一次函数与三角形面积问题PPT
一次函数与反比例函数求三角形面积
一次函数与反比例函数求三角形面积一次函数与反比例函数求三角形面积摘要：本文将介绍如何使用一次函数和反比例函数来求解三角形的面积。
这两种函数都与直线相关，而直线在几何学中起着重要的作用。
通过将三角形分割成矩形、直角三角形和平行四边形，我们可以使用一次函数来计算三角形的面积。
另外，我们还可以使用反比例函数来求解含有直角三角形斜边的三角形面积。
本文将详细介绍如何使用这两种函数来计算三角形的面积，并且提供了详细的计算步骤和示例。
第1节：一次函数与三角形面积的关系我们知道，一次函数是指变量的最高次数为1的函数。
在平面几何中，一次函数通常表示直线，直线的方程可以用一次函数的形式表示。
因此，我们可以使用一次函数来描述三角形的边界。
首先，让我们来看一个简单的例子。
假设有一个三角形ABC，其中顶点A的坐标为(x1, y1)，顶点B的坐标为(x2, y2)，而顶点C的坐标为(x3, y3)。
通过顶点A和顶点B，我们可以得到一条直线AB。
假设直线AB的方程为y = kx + b，其中k为直线的斜率，b为直线与y轴的交点。
接下来，我们可以使用直线AB的方程来计算三角形的面积。
三角形的面积可以通过底乘以高的方式计算，其中，底为两个顶点的横坐标之差，高为顶点A到直线AB的距离。
用数学公式表示，三角形ABC的面积为：S = 1/2 * (x2 - x1) * (y1 - (k * x1 + b))在这个公式中，我们已经通过直线AB的方程得到了斜率k和常数b。
通过代入底和高的数值，就可以计算出三角形的面积。
第2节：反比例函数与三角形面积的关系反比例函数是指函数的形式为y = k/x，其中k为常数。
在几何学中，我们可以使用反比例函数来描述平面上的角。
导出三角形的面积公式：假设有一个三角形ABC，其中角A的度数为x°，角的余弦值为y。
根据三角函数的定义，我们可以得到以下关系：cos(x) = y然后，我们可以通过求解cos(x) = y的方程，得到角A的度数x。
一次函数与坐标轴围成的三角形面积公式
一次函数与坐标轴围成的三角形面积公式
在微积分计算中，我们更了解到运用三角形面积公式可以解决许多分段运算的
面积问题，而一次函数与坐标轴围成的三角形面积公式便是利用这种方法的一个用例。
一次函数与坐标轴围成的三角形的面积公式为：S＝y（x2-x1）/2 。
公式中，
S表示面积，y为所求三角形的另外两个顶点与y轴之间的距离或高度，x2表示该
三角形另外两个顶点的横坐标，x1表示该三角形最低点的横坐标。
因此，我们可以利用一次函数与坐标轴围成的三角形面积公式来解决各种被一
次函数围成的三角形的面积问题。
特别是在微积分课程中，大学生们可以利用这个公式来解决许多常见的分段积分问题，事半功倍。
此外，这个公式也可以解决高校考试中经常出现的“求某一段函数的积分面积”类型的试题，从而帮助考生了解到其可视化后图像所围成的三角形的线性特性，让考生更清晰地理解它们之间的联系以达成有效的求解。
总之，通过掌握一次函数与坐标轴围成的三角形面积公式，大学生们可以更加
熟练地解决分段函数的面积问题，且可以更进一步地加深理解这些函数间的关系，从而更好地应对学业中各种考据。
一次函数中的三角形面积问题
1K 0,b 0 k 0,b 0 k 0,b 0 k 0,b 0一次函数中的三角形面积问题【学习目标】1、进一步理解一次函数和正比例函数的意义；2、会画一次函数的图象，并能结合图象进一步研究面积相关的性质；3、巩固一次函数的性质，并会应用于相关面积计算；4、通过画函数图象并借助图象研究函数的性质，体验数与形的内在联系，感受函数图象的简洁美。
【学习重点与难点】教学重点：复习巩固一次函数的图象和性质，并能简单应用于相关面积计算。
教学难点：在理解的基础上结合数学思想分析、解决面积相关问题。
【学习过程】一、知识梳理（先独立填空，再在小组内交流纠错、讲解、补充。
） （1）一次函数与正比例函数的概念一般地，形如 的函数，叫做正比例函数。
一般地，形如 的函数，叫做一次函数。
(2)一次函数的图象和性质1.形状一次函数的图象是一条 2.画法确定 个点就可以画一次函数图像。
一次函数与x 轴的交点坐标（ ,0），与y 轴的交点坐标(0, )，正比例函数的图象必经过两点分别是(0, )、(1, )。
3.性质（1）一次函数)0(≠+=k b kx y ，当k 0时，y 的值随x 值得增大而增大；当k 0时，y 的值随x 值得增大而减小。
（2）正比例函数，当k 0时，图象经过一、三象限；当k 0时，图象经过二、四象限。
（3）一次函数)0(≠+=k b kx y 的图象如下图，请你将空填写完整。
（3）一次函数与正比例函数的关系：正比例函数是特殊的一次函数，一次函数包含正比例函数。
一次函数当k 0,b 0时是正比例函数。
一次函数b kx y +=可以看作是由正比例函数kx y =平移︱b ︱个单位得到的，当b >0时，向 平移b 个单位；当b <0时，向 平移︱b ︱个单位。
二、基础自测1、下列函数中是一次函数的是（ ） A.122-=x yB.x y 1-= C.31+=x y D.1232-+=x x y2、关于函数x y 51-=，下列说法中正确的是（ ） A.函数图象经过点(1,5) B.函数图像经过一、三象限 C. y 随x 的增大而减小 D.不论x 取何值，总有0<y 3、一次函数34y x =-的图象不经过．．．（ ）。
一次函数与三角形面积
一次函数与三角形面积作者：凌营来源：《中学生数理化·八年级数学人教版》2015年第04期提到求三角形的面积，我们首先想到的会是直接使用面积公式：三角形面积=底×高÷2.但在函数问题中，经常会碰到一些底或高不容易求的三角形（这样的三角形我们不妨称之为“不规则三角形”），这时直接用面积公式并不会奏效，对此，我们要有意识地去运用一种新的求面积的方法——割补法.其实，不论是直接法（公式法）还是间接法（割补法），其中的关键都在于找出或构造出有关的三角形的底和高，一次函数与三角形的面积相结合，考查方式主要有以下两类.一、根据条件求不规则三角形的面积常用的解题方法是“割补法”，即先将所给的三角形分割成两个（或更多个）三角形，再利用公式分别求出小三角形的面积，然后加在一起；或者在所表示的三角形外面补上一个特殊的几何图形，然后用该几何图形的面积减掉其他补出的小三角形的面积.规则三角形的面积可直接运用公式求出，我们不再赘述.例1 如图1，一次函数y=的图象过点A（4，3），且与x轴交于点B.设C（3，1），求△ABC的面积.分析：该三角形是不规则三角形，其面积用公式不好直接求，所以使用间接法，可将△ABC分割成两个三角形.如过点C作y轴的平行线，构造出同底的两个三角形，然后再结合A，B，C三点的横坐标即可求出面积，解：过点C作CD//y轴，交直线AB于点D，如图2.将A（4，3）代入一次函数解析式中，可解得点评：当然，也可以过C点作x轴的平行线，将△ABC分成上下两个三角形，如图3.这种割的方法与例1中的方法本质上是相同的，就是让分割出来的三角形的底和高与坐标轴平行，另外，我们也可以将该不规则三角形通过“补”的方法放在一个规则的几何图形中，然后用大几何图形减去多出的几个小几何图形来求出面积，如图4所示，分别过点A，C作x轴的垂线，垂足分别为E，D，所以三、根据三角形的面积求坐标或解析式在这种考查方式下，将面积表示出来是解题的关键.至于是用公式法还是用割补法，可根据条件具体分析.需要注意的是，所求点的坐标或直线的解析式往往不止一个，因此要有分类讨论的意识.例2 如图5，点A（1，6），B（m，1）在一次函数y=kx+7的图象上.AD⊥x轴于点D，BC⊥x轴于点C.在x轴上是否存在一点E.使△ABE的面积为57若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由.分析：这类求点的坐标的题目，往往需要分类讨论，因为所求的点可能会不止一个.本题中，虽然点E在x轴上并且△ABE的面积一定，但是如果点E相对于其他已知点的位置不同，那么面积的表达形式就会不同，解：将A（l，6）代人y=kx+7，得k=-l.∴一次函数的解析式为y=-x+7.将B（m，1）代入y=-x+7，得m=6.故B（6，1）.设E（n.0）.一次函数的图象与x轴交于M点，则M（7，0）.（1）当点E在点D，M之间时，如图6.解得n=5，故E（5，0）.（2）当点E在点D左侧时，如图7.解得n=5，故E（5，0）.但这与题设矛盾，故点E不可能在点D的左侧.（3）当点E在点M右侧时，如图8.解得n=9，故E（9，0）.综上，点E的坐标为（5，0）或（9，0）.点评：本题中△ABE的面积的表示，还是采用了间接法，只不过不是“割补法”，而是“大减小”，即利用现有图形，求出一个大图形的面积，然后减掉其他几个小图形的面积.这种解法同学们也一定要掌握，侧3 已知直线y=x+3与x轴和y轴交于A，B两点.直线2经过原点，与线段AB交于点C，把△AOB的面积分为2：1的两部分.求直线f的解析式，解：由题意可知A（-3，0），B（O，3），故A0=B0=3.点评：当我们不能确定两个图形的面积谁大谁小时，一定要想到分类讨论.练习：1.一次函数y=x+3的图象与两坐标轴所围成的三角形的面积为（）.A.6B.3C.9D. 4.52.已知一次函数y=kx+b的图象与正比例函数的图象交于点A，并与y轴交于点B（O，-4）.点O为坐标原点.若△AOB的面积为6.则一次函数的解析式为______.3.如图11所示.一次函数的图象经过点A，且与正比例函数y=-x的图象交于点B.求一次函数图象、正比例函数图象与x轴围成的三角形的面积.4.一次函数V=kx +b的图象经过A（2，3），B（-3，一2）两点.若P是y轴上的一点，且使△ABP的面积是5.求OP的长.5.一次函数v-kx-k的图象经过点A（2，2）.设一次函数y=kx-k的图象与y轴交于点B.若点P是x轴上一点，且满足△PAB的面积是4，求P点的坐标.参考答案：1.D2.y=-x-4或（提示：以OB为底，则高为3.点A的横坐标为±3）3.1（提示：先根据正比例函数的解析式确定出点B的坐标为（-1，1），然后利用待定系数法求出一次函数的解析式）.4.1或3（提示：先求出一次函数的解析式，设该一次函数的图象与y轴的交点为C，将△ABP的面积分解为△ACP的面积与△BCP的面积之和，求出P点的坐标.注意分类讨论，还有一点需要注意，就是求出点P的坐标后，不要习惯性地以为就结束了，要写出OP的长才可以）.5.（3，0）或（-1，0）（提示：将三角形以x轴为分界线，分为两个三角形进行计算）.。
一次函数与面积的关系动点问题
一次函数与面积的关系
当函数的导数为常数时，函数的图像为
图像下面积的计算
2
直线，与x轴和y轴围成的图形面积与x轴 之间的积分成正比，即面积等于函数导
在一次函数的图像下方，面积与反比例
数在定义域上的积分。
函数成正比，可以通过用反比例函数来
计算函数面积。
3
图像上方面积的计算
在一次函数的图像上方，面积பைடு நூலகம்反比例
一次函数与面积的关系动 点问题
在本次的PPT中，我们将会一起探究一次函数与面积的关系动点问题。了解什 么是一次函数，如何求解函数的解析式以及如何计算面积的变化。让我们开 始吧！
什么是一次函数？
一次函数是指函数的最高次项为1的一类函数。它具有简单的线性关系，对于初学者来说是数学 中的基础。
1 定义和性质
将复杂图形分解成若干个简单图形，计算每个图形的面积，然后将它们相加起来。
2
特殊图形的面积计算
掌握特殊图形的计算公式，如扇形和梯形的面积计算公式。
3
应用例题
用面积的知识解决实际问题。
探究一次函数与面积的关系
了解一次函数与面积之间的关系，探究线性函数的图像和面积之间的联系，以及如何在图像上求解面积。
1
了解线性函数的基本概念和特点。
2 解析式的确定
掌握如何根据给定的条件来确定一次函数的解析式。
3 实际问题求解
学会如何用一次函数的知识解决实际问题。
面积的定义和性质
面积是二维图形所占的空间大小。它是一种抽象的概念，但是却具有广泛的应用。
面积的定义
通过正方形面积的概念引入面积的定义。
面积的性质
了解面积在几何学中的一些基本性质，比如面积叠 加和面积不变形。
《一次函数》PPT课件(第2课时)
k = -1，
｛2k + b = 0，
由题意得
k = -1，
｛b = 2.
解得
∴y=-x+2.
利用一次函数解决实际问题
例3“黄金1号”玉米种子的价格为5 元/kg，如果一次
购买2 kg 以上的种子，超过2 kg 部分的种子的价格打
8 折.
（1）填写下表：
购买量/kg 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 …
子按 4元/kg计价. 因此，写函数解析式与画函数图象时，
应对0 ≤ ≤ 2和x＞2分段讨论.
解： （2）设购买量为x千克，付款金额为y元.
当0 ≤ ≤ 2时，y=5x；
当x＞2时，y=4（x-2）+10=4x+2.
5 x(0≤x≤2）,
y
4 x 2( x 2).
分段函数
注意：1.它是一个函数；
y
注意：此题有两种情况.
2
解：设一次函数的解析式为y=kx+b(k≠0).
∵一次函数y=kx+b的图象过点（0，2），
O
∴b=2.
则
2
∵一次函数的图象与x轴的交点是( ，0)，
k
1
2
2
2
k
2, 解得k=1或-1.
∴此一次函数的解析式为y=x+2或y=-x+2.
x
y=kx+b（k≠0）.
把x=3,y=5；x=-4,y=9 分别代入上式，得
3k+b=5，
-4k+b=-9，
k=2，
解方程组得
b=-1.
这个一次函数的解析式为 y=2x-1.
《一次函数》PPT课件(第1课时)
探究新知 观察以上出现的四个函数解析式，它们是不是正比例函
数，那么它们共同的特征如何表示呢？ （1） c = 7 t - 35 （2） G = h -105 （3） y = 0.1 x + 22 （4） y = -5 x + 50
y = k(常数)x + b（常数）
探究新知
一般地，形如y=kx+b （k， b 是常数，k≠0）的函数，叫 做一次函数.
（2）由题意得：m+1=0 , 解得m= -1.
探究新知
知识点 2 利用一次函数解答实际问题
汽车油箱中原有油50升，如果汽车每行驶50千米耗油9升,
求油箱的油量y（单位：升）随行驶路程x（单位：千米）变化的
函数关系式，并写出自变量的取值范围，y 是 x 的一次函数吗？
解：油量y与行驶时间x的函数关系式为：y
50
9 50
x,
自变量x的取值范围是0≤x≤
2500 9
.
函数
y
50
9x 50
，是x的一次函数.
巩固练习
如果长方形的周长是30cm，长是xcm，宽是ycm. (1)写出y与x之间的函数解析式，它是一次函数吗？ (2)若长是宽的2倍，求长方形的面积.
解：(1)y=15-x，是一次函数. (2)由题意可得x=2（15-x）. 解得x=10，所以y=15-x=5. ∴长方形的面积为10×5=50(cm2).
课堂检测
拓广探索题
如图，△ABC是边长为x的等边三角形.
（1）求BC边上的高h与x之间的函数解析式.h是x的一次函数吗？
如果是，请指出相应的k与b的值.
A
解: (1)∵BC边上的高AD也是BC边上的中线，
初二数学《一次函数》课件
进阶习题
01
A. (4,4) 或 (-4,-4)
02
B. (4,-4) 或 (-4,4)
03
C. (-4,8) 或 (4,-8)
04
D. (-4,-8) 或 (4,8)
高阶习题
1
高阶习题1：已知一次函数 y = kx + b（k≠0） 经过点 (0,2)，且与坐标轴围成的三角形的面积为 4，求这个一次函数的解析式．
2
A. y = x + 2 或 y = -x + 2
3
B. y = x - 2 或 y = -x + 2
高阶习题
01
C. y = x + 2 或 y = -x - 2
02
D. 以上都不对
03
高阶习题2：已知一次函数 y = kx + b（k≠0）的图象经过点 P(3,4)，它与 x、 y 轴的正半轴分别相交于 A、B 两点，且 OA+OB=15，求此一次函数的解析式 ．
详细描述
斜截式为 $y = mx + b$，其中 $m$ 是斜率，$b$ 是截距。这种形式简洁 地表示了直线方程的斜率和截距，便 于理解和计算。
一次函数的点斜式
总结词
点斜式是一次函数的另一种表达方式，用于描述通过某一点的直线方程。
详细描述
点斜式为 $y - y_1 = m(x - x_1)$，其中 $(x_1, y_1)$ 是直线上的一个点，$m$ 是斜率。该形式通过一个已知点和斜率来表示直线方程，具有更强的实际应用价 值。
注重理解而非死记硬背
函数的性质和特点应通过理解来掌握，而不是简单地记忆公式。
多做练习
通过大量的练习，可以更好地掌握一次函数的运用，提高解题能力 。
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4
探究
3. 若点P的坐标为（-2，m），
且
SΔABP
=
1 2
SΔAOB
，试确定
点P的位置.
5
思路：画出草图，把要求的 图形构计算出来，把坐标转化成线
段，代入面积公式求解。
6
规则图形 （公式法） 不规 则图形 （割补法） 不含参 数问题 含参数问题（用参 数表示点坐标，转化成线段） 注意：坐标的正负、线段的
非负性。
7
求面积时，尽量使底或高 中的一者确定下来（通过 对图像的观察，确定底和 高），然后根据面积公式，
建立等式。
8
巩固练习
•如图，直线 y
3 x 1 3
与x轴、y轴分别交于A， B两点，以线段AB为边在第一象
限内作等边△ABC．
（1）求△ABC的面积；
（2）如果点P是直线 y
1
上的动点，
1
A
-4 -3 -2 -1 O 1 2 3 4 x
与 y 轴交点坐标B(0,4)
-1
-2
1
(2)SΔOAB = 2 OA· OB =4
-3
2
探究
1. 若点P是 x 轴上一个动点,
且 SBOP
1 2
SAOB
点P的位置.
y y=2x+4
,试确定 4 B 3
2
1
A
-4 -3 -2 -1 O -1
12 3 4 x
2
y
当S△ABP=S△ABC时，求点P的坐标．
C B
O
A
1 y=
2
x
9
学 习教 需师 要寄 探语 索
10
结束
11
-2
-3
3
交流展示
2 .满足
S AOP
1 2 SAOB
A
y y=2x+4 4B
3 2
1
（1）若点P是y轴上一动点，-4 -3
-2
-1 O -1
12 3 4 x
试确定点P的位置.
-2
-3
（2）若点P是直线 y 2x 4
上一动点，试确定点P的位置 .
（3）若点P是平面内任意一动点，试确 定点P的位置.
与一次函数有关的 三角形面积问题
1
复习引入
已知一次函数 y 2x 4 .
（1）求图象与 x轴交点A, 与 y轴交点B的坐标.
（2）求图象与坐标轴所围成的三角形面积.
解:（1）设 y 0,2x 4 0, x 2, y y=2x+4
4B
与 x 轴交点坐标A(-2,0)
3
2
设 x 0, y 4,