与圆有关的动点问题

与圆有关的动点问题GDMDC 06B(1)求/ APC 与Z ACD 的度数⑶OD动点M 从点F 出发，按逆时针方向运动半周Z A = 60o,以点D 为圆心的OD 与边AB 相切于点ES A HD M 3 S △ MDF 时，求动点 M2、如图，在菱形 ABCD 中, A 吐⑴求证：OD 与边BC 也相切向左移动正 M , N 分别是边BC , AD⑵设OD 与BD 相交于点H,与边CD 相交于点F ,连接HF,求图中阴影部分的面积(结果保留二) 经过的弧长(结果保留二)(2)当点P 移动到CB 弧的中点时，求证：四边形 OBP (是菱形 DC 在I 上.过点B 作的一条切线BE , E 为切点.如图1,当点A 在。

O 上时，Z EBA 的度数是 __________ 2,当E , A , D 三点在同一直线上时，求线段 OA 的长 以正方形ABCD 的边AD 与OF 重合的位置为初始位置， (图3),至边BC 与OF 重合时结束移动 MON 的面积的范围. (3) P 点移动到什么位置时，△ APW A ABC 全等，请说明理由1、如图,©O 的直径AB=4 C 为圆周上一点,AC=2过点C 作。

0的切线DC , P 点为优弧CBA 上一动 3、半径为2cm 的与O O 边长为2cm 的正方形ABCD 在水平直线I 的同侧O O 与I 相切于点F (1) ① 填空：如图1,当点 ②如图2,当E ,A , I (2)以正方形ABCD 方形(图3),至边BC 与O O 的公共点，求扇形 D C團2 与AB 、过点 、AD 及O O 半径的长 求y 关于x 的函数关系式 求相应的y 值. &旦刈 AB点(不与A. C 重合)F D C (F 图14、如图，Rt △ ABC 的内切圆O O BC=3，点P 在射线AC 上运动 (1) 直接写出线段AC (2) 设 PH=x , PC=y , (3) 当PH 与O O 相切时DFC /图3BC 、CA 分别相切于点 D 、E 、F ,且Z ACB=90 ° °AB=5 P 作PH 丄AB ,垂足为H .t7』 B\/1X I-0\AM DB5、如图1,正方形ABCD 的边长为2,点M 是BC 的中点，P 是线段MC 上的一个动点(不与 M 、 C 重合)，以AB 为直径作。

0,过点P 作。

O 的切线，交AD 于点F ,切点为E . (1) 求证：OF // BE ;(2) 设BP=x , AF=y ，求y 关于x 的函数解析式，并写出自变量 x 的取值范围；(3) 延长DC 、FP 交于点G,连接0E 并延长交直线DC 与H (图2),问是否存在点卩,使厶EFO ^^ EHG (E 、F 、0与E 、H 、G 为对应点)？如果存在，试求(2)中x 和y 的值；如果不存在，请说明理 由.6 如图0的半径为1,直线CD 经过圆心0,交。

0于C 、D 两点，直径AB 丄CD ，点M 是直 线CD 上异于点C 、0、D 的一个动点，AM 所在的直线交于。

0于点N ，点P 是直线CD 上另一点, 且 PM=PN . (1) 当点M 在。

0内部，如图一，试判断PN 与。

0的关系，并写出证明过程；(2) 当点M 在。

0外部，如图二，其它条件不变时，(1)的结论是否还成立？请说明理由； (3) 当点M 在。

0外部，如图三，/ AM0=15 °求图中阴影部分的面积.<E1>A -------------------------C1•/ AB=4 二 0A=0B=0C= AB=2=2D又••• AC=2 ••• AC=0A=0G \A AC0 为等边三角形。

•••/ A0C M AC0M 0AC=60 ,答案:1、解：(1)连接AC 如图所示：•••/ APC=1/ AOC=30。

2又DC与圆O相切于点C,「. OCL DC DCO=90。

•••/ ACDM DCOZ ACO=90 - 60° =30°。

(2)连接PB, OP•/ AB 为直径，/ AOC=60，•/ COB=120。

当点P移动到弧CB的中点时，/ COP M POB=60。

•••△ COP^n^ BOP 都为等边三角形。

• AC=CP=OA=OP•四边形AOP(为菱形。

(3)当点P与B重合时，△ ABC与厶APC重合，显然△ ABC^^ APC当点P继续运动到CP经过圆心时，△ ABC^^CPA理由为：V CP与AB都为圆O的直径，•/ CAP/ ACB=90。

在Rt△ ABC与Rt △ CPA中，AB=CP AC=AC• Rt△ ABC^Rt△ CPA( HL)。

综上所述，当点P与B重合时和点P运动到CP经过圆心时，△ ABC^^CPA2、解：(1)证明：连接DE,过点D作DN丄BC,垂足为点N。

•••四边形ABCD是菱形，• BD平分/ ABC。

VO D与边AB相切于点E,「. DE丄AB。

二DN=DE。

•O D与边BC也相切。

(2)V四边形ABCD 是菱形，AB = 2 3,二AD = AB = 2 3。

又V/ A = 60o,「. DE = ADsin60 0= 3，即O D 的半径是3。

1又V/ HDF = / HADC = 60o, DH = DF, •△ HDF 是等边三角形。

2过点H作HG丄DF，垂足为点G,则HG = 3si n60°= 3 3。

21 3 厂' 9 1—• SH D F S 3 2 “43, S60汉兀汉32扇形HDF :…S阴影=S扇形HDF 一S.HDF3609 —6二-9匸3- 3 =。

4(3)假设点M运动到点M i时,=3二。

24满足S^ HDF = ^/3S^MDF , 过点M1作M i P丄DF，垂足为点P,则9灯3=却3 1 3 M1P，解得M P=-。

4 2 2••• M1P= DM 1。

•/ MQF = 30Q2此时动点M经过的弧长为: 30 二3 _ ■:180 2。

过点M^,作MM2// DF交O D于点M2,则满足S HDF = 3S M1DF =3S'M2DF ,此时/ M2DF = 150o,动点M经过的弧长为: 150 ■: : <35'：3•解：（1）①•••半径为2cm的与O O边长为2cm的正方形ABCD在水平直线I的同侧, 点B作的一条切线BE , E为切点，••• OB=4 , EO=2，/ OEB=90 ,•••/ EBA的度数是：30°A在O O上时，过②如图2,•••直线I与O O相切于点F,•••/ OFD=90 ,•••正方形ADCB 中，/ ADC=90•OF // AD ,•/ OF=AD=2 ,•四边形OFDA为平行四边形，•••/ OFD=90 ,•平行四边形OFDA为矩形，•DA 丄AO ,•••正方形ABCD中，DA丄AB ,•O , A, B三点在同一条直线上;•EA 丄OB ,•••/ OEB= / AOE ,•△ EOA BOE ,•OA OEOE - OB，•OE2=OA?OB ,•OA (2+OA ) =4 ,解得：OA=-1土5,•/ OA > 0 ,• OA= 5 -1 ;方法二：在Rt △ OAE 中，cos / EOA= 在Rt △ EOB 中，cos / EOB= OA _ 0A 0E 一2，0E _ 2 0B 一0A 2• 0A 二22 一0A 2'解得：OA=-1土「5 ,OA > 0 ,• OA= n/5 -1 ;方法三：•/ OE 丄EB , EA 丄OB ,•由射影定理，得OE2=OA?OB , • OA (2+OA ) =4 ,解得：0A=-1土 •/ 0A > 0 , ••• 0A=、5-1 ；n i ° ■ 2(2)如图 3，设/ MON=° , S 扇形 MON =---------- X2 = — n (cm ),36090S 随n 的增大而增大，/ MON 取最大值时，S 扇形MON 最大， 当/ MON 取最小值时，S 扇形MON 最小， 如图，过O 点作OK 丄MN 于K ,•••/ MON=2 / NOK , MN=2NK , NK在 Rt △ ONK 中，sin / NOK=——ONNOK 随NK 的增大而增大，•/ MON 随MN 的增大而增大, MN 最大时/ MON 最大，当 MN 最小时/ MON 最小， N , M , A 分别与 D , B , O 重合时，MN 最大，MN=BD , ,S扇形MON 最大=n (cm ), MN 最小，4、(1)连接AO 、DO •设O O 的半径为r .AC= , - ' _卜；-’=4，则O O 的半径r= (AC+BC - AB ) = (4+3 - 5)=1 ; 2 2••• CE 、CF 是O O 的切线，/ ACB=90 ° •••/ CFO= / FCE= / CEO=90 ° CF=CE , •四边形CEOF 是正方形， • CF=OF=1 ;又••• AD 、AF 是O O 的切线， • AF=AD ;• AF=AC - CF=AC - OF=4 -仁3 ,即 AD=3;•••当 ① 当/ MON= / BOD=90② 当MN=DC=2时，• ON=MN=OM ,•••/ NOM=6° ,2 2、S 扇形MON 最小 ------- n ( cm ),3NK在Rt △ ABC 中，由勾股定理得 图3(2)在Rt△ ABC 中，AB=5 , AC=4 , BC=3 , •••/ C=90 ° PH 丄AB ,•••/ C=Z PHA=90 °•••/ A= / A ,• △ AHP s\ ACB ,• FH= AP = AC - PC•莎- AB-，即：'=——-,• y= - x+4，即y与x的函数关系式是3 5 3(3)如图，P'H'与O O相切.•••/ OMH =Z MH 'D= / H'DO=90 °OM=OD ,•四边形OMH D是正方形，•MH =OM=1 ;由(1)知，四边形CFOE是正方形，CF=OF=1 ,•P H =P M+MH =P 'F+FC=P 'C, 即卩x=y ;又由(2)知，y= - x+4 ,3FE、FA是O O的两条切线•/ FAO= / FEO=90 °在Rt△ OAF 和Rt△ OEF 中，r FO=FO\OA=OE•Rt△ FAO也Rt△ FEO (HL ),•/ AOF= / EOF= / AOE ,2•/ AOF= / ABE ,•OF// BE , y= - x+4;3/• PQ=BP - BQ=x - y PF=EF+EP=FA+BP=x+y •/在 Rt △ PFQ 中 2 2 2FQ +QP =PF2 2 .2 + (X - y ) = (x+y ) 化简得：匸 (1 v X V 2);K(3)存在这样的P 点， 理由：I/ EOF= / AOF , •••/ EHG= / EOA=2 / EOF ,当/ EFO= / EHG=2 / EOF 时， 即/ EOF=30。