2-1 平面向量的实际背景及基本概念
2.1平面向量的实际背景及基本概念[精选文档]
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从数学发展史来看，历史上很长一段时间，空间的向量结构
并未被数学家们所认识，直到19世纪末20世纪初，人们才把空间
的性质与向量运算联系起来，使向量成为具有一套优良运算通性
的数学体系．
向量能够进入数学并得到发展，首先应从复数的几何表示谈
起．18世纪末期，挪威测量学家威塞尔首次利用坐标平面上的点
来表示复数a+bi，并利用具有几何意义的复数运算来定义向量的
F E
例2：在4 5方格纸中有一个向量AB,以图中 的格点为起点和终点作向量，其中与AB相等的 向量有多少个？与AB长度相等的共线向量有多少个？ (AB除外）
B
相等的有 7个
长度相等
A
的有15个
2024/3/30
根据下列小题的条件，分别判断四边形ABCD 的形状： （1）AD = BC ； （2）A表示出来，并把向量的几何表示
用于研究几何问题与三角问题．人们逐步接受了复数，也学会了
利用复数来表示和研究平面中的向量，向量就这样平静地进入了
数学．
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在物理和数学中，我们学习了很多“量”，如年龄， 身高，位移，长度，速度，加速度，面积，体积，力， 质量等，大家一起分析一下，这些“量”有什么不同？
2024/3/30
共线向量: 任一组平行向量都可平移到同一直线上.
即平行向量也叫做共线向量.
a
b
O
A
C
c
B
思考：共线向量一定在一条直线上吗？
2024/3/30
巩固练习：判断下列结论是否正确。
(1)平行向量方向一定相同；
(×)
(2)不相等向量一定不平行；
(×)
(3)与零向量相等的向量是零向量；
第二章 2.1 平面向量的实际背景及基本概念
平面向量的实际背景及基本概念1．向量的概念和表示方法(1)概念：既有大小，又有方向的量称为向量．(2)向量的表示：表示法几何表示：用有向线段来表示向量，有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向，即用有向线段的起点、终点字母表示，如AB，…字母表示：用小写字母a，b，c，…表示，手写时必须加箭头[点睛]向量可以用有向线段表示，但向量不是有向线段．向量是规定了大小和方向的量，有向线段是规定了起点和终点的线段．2．向量的长度(或称模)与特殊向量(1)向量的长度定义：向量的大小叫做向量的长度．(2)向量的长度表示：向量AB，a的长度分别记作：|AB|，|a|.(3)特殊向量：①长度为0的向量为零向量，记作0；②长度等于1个单位的向量，叫做单位向量．[点睛]定义中的零向量和单位向量都是只限制大小，没有确定方向．我们规定零向量的方向是任意的；单位向量有无数个，它们大小相等，但方向不一定相同．3．向量间的关系(1)相等向量：长度相等且方向相同的向量，叫做相等向量，记作：a＝b.(2)平行向量：方向相同或相反的非零向量，也叫共线向量；a平行于b，记作a∥b；规定零向量与任一向量平行．[点睛]共线向量仅仅指向量的方向相同或相反；相等向量指大小和方向均相同．向量的有关概念[典例]有下列说法：①向量AB和向量BA长度相等；②方向不同的两个向量一定不平行；③向量BC是有向线段；④向量0＝0，其中正确的序号为________．[活学活用]有下列说法：①若向量a与向量b不平行，则a与b方向一定不相同；②若向量AB，CD满足|AB|＞|CD|，且AB与CD同向，则AB＞CD；③若|a|＝|b|，则a，b的长度相等且方向相同或相反；④由于零向量方向不确定，故其不能与任何向量平行．其中正确说法的个数是()A．1B．2C．3 D．4向量的表示[典例]在如图所示的坐标纸上(每个小方格边长为1)，用直尺和圆规画出下列向量：①OA，使|OA|＝42，点A在点O北偏东45°；②AB，使|AB|＝4，点B在点A正东；③BC，使|BC|＝6，点C在点B北偏东30°.[活学活用]一辆汽车从A点出发向西行驶了100千米到达B点，然后改变方向，向北偏西40°方向行驶了200千米到达C点，最后又改变方向，向东行驶了100千米到达D点．作出向量AB，BC，CD，AD.共线向量或相等向量[典例]如图所示，O是正六边形ABCDEF的中心，且OA＝a，OB＝b，OC＝c.(1)与a的长度相等、方向相反的向量有哪些？(2)与a共线的向量有哪些？(3)请一一列出与a，b，c相等的向量．[一题多变]1．[变设问]本例条件不变，试写出与向量BC相等的向量．2．[变条件，变设问]在本例中，若|a|＝1，则正六边形的边长如何？层级一学业水平达标1．下列说法正确的是()A．向量AB∥CD就是AB所在的直线平行于CD所在的直线B．长度相等的向量叫做相等向量C．若a＝b，b＝c，则a＝cD．共线向量是在一条直线上的向量2.如图，在圆O中，向量OB，OC，AO是()A．有相同起点的向量B．共线向量C．模相等的向量D．相等的向量3．向量AB与向量BC共线，下列关于向量AC的说法中，正确的为() A．向量AC与向量AB一定同向B．向量AC，向量AB，向量BC一定共线C．向量AC与向量BC一定相等D．以上说法都不正确4.如图，在▱ABCD中，点E，F分别是AB，CD的中点，图中与AE平行的向量有()A．1个B．2个C．3个D．4个5．已知向量a，b是两个非零向量，AO，BO分别是与a，b同方向的单位向量，则下列各式正确的是()A．AO＝BO B．AO＝BO或AO＝－BOC．AO＝1 D．|AO|＝|BO|6．已知|AB|＝1，|AC|＝2，若∠ABC＝90°，则|BC|＝________.7．设a0，b0是两个单位向量，则下列结论中正确的是________(填序号)．①a0＝b0；②a0＝－b0；③|a0|＋|b0|＝2；④a0∥b0.8．给出下列四个条件：①a＝b；②|a|＝|b|；③a与b方向相反；④|a|＝0或|b|＝0.其中能使a∥b成立的条件是________(填序号)．9.如图，O是正方形ABCD的中心．(1)写出与向量AB相等的向量；(2)写出与OA的模相等的向量．10.一辆消防车从A地去B地执行任务，先从A地向北偏东30°方向行驶2千米到D地，然后从D地沿北偏东60°方向行驶6千米到达C地，从C地又向南偏西30°方向行驶2千米才到达B地．(1)在如图所示的坐标系中画出AD，DC，CB，AB.(2)求B地相对于A地的位移．层级二应试能力达标1.如图所示，梯形ABCD中，对角线AC与BD交于点P，点E，F分别在两腰AD，BC上，EF过点P，且EF∥AB，则下列等式成立的是() A．AD＝BC B．AC＝BDC．PE＝PF D．EP＝PF2．下列说法正确的是()A．若a∥b，b∥c，则a∥c B．终点相同的两个向量不共线C ．若a ≠b ，则a 一定不与b 共线D ．单位向量的长度为1 3．若a 为任一非零向量，b 为单位向量，下列各式： ①|a |＞|b |；②a ∥b ；③|a |＞0；④|b |＝±1. 其中正确的是( ) A ．①④ B ．③ C ．③④D ．②③4．在△ABC 中，点D ，E 分别为边AB ，AC 的中点，则如图所示的向量中相等向量有( )A ．一组B ．二组C ．三组D ．四组5．四边形ABCD 满足AD ＝BC ，且|AC |＝|BD |，则四边形ABCD 是______(填四边形ABCD 的形状)．6.如图，O 是正三角形ABC 的中心，四边形AOCD 和AOBE 均为平行四边形，则与向量AD 相等的向量为________；与向量OA 共线的向量为__________；与向量OA 的模相等的向量为________．(填图中所画出的向量)7．如图，D ，E ，F 分别是正三角形ABC 各边的中点． (1)写出图中所示向量与向量DE 长度相等的向量． (2)写出图中所示向量与向量FD 相等的向量．(3)分别写出图中所示向量与向量DE ，FD 共线的向量．8．如图，已知函数y ＝x 的图象l 与直线m 平行，A ⎝⎛⎭⎫0，－22，B (x ，y )是m 上的点．求(1)x ，y 为何值时，AB ＝0； (2)x ，y 为何值时，AB 为单位向量．。
2. 1平面向量的实际背景及基本概念(教＼教案)
2.1平面向量的实际背景及基本概念教材分析：向量这一概念是由物理学和工程技术抽象出来的，反过来，向量的理论和方法，又成为解决物理学和工程技术的重要工具，向量之所以有用，关键是它具有一套良好的运算性质，通过向量可把空间图形的性质转化为向量的运算，这样通过向量就能较容易地研究空间的直线和平面的各种有关问题。
向量不同于数量，它是一种新的量，关于数量的代数运算在向量范围内不都适用。
因此，本章在介绍向量概念时，重点说明了向量与数量的区别，然后又重新给出了向量代数的部分运算法则，包括加法、减法、实数与向量的积、向量的数量积的运算法则等。
之后，又将向量与坐标联系起来，把关于向量的代数运算与数量(向量的坐标>的代数运算联系起来，这就为研究和解决有关几何问题又提供了两种方法——向量法和坐标法。
本章共分五大节。
第一节是“平面向量的实际背景及基本概念”，内容包括向量的物理背景与概念、向量的几何表示、相等向量与共线向量。
本节从物理学中的位移、力这些既有大小又有方向的量出发，抽象出向量的概念，并重点说明了向量与数量的区别，然后介绍了向量的几何表示、向量的长度、零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相等向量等基本概念。
在“向量的物理背景与概念”中介绍向量的定义；在“向量的几何表示”中，主要介绍有向线段、有向线段的三个要素、向量的表示、向量与有向线段的区别与联系、向量的长度、零向量、单位向量、平行向量；在“相等向量与共线向量”中，主要介绍相等向量，共线向量定义等。
教案目标：1、了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和向量的几何表示；掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念；并会区分平行向量、相等向量和共线向量.2、通过对向量的学习，使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别.3、通过学生对向量与数量的识别能力的训练，培养学生认识客观事物的数学本质的能力.教案重点：理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念，会表示向量.教案难点：平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系.学 法：本节是本章的入门课，概念较多，但难度不大.学生可根据在原有的位移、力等物理概念来学习向量的概念，结合图形实物区分平行向量、相等向量、共线向量等概念.教 具：多媒体或实物投影仪，尺规授课类型：新授课教案过程：一、情景设置：如图，老鼠由A 向西北逃窜，猫在B 处向东追去，设问：猫能否追到老鼠？<画图）结论：猫的速度再快也没用，因为方向错了. A B C D分析：老鼠逃窜的路线AC 、猫追逐的路线BD 实际上都是有方向、有长短的量. 引言：请同学指出哪些量既有大小又有方向？哪些量只有大小没有方向？二、新课学习：<一）向量的概念：我们把既有大小又有方向的量叫向量<二）请同学阅读课本后回答：<可制作成幻灯片）1、数量与向量有何区别？2、如何表示向量？3、有向线段和线段有何区别和联系？分别可以表示向量的什么？4、长度为零的向量叫什么向量？长度为1的向量叫什么向量？5、满足什么条件的两个向量是相等向量？单位向量是相等向量吗？6、有一组向量，它们的方向相同或相反，这组向量有什么关系？7、如果把一组平行向量的起点全部移到一点O ，这是它们是不是平行向量？这时各向量的终点之间有什么关系？<三）探究学习1、数量与向量的区别：数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；向量有方向，大小，双重性，不能比较大小.2.向量的表示方法：①用有向线段表示；②用字母ａ、ｂ<黑体，印刷用）等表示； ③用有向线段的起点与终点字母：； ④向量的大小――长度称为向量的模，记作||. 3.有向线段：具有方向的线段就叫做有向线段，三个要素：起点、方向、长度.向量与有向线段的区别：<1）向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，只要大小和方向相同，则这两个向量就是相同的向量；<2）有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段.4、零向量、单位向量概念：①长度为0的向量叫零向量，记作0.0的方向是任意的.注意0与0的含义与书写区别.②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量.A(起点> B <终点）a说明：零向量、单位向量的定义都只是限制了大小.5、平行向量定义：①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；②我们规定0与任一向量平行.说明：<1）综合①、②才是平行向量的完整定义；<2）向量ａ、ｂ、ｃ平行，记作ａ∥ｂ∥ｃ.6、相等向量定义：长度相等且方向相同的向量叫相等向量.说明：<1）向量ａ与ｂ相等，记作ａ＝ｂ；<2）零向量与零向量相等；<3）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有．．向线段的起点无关．．．．．．．．.7、共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上<与有向线段．．．．．的起点无关）．．．．．．.说明：<1）平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；<2）共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系.<四）理解和巩固：例1 书本86页例1.例2判断：<1）平行向量是否一定方向相同？<不一定）<2）不相等的向量是否一定不平行？<不一定）<3）与零向量相等的向量必定是什么向量？<零向量）<4）与任意向量都平行的向量是什么向量？<零向量）<5）若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是什么向量？<平行向量）<6）两个非零向量相等的当且仅当什么？<长度相等且方向相同）<7）共线向量一定在同一直线上吗？<不一定）例3下列命题正确的是< ）A.ａ与ｂ共线，ｂ与ｃ共线，则ａ与c也共线B.任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四顶点C.向量ａ与ｂ不共线，则ａ与ｂ都是非零向量D.有相同起点的两个非零向量不平行解：由于零向量与任一向量都共线，所以A不正确；由于数学中研究的向量是自由向量，所以两个相等的非零向量可以在同一直线上，而此时就构不成四边形，根本不可能是一个平行四边形的四个顶点，所以B不正确；向量的平行只要方向相同或相反即可，与起点是否相同无关，所以Ｄ不正确；对于C，其条件以否定形式给出，所以可从其逆否命题来入手考虑，假若ａ与ｂ不都是非零向量，即ａ与ｂ至少有一个是零向量，而由零向量与任一向量都共线，可有ａ与ｂ共线，不符合已知条件，所以有ａ与ｂ都是非零向量，所以应选C.例4 如图，设O是正六边形ABCDEF的中心，分别写出图中与向量、、相等的向量.变式一：与向量长度相等的向量有多少个？<11个）变式二：是否存在与向量长度相等、方向相反的向量？<存在）变式三：与向量共线的向量有哪些？<）课堂练习：1．判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由.①向量与是共线向量，则A、B、C、D四点必在一直线上；②单位向量都相等；③任一向量与它的相反向量不相等；④四边形ABCD是平行四边形当且仅当＝⑤一个向量方向不确定当且仅当模为0；⑥共线的向量，若起点不同，则终点一定不同.解：①不正确.共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求两个向量、在同一直线上.②不正确.单位向量模均相等且为1，但方向并不确定.③不正确.零向量的相反向量仍是零向量，但零向量与零向量是相等的.④、⑤正确.⑥不正确.如图与共线，虽起点不同，但其终点却相同.2．书本88页练习三、小结：1、描述向量的两个指标：模和方向.2、平行向量不是平面几何中的平行线段的简单类比.3、向量的图示，要标上箭头和始点、终点.四、课后作业：书本88页习题2.1第3、5题2.1平面向量的实际背景及基本概念课前预习学案一、预习目标通过阅读教材初步了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和向量的几何表示；掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念；并会区分平行向量、相等向量和共线向量.二、预习内容<一）、情景设置：如图，老鼠由A 向西北逃窜，猫在B 处向东追去，设问：猫能否追到老鼠？<画图）结论：猫的速度再快也没用，因为方向错了.分析：老鼠逃窜的路线AC 、猫追逐的路线BD 实际上都是有方向、有长短的量.引言：请同学指出哪些量既有大小又有方向？哪些量只有大小没有方向？<二）、新课预习：1、向量的概念：我们把既有大小又有方向的量叫向量2、请同学阅读课本后回答：<可制作成幻灯片）1) 数量与向量有何区别？2) 如何表示向量？3) 有向线段和线段有何区别和联系？分别可以表示向量的什么？4) 长度为零的向量叫什么向量？长度为1的向量叫什么向量？5) 满足什么条件的两个向量是相等向量？单位向量是相等向量吗？6) 有一组向量，它们的方向相同或相反，这组向量有什么关系？7) 如果把一组平行向量的起点全部移到一点O ，这是它们是不是平行向量？这时各 向量的终点之间有什么关系？三、提出疑惑课内探究学案一、学习目标1、通过对向量的学习，使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别.2、通过学生对向量与数量的识别能力的训练，培养学生认识客观事物的数学本质的能力.二、学习过程1、数量与向量的区别？-2.向量的表示方法？A B C D A(起点> B <终点）a①②③④向量的大小――长度称为向量的模，记作。
2.1平面向量的实际背景及基本概念
讨论：平面直角坐标系内，起点在原点的单位向量，
它们的终点构成的集合是什么图形？ 单位圆
零向量和单位向量都只对大小作了规定
如果我们只对两个向量的方向作个规定，这样 的两个向量是什么向量？
知识建构
r
二.向量的关系
ar
思考四：类比“两直线的平行”， 如何表述“向量的平行”呢？
知识建构
1.向量的定义：
既有大小又有方向的量称为向量
向量的两个基本特征：大小、方向
思考一 对于一个新的量，首先要研究如何
表示，例如数量可用数轴上一个点来表 示，那么你觉得向量应如何表示？
2.向量的表示
(1) 几何表示：
用有向线段表示；
(2) 代数表示：
有向线段三要素： 起点、大小、方向
B（终点）
第二章 平面向量
2.1平面向量的实际背景及基本概念 2.2平面向量的线性运算 2.3平面向量的基本定理及坐标表示
2.4平面向量的数量积 2.5平面向量应用举例
B
C A
带着问题奔向课堂
Questioning
向量与数量的区别
向量用什么来表示？
认真听讲 仔细思考 积极发言
知识 方法 技能br cFra bibliotekr d
平行向量：
B
A
C
D
➢一组方向相同或相反的非零向量叫做 平行向量。
➢ 规定：零向量与任一向量平行。
r
a
r b
rr
记做：a / /b
知识建构
向量的物理背景
向量的概念
两个特征
表示法 两个向量
平
行
模
方 向
几代 何数
2.1 平面向量的实际背景及基本概念
D.向量的模可以比较大小 √
类型二
相等向量与共线向量
③④⑤ 填序号) 例2 (1)下列说法正确的是________.( ①若a≠b，则a一定不与b共线； → → ②若AB＝DC，则 A，B，C，D 四点是平行四边形的四个顶点； → → ③在平行四边形 ABCD 中，一定有AB＝DC； ④若向量a与任一向量b平行，则a＝0；
跟踪训练2 如图所示，O是正六边形ABCDEF的中心.
→ (1)与OA的模相等的向量有多少个？
解 → 与OA的模相等的线段是六条边和六条半径(如 OB)， 而每一条线段可
以有两个向量，所以这样的向量共有 23 个.
→ (2)是否存在与OA长度相等、方向相反的向量？若存在，有几个？
解
→ 存在.由正六边形的性质可知， BC∥AO∥EF， 所以与OA的长度相等、
终点也不一定相同；零向量的模都是0，但方向不确定；两个单位向量
也可能反向，则不相等，故B，C，D都错误，A正确.故选A.
反思与感悟
解决向量概念问题一定要紧扣定义，对单位向量与零向
量要特别注意方向问题.
跟踪训练1 下列说法中正确的是
A.数量可以比较大小，向量也可以比较大小
B.方向不同的向量不能比较大小，但同向的向量可以比较大小
行 向量也叫做共线向量.也就是说，平行向量与共线向量是等价的，因
此要注意避免向量平行、共线与平面几何中的直线、线段的平行和共 线相混淆. 思考3 若a∥b，b∥c，那么一定有a∥c吗？ 答案 不一定.因为当b＝0时，a，c可以是任意向量.
[思考辨析 判断正误] 1.向量就是有向线段.( × ) 提示 向量可以用有向线段来表示，但并不能说向量就是有向线段.
2.1.1 平面向量的实际背景及基本概念
A O
F E
变式训练
1.与向量 OA 长度相等的向量有多少个？
11个
uuur uuur uuur 2.与向量 OA 共线的向量有哪些？ CB ，DO ，FE
B
A
O
C
F
D
E
1.下列各量中是向量的是（ A．时间 C．面积
B）
B．速度 D. 长度
2.平行于一条直线的单位向量有几个( B )
A.一个
B.两个
4.某人从A点出发向东走了5米到达B点，然后改变方向按东
北方向走了10 2 米到达C点，到达C点后又改变方向向西走
了5米到达D点. （1）作出向量AB,BC,CD;(2) 求AD的模.
D
C
北
1m
西
A
B东
南
向量
定义
表示
几何表示法：有向线段
字母表示法：a ， b， AB 长度（模）
向量的有关概念
特殊向量 零向量 单位向量
C.无数多个
D.不一定
3（.判1）断向对量错uA:urBur与
uuur
Br A
的长度r相等r.
（2）向量 ra 与 br 平行,则ar 与rb方向相同.
（3）向量 a 与 b 平行,则a 与b 方向相反.
对 错 错
（4）两个有共同起点而长度相等的向量,它们的终点必
相 （பைடு நூலகம்（ （ （同5678））））. 若由如如于果果ar 与0rarar 方br==平向brbr行不，，同确则则向定它它,且，们们故ar长的＞0r度方错不br相向能，等相与则同. 任a.r意＞对错向br 量.错平行. 错
解： AB 表示Ａ地至Ｂ地 的位移，且 AB 212km.
平面向量的实际背景及基本概念
一点P，那么它们的终点的集合组成什么图形？
提示：圆
P
相等向量： 长度相等且方向相同的向量.
向量 a与 相等，记作：
b
a b.
A1
a
A3A2
在实数中，我们有：若
=
b
A4, =
，则 B=1
B2
B3
，在向量中，你能提出类似的问题吗？结论怎样？
c
向量 AB 或a 的模 (或长度) 就是向量AB 或a 的大小,
记作：AB 或 a .
注：向量的模是可以比较大小的.
数量中有很特殊的数“0”，“1”，向量中有
没有类似的特殊向量？
零向量——长度为0的向量叫做零向量，记作 0.
零向量的方向是任意的！
单位向量——长度等于1个单位的向量，叫做单位向量.
图中与向量 OA 、OB 、OC 相等的向量。
B
A
O
C
F
D
E
解：
B
A
OA CB DO
OB DC EO
O
C
F
OC AB ED FO
D
E
变式练习:
1.与向量 OA 长度相等的向量有多少个？
2.是否存在与向量 OA 长度相等、方向
相反的向量？
3.与向量OA 共线的向量有哪些？
2.1平面向量的实际背景
及基本概念
向量的概念
向量：既有大小又有方向的量叫向量.
向量的两要素：大小、方向.
数量：只有大小没有方向的量.
数量可以比较大小,向量不能比较大小!
友情链接：物理中常把向量与数量分别叫做 矢量、标量.
2.1平面向量的实际背景及基本概念
2.1平面向量的实际背景及基本概念要点1向量的概念既有大小又有方向的量，叫做向量只有大小，没有方向的量，叫做数量①向量的两要素：大小和方向②向量不能比较大小要点2向量的表示方法(1)几何表示（用有向线段表示）：①有向线段：带有方向的线段②画法:线段按一定的比例画出，其长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向。
③记法：以A 为起点，B 为终点的有向线段表示的向量记为AB ,其中线段的长度记作（读为向量AB 的模）④有向线段的三要素：起点、方向和长度。
⑤有向线段与向量的区别与联系区别：有向线段是固定的线段，而向量是可以自由移动的；联系：向量可以用有向线段表示，但并不能说明向量就是有向线段；(2)字母表示： cb a大小（模）记为：要点3特殊的向量（1）零向量：长度为0的向量，记为；方向是任意的，模为0；（2）单位向量：长度为1的向量.①任意方向上都有单位向量，模为1；②把所有单位向量的起点平移到同一点P,则各向量的终点的集合是以点P 为圆心，1为半径的圆；③对任一非零向量a，a 是一个单位向量，且与a 方向相同；（即与非零向量a方向相同的单位向量是a）（3）平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量叫平行向量.①方向相同或相反，大小不确定；②若是两个平行向量，则记为//；③任一组平行向量都可以移动到一条直线上，因此平行向量也叫共线向量；④⑤规定：零向量与任一向量平行，即对任一向量，a //0；⑥不具有传递性：时）不一定平行（与则若0,//,//=b c a c b b a ()CDAB CD AB C B A BC AB CD AB CD AB D C B A ////,,////,,,⇒⇒≠⇒三点共线直线平行向量平行平行或重合与直线为不同的四个点若a（4）相等向量:长度相等且方向相同的向量叫相等向量.①方向相同，模相等；②对于一个非零向量，只要不改变它的大小和方向，就可以任意平行移动，平移后的向量与原向量是相等的向量；③任意两个相等的非零向量，通过平移都可用同一条有向线段表示，且与有向线段的起点无关；④对一组相等向量，讲它们的起点平移到同一点P，则它们的终点重合；⑤传递性：===则若,,⑥⑦相等向量一定是共线向量（向量）共线向量（平行向量）不一定是相等向量是平行四边形，则四边形为不共线的四个点，若是平行四边形共线或四边形，则若ABCD DC AB D C B A ABCD D C B A DC AB ==,,,,,,。
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一、选择题
1．下列命题中正确的是( )
A ．若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合
B ．模相等的两个平行向量是相等向量
C ．若a 和b 都是单位向量，则a ＝b
D ．两个相等向量的模相等 [答案] D
2．下列说法中，不正确的是( ) A ．向量AB →的长度与向量BA →
的长度相等 B ．任何一个非零向量都可以平行移动
C ．长度不相等而方向相反的两个向量一定是共线向量
D ．两个有共同起点且共线的向量其终点必相同 [答案] D
[解析] 很明显选项A ，B ，C 正确，共线向量只与方向有关，方向相同或相反的向量都是共线向量，所以选项D 不正确．
3．已知非零向量a 、b 满足a ∥b ，则下列说法错误的是( ) A ．a ＝b
B ．它们方向相同或相反
C ．所在直线平行或重合
D ．都与零向量共线
[答案] A
4．数轴上点A 、B 分别对应－1、2，则向量AB →
的长度是( ) A ．－1 B ．2 C ．1 D ．3
[答案] D
5．(2011～2012·临沂高一检测)以下说法错误的是( ) A ．零向量与任一非零向量平行 B ．零向量与单位向量的模不相等 C ．平行向量方向相同 D ．平行向量一定是共线向量 [答案] C
6．下列说法正确的是( )
A ．若|a |＝|b |，则a 、b 的长度相等且方向相同或相反
B ．若向量AB →、CD →满足|AB →|>|CD →|，且AB →与CD →同向，则AB →>CD →
C ．若a ≠b ，则a 与b 可能是共线向量
D ．若非零向量AB →与CD →
平行，则A 、B 、C 、D 四点共线 [答案] C 二、填空题
7．如图ABCD 是菱形，则在向量AB →、BC →、CD →、DA →、DC →和AD →
中，相等的有________对．
[答案] 2
[解析] AB →＝DC →，BC →＝AD →
.其余不等．
8．(海南三亚调研)把同一平面内所有模不小于1，不大于2的向
量的起点，移到同一点O ，则这些向量的终点构成的图形的面积等于____________．
[答案] 3π
[解析] 这些向量的终点构成的图形是一个圆环，其面积为π·22
－π·12＝3π.
9．(江苏泰州高一期末)设O 是正方形ABCD 的中心，则①AO →
＝OC →；②AO →∥AC →；③AB →与CD →共线；④AO →＝BO →
.其中，所有正确表示的序号为____________．
[答案] ①②③
[解析] 根据正方形的特征，结合相等向量，平行向量作出判断，只有④是错误的，AO →与BO →
只是模相等，由于方向不相同，所以不是相等向量．
三、解答题
10．在如图所示的方格纸上(每个小方格边长均为1)，已知向量a .
(1)试以B 为起点画一个向量b ，使b ＝a ；
(2)画一个以C 为起点的向量c ，使|c |＝2，并说出c 的终点的轨迹是什么．
[分析] 用有向线段表示向量，注意起点、方向、长度． [解析] (1)根据相等向量的定义，所作向量应与a 平行，且长度相等，如图所示．
(2)满足条件的向量c 可以是图中的CD →
.所有这样的向量c 的终点的轨迹是以C 为圆心，2为半径的圆，如图．
11．已知飞机从甲地按北偏东30°的方向飞行2000km 到达乙地，再从乙地按南偏东30°的方向飞行2000km 到达丙地，再从丙地按西南方向飞行10002km 到达丁地，问丁地在甲地的什么方向？丁地距甲地多远？
[解析] 如图所示，A 、B 、C 、D 分别表示甲地、乙地、丙地、丁地，依题意知，三角形ABC 为正三角形，∴AC ＝2000km.
又∵∠ACD ＝45°，CD ＝10002，∴△ACD 为直角三角形，即AD ＝10002km ，∠CAD ＝45°.
答：丁地在甲地的东南方向，距甲地10002km.
12．如图所示，四边形ABCD 中，AB →＝DC →
，N 、M 是AD 、BC 上的点，且CN →＝MA →
.
求证：DN →＝MB →
.
[解析] ∵AB →＝DC →，∴|AB →|＝|DC →
|且AB ∥CD . ∴四边形ABCD 是平行四边形．
∴|DA →|＝|CB →
|，且DA ∥CB .
又∵DA →与CB →的方向相同，∴CB →＝DA →.
同理可证：四边形CNAM 是平行四边形，∴CM →＝NA →
. ∵|CB →|＝|DA →|，|CM →|＝|NA →|，
∴|MB →|＝|DN →|，DN ∥MB ，即DN →与MB →的模相等且方向相同．∴DN →＝MB →.。