第2章 MATLAB辅助优化计算
学会使用Matlab进行科学与工程计算
学会使用Matlab进行科学与工程计算第一章：Matlab简介Matlab是一种强大的数值计算和数据可视化工具，广泛应用于科学与工程领域。
本章将介绍Matlab的基本特点和功能，以及如何安装和启动Matlab。
1.1 Matlab的基本特点Matlab是一种基于矩阵运算的高级编程语言，具有以下特点：- 可以处理多维数组和矩阵- 支持矩阵运算、数值计算和数据分析- 提供各种工具箱，如信号处理、图像处理和控制系统等- 具有友好的用户界面和丰富的帮助文档1.2 安装和启动Matlab可以从MathWorks官网上下载Matlab的安装程序，并按照提示进行安装。
安装完成后，可以通过双击桌面上的Matlab图标来启动Matlab。
第二章：Matlab基础本章将介绍Matlab的基础知识，包括变量和数据类型、运算符和控制流程等，以便读者快速上手Matlab编程。
2.1 变量和数据类型在Matlab中，可以使用赋值语句创建变量，并指定其数据类型。
常见的数据类型有数值类型、字符类型、逻辑类型等。
2.2 运算符Matlab支持各种数学运算符和逻辑运算符，用于执行数值计算和条件判断。
2.3 控制流程Matlab提供了多种控制流程语句，如条件语句和循环语句，用于实现程序的控制和流程调节。
第三章：数据处理与可视化本章将介绍Matlab中数据处理和可视化的基本方法，包括数据导入和导出、数据处理和数据可视化。
3.1 数据导入和导出可以使用Matlab内置的函数或者工具箱中的函数来导入和导出数据，常见的数据格式包括文本文件、Excel文件和图像文件等。
3.2 数据处理Matlab提供了丰富的数据处理函数，用于对数据进行加工、计算和分析，如统计分析、滤波和图像处理等。
3.3 数据可视化Matlab拥有强大的图形绘制功能，可以生成各种静态图和动态图，如散点图、折线图和柱状图等，以便更好地展示数据和分析结果。
第四章：数值计算本章将介绍Matlab中常用的数值计算方法和技巧，包括数值积分、方程求解和优化等。
Matlab优化算法及应用案例
Matlab优化算法及应用案例一、引言优化算法在科学和工程领域中起着重要的作用。
Matlab作为一款强大的科学计算软件，提供了丰富的优化算法工具箱，为用户提供了广泛的优化应用场景。
本文将介绍Matlab优化算法的基本原理，并通过实际案例来展示其在实际问题中的应用。
二、优化算法的基本原理优化算法的目标是求解一个函数的最优解，通常包括最大化或最小化目标函数。
Matlab中的优化算法主要基于以下两种类型：局部搜索算法和全局优化算法。
1. 局部搜索算法局部搜索算法是在当前解的附近搜索最优解的一类算法。
其中最为常见的是梯度下降法和牛顿法。
梯度下降法是一种迭代方法，通过沿着目标函数的负梯度方向不断调整参数，以逐步接近最优解。
具体步骤如下：（1）计算目标函数在当前解的梯度。
（2）根据梯度方向和步长系数进行参数调整。
（3）重复以上步骤直到满足停止准则。
牛顿法是一种基于二阶导数的优化方法，相比梯度下降法更为高效，但也更为复杂。
其基本思想是通过泰勒展开近似目标函数，然后解析求解导数为零的方程，得到下一次迭代的参数值。
2. 全局优化算法全局优化算法是通过全局搜索空间来找到最优解的方法。
Matlab提供了一些全局优化算法工具箱，其中最常用的是遗传算法和模拟退火算法。
遗传算法是一种模拟自然进化的优化方法，通过不断迭代生成新的解并选择适应度高的个体，并模拟自然选择、交叉和变异等操作来优化目标函数。
遗传算法在搜索空间较大且复杂的问题上有很好的表现。
模拟退火算法是一种以某种概率接受劣解的搜索算法，通过模拟金属退火过程来逐渐降低目标函数的值。
它能够避免局部最优解，并在一定程度上探索全局最优解。
三、Matlab优化算法的应用案例1. 机器学习中的参数调优在机器学习中，模型的性能很大程度上取决于参数的选择。
Matlab提供了优化工具箱，可以帮助用户选择合适的参数以提高模型的性能。
以支持向量机（SVM）为例，通过调整核函数类型、惩罚项系数和软间隔参数等参数，可以提高模型的分类准确度。
MATLAB多目标优化计算
MATLAB多目标优化计算多目标优化是指在一个优化问题中同时优化多个目标函数，这些目标函数往往存在冲突，不能同时达到最优。
MATLAB提供了许多工具和函数，可以帮助解决多目标优化问题。
在MATLAB中，多目标优化问题可以用以下形式表示：min f(x)s.t.g(x)≤0h(x)=0lb ≤ x ≤ ub其中，f(x)表示待优化的多个目标函数，g(x)和h(x)分别表示不等式约束和等式约束条件，lb和ub分别表示x的下界和上界。
1. paretofront函数：可以用来判断一组给定解的非支配解集合。
```index = paretofront(F)```其中，F是一个m×n矩阵，每一行表示一个解的m个目标函数值。
index是一个逻辑向量，长度为n，表明对应位置的解是否为非支配解。
2. paretofun函数：可以用来对非支配解集进行排序。
```rank = paretofun(F)```其中，F同样是一个m×n矩阵，每一行表示一个解的m个目标函数值。
rank表示对应位置的解在非支配解集中的排序。
3. gamultiobj函数：使用遗传算法进行多目标优化。
```[x, fval, exitflag, output, population] = gamultiobj(fun, nvars, A, b, Aeq, beq, lb, ub)```其中，fun是一个函数句柄，表示待优化的目标函数。
nvars表示决策变量的个数。
A、b、Aeq、beq、lb和ub分别表示不等式约束、等式约束、下界和上界。
x是优化后的决策变量值，fval是优化后的目标函数值。
exitflag是优化器的退出标志，output包含了优化算法的输出结果，population包含了所有迭代过程中的解集。
4.NSGA-II函数：使用非支配排序遗传算法进行多目标优化。
```[x, fval, exitflag, output, population] = nsga2(fun, nvars, A, b, Aeq, beq, lb, ub)```参数和返回结果的含义同gamultiobj函数相似。
Matlab中的数值计算和数值优化技术指南
Matlab中的数值计算和数值优化技术指南概述：数值计算和数值优化是计算数学的一个重要分支，同时也是科学与工程领域中广泛应用的核心技术之一。
Matlab作为一种强大的数值计算工具，提供了丰富的函数库和算法，可用于解决各种数值计算和数值优化问题。
本文将针对Matlab中的数值计算和数值优化技术，进行详细的介绍和指南。
1. 数值计算技术1.1. 矩阵运算与线性方程组求解在数值计算领域中，矩阵运算和线性方程组求解是基础问题。
Matlab提供了一系列用于矩阵运算和线性方程组求解的函数，如inv、pinv、linsolve等。
使用这些函数，可以快速、准确地进行矩阵的求逆、广义逆和线性方程组的求解。
1.2. 插值和拟合在实际应用中，常常需要根据有限的数据点构建连续函数。
Matlab的interp1和polyfit函数可以用于数据的插值和拟合。
interp1函数可以根据已知的离散数据点，估计出其他位置的函数值；polyfit函数可以根据一组数据点，拟合出一个多项式函数。
1.3. 数值积分数值积分是计算数学中的一个重要问题。
Matlab提供了多种数值积分的函数，如quad、dblquad等。
这些函数使用了各种数值积分算法，可用于计算一维和二维区间上的定积分。
1.4. 常微分方程求解常微分方程的求解是科学与工程中常见的问题之一。
Matlab提供了ode45、ode23等函数，用于求解常微分方程的初值问题。
通过这些函数，可以准确、高效地求解各种常微分方程。
2. 数值优化技术2.1. 优化问题的建模数值优化是求解最优化问题的方法。
在实际问题中，需要将具体问题转化为数学模型，以便进行数值优化。
Matlab提供了fmincon、fminunc等函数，用于建立优化问题的模型，并进行数值优化。
2.2. 约束优化在实际问题中，优化问题往往包含一些约束条件。
Matlab的优化函数可以处理带约束的优化问题，如线性约束、非线性约束等。
matlab优化函数的使用方法
三．举例例1：求解线性规划问题：max f=2x1+5x2s.t先将目标函数转化成最小值问题：min(-f)=- 2x1-5x2程序：f=[-2 -5];A=[1 0;0 1;1 2];b=[4;3;8];[x,fval]=linprog(f,A,b)f=fval*(-1)结果：x = 23fval = -19.0000maxf = 19例2：minf=5x1-x2+2x3+3x4-8x5s.t –2x1+x2-x3+x4-3x5≤62x1+x2-x3+4x4+x5≤70≤x j≤15 j=1,2,3,4,5程序：f=[5 -1 2 3 -8];A=[-2 1 -1 1 -3;2 1 -1 4 1];b=[6;7];lb=[0 0 0 0 0];ub=[15 15 15 15 15];[x,fval]=linprog(f,A,b,[],[],lb,ub)结果：x =0.00000.00008.00000.000015.0000minf =-104例3：求解线性规划问题：minf=5x1+x2+2x3+3x4+x5s.t –2x1+x2-x3+x4-3x5≤12x1+3x2-x3+2x4+x5≤-20≤x j≤1 j=1,2,3,4,5程序：f=[5 1 2 3 1];A=[-2 1 -1 1 -3;2 3 -1 2 1];b=[1;-2];lb=[0 0 0 0 0];ub=[1 1 1 1 1];[x,fval,exitflag,output,lambda]=linprog(f,A,b,[],[],lb,ub) 运行结果：Exiting: One or more of the residuals, duality gap, or total relative errorhas grown 100000 times greater than its minimum value so far: the primal appears to be infeasible (and the dual unbounded).(The dual residual < TolFun=1.00e-008.)x = 0.00000.00001.19870.00000.0000fval =2.3975exitflag =-1output =iterations: 7cgiterations: 0algorithm: 'lipsol'lambda =ineqlin: [2x1 double]eqlin: [0x1 double]upper: [5x1 double]lower: [5x1 double]显示的信息表明该问题无可行解。
优化问题的Matlab求解方法
优化问题的Matlab求解方法引言优化问题在实际生活中有着广泛应用，可以用来解决很多实际问题。
Matlab作为一款强大的数学计算软件，提供了多种求解优化问题的方法。
本文将介绍在Matlab中求解优化问题的常见方法，并比较它们的优缺点。
一、无约束无约束优化问题是指没有约束条件的优化问题，即只需要考虑目标函数的最大或最小值。
在Matlab中，可以使用fminunc函数来求解无约束优化问题。
该函数使用的是拟牛顿法（quasi-Newton method），可以迭代地逼近最优解。
拟牛顿法是一种迭代方法，通过逐步近似目标函数的梯度和Hessian矩阵来求解最优解。
在使用fminunc函数时，需要提供目标函数和初始点，并可以设置其他参数，如迭代次数、容差等。
通过不断迭代，拟牛顿法可以逐步逼近最优解。
二、有约束有约束优化问题是指在优化问题中加入了约束条件。
对于有约束优化问题，Matlab提供了多种求解方法，包括线性规划、二次规划、非线性规划等。
1. 线性规划线性规划是指目标函数和约束条件都为线性的优化问题。
在Matlab中，可以使用linprog函数来求解线性规划问题。
该函数使用的是单纯形法（simplex method），通过不断迭代来逼近最优解。
linprog函数需要提供目标函数的系数矩阵、不等式约束矩阵和约束条件的右手边向量。
通过调整这些参数，可以得到线性规划问题的最优解。
2. 二次规划二次规划是指目标函数为二次型，约束条件线性的优化问题。
在Matlab中，可以使用quadprog函数来求解二次规划问题。
该函数使用的是求解二次规划问题的内点法（interior-point method），通过迭代来求解最优解。
quadprog函数需要提供目标函数的二次项系数矩阵、线性项系数矩阵、不等式约束矩阵和约束条件的右手边向量。
通过调整这些参数，可以得到二次规划问题的最优解。
3. 非线性规划非线性规划是指目标函数或者约束条件中至少有一个是非线性的优化问题。
MATLAB中的优化算法及其使用方法
MATLAB中的优化算法及其使用方法1. 引言在科学与工程领域，优化问题是一类常见且重要的问题。
它涉及到在给定约束条件下，寻找最优解或使目标函数达到最小或最大值的问题。
在解决这类问题时，MATLAB是一个非常强大且常用的工具，它提供了多种优化算法和函数。
本文将介绍MATLAB中的部分常见优化算法及其使用方法。
2. 优化问题的形式化表示在应用优化算法之前，首先需要将优化问题进行形式化表示。
假设我们要解决一个优化问题，其中有一个目标函数f(x)和一组约束条件h(x) = 0和g(x) ≤ 0。
这里，x是一个n维向量，表示我们要优化的参数。
3. 无约束优化算法无约束优化算法用于解决没有约束条件的优化问题。
MATLAB中提供了多个无约束优化算法，常用的有fminunc和fminsearch。
3.1 fminunc函数fminunc函数是MATLAB中用于寻找无约束优化问题最小值的函数。
它基于梯度下降算法，通过迭代优化来逼近最优解。
使用fminunc函数，我们需要提供目标函数和初始解作为输入参数，并指定其他可选参数，如最大迭代次数和精度要求。
3.2 fminsearch函数fminsearch函数也是用于无约束优化问题的函数，但与fminunc不同的是，它使用了模拟退火算法来搜索最优解。
使用fminsearch函数，我们需要提供目标函数和初始解作为输入参数，并指定其他可选参数，如最大迭代次数和收敛容忍度。
4. 约束优化算法约束优化算法用于解决带有约束条件的优化问题。
MATLAB中提供了多个约束优化算法，常用的有fmincon和ga。
4.1 fmincon函数fmincon函数是MATLAB中用于求解约束优化问题的函数。
它基于拉格朗日乘子法，并使用内点法等技术来求解约束优化问题。
使用fmincon函数，我们需要提供目标函数、约束条件、初始解和约束类型等作为输入参数，并指定其他可选参数，如最大迭代次数和精度要求。
MATLAB数值计算教程
MATLAB数值计算教程第一章：MATLAB入门1.1 MATLAB简介MATLAB（Matrix Laboratory）是一款强大的数值计算软件，广泛用于工程、科学和金融领域。
它的特点是简单易用、高效快速，并且拥有丰富的工具箱和函数库。
1.2 MATLAB环境搭建要使用MATLAB进行数值计算，首先需要安装MATLAB软件，并进行必要的配置。
通过官方网站下载安装程序，根据提示进行安装即可。
安装完成后，打开MATLAB环境，即可开始使用。
1.3 MATLAB基本操作在MATLAB环境中，可以通过命令行窗口输入和执行命令，也可以使用脚本文件进行批量处理。
常用的基本操作包括变量赋值、算术运算、函数调用等。
例如，使用"="符号赋值变量，使用"+"、"-"、"*"、"/"等符号进行算术运算。
第二章：向量和矩阵操作2.1 向量操作在MATLAB中，向量是一种特殊的矩阵，可以通过一组有序的元素构成。
向量可以进行基本的算术运算，如加法、减法、乘法、除法，还可以进行向量的点积、叉积等操作。
可以使用内置函数和运算符来实现。
2.2 矩阵操作矩阵是MATLAB中最常用的数据结构之一，使用矩阵可以进行多个向量的组合和运算。
可以进行矩阵的加法、减法、乘法、除法等操作，也可以进行矩阵的转置、求逆、求特征值等操作。
MATLAB提供了大量的函数和工具箱来支持矩阵的操作。
第三章：数值计算方法3.1 数值积分数值积分是一种用数值方法计算定积分的方法。
在MATLAB 中，可以使用内置函数来进行数值积分，如trapz函数和quad函数。
也可以使用Simpson法则、复合辛普森法等方法实现数值积分。
3.2 数值微分数值微分是一种用数值方法计算导数的方法。
在MATLAB中，可以使用内置函数进行数值微分，如diff函数和gradient函数。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
1 优化工具箱的工程应用步骤
用MATLAB 6.5优化工具箱解决实际工程应 用问题可概括为以下3个步骤： 根据所提出的最优化问题，建立优化问题的 数学模型，确定变量，列出约束条件和目标 函数； 对所建立的模型进行具体分析和研究，选择 合适的最优化求解方法； 根据最优化方法的算法，列出程序框图、选 择优化函数和编写语言程序，用计算机求解。
●
fval：返回目标函数在最优解x点的函数值： Exitflag：返回算法的终止标志。Exitflag>0 表示算法因求得了最小值而停止； Exitflag=0表示算法因迭代次数越限而停止； Exitflag<0表示算法因函数值发散而停止； Output：是一个返回优化算法信息的结构， 它的成员iterations返回迭代的次数。 funCount返回算法中函数估汁值的数目， algorithm使用的算法。
2 线性规成要素：(1) 决策变量，指决策者为实现规划目标采取的 方案、措施，是问题中要确定的未知量：(2) 目标函数，指问题要达到的目的要求，表示 为决策变量的函数；(3)约束条件，指决策 变量取值时受到的各种可用资源的限制，表 示为含决策变量的等式或不等式。如果在规 划问题的数学模型中，决策变量为可控的连 续变量，目标函数和约束条件都是线性的， 这类模型称为线性规划问题的数学模型。
主程序
结果输出
fsemcnf函数
quadprog函数
fminmax函数
5 多目标规划
多目标最优化问题的最早出现，应追溯到 1972年，Franklin提出了多目标问题矛盾如 何协调的问题。但国际上一般认为多目标最 优化问题是由法国经济学家V. Pareto在 1896年提出的，当时从政治经济学角度提出 多目标最优决策问题。1938年，Cournot从 经济学的角度提出了多目标问题的模型； 1944年，Von Neumann等人从对策论（博 弈论）的角度，提出具有多个决策者、而又 有彼此互相矛盾的多目标决策问题。
goal：代表函数fun要逼近的目标值，是一 个向量，它的维数大小等于目标函数fun返 回向量F的维数大小。fgoalattain的优化过 程就是使得F逼近goal； weight：代表给定的权值向量，用于控制目 标逼近过程的步长； nonlcon：函数由每一个输入变量x计算出c 和ceq，用于估计给定x点的非线性不等式 c(x)≤0和非线件等式ceq(x)=0。nonlcon可以 是一个函数句柄,含义同“myfun”。
第2-2章 MATLAB辅助优化计算
MATLAB优化工具箱函数选用 工程优化算法及MATLAB实现
2.1 MATLAB优化工具箱函数选用
MATLAB 6.5中的优化工具箱(Optimization Toolbox)中含有一系列的优化算法函数，这 些函数拓展了MATLAB 6.5数字计算环境的 处理能力，可以用于解决以下工程实际问题： ● 求解无约束条件非线性极小值； ● 求解约束条件非线性极小值，包括目标逼 近问题、极大－极小值问题，以及半无 限极 小值问题；
具体的参数含义如下： fun：代表要优化的目标函数，它的变量为 向量x、返回庄x点处向量值F 。在实际编程 中，fun可以有两种形式：
● 一是fun为一个函数句柄，如
x=fgoalattain(@myfun,x0,goal,weight)，其 中myfun是用户自定义的MATLAB函数， 即： function F=myfun(x) F＝…％计算函数在x点的值。 ●二是fun为一个内联对象(inline object）。如 x=fgoalattain(inline('sin(x)'), x0, goal, weight)；
1951年，T. C. Koopman从生产和分配的的 活动分析中，提出了多目标最优化问题，并 正式使用Pareto最优概念。同年，H. W. Kuhn和A. W. Tucher从数学规划的角度， 提出向量极值的Pareto最优概念，并给出了 有效解的充分必要条件。1963年，L. A. Zadeh又从控制论的角度，提出了多准则问 题。1968年，Z. Johnsen系统地提出了关于 多目标决策模型的研究报告，这是多目标最 优化这门学科开始发展的一个转折点。
多目标规划的一般形式为
或者记为
求解多目标规划的最基本方法为评价函数法 评价函数法的基本思想是：借助于几何或应 用中的直观背景，构造所谓的评价函数，从 而将多目标优化问题转化为单目标优化问题。 然后利用单目标优化的求解方法求出最优解， 并把这种最优解当作多目标规划的最优解。
在MATLAB 6.5优化工具箱中，用于求解多 目标最优化问题的函数有：fgoalattain，用 法介绍如下。
在MATLAB 6.5优化工具箱中．用于求解无 约束非线性规划的函数有：fminsearch和 fminunc，用法介绍如下。 fminsearch函数
【工程应用背景】
【实例分析】
m文件
主程序
结果输出
fminunc函数
【工程应用背景】
【实例分析】
m文件
主程序
结果输出
注意：求解无约束条件下多变量函数的最小值 fminsearch函数和fminunc函数意义相同。
4 约束最优化
由于线性规划和二次规划问题都比较容易求解、 所以人们很自然地想到：把要求解的一般非线性 约束优化问题线性化．然后用线性规划来逐步求 其近似解．这种方法称为线性逼近法或序列线件 规划法(SLP)。但是线性逼近法的精度差，收敛速 度慢，而近二十年二次规划的解法得到很大发展， 有了比较有效的算法，因此近十年来用二次规划 的方法即序列二次规划法获得了突出的进展，成 为当前世界上—最流行的重要的约束优化算法之 一。
规定线性规划的标准型为
上述线性规划问题可简写为
对于标准形式的线性规划的可行解等价于线 性方程组Ax=b的非负解。
在MATLAB 6.5优化工具中，用于求解线性 规划的函数节有linprog，用法如下
例
程序
结果输出
3 无约束非线性规划
线性规划的目标函数和约束条件部是其自变 量的线性函数，如果目标函数或约束条件中 包含自变量的非线性函数，则这样的规划问 题就属于非线性规划。有些实际问题可以表 达成线性规划问题，但有些实际问题则需用 非线性规划的模型来表达，借助于非线性规 划的解怯来求解。有约束问题与无约束问题 是非线性规划的两大类问题，它们在处理方 法上有明显的不同。
求解一次规划和线性规划问题； ● 非线性最小二乘逼近和曲线拟合： ● 非线性系统的方程求解； ● 约束条件下的线性最小二乘优化； ● 求解复杂结构的大规模优化问题。 说明：优化工县箱中的所有函数都对应于一 个MATLAB 6.5的-M文件，这些-M文件通 过使用MATLAB 6.5的基本语句实现了具体 的优化算法。
options：设置优化选项参数，具体意义解 释如下：
Display 设置显示算法返回值的类别，“off”表示 不实现结果，“iter”表示每次迭 代都显示返回 值，“final”表示只显示最后返回值； ● MaxFunEval：设置算法中函数估计的最大数目； ● MaxIter：设置算法迭代的最大次数； ● TolX：设置使算法终止的Δx值。
结 果 输 出
2 边界约束问题
分析：此问题在非线性约束的基础上增加了变量x
的边界条件，在fmincon函数输入参数中加上lb和ub 参数即可。
结 果 输 出
3 等式问题
结 果 输 出
习题-1
习题-2
习题-3
习题-4
习题-5
习题-6
1 非线性不等式约束
分析：这样的非线性约束优化问题可以用MATLAB
优化工具箱中的fminncon函数来求解．因为约束为非 线性约束，所以不可能将约束条件信息直接包含再函 数的输入参数中，必须编写函数返回在每一个点x处 的约束值，然后再调用优化函数fminncon；
另一方面，fminncon函数要求的约束条 件一般为c(x) ≤ 0，所以将约束改为：
2.2工程优化算法及MATLAB实现
在MATLAB 6.5优化工具箱中，针对无约束 优化问题， fminunc函数使用了拟牛顿法。 【范例分析】 考虑如下问题：求解x=[x1,x2]，使得
m文件
主程序
结 果 输 出
在MATLAB 6.5优化工具箱中，针对无约束 优化问题， fmincon、fminimax、 fseminf 和fgoalattain函数使用了SQP（Sequential Quadratic Programming）算法。 【范例分析】 这部分是有约束优化问题的几个例子，并给 出了详细的MATLAB源代码。
在MATLAB 6.5优化工具箱中．用于求解约 束最优化问题的函数有：fminbnd、 fmincon、 fsemcnf、quadprog和fminmax， 用法介绍如下。 fminbnd函数
【工程应用背景】
【实例分析】
m文件
主程序
结果输出
fmincon函数
【工程应用背景】
已知约束条件，求解函数f(x)的极小值，
其中x，b，beq，lb和ub均 是向量；A和Aeq是矩阵； c(x)和ceq (x)是返回值为向 量的函数；f(x)是一个返回 值为标量的函数；而且 c(x) ， ceq (x) 和f(x) 可以是非续性 函数。
【实例分析】