概率论的发展历程
概率论的发展简史
概率论的发展简史一、概率论的起源概率论起源于17世纪中叶，那时候人们对赌博中的一些问题特别感兴趣呢。
比如说掷骰子，那些赌徒们就想知道各种点数出现的可能性。
像意大利的一些数学家就开始思考这些问题啦，他们想要找到一种数学方法来计算赌博中的概率。
这就像是在黑暗中摸索着打开一扇通往新世界的门。
当时有个叫吉罗拉莫·卡尔达诺的家伙，他可算是早期对概率有深入思考的人。
他写了一些关于赌博中的概率计算的东西，虽然那时候还没有形成完整的概率论体系，但已经算是迈出了很重要的一步啦。
二、概率论的初步发展1. 法国数学家帕斯卡和费马的贡献到了17世纪，法国那可是数学发展的一个重要地方呢。
帕斯卡和费马就开始对概率论进行了更加深入的研究。
他们之间还通过书信交流对赌博中的概率问题进行讨论。
比如说掷骰子几次能出现某个特定的点数组合之类的问题。
他们的研究为概率论奠定了更坚实的基础，就像给一座大楼打了很牢固的地基一样。
2. 雅各布·伯努利的工作雅各布·伯努利也对概率论贡献很大哦。
他写了一本猜度术，在这本书里，他提出了很多重要的概念，像大数定律的雏形就在这本书里出现啦。
这就好比在概率论的花园里种下了一棵很茁壮的树苗。
三、概率论的成长与成熟1. 拉普拉斯的推动拉普拉斯是个很厉害的数学家。
他在概率论方面的工作让概率论更加成熟了。
他写了概率的分析理论，这本书就像是概率论发展史上的一座丰碑。
他把概率论应用到很多实际的领域，比如天文学等。
他的工作让概率论不再只是赌徒们的小玩意儿，而是成为了一门真正有广泛应用价值的学科。
2. 泊松分布的出现泊松也是概率论发展过程中的一个重要人物呢。
他提出的泊松分布，在很多领域都有应用，像描述一些稀有事件发生的概率之类的。
就好像是在概率论的百宝箱里又多了一件很有用的工具。
四、现代概率论的发展1. 概率论与其他学科的融合现在呀，概率论已经和很多学科融合在一起啦。
比如在物理学中，量子力学里就有概率论的影子。
概率论发展简史范文
概率论发展简史范文
概率论是构建定量分析的一种重要方法。
其发展历史有着悠久的历史。
古希腊数学家杰佛逊曾提出了首批可能性理论。
17世纪，法国哲学家蒙
德里安提出他的经典概率论理论，认为结果是一种机会，并将其与他的游
戏理论相结合。
18世纪中叶，英国数学家尼古拉斯·科特斯（Nicholas Cotes）提出了概率论的普遍原理，并引入新的概念，描述可能性的数学
表示。
后来，19世纪上半叶，法国数学家安东尼·贝尔提出了概率论的基
本概念，并建立了可能性的基本概念，贝尔的哲学观点使他成为当时最重
要的概率论家。
在19世纪晚期，克莱斯勒，拉斐尔和福特继续发展概率论，引入了抽样理论，以研究大量数据，识别潜在趋势。
20世纪上半叶，统计学家和数学家又进一步发展了概率论。
20世纪
50年代，模拟计算机的发展促进了概率论的发展，使其得以应用于工程
和科学领域。
此外，哥本哈根学派在概率论中引入了新的方法，如参数估计，建模和模拟。
随着计算机技术的进一步发展，概率学得到进一步发展。
60到70年代，概率论得到了更多的应用，如蒙特卡洛技术和信息论方法。
概率论的起源与发展
概率论的起源与发展
1概率论起源
概率论是一门研究不确定性理论的学科，旨在提供聪明的方法来分析不确定性。
概率论起源于17世纪，当时很多知识都是以威尔士随机数字模型的形式表达出来的，但概率论的发展是一个漫长的过程。
2主要发展史
（1）早期的概率论是由法国科学家斯特劳斯·马夫斯·贝尔（Stroëlle de Maupertuis）首先提出的。
他的著作《大自然的规律》中提出了概率理论的概念，用以解释大自然中存在的相互作用。
（2）1730年，拉斐尔·康登·富勒（Laplace）提出量化概率模型，概率论向形式化方向发展。
（3）18纪和19纪，科学家和数学家为概率论提供了更全面的理论基础，为概率论做出了贡献。
他们帮助概率论形成了一种独立学科。
（4）20世纪初，数学家保罗·莫菲斯和卡尔·柯本基克加深了概率的理论，并将它们应用到了实际问题。
1930年，普拉特·穆勒引入了统计方法，在大数定律中提出了可积性现象论证。
3现状
现在，概率论能够用于构建模型，分析复杂的系统及其运行情况，以及协助决策。
它在诸多领域都有广泛的应用，其中包括商业、
经济学、金融、社会科学等。
概率论也可以用于18大赌博游戏，例如赌徒的概率计算、黑板博弈以及弱势认知博弈。
概率论与数理统计发展史简要、主要内容概要及其主要应用
概率论与数理统计是一门研究随机现象和数据分析的学科。
以下是关于概率论与数理统计发展史、主要内容概要以及其主要应用的简要介绍：发展史概率论与数理统计是数学的重要分支之一，其发展可以追溯到17世纪。
以下是一些重要的里程碑事件：- 1654年，法国贵族帕斯卡尔引入概率论的基本概念。
- 18世纪，瑞士数学家伯努利家族对概率论做出了系统的研究，并提出伯努利试验和大数定律。
- 19世纪，法国数学家拉普拉斯在概率论方面有很多重要贡献，提出了拉普拉斯公式和拉普拉斯逼近定理。
-20世纪，俄国数学家科尔莫哥洛夫发展了现代概率论的基本框架，建立起了测度论和概率测度的数学基础。
主要内容概要概率论研究随机现象的规律性和不确定性，主要包括以下几个方面的内容：1. 概率基本概念：包括样本空间、事件、随机变量等。
2. 概率分布：研究随机变量的取值及其对应的概率。
3. 大数定律：研究随机变量序列的稳定性，指出当样本容量足够大时，随机现象的长期平均值收敛于期望值的概率趋近于1。
4. 中心极限定理：研究多个相互独立的随机变量之和的分布趋近于正态分布的概率。
数理统计是利用样本数据对总体特征进行推断和决策的学科，主要内容如下：1. 抽样方法：研究如何从总体中获取代表性样本的方法。
2. 统计描述：通过统计量对总体特征进行度量和描述。
3. 参数估计：利用样本数据对总体参数进行估计。
4. 假设检验：根据样本数据对关于总体的假设进行推断和判断。
5. 方差分析和回归分析：研究多个变量之间的关系和影响。
主要应用概率论与数理统计具有广泛的应用领域，涉及自然科学、社会科学、工程技术等众多领域，包括但不限于以下方面：1. 金融和风险管理：用于分析投资组合的风险、金融市场波动性的预测和金融产品的定价。
2. 医学和生物统计学：应用于疾病概率分析、药物疗效评估和流行病学研究等。
3. 工程和质量控制：用于产品质量分析、过程改进和可靠性评估。
4. 社会科学和市场调查：用于样本调查、舆论调查和社会现象的分析。
概率的发展历程
概率的发展历程一、引言概率是研究随机事件发生的可能性的数学分支。
它在现代科学和工程技术中有着广泛的应用，如金融、统计学、物理学、计算机科学等领域。
本文将从历史角度出发，介绍概率的发展历程。
二、古代1. 古希腊时期公元前5世纪，古希腊哲学家毕达哥拉斯提出了“万物皆数”的思想。
他认为自然界中所有事物都可以用数字来表示和描述。
这种思想为后来的概率理论奠定了基础。
2. 中国古代中国古代也有对概率的探讨。
《周髀算经》中就提到了“缺一色”的问题，是对概率分布的一种探讨。
三、中世纪1. 波利亚意大利数学家波利亚在13世纪时写下了一篇名为《Liber de Ludo Aleae》（博弈论）的著作，其中提到了赌博游戏中的概率问题。
2. 卡迪诺意大利数学家卡迪诺在14世纪时写下了一本名为《Practica Geometriae》的著作，其中涉及了骰子的概率问题。
四、近代1. 帕斯卡17世纪时，法国数学家帕斯卡研究了赌博游戏中的概率问题，并提出了著名的“帕斯卡三角形”。
2. 费马17世纪时，法国数学家费马提出了“费马问题”，即在一个正方形中随机放置一个点，求这个点在正方形内部的概率。
这个问题成为了后来概率论研究的重要起点。
3. 伯努利18世纪时，瑞士数学家伯努利发表了名为《Ars Conjectandi》的著作，其中包含了一些概率分布和期望值等基本概念。
4. 拉普拉斯18世纪后期，法国数学家拉普拉斯提出了“极限定理”，即当样本数量足够大时，样本均值会趋向于总体均值。
这个定理成为后来统计学和数据分析领域的基础。
五、现代1. 统计学20世纪初，英国统计学家皮尔逊和威尔逊等人建立了现代统计学的基础。
他们提出了假设检验、方差分析、回归分析等重要概念。
2. 蒙特卡罗方法20世纪中期，蒙特卡罗方法被提出。
这种方法可以通过随机模拟来解决复杂的数学问题，如求解多元积分、优化问题等。
3. 贝叶斯统计学20世纪后期，贝叶斯统计学逐渐兴起。
概率论的创立与发展过程
概率论的创立与发展过程概率论是一门研究随机现象与事件发生的可能性的数学学科。
它的创立和发展过程可以追溯到17世纪，包括概念的提出、公理化和数学推理的发展。
概率论的起源可以追溯到古希腊和古罗马时期。
在古希腊，一些哲学家和数学家开始研究掷骰子、赌博和裁判的公正性等问题。
其中最著名的是古希腊哲学家赫拉克利特提出的“一切都是由偶然性引起的”。
古罗马时期的拉普拉斯和卡西尼等人也对概率问题进行了探索。
然而，真正的概率论的发展可以追溯到17世纪学院时期。
法国数学家帕斯卡尔被认为是概率论的奠基者之一。
在他的著作《有关圣奥纳西的信件》中，帕斯卡尔详细讨论了一个涉及赌博的问题，这个问题被称为帕斯卡悖论。
帕斯卡尔的研究对后来概率论的发展产生了深远的影响。
在18世纪，瑞士数学家伯努利兄弟进一步发展了概率理论。
他们提出了伯努利概率模型，用于描述在一系列重复试验中事件发生的概率。
之后，法国数学家拉普拉斯在他的著作《统计自然中之智慧》中将概率论与统计学相结合，建立了概率论的数学框架。
拉普拉斯将概率定义为事件发生的可能性与所有可能结果的比值，同时他提出了拉普拉斯定理，该定理描述了大数定律。
与此同时，正规化概率理论也得到了更严谨的推导。
在20世纪初，俄国数学家科尔莫哥洛夫创立了公理化概率论，即利用一组公理来系统定义概率的性质和运算规则。
科尔莫哥洛夫的公理化概率论奠定了现代概率论的基础，成为概率论的完整体系。
随着科技的进步和数学研究的深入，概率论的应用领域也不断扩展。
概率论已经被广泛地应用于金融、统计学、工程、计算机科学等领域。
它被用于模型设计和预测，如股市走势预测、风险管理和信号处理等。
总之，概率论的创立和发展经历了一个漫长的过程。
从古希腊的哲学思考到数学家们的推理，再到公理化和数学框架的建立，概率论逐渐成为一门重要的数学学科，并广泛应用于各个领域。
随着科学技术的发展，概率论的应用领域仍在不断扩展，为现代社会的发展做出了重要贡献。
概率论思想的历史演变
概率论思想的历史演变一、概述概率论，作为研究随机现象的数学学科，其思想的历史演变跨越了数千年，从古希腊和罗马时期的哲学思考，到中世纪文艺复兴时期的理论探索，再到19世纪的数学化进程，直至20和21世纪的科技应用，逐步形成了现代意义上的完整理论体系。
概率论的起源可以追溯到古希腊和罗马时期，当时哲学家们开始从哲学的角度探讨可能性和偶然性的问题。
例如，亚里士多德提出了两种判断事件可能性的方法：一是基于结论的推导，二是基于实验观测。
在罗马时期，概率理论被应用于实际工程中，如托勒密在巨大工程中应用概率理论进行估算。
进入中世纪，文艺复兴时期的哲学家们将概率的概念引入了哲学论点中，如但丁对可能事件发生概率的探讨，以及随机离散数组的建立。
这一时期，概率理论还发展到了骰子投掷和算术遗传学等领域。
18世纪，概率论的发展进入了一个新的阶段，罗伯特李和耶稣等学者提出了主观概率论和超确定性等思想，为研究不同可能性的情况提供了新的视角。
19世纪，概率论得到了更大的发展，统计学家和数学家如费马、贝尔、马克斯及高斯等人，将概率理论的概念分解为可能性、随机估计及测度论三个基本层次。
这一时期，概率论逐渐形成了完整的理论体系，并被广泛应用于各个领域。
进入20世纪后半叶，随着科技的飞速发展，概率论与统计学的结合越来越紧密，被广泛应用于模拟计算、逻辑思维等领域，实现了高效率的实证分析及预测性研究。
这使得概率论在解决实际问题中发挥了越来越重要的作用，成为了现代科学研究中不可或缺的一部分。
概率论思想的历史演变是一个漫长而不断深化的过程，从早期的哲学思考到现代的数学化、科技化应用，逐步形成了现代意义上的完整理论体系。
这一过程不仅展现了人类对于随机现象认识的不断深化，也体现了科学技术的发展对于概率论思想的推动和影响。
1. 概率论思想的起源和背景概率论，作为数学的一个分支，其思想的形成和演变跨越了数百年，与人类对随机现象的探索和理解紧密相连。
其起源可以追溯到古希腊和古罗马时期，当时机会主义盛行，但由于数字系统和科学思想的限制，概率论并未得到显著发展。
概率论的发展历史及应用
概率论的发展历史及应用概率论是数学的一个重要分支，研究的是随机现象和不确定性的数学模型和方法。
它有着丰富的发展历史，并且在各个领域中都有广泛的应用。
下面将从概率论的起源、发展过程、重要成果以及在实际中的应用几个方面进行详细分析，回答1500字以上。
人类对于不确定性的思考可以追溯到古代。
早在古希腊时代，人们已经开始对游戏和抛硬币等随机事件进行观察和研究。
然而，现代概率论的发展始于17世纪末的欧洲。
1654年，法国贵族帕斯卡在与数学家费马的通信中讨论了赌局的分赌问题，这可以看作是概率论的起源。
而在17世纪末和18世纪初，研究概率的工具和方法的发展取得了重要的突破。
概率论的发展历程中有两个重要的里程碑。
一个是拉普拉斯在1812年出版的《关于自然哲学的概率理论》（Théorie analytique des probabilités），这是概率论中第一本系统且完整的著作，奠定了概率论的基础。
拉普拉斯提出了概率的公理系统，并建立了概率的运算法则，成为后来概率论研究的基础。
另一个是科尔莫哥洛夫在1933年出版的《概率论基础》（Foundations of the Theory of Probability），这是概率论中第一本严密的数学著作，对概率论的定理和证明进行了系统的研究。
概率论的发展至今已经取得了许多重要成果。
首先，概率论建立了完整的公理体系，包括概率的定义、运算法则、一些基本定理等。
其次，概率论有了一些重要的分支，如条件概率、独立性、随机过程等。
此外，概率论也与其他数学分支相结合，如统计学、数理逻辑等，形成了统计学、数理统计等新的学科。
最后，概率论的数学方法也被广泛应用于物理学、生物学、经济学、金融学、工程学等各个领域，推动了科学和技术的发展。
概率论在实际中的应用广泛而深远。
在物理学中，概率论应用于量子力学、统计力学等领域，解释和描述微观粒子的行为。
在生物学中，概率论应用于遗传学、生态学等领域，研究基因的变异和生物群落的演变。
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2019/6/23
43
费马定理
当 n 2 时，方程
xn yn zn
没有整数解
这就是费马定理。
2019/6/23
44
费马定理
费马生前很少发表作品，一些数学成果常写在 他给朋友的信中，有的见解就写在所读的书页的空 白处。他去世后，才由后人收集整理出版。
2019/6/23
45
费马定理
1956年出版的《数学名词》，依然是几率或概率 并用。但是大多数教材，刊物上，逐渐只出现概率这 个词语。
2019/6/23
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概率论在中国的发展
50年代，我国的数学教育以学习前苏联为主，概 率论被从中小学数学教学中“驱逐出境”，到了60年 代，我国曾把作为大学内容的概率初步知识下放到中 小学教材，由于是将大学数学下放到中小学，终因其 理论要求过高、内容过深，与学生的生活经验与认知 水平之间存在过大差距而“水土不服”，以至没能在 中小学站住脚。
2019/6/23
பைடு நூலகம்
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平时表现分
总分100分。 到课一次3分，总分不超过五十分 每一章作业10分，共计五十分。
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42
费马定理
1400年前，古希腊的丢番图阐明了
x2 y2 z2
2019/6/23
29
概率论在中国的发展
Probability，就是某个事件发生的可能性大小， 1896年，晚清数学家华衡芳翻译出第一本有关概率 的数《决疑数学》，将probability翻译成可遇率， 或然率，几率，盖然率等几十种名称。
2019/6/23
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概率论在中国的发展
1935年出版的《数学词典》，将probability翻 译成几率或概率。
2019/6/23
5
概率论的起源
概率论是一门研究随机现象统计规律性的数学学 科。
有趣的是，不同于其它学科的诞生，概率论起源 于对赌博问题研究。
2019/6/23
6
概率论的起源
1653年夏天，法国著名的数学家、物理 学家帕斯卡前往普埃托镇度假。 旅途中，他遇到了自己的好朋友，赌坛 老手梅累。为了消除旅途寂寞，梅累向自己的好友提 出了自己遇到的一个分配赌金的问题。
2019/6/23
19
概率论在曲折中发展
1718年，法国数学家隶莫弗（De Moivre， Abraham,1667—1754）发表了《机遇原理》，他 首次定义了独立事件的乘法定理，给出二项分布公式， 并讨论了许多投掷骰子和其他赌博的问题。
2019/6/23
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概率论在曲折中发展
1760年，法国数学家蒲丰（Comte de Buffon， 1707-1788）的《偶然性的算术试验》出版，他把 概率和几何结合起来，开始了几何概率的研究。著名 的投针实验便是他于1777年提出的，利用这一实验， 他采取概率的方法尝试求求圆周率π的近似值
2019/6/23
25
概率论的广泛应用
与其它数学分支的形成与发展一样，概率论的形 成与发展推动了新的数学思想和方法形成，如随机思 想、假设检验思想等等。同时，新的数学思想与方法 又极大地推动了数学的发展，正因为有公理化思想作 指导，概率论才得以发展成为一门严格的演绎科学。
2019/6/23
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概率论的广泛应用
12
概率论的起源
费马：完成赌局最多需要两局，四种情况： 。 甲甲 甲乙 乙甲 乙乙
上面四种情况，只有第四种情况乙获得最终胜利， 其它三种情况都是甲获得最终胜利。
综上所述，甲应该获得赌金的 3 ，乙应该获得
赌金的 1 。
4
4
2019/6/23
13
概率论的起源
帕斯卡和费马分别用组合方法给出了正确答案。 虽然他们在问题中没有明确定义概念，但是他们定义 了使赌徒取胜的可能性大小。
2019/6/23
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概率论在曲折中发展
为概率论确定严密的理论基础的是数学家柯尔莫 哥洛夫。1933年，他发表了著名的《概率论的基本 概念》，用公理化结构，这个结构明确定义了概率论 发展史上的一个里程碑，为以后的概率论的迅速发展 奠定了基础。
2019/6/23
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概率论的广泛应用
发展到今天，概率论和以它作为基础的数理统计 学科一起，在自然科学，社会科学，工程技术，军事 科学及生产生活实际等诸多领域中都起着不可替代的 作用。
1637年前后，费马在读巴歇校订注释的丢番图 的《算术》第2卷第8题，即前引表述（1）时，在 书的空白处写道：“另一方面，将一个立方数分成 两个立方数，一个四次幂分为两个四次幂，或者一 般地将一个高于二次的幂分为两个同次的幂，这是 不可能的。关于此，我已发现一种美妙的证法，可 惜这里空白的地方太小，写不下。” （3）
经过讨论和思考，帕斯卡和费马各自提出了解决 方案：
2019/6/23
11
概率论的起源
帕斯卡：若再掷一次，甲胜，这种情况下，甲 获得全部赌金；乙胜，甲乙二人各胜两局，平分赌 金。而甲乙二人在这一局获胜的概率相同，都是 1 。
2
综上所述，甲应获得赌金的 3 ，而乙可以获得
赌金的 1。
4
4
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46
费马定理
费马去世后，人们在整理他的遗物时发现了这一 段话，却没有找到证明，这更引起了数学界的兴趣。
欧拉、勒让德、高斯等大数学家都试证过这一命 题，但都没有证明出来，问题表述的简单和证明的 困难，吸引了更多的人投入证明工作。
这一命题就被称为费马猜想，又叫做费马问题， 但更多地被叫做“费马最后定理”，在我国，则一 般称之为费马大定理。
概率论的发展历程
概率论的发展背景 概率论的起源 概率论在曲折中发展 概率论的广泛应用 概率论在中国的发展
2019/6/23
1
概率论发展背景
十四世纪中叶，文艺复兴是指在意大利各城市兴起， 以后扩展到西欧各国，于16世纪在欧洲盛行的一场思想文 化运动，带来一段科学与艺术革命时期，揭开了近代欧洲 历史的序幕。
2019/6/23
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概率论在曲折中发展
所谓"大数定律"，简单地说就是，当实验次数很 大时，事件出现的频率与概率有较大偏差的可能性很 小。这一定理第一次在单一的概率值与众多现象的统 计度量之间建立了演绎关系，构成了从概率论通向更 广泛应用领域的桥梁。因此，贝努利被称为概率论的 奠基人。遗憾的是，在雅可布.贝努利逝世八年后的 1713年，他的研究大作《猜度术》才正式出版。
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2
概率论发展背景
但丁 《神曲》
文
皮特拉克 《歌集》
学
三
杰
薄伽丘 《十日谈》
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3
概率论发展背景
达芬奇 《蒙娜丽莎》
艺
拉斐尔《带金鹰的圣母》
术
三
杰
米开朗琪罗 《末日审判》
2019/6/23
4
概率论发展背景
借文艺复兴的东风17、18世纪，数学获得了 巨大的进步。数学家们冲破了古希腊的演绎框架， 向自然界和社会生活的多方面汲取灵感，数学领 域出现了众多崭新的生长点，而后都发展成完整 的数学分支。除了分析学这一大系统之外，概率 论就是这一时期"使欧几里得几何相形见绌"的若干 重大成就之一。
2019/6/23
32
概率论在中国的发展
虽然在80年代，教育界曾关注过概率统计在中小 学的教学，但由于当时的概率只是高中的选学内容， 高考不考，教师不教，学生不学，概率教学难免形同 虚设。直到最近几年，教育界才真正关注并重视了概 率论的教育价值，以前所未有的地位将它写入《数学 课程标准》。概率问题现在成了高考的热点问题。
2019/6/23
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概率课堂要求
课堂纪律 课下作业
2019/6/23
34
课堂纪律
不旷课，不迟到，不早退 不玩手机
2019/6/23
35
课下作业
共167个课后题，要求全部做完，每一章结束后， 安排同学轮流上台为大家讲授课后习题。
准备一个作业本，用于做167个课后习题。要求： 跟数学分析作业一样认真，无需抄题目。
2019/6/23
24
概率论的广泛应用
例如，天气预报的制作就有一种统计预报法，它 是在大气动力学、热力学、气候学和预报员时间经验 的基础上，应用概率论和数理统计方法，利用电子计 算机，根据历史资料制作天气预报。用这种方法制作 的天气预报称为概率天气预报，即用概率值表示预报 量出现可能性的大小，它所提供的不是某种天气现象 的"有"或"无"，某种气象要素值"大"或"小"，而是天 气现象出现的可能性有多大。
四百年以前“如何公平分配赌金？”的问题，现 在看起来实在简单不过了，但在当时，由于基本思想 与方法的局限性，虽然有许多人为此进行不懈地探索， 却很难有大的突破。因此，从某种意义上说，概率论 的形成与发展实质也是新的数学思想和方法的形成与 发展的历史。
2019/6/23
27
概率论在中国的发展
其实，在中国战国时期（公元前476~公元前 221），概率思想已经开始萌芽，田忌赛马就是一个 很好的例子。这笔欧洲至少早了1800年。
2019/6/23
47
费马定理
“费马最后定理”的来历可能是：费马一生提出 过许多数论命题，后来经过数学界的不懈努力，到 1840年前后，除了一个被反驳以外，大多数都被 证明，只剩下这个费马猜想没有被证明，因此称之 为“最后定理”。