绝对值习题及答案

绝对值习题及答案
例1求下列各数的绝对值：
(1)－38；(2)0.15；
(3)a(a＜0)；(4)3b(b＞0)；
(5)a－2(a＜2)；(6)a－b．
分析：欲求一个数的绝对值，关键是确定绝对值符号内的这个数是正数还是负数，然后根据绝对值的代数定义去掉绝对值符号，(6)题没有给出a与b的大小关系，所以要进行分类讨论．
解：(1)｜－38｜＝38；(2)｜＋0.15｜＝0.15；
(3)∵a＜0，∴｜a｜＝－a；
(4)∵b＞0，∴3b＞0，｜3b｜＝3b；
(5)∵a＜2，∴a－2＜0，｜a－2｜＝－(a－2)＝2－a；
说明：分类讨论是数学中的重要思想方法之一，当绝对值符号内的数(用含字母的式子表示时)无法判断其正、负时，要化去绝对值符号，一般都要进行分类讨论．
例2判断下列各式是否正确(正确入“T”，错误入“F”)：
(1)｜－a｜＝｜a｜；( )
(2)－｜a｜＝｜－a｜；( )
(4)若｜a｜＝｜b｜，则a＝b；( )
(5)若a＝b，则｜a｜＝｜b｜；( )
(6)若｜a｜＞｜b｜，则a＞b；( )
(7)若a＞b，则｜a｜＞｜b｜；( )
(8)若a＞b，则｜b－a｜＝a－b．( )
分析：判断上述各小题正确与否的依据是绝对值的定义，所以思维应集中到用绝对值的定义来判断每一个结论的正确性．判数(或证明)一个结论是错误的，只要能举出反例即可．如第(2)小题中取a＝1，则－｜a｜＝－｜1｜＝－1，而｜－a｜＝｜－1｜＝1，所以－｜a｜≠｜－a｜．同理，在第(6)小题中取a＝－1，b ＝0，在第(4)、(7)小题中取a＝5，b＝－5等，都可以充分说明结论是错误的．要证明一个结论正确，须写出证明过程．如第(3)小题是正确的．证明步骤如下：
此题证明的依据是利用｜a｜的定义，化去绝对值符号即可．对于证明第(1)、(5)、(8)小题要注意字母取零的情况．
解：其中第(2)、(4)、(6)、(7)小题不正确，(1)、(3)、(5)、(8)小题是正确的．
说明：判断一个结论是正确的与证明它是正确的是相同的思维过程，只是在证明时需要写明道理和依据，步骤都要较为严格、规范．而判断一个结论是错误的，可依据概念、性质等知识，用推理的方法来否定这个结论，也可以用举反例的方法，后者有时更为简便．
例3判断对错．(对的入“T”，错的入“F”)
(1)如果一个数的相反数是它本身，那么这个数是0．
( )
(2)如果一个数的倒数是它本身，那么这个数是1和0．
( )
(3)如果一个数的绝对值是它本身，那么这个数是0或1．
( )
(4)如果说“一个数的绝对值是负数”，那么这句话是错的．
( )
(5)如果一个数的绝对值是它的相反数，那么这个数是负数．
( )
解：(1)T．
(2)F．－1的倒数也是它本身，0没有倒数．
(3)F．正数的绝对值都等于它本身，所以绝对值是它本身的数是正数和0．
(4)T．任何一个数的绝对值都是正数或0，不可能是负数，所以这句话是错的．
(5)F．0的绝对值是0，也可以认为是0的相反数，所以少了一个数0．
说明：解判断题时应注意两点：
(1)必须“紧扣”概念进行判断；
(2)要注意检查特殊数，如0，1，－1等是否符合题意．
例4 已知(a－1)2＋｜b＋3｜＝0，求a、b．
分析：根据平方数与绝对值的性质，式中(a－1)2与｜b＋3｜都是非负数．因为两个非负数的和为“0”，当且仅当每个非负数的值都等于0时才能成立，所以由已知条件必有a－1＝0且b＋3＝0．a、b即可求出．
解：∵(a－1)2≥0，｜b＋3｜≥0，
又(a－1)2＋｜b＋3｜＝0
∴a－1＝0且b＋3＝0
∴a＝1，b＝－3．
说明：对于任意一个有理数x，x2≥0和｜x｜≥0这两条性质是十分重要的，在解题过程中经常用到．
例5填空：
(1)若｜a｜＝6，则a＝______；
(2)若｜－b｜＝0.87，则b＝______；
(4)若x＋｜x｜＝0，则x是______数．
分析：已知一个数的绝对值求这个数，则这个数有两个，它们是互为相反数．
解：(1)∵｜a｜＝6，∴a＝±6；
(2)∵｜－b｜＝0.87，∴b＝±0.87；
(2)用(1)的方法比较这两个负数绝对值的大小是非常麻烦的，此法不可取．通过比较它们的倒数，可以快捷的达到目的．
说明：两个有理数比较大小，当它们都是负数时，必须通过比较绝对值的大小来确定它们的大小．(1)一定要注意，因为是两个负数，所以它们的绝对值越大，对应点在数轴的左边离原点的距离就越远，因此它的值就越小．(2)比较两个异分母正分数的大小时，如果通分很麻烦，可以考虑通过比较它们倒数大小的方法间接达到目的．理论依据
例9 在数轴上画出下列各题中x的范围：
(1)｜x｜≥4；(2)｜x｜＜3；(3)2＜｜x｜≤5．
分析：根据绝对值的几何意义画图．例如，｜x｜≥4的几何意义是：数轴上与原点的距离大于或等于4个单位长度的点的集合；｜x｜＜3的几何意义是：数轴上与原点的距离小于3个单位长度的点的集合．
解：(1)｜x｜≥4，即数轴上x对应的点到原点的距离大于或等于4，如图1．
∴当x＞0时，有x≥4；当x＜0时，有x≤－4．
(2)｜x｜＜3，即数轴上x对应的点到原点的距离小于3，如图2．
即有－3＜x＜3．
(3)2＜｜x｜≤5，即数轴上x所对应的点到原点的距离比2大且小于或等于5，如图3．
即－5≤x＜－2或2＜x≤5．
说明：在数轴上表示含绝对值的不等式时，最容易错的是忘记或画错原点左边(负半轴上)符合条件的点的范围．应当认真研究负数部分符合条件的点的范围的画法，并真正做到“理解”．
例10 (1)求绝对值不大于2的整数；
(2)已知x是整数，且2.5＜|x|＜7，求x．
分析：
(1)求绝对值不大于2的整数，就是求数轴上与原点的距离小于或等于2个单位长度的整数点．
(2)因为2.5＜｜x｜＜7中的x表示的是绝对值小于7同时绝对值又大于2.5的整数，所以，依绝对值定义应该是满足－7＜x＜－2.5，或2.5＜x＜7的所有整数．
解：(1)先画出数轴上与原点的距离小于或等于2的点的范围．
由图看出，绝对值不大于2的整数是：
－2，－1，0，1，2
(2)符合2.5＜|x|＜7的所有整数，就是符合－7＜x＜－2.5或2.5＜x＜7的所有整数．
由图看出，符合2.5＜｜x｜＜7的整数是：
x＝±3，±4，±5，±6．
说明：因为绝对值概念课本上从几何与代数两个角度都给出了定义，所以在解含绝对值的问题时要注意灵活运用这两个定义．此题也可以用代数定义求解．根据绝对值的几何定义，用数形结合的思想，把有关绝对值的问题转化为数轴上的点与原点的距离问题来解决，是经常采用的方法．
例11已知a、b、c所表示的数如图所示：
(1)求｜b｜，｜c｜，｜b＋1｜，｜a－c｜；
*(2)化简｜a－b｜－｜－a｜＋｜c－1｜＋｜c－b｜．
分析：由图知a＜－1＜b＜0，0＜c＜1．
根据以上条件，先确定绝对值符号内的数是正数还是负数，然后再化简．
解：由图知a＜0，b＜0，c＞0，
且b＞－1，a＜c，a＜b，c＜1，c＞b，
∴b＋1＞0，a－c＜0，a－b＜0，c－1＜0，c－b＞0
(1)｜b｜＝－b，｜c｜＝c，｜b＋1｜＝b＋1
｜a－c｜＝－(a－c)＝c－a
(2)｜a－b｜－｜－a｜＋｜c－1｜＋｜c－b｜
＝(b－a)－(－a)＋(1－c)＋(c－b)
＝b－a＋a＋1－c＋c－b
＝1
说明：(1)a－b的相反数是－(a－b)＝b－a．
a＋b的相反数是－(a＋b)＝－a－b．
(2)｜a－b｜的几何意义是：数轴上表示数a、b的两个点之间的距离．不同的两个点之间的距离总是一个正数，等于“较大的数减较小的数”的差．
例12 解方程：
(1)已知｜14－x｜＝6，求x；
*(2)已知｜x＋1｜＋4＝2x，求x．
分析：解简单的含有绝对值符号的方程，一般都根据绝对值的代数定义，先化去绝对值符号，然后求解．
(2)题需把原方程转化为｜x＋1｜＝2x－4的形式后，才便于应用绝对值的代数定义．
解：(1)∵｜14－x｜＝｜x－14｜＝6
∴x－14＝±6
当x－14＝6时，x＝20；
当x－14＝－6时，x＝8．
∴x＝20或8．
(2)∵｜x＋1｜＋4＝2x
∴｜x＋1｜＝2x－4
∵｜x＋1｜≥0，
∴2x－4≥0，x≥2．
∵x≥2，
∴x＋1＞0，｜x＋1｜＝x＋1．
原方程变形为x＋1＋4＝2x
∴x＝5．
*例13 化简｜a＋2｜－｜a－3｜
分析：要化简此式，关键是依据绝对值定义判断好绝对值符号内a＋2和a－3在a取不同数值时它们的符号情况，才能正确地转化为不含绝对值的式子．为了能达到此目的，首先应判定｜a＋2｜＝0和｜a－3｜＝0时a的取值，即a＝－2和a＝3，由此可知，a的取值可分为三种情况：即a＜－2，－2≤a＜3，a≥3．这时｜a＋2｜和｜a－3｜就可依绝对值定义分别得到不同的去掉绝对值符号后的新形式了．
解：由｜a＋2｜＝0和｜a－3｜＝0
得a＝－2或a＝3．
－2和3把数轴分为三部分(如图)：
当a＜－2时，原式＝－(a＋2)－[－(a－3)]
＝－a－2＋a－3
＝－5
当－2≤a＜3时，原式＝a＋2－[－(a－3)]
＝a＋2＋a－3
＝2a－1
当a≥3时，原式＝a＋2－(a－3)
＝a＋2－a＋3
＝5
说明：解含有绝对值符号的题目时，首先要将其转化为不含绝对值符号的形式．然后再进行整理或化简．。