专题反比例函数与三角形-四边形的面积等
部编版初中九年级数学反比例函数(含中考真题解析答案)
部编版初中九年级数学反比例函数(含中考真题解析答案)反比例函数（含答案）?解读考点知识点 1.反比例函数概念反比例函数概2.反比例函数图象念、图象和性3.反比例函数的性质质 4.一次函数的解析式确定名师点晴会判断一个函数是否为反比例函数。
知道反比例函数的图象是双曲线，。
会分象限利用增减性。
能用待定系数法确定函数解析式。
会用数形结合思想解决此类问题．反比例函5.反比例函数中比例系数的几何能根据图象信息，解决相应的实际问题．数的应用意义能解决与三角形、四边形等几何图形相关的计算和证明。
?2年中考【2021年题组】y?1．（2021崇左）若反比例函数kx的图象经过点（2，－6），则k的值为（）A．－12 B．12 C．－3 D．3【答案】A．【解析】y?试题分析：∵反比例函数kx的图象经过点（2，��6），∴k?2?(?6)??12，解得k=��12．故选A．考点：反比例函数图象上点的坐标特征． 2．（2021苏州）若点A（a，b）在反比例函数A．0 B．��2 C．2 D．��6 【答案】B．【解析】y?y?2x的图象上，则代数式ab��4的值为（）试题分析：∵点（a，b）反比例函数22b?x上，∴a，即ab=2，∴原式=2��4=��2．故选B．考点：反比例函数图象上点的坐标特征． 3．（2021来宾）已知矩形的面积为10，长和宽分别为x和y，则y关于x的函数图象大致是（）- 1 -A． B． C．D．【答案】C．考点：1．反比例函数的应用；2．反比例函数的图象．4．（2021河池）反比例函数y1?mx（x?0）的图象与一次函数y2??x?b的图象交于A，B两点，其中A（1，2），当y2?y1时，x的取值范围是（）A．x＜1 B．1＜x＜2 C．x＞2 D．x＜1或x＞2 【答案】B．【解析】试题分析：根据双曲线关于直线y=x对称易求B（2，1）．依题意得：如图所示，当1＜x＜2时，y2?y1．故选B．考点：反比例函数与一次函数的交点问题．- 2 -5．（2021贺州）已知k1?0?k2，则函数y?k1x和y?k2x?1的图象大致是（）A．【答案】C．B．C． D．考点：1．反比例函数的图象；2．一次函数的图象． 6．（2021宿迁）在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（��3，0），（3，0），点P在y?反比例函数2x的图象上，若△PAB为直角三角形，则满足条件的点P的个数为（）A．2个 B．4个 C．5个 D．6个【答案】D．【解析】y?试题分析：①当∠PAB=90°时，P点的横坐标为��3，把x=��3代入此时P点有1个；22y??x得3，所以2222222(x?3)?()(x?3)?()22x，PB=x，AB2 ②当∠APB=90°，设P（x，x），PA=222222(x?3)?()?(x?3)?()222(3?3)xxPA?PB?AB==36，因为，所以=36，整理得2x4?9x2?4?0，所以x2?9?659?65x2?22，或，所以此时P点有4个；y?22y?x得3，所以此时P点有1个；③当∠PBA=90°时，P点的横坐标为3，把x=3代入综上所述，满足条件的P点有6个．故选D．考点：1．反比例函数图象上点的坐标特征；2．圆周角定理；3．分类讨论；4．综合题．7．（2021自贡）若点（的点，并且x1，y1），（x2，y2），（x3，y3y??），都是反比例函数1x图象上y1?0?y2?y3，则下列各式中正确的是（）- 3 -A．D．x1?x2?x3 B．x1?x3?x2 C．x2?x1?x3x2?x3?x1【答案】D．【解析】试题分析：由题意得，点（的点，且（x1，y1）xy，xy，（2，2）（3，3）都是反比例函数y??1x上y1?0?y2?y3，xy，xy位于第三象限，x?x3，则（2，2）（3，3）y随x的增大而增大，2 x1，y1）位于第一象限，x1最大，故x1、x2、x3的大小关系是x2?x3?x1．故选D．考点：反比例函数图象上点的坐标特征．8．（2021凉山州）以正方形ABCD两条对角线的交点O为坐标原点，建立如图所示的平面y?直角坐标系，双曲线3x经过点D，则正方形ABCD的面积是（）A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】C．考点：反比例函数系数k的几何意义．y?9．（2021眉山）如图，A、B是双曲线kx上的两点，过A点作AC⊥x轴，交OB于D点，垂足为C．若△ADO的面积为1，D为OB的中点，则k的值为（）48A．3 B．3 C．3 D．4- 4 -【答案】B．考点：1．反比例函数系数k的几何意义；2．相似三角形的判定与性质． 10．（2021内江）如图，正方形ABCD位于第一象限，边长为3，点A在直线y=x上，点Ay?的横坐标为1，正方形ABCD的边分别平行于x轴、y轴．若双曲线有公共点，则k的取值范围为（）kx与正方形ABCDA．1＜k＜9 B．2≤k≤34 C．1≤k≤16 D．4≤k＜16 【答案】C．【解析】试题分析：点A在直线y=x上，其中A点的横坐标为1，则把x=1代入y=x解得y=1，则Ay?的坐标是（1，1），∵AB=BC=3，∴C点的坐标是（4，4），∴当双曲线kx经过点（1，1）时，k=1；当双曲线kx经过点（4，4）时，k=16，因而1≤k≤16．故选C．考点：1．反比例函数与一次函数的交点问题；2．综合题．- 5 -11．（2021孝感）如图，△AOB是直角三角形，∠AOB=90°，OB=2OA，点A在反比例函y?数1ky?x的图象上．若点B在反比例函数x的图象上，则k的值为（）A．��4 B．4 C．��2 D．2【答案】A．考点：1．反比例函数图象上点的坐标特征；2．相似三角形的判定与性质；3．综合题．41012．（2021宜昌）如图，市煤气公司计划在地下修建一个容积为m3的圆柱形煤气储存室，则储存室的底面积S（单位：m2）与其深度d（单位：m）的函数图象大致是（）- 6 -【答案】A．B． C． D．考点：1．反比例函数的应用；2．反比例函数的图象．y?13．（2021三明）如图，已知点A是双曲线2x在第一象限的分支上的一个动点，连接AO并延长交另一分支于点B，过点A作y轴的垂线，过点B作x轴的垂线，两垂线交于点C，随着点A的运动，点C的位置也随之变化．设点C的坐标为（m，n），则m，n满足的关系式为（）A．n??2m B．【答案】B．【解析】n??24n??m C．n??4m D．m2试题分析：∵点C的坐标为（m，n），∴点A的纵坐标是n，横坐标是：n，∴点A 的坐22标为（n，n），∵点C的坐标为（m，n），∴点B的横坐标是m，纵坐标是：m，∴点B2nm?2222mmn??mn，∴m2n2?4，又∵m＜0，n＞0，∴的坐标为（m，m），又∵n，∴- 7 -mn??2，∴n??2m，故选B．考点：反比例函数图象上点的坐标特征．y?14．（2021株洲）从2，3，4，5中任意选两个数，记作a和b，那么点（a，b）在函数图象上的概率是（）12x1111A．2 B．3 C．4 D．6【答案】D．考点：1．列表法与树状图法；2．反比例函数图象上点的坐标特征．OA3?OB4．15．（2021乌鲁木齐）如图，在直角坐标系xOy中，点A，B分别在x轴和y轴，∠y?AOB的角平分线与OA的垂直平分线交于点C，与AB交于点D，反比例函数kx的图象2过点C．当以CD为边的正方形的面积为7时，k的值是（）- 8 -A．2 B．3 C．5 D．7 【答案】D．考点：1．反比例函数综合题；2．综合题；3．压轴题． 16．（2021重庆市）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD在第一象限内，边BC与x轴y?平行，A，B两点的纵坐标分别为3，1．反比例函数ABCD的面积为（）3x的图象经过A，B两点，则菱形A．2 B．4 C．22 D．42 【答案】D．【解析】y?试题分析：过点A作x轴的垂线，与CB的延长线交于点E，∵A，B两点在反比例函数3x的图象上且纵坐标分别为3，1，∴A，B横坐标分别为1，3，∴AE=2，BE=2，∴AB=22，S菱形ABCD=底×高=22×2=42，故选D．- 9 -考点：1．菱形的性质；2．反比例函数图象上点的坐标特征；3．综合题．17．（2021临沂）在平面直角坐标系中，直线y??x?2与反比例函数1y?x的图象有2个公共点，则b的取值范围是公共点，若直线y??x?b与反比例函数（）y?1x的图象有唯一A．b＞2 B．��2＜b＜2 C．b＞2或b＜��2 D．b＜��2 【答案】C．考点：反比例函数与一次函数的交点问题． 18．（2021滨州）如图，在x轴的上方，直角∠BOA绕原点O按顺时针方向旋转，若∠BOA12y??y?x、x的图象交于B、A两点，则∠OAB的大小的变化趋势为的两边分别与函数（）- 10 -A．逐渐变小 B．逐渐变大 C．时大时小 D．保持不变【答案】D．考点：1．相似三角形的判定与性质；2．反比例函数图象上点的坐标特征；3．综合题． 19．（2021扬州）已知一个正比例函数的图象与一个反比例函数的一个交点坐标为（1，3），则另一个交点坐标是．【答案】（��1，��3）．【解析】试题分析：∵反比例函数的图象与经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称，∴另一个交点的坐标与点（1，3）关于原点对称，∴该点的坐标为（��1，��3）．故答案为：（��1，��3）．考点：反比例函数图象的对称性．20．（2021泰州）点（a��1，1）、（a+1，2）在反比例函数yyy?k?k?0?x的图象上，若y1?y2，- 11 -则a的范围是．【答案】��1＜a＜1．考点：1．反比例函数图象上点的坐标特征；2．分类讨论．y?21．（2021南宁）如图，点A在双曲线23ky?x（x?0）上，x（x?0）点B在双曲线上（点B在点A的右侧），且AB∥x轴．若四边形OABC是菱形，且∠AOC=60°，则k= ．【答案】63．【解析】y?试题分析：因为点A在双曲线2323x（x?0）上，设A点坐标为（a，a），因为四23边形OABC是菱形，且∠AOC=60°，所以OA=2a，可得B点坐标为（3a，a），可得：3a?k=23a=63，故答案为：63．考点：1．菱形的性质；2．反比例函数图象上点的坐标特征；3．综合题． 22．（2021桂林）如图，以?ABCO的顶点O为原点，边OC所在直线为x轴，建立平面直y?角坐标系，顶点A、C的坐标分别是（2，4）、（3，0），过点A的反比例函数交BC于D，连接AD，则四边形AOCD的面积是．kx的图象- 12 -【答案】9．考点：1．平行四边形的性质；2．反比例函数系数k的几何意义；3．综合题；4．压轴题． 23．（2021贵港）如图，已知点A1，A2，…，An均在直线y?x?1上，点B1，B2，…，y??Bn均在双曲线1x上，并且满足：A1B1⊥x轴，B1A2⊥y轴，A2B2⊥x轴，B2A3⊥y轴，…，AnBn⊥x轴，BnAn+1⊥y轴，…，记点An的横坐标为an（n为正整数）．若则a2021= ．a1??1，【答案】2．- 13 -考点：1．反比例函数图象上点的坐标特征；2．一次函数图象上点的坐标特征；3．规律型；4．综合题．24．（2021南京）如图，过原点O的直线与反比例函数y1，y2的图象在第一象限内分别交于点A，B，且A为OB的中点，若函数y1?1x，则y2与x的函数表达式是．【答案】【解析】y2?4x．试题分析：过A作AC⊥x轴于C，过B作BD⊥x轴于D，∵点A在反比例函数y1?1x上，11∴设A（a，a），∴OC=a，AC=a，∵AC⊥x轴，BD⊥x轴，∴AC∥BD，∴△OAC∽△ACOCOAACOCOA12?????OBD，∴BDODOB，∵A为OB的中点，∴BDODOB2，∴BD=2AC=a，- 14 -2k2y2?2a??4yx，∴k=aOD=2OC=2a，∴B（2a，a），设，∴2与x的函数表达式是：y2?44y2?x．故答案为：x．考点：1．反比例函数与一次函数的交点问题；2．综合题；3．压轴题．y?25．（2021攀枝花）如图，若双曲线kx（k?0）与边长为3的等边△AOB（O为坐标原点）的边OA、AB分别交于C、D两点，且OC=2BD，则k的值为．363【答案】25．- 15 -考点：1．反比例函数图象上点的坐标特征；2．等边三角形的性质；3．综合题．93(x＞0)y?x26．（2021荆门）如图，点A1，A2依次在的图象上，点B1，B2依次在x轴的正半轴上，若△A1OB1，△A2B1B2均为等边三角形，则点B2的坐标为．【答案】（62，0）．- 16 -考点：1．反比例函数图象上点的坐标特征；2．等边三角形的性质；3．综合题；4．压轴题． 27．（2021南平）如图，在平面直角坐标系xOy中，△OAB的顶点A在x轴正半轴上，OCy?是△OAB的中线，点B，C在反比例函数于．3x（x?0）的图象上，则△OAB的面积等9【答案】2．考点：1．反比例函数系数k的几何意义；2．综合题． 28．（2021烟台）如图，矩形OABC的顶点A、C的坐标分别是（4，0）和（0，2），反比y?例函数kx（x＞0）的图象过对角线的交点P并且与AB，BC分别交于D，E两点，连接OD，OE，DE，则△ODE的面积为．- 17 -15【答案】4．考点：1．反比例函数系数k的几何意义；2．反比例函数综合题；3．综合题． 29．（2021玉林防城港）已知：一次函数y??2x?10的图象与反比例函数y?kx（k?0）的图象相交于A，B两点（A在B的右侧）．（1）当A（4，2）时，求反比例函数的解析式及B点的坐标；（2）在（1）的条件下，反比例函数图象的另一支上是否存在一点P，使△PAB是以AB为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．（3）当A（a，��2a+10），B（b，��2b+10）时，直线OA与此反比例函数图象的另一支交BC5?BD2，求△ABC的面积．于另一点C，连接BC交y轴于点D．若y?【答案】（1）81?x，B（1，8）；（2）（��4，��2）、（��16，2）；（3）10．- 18 -【解析】y?试题分析：（1）把点A的坐标代入kx，就可求出反比例函数的解析式；解一次函数与反比例函数的解析式组成的方程组，就可得到点B的坐标；（2）①若∠BAP=90°，过点A作AH⊥OE于H，设AP与x轴的交点为M，如图1，对于y=��2x+10，当y=0时，��2x+10=0，解得x=5，∴点E（5，0），OE=5．∵A（4，2），∴OH=4，AH=2，∴HE=5��4=1．∵AH⊥OE，∴∠AHM=∠AHE=90°．又∵∠BAP=90°，∴∠AME+∠AEM=90°，∠AME+∠MAH=90°，∴∠MAH=∠AEM，∴△AHM∽△EHA，∴AHMH2MH??EHAH，∴12，∴MH=4，∴M（0，0），可设直线AP的解析式为y?mx，1?y?x??2??x?4811?y??y?xy?2?x，2，则有4m?2，解得m=2，∴直线AP的解析式为解方程组?得：??x??4?y??2，∴点P的坐标为（��4，��2）或?．1②若∠ABP=90°，同理可得：点P的坐标为（��16，2）．?- 19 -1综上所述：符合条件的点P的坐标为（��4，��2）、（��16，2）；?（3）过点B作BS⊥y轴于S，过点C作CT⊥y轴于T，连接OB，如图2，则有BS∥CT，CDCTBC5CTCD3????BD2．∵A（a，��2a+10）∴△CTD∽△BSD，∴BDBS．∵BD2，∴BS，B（b，��2b+10），∴C（��a，2a��考点：1．反比例函数综合题；2．待定系数法求一次函数解析式；3．反比例函数与一次函数的交点问题；4．相似三角形的判定与性质；5．压轴题．【2021年题组】1. （2021年湖南湘潭）如图，A、B两点在双曲线线段，已知S阴影=1，则S1+S2=（）y?4x上，分别经过A、B两点向轴作垂- 20 -④若OABC是菱形，则两双曲线既关于x轴对称，也关于y轴对称．其中正确的结论是（把所有正确的结论的序号都填上）．【答案】①④．考点：1.反比例函数综合题；2. 反比例函数的图象和k的几何意义；3.平行四边形、矩形的性质和菱形的性质．- 26 -9. （2021年湖北荆州）如图，已知点A是双曲线y?2x在第一象限的分支上的一个动点，连结AO并延长交另一分支于点B，以AB为边作等边△ABC，点C在第四象限．随着点A的运动，点C的位置也不断变化，但点C始终在双曲线是．y?kx（k＜0）上运动，则k的值【答案】��6．考点：1.单动点问题；2.曲线上点的坐标与方程的关系；3. 等边三角形的性质；4.相似三角形的判定和性质；5.锐角三角函数定义；6.特殊角的三角函数值．- 27 -10. （2021年江苏淮安）如图，点A（1，6）和点M（m，n）都在反比例函数y?kx（x＞0）的图象上，（1）k的值为；（2）当m=3，求直线AM的解析式；（3）当m＞1时，过点M作MP⊥x轴，垂足为P，过点A作AB⊥y轴，垂足为B，试判断直线BP与直线AM的位置关系，并说明理由．【答案】（1）6；（2）y=��2x+8；（3）直线BP与直线AM的位置关系为平行，．- 28 -考点：1.反比例函数综合题；2.待定系数法的应用；3.曲线上点的坐标与方程的关系；4.相似三角形的判定和性质；5.平行的判定．?考点归纳归纳 1：反比例函数的概念基础知识归纳：一般地，函数（k是常数，k0）叫做反比例函数。
专题、反比例函数的面积问题 (经典问题)
专题、反比例函数中的面积问题一、反比例与矩形面积的关系1、如图，若过双曲线()0≠=k xky 上一点()y x P ,作x PA ⊥于A 点， 作y PB ⊥于B 点，则矩形PABO 的面积为k xy y x PB PA S ==⋅=⋅=. 2、k 的几何意义对于下列三个图形中的情形，利用三角形面积的计算方法和图形的对称性以及上述结论， 可得出对应的面积的结论为：结论1：如图1，在直角三角形ABO 中，k S AOB 21=∆； 结论2：如图2，在矩形ABOC 中，k S OABC =矩形； 结论3：如图3，在ABM ∆中，x AM ⊥轴，k S ABM =∆；结论4：如图4，在ABC ∆中，x BC y AC //,//，则k S ABC 2=∆；结论5：如图5，ACE BPE OACB OAPB S S S S △△梯形梯形），（）（==21； 结论6：如图6，x PA ⊥轴，x CD ⊥轴，()()2211,,,y x C y x P ，则()()2222121x x y y AD CD PA S S PADC OPC -⨯+=⨯+=⨯+==高下底上底梯形△；二、中点坐标公式（1）在平面直角坐标系上，点()11,y x A 与点()22,y x B 的中点是()00,y x C ，则⎪⎩⎪⎨⎧=+=+02102122y y y x x x .图4图5图6图3图2图1考点一、已知面积，求反比例函数的解析式（或比例系数k ） 例1、(1)如图1，直线OA 与反比例函数()0≠=k xky 的图象在第一象限交于A 点，x AB ⊥轴于点B ，OAB ∆的面积为2，则=k ．（2）如图2，已知双曲线()0>=x xky 经过矩形OABC 的边BC AB ,的中点E F ,，且四边形OEBF 的面积为2，则=k ．如图，矩形ABOD 的顶点A 是函数xky =与函数()1+--=k x y 在第二象限的交点，x AB ⊥轴于y AD B ⊥,轴于D ，且矩形ABOD 的面积为3． （1）求两函数的解析式．（2）求两函数的交点C A ,的坐标．（3）若点P 是y 轴上一动点，且5=∆APC S ，求点P 的坐标．考点二、已知反比例函数解析式，求图形的面积 （1） 在反比例函数xy 4=的图象中，阴影部分的面积不等于4的是（ ）（2）如图，点B A ,是双曲线xy 3=上的点，分别经过B A ,两点向x 轴、y 轴作垂线段，若1=阴影S ，则=+21S S ．图1图2.A .B.C.D考点三、利用点的坐标及面积公式求面积例3、如图，已知()()4,2,4--B n A ，是一次函数b kx y +=的图像和反比例函数xmy =的图像的两个交点．（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）求直线AB 与x 轴的交点C 的坐标及三角形AOB 的面积．如图，直线b kx y +=与反比例函数()0<=x xky 的图象相交于点A 、点B ，与x 轴交于点C ，其中点A 的坐标为()4,2-，点B 的横坐标为4-.（1）试确定反比例函数的关系式； （2）求AOC ∆的面积.考点四、利用对称性求反比例函数有关的面积问题 例4、已知, E D C B A ,,,,是反比例函数()016>=x xy 图象上五个整数点（横、纵坐标均为整数），分别以这些点向横轴或纵轴作垂线段，由垂线段所在的正方形边长为半径作四分之一圆周的两条弧，组成如图5所示的五个橄榄形（阴影部分），则这五个橄榄形的面积总和是 （用含π的代数式表示）如图，⊙A 和⊙B 都与x 轴和y 轴相切，圆心A 和圆心B 都在反比例函数xy 2=的图象上，则图中阴影部分的面积等于 .考点五、反比例函数有关的动点问题 例5、如图，点P 为函数()016>=x xy 的图象上一点，且到两坐标轴距离相等，⊙P 半径为()0,3,2A ，()0,6B 点Q 是⊙P 上的动点，点C 是QB 的中点，则AC 的最小值是 .随堂练习1、如图1，已知21211,A A P OA P ∆∆都是等腰直角三角形，点21,P P 都在函数()04>=x xy 的图象上，斜边211,A A OA 都在x 轴上．则点2A 的坐标为 .1、如图2，已知n n n A A P A A P A A P OA P 132321211,,,,-∆∆∆∆ 都是等腰直角三角形，点n P P P P ,,,,321 都在函数()04>=x xy 的图象上，斜边n n A A A A A A OA 132211,,,,- 都在x 轴上.则点10A 的坐标为 .2、已知点()2,0A 和点()2,0-B ，点P 在函数xy 1-=的图像上，如果PAB ∆的面积为6，求P 点的坐标.图1图23、如图 所示，反比例函数xky =的图象经过点()b A ,3-，过点A 作AB 垂直x 轴于点AOB B ∆,，的面积为3.（1）求k 和b 的值；（2）若一次函数1+=ax y 的图象经过点A ，并且与x 轴相交于点M ，求OM AB :的值.4、如右图，已知点()3,1在函数()0>=x xky 的图像上，矩形ABCD 的边BC 在x 轴上，E 是对角线BD 的中点，函数()0>=x xky 的图象又经过E A ,两点，点E 的横坐标为m ，解答下列各题 （1）求k 的值；（2）求点C 的横坐标（用m 表示）; (3)当oABD 45=∠时，求m 的值.1、已知：如图，矩形ABCD 的边BC 在x 轴上，E 是对角线BD AC ,的交点，反比例函数()02>=x xy 的图象经过E A ,两点，点E 的纵坐标为m ．（1）求点A 坐标（用m 表示）（2）是否存在实数m ，使四边形ABCD 为正方形，若存在，请求出m 的值；若不存在，请说明理由2、在平面直角坐标系中，已知()()1,0,0,1B A ，矩形OMPN 的相邻两边ON OM ,分别在y x ,轴的正半轴上，O 为原点，线段AB 与矩形OMPN 的两边NP MP ,的交点分别为BOE AOF F E ∆∆~,,（顶点依次对应）.（1）求FOE ∠； （2）求证：矩形OPMN 的顶点P 必在某个反比例函数图像上，并写出该函数的解析式.1、如图，在平面直角坐标系中，直线1+-=x y 分别交x 轴、y 轴于B A ,两点，点()b a P ,是反比例函数xy 21=在第一象限内的任意一点，过点P 分别作x PM ⊥轴于点y PN M ⊥,轴于点PN PM N ,,分别交直线AB 于F E ,，有下列结论：①BE AF =；②图中的等腰直角三角形有4个；③()121-+=∆b a S OEF ；④o EOF 45=∠．其中结论正确的序号是 .2、已知反比例函数xky 2=和一次函数12-=x y ，其中一次函数的图象经过()()2,,,+++k b k a b a 两点．（1）求反比例函数的解析式；（2）求反比例函数与一次函数两个交点B A ,的坐标：（3）根据函数图象，求不等式122->x xk的解集； （4）在（2）的条件下，x 轴上是否存在点P ，使AOP ∆为等腰三角形？若存在，把符合条件的P 点坐标都求出来；若不存在，请说明理由。
专题：反比例函数中的面积问题
微专题 反比例函数中的面积问题
模型一 一点一垂线
反比例函数图象上一点与坐标轴垂线、另一坐标轴上一点(含原点)围成的三 角形面积＝ |k|.
1
S△ABC＝ 2 |k|
S△ABC＝12 |k|
1
S△AOC＝ 2 |k|
1. 如图，点A在反比例函数y＝－ 4 的图象上，AM⊥y轴于点M，点P是x轴上的一
方法一：S△EOF＝S△EOD－S△FOD. 方法二：作EM⊥x轴于点M，交OF于点B，FA⊥x轴于点A，则S△OEB＝S四边形 BMAF(划归到模型一)，则S△EOF＝S直角梯形EMAF.
类型一 两交点在反比例函数同一支上
Байду номын сангаас
方法一：当
BE CE
或
BFFA＝m时，则S四边形OFBE＝m|k|.
方法二：作EM⊥x轴于点M，
A. 1
B. m－1
C. 2
D. m
第3题图
模型四 两点两垂线
反比例函数与正比例函数的交点及由交点向坐标轴所作两条垂线围成的图形 面积＝2|k|.
SABC 2 | k |
易得四边形ANBM是平行四边形， ∴S四边形ANBM＝AM·NM＝AM·2OM＝2|k|
模型四 两点两垂线 反比例函数与正比例函数的交点及由交点向坐标轴所作两条垂线围成的图形
＝ ＝
1
2
1
OM·AM＋12 OM·BC |k|＋1 |k|＝|k|
22
S△ABM＝S△ADM＋S△MDB
＝
1 2
MD·|yB－yA|
S△ABM＝S△BMO＋S△AMO
＝
1 2
MO·|xB－xA|
3. 如图，直线y＝mx与双曲线y＝k (k≠0)交于点A，B，过点A作
2021年中考数学专题-训练：《反比例函数综合》(含答案详解)
2021年九年级中考数学一轮复习专题《反比例函数综合》1．在平面直角坐标系xOy中，直线l：y＝ax+b与双曲线y＝交于点A（1，m）和B （﹣2，﹣1）．点A关于x轴的对称点为点C．（1）①求k的值和点C的坐标；②求直线l的表达式；（2）过点B作y轴的垂线与直线AC交于点D，经过点C的直线与直线BD交于点E．若30°≤∠CED≤45°，直接写出点E的横坐标t的取值范围．2．如图，Rt△ABP的直角顶点P在第四象限，顶点A、B分别落在反比例函数y＝图象的两支上，且PB⊥x轴于点C，PA⊥y轴于点D，AB分别与x轴，y轴相交于点F 和E．已知点B的坐标为（1，3）．（1）填空：k＝；（2）证明：CD∥AB；（3）当四边形ABCD的面积和△PCD的面积相等时，求点P的坐标．3．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝+n（n＜0）与坐标轴交于A、B两点，与y ＝（x＞0）交于点E，过点E作EF⊥x轴，垂足为F，且△OAB∽△FEB，相似比为．（1）若，求m的值；（2）连接OE，试探究m与n的数量关系，并直接写出直线OE的解析式．4．如图，反比例函数y＝（k＞0）的图象与正比例函数y＝x的图象交于A、B两点（点A在第一象限）．（1）当点A的横坐标为2时，求k的值；（2）若k＝12，点C为y轴正半轴上一点，∠ACB＝90°，①求△ACB的面积；②以A、B、C、D为顶点作平行四边形，直接写出第四个顶点D的坐标．5．如图，在平面直角坐标系xOy中，线段AB两个端点的坐标分别为A（1，2），B（4，2），以点O为位似中心，相似比为2，在第一象限内将线段AB放大得到线段CD．已知点B在反比例函数y＝（x＞0）的图象上．（1）求反比例函数的解析式，并画出图象；（2）判断点C是否在此函数图象上；（3）点M为直线CD上一动点，过M作x轴的垂线，与反比例函数的图象交于点N．若MN≥AB，直接写出点M横坐标m的取值范围．6．如图，一次函数y＝kx+1的图象与反比例函数的图象交于点A（2，a），点B为x轴正半轴上一点，过B作x轴的垂线交反比例函数的图象于点C，交一次函数的图象于点D．（1）求a的值及一次函数y＝kx+1的表达式；（2）若BD＝10，求△ACD的面积．7．如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的顶点O与坐标原点重合，点C的坐标为（0，3），点A在x轴的正半轴上，直线y＝x﹣1．交边AB、OA于点D、M，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点D，与BC的交点为N．（1）求BN的长．（2）点P是直线DM上的动点（点P不与点D、点M重合），连接PB、PC、MN，当△BCP的面积等于四边形ABNM的面积时，求点P的坐标．（3）在（2）的条件下，连接CP，以CP为边作矩形CPEF，使矩形的对角线的交点G 落在直线DM上，请直接写出点G的坐标．8．如图，在平面直角坐标系中，OA⊥OB，AB⊥x轴于点C，点A（，1）在反比例函数y＝的图象上．（1）求反比例函数y＝的表达式；（2）求△AOB的面积；（3）在坐标轴上是否存在一点P，使得以O、B、P三点为顶点的三角形是等腰三角形若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，简述你的理由．9．在平面直角坐标系xOy中，已知一次函数y＝ax+b（a≠0）与反比例函数的图象交于点A（1，m）和B（﹣2，﹣1）．点A关于x轴的对称点为点C．（1）求这两个函数的表达式．（2）直接写出关于x的不等式的解．（3）过点B作y轴的垂线与直线AC交于点D，经过点C的直线与直线BD交于点E，且30°≤∠CED≤60°，直接写出点E的横坐标t的取值范围．10．已知，如图，在平面直角坐标系xOy中，双曲线与直线y＝2x都经过点A（2，m）．（1）求k与m的值；（2）此双曲线又经过点B（n，2），点C是y轴的负半轴上的一点，且点C到x轴的距离是2，联结AB、AC、BC，①求△ABC的面积；②点E在y轴上，△ACE为等腰三角形，请直接写出点E的坐标．参考答案1．解：（1）①∵点B（﹣2，﹣1）在双曲线y＝上，∴k＝﹣2×（﹣1）＝2，∴反比例函数解析式为y＝，∵点A（1，m）在双曲线y＝上，∴m＝2，∴A（1，2），∵点A关于x轴的对称点为点C，∴C（1，﹣2）；②∵直线l：y＝ax+b经过点A（1，2）和B（﹣2，﹣1），∴，∴，Array∴直线l的解析式为y＝x+1；（2）如图，∵点A关于x轴的对称点为点C，∴AC∥y轴，∵BD⊥y轴，∴∠BDC＝90°，D（1，﹣1），∵C（1，﹣2），∴CD＝1，①当点E在点D左侧时，当∠CED＝45°时，DE＝CD＝1，∴t＝0，当∠CE'D＝30°时，DE'＝CD＝，∴t＝1﹣，∵30°≤∠CED≤45°，∴1﹣≤t≤0；②当点E在点D右侧时，同①的方法得，2≤t≤1+，即：1﹣≤t≤0或2≤t≤1+．2．（1）解：∵B点（1，3）在反比例函数y＝的图象，∴k＝1×3＝3．故答案为：3．（2）证明：∵反比例函数解析式为，∴设A点坐标为（a，）．∵PB⊥x轴于点C，PA⊥y轴于点D，∴D点坐标为（0，），P点坐标为（1，），C点坐标为（1，0），∴PB＝3﹣，PC＝﹣，PA＝1﹣a，PD＝1，∴，，∴．又∵∠P＝∠P，∴△PDC∽△PAB，∴∠CDP＝∠A，∴CD∥AB．（3）解：∵四边形ABCD 的面积和△PCD 的面积相等，∴S△PAB ＝2S △PCD ，∴×（3﹣）×（1﹣a ）＝2××1×（﹣），整理得：（a ﹣1）2＝2，解得：a 1＝1﹣，a 2＝1+（舍去），∴P 点坐标为（1，﹣3﹣3）．3．解：（1）当时，直线方程是y ＝﹣，当x ＝0时，y ＝﹣，即A （0，﹣），则OA ＝．当y ＝0时，x ＝1，即B （1，0），则OB ＝1．∵△OAB ∽△FEB ，相似比为，∴EF ＝2OA ＝1，BF ＝2OB ＝2，OF ＝OB +BF ＝1+2＝3，∴点E 的坐标为（3，1）．∵点E 在反比例函数y ＝（x ＞0）的图象上，∴m ＝3×1＝3；（2）∵直线y ＝+n （n ＜0）与坐标轴交于A 、B 两点，∴当x ＝0时，y ＝n ，即A （0，n ），则OA ＝﹣n ．当y ＝0时，x ＝﹣2n ，即B （﹣2n ，0），则OB ＝﹣2n ．∵△OAB ∽△FEB ，相似比为，∴EF ＝2OA ＝﹣2n ，BF ＝2OB ＝﹣4n ，OF ＝OB +BF ＝﹣6n ，∴点E 的坐标为（﹣6n ，﹣2n ）．∵点E 在反比例函数y ＝（x ＞0）的图象上，∴m ＝（﹣6n ）•（﹣2n ）＝12n 2；由点E 的坐标为（﹣6n ，﹣2n ）得到直线OE 的解析式为：y ＝x ．4．解：（1）当x ＝2时，y ＝×2＝，∴点A 坐标为（2，），∵点A 在反比例函数y ＝（k ＞0）的图象上，∴k ＝2×＝3，（2）①∵k ＝12，∴反比例函数解析式为y ＝， 联立方程组可得：，解得：或，∴点A（4，3），点B（﹣4，﹣3），∴AO＝BO＝5，又∵∠ACB＝90°，∴CO＝AO＝BO＝5，∴点C（0，5），∴△ACB的面积＝×5×4+×5×4＝20；②设点D坐标为（x，y），若AB为对角线，则四边形ACBD是平行四边形，∴AB与CD互相平分，∴，，∴x＝0，y＝﹣5，∴点D（0，﹣5）；若AC为对角线，则四边形ABCD是平行四边形，∴AC与BD互相平分，∴，，∴x＝8，y＝11，∴点D（8，11）；若BC为对角线，则四边形ACDB是平行四边形，∴BC与AD互相平分，∴，＝，∴x＝﹣8，y＝﹣1，∴点D（﹣8，﹣1），综上所述：点D坐标为（0，﹣5）或（8，11）或（﹣8，﹣1）．5．解：（1）将点B（4，2）代入反比例函数y＝中，得，∴k＝8，Array∴反比例函数的解析式为y＝，图象如图1所示，（2）∵以点O为位似中心，相似比为2，在第一象限内将线段AB放大得到线段CD，且A（1，2），∴C（1×2，2×2），即C（2，4），由（1）知，反比例函数解析式为y＝，当x＝2时，y＝＝4，∴点C在反比例函数图象上；（3）∵以点O为位似中心，相似比为2，在第一象限内将线段AB放大得到线段CD，且B（4，2），∴D（4×2，2×2），即D （8，4），由（2）知，C （2，4），∴直线CD 的解析式为y ＝4，∵点M 的横坐标为m ，则M （m ，4），N （m ，），∴MN ＝|4﹣|，∵A （1，2），B （4，2），∴AB ＝3，∵MN ≥AB ，∴|4﹣|≥3，∴m ≥8或m ≤，即0＜m ≤或m ≥8．6．解：（1）把点A （2，a ）代入反比例函数得，a ＝＝4， ∴点A （2，4），代入y ＝kx +1得，4＝2k +1，解得k ＝∴一次函数的表达式为； （2）∵BD ＝10，∴D 的纵坐标为10， 把y ＝10代入得，x ＝6，∴OB ＝6，当x ＝6代入y ＝得，y ＝，即BC ＝，∴CD ＝BD ﹣BC ＝10﹣＝，∴S △ACD ＝×（6﹣2）＝．7．解：（1）依题意，得：点A 的坐标为（3，0），点B 的坐标为（3，3）． 当x ＝3时，y ＝x ﹣1＝2，∴点D 的坐标为（3，2）．将D （3，2）代入y ＝，得：2＝，解得：m ＝6，∴反比例函数解析式为y ＝．当y ＝3时，＝3，解得：x ＝2，∴点N 的坐标为（2，3），∴BN ＝3﹣2＝1．（2）当y ＝0时，x ﹣1＝0，解得：x ＝1，∴点M 的坐标为（1，0），∴AM ＝2，∴S 梯形ABNM ＝（BD +AM ）•AB ＝．设点P 的坐标为（x ，x ﹣1）（x ≠1，x ≠3），∴S △BCP ＝BC •|3﹣y P |＝|4﹣x |＝，解得：x 1＝1（舍去），x 2＝7，∴点P 的坐标为（7，6）．（3）过点C 作CF ⊥CP ，交DM 于点F ，如图2所示．设点F 的坐标为（n ，n ﹣1）．∵点C 的坐标为（0，3），点P 的坐标为（7，6），∴PC 2＝（0﹣7）2+（3﹣6）2＝58，CF 2＝（n ﹣0）2+（n ﹣1﹣3）2＝2n 2﹣8n +16，PF2＝（n ﹣7）2+（n ﹣1﹣6）2＝2n 2﹣28n +98．∵∠PCF ＝90°，∴PF 2＝PC 2+CF 2，即2n 2﹣28n +98＝58+2n 2﹣8n +16，解得：n ＝，∴点F 的坐标为（，）．又∵点G 为线段PF 的中点，∴点G 的坐标为（，）．8．解：（1）将A （，1）代入y ＝，得：1＝， 解得：k ＝，∴反比例函数的表达式为y ＝． （2）∵点A 的坐标为（，1），AB ⊥x 轴于点C ，∴OC ＝，AC ＝1，∴OA ＝＝2＝2AC ，∴∠AOC ＝30°．∵OA ⊥OB ，∴∠AOB ＝90°，∴∠B ＝∠AOC ＝30°，∴AB ＝2OA ＝4，∴S △AOB ＝AB •OC ＝×4×＝2． （3）在Rt △AOB 中，OA ＝2，∠AOB ＝90°，∠ABO ＝30°，∴OB ＝＝2． 分三种情况考虑：①当OP ＝OB 时，如图2所示，∵OB ＝2，∴OP ＝2，∴点P 的坐标为（﹣2，0），（2，0），（0，﹣2），（0，2）；②当BP ＝BO 时，如图3，过点B 做BD ⊥y 轴于点D ，则OD ＝BC ＝AB ﹣AC ＝3， ∵BP ＝BO ，∴OP ＝2OC ＝2或OP ＝2OD ＝6，∴点P 的坐标为（2，0），（0，﹣6）；③当PO ＝PB 时，如图4所示．若点P 在x 轴上，∵PO ＝PB ，∠BOP ＝60°，∴△BOP 为等边三角形，∴OP ＝OB ＝2，∴点P 的坐标为（2，0）；若点P 在y 轴上，设OP ＝a ，则PD ＝3﹣a ， ∵PO ＝PB ，∴PB2＝PD2+BD2，即a2＝（3﹣a）2+12，解得：a＝2，∴点P的坐标为（0，﹣2）．综上所述：在坐标轴上存在一点P，使得以O、B、P三点为顶点的三角形是等腰三角形，点P的坐标为（﹣2，0），（2，0），（0，﹣2），（0，2），（0，﹣6），（0，﹣2）．9．解：（1）∵点B（﹣2，﹣1）在反比例函数y＝的图象上，∴k＝﹣2×（﹣1）＝2，∴反比例函数的表达式为y＝；当x＝1时，m＝＝2，∴点A的坐标为（1，2）．将A（1，2），B（﹣2，﹣1）代入y＝ax+b，得：，解得：，∴一次函数的表达式为y＝x+1．（2）观察函数图象，可知：当x＜﹣2或0＜x＜1时，一次函数图象在反比例函数图象的下方，∴不等式的解为x≤﹣2或0＜x≤1．（3）∵点A的坐标为（1，2），点A，C关于x轴对称，∴点C的坐标为（1，﹣2）．∵点B的坐标为（﹣2，﹣1），BD⊥AC，∴点D的坐标为（1，﹣1），∴CD＝﹣1﹣（﹣2）＝1．在Rt△CDE中，CD＝1，∠CDE＝90°，30°≤∠CED≤60°，∴cot∠CED＝，∴≤DE≤，∴1﹣≤t≤1﹣或1+≤t≤1+．10．解：（1）∵直线y ＝2x 经过点A （2，m ），∴m ＝2×2＝4，∴点A 的坐标为（2，4）．∵双曲线经过点A （2，4）， ∴4＝，∴k ＝8．（2）①由（1）得：双曲线的表达式为y ＝．∵双曲线y ＝经过点B （n ，2），∴2＝，∴n ＝4，∴点B 的坐标为（4，2）．∵点C 是y 轴的负半轴上的一点，且点C 到x 轴的距离是2， ∴点C 的坐标为（0，﹣2），∴AB ＝＝2，BC ＝＝4，AC ＝＝2．∵（2）2+（4）2＝（2）2，∴AB 2+BC 2＝AC 2，∴∠ABC ＝90°，∴S △ABC ＝AB •BC ＝×2×4＝8．②设点E 的坐标为（0，a ），∴AE 2＝（0﹣2）2+（a ﹣4）2＝a 2﹣8a +20，CE 2＝[a ﹣（﹣2）]2＝a 2+4a +4，AC 2＝40．分三种情况考虑，如图2所示．（i ）当AE ＝AC 时，a 2﹣8a +20＝40，解得：a 1＝﹣2（舍去），a 2＝10，∴点E 1的坐标为（0，10）；（ii ）当CE ＝AC 时，a 2+4a +4＝40，解得：a 3＝﹣2+2，a 4＝﹣2﹣2，∴点E 2的坐标为（0，﹣2+2），点E 3的坐标为（0，﹣2﹣2）； （iii ）当CE ＝AE 时，a 2+4a +4＝a 2﹣8a +20，解得：a ＝，∴点E 4的坐标为（0，）．综上所述：点E 的坐标为（0，10），（0，﹣2+2），（0，﹣2﹣2）或（0，）．。
初二函数专题9--反比例函数与三角形面积问题+答案
初二函数专题8--反比例函数与三角形面积问题【例1】 如图，正比例函数y kx =和y ax =(0a >)的图像与反比例函数ky x=(0k >)的图像分别相交于A 点和C 点.若Rt AOB ∆和Rt COD ∆的面积分别为1S 和2S ，则1S 与2S 的关系是( )A .12S S >B .1S =2SC .1S <2SD .不能确定【例2】 （2009湖北四市）如图，已知双曲线()0ky k x=>经过直角三角形OAB 斜边OB 的中点D ，与直角边AB 相交于点C ．若OBC ∆的面积为3，则k =__________．【例3】 如图，在Rt AOB ∆中，点A 是直线y x m =+与双曲线my x=在第一象限的交点，且2AOB S ∆=，则m 的值是_____.【例4】 如图，已知()()1122A x y B x y ，，，是双曲线ky x=在第一象限内的分支上的两点，连结OA OB ，．（1）试说明111ky OA y y <<+； （2）过B 作BC x ⊥轴于C ，当4m =时，求BOC ∆的面积．【补充】如图，已知反比例函数8y x=-与一次函数y kx b =+的图象交于A B ，两点，且点A 的横坐标和点B 的纵坐标都是2-． 求：（1）一次函数的解析式； （2）AOB ∆的面积．【例5】 （2009年兰州中考）如图，已知A （4-，n ），B （2，4-）是一次函数y kx b=+的图象和反比例函数my x=的图象的两个交点．（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）求直线AB 与x 轴的交点C 的坐标及AOB △的面积； （3）求方程0mkx b x+-=的解（请直接写出答案）； （4）求不等式0mkx b x+-<的解集（请直接写出答案）.x图14【例6】 如图， 已知反比例函数ky x=的图象与一次函数y ax b =+的图象交于()2M m ，和()14N --，两点．（1）求这两个函数的解析式； （2）求MON ∆的面积；（3）请判断点()41P ，是否在这个反比例函数的图象上，并说明理由．【例7】 如图，点A 、B 在反比例函数ky x=(0k >)的图象上，且点A 、B 的横坐标分别为a 和2a (0a >)AC x ⊥轴，垂足为C ，AOC ∆的面积为2．⑴求反比例函数的解析式；⑵若点(a -，1y )，(2a -，2y )也在反比例函数的图象上，试比较1y 与2y 的大小； ⑶求AOB ∆的面积．【例8】 (2008年义乌市)已知：等腰三角形OAB 在直角坐标系中的位置如图，点A 的坐标为(-3)，点B 的坐标为(6-，0)．⑴ 若三角形OAB 关于y 轴的轴对称图形是三角形OA B ''， 请直接写出A 、B 的对称点A '、B '的坐标； ⑵ 若将三角形OAB 沿x 轴向右平移a 个单位，此时点A 恰好落在反比例函数y =的图像上，求a 的值； ⑶ 若三角形OAB 绕点O 按逆时针方向旋转α度(090α<<)．当α=30o 时点B 恰好落在反比例函数ky x的图像上，求k 的值．参考答案：反比例函数与三角形面积问题【例9】 如图，正比例函数y kx =和y ax =(0a >)的图像与反比例函数ky x=(0k >)的图像分别相交于A 点和C 点.若Rt AOB ∆和Rt COD ∆的面积分别为1S 和2S ，则1S 与2S 的关系是( )A .12S S >B .1S =2SC .1S <2SD .不能确定【解析】 设A (1x ，1y )，C (2x ，2y ).则根据题意,1122x y x y k ==.∴111111222S OB AB x y k =⋅==,222111222S OD CD x y k =⋅==.又∴A 点和C 点均在第一象限,∴1x ，1y ，2x ，2y 均为正数,且0k >.1212S S k ==.故选B. 由此我们可以得到一个结论：在反比例函数ky x =(0k ≠)中，具有三角形面积的不变性， 即12AOB COD S S k ∆∆==.在此基础上可以推得：平行四边形面积的不变性，即2AHFP S k =.【例10】 （2009湖北四市）如图，已知双曲线()0ky k x=>经过直角三角形OAB 斜边OB 的中点D ，与直角边AB 相交于点C ．若OBC ∆的面积为3，则k =__________．【解析】 2【点评】我们可知此题中，OBC DBAE S S ∆=，主要通过面积之间的转化，而达到简便的运算图③【例11】 如图，在Rt AOB ∆中，点A 是直线y x m =+与双曲线my x=在第一象限的交点，且2AOB S ∆=，则m 的值是_____.【解析】 ∴直线y x m =+与双曲线my x=交于点A , 设A 点的坐标为(),A A x y . 则有,A A A Amy x m y x =+=.∴A A m x y =. 又∴点A 在第一象限, ∴,A A A A OB x x AB y y ====.∴111222AOB A A S OB AB x y m ∆===g .而已知2AOB S ∆=. ∴4m =.【例12】 如图，已知()()1122A x y B x y ，，，是双曲线ky x=在第一象限内的分支上的两点，连结OA OB ，．（1）试说明111ky OA y y <<+； （2）过B 作BC x ⊥轴于C ，当4m =时，求BOC ∆的面积．【解析】 （1）过点A 作AD x ⊥轴于D ，则11OD x AD y ==，，因为点()11A x y ，在双曲线xky x=上， 故11k x y =，又在Rt OAD ∆中，AD OA AD OD <<+，所以111ky OA y y <<+；（2）BOC ∆的面积为2．【补充】如图，已知反比例函数8y x=-与一次函数y kx b =+的图象交于A B ，两点，且点A 的横坐标和点B 的纵坐标都是2-． 求：（1）一次函数的解析式； （2）AOB ∆的面积．【解析】 ∴由已知易得()()2442A B --，，，，代入y kx b =+中，求得2y x =-+； ∴当0y =时，2x =，则2y x =-+与x 轴的交点()20M ，， 即2OM =|，于是AOB AOM BOMS S S ∆∆∆=+1111242262222A B OM y OM y =⨯+⨯=⨯⨯+⨯⨯=【例13】 （2009年兰州中考）如图，已知A （4-，n ），B （2，4-）是一次函数y kx b=+的图象和反比例函数my x=的图象的两个交点．（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）求直线AB 与x 轴的交点C 的坐标及AOB △的面积； （3）求方程0mkx b x+-=的解（请直接写出答案）； （4）求不等式0mkx b x+-<的解集（请直接写出答案）.【解析】 （1）∴B （2，4-）在函数my x=的图象上∴8m =-．∴反比例函数的解析式为：8y x=-． ∴点A （4-，n ）在函数8y x=-的图象上 ∴2n =∴A （4-，2）∴y kx b =+经过A （4-，2），B （2，4-）， ∴4224k b k b -+=⎧⎨+=-⎩解之得12k b =-⎧⎨=-⎩∴一次函数的解析式为：2y x =--（2）∴C 是直线AB 与x 轴的交点 ∴当0y =时，2x =- ∴点C （2-，0） ∴2OC =∴AOB ACO BCO S S S =+△△△11222422=⨯⨯+⨯⨯6=（3）14x =-，22x = （4）40x -<<或2x >【例14】 如图， 已知反比例函数ky x=的图象与一次函数y ax b =+的图象交于()2M m ，和()14N --，两点．（1）求这两个函数的解析式； （2）求MON ∆的面积；（3）请判断点()41P ，是否在这个反比例函数的图象上，并说明理由．图14【解析】 ⑴由已知，得4441k k y x-===-，，．又∵图象过()2M m ，点，∴2m =， ∵y ax b =+图象经过M N ，两点， ∴,422⎩⎨⎧-=+-=+b a b a 解之得,22⎩⎨⎧-==b a ∴22y x =-． ⑵如图，对于22y x =-，0y =时，1x =， ∴()101A OA =，，， ∴1111121432222MON MOA NOA S S S OA MC OA ND ∆∆∆=+=⋅+⋅=⨯⨯+⨯⨯=⑶将点()41P ，的坐标代入4y x=，知两边相等， ∴P 点在反比例函数图象上．【例15】 如图，点A 、B 在反比例函数ky x=(0k >)的图象上，且点A 、B 的横坐标分别为a 和2a (0a >)AC x ⊥轴，垂足为C ，AOC ∆的面积为2．⑴求反比例函数的解析式；⑵若点(a -，1y )，(2a -，2y )也在反比例函数的图象上，试比较1y 与2y 的大小； ⑶求AOB ∆的面积．【解析】 ∴由题意设A (a ，k a )，则11222AOC k S a k a ∆=⋅⋅==，得4k =故反比例函数的解析式为4y x=∴因为反比例函数4y x=，在每一象限内，y 随x 的增大而减小，由0a >，得2a a ->-，所以12y y <∴如图，作BD x ⊥轴于D ，设AC 与OB 相交于点E ，易知AOE ECDB S s ∆=梯形，故AOB ACDB S s ∆=梯形， 易求4AC a =，2BD a =，CD a =，所以142()32AOB ACDB S S a a a∆==+⋅=梯形【例16】 (2008年义乌市)已知：等腰三角形OAB 在直角坐标系中的位置如图，点A 的坐标为(-3)，点B 的坐标为(6-，0)．⑷ 若三角形OAB 关于y 轴的轴对称图形是三角形OA B ''， 请直接写出A 、B 的对称点A '、B '的坐标；⑸ 若将三角形OAB 沿x 轴向右平移a 个单位，此时点A 恰好落在反比例函数y =的图像上，求a 的值； ⑹ 若三角形OAB 绕点O 按逆时针方向旋转α度(090α<<)．当α=30o 时点B 恰好落在反比例函数ky x=的图像上，求k 的值． 【解析】 ∴关于y 轴轴对称，则横坐标变为相反数，纵坐标不变.所以，A ，'(6,0)B .∴向右平移a 个单位，则横坐标增加a ，纵坐标不变。
26.26(6)专题：反比例函数与三角形
26.26(6)专题：反比例函数与三角形一．【知识要点】1.反比例函数与三角形二．【经典例题】1．如图，点A（m，6）、B（n，1）在反比例函数图象上，AD⊥x轴于点D，BC⊥x轴于点C，DC＝5．（1）求反比例函数的解析式．（2）点E在线段CD上，S△ABE＝10，求点E的坐标．（3）点E在线段CD上，且AEB是直角三角形，求点E的坐标．2．如图，在直角坐标系中，以坐标原点O（0，0），A（0，4），B（3，0）为顶点的Rt△AOB，其两个锐角对应的外角角平分线相交于点P，且点P恰好在反比例函数y＝的图象上，则P点的横坐标为（）A．5 B．6 C．7 D．83．如图，P1是反比例函数y＝（k＞0）在第一象限图象上的一点，点A1的坐标为（2，0）．（1）当点P1的横坐标逐渐增大时，△P1OA1的面积将如何变化？（2）若△P1OA1与△P2A1A2均为等边三角形，求此反比例函数的解析式及A2点的坐标．三．【题库】【A】1．(2021绵阳期末第17题)如图，反比例函数y＝（k＞0）在第一象限的图象过点A（1，3），点B（点B在点A的右边），连接AB，AC与BC分别平行x轴、y轴，△ABC的面积为，则点C的坐标为．【B】【C】1.（本题满分12分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+b的图象与反比例函数y＝的图象交于一、三象限内的A（2，m）、B（﹣4，﹣2）两点，与x轴交于C点．（1）求该反比例函数和一次函数的解析式；（2）P是x轴上的点，且△PAC的面积与△BOC的面积相等，求P点的坐标．2.如图，在直角坐标系中，以坐标原点O（0，0），A（0，4），B（﹣3，0）为顶点的Rt△AOB，其两个锐角对应的外角角平分线相交于点P，且点P恰好在反比例函数y＝的图象上，则k的值为（）A．-36B．-48C．-49D．-64【D】1．（本题满分12分）如图，直线y＝x+2与x轴交于点A，与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点B，BC⊥x轴于点C，且S△ABC＝9．（1）求反比例函数的表达式；（2）若点P是反比例函数图象上的一动点，且位于直线BC的右侧，过点P作y轴的平行线，交直线AB于点M，交x轴于点N．①当∠BPM＝∠CPN时，求点P的坐标；②是否存在点P，使△BPM与△BPC全等？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．2.如图，直线y＝kx+2与双曲线y＝相交于点A、B，已知点A的横坐标为1．（1）求直线y＝kx+2的解析式及点B的坐标；（2）以线段AB为斜边在直线AB的上方作等腰直角三角形ABC．求经过点C的双曲线的解析式．。
部编数学九年级下册专题04反比例函数模型(专项突破)解析版含答案
专项突破04 反比例函数模型【思维导图】◎突破一 一点一垂线例．（2020·河北·石家庄外国语学校九年级期中）反比例函数y ＝k x图象如图所示，下列说法正确的是（ ）A ．k ＞0B ．y 随x 的增大而减小C ．若矩形OABC 面积为2，则k ＝﹣2D ．若图象上点B 的坐标是（﹣2，1），则当x ＜﹣2时，y 的取值范围是y ＜1【答案】C【分析】根据反比例函数的性质对A 、B 、D 进行判断；根据反比例函数系数k 的几何意义对C 进行判断．【详解】解：A 、反比例函数图象分布在第二、四象限，则k ＜0，所以A 选项错误；B 、在每一象限，y 随x 的增大而增大，所以B 选项错误；专训1．（2021·全国·九年级专题练习）如图，函数2yx=（x＞0）和6yx=（x＞0）的图象将第一象限分成三个区域，点M是②区域内一点，MN⊥x轴于点N，则△MON的面积可能是（）A．0.5．B．1．C．2．D．3.5．专训2．（2022·湖南娄底·九年级期末）如图，点A是反比例函数y＝kx的图象上的一点，过点A作AB⊥x轴，垂足为B．点C为y轴上的一点，连接AC，BC．若△ABC的面积为4，则k的值是( )A．4B．﹣4C．8D．﹣8【点睛】本题考查了反比例函数解析式，解决此题的关键是能正确利用反比例函数图像上点的意义．专训3．（2021·全国·九年级专题练习）如图，面积为Rt△OAB的斜边OB在x轴上，∠ABO＝30°，反比例函数kyx=图象恰好经过点A，则k的值为（ ）A．﹣B．C D．◎突破二 一点两垂线例．（2021·全国·九年级专题练习）如图，点A 是反比例函数y=k x-的图象上的一点，过点A 作□ ABCD ，使点C 在x 轴上，点D 在y 轴上，若□ABCD 面积为6，则k 的值是（ ）A ．1B ．3C ．6D ．-6【答案】CABCD专训1．（2021·全国·九年级专题练习）如图，点A是反比例函数4yx=-图象上的一个动点，过点A作AB⊥x轴，AC⊥y轴，垂足分别为B，C，则矩形ABOC的面积为（）A．-4B．2C．4D．8专训2．（2021·全国·九年级专题练习）如图，A，B 两点在双曲线y＝3x上，分别经过A，B 两点向轴作垂线段，已知阴影小矩形的面积为1，则空白两小矩形面积的和S1+S2＝______．专训3．（2021·全国·九年级专题练习）如图，点A是反比例函数图象上一点，过点A作AB⊥y轴于点B，点C、D在x轴上，且BC∥AD，四边形ABCD的面积为4，则这个反比例函数的解析式为___________．【答案】y=﹣．【详解】试题分析：过A点向x轴作垂线，与坐标轴围成的四边形的面积是定值|k|，由此可得出答案．解：过A点向x轴作垂线，如图：根据反比例函数的几何意义可得：四边形ABCD的面积为4，即|k|=4，又∵函数图象在二、四象限，∴k=﹣4，即函数解析式为：y=﹣．故答案为y=﹣．考点：反比例函数系数k的几何意义．◎突破三两点一垂线例．（2021·全国·九年级专题练习）如图，A、B是反比例函数y＝2x的图象上关于原点O对称的任意两点，过点A作AC⊥x轴于点C，连接BC，则△ABC的面积为()．A．1B．2C．3D．4根据题意得：BD m=∴12ABCS AC BD=´=△故选：B．【点睛】本题考查了直角坐标系、反比例函数的知识；解题的关键是熟练掌握直角坐标系、坐标系中两点专训1．（2021·全国·九年级专题练习）如图，直y=mx与双曲线kyx=交于点A，B．过点A作AM⊥x轴，垂足为点M，连接BM．若S△ABM=1，则k的值是（ ）A．1B．m﹣1C．2D．m专训2．（2022·辽宁沈阳·九年级期末）如图，直线y mx =与双曲线n y x =交于点A ,B ．过点A 作AP x ^轴，垂足为点P ，连接BP ．若B 的坐标为()3,2，则BPO S =V _______．专训3．（2022·四川遂宁·中考真题）已知一次函数11y ax =-（a 为常数）与x 轴交于点A ，与反比例函数26y x=交于B 、C 两点，B 点的横坐标为2-．(1)求出一次函数的解析式并在图中画出它的图象；(2)求出点C 的坐标，并根据图象写出当12y y <时对应自变量x 的取值范围；(3)若点B与点D关于原点成中心对称，求出△ACD的面积．；（2）◎突破四 两点两垂线例．（2021·全国·九年级专题练习）如图，点A 是第一象限内双曲线y ＝mx（m ＞0）上一点，过点A 作AB ∥x 轴，交双曲线y ＝n x （n ＜0）于点B ，作AC ∥y 轴，交双曲线y ＝nx（n ＜0）于点C ，连接BC ．若△ABC 的面积为92，则m ，n 的值不可能是（ ）A ．m ＝19，n ＝﹣109B ．m ＝14，n ＝﹣54C ．m ＝1，n ＝﹣2D ．m ＝4，n ＝﹣2专训1．（2021·全国·九年级专题练习）点A ，B 分别是双曲线(0)ky k x=>上的点，AC y ^轴正半轴于点C ，BD y ^轴于点D ，联结AD ，BC ，若四边形ACBD 是面积为12的平行四边形，则k =________．【答案】6【分析】首先根据平行四边形的性质得出,OA OB OC OD ==，从而有412AOC ABCD S S ==△四边形，然后根据k 的几何意义求解即可．【详解】如图，∵点A，B分别是双曲线y//AC BD\．∵四边形ACBD是面积为12专训2．（2021·全国·九年级专题练习）如图，直线y＝mx与双曲线y＝kx交于点A，B，过点A，B分别作AM⊥x轴，BN⊥x轴，垂足分别为M，N，连接BM，AN．若S四边形AMBN＝1，则k的值是_______．◎突破五两点和原点例．（2021·全国·九年级专题练习）如图所示，直线y＝－43x与双曲线y＝kx交于A，B两点，点C在x轴上，连接AC，BC．当AC⊥BC，S△ABC＝15时，k的值为（）A．－10B．－9C．－6D．－4专训1．（2021·全国·九年级专题练习）如图，点A（m，1），B（2，n）在双曲线kyx=（k≠0），连接OA，OB．若S△ABO＝8，则k的值是（ ）A．﹣12B．﹣8C．﹣6D．﹣4专训2．（2022·福建三明·一模）如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD的顶点在双曲线y＝2x和y＝kx上，对角线AC，BD均过点O，AD∥y轴，若S四边形ABCD＝12，则k＝_____．专训3．（2021·浙江·温州外国语学校二模）如图，P 是反比例函数3(0)y x x=>图象上一点，过P 分别作x 轴、y 轴的垂线，垂足分别为点B ，点A ，且分别交反比例函数(0)ky x x=>图象于点C ，点D ，连结OC ，OD ，若图中阴影部分的面积为4，则k 的值为________．设3,P m m æöç÷èø，则,D m æçè∴k BD m=，3mk BE =-∴OCD DBECS S =V 12æ=´çè∴7k=．故答案为：7．【点睛】本题考查反比例函数系数k的几何意义，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于|k|．本知识点是中考的重要考点，同学们应高度关注．◎突破六两曲-平行例．（2022·湖南衡阳·八年级期中）如图，过x轴正半轴上的任意一点P，作y轴的平行线，分别与反比例函数y3=x（x＞0）和y6=x-（x＞0）的图象交于B、A两点．若点C是y轴上任意一点，则△ABC的面积为（）A．3B．6C．9D．9 2将x＝a代入反比例函数将x＝a代入反比例函数专训1．（2022·江西南昌·九年级期末）如图，两个反比例函数y 4=x 和y 2=x 在第一象限内的图象分别是C 1和C 2，设点P 在C 1上，PA ⊥x 轴于点A ，交C 2于点B ，则△POB 的面积为（ ）A ．1B ．2C ．4D ．无法计算专训2．（2021·全国·九年级专题练习）如图，直线l ⊥x 轴于点P ，且与反比例函数y 11=k x（x ＞0）及y 22=k x（x ＞0）的图象分别交于点A ，B ，连接OA ，OB ，已知△OAB 的面积为3，则k 1﹣k 2的值等于（ ）A ．1B ．3C ．6D ．8专训3．（2021·北京·首都师范大学附属育新学校九年级开学考试）如图，在AOB V 中，2AOB S =△，//AB x 轴，点A 在反比例函数1y x=的图象上．若点B 在y 反比例函数ky x=的图象上，则k 的值为（ ）A ．32-B ．32C ．3D ．－3k=-；∴3故答案选D．【点睛】本题主要考查了反比例函数的解析式求解，准确计算是解题的关键．。
初中数学中考考点综合专题(二)：反比例函数与几何图形的综合
∠A＝60°，菱形的一个顶点 C 在反比例函数 y＝ k (k≠0)的 x
图象上，则反比例函数的解析式为( B )
A．y＝－ 3 3 x
B．y＝－ 3 x
C．y＝－ 3 x
D．y＝ 3 x
8．如图，四边形 AOBC 和四边形 CDEF 都是正 方形，边 OA 在 x 轴上，边 OB 在 y 轴上，点 D 在边
由题意得 A′B′＝4，∠A′B′E＝60°. ∴∠B′DE＝30°. 在 Rt△DEB′中，B′D＝2， ∴B′E＝1.
∴DE＝ B' D2 B' E 2 22 12 3.
∴O′E＝3.
把 y＝ 3代入 y＝4x3，得 x＝4. ∴OE＝4. ∴a＝OO′＝1；
如图③，当反比例函数图象经过 A′O′的中点 F 时，过点 F 作 FH⊥x 轴于点 H.
∴AE＝6. 又∵▱ABCD 的面积是 24， ∴AD＝BC＝4.
∴D(4，2)． ∴k＝4×2＝8.
∴反比例函数的解析式为 y＝ 8 . x
(2)AB 所在直线的解析式． (2)由题意知 B 的纵坐标为－4， ∴其横坐标为－2. ∴B(－2，－4)． 设 AB 所在直线的解析式为 y＝ax＋b，
(4，12)
.
10．如图，在▱ ABCD 中，顶点 A 的坐标是(0， 2)，AD∥x 轴，BC 交 y 轴于点 E，顶点 C 的纵坐 标是－4，▱ ABCD 的面积是 24.反比例函数 y＝ k 的
x 图象经过点 B 和点 D，求：
(1)反比例函数的解析式；
解：(1)∵顶点 A 的坐标是(0，2)，顶点 C 的纵坐 标是－4，
x 得 k＝2，∴y＝ 2 .
x
(2)连接 BD，若点 P 是反比例函数图象上的一 点，且直线 OP 将△OBD 的周长分成相等的两部分， 求点 P 的坐标．
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反比例函数比例系数k与图形面积经典专题知识点回顾由于反比例函数解析式及图象的特殊性，很多中考试题都将反比例函数与面积结合起来进行考察。
这种考察方式既能考查函数、反比例函数本身的基础知识容，又能充分体现数形结合的思想方法，考查的题型广泛，考查方法灵活，可以较好地将知识与能力融合在一起。
下面就反比例函数中与面积有关的问题的四种类型归纳如下：利用反比例函数中|k|的几何意义求解与面积有关的问题设P为双曲线上任意一点，过点P作x轴、y轴的垂线PM、PN，垂足分别为M、N，则两垂线段与坐标轴所围成的的矩形PMON的面积为S=|PM|×|PN|=|y|×|x|=|xy|∴xy=k 故S=|k| 从而得结论1：过双曲线上任意一点作x轴、y轴的垂线，所得矩形的面积S为定值|k| 对于下列三个图形中的情形，利用三角形面积的计算方法和图形的对称性以及上述结论，可得出对应的面积的结论为：结论2：在直角三角形ABO中，面积S=结论3：在直角三角形ACB中，面积为S=2|k|结论4：在三角形AMB中，面积为S=|k|类型之一 k 与三角形的面积※1、如图，已知双曲线y=xk（k ＞0）经过直角三角形OAB 斜边OB 的中点D ，与直角边AB 相交于点C ．若△OBC 的面积为6，则k=______．最佳答案过D 点作DE⊥x 轴，垂足为E ，由双曲线上点的性质，得S △AOC =S △DOE = 21k, ∵DE⊥x 轴，AB⊥x 轴， ∴DE ∥ AB ，∴△OAB ∽ △OED， 又∵OB=2OD，∴S △OAB =4S △DOE =2k ，由S △OAB -S △OAC =S △OBC ，得2k -21k=6，解得：k=4． 故答案为：4．2、如图1-ZT-1，分别过反比例函数y=x2018(x ＞0)的图象上任意两点A 、B 作x 轴的垂线，垂足分别为C 、D ，连接OA 、OB ，设△AOC 和△BOD 的面积分别是S 1、S 2,，比较它们的大小，可得A.S 1＞S 2B.S 1=S 2C.S 1＜S 2D.S 1、S 2大小不确定。
3、在下列图形中，阴影部分面积最大的是（C ）4、如图1-ZT-3，在平面直角坐标系中，点A 是函数y= xk（x ＜0）图象上的点，过点A 作y 轴的垂线交y 轴于点B ，点C 在x 轴上，若△ABC 的面积为1，则k 的值为________。
5、※ 如图，在平面直角坐标系中，点A 在函数（k ＜0，x ＜0）的图象上，过点A 作AB ∥y 轴交x 轴于点B ，点C 在y 轴上，连结AC 、BC ．若△ABC 的面积是3，则k= ．6、如图1-ZT-4，△OAC 和△BAD 都是等腰直角三角形，∠ACO=∠ADB=90°，反比例函数y=xk 在第一象限的图象经过点B ，若OA 2-AB 2=8，则k 的值为_______。
类型之二 k 与平行四边形的面积7、※ 如图，在平面直角坐标系中，点A 是函数y=xk（k<0，x<0）图象上的点，过点A 与y 轴垂直的直线交y 轴于点B ，点C 、D 在x 轴上，且BC∥AD．若四边形ABCD 的面积为3，则k 值为___．优质解答∵AB⊥y 轴，∴AB∥CD， ∵BC∥AD，∴四边形ABCD 是平行四边形， ∴四边形AEOB 的面积=AB •OE ，∵S 平行四边形ABCD=AB •CD=3， ∴四边形AEOB 的面积=3， ∴|k|=3， ∵<0， ∴k=-3，故答案为：-3．8、如图，菱形OABC 的顶点的坐标为（3,4），顶点A 在x 轴的正半轴上，反比例函数y=xk(x ＞0)的图象经过顶点B ，则k 的值为（ ）。
A. 12B. 20C. 24D. 32答案：过点C 作CD⊥OA，∵C 的坐标为（3，4）， ∴CD=4，OD=3， ∵CB∥AO，∴B 的纵坐标是4， ∴OC=22ODCD =5，∴AO=OC=5，∵四边形COAB 是菱形， ∴B 的横坐标是8， ∴k=8×4=32， 故选D ．9、如图1-ZT-6，函数y=-x 与y=-x4的图象相交于A 、B 两点，分别过A 、B 两点作y 轴的垂线，垂足分别为C 、D ，则四边形ACBD 的面积为（ ）。
A. 2B. 4C. 6D. 8分析：首先根据反比例函数图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S 的关系即S=21|k|，得出S △AOC=S △O DB =2，再根据反比例函数的对称性可知：OC=OD ，AC=BD ，即可求出四边形ACBD 的面积． 解答：解：∵过函数y=-x4的图象上A ，B 两点分别作y 轴的垂线，垂足分别为点C ，D ，∴S △AOC =S △O DB =21|k|=2，又∵OC=OD，AC=BD ，∴S △AOC =S △O DA =S △OD B =S △OBC =2，∴四边形ABCD 的面积为：S △AOC +S △O DA +S △ODB +S △OB C =4×2=8． 故选D ．点评：本题主要考查了反比例函数y=xk中k 的几何意义，即过双曲线上任意一点引x 轴、y 轴垂线，所得矩形面积为|k|；图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S 的关系即S=21|k|，是经常考查的一个知识点；同时考查了反比例函数图象的对称性．10、如图1-ZT-7，点A 是反比例函数y=x2(x ＞0)的图象上任意一点，AB ∥x 轴交反比例函数y=-x3的图象于点B ，以AB 为边作□ABCD ，其中点C 、D 在x 轴上，则□ABCD 的面积未（ ）。
A. 2 B. 3 C. 4 D. 511、如图、1-ZT-8，在□ABOC 中，两条对角线交于点E ，双曲线y=xk(k ＜0)的一支经过C 、E 两点，若□ABOC 的面积为10，则k 的值是（ ）。
A. -25B. -310C. -4D.-5类型之三 k 与矩形的面积12、如图1-ZT-9，A 、B 两点在双曲线y=x4上，分别过A 、B 两点向坐标轴作垂线段，已知S 1+S 2=6，则S 阴影=（ ）。
A. 4B. 2C. 1D.无法确定13、如图1-ZT-10，反比例函数y=（x ＞0）的图象经过矩形OABC 对角线的交点M ，分别与AB 、BC 相交于点D 、E ，若四边形ODBE 的面积为9，则k 的值为（ ）。
A. 1B. 2C. 3D. 4考点：反比例函数系数k 的几何意义． 专题：数形结合． 分析： 本题可从反比例函数图象上的点E 、M 、D 入手，分别找出△OCE、△OAD、矩形OABC 的面积与|k|的关系，列出等式求出k 值． 解答： 解：由题意得：E 、M 、D 位于反比例函数图象上，则S△OCE=，S△OAD=， 过点M 作MG⊥y 轴于点G ，作MN⊥x 轴于点N ，则S□ONMG=|k|， 又∵M 为矩形ABCO 对角线的交点， ∴S 矩形ABCO=4S□ONMG=4|k|，由于函数图象在第一象限，k ＞0，则++9=4k ， 解得：k=3．故选C ．点评： 本题考查反比例函数系数k 的几何意义，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于|k|，本知识点是中考的重要考点，同学们应高度关注． 14、如图1-ZT-11，反比例函数y=（,k ＞0）的图象与矩形ABCO 的两边相交于E 、F 两点，若E 是AB 的中点，S △BEF =2，则k 的值为________。
分析：设E （a ，a k ），则B 纵坐标也为a k ，代入反比例函数的y=xk，即可求得F 的横坐标，则根据三角形的面积公式即可求得k 的值．解：设E （a ，a k ），则B 纵坐标也为ak，E 是AB 中点，所以F 点横坐标为2a ，代入解析式得到纵坐标：ak2，BF=a k -a k 2=ak 2，所以F 也为中点， S △BE F =2=4k，k=8．故答案是：8．点评：本题考查了反比例函数的性质，正确表示出BF 的长度是关键．15、如图1-ZT-12，点P 、Q 是反比例函数y= x k图象上的两点，PA ⊥y 轴于点A ，QN ⊥x 轴于点N ，PM ⊥x 轴于点M,QBy 轴于点B ，连接PB 、QM ，△ABP 的面积记为S 1，△QMN 的面积记为S 2，则S 1____________S 2(填“＞”“＜”或“=”)。
16、如图1-ZT-13，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，矩形OABC 的边OA 、OC 分别在x 轴和y 轴上，其中OA=6，OC=3，已知反比例函数y=（,k ＞0）的图象经过BC 边的中点D,交AB 于点E 。
（1）k 的值为________；（2）猜想△的面积与△的面积之间的关系，并说明理由。
答案：（1）9；（2）S△OCD=S△OBE，理由见解析． 【解析】 试题分析：（1）根据题意得出点D 的坐标，从而可得出k 的值： ∵OA=6，OC=3，点D 为BC 的中点，∴D（3，3）． ∵反比例函数（x ＞0）的图象经过点D ，∴k=3×3=9． （2）根据三角形的面积公式和点D ，E 在函数的图象上，可得出S△OCD=S△OAE，再由点D 为BC 的中点，可得出S△OCD=S△OB...类型之四 k 与多边形的面积17、如图1-ZT-14所示，过点A （2，-1）分别作y 轴、x 轴的平行线交双曲线y=xk于点B 、C ，过点C 作CE ⊥x 轴于点E ，过点B 作BD ⊥y 轴于点D ，连接ED ，若五边形ABDEC 的面积为34，则k 的值为________。
18、如图1-ZT-14，点P 是反比例函数y=xk 1（k 1＞0，x ＞0）图象上的一动点，过点P 作x 轴、y 轴的垂线，分别交x 轴、y 轴于A 、B 两点，交反比例函数y=xk2（1）图1中，四边形PEOF 的面积S 1=______（用含k 1、k 2的式子表示）； （2）图2中，设P 点坐标为（2，3），①点E 的坐标是（______，______），点F 的坐标是（______，______）（用含k 2的式子表示）；（3）②若△OEF 的面积为38，求反比例函数y ＝x k2的解析式．（1）∵P 是点P 是反比例函数y ＝xk 1（k ＞0，x ＞0）图象上一动点，∴S=k 1题型之五：k 与面积综合16、如图1，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，P 是反比例函数y=x12（x ＞0）图像上任意一点，以P 为圆心，PO 为半径的圆与坐标轴分别交于A 、B 。