统计物理基础知识培训.pptx
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统计物理 ppt课件
称为普朗克常数。
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21
波的非相干叠加
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22
波的相干叠加
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23
微观粒子不可能同时有确定的动量和坐标，这生动 地说明微观粒子的运动不是轨道运动。微观粒子的运 动状态不是用坐标和动量来描述的，而是用波函数或 量子数来描述的。
在量子力学中，微观粒子的运动状态称为量子态。 量子态由一组量子数来表征。这组量子数的数目等于 粒子的自由度数。
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7
统计物理的基本概念
基本出发点：微观性质和质点力学 基本原理：大量微观粒子系统的状态演化由 概率大小决定 基本假定：等概率假设 基本方法：概率统计分析
PPT课件
8
热力学:是一门唯象理论,它由四个经验规律 出发,演绎得到的各种宏观的热力学规律. 统计物理学:从微观性质出发,基于最基本的 假定,应用统计分析的方法得到各种宏观性质.
当一个物质系统的任何具有作用量纲的物 理量具有与普朗克常数相比拟的数值时，这个 物质系统就是量子系统。反之，如果物质系统 的每一个具有作用量纲的物理量用普朗克常数 来量度都非常大时，这个系统就可以用经典力 学来研究。
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25
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26
例一、自旋（Uhlenbeck-Goudsmit)
电子、质子、中子等粒子具有内禀的角动量， 称为自旋角动量 S ，其平方的数值等于 S 2 S(S 1) 2， S 称为自旋量子数，可以是整数或半整数。电子的自旋 量子数为 ½ 。
小球数按空间 位置 x 分布曲线
x Δx
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5
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6
统计规律
在一定的宏观条件下 大量偶然事件在整体上表 现出确定的规律
统计规律必然伴随着涨落
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21
波的非相干叠加
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22
波的相干叠加
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23
微观粒子不可能同时有确定的动量和坐标，这生动 地说明微观粒子的运动不是轨道运动。微观粒子的运 动状态不是用坐标和动量来描述的，而是用波函数或 量子数来描述的。
在量子力学中，微观粒子的运动状态称为量子态。 量子态由一组量子数来表征。这组量子数的数目等于 粒子的自由度数。
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统计物理的基本概念
基本出发点：微观性质和质点力学 基本原理：大量微观粒子系统的状态演化由 概率大小决定 基本假定：等概率假设 基本方法：概率统计分析
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8
热力学:是一门唯象理论,它由四个经验规律 出发,演绎得到的各种宏观的热力学规律. 统计物理学:从微观性质出发,基于最基本的 假定,应用统计分析的方法得到各种宏观性质.
当一个物质系统的任何具有作用量纲的物 理量具有与普朗克常数相比拟的数值时，这个 物质系统就是量子系统。反之，如果物质系统 的每一个具有作用量纲的物理量用普朗克常数 来量度都非常大时，这个系统就可以用经典力 学来研究。
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25
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例一、自旋（Uhlenbeck-Goudsmit)
电子、质子、中子等粒子具有内禀的角动量， 称为自旋角动量 S ，其平方的数值等于 S 2 S(S 1) 2， S 称为自旋量子数，可以是整数或半整数。电子的自旋 量子数为 ½ 。
小球数按空间 位置 x 分布曲线
x Δx
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5
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6
统计规律
在一定的宏观条件下 大量偶然事件在整体上表 现出确定的规律
统计规律必然伴随着涨落
热力学与统计物理学.pptx
具体来说有：全微分法、系数比较法、循环关系法、 复合函数微分、混合二阶偏导法
系数比较法(适用对象：求U、H、F、G的偏导数） 复合函数的偏导数法（适用对象：求两个函数偏导数之差）
f f f y (x)z (x)y(y)x(x)z
循环关系法(适用对象：求脚标为U、H、F、G的偏导数) x y z
例、求能态方程和焓态方程及Cp 、 Cv
熵变的计算
S是状态函数。在给定的初态和终态之间，系统 无论通过何种方式变化（经可逆过程或不可逆过程）， 熵的改变量一定相同。
当系统由初态A通过一可逆过程R到达终态B时求熵
变的方法：直接用
SB SA
B dQ
(
A
T
)R
来计算。
当系统由初态A通过一不可逆过程到达终态B时求熵变
的方法：
（1）把熵作为状态参量的函数表达式推导出来，再将
T V
V T
UFTSFTF
CV
U T V
H=U+pV
TV ，G=F+pV
（2)吉布斯函数G=G（T、p）
由G=G（T、p）和dG=—SdT+Vdp
例：求表面系统的热力学函数
表面系统指液体与其它相的交界面。
表面系统的状态参量： 、A、T 表面系统的实验关系： ＝（T） 分析：对于流体有f(p,V,T)=0, 对应于表面系统：p,AV
PA
p p(T)
B
固 A
液 C
气
在T—p图中，描述复相系统平衡热力学性Βιβλιοθήκη OLALC T
B P
固
液
PC
C
PA
A
气
O
LA
LC T
A---三相点 C---临界点
系数比较法(适用对象：求U、H、F、G的偏导数） 复合函数的偏导数法（适用对象：求两个函数偏导数之差）
f f f y (x)z (x)y(y)x(x)z
循环关系法(适用对象：求脚标为U、H、F、G的偏导数) x y z
例、求能态方程和焓态方程及Cp 、 Cv
熵变的计算
S是状态函数。在给定的初态和终态之间，系统 无论通过何种方式变化（经可逆过程或不可逆过程）， 熵的改变量一定相同。
当系统由初态A通过一可逆过程R到达终态B时求熵
变的方法：直接用
SB SA
B dQ
(
A
T
)R
来计算。
当系统由初态A通过一不可逆过程到达终态B时求熵变
的方法：
（1）把熵作为状态参量的函数表达式推导出来，再将
T V
V T
UFTSFTF
CV
U T V
H=U+pV
TV ，G=F+pV
（2)吉布斯函数G=G（T、p）
由G=G（T、p）和dG=—SdT+Vdp
例：求表面系统的热力学函数
表面系统指液体与其它相的交界面。
表面系统的状态参量： 、A、T 表面系统的实验关系： ＝（T） 分析：对于流体有f(p,V,T)=0, 对应于表面系统：p,AV
PA
p p(T)
B
固 A
液 C
气
在T—p图中，描述复相系统平衡热力学性Βιβλιοθήκη OLALC T
B P
固
液
PC
C
PA
A
气
O
LA
LC T
A---三相点 C---临界点
热力学统计物理_第一章_ppt课件
物质交换
系统
能量交换
孤立系统
仅有能量交换
系统
闭系
能量交换+物质交换
系统
物质交换
能量交换
开放系统
2. 平衡态：在不受外界的影响的条件下（孤立系统）， 系统的宏观性质不随时间变化的状态。 不受外界影响，指系统不与外界进行能量和物质交换。
3. 关于平衡态的几点说明 （1）实际系统都要或多或少地受到外界影响，不受外 界影响的孤立系统，同质点模型、刚体模型、点电荷模 型和点光源模型一样都是一个理想化的概念；
（3）二者联系： 热力学对热现象给出普遍而可靠的结果，可以 用来验证微观理论的正确性； 统计物理学则可以深入热现象的本质，使热力 学的理论获得更深刻的意义。
第ห้องสมุดไป่ตู้章
热力学的基本规律
热力学是研究热现象的宏观理论——根据实验总结 出来的热力学定律，用严密的逻辑推理的方法，研 究宏观物体的热力学性质。 热力学不涉及物质的微观结构，它的主要理论基础 是热力学的三条定律。 本章的内容是热力学第一定律和热力学第二定律。
热平衡系统所具有的共同宏观性质
热平衡温度相同
T
p
A
B
T
p
2. 温度函数引入证明如下：
C
互为热平衡的两系统， 其状态参量不完全独立， A B 要被一定的函数关系所制约。 即热平衡条件为： F 若A与C达到热平衡: AC( pA,V A; p C,V C) 0 B与C达到热平衡:
F BC( p B,V B; p C,V C) 0
质的参量，如电场强度和磁场强度，极化强度和磁化
强度等，称为电磁参量。 2、状态参量的种类：力学参量、几何参量、化
学参量、电磁参量
统计物理课件第八章.ppt
E(r )
y
l是y的函数，因此 ln 是，，y的函数 :
d ln ln d ln d ln dy
y
(dU Ydy) d ( ln ) d ln ln d
d ( ln ) d ln d ( ln ) d ( ln )
N ln
dU
Yd y
玻色的这个观念现在被称为玻色-爱因斯坦统计。 这篇论文在开始时未能发表，他把论文直接寄给爱因斯坦。爱因斯坦意 识到这篇论文的重要性，不但亲自把它翻译成德语，还以玻色的名义把论文 递予名望颇高的《德国物理学刊》发表。爱因斯坦也写了一篇支持玻色理论 的论文，递予《德国物理学刊》发表，并要求把这两篇论文一同发表。 爱因斯坦在他的论文中采取了玻色的观念，并把它延伸到原子去。这为 预测玻色-爱因斯坦凝聚的存在铺好了道路。
J U TS N F N
ln
kT ln
ln
ln
ln
J kT ln
七.费米系统
巨配分函数 ：
[1 e l ]l ; ln l ln(1 e l )
l
l
N ln
U ln
Y 1 ;
y
p 1
V
1 ; kT
S
k
ln
ln
1 e l
l
l ln(1 e l )
U ln
三. 广义力和物态方程
Y
l
al
l
y
l
l
l
y
e l 1 e l
1
y
l
l ln(1 e l )
Y 1
y
p 1
V
四.熵， ,的确定
(dU Ydy) (d ln ) ln dy
1-统计物理基础
n
j
j
N
n E
j j
j
E
物理意义后面介绍。
23
费米分布
{nj}分布相应的微观状态数为： 最可几分布{nj}
j 1 J
g j! n j !( g j n j )!
或ln 取最大值
类似前面的步骤，可得费米系统的最可几分布：
nj gj
e
E j
1
费米－狄拉克分布，简称费米分布。
n j
E j
ln
nj gj
j 0
E j
n j g je
麦克斯 韦 - 玻耳 兹曼分布或者 玻耳兹曼分布
20
---和由约束条件确定
玻色分布
{nj}分布相应的微观状态数为：
最可几分布{nj} 同样的约束条件：
j 1 J
( g j n j 1)! n j ! ( g j 1)!
j
( g j n j ) ln( g j n j ) n j ln n j g j ln g j
j
j
( N n j )
ln n j
ln( g j n j ) ln n j ln(
gj nj
1)
n j
1
( E n j E j )
12
复习
•微观状态：
粒子按量子态的一个分配方式，称为系统的一个微观状态。
如n1个粒子处于状态a1，……
•分布和宏观状态：
粒子按能级的一个分配方式称为一个分布，对应系统的一 个宏观状态。 如n1个粒子处于能级E1，……
•分布和微观状态不同，一个分布对应大量微观状态。
统计物理学培训课件
• 粒子不是静止的，每个粒子的运动速度不是完全相同的，而是 不断运动的。可以用一种速率的分布描述（右图只是举例）
• 在很小的能量间隔中，粒
子的数目为n(l)。 • 统计物理学的目的就是
找出n(l) ！以此为出发点
，可以解决各种问题
n(l) N (l,l 1) N
统计物理解决问题举例
• 一个三能级系统，0, 20, 30中，每个能级有6个坐位 ，共有6个完全相同的粒子，总能量为120,每个坐位 只能放一个，粒子如何分布？
个子空间。
px2i
p
2 yi
pz2i
2m
(二)线性谐振子
• 基本运动方程：
px2 Ax2
2m
px2
2m
2
x2
/ m 2
1
• 这样的运动可以用椭园表示： • 含义：一个方向可以确定一个子空间。
§6.2 粒子运动的量子描述
• 在微观世界，粒子的运动要用量子的方法描述 ，什么是量子的方法？
• “ 波” • 波有什么好处？不能确定粒子的确切位置，也
态密度
• 动量从p~p+dp范围内的量子态数：
dn
1 h3
(Vdpx dp y dp y
)
V h3
4p 2 dp
• 换算成能量密度：
dn
V h3
4p 2 dp
V h3
2pdp 2
2
2V
h3
(2m)3/ 2 1/ 2d
• 态密度：单位能量范围内的量子态数：
D( )
4V
h3
(2m)3/2 1/2
§6.3 系统微观运动状态的描述
状态组成一个集合。
• 用“空间”换“时间”。
• 在很小的能量间隔中，粒
子的数目为n(l)。 • 统计物理学的目的就是
找出n(l) ！以此为出发点
，可以解决各种问题
n(l) N (l,l 1) N
统计物理解决问题举例
• 一个三能级系统，0, 20, 30中，每个能级有6个坐位 ，共有6个完全相同的粒子，总能量为120,每个坐位 只能放一个，粒子如何分布？
个子空间。
px2i
p
2 yi
pz2i
2m
(二)线性谐振子
• 基本运动方程：
px2 Ax2
2m
px2
2m
2
x2
/ m 2
1
• 这样的运动可以用椭园表示： • 含义：一个方向可以确定一个子空间。
§6.2 粒子运动的量子描述
• 在微观世界，粒子的运动要用量子的方法描述 ，什么是量子的方法？
• “ 波” • 波有什么好处？不能确定粒子的确切位置，也
态密度
• 动量从p~p+dp范围内的量子态数：
dn
1 h3
(Vdpx dp y dp y
)
V h3
4p 2 dp
• 换算成能量密度：
dn
V h3
4p 2 dp
V h3
2pdp 2
2
2V
h3
(2m)3/ 2 1/ 2d
• 态密度：单位能量范围内的量子态数：
D( )
4V
h3
(2m)3/2 1/2
§6.3 系统微观运动状态的描述
状态组成一个集合。
• 用“空间”换“时间”。
统计物理的基本概念ppt课件
•优点：具有很高的可靠性和普遍性； •缺点：由于热力学理论不涉及物质的微观结构和粒 子的运动，把物质看成是连续的，因此不能解释宏 观性质的涨落。
2
统计物理学是研究物质热运动的微观理论，它从 “宏观物质系统是由大量微观粒子组成的”这一基本 事实出发。认为物质的宏观性质是大量微观粒子运动 的集体表现，根据微观粒子的行为来解释物质的宏观 性质，认为宏观量是微观量的统计平均值。 •优点：它可以把热力学的几个基本定律归结于一个 基本的统计原理，阐明了热力学定律的统计意义； •缺点：由于对物质微观结构所做的往往只是简化的 模型假设，因而所得到的理论结果往往只是近似的。
量子态1 量子态2 量子态3
1
AA
2
AA
3
AA
4
A
A
5
A
A
6
A
A
21
对于费米系统可以有3个不同的微观状态
量子态1 量子态2 量子态3
1
A
A
2
A
A
3
A
A
22
在确定N、E、V的宏观状态下，系统可能的微 观状态是大量的。为了研究系统的宏观性质，没必 要也不可能追究微观状态的复杂变化，只要知道一 个宏观状态对应的微观状态数以及各个微观状态出 现的概率，就可以用统计方法求微观量的统计平均 值获得相应的宏观性质。
Ni !
Ni
个粒子的交换，
i
所以，对于玻尔兹曼系统 WM .B. 分布相应的微观状态数为：
N! Ni !
i
g Ni i
l
30
§13-5 最概然分布
我们得到了与一个分布相对应的系统的微观状态 数。对于一个孤立系统的约束条件N、E、 V不变的条 件下，不同的分布，系统的微观状态数是不同的。可 能存在这样一个分布，它使系统的微观状态数最多。
2
统计物理学是研究物质热运动的微观理论，它从 “宏观物质系统是由大量微观粒子组成的”这一基本 事实出发。认为物质的宏观性质是大量微观粒子运动 的集体表现，根据微观粒子的行为来解释物质的宏观 性质，认为宏观量是微观量的统计平均值。 •优点：它可以把热力学的几个基本定律归结于一个 基本的统计原理，阐明了热力学定律的统计意义； •缺点：由于对物质微观结构所做的往往只是简化的 模型假设，因而所得到的理论结果往往只是近似的。
量子态1 量子态2 量子态3
1
AA
2
AA
3
AA
4
A
A
5
A
A
6
A
A
21
对于费米系统可以有3个不同的微观状态
量子态1 量子态2 量子态3
1
A
A
2
A
A
3
A
A
22
在确定N、E、V的宏观状态下，系统可能的微 观状态是大量的。为了研究系统的宏观性质，没必 要也不可能追究微观状态的复杂变化，只要知道一 个宏观状态对应的微观状态数以及各个微观状态出 现的概率，就可以用统计方法求微观量的统计平均 值获得相应的宏观性质。
Ni !
Ni
个粒子的交换，
i
所以，对于玻尔兹曼系统 WM .B. 分布相应的微观状态数为：
N! Ni !
i
g Ni i
l
30
§13-5 最概然分布
我们得到了与一个分布相对应的系统的微观状态 数。对于一个孤立系统的约束条件N、E、 V不变的条 件下，不同的分布，系统的微观状态数是不同的。可 能存在这样一个分布，它使系统的微观状态数最多。
统计物理学基础ppt课件
② 连续型随机变量 取值无限、连续
.
10
随机变量X的概率密度
(x) dP(x)
dx
变量取值在x— x+dx间
隔内的概率
概率密度等于随机变量取值在单位间隔内的概率。
( x) 又称为概率分布函数（简称分布函数）。
(x)dx1
.
11
3、统计平均值
对于离散型
随机变量
算术平均值为
iNi
Ni
iNi N
平均平动动能 平均转动动能 平均振动动能
t kT
r kT
2
2
s kT 2
注意：对应分子的一个振动自由度，除有一份
振动的动能外，还有一份平均势能。
.
34
结论：分子的平均总能量
1(trs)kT1skT1(t r2s)kT
2
22
对刚性分子：气体分子无振动，则分子的平均动
能为 1(tr)kTi kT
2
2
单原子： 3 kT
二、 统计的基本概念 1、概率 如果N次试验中出现A事件的次数为NA ,当
N时，比值NA/N称为出现A事件的概率。
lim P(A)
NA
N N
概率的性质:
(1) 概率取值域为 0P(A)1
.
8
(2) 各种可能发生的事件的概率总和等于1.
NAi
i
Pi (Ai )
i
N
1
几率归一化条件
(3) 二互斥事件的概率等于分事件概率之和
理想气体
pV M RT
p
Mm ol
M气体质量
Mmol 气体的摩尔质量
R普适气体常量
o
8.31J / mol K .
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pal
al
l
al al
对每个分布求和。
热力学统计物理 第‹#› 页 2020年11月23日星期一
粒子按能级的平均分布
l
上的平均粒子数
l
l
al
l
al pal
al
al al
al
l
al
al al
al
al
al
玻耳兹曼分布
al
玻耳兹曼分布 玻色分布
al le l
空间中大小为
hr
的一个相体积元（相格）。
热力学统计物理 第‹#› 页 2020年11月23日星期一
粒子能量在 d
内的量子态数= 空间中能量为 和 d
两个等能面间的相体积 / hr
热力学统计物理 第‹#› 页 2020年11月23日星期一
能谱关系为1 2m源自px2 py2 pz2热力学统计物理 第‹#› 页 2020年11月23日星期一
求能量曲面
内的量子态数，只要求出数空间中能量曲面
内的体积就行了。 数空间中能量为
能的量等曲能面面是半内R径的为nx量2 子ny2 态nz数2 12 为 2mhL22
1
2
的球面
3
4 3
R3
4 3
2mL2 h2
2
4V 3h3
热力学统计物理 第‹#› 页 2020年11月23日星期一
•四、分布和微观态数
全同近独立系统（孤立系统）N、E、V确定
分布 al
必须满足
与分布 al
al N l
lal E l
对应的微观状态数
玻耳兹曼系统 玻色系统 费米系统
M .B
N! al !
l
al l
l
B.E
l
l al 1! al !l 1!
确定系统的微观状态归结为确定每 一个单粒子态中的粒子数。
热力学统计物理 第‹#› 页 2020年11月23日星期一
•三、玻耳兹曼统计（经典统计）、玻色统计和费米 统计
1玻耳兹曼统计 全同粒子可以区分，处在各单粒子态中的粒子数没有 限制。整个系统的微观状态由确定每一个粒子的状态 来确定。 不同单粒子态中的一对粒子互换时，导致系统新的微 观状态。
al
l
e l
1
费米分布
al
l
e l
1
热力学统计物理 第‹#› 页 2020年11月23日星期一
• 量子态密度 自由粒子，质心平移运动的能量是准连续的， 引入量子态密度（称态密度）概念。 量子态密度：与粒子运动空间的维度性 粒子的能谱 和粒子的自旋有关。 计算方法： 量子力学方法
V L3
采用周期性边界条件求解自由粒子的薛定谔 方程，得动量的3个
热力学统计物理 第‹#› 页 2020年11月23日星期一
• 二、系统微观状态的经典描述和量子描述 N个近独立全同粒子组成的系统。 1、 经典粒子可以分辨
空间的N个代表点。
2、量子描述 可分辨的全同粒子组成的量子系统。 确定系统的微观状态归结为确定每一个粒子的状态。
由不可分辨的全同粒子组成的量子系统
热力学统计物理 第‹#› 页 2020年11月23日星期一
分量的可能值为
px
2
L
nx
h L
nx , nx
0, 1, 2
py
2
L
ny
h L
ny , ny
0, 1, 2
pz
2
L
nz
h L
nz , nz
0, 1, 2
三维自由粒子能量的可能值为
1 2m
px2 py2 pz2
2 2
mL2
2
nx2 ny2 nz2
F.D
l
l ! al ! l al !
热力学统计物理 第‹#› 页 2020年11月23日星期一
排列：
Ank
n
n! k
!
k
n
若 n1 个元素相同，
n2个元素相同， ……
则全排列
n!
组合：
Cnk
n
n!
k !k
!
n1!n2 ! nm !
玻色系统和费米系统 al 1
（对所有能级）
l
B.E F .D
内的态数=
热力学统计物理 第‹#› 页 2020年11月23日星期一
以 nx ny nz
为直角坐标构成三维量子数数空间（简称数空
间）。 在数空间中，以
nx , ny , nz 0, 1, 2,
分割空间交成的每一“点”，数组 nx , ny , nz
代表粒子的一个许可状态。 即粒子的一个许可态对应于数空间中一个“点”。 在此数空间中边长为1的小立方体（单位体积）数目 与“点”数是相等的，平均地讲，每单位体积包含一 个整数点。因此，数空间中一单位体积对应于粒子的 一个许可态。
2m
3
2
能量间隔 d 内的量子态数
热力学统计物理 第‹#› 页 2020年11月23日星期一
D
d
d
d
2V
h3
3
2m2
1
2d
D
2V
h3
31
2m2 2
是态密度。
热力学统计物理
半经典近似法：
第‹#› 页
2020年11月23日星期一
r 半经典近似指出：自由度为
的粒子，每一可能的状态对应于
热力学统计物理 第‹#› 页 2020年11月23日星期一
2玻色统计 粒子自旋量子数为整数，不可分辨，每 一单粒子量子态中的粒子数不受限制， 系统的微观状态由确定每一个 单粒子态中的粒子数确定。
热力学统计物理 第‹#› 页 2020年11月23日星期一
3费米统计 粒子自旋量子数为半奇整数，不可分辨 ，每一单粒子量子态中的粒子数 不能超过1。系统的微观状态由给定每一 单粒子态中的粒子数确定。
l
al
l
M .B
al ! N !
al
l
1
经典极限条件或非简并性条件。
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• 最概然分布和分布函数 玻耳兹曼等概率原理：对于处在平衡态的孤立
系统，系统各个可能的微观状态出现的概率是相 等的。
最概然分布：宏观上出现的概率最大的分布。
al 出现的概率：
的三维自由粒子，
等能面 内的量子态数为
1
h3
dxdydzdpx dp y dpz
px2 py2 pz2 2m
4V
h3
0
2m
p2dp
4V
h3
2m
3
2
D
2V
h3
2m
3 2
1 2
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简便方法：
空间体积元
dxdydzdpx dp y dpz
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第六章 小结
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一、粒子运动状态的经典描述和量子描述
r 1经典描述：粒子自由度为
广义坐标 q1, q2, , qr
广义动量 p1, p2, , pr
构成2r 维相空间（ 空间）。
2量子描述 量子态，一组量子数表征。