机械能守恒定律及应用

§3 机械能守恒定律及其应用教学目标：理解和掌握机械能守恒定律，能熟练地运用机械能守恒定律解决实际问题教学重点：机械能守恒定律的应用教学难点：判断被研究对象在经历的研究过程中机械能是否守恒，在应用时要找准始末状态的机械能教学方法：复习、讨论、总结、巩固练习、计算机辅助教学教学过程：一、机械能守恒定律1．机械能守恒定律的两种表述（1）在只有重力做功的情形下，物体的动能和重力势能发生相互转化，但机械能的总量保持不变。

（2）如果没有摩擦和介质阻力，物体只发生动能和重力势能的相互转化时，机械能的总量保持不变。

2．对机械能守恒定律的理解：（1）机械能守恒定律的研究对象一定是系统，至少包括地球在。

通常我们说“小球的机械能守恒”其实一定也就包括地球在，因为重力势能就是小球和地球所共有的。

另外小球的动能中所用的v，也是相对于地面的速度。

（2）当研究对象（除地球以外）只有一个物体时，往往根据是否“只有重力做功”来判定机械能是否守恒；当研究对象（除地球以外）由多个物体组成时，往往根据是否“没有摩擦和介质阻力”来判定机械能是否守恒。

（3）“只有重力做功”不等于“只受重力作用”。

在该过程中，物体可以受其它力的作用，只要这些力不做功，或所做功的代数和为零，就可以认为是“只有重力做功”。

3．对机械能守恒条件的认识如果没有摩擦和介质阻力，物体只发生动能和势能的相互转化时，机械能的总量保持不变，这就是机械能守恒定律．没有摩擦和介质阻力，这是守恒条件．具体的讲，如果一个物理过程只有重力做功，是重力势能和动能之间发生相互转化，没有与其它形式的能发生转化，物体的动能和重力势能总和保持不变．如果只有弹簧的弹力做功，弹簧与物体这一系统，弹性势能与动能之间发生相互转化，不与其它形式的能发生转化，所以弹性势能和动能总和保持不变．分析一个物理过程是不是满足机械能守恒，关键是分析这一过程中有哪些力参与了做功，这一力做功是什么形式的能转化成什么形式的能．如果只是动能和势能的相互转化，而没有与其它形式的能发生转化，则机械能总和不变．如果没有力做功，不发生能的转化，机械能当然也不发生变化．【例1】如图物块和斜面都是光滑的，物块从静止沿斜面下滑过程中，物块机械能是否守恒？系统机械能是否守恒？解：以物块和斜面系统为研究对象，很明显物块下滑过程中系统不受摩擦和介质阻力，故系统机械能守恒。

又由水平方向系统动量守恒可以得知：斜面将向左运动，即斜面的机械能将增大，故物块的机械能一定将减少。

点评：有些同学一看本题说的是光滑斜面，容易错认为物块本身机械能就守恒。

这里要提醒两条：⑴由于斜面本身要向左滑动，所以斜面对物块的弹力N 和物块的实际位移s 的方向已经不再垂直，弹力要对物块做负功，对物块来说已经不再满足“只有重力做功”的条件。

⑵由于水平方向系统动量守恒，斜面一定会向右运动，其动能也只能是由物块的机械能转移而来，所以物块的机械能必然减少。

4．机械能守恒定律的各种表达形式 （1）222121v m h mg mv mgh '+'=+，即k p k p E E E E '+'=+；（2）0=∆+∆k P E E ；021=∆+∆E E ；K P E E ∆=∆-点评：用（1）时，需要规定重力势能的参考平面。

用（2）时则不必规定重力势能的参考平面，因为重力势能的改变量与参考平面的选取没有关系。

尤其是用K P E E ∆=∆-，只要把增加的机械能和减少的机械能都写出来，方程自然就列出来了。

5．解题步骤⑴确定研究对象和研究过程。

⑵判断机械能是否守恒。

⑶选定一种表达式，列式求解。

4．应用举例【例2】如图所示，质量分别为2 m 和3m 的两个小球固定在一根直角尺的两端A 、B ，直角尺的顶点O 处有光滑的固定转动轴。

AO 、BO 的长分别为2L 和L 。

开始时直角尺的AO 部分处于水平位置而B 在O 的正下方。

让该系统由静止开始自由转动，求：⑴当A 到达最低点时，A 小球的速度大小v ；⑵ B 球能上升的最大高度h ；⑶开始转动后B 球可能达到的最大速度v m 。

解析：以直角尺和两小球组成的系统为对象，由于转动过程不受摩擦和介质阻力，所以该系统的机械能守恒。

⑴过程中A 的重力势能减少， A 、B 的动能和B 的重力势能增加，A 的即时速度总是B 的2倍。

222321221322⎪⎭⎫⎝⎛⋅+⋅⋅+⋅=⋅v m v m L mg L mg ，解得118gL v =AB O⑵B球不可能到达O的正上方，它到达最大高度时速度一定为零，设该位置比OA竖直位置向左偏了α角。

2mg∙2L cosα=3mg∙L（1+sinα），此式可化简为4cosα-3sinα=3，利用三角公式可解得sin（53°-α）=sin37°，α=16°⑶B球速度最大时就是系统动能最大时，而系统动能增大等于系统重力做的功W G。

设OA从开始转过θ角时B球速度最大，()223212221vmvm⋅⋅+⋅⋅=2mg∙2L sinθ-3mg∙L（1-cosθ）=mgL（4sinθ+3cosθ-3）≤2mg∙L，解得114gLvm=点评：本题如果用E P+E K=E P＇+E K＇这种表达形式，就需要规定重力势能的参考平面，显然比较烦琐。

用KPEE∆=∆-就要简洁得多。

下面再看一道例题。

【例3】如图所示，半径为R的光滑半圆上有两个小球BA、，质量分别为Mm和，由细线挂着，今由静止开始无初速度自由释放，求小球A升至最高点C时BA、两球的速度？解析：A球沿半圆弧运动，绳长不变，BA、两球通过的路程相等，A上升的高度为Rh=；B球下降的高度为242RRHππ==；对于系统，由机械能守恒定律得：KPEE∆=∆-；2)(212vmMmgRRMgEP+=+-=∆∴πv1/2 ABOv1O ABα BOθαθ⑴⑵⑶mMmgRRMgvc+-=∴2π【例4】如图所示，均匀铁链长为L，平放在距离地面高为L2的光滑水平面上，其长度的51悬垂于桌面下，从静止开始释放铁链，求铁链下端刚要着地时的速度？方法1、选取地面为零势能面：2212)102(51254mvLmgLLmgLmg+=-+方法2、桌面为零势能面：221)2(1051mvLLmgLmg++-=-解得：gLv7451=点评：零势能面选取不同，所列出的表达式不同，虽然最后解得的结果是一样的，但解方程时的简易程度是不同的，从本例可以看出，方法二较为简捷。

因此，灵活、准确地选取零势能面，往往会给题目的求解带来方便。

本题用KPEE∆=∆-也可以求解，但不如用E P+E K= E P＇+E K＇简便，同学们可以自己试一下。

因此，选用哪一种表达形式，要具体题目具体分析。

二、机械能守恒定律的综合应用【例5】如图所示，粗细均匀的U形管装有总长为4L的水。

开始时阀门K闭合，左右支管水面高度差为L。

打开阀门K后，左右水面刚好相平时左管液面的速度是多大？（管的部横截面很小，摩擦阻力忽略不计）解析：由于不考虑摩擦阻力，故整个水柱的机械能守恒。

从初始状态到左右支管水面相平为止，相当于有长L/2的水柱由左管移到右管。

系统的重力势能减少，动能增加。

该过程中，整个水柱势能的减少量等效于高L/2的水柱降低L/2重力势能的减少。

不妨设水柱总质量为8m，则28212vmLmg⋅⋅=⋅，得8gLv=。

K点评：本题在应用机械能守恒定律时仍然是用K P E E ∆=∆-建立方程，在计算系统重力势能变化时用了等效方法。

需要注意的是：研究对象仍然是整个水柱，到两个支管水面相平时，整个水柱中的每一小部分的速率都是相同的。

【例6】如图所示，游乐列车由许多节车厢组成。

列车全长为L ，圆形轨道半径为R ，（R 远大于一节车厢的高度h 和长度l ，但L >2πR ）.已知列车的车轮是卡在导轨上的光滑槽中只能使列车沿着圆周运动，在轨道的任何地方都不能脱轨。

试问：在没有任何动力的情况下，列车在水平轨道上应具有多大初速度v 0，才能使列车通过圆形轨道而运动到右边的水平轨道上？解析：当游乐车灌满整个圆形轨道时，游乐车的速度最小，设此时速度为v ，游乐车的质量为m ，则据机械能守恒定律得：22021221mv gR L m R mv +=π 要游乐车能通过圆形轨道，则必有v >0，所以有LgRv π20>【例7】 质量为0.02 kg 的小球，用细线拴着吊在沿直线行驶着的汽车顶棚上，在汽车 距车站15 m 处开始刹车，在刹车过程中，拴球的细线与竖直方向夹角θ＝37°保持不变，如图所示，汽车到车站恰好停住.求：（1）开始刹车时汽车的速度；（2）汽车在到站停住以后，拴小球细线的最大拉力。

（取g ＝10 m ／s 2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8） 解析：（1）小球受力分析如图因为F 合=mg tan θ=ma所以a =g tan θ=10×8.06.0 m/s 2=7.5 m/s 2对汽车，由 v 02=2as得v 0=as 2=155.72⨯⨯ m/s=15 （m/s ）（2）小球摆到最低点时，拉力最大，设为T ，绳长设为l 根据机械能守恒定律，有mg （l -l cos θ）=21mv 2在最低点，有T -mg =m lv 2，T = mg +2mg （1一cos θ），代人数值解得T ＝0.28 N【例8】 如图所示，一根长为m 1，可绕O 轴在竖直平面无摩擦转动的细杆AB ，已知m OB m OA 4.0;6.0==，质量相等的两个球分别固定在杆的B A 、端，由水平位置自由释放，求轻杆转到竖直位置时两球的速度？解析：B A 、球在同一杆上具有相同的角速度ω，2:3::==B A B A R R v v ，B A 、组成一个系统，系统重力势能的改变量等于动能的增加量，选取水平位置为零势能面，则：mg R R mg mgR mgR E E E PB PA P 2.0)(2121-=--=+-=∆+∆=∆2222122)(212121ωR R m mv mv E E E B A KB KA K +=+=∆+∆=∆ K P E E ∆=∆- 226.02.0ωm mg =解得：s m v s m v s radB A 1.165.11310===、　、ω【例9】 小球在外力作用下，由静止开始从A 点出发做匀加速直线运动，到B 点时消除外力。

然后，小球冲上竖直平面半径为R 的光滑半圆环，恰能维持在圆环上做圆周运动，到达最高点C 后抛出，最后落回到原来的出发点A 处，如图所示，试求小球在AB 段运动的加速度为多大？解析：要题的物理过程可分三段：从A 到孤匀加速直线运动过程；从B 沿圆环运动到C 的圆周运动，且注意恰能维持在圆环上做圆周运动，在最高点满足重力全部用来提供向心力；从C 回到A 的平抛运动。