2）一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠，用配方法将其变形为：2224()24b b ac x a a -+= ①当240b ac ∆=->时，右端是正数．因此，方程有两个不相等的实根：21,242b b acx a--=②当240b ac ∆=-=时，右端是零．因此，方程有两个相等的实根：1,22b x a=-③当240b ac ∆=-<时，右端是负数．因此，方程没有实根. 要点二、因式分解法解一元二次方程1.用因式分解法解一元二次方程的步骤（1）将方程右边化为0；（2）将方程左边分解为两个一次式的积；（3）令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程；（4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解.2.常用的因式分解法提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等.要点诠释：（1）能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点：方程的一边是0，另一边可以分解成两个一次因式的积；（2）用分解因式法解一元二次方程的理论依据：两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0；（3）用分解因式法解一元二次方程的注意点：①必须将方程的右边化为0；②方程两边不能同时除以含有未知数的代数式.【典型例题】类型一、公式法解一元二次方程1．解关于x 的方程2()(42)50m n x m n x n m ++-+-=．【答案与解析】(1)当m+n ＝0且m ≠0，n ≠0时，原方程可化为(42)50m m x m m +--=．∵ m ≠0，解得x ＝1．(2)当m+n ≠0时，∵ a m n =+，42b m n =-，5c n m =-，∴ 2224(42)4()(5)360b ac m n m n n m m -=--+-=≥，∴ 2243624|6|2()2()n m m n m m x m n m n -±-±==++， ∴ 11x =，25n m x m n-=+． 【总结升华】解关于字母系数的方程时，应该对各种可能出现的情况进行讨论．举一反三：【高清ID 号：388515关联的位置名称（播放点名称）：用公式法解含有字母系数的一元二次方程---例2练习】【变式】解关于x 的方程2223(1)x mx mx x m ++=+≠；【答案】原方程可化为2(1)(3)20,m x m x -+-+= ∵1,3,2,a m b m c =-=-=∴ 2224(3)8(1)(1)0b ac m m m -=---=+≥，∴ 23(1)3(1),2(1)2(1)m m m m x m m -±+-±+==-- ∴ 122, 1.1x x m==- 2． 用公式法解下列方程： (m-7)(m+3)+(m-1)(m+5)＝4m ；【答案与解析】方程整理为224214540m m m m m --++--=，∴ 22130m m --=，∴ a ＝1，b ＝-2，c ＝-13，∴ 224(2)41(13)56b ac -=--⨯⨯-=，∴ 24(2)56221b b ac m a -±---±==⨯22141142±==±， ∴ 1114m =+，2114m =-．【总结升华】先将原方程化为一般式，再按照公式法的步骤去解.举一反三：【高清ID 号：388515关联的位置名称（播放点名称）：用因式分解法解含字母系数的一元二次方程---例5（3）】【变式】用公式法解下列方程：【答案】∵21,3,2,a b m c m ==-= ∴22224(3)4120b ac m m m -=--⨯⨯=≥ ∴23322m m m m x ±±== ∴122,.x m x m ==类型二、因式分解法解一元二次方程3．（2015•东西湖区校级模拟）解方程：x 2﹣1=2（x+1）．【答案与解析】解：∵x 2﹣1=2（x+1），∴（x+1）（x ﹣1）=2（x+1），∴（x+1）（x ﹣3）=0，∴x 1=﹣1，x 2=3．【总结升华】本题主要考查了因式分解法解一元二次方程的知识，左边先平方差公式分解，然后提取公因式（x+1），注意不要两边同除（x+1），这样会漏解.举一反三：【变式】解方程（2015·茂名校级一模）（1）x 2-2x-3=0； （2）（x-1）2+2x(x-1)=0．【答案】解：（1）分解因式得：（x-3）（x+1）=0∴x-3=0，x+1=0∴x 1=3,x 2=-1.（2）分解因式得：（x-1）（x-1+2x ）=0∴x-1=0，3x-1=0∴x 1=1,x 2=13.4．如果2222()(2)3x y x y ++-=，请你求出22x y +的值．【答案与解析】设22x y z +=，∴ z(z-2)＝3．整理得：2230z z --=，∴ (z-3)(z+1)＝0．∴ z 1＝3，z 2＝-1．∵ 220z x y =+>，∴ z ＝-1(不合题意，舍去)∴ z ＝3．即22x y +的值为3．【总结升华】如果把22x y +视为一个整体，则已知条件可以转化成一个一元二次方程的形式，用因式分解法可以解这个一元二次方程．此题看似求x 、y 的值，然后计算22x y +，但实际上如果把22x y +看成一个整体，那么原方程便可化简求解。
一元二次方程的解法(三)--公式法,因式分解法—知识讲解(基础)
一元二次方程的解法（三）--公式法，因式分解法—知识讲解（基础）【学习目标】1. 理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念，能熟练应用公式法解一元二次方程；2. 正确理解因式分解法的实质，熟练运用因式分解法解一元二次方程；3. 能应用根的判别式判断一元二次方程求根的情况，通过求根公式的推导，培养学生数学推理的严密性及严谨性，渗透分类的思想． 【要点梳理】要点一、公式法解一元二次方程 1.一元二次方程的求根公式 一元二次方程，当时，.2.一元二次方程根的判别式一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 中，ac b 42-叫做一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根的判别式，通常用“∆”来表示，即ac b 42-=∆①当时，原方程有两个不等的实数根；②当时，原方程有两个相等的实数根；③当时，原方程没有实数根.要点诠释：利用根的判别式判定一元二次方程根的情况的步骤：①把一元二次方程化为一般形式；②确定c b a .,的值；③计算ac b 42-的值；④根据ac b 42-的符号判定方程根的情况. 3.一元二次方程根的判别式的逆用 在方程()002≠=++a c bx ax 中，（1）方程有两个不相等的实数根⇒ac b 42-﹥0； （2）方程有两个相等的实数根⇒ac b 42-=0； （3）方程没有实数根⇒ac b 42-﹤0.要点诠释：（1）逆用一元二次方程根的判别式求未知数的值或取值范围，但不能忽略二次项系数不为0这一条件； （2）若一元二次方程有两个实数根则 ac b 42-≥0.4.用公式法解一元二次方程的步骤 用公式法解关于x 的一元二次方程的步骤：①把一元二次方程化为一般形式； ②确定a 、b 、c 的值（要注意符号）； ③求出的值；④若，则利用公式求出原方程的解；若，则原方程无实根.要点诠释：（1）虽然所有的一元二次方程都可以用公式法来求解，但它往往并非最简单的，一定要注意方法的选择.（2）一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠，用配方法将其变形为：2224()24b b acx a a-+=. ①当240b ac ∆=->时，右端是正数．因此，方程有两个不相等的实根：21,24b b acx -±-=.② 当240b ac ∆=-=时，右端是零．因此，方程有两个相等的实根：1,22b x a=-. ③ 当240b ac ∆=-<时，右端是负数．因此，方程没有实根.要点二、因式分解法解一元二次方程 1.用因式分解法解一元二次方程的步骤 （1）将方程右边化为0；（2）将方程左边分解为两个一次式的积；（3）令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程； （4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解. 2.常用的因式分解法提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等. 要点诠释：（1）能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点：方程的一边是0，另一边可以分解成两个一次因式的积；（2）用分解因式法解一元二次方程的理论依据：两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0；（3）用分解因式法解一元二次方程的注意点：①必须将方程的右边化为0；②方程两边不能同时除以含有未知数的代数式.【典型例题】类型一、公式法解一元二次方程1.用公式法解下列方程．(1) x 2+3x+1=0； (2)2241x x =-； (3) 2x 2+3x-1=0．【答案与解析】(1) a=1，b=3，c=1∴x==．∴x 1=，x 2=．(2)原方程化为一般形式，得22410x x -+=．∵2a =，4b =-，1c =，∴224(4)42180b ac -=--⨯⨯=>．∴42221222x ±==±⨯，即1212x =+，2212x =-． (3) ∵a=2，b=3，c=﹣1∴b 2﹣4ac=17＞0∴x= ∴x 1=，x 2=．【总结升华】用公式法解一元二次方程的关键是对a 、b 、c 的确定．用这种方法解一元二次方程的步骤是：(1)把方程化为一元二次方程的一般形式；(2)确定a ，b ，c 的值并计算24b ac -的值；(3)若24b ac -是非负数，用公式法求解． 举一反三：【变式】用公式法解方程： x 2﹣3x ﹣2=0． 【答案】解：∵a=1，b=﹣3，c=﹣2；∴b 2﹣4ac=（﹣3）2﹣4×1×（﹣2）=9+8=17；∴x==，∴x 1=，x 2=．2．用公式法解下列方程： (1) 2x 2+x=2；(2) 3x 2﹣6x ﹣2=0；(3)（2015•黄陂区校级模拟）x 2﹣3x ﹣7=0．【思路点拨】针对具体的试题具体分析，不是一般式的先化成一般式，再写出a,b,c 的值，代入求值即可.【答案与解析】解：(1)∵2x 2+x ﹣2=0，∴a=2，b=1，c=﹣2，∴x===，∴x 1=，x 2=．(2) ∵a=3，b=﹣6，c=﹣2，∴b 2﹣4ac=36+24=60＞0，∴x=， ∴x 1=，x 2=（3）∵a=1，b=﹣3，b=﹣7．∴b 2﹣4ac=9+28=37.x== ，解得 x 1=，x 2=．【总结升华】首先把每个方程化成一般形式，确定出a 、b 、c 的值，在240b ac -≥的前提下，代入求根公式可求出方程的根． 举一反三：【变式】用公式法解下列方程： 2221x x +=； 【答案】解：移项，得22210x x +-=．∵ 2a =，2b =，1c =-，224242(1)120b ac -=-⨯⨯-=>，∴ 21213222x -±-±==⨯， ∴ 1132x --=，2132x -+=． 类型二、因式分解法解一元二次方程3．（凉山州模拟）解方程: （1）2x 2﹣3x ﹣2=0；（2）x （2x+3）﹣2x ﹣3=0．【思路点拨】（1）利用因式分解法解方程；（2）先变形得到x （2x+3）﹣（2x+3）=0，然后利用因式分解法解方程． 【答案与解析】解：（1）（2x+1）（x ﹣2）=0， 2x+1=0或x ﹣2=0， 所以x 1=﹣，x 2=2； （2）x （2x+3）﹣（2x+3）=0， （2x+3）（x ﹣1）=0， 2x+3=0或x ﹣1=0， 所以x 1=﹣，x 2=1．【总结升华】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了.4．解下列一元二次方程：(1)(2x+1)2+4(2x+1)+4＝0； (2)(31)(1)(41)(1)x x x x --=+-． 【答案与解析】(1)(2x+1)2+4(2x+1)+4＝0，(2x+1+2)2＝0． 即2(23)0x +=，∴ 1232x x ==-． (2) 移项，得(3x-1)(x-1)-(4x+1)(x-1)＝0，即(x-1)(x+2)＝0，所以11x =，22x =-．【总结升华】解一元二次方程时，一定要先从整体上分析，选择适当的解法．如(1)可以用完全平方公式．用含未知数的整式去除方程两边时，很可能导致方程丢根，（2）容易丢掉x ＝1这个根． 举一反三：【变式】（泗洪县校级模拟）解方程：（1）2x 2﹣x ﹣1=0（2）（x ﹣2）2=6﹣3x ．【答案】解：（1）2x 2﹣x ﹣1=0∴（2x+1）（x ﹣1）=0， ∴x ﹣1=0，2x+1=0，解得：x 1=1，x 2=﹣；（2）（x ﹣2）2=6﹣3x ．方程变形得：（x ﹣2）2+3（x ﹣2）=0， ∴（x ﹣2）（x ﹣2+3）=0， ∴x ﹣2=0，x+1=0， 解得：x 1=2，x 2=﹣1．5．探究下表中的奥秘，并完成填空： 一元二次方程 两个根 二次三项式因式分解 x2﹣2x+1=0 x1=1，x2=1 x2﹣2x+1=（x ﹣1）（x ﹣1） x2﹣3x+2=0 x1=1，x2=2 x2﹣3x+2=（x ﹣1）（x ﹣2） 3x2+x ﹣2=0x1=，x2=﹣1 3x2+x ﹣2=3（x ﹣）（x+1）2x2+5x+2=0x1=﹣，x2=﹣2 2x2+5x+2=2（x+）（x+2）4x2+13x+3=0 x1= ，x2= 4x2+13x+3=4（x+ ）（x+ ）将你发现的结论一般化，并写出来．【思路点拨】利用因式分解法，分别求出表中方程的解，总结规律，得出结论． 【答案与解析】填空：﹣，﹣3；4x2+13x+3=4（x+）（x+3）．发现的一般结论为：若一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根为x1、x2，则 ax2+bx+c=a （x ﹣x1）（x ﹣x2）．【总结升华】考查学生综合分析能力，要根据求解的过程，得出一般的结论，解一元二次方程——因式分解法．一元二次方程的解法（三）--公式法，因式分解法—巩固练习（基础）【巩固练习】 一、选择题1．下列方程适合用因式方程解法解的是（ ） A ．x 2﹣3x+2=0 B ．2x 2=x+4 C ．（x ﹣1）（x+2）=70 D ．x 2﹣11x ﹣10=02．方程(1)2x x -=的解是( )A ．1x =-B ．2x =-C ．11x =-，22x =D ．11x =，22x =- 3．一元二次方程2340x x +-=的解是( )A ．11x =；24x =-B ．11x =-；24x =C ．11x =-；24x =-D ．11x =；24x = 4.方程x 2-5x-6＝0的两根为( )A ．6和1B ．6和-1C ．2和3D ．-2和3 5．方程(x-5)(x-6)＝x-5的解是 ( )A ．x ＝5B ．x ＝5或x ＝6C ．x ＝7D ．x ＝5或x ＝76．（河北模拟）已知等腰△ABC 的两条边的长度是一元二次方程x 2﹣6x+8=0的两根，则△ABC 的周长是（ ）A ．10B ．8C ．6D ．8或10二、填空题7．（厦门）方程x 2+x ＝0的解是___ _____.8．方程(x-1)(x+2)(x-3)＝0的根是_____ ___．9．请写一个两根分别是1和2的一元二次方程___ _____．10．若方程x 2-m ＝0的根为整数，则m 的值可以是_____ ___．(只填符合条件的一个即可) 11．已知实数x 、y 满足2222()(1)2x y x y ++-=，则22x y +=________． 12．已知y ＝(x-5)(x+2)．(1)当x 为 值时，y 的值为0； (2)当x 为 值时，y 的值为5.三、解答题13．（曲靖一模）解下列方程： （1）2x 2﹣5x+1=0 （2）（x+4）2=2（x+4）14. 用因式分解法解方程（1）x 2-6x-16＝0． （2） (2x+1)2+3(2x+1)+2＝0．15．(1)利用求根公式完成下表：(2)请观察上表，结合24b ac -的符号，归纳出一元二次方程的根的情况． (3)利用上面的结论解答下题．当m 取什么值时，关于x 的一元二次方程(m-2)x 2+(2m+1)x+m-2＝0，①有两个不相等的实数根； ②有两个相等的实数根； ③没有实数根．【答案与解析】 一、选择题 1.【答案】C ；【解析】解：根据分析可知A 、B 、D 适用公式法．而C 可化简为x 2+x ﹣72=0，即（x+9）（x ﹣8）=0， 所以C 适合用因式分解法来解题．故选C ．2.【答案】C ；【解析】整理得x 2-x-2＝0，∴ (x-2)(x+1)＝0. 3.【答案】A ；【解析】可分解为(x-1)(x+4)＝0 4.【答案】B ；【解析】要设法找到两个数a ，b ，使它们的和a+b ＝-5，积ab ＝-6， ∴ (x+1)(x-6)＝0，∴ x+1＝0或x-6＝0． ∴ x 1＝-1，x 2＝6． 5.【答案】D ；【解析】此方程左右两边含有相同的因式(x-5)，应移项后用因式分解法求解．即(x-5)(x-6)-(x-5)0．∴ (x-5)(x-6-1)＝0，∴ 15x =，27x =6.【答案】A ；【解析】解：x 2﹣6x+8=0，∴（x ﹣2）（x ﹣4）=0， ∴x 1=2，x 2=4．由三角形的三边关系可得：（两边之和大于第三边）， ∴腰长是4，底边是2， 所以周长是：4+4+2=10． 故选：A ．二、填空题 7．【答案】x 1＝0，x 2＝-1．【解析】可提公因式x ，得x(x+1)＝0． ∴ x ＝0或x+1＝0，∴ x 1＝0，x 2＝-1．8．【答案】x 1＝1，x 2＝-2，x 3＝3.【解析】由x-1＝0或x+2＝0或x-3＝0求解． 9．【答案】2320x x -+=；【解析】逆用因式分解解方程的方法，两根为1、2的方程就是(x-1)(x-2)＝0，然后整理可得答案． 10．【答案】4；【解析】 m 应是一个整数的平方，此题可填的数字很多． 11．【答案】2；【解析】由(x 2+y 2)2-(x 2+y 2)-2＝0得(x 2+y 2+1)(x 2+y 2-2)＝0又由x ，y 为实数，∴ x 2+y 2＞0，∴ x 2+y 2＝2． 12．【答案】 (1) x ＝5或x ＝-2；(2) 3692x +=或3692x -=． 【解析】(1)当y ＝0时(x-5)(x+2)＝0，∴ x-5＝0或x+2＝0， ∴ x ＝5或x ＝-2．(2)当y ＝5时(x-5)(x+2)＝5，∴ 23150x x --=，3941(15)3692x ±-⨯⨯-±==，∴ 3692x +=或3692x -=． 三、解答题13. 【解析】解：（1）∵a=2，b=﹣5，c=1，∴△=25﹣4×2×1=17＞0， 则x=；（2）∵（x+4）2﹣2（x+4）=0，∴（x+4）（x+2）=0， 则x+4=0或x+2=0， 解得：x=﹣4或x=﹣2． 14. 【解析】（1）(x-8)(x+2)＝0，∴ x-8＝0或x+2＝0， ∴ 18x =，22x =-．（2）设y ＝2x+1，则原方程化为y 2+3y+2＝0，∴ (y+1)(y+2)＝0，∴ y+1＝0或y+2＝0， ∴ y ＝-1或y ＝-2．当1y =-时，211x +=-，1x =-； 当2y =-时，212x +=-，32x =-．∴ 原方程的解为11x =-，232x =-． 15.【解析】 (1)(2)①当240b ac ->时，方程有两个不相等的实数根； ②当240b ac -=时，方程有两个相等的实数根； ③当240b ac -<时，方程没有实数根． (3)242015b ac m -=-，①当原方程有两个不相等的实数根时，2420150b ac m -=->，即34m >且m ≠2； ②当原方程有两个相等的实数根时，2420150b ac m -=-=，即34m =； ③当原方程没有实数根时，2420150b ac m -=-<，即34m <．。
一元二次方程的应用C(教师版)
学科教师辅导讲义124k ≤又30k ≠ 0k ≠. ∴当124k ≤且0k ≠时，原二次三项式能在实数范围内分解. 【借题发挥】1.已知关于x 的一元二次方程()2121m x x ++=（m 为实数）有两个不相等的实数根，求m 的取值范围.【答案】1m >-且1m ≠-.题型二：一元二次方程在实际生活中的应用【例2】如图，在宽为20m ，长为32m 的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪．要使草坪的面积为2540m ，求道路的宽．（部分参考数据：2321024=，2522704=，2482304=）【分析】此题有两种解法，将道路平移我们可以得到以下两个图形，运用零化整的思想方法.【答案】解法（1）：由题意转化为右图，设道路宽为x 米根据题意，可列出方程为()()2032540x x --=）整理得2521000x x -+=解得150x =（舍去），22x =答：道路宽为2米解法（2）：由题意转化为右图，设道路宽为x 米，根据题意列方程得： ()220322032540x x ⨯-++=整理得：2521000x x -+=解得：12x =，250x =（舍去）答：道路宽应是2米【借题发挥】1. 如图所示，在一个长为50米，宽为30米的矩形空地上，建造一个花园，要求花园的面积占整块面积的75％，等宽且互相垂直的两条路的面积占25％，求路的宽度。
【答案】路的宽度为5米.【例3】如图3-9-5，从一块长80厘米，宽60厘米的铁片中间截去一个小长方形，使剩下的长方框四周的宽度一样，并且小长方形的面积是原来铁片面积的一半，求这个宽度.【分析】根据“小长方形的面积是原来铁片面积的一半”可得关系式“小长方形的面积=12铁皮面积”列出方程. 【答案】设这个宽度为x . 则得到方程：()()()1806080602x x --=⨯ 解得1220,120x x ==（不合题意，舍去）所以这个宽度是20厘米.【借题发挥】1. 如图所示，一块长方形铁皮的长是宽的2倍，四角各截去一个正方形，制成高是5cm ，容积是500cm 3的无盖长方体容器。
初三数学 二次三项式的因式分解(用公式法) 知识全析 人教义务版
数学 二次三项式的因式分解（用公式法）【学习目标】1．了解二次三项式的因式分解与解方程的关系．2．会利用一元二次方程的求根公式在实数范围内将二次三项式分解因式．【主体知识归纳】分解二次三项式ax 2＋bx ＋c 时，先用公式法求出方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两个实数根x 1、x 2，然后写成ax 2＋bx ＋c ＝a （x －x 1）（x －x 2）．【基础知识讲解】1．在利用一元二次方程的求根公式将一般的二次三项式分解因式时，有两点要特别注意：(1)要注意一元二次方程与二次三项式的区别与联系，例如方程3x 2－6x －12＝0，可变形为x 2－2x －4＝0，但在分解因式时，就绝不能写为3x 2－6x －12＝x 2－2x －4．（2）当二次项系数不等于1时，不要漏写系数，例如分解因式2x 2－6x ＋4，先求出方程2x 2－6x ＋4＝0的两根x 1＝1，x 2＝2，所以2x 2－6x ＋4＝2（x －1）(x －2)，若漏写系数写为2x 2－6x ＋4＝（x －1）(x －2)就错了．2．二次三项式的因式分解均可采用公式法，但比较麻烦．因此，在进行二次三项式的因式分解时，应尽量采用“十字相乘法”，若行不通再用公式法．另外，还应注意因式分解的范围．如5x 2－5x ＋1在有理数范围内不可分解，而在实数范围内能分解．3．二次三项式ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，当Δ＝b 2－4ac ≥0时，在实数范围内能分解因式；当Δ＜0时，在实数范围内不能分解因式．特别地，当a ＞0，Δ＝0时，ax 2＋bx ＋c 是一个完全平方式．【例题精讲】例1：把6x 2－11x －7分解因式．解法一：∵方程6x 2－11x －7＝0的根是x ＝121711122891162)7(64)11()11(2±=±=⨯-⨯⨯-±-- 即x 1＝37，x 2＝－21． ∴6x 2－11x －7＝6（x －37（x ＋21）＝（3x －7）（2x ＋1）． 解法二：6x 2－11x －7＝(3x －7)(2x ＋1)．例2：把6x 2＋12xy ＋5y 2分解因式．剖析：本题可看作是关于x (或y )的二次三项式．先求出关于x (或y )的方程6x 2＋12xy ＋5y 2＝0的根，再借助于二次三项式的分解法进行分解．解：∵关于x 的方程6x 2＋12xy ＋5y 2＝0的根是x ＝y y y y y y 66612621262564)12(122±-=±-=⨯⨯⨯-±-2， ∴6x 2＋12xy ＋5y 2＝6（x －666+-y ）（x －666--y ）＝6（x ＋666-y ）（x ＋666+y ） 例3:在实数范围内分解因式(2x 2＋3x )2－3(2x 2＋3x )＋2．剖析：此多项式若去括号化成一般形式，一是运算量大，二是增加了分解因式的难度（因为出现了四次式），通过观察分析，所给的多项式可看作是关于(2x 2＋3x )的二次三项式，故考查用公式法或十字相乘法分解．解：(2x 2＋3x )2－3(2x 2＋3x )＋2＝(2x 2＋3x －2)(2x 2＋3x －1)＝(2x －1)(x ＋2)·2(x －4173+-)(x －4173--) ＝2(2x －1)(x ＋2)(x ＋4173-)(x ＋4173+) 说明：在进行二次三项式分解因式时，要注意两种方法的灵活选择，一般来说，十字相乘法比较快捷，但适用的范围较窄，而公式法适用于一般的二次三项式，是通法．例4:关于x 的二次三项式3x 2－5x ＋2m －1， 问m 取何值时：（1）在实数范围内能分解因式；（2）在实数范围内不能分解因式．剖析：用公式法给出了一种分解二次三项式的一般方法，即通过解所对应的一元二次方程，得出根后才能分解．但方程有没有实数根需经过根的判别式判定．解：令3x 2－5x ＋2m －1＝0，∴Δ＝(－5)2－4×3×(2m －1)＝37－24m ． (1)当37－24m ≥0时，即m ≤2437时，二次三项式3x 2－5x ＋2m －1能在实数范围内分解因式． (2)当37－24m ＜0时，即m >2437时，二次三项式3x 2－5x ＋2m －1不能在实数范围内分解因式． 说明：一个二次三项式在实数范围内能不能因式分解，关键是其所对应的一元二次方程有没有实数解．【思路拓展题】及时复习 深化巩固孔子说过：“温故而知新”，讲述的就是要及时复习这样一个道理。
沪教版八年级数学-一元二次方程的复习-教师版
一元二次方程的复习知识精要1.一元二次方程的概念只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程。
2. 一元二次方程的一般形式a x2+bx+c=0(a W0),其中a x2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项。
3.一元二次方程的解法解法1:直接开平方法解法2:因式分解法：一般步骤：(1)将方程右边化为0(2)将方程左边的二次三项式分解为两个一元一次方程(3)令每一个因式分别为0,得到两个一元一次方程(4)分别解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解解法3:配方法：一般步骤：(1)先把二次项系数化为1:方程两边同除以二次项的系数(2)移项：把常数项移到方程右边(3)配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方，把方程化为x m 2 n当的形式(4)当n>0时，用直接开平方法解变形后的方程。
解法4:公式法：一般步骤是：(1)把方程化为一般形式，进而确定a、b, c的值.(注意符号)(2)求出b2-4ac的值.(先判别方程是否有根)c b b24ac ,,(3)在b2-4ac>0的前提下，把a、b、c的直代入求根公式，求出x= ------------------ 的值，取后与出2a方程的根.4、一元二次方程ax2+bx+c=0 (aw0)的根的判别式△ =b2- 4ac.当△ >0时，？方程有两个不相等的实数*H X 1= b 也 4ac , X 2=b心 4ac；当△ =0时，方程有两个相等实数根X 1=X 2=—上；当2a2a2a△ <0时，方程没有实数根. 5、二次三项式的因式分解：(1)形如ax 2+bx+c (a, b,c 都不为0)的多项式称为二次三项式。
(2)当^ = b 2-4ac>0,先用公式法求出方程ax 2+bx+c=0 (aw0)的两个实数根 x i, X 2再写出分解式ax 2+bx+c=a (x —xi) (x —x2).当^ = b 2-4ac<0,方程ax 2+bx+c=0 (aw0)没有实数根，ax 2+bx+c 在实数范围内不能分解因式。
九年级数学：用因式分解法解一元二次方程
小明做得对吗?
一个数的平方与这个数的3倍有可能相等吗 ？如果相等，这个数是几？你是怎样求出来 x2 3x.
的小？颖,小明,小亮都设这个数为x,根据题意得
小亮是这样想的: 030,15 00,
000. 反过 ,如 来 a 果 b 0 ,
那么a 0或b 0 或a b 0. 即,如果两个因式的积等于 0, 那么这两个数至少有一 个为0.
复习回顾：
1、用配方法解一元二次方程的关键是将方 程转化为_(_x_+_m_)_2=_n_（__n_≥__0_）__的形式。
2、用公式法解一元二次方程应先将方程化为 _____一_般__形_式_________
3、选择合适的方法解下列方程 （1）x2-6x=7 （2）3x2+8x-3=0
相信你行：
:
2.3y2y1.4
解:1.一元二次方程 解:2.一元二次方程
x2 70
3y2 y 14 0
的两个根 x1是 7,x2 7. x27(x7)x (7).
的3两y2个y根1 是y1 4 3 (2y, y22) y 73( . 7)
.
3
小结 拓展
回味无穷
当一元二次方程的一边是0,而另一边易于分解成两个一次因式的 乘积时,我们就可以用分解因式的方法求解.这种用分解因式解一
x5x 4 0.
x 0,或5x 4 0. 4
x1 0; x2 5 .
1.化方程为一般形式;
2. 将方程左边因式分解;
3. 根据“至少有一个因式为零”,转 化为两个一元一次方程.
2 .x 2 x x 2 0 , 4. 分别解两个一元一次方程，
x 21 x 0.
它们的根就是原方程的根.