【高三】福建省厦门市2018届高三数学上学期期末质检试题文(含答案)

厦门市2018届高三年级第一学期期末质检文科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}0,1,2,3A =，{}13B x x =-≤<，则A B =I （ ） A ．{}1,2 B ．{}0,1,2 C ．{}0,1,2,3 D ．∅2．已知命题:,21xp x ∀∈>R ，命题000:,sin cos q x x x ∃∈=R ，则下列命题中的真命题为（ ）A ．q ⌝B ．p q ∧C ．p q ⌝∧D ．p q ∨⌝ 3．已知2log 0.3a =，0.32b =，20.3c =，则（ ）A ．a b c >>B ．c b a >>C ．b a c >>D ．b c a >>4．已知3sin 24α=，42ππα<<，则sin cos αα-的值是（ ） A ．12 B ．12- C ．14 D ．14-5．若,x y 满足约束条件10,220,1,x y x y y +-≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥-⎩则2z x y =+的最大值是（ ）A ．1B ．3C ．5D ．76．设,a b 表示直线，,αβ表示平面，则下列命题正确的是（ ） A ．若,a b αα∥∥，则a b ∥ B ．若,a ααβ⊥⊥，则a β∥ C ．若,a b αα⊥∥，则a b ⊥ D ．若,a ααβ⊥∥，则a β⊥ 7．已知数列{}n a 满足()1112n n n a a +++-=，则其前100项和为（ ）A ．250B ．200C ．150D ．1008．函数()sin 1cos 2y x x =+在区间[]2,2-上的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．9．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左焦点为(),0F c -，O 为坐标原点，,P Q 为双曲线的渐近线上两点，若四边形PFQO 是面积为2c 的菱形，则该渐近线方程为（ ） A ．2y x =± B ．12y x =±C ．4y x =±D ．14y x =± 10．习总书记在十九大报告中指出：坚定文化自信，推动社会主义文化繁荣兴盛.如图，“大衍数列”：0,2,4,8,12^来源于《乾坤谱》中对《易传》“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生过程中曾经经历过的两仪数量总和.下图是求大衍数列前n 项和的程序框图.执行该程序框图，输入8m =，则输出的S =（ ） A ．44 B ．68 C ．100 D ．14011．在ABC ∆中，2AB =，1AC =，120BAC ∠=︒，BD BC λ=uu u r uu u r .若14AD BC ⋅=uuu r uu u r ，则实数λ的值为（ ） A ．-2 B ．14 C ．12 D ．3412．函数()2cos 0y x x π=<<和函数3tan y x =的图象相交于,A B 两点，O 为坐标原点，则OAB ∆的面积为（ ）A B C D 第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．若复数z 满足2z i i ⋅=-14．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是一个三棱锥的三视图，则该三棱锥的体积为 ．15．已知函数()221,20,,0,x x x x f x e x ⎧--+-≤<⎪=⎨≥⎪⎩若函数()()g x f x ax a =-+存在零点，则实数a 的取值范围为 ．16．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，点P 在椭圆上，且2PF 垂直x 轴，若直线1PF ，则该椭圆的离心率为 ． 三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．在ABC ∆中，D 是边BC 上的点，AB AD ==，1cos 7BAD ∠=. （1）求sin B ；（2）若4AC =，求ADC ∆的面积.18．已知等差数列{}n a 的公差0d >，其前n 项和为n S ，且520S =，358,,a a a 成等比数列. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）令11n n n b n a a +=+⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T .19．如图，四棱锥P ABCD -中，侧面PAB ⊥底面ABCD ，PA PB =，24CD AB ==，CD AB ∥，90BPA BAD ∠=∠=︒.（1）求证：PB ⊥平面PAD ；（2）若三棱锥C PBD -的体积为2，求PAD ∆的面积.20．在直角坐标系xOy 中，()1,0F ，动点P 满足：以PF 为直径的圆与y 轴相切. （1）求点P 的轨迹方程； （2）设点P 的轨迹为曲线Γ，直线l过点()4,0M 且与Γ交于,A B 两点，当ABF ∆与AOF ∆的面积之和取得最小值时，求直线l的方程.21．已知函数()()22ln 12a f x a x x a x =+-+. （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）当1a >时，记函数()f x 的极小值为()g a ，若()()3212254g a b a a a <--+恒成立，求满足条件的最小整数b .请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为,sin ,x y ϕϕ⎧=⎪⎨=⎪⎩（ϕ为参数）.以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，,A B 为C 上两点，且OA OB ⊥，设射线:OA θα=，其中02πα<<.（1）求曲线C 的极坐标方程； （2）求OA OB ⋅的最小值. 23．选修4-5：不等式选讲 函数()12f x x x a =-++.（1）当1a =时，求证：()13f x x +-≥； （2）若()f x 的最小值为2，求实数a 的值.厦门市2018届高三年级第一学期期末质检文科数学参考答案一、选择题1-5:BCDAD 6-10:CDBAC 11、12：DA 二、填空题13 14．83 15．13a ≤-或2a e ≥ 16三、解答题17．解：（1）在ABD ∆中，2222cos BD AB AD AB AD BAD =+-⋅⋅∠=1772127+-=，得BD =由1cos 7BAD ∠=，得sin BAD ∠=在ABD ∆中，由正弦定理得sin sin AD BDB BAD=∠，所以sin B ==（2）因为sin B =，B 是锐角，所以cos B =设BC x =，在ABC ∆中，2222cos AB BC AB BC B AC +-⋅⋅=即27216x x +-⋅=化简得：290x --=解得x =或x =（舍去）则CD BC BD =-==由ADC ∠和ADB ∠互补，得sin sin sin ADC ADB B ∠=∠==所以ADC ∆的面积11sin 22S AD DC ADC =⋅⋅⋅∠==18．解：（1）因为()1555202a a S +==，即158a a += 34a =即124a d +=，①因为358,,a a a 为等比数列，即2538a a a =所以()()()2111427a d a d a d +=++，化简得：12a d =② 联立①和②得：12a =，1d = 所以1n a n =+ （2）因为()()11112n n n b n a a n n +=+=⋅++1112n n n n ⎛⎫+=-+ ⎪++⎝⎭所以111111123233445n T ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-++-++-+⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎣⎦1112n n n ⎡⎤⎛⎫++-+ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎣⎦L 1111111123344512n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦L ()123n +++++L()111222n n n +⎛⎫=-+⎪+⎝⎭()()1222n n nn +=++ 19．解：（1）∵平面PAB ⊥平面ABCD ，平面PAB I 平面ABCD AB =，AD ⊂平面ABCD ，且AD AB ⊥，∴AD ⊥平面PAB .又∵PB ⊂平面PAB ，∴PB AD ⊥. 又∵PB PA ⊥，PA AD A =I ，,PA PD ⊂平面PAD ，∴PB ⊥平面PAD .（2）取AB 中点E ，连接PE . ∵PA PB =，∴PE AB ⊥.又∵PE ⊂平面PAB ，平面PAB ⊥平面ABCD ，平面PAB I 平面ABCD AB =， ∴PE ⊥平面ABCD .∴PE 为三棱锥P BCD -的高，且112PE AB ==. 又∵CD AB ∥，AD CD ⊥，∴122BCD S CD AD AD ∆=⋅=. ∴12233C PBD P BCD BCD V V S PE AD --∆==⋅⋅==，得3AD =.cos 45PA AB =⋅︒=又∵AD ⊥平面PAB 且PA ⊂平面PAB ，∴PA AD ⊥.∴12PAD S PA AD ∆=⋅=.20．解：（1）设点(),P x y ，圆心()00,N x y ， 圆与y 轴相切于点C ，则2PF NC =，02x =，又点N 为PF 的中点，所以012x x +=，24y x =.所以点P 的轨迹方程为：24y x =.（2）（ⅰ）当直线l的斜率不存在时，方程为：4x =，易得14ABF AOF S S ∆∆+=. （ⅱ）当直线l的斜率存在时，设方程为：()4y k x =-，()11,A x y ，()22,B x y ，由()244y x y k x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩消去x 并整理得：24160ky y k --=， 所以124y y k+=，1216y y =-，所以1142ABF AOF AOM BFM S S S S y ∆∆∆∆+=+=⋅⋅211322y +⋅⋅≥⋅ 当且仅当1243y y =时等号成立，又1216y y =，所以1y =2y =或1y =-，2y =，所以124y y k +==，解得：k =±，因为14≤，所以当两个三角形的面积和最小时，直线l的方程为：)4y x =±-.21．解：（1）()f x 的定义域为()0,+∞，()()21a f x ax a x'=+-+=()()()2211ax a x a ax x a x x -++--= ①若0a ≤，当()0,x ∈+∞时，()0f x '≤， 故()f x 在()0,+∞单调递减， ②若0a >，由()0f x '=，得11x a=，2x a = （ⅰ）若01a <<，当1,x a a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<， 当()10,,x a a ⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭U 时，()0f x '>， 故()f x 在1,a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，在()0,a ，1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递增（ⅱ）若1a =，()0f x '≥，()f x 在()0,+∞单调递增， （ⅲ）若1a >，当1,x a a ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，()0f x '<， 当()10,,x a a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭U 时，()0f x '>， 故()f x 在1,a a ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，在10,a ⎛⎫⎪⎝⎭，(),a +∞单调递增 （2）由（1）得：若1a >，()f x 在1,a a ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减， 在10,a ⎛⎫⎪⎝⎭，(),a +∞单调递增 所以x a =时，()f x 的极小值为()()2ln 2a g a f a a a a ==--由()()212254g a b a a a <--+恒成立， 即2ln 24a ab a a >-+恒成立设()()2ln 124x x h x x x x =-+>，()5ln 4h x x x '=-+令()()5ln 4x h x x x ϕ'==-+， 当()1,x ∈+∞时，()110x xϕ'=-<所以()h x '在()1,+∞单调递减，且()1104h '=>，()()3312ln 2ln16ln 044h e '=-=-< 所以()01,2x ∃∈，()0005ln 04h x x x '=-+=，且()01,x x ∈，()00h x '>，()0,2x x ∈，()00h x '< 所以()()200000maxln 24x x h x h x x x ==-+，因为005ln 4x x =-得()200max 12h x x x =-其中()01,2x ∈， 因为212y x x =-在()1,2上单调递增 所以()max 1,02h x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭因为()max b h x >，b Z ∈，所以min 0b =22．解：（1）将1C的方程化为直角坐标方程为221y +=，即2212x y +=. 将cos x ρθ=，sin y ρθ=代入可得()()22cos sin 12ρθρθ+= 化简得2221sin ρθ=+ （2）根据题意：射线OB 的极坐标方程为2πθα=+或2πθα=-.1OA ρ==，2OB ρ===则12OA OB ρρ⋅=⋅==22241sin 1cos 32αα≥=+++， 当且仅当22sin cos αα=，即4πα=时，取得最小值43. 故OA OB ⋅的最小值为43. 23．解：（1）依题意：()1121f x x x x +-=-++12221x x x +-=-++ ()()22213x x ≥--+=， 当且仅当()2221x x -=-+，即14x =时，等号成立.（2）①当12a >-，即2a >-时，()31,,21,1,231,1,a x a x a f x x a x x a x ⎧-+-≤-⎪⎪⎪=++-<<⎨⎪+->⎪⎪⎩则当2a x =-时，()min 112222a a a f x f ⎛⎫=-=--=+= ⎪⎝⎭，故2a =. ②当12a <-，即2a <-时，()31,1,1,1,231,,2x a x a f x x a x a x a x ⎧⎪-+-≤⎪⎪=---<<-⎨⎪⎪+-≥-⎪⎩ 则当2a x =-时，()min 112222a a a f x f ⎛⎫=-=--=--= ⎪⎝⎭，故6a =-. ③当12a =-时，即2a =-时，()31f x x =-有最小值0，不符合题意，舍去.。