(推荐)数学建模动态规划库存问题
第3章数学建模中的动态规划问题
6
4.1算法总体思想
动态规划与一般搜索技术最大不同的地方就是记录了已
求解过的问题的结果。这里包含了两个方面的内容 ：子 问题的记录和子问题结果的记录。其中，子问题的记录是 最重要，也是最为复杂的，它就是通常我们所说的状态表 示。 通常我们用一个数、一组数或一个向量来实现状态 表示。 状态表示要满足两个要求：正确、合理描述子问题和描 述的 子问题满足最优子结构性质；从算法实现角度来看， 状态表示必须能够用基本数据 结构实现并且能满足空间 要求。
13动态规划算法求解问题的一般思路动态规划算法求解问题的一般思路每个阶段中都求出本阶段的各个初始状态到过程终点e的最短路径和最短距离当逆序倒推到过程起点a时便得到了全过程的最短路径及最短距离同时附带得到了一组最优结果即各阶段的各状态到终点e的最优结果
学习要点:
第4章 动态规划 dynamic programming
2
4.1算法总体思想
动态规划法的定义：在求解问题中，对于每一 步决策，列出各种可能的局部解，再依据某种 判定条件，舍弃那些肯定不能得到最优解的局 部解，在每一步都经过筛选，以每一步都是最 优解来保证全局是最优解。 动态规划通常应用于最优化问题，即做出一组 选择以达到一个最优解。关键是存储子问题的 每一个解，以备它重复出现。
19
4.3 典型问题-合唱队形
【问题描述】N位同学站成一排，音乐老师要请其中的 (N-K)位同学出列，使得剩下的K位同学排成合唱队形。 合唱队形是指这样的一种队形：设K位同学从左到右 依次编号为1, 2, …, K，他们的身高分别为T1, T2, …, TK，则他们的身高满足T1 < T2 < … < Ti , Ti > Ti+1 > … > TK (1 <= i <= K)。你的任务是，已知所有N位 同学的身高，计算最少需要几位同学出列，可以使得 剩下的同学排成合唱队形。 【样例输入】8 186 186 150 200 160 130 197 220 【样例输出】 4 【说明】该样例中，可以要队头身高186的两个人出列, 以及队尾197和220的人出列,共4人出列,所以输出4.
数学建模教案10库存
Q
a1 a2 O
2 2 2
an a2/Q 1 an/Q
2
a1/Q
由于
(a1 a 2 a n ) a1 a 2 a n ，所以 （可用数学归纳法证明） n n
比较两个累计储存量：
n a1 a 2 a n Q 1 2 2 2 。 (a1 a 2 a n ) 2Q n 2n 2Q
2
可知等量进货可使费用最省。
练习 1.永丰家具厂每年需要用玻璃 5000 平方米，已知玻璃的购买价为每平方米 45 元，每购买一次玻璃（无论数量多少）需要支付手续费和运输费等 5000 元， 没用完的玻璃放在仓库里的储存费为每平方米每天 0.05 元。问永丰家具厂每年 分几次购买玻璃可使费用最省？ 【解】假设在一年之中，玻璃的消耗量是均匀，且每次的购买量是相等的。
144 ，即 n 6 时，E 有最小值。 n
由此可得，每个月进 6 次货（即每 5 天送 8 千克饼干）可使费用最省。
例 2 某食品进出口公司根据市场预测可知，明年需进口食糖 285 吨，其中 第一、二、三、四季度的需求量依次是 50、70、125、40 吨(假设在每个季度中 市场需求量是均匀的)。 已知该食糖的购入价为 1 千元/吨， 售出价为 1.5 千元/吨， 运输费为 0.3 千元/吨，每次办理订货进口的手续费 0.5 千元，进口的食糖在售出 之前的库存费按 0.04 千元/(吨季度)计算。试设计一个合理的进货计划，使费用 尽量小。
设每年分 n 次购买，则每次的购买量为
5000 365 平方米，可用 天，这期间 n n
数学建模生产与库存动态规划求解
因
d1 3 v1 2d1 2 3 6 v1 0,1, 2,3, 4,5,6
x1 V1 d1 x1 3, 4,5,6,7,8,9 于是有：
f1* (0) 5 x1 0.2V1 5 3 8, V1* 0, x1* 3
什么事动态规划方法
动态规划(dynamic programming)是运筹学的一个分支，是求解决策过 程(decision process)最优化的数学方法。20世纪50年代初美国数学家 R.E.Bellman等人在研究多阶段决策过程(multistep decision process)的 优化问题时，提出了著名的最优化原理(principle of optimality)，把多阶 段过程转化为一系列单阶段问题，利用各阶段之间的关系，逐个求解， 创立了解决这类过程优化问题的新方法——动态规划。主要用于求解以 时间划分阶段的动态过程的优化问题 。
假定：不论在任何时期，生产每批产品的固定费用F为8(千元)，单位 产品的生产成本费用为2(千元)，单位产品每时期(阶段)库存货H为2( 千元)，最初库存量S1为l个单位，仓库容量M为4个单位，计划期末的 库存量0。任何一个时期生产能力所允许的最大生产批量B不超过6个 单位。问题：在满足上述给定的条件下，该厂如何安排各个时期的生 产与库存，使所花的总成本费用最低?
递推方程： f k (Vk ) 0 xmin dk Ck ( xk ) hk (Vk ) f k 1 (Vk 1 ) k Vk f8 (V8 ) 0.
期初有库存但生产能力受限
设某工厂调查了解市场情况，估计在今后三个时期市场对产品的需要量 如表3-6所示：
动态规划模型如何建立
数学建模之动态规划
第四章动态规划§1 引言1.1 动态规划的发展及研究内容动态规划（dynamic programming）是运筹学的一个分支，是求解决策过程（decision process）最优化的数学方法。
20世纪50年代初R. E. Bellman等人在研究多阶段决策过程(multistep decision process)的优化问题时，提出了著名的最优性原理（principle of optimality），把多阶段过程转化为一系列单阶段问题，逐个求解，创立了解决这类过程优化问题的新方法—动态规划。
1957年出版了他的名著《Dynamic Programming》，这是该领域的第一本著作。
动态规划问世以来，在经济管理、生产调度、工程技术和最优控制等方面得到了广泛的应用。
例如最短路线、库存管理、资源分配、设备更新、排序、装载等问题，用动态规划方法比用其它方法求解更为方便。
虽然动态规划主要用于求解以时间划分阶段的动态过程的优化问题，但是一些与时间无关的静态规划（如线性规划、非线性规划），只要人为地引进时间因素，把它视为多阶段决策过程，也可以用动态规划方法方便地求解。
应指出，动态规划是求解某类问题的一种方法，是考察问题的一种途径，而不是一种特殊算法（如线性规划是一种算法）。
因而，它不象线性规划那样有一个标准的数学表达式和明确定义的一组规则，而必须对具体问题进行具体分析处理。
因此，在学习时，除了要对基本概念和方法正确理解外，应以丰富的想象力去建立模型，用创造性的技巧去求解。
例1 最短路线问题下面是一个线路网，连线上的数字表示两点之间的距离（或费用）。
试寻求一条由A 到G距离最短（或费用最省）的路线。
例2 生产计划问题工厂生产某种产品，每单位（千件）的成本为1（千元），每次开工的固定成本为3（千元），工厂每季度的最大生产能力为6（千件）。
经调查，市场对该产品的需求量第一、二、三、四季度分别为2，3，2，4（千件）。
数学建模 存贮模型
利用(8)式 Q rT1 ，得到每天的平均费用是
C(T , Q)
(10)
c1 T c2Q 2 2rT c3 rT Q2 2rT
(10)式为这个优化模型的目标函数，是
T 和 Q 的二元函数。
模型求解
用微分法求 T 和 Q 使 C(T,Q)最小。解方程组
C
T
C
问题分析
• 总结：生产周期越长，产量越多，会使平 均每天费用中的贮存费变大，生产准备费 变小。所以必存在最佳生产周期，使每天 的平均费用最小。
• 为了得到准确的结论，应该建立优化模型， 研究每天的平均费用和生产周期、产量、 需求量、生产准备费、贮存费之间的关系， 求出最优解。
问题分析
• 把以上问题一般化，考察如下的不允许缺 货的存贮模型： 假设产品需求稳定不变，生产准备费 和每天每件产品的贮存费均为常数，生产 能力无限，不允许缺货，确定生产周期和 产量，使每天的平均费用最小。
q (t ) rt Q ， Q rT1 (8)
模型建立
在T1 到 T 这段缺货时段内，需求 率 r 不变，q(t)按原斜率继续下降。 由于假设 3a 规定缺货量需补足，所以 在 t＝T 时数量为 R 的产品立即到达， 使下周期初的贮存量恢复到 Q．
模型建立
一个周期 T 内的贮存费是
3131存贮模型存贮模型允许缺货的存贮模型允许缺货的存贮模型问题提出问题提出在有些情况下用户允许短时间的缺货虽然缺货会造成损失但是缺货期间没有贮存费而且由于延长了生产周期从而降低了一次性生产准备费分摊在每天的费用所以如果缺货损失费不超过不允许缺货导致的准备费和贮存费可以采用允许缺货的策略
第3章 简单的优化模型
生产与库存的动态规划模型
课程设计(论文)题目名称生产与库存的动态规划模型课程名称数学模型学生姓名黄初学号0940802016系、专业理学系信息与计算科学指导教师杜超雄2011年12 月18 日邵阳学院课程设计（论文）任务书注：1．此表由指导教师填写，经系、教研室审批，指导教师、学生签字后生效；2．此表1式3份，学生、指导教师、教研室各1份。
指导教师（签字）：学生（签字）：邵阳学院课程设计（论文）评阅表学生姓名黄初学号0940802016系理学系专业班级信息与计算科学题目名称生产与库存的动态规划模型课程名称数学模型一、学生自我总结二、指导教师评定注：1、本表是学生课程设计（论文）成绩评定的依据，装订在设计说明书（或论文）的“任务书”页后面；2、表中的“评分项目”及“权重”根据各系的考核细则和评分标准确定。
生产与库存的动态规划模型摘要本文讨论了关于生产与存储的问题，这是一个多阶段决策的生产问题，就此可建立一个动态规划的数学模型．利用运筹学和计算机的数学软件等相关知识，应用动态规划方法解决了这一问题，达到生产、需求与库存之间的平衡，以及在资源限制条件下的最优化的生产方案．并建立混合整数规划模型用LINDON数学软件进行检验.问题的提出生产与库存最有问题。
设某工厂调查了解市场情况，估计在今后四个时期市场对产品的去求见表1表1假定不论在任何时期，生产每批草坪的固定成本费为3(万元)，若不生产，则为零。
每单位生产的固定成本费为1(万元)。
同时任何一个时期生产能力所允许的最大生产批量为不超过6个单位。
有设每时期的每个单位产品库存费为0.5（万元），同时规定在第一期期初几第四期期末均无产品库存。
试问，该厂如何安排各个时期的生产与库存，才能使所花的总成本费用最低？符号说明生产过程划分为四个阶段，阶段变量.4,3,2,1=k 即：1、状态变量 k s 表示第k 阶段末的库存量，由已知得 040==s s2、决策变量 k x 表示第k 阶段的生产量，k d 表示第 k 阶段的需求量.3、状态转移方程：k k k k d x s s -+=+1 ，4、阶段指标函数 ),(k k k x s v 表示第 k 阶段的总成本，它由两部分构成一部分是第 k 阶段的生产成本 )(k k x c ，另一部分是第 k 阶段的存贮费 )(k k s h .最优指标函数)(k k s f问题重述已知时段k 某产品的需求量为 k d (k=1,2,……K)，任一时段若生产该产品，需付出生产准备费 0c ，且生产每单位产品的生产成本为 n ，若满足本时段需求后有剩余，每时段每单位产品需付出存贮费0h .设每时段最大生产能力为 m X ，最大存贮量为m I ，且第1时段初有库存量 0s ，试制订产品的生产计划，即每时段的产量，使 K 个时段的总费用最小.为了通过具体的计算说明解决这问题的方法，现设4=k ，,21=d ,32=d ,23=d ,43=d 30=c 千元，n=1千元/单位，5.00=h 千元/单位.时期.01=s ，6=m X 单位，m I 没有给出，视为存贮量不受限制.模型的建立 建立模型Ⅰ在提出生产与存贮问题时，忽略生产准备费用，首先考虑到生产、需求与库存之间存在着的平衡关系，这是一个一般的线性规划问题，可假设生产量为1x ，2x ，3x ，4x ，由于存贮费用取决于库存量，则记第一、二、三时期末的库存量为1s ，2s ，3s ，由此可以用生产成本与存贮费之和（记作Z ）作为问题为目标函数，在已知的第一期期初及第四期期末均无产品库存040==s s ，得到一个简单的线性规模型：∑∑==+=41415.0k k k k s x z Min..t s...,.....6.. (423)23141413432321211≥≤=+=-+=-+=-s s x x x x s x s s x s s x s x此模型可用单纯形法求解，或用数学软件Maple 求解,也可将上模型输入LINDON 求解，就可得到最优解（略）.注意：这是在忽略生产准备费用时的最优解. 建立模型Ⅱ以上用混合整数规划求解过多阶段生产计划，实际上，这是一类典型的动态优化问题，与用变分法建立连续动态优化模型不同的是，多阶段生产计划属于离散动态优化问题，动态规划模型是解决这类问题的有效方法.本文先讨论确定需求下的最优生产计划，并将它转化为典型的动态优化模型——最短路问题，然后研究随机需求下如何求解最优生产计划.由上述数据、假设，可建立一个动态规划的数学模型.由题可知：⎪⎩⎪⎨⎧>∞=+==6................6,....3,2,1,........30......,.........0)(k k k k k k x x x x x c k k k s s h 5.0)(=所以：)()(),(k k k k k k k s h x c x s v +=基本方程为： {}{}⎪⎩⎪⎨⎧+===+=--≤≤6,min ,0)()4,3,2,1,..()(),(min )(00110k k k k k k k k x k k d s s f k s f x s v s f kk σσ而模型Ⅱ的求解动态规划的寻优方向一般有用逆序算法（反向递归）或顺序算法（正向递归）进行求解.当问题的第一阶段初和第三阶段末的状态方程均已知时，即040==s s ，可采用两种方法求解.下面用顺序算法求解：为了简化这个多阶段生产计划问题，可以将它从前向后地分解为一个个单时段问题.（1）首先看第一个时期，为使4个时期的总费用最小，对于第一时期期初的存贮量00=s ，则可由状态转移方程：k k k k d x s s -+=+1，考虑到1s ，在最大生产能力为 6=m X 与第一时期的需求量21=d 出发，则可能存在的1s 的5种情况：当1=k 时，有{}.)()(min )(1111111s h x c s f x +==σ这时状态集合为：[]{}{}.4,3,2,1,0,26,9min 0|,6;min 0|1111142111=-≤≤=⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡-≤≤=∑=为整数且为整数且s s s s d d s s s k k 下面就各状态分别计算：{}505.0213)0()2(min )0(11211=⨯+⨯+=+==h c f x ， 所以21=x{}5.615.0313)1()3(min )1(11311=⨯+⨯+=+==h c f x ， 所以31=x{}825.0413)2()4(min )2(11411=⨯+⨯+=+==h c f x ， 所以41=x ，同理可得： 5.9)3(1=f ，所以51=x ，11)4(1=f ，所以61=x（2）当2=k 时，由{}{})()()(min )()()(min )(2221222201122220222222x d s f s h x c s f s h x c s f x x -+++=++=≤≤≤≤σσ其中由：{}6,min 222d s +=σ，而状态集合是： []{}{}.3,2,1,0,36,6min 0|,6;min 0|2222243222=-≤≤=⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡-≤≤=∑=为整数且为整数且s s s s d d s s s k k下面就各状态分别计算：{}5.9565.65845.90min )0()0()3()1()0()2()2()0()1()3()0()0(min )3()0()(min )0(122122122122212223022=⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++++=⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++++++++=-++=≤≤f h c f h c f h c f h c x f h x c f x 所以02=x ，{}5.1155.75.65.685.55.95.4115.0min )0()0()4()1()1()3()2()1()2()3()1()1()4()1()0(min )4()1()(min )1(122122122122122212224022=⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+++++=⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧++++++++++=-++=≤≤f h c f h c f h c f h c f h c x f h x c f x 所以02=x ，同理可得：{}14)5()2()(min )2(212225022=-++=≤≤x f h x c f x ，所以52=x{}5.15)6()3()(min )3(212226022=-++=≤≤x f h x c f x ，所以62=x注意：在计算)2(2f 和)3(2f 时，需要用到)5(1f 和)6(1f ，由于每个时期的最大生产批量为6单位，故)5(1f 和)6(1f 没有意义的，就取∞==)6()5(11f f ，其余类推.（3）当3=k 时，由：{}33323333033()()(min )(33x d s f s h x c s f x -+++=≤≤σ,其中{}6,2min 33+=s σ，而状态集合为：[]{}{}4,3,2,1,0,6,min 0|334333=-≤≤=为整数且s d d s s s下面就各状态分别计算：{}14)2()0()(min )0(323332033=-++=≤≤x f h x c f x ，所以03=x ； {}16)3()1()(min )1(323333033=-++=≤≤x f h x c f x ，所以03=x 或3； {}5.17)4()2()(min )2(323334033=-++=≤≤x f h x c f x ，所以43=x {}19)5()3()(min )3(323335033=-++=≤≤x f h x c f x ，所以53=x {}5.20)6()4()(min )4(323336033=-++=≤≤x f h x c f x ，所以63=x （4）当4=k 时，因为要求第4时期期末的库存量为0，即为04=s ，故有：{}5.201471665.1751945.200min )0()4()1()3()2()2()3()1()4()0(min )4()0()(min )0(3434343434434444044=⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+++++=⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+++++=-++=≤≤f c f c f c f c f c x f h x c f x 所以有04=x .再回代求最优策略：由04=*x ，04=s 得：44443=-+=x d s s ，所以有63=*x ，06243332=-+=-+=x d s s ，所以有02=*x ，32221=-+=x d s s ，所以51=*x故最优生产策略为：51=*x ，02=*x ，63=*x ，04=*x 而相应的全个生产过程中的4个时期的最小总成本是：20.5千元. 模型的检验这时我们可以建立一个混合整数规划模型来检验动态规划方法的结果正确性：建立模型Ⅲ：与模型Ⅰ比较，除了考虑随产品数量变化的费用（生产成本和存贮费用）外，还要考虑与生产数量无关的费用，即生产准备费用k T ，只要某个时期开工生产时就需要有的这项费用，引入了10-变量k w ，当0=k w 时表示不生产，当1=k w 生产.))((41h k k k k k k s h x c w T z Min ++=∑=（5.0,30===k k h c T ）..t s )4,3,2,1,......(1==-+-k d s x s k k k k )4,3,2,1,..(0,0)6.(, 0,....00,.....140=≥===≤⎩⎨⎧=>=k s x s s X X x x x w k k m m k k k k 在此这一模型也可将数据输入LINDON 求解（代码附后），就可得到： 最优目标函数为：20.5各变量值为：w1=1 w2=0 w3=1 w4=0 x1=5 x2=0 x3=6 x4=0s1=3 s2=0 s3=4由此可验证动态规划方法的正确性.参考文献：【1】 谢金星等，《数学模型》第三版，高等教育出版社，2003【2】 胡运权等，《运筹学基础及应用》第五版，高等教育出版社，2008【3】 柳振航等，《数学建模》第一版，中国人民大学出版社 2004用LINDON计算混合整数规划模型Ⅲ，代码：min 3w1+3w2+3w3+3w4+x1+x2+x3+x4+0.5s1+0.5s2+0.5s3 s.t.x1-s1=2x2+s1-s2=3x3+s2-s3=2x4+s3=4x1-6w1<=0x2-6w2<=0x3-6w3<=0x4-6w4<=0x1>=0x2>=0x3>=0x4>=0s1>=0s2>=0s3>=0endint w1;int w2;int w3;int w4运行结果：OBJECTIVE FUNCTION VALUE1) 20.50000VARIABLE VALUE REDUCED COST W1 1.000000 3.000000 W2 0.000000 0.000000 W3 1.000000 3.000000 W4 0.000000 0.000000 X1 5.000000 0.000000 X2 0.000000 0.000000 X3 6.000000 0.000000 X4 0.000000 0.000000 S1 3.000000 0.000000 S2 0.000000 0.000000 S3 4.000000 0.000000。
数学建模题：生产与库存的关系模型设计
承诺书我们仔细阅读了《全国大学生数学建模竞赛章程》和《全国大学生数学建模竞赛参赛规则》（以下简称为“竞赛章程和参赛规则”，可从全国大学生数学建模竞赛网站下载）。
我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。
我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛章程和参赛规则的，如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。
我们郑重承诺，严格遵守竞赛章程和参赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。
如有违反竞赛章程和参赛规则的行为，我们将受到严肃处理。
我们授权全国大学生数学建模竞赛组委会，可将我们的论文以任何形式进行公开展示（包括进行网上公示，在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等）。
我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： E我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：所属学校（请填写完整的全名）：参赛队员(打印并签名) ：1.2.3.指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：教练组（论文纸质版与电子版中的以上信息必须一致，只是电子版中无需签名。
以上内容请仔细核对，提交后将不再允许做任何修改。
如填写错误，论文可能被取消评奖资格。
）日期： 2014 年 9 月 7 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：编号专用页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：生产与库存的关系模型设计摘要生产与库存问题一直是学术界及企业十分关注的问题。
如果企业库存量过大，流动资金占用过多，就会影响企业的经济效益，但如果库存量过小，又难以保证生产经营活动的正常进行。
在生产经营管理活动中也是如此，除了合理安排生产外，还遇着采购的物资和生产的产品都在入库，这就关系到最佳库存量的问题。
存贮问题建模
数学建模
模型结果分析
❖如果缺货损失非常大，以至于可以忽略存储费c2 ， 则一般不允许缺货。
❖从数学角度，即令 c3 ，则
T*
2c1 c2r
c2 c3 c3
T0*
2c1 c2r
Q*
2c1r c2
c3 c2 c3
Q0*
2c1r c2
❖ 不允许缺货模型可视为允许缺货模型的特例
数学建模
模型结果分析
数学建模
问题分析与模型假设
问题分析 ❖ 最佳以进企货业周的期总取支决出于最企小业为的目利标润来或决损定失进的货大周小期。 ❖ 只有产品的存储与缺货信息，没有明确的销售信息。 模型假设 ❖ 1）进货周期为T，最大存储量为Q，产品销售速度
为r，每周期进货费为c1，单位时间单位产品存储费 为c2、缺货损失费为c3； ❖ 2）销售至T1 (<T)时库存不足，出现缺货，但所缺货 物将在下周期订货时补足； ❖ 3）时刻t（0<t<T）时货物存储量为q(t)。
模型求解
❖根据二元函数极值必要条件，令 C 0, C 0
T
Q
❖解得最优解 T * 2c1 c2 c3 , Q* 2c1r c3
c2r c3
c2 c2 c3
❖于是每周期的最优订货量 R* rT * 2rc1 c2 c3
c2 c3
❖ 易见，T与进货费c1成正比，与存储费c2、缺货损失 费c3及销售速度r成反比，这些均与一般常识吻合。
q
存
Q0
储
r
量
A
匀
O
T0
t
图1.9 不允许缺货时的货物存储量 q(t)
速 减 少
数学建模
模型建立与求解
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随机库存的分配摘要卖方管理库存（VMI，Vendor-Managed Inventory）是现代物流中一个比较新的管理思想，它是指货物的提供者根据所有客户的当前库存量决定在一定时间内对他们的货物分配量。
基于VMI思想，设计出当供货方的供应能力有限、客户需求随机情况下的分配方案，能够应用到实际的物流管理信息系统中，具有实际意义。
针对此问题，在客户需求量服从同一指数分布的前提条件下，首先通过MATLAB软件编写程序，得到50个客户的随机需求量和初始库存量，然后从车辆配载能力出发，以客户的库存费用最小为目标函数，以供货总量和每辆车的承载能力为约束条件，建立非线性随机规划模型，通过lingo软件求解模型，得到所有客户库存费用最小时的分配方案，同时得到最小库存费用为699.5543。
关键词：随即需求库存分配随机规划一、问题重述考虑由一个供货方和n个客户组成的配送网络，配送活动的组织基于VMI 思想。
假设供货方的供应能力有限(意味着某些客户可能得不到供应)，可供应的货物总量为A；拥有车辆数为K，车辆k的载重量为b k(k∈K)。
每个客户的需求量是随机的，但需求的分布函数F i已知(假设F i是严格增函数，并假设不同客户的需求是相互独立的，且服从相同分布)，周期初的初始库存为βi，h+i为单位货物的保管费，h-i为单位货物的缺货损失费。
令q i(w i)表示客户i在得到配送量w时的库存费用函数。
令y ik表示车辆k是否服务客户i，是取1，否取0。
i当y ik(i=1，…，n；k=0，…，K)的取值确定后，也就意味着确定了对所有客户的一个划分，如令Y k表示车辆k服务的客户集合，其应满足Y k={i∶y ik=1}。
请写出库存分配问题的模型，并带入适当规模的数据进行计算，分析其计算结果，得出结论。
二、问题分析本问题讨论的是当供货方的供应能力不足、客户需求随机情况下的库存分配问题。
客户的需求量是随机的，但需求的分布函数F i已知(假设F i是严格增函数，并假设不同客户的需求是相互独立的，且服从相同分布)，在处理问题时，可以将需求量当作服从相同参数的同一指数分布，通过MATLAB软件来产生指数分布的随机数作为客户需求量，要使得所有客户的库存费用最小，需要构造与配送量、库存费、保管费等有关的目标函数，将有限的车辆数和每辆车的承载能力以及供货方的总供应量作为约束条件，建立模型，通过lingo软件求解得到具体的配送方案。
三、模型假设1.假设客户的随即需求量服从参数为0.5的指数分布；2.假设每个客户的初始库存量在0.1~1.5吨之间随即取值；3.假设所有客户的库存保管费和缺货损失费相同；4.假设供货方的总供应量为所有客户随即需求量之和的0.8倍；5.假设不考虑运货车辆的运费。
四、符号说明五、对问题的分析和处理5.1问题分析本问题讨论的是当供货方的供应能力不足、客户需求随机情况下的库存分配问题。
为了得到具体的分配方案，使得所有客户的库存费用最小，需要构造与配送量、库存费、保管费等有关的目标函数，将有限的车辆数和每辆车的承载能力以及供货方的总供应量作为约束条件，建立模型，通过lingo软件求解得到具体的配送方案。
由于客户的需求量是随机的，假设每个客户的需求量均服从参数为0.5的指数分布，于是可以通过MATLAB软件来产生指数分布的随机数作为客户需求量。
首先分析单个客户的库存费用，具体由货物的保管费和货物的缺货损失费两为服从参数为0.5，则客户产生缺货损失费，[2]中给出的具体表达式为：会产生货物保管费，具体表达式为：于是得到客户的库存费用函数为：由此得到目标函数为：k是否服务客户i，是取1，否取0，车辆k超过其承载能力，于是有对于供货方来说，给所有客户配送量之和不能超过总供货量A，于是有由此得到约束条件为5.2模型建立由以上分析，建立以下模型：S.t.5.3 模型求解相同，均为10，即假设客户总量为500.5的指数分布，即编写MATLAB 程序，产生服从该指数分布的50个随机数，即得到每个客户的需求量（见附录3），求其总和sum ，将供货方的总供货量定为总和sum 的0.8倍，即A=0.8sum 。
程序得到的结果为：A=17.5334吨。
0.1~1.5吨之间的随机值，编写MATLAB 程序得到50个客户的初始库存量（见附录4）。
假设一共有8辆载货卡车，每辆车的承载能力相同，考虑到8辆卡车的总运货量与总供货量A 之间的关系，现将每辆车的承载能力分两种情况讨论：第一种，每辆车的承载能力为6吨，那么8辆卡车的总运货量为48吨，大于总供货量A ，通过调用lingo 程序，求解出所有客户的库存费用最小为699.5543，得到具体分配方案如下：对应的卡车调用方案为：第二种，每辆车的承载能力为2吨，那么8辆卡车的总运货量为16吨，小于总供货量A，通过调用lingo程序，求解出所有客户的库存费用最小为702.3088，得到具体分配方案如下：对应的卡车调用方案如下：分析两种情况下的库存费用及表1和表3数据可知：当卡车的总运货量大于供货方的总供应量的情况下，得到的库存费用最小，但没有得到配送的客户是一样的，只是得到配送的客户在两种情况下的配送量不同，卡车的总运货量大于供货方的总供应量时能得到更多的配送。
由此得出结论：在不考虑卡车费用的情况下，应选择大型卡车或者增加卡车数量，以此确保总供应量能够更大程度的配送出去，在满足客户要求的同时也使得库存费用达到最小。
六、模型优缺点分析6.1模型优点（1）该模型以所有客户库存费用最小为目标函数，以供货总量和每辆车的承载能力为约束条件，通过MATLAB编程实现每位客户的随即需求量和初始库存量，结合lingo软件对模型的求解，可以得到在供货方供货能力不足情况下的货物分配方案。
（2）在求解模型过程中，分别对所有车辆的运货总量大于供货总量和小于供货总量两种情况进行讨论，得出在供货总量一定，以及不考虑车辆运费的情况下，提高车辆的承载能力即调用大型卡车或增加卡车数量，能够使总供应量更大程度的配送出去，在满足客户要求的同时也使得库存费用达到最小。
6.2模型缺点（1）由于指数分布函数的参数是随即设定的，导致卡车调用时出现不均衡问题。
（2）模型建立中，没有考虑卡车费用的影响，导致对卡车的利用率不高。
七、模型推广与应用该模型解决了当供货方的供应能力不足、客户需求随机情况下的库存分配问题，通过建立非线性目标规划，以供货总量和每辆车的承载能力为约束条件，得到具体的货物分配方案，能够应用到实际的物流管理信息系统中。
参考文献[1]姜启源谢金星叶俊，数学模型（第四版），北京：高等教育出版社，2011[2]黎青松袁庆达，随即库存分配问题的一种求解方法，四川工业学报，2002附录1.产生50个客户的随即需求量和初始库存量clc;clear;sum=0;mu=0.5;%指数分布的参数为2for i=1:50f(i)=exprnd(mu);%产生50位客户的随机需求beta(i)=random('unif',0.1,1.5);%随机产生50位客户的初始库存量sum=sum+f(i);%50位客户需求之和endA=0.8*sum;%供货商的供货总量为50位客户需求之和的0.8倍%-----将产生的随机数存入xuqiu2.txt文本文件中------%fid=fopen('xuqiu2.txt','wt');fprintf(fid,'%g\n',f,beta);fclose(fid);disp('可供应的货物总量为：')disp(A)2.求解最小库存费用和具体配送方案model:sets:supplier/s1/:A,mu;vehicles/v1..v8/:b;clients/c1..c50/:w,beta,h1,h2;links(clients,vehicles):y;end setsdata:A=17.5334;b=2,2,2,2,2,2,2,2;mu=0.5;beta=@file('shuju.txt');h1=10;h2=10;end datamin=@sum(clients(i):h1(i)*(@exp(-mu(1)*(beta(i)+w(i)))/mu(1))+h2(i)*(beta(i) +w(i)-1/mu(1)+@exp(-mu(1)*(beta(i)+w(i)))/mu(1)));@for(vehicles(j):@sum(links(i,j):y(i,j)*w(i))<=b(j));@for(clients(i):@sum(links(i,j):y(i,j))<2);@for(clients(i):w(i)>=0);@sum(clients(i):w(i))<A(1);@for(links(i,j):@bin(y));@for(clients(i):(1-@sum(links(i,j):y(i,j)))=0);end3.50个客户的随即需求量客户序号需求量客户序号需求量1 2 3 4 5 6 7 8 91011121314151617181920212223 0.3998731.5815100.8324570.2668430.5094080.1046511.2392200.2143540.4538000.6575660.5518150.5277650.0615630.0362641.5245500.1532860.3035710.0562300.5959210.8161570.1630360.2702710.04020126272829303132333435363738394041424344454647480.0877900.3768470.6563520.3427010.5892410.3716180.1190570.2013501.9185500.6006230.0096410.1110590.2574780.0289570.1584621.8275800.2182440.4940110.0934460.4937130.0681660.2013860.2124382425 0.6259750.00767049500.4498070.0342864.50个客户的初始库存量客户序号初始库存量客户序号初始库存量1 2 3 4 5 6 7 8 910111213141516171819202122232425 1.4489401.4621401.0339701.0451600.9683900.1269601.4647200.4237330.2708290.4609850.3131280.2703220.2319900.6586280.5793231.2125601.0607100.1767090.1646681.1082301.3289200.1989581.2205200.8611291.101950262728293031323334353637383940414243444546474849500.7065650.8849991.1486301.0055300.2942140.6074431.1924100.2869050.8837771.4151700.5012691.3545601.3376200.8688210.9074620.7251430.8296841.4119901.2887200.9304581.4069000.3894870.2008721.0337001.2353305.卡车的载重为6吨时的lingo运行结果：Local optimal solution found.Objective value: 699.5543Objective bound: 699.5542Infeasibilities: 0.1387779E-16Extended solver steps: 88Total solver iterations: 24419Variable Value Reduced CostMU( S1) 0.5000000 0.000000B( V1) 6.000000 0.000000B( V2) 6.000000 0.000000B( V3) 6.000000 0.000000B( V4) 6.000000 0.000000B( V5) 6.000000 0.000000B( V6) 6.000000 0.000000B( V7) 6.000000 0.000000B( V8) 6.000000 0.000000W( C1) 0.000000 0.000000W( C2) 0.000000 0.000000W( C3) 0.9816700E-01 0.4380305E-07 W( C4) 0.8697700E-01 0.4441234E-07 W( C5) 0.1637470 0.4378645E-07 W( C6) 1.006471 0.000000W( C7) 0.000000 0.000000W( C8) 0.7084040 0.4396517E-07 W( C9) 0.8626021 0.9520717E-07 W( C10) 0.6711520 0.4396455E-07 W( C11) 0.8190090 0.4396636E-07 W( C12) 0.8631091 0.9520723E-07 W( C13) 0.9014411 0.9504373E-07 W( C14) 0.4748031 0.9519772E-07 W( C15) 0.5541081 0.9519417E-07 W( C16) 0.000000 0.000000W( C17) 0.7142700E-01 0.4350985E-07 W( C18) 0.9567221 0.9522073E-07 W( C19) 0.9687631 0.9522284E-07 W( C20) 0.2390700E-01 0.000000W( C21) 0.000000 0.000000W( C22) 0.9344731 0.9521706E-07 W( C23) 0.000000 0.000000W( C24) 0.2710080 0.4410307E-07 W( C25) 0.3148112E-01 0.1044389E-06 W( C26) 0.4255720 0.4395632E-07 W( C27) 0.2471380 0.4368417E-07 W( C28) 0.000000 0.000000W( C29) 0.1266070 0.4382485E-07 W( C30) 0.8392171 0.9520456E-07 W( C31) 0.5259881 0.9519513E-07 W( C32) 0.000000 0.000000W( C33) 0.8465261 0.9520535E-07 W( C34) 0.2483600 0.4368242E-07W( C36) 0.6321621 0.9519332E-07 W( C37) 0.000000 0.000000W( C38) 0.000000 0.000000W( C39) 0.2633160 0.4366060E-07 W( C40) 0.2246750 0.4371188E-07 W( C41) 0.4069940 0.4394255E-07 W( C42) 0.3024530 0.4394516E-07 W( C43) 0.000000 0.000000W( C44) 0.000000 0.000000W( C45) 0.2029731 0.9484485E-07 W( C46) 0.000000 0.000000W( C47) 0.7426500 0.6555134E-07 W( C48) 0.9325591 0.1039358E-06 W( C49) 0.9843700E-01 0.4377548E-07 W( C50) 0.000000 0.000000BETA( C1) 1.448940 0.000000BETA( C2) 1.462140 0.000000BETA( C3) 1.033970 0.000000BETA( C4) 1.045160 0.000000BETA( C5) 0.9683900 0.000000BETA( C6) 0.1269600 0.000000BETA( C7) 1.464720 0.000000BETA( C8) 0.4237330 0.000000BETA( C9) 0.2708290 0.000000BETA( C10) 0.4609850 0.000000BETA( C11) 0.3131280 0.000000BETA( C12) 0.2703220 0.000000BETA( C13) 0.2319900 0.000000BETA( C14) 0.6586280 0.000000BETA( C15) 0.5793230 0.000000BETA( C16) 1.212560 0.000000BETA( C17) 1.060710 0.000000BETA( C18) 0.1767090 0.000000BETA( C19) 0.1646680 0.000000BETA( C20) 1.108230 0.000000BETA( C21) 1.328920 0.000000BETA( C22) 0.1989580 0.000000BETA( C23) 1.220520 0.000000BETA( C24) 0.8611290 0.000000BETA( C25) 1.101950 0.000000BETA( C26) 0.7065650 0.000000BETA( C27) 0.8849990 0.000000BETA( C28) 1.148630 0.000000BETA( C30) 0.2942140 0.000000 BETA( C31) 0.6074430 0.000000 BETA( C32) 1.192410 0.000000 BETA( C33) 0.2869050 0.000000 BETA( C34) 0.8837770 0.000000 BETA( C35) 1.415170 0.000000 BETA( C36) 0.5012690 0.000000 BETA( C37) 1.354560 0.000000 BETA( C38) 1.337620 0.000000 BETA( C39) 0.8688210 0.000000 BETA( C40) 0.9074620 0.000000 BETA( C41) 0.7251430 0.000000 BETA( C42) 0.8296840 0.000000 BETA( C43) 1.411990 0.000000 BETA( C44) 1.288720 0.000000 BETA( C45) 0.9304580 0.000000 BETA( C46) 1.406900 0.000000 BETA( C47) 0.3894870 0.000000 BETA( C48) 0.2008720 0.000000 BETA( C49) 1.033700 0.000000 BETA( C50) 1.235330 0.000000 H1( C1) 10.00000 0.000000 H1( C2) 10.00000 0.000000 H1( C3) 10.00000 0.000000 H1( C4) 10.00000 0.000000 H1( C5) 10.00000 0.000000 H1( C6) 10.00000 0.000000 H1( C7) 10.00000 0.000000 H1( C8) 10.00000 0.000000 H1( C9) 10.00000 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