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多目标规划实例
多目标规划实例简介多目标规划是一种决策方法，它可以帮助人们在多个目标之间做出权衡和平衡。
在实际问题中，通常会有多个相互关联的目标需要同时考虑，而单目标规划无法满足这种需求。
多目标规划通过建立多个目标函数和约束条件之间的优化问题，从中寻找一个解集，该解集包含了一系列近似最优的解，这些解通常被称为 Pareto 最优解。
在本文中，我们将介绍一个实际的多目标规划问题，并使用 Markdown 文本格式展示其模型、目标函数和约束条件。
实例描述假设我们是一家电子产品制造公司，我们要生产两种类型的电子产品：手机和平板电脑。
我们有两个主要的目标：最大化销售额和最小化生产成本。
我们需要找到一个生产计划，使得销售额最大化同时生产成本最小化。
模型我们假设我们可以生产的手机数量为 x，平板电脑数量为 y。
我们使用以下模型描述我们的多目标规划问题：•目标函数 1：最大化销售额–销售额 = 销售价格 × 销售数量–销售价格：手机价格为 P1，平板电脑价格为 P2–销售数量：手机数量为 x，平板电脑数量为 y•目标函数 2：最小化生产成本–生产成本 = 生产成本1 + 生产成本2–生产成本1：生产一个手机的成本为C1–生产成本2：生产一个平板电脑的成本为 C2•约束条件–生产产能限制：手机数量加平板电脑数量不能超过产能上限 N–非负约束：手机数量和平板电脑数量不能为负数目标函数和约束条件根据上述模型，我们可以得到以下目标函数和约束条件。
目标函数 1：最大化销售额Maximize: P1 * x + P2 * y目标函数 2：最小化生产成本Minimize: C1 * x + C2 * y约束条件x + y <= Nx >= 0y >= 0结论多目标规划是一种强大的决策方法，可以帮助我们在多个目标之间做出权衡和平衡。
在本文中，我们介绍了一个实际的多目标规划问题，以及该问题的模型、目标函数和约束条件。
《多目标规划实例》课件
PART 02
多目标规划的基本概念
REPORTING
目标函数
01
目标函数是用来衡量规划方案效果的数学表达式， 通常表示为决策变量的函数。
02
在多目标规划中，目标函数可能不止一个，每个目 标函数代表一个需要优化的目标。
03
目标函数的值可以是最大化或最小化的，具体取决 于问题的要求。
约束条件
01 约束条件是限制决策变量取值范围的规则或条件 。
混合智能算法
结合人工智能、机器学习等先进技术，开发混合智能算法，提高多 目标规划的自动化和智能化水平。
扩展应用领域
多目标规划的应用领域将进一步扩大，涵盖经济、工程、环境、社 会等更多领域，为解决实际问题提供更多思路和方法。
如何更好地应用多目标规划解决实际问题
强化理论支撑
深入研究多目标规划的基本理论，提高其理论水平和科学性，为实际应用提供更有力的理论支撑。
总结词
资源分配问题是一个多目标规划的经典问题，旨在合理分配有限资源以达到多 个目标最优。
详细描述
资源分配问题通常涉及多个相互冲突的目标，如最大化效益、最小化成本、确 保资源公平分配等。通过多目标规划方法，可以找到一种权衡方案，使得各个 目标在不同程度上得到优化。
实例二：生产计划问题
总结词
生产计划问题是多目标规划在制造业中的实际应用，旨在平衡生产成本、交货期和产品质量等多个目 标。
解释
在多目标规划中，决策者需要权衡多 个目标之间的利益关系，并找到一个 平衡点，使得所有目标都能得到相对 最优的解。
多目标规划的重要性
解决现实问题
多目标规划能够解决许多现实问题， 如资源分配、项目评估等，这些问题 通常涉及到多个相互冲突的目标。
多目标规划的基本概念
REPORTING
目标函数
01
目标函数是用来衡量规划方案效果的数学表达式， 通常表示为决策变量的函数。
02
在多目标规划中，目标函数可能不止一个，每个目 标函数代表一个需要优化的目标。
03
目标函数的值可以是最大化或最小化的，具体取决 于问题的要求。
约束条件
01 约束条件是限制决策变量取值范围的规则或条件 。
混合智能算法
结合人工智能、机器学习等先进技术，开发混合智能算法，提高多 目标规划的自动化和智能化水平。
扩展应用领域
多目标规划的应用领域将进一步扩大，涵盖经济、工程、环境、社 会等更多领域，为解决实际问题提供更多思路和方法。
如何更好地应用多目标规划解决实际问题
强化理论支撑
深入研究多目标规划的基本理论，提高其理论水平和科学性，为实际应用提供更有力的理论支撑。
总结词
资源分配问题是一个多目标规划的经典问题，旨在合理分配有限资源以达到多 个目标最优。
详细描述
资源分配问题通常涉及多个相互冲突的目标，如最大化效益、最小化成本、确 保资源公平分配等。通过多目标规划方法，可以找到一种权衡方案，使得各个 目标在不同程度上得到优化。
实例二：生产计划问题
总结词
生产计划问题是多目标规划在制造业中的实际应用，旨在平衡生产成本、交货期和产品质量等多个目 标。
解释
在多目标规划中，决策者需要权衡多 个目标之间的利益关系，并找到一个 平衡点，使得所有目标都能得到相对 最优的解。
多目标规划的重要性
解决现实问题
多目标规划能够解决许多现实问题， 如资源分配、项目评估等，这些问题 通常涉及到多个相互冲突的目标。
多目标规划教材(PPT 116张)
O
f2 A5 A4 A1 A3 A2 f1 A6 A7
多目标规划的解集
绝对最优解
* * 设 x* R ，如果对于 x R 均有 F x F x ，则称 x 为多目标规划问题的绝对最
*
优解。多目标规划问题的绝对最优解的全体可以记为 Rab ，其含义为：该最优解与 任意一个可行解都是可以进行比较的。下图为当 n 1, p 2 时绝对最优解的示意图。
多目标规划问题的典型实例
再由约束条件，该厂每周的生产时间为 40h，故： x1 x2 x3 40 且需要满足能耗不得超过 20t 标准煤： 0.48x1 0.65x2 0.42 x3 20 上面是对生产过程的约束，再考虑销售过程，由于数据表中给出了三种产品每周 的最大销量，故我们必须限制生产数量小于最大销量才能使得成本最低，即满足下 述约束条件：
qA1 20x1 700; qA2 25x2 800; qA3 15x3 500
同时考虑到生产时间的非负性，总结得到该问题的数学模型为：
max min s.t.
f1 x 500 x1 400 x2 600 x3 f 2 x 0.48 x1 0.65 x2 0.42 x3 x1 x2 x3 40 0.48 x1 0.65 x2 0.42 x3 20 20 x1 700 25 x2 800 15 x3 500 x1 , x2 , x3 0
多目标规划的解集
直观理解
对单目标规划来说，给定任意两个可行解 x1 , x2 R ，通过比较它们的目标函数 值 f x1 , f x2 就可以确定哪个更优。 但对于多目标规划而言， 给定任意两个可行解
f2 A5 A4 A1 A3 A2 f1 A6 A7
多目标规划的解集
绝对最优解
* * 设 x* R ，如果对于 x R 均有 F x F x ，则称 x 为多目标规划问题的绝对最
*
优解。多目标规划问题的绝对最优解的全体可以记为 Rab ，其含义为：该最优解与 任意一个可行解都是可以进行比较的。下图为当 n 1, p 2 时绝对最优解的示意图。
多目标规划问题的典型实例
再由约束条件，该厂每周的生产时间为 40h，故： x1 x2 x3 40 且需要满足能耗不得超过 20t 标准煤： 0.48x1 0.65x2 0.42 x3 20 上面是对生产过程的约束，再考虑销售过程，由于数据表中给出了三种产品每周 的最大销量，故我们必须限制生产数量小于最大销量才能使得成本最低，即满足下 述约束条件：
qA1 20x1 700; qA2 25x2 800; qA3 15x3 500
同时考虑到生产时间的非负性，总结得到该问题的数学模型为：
max min s.t.
f1 x 500 x1 400 x2 600 x3 f 2 x 0.48 x1 0.65 x2 0.42 x3 x1 x2 x3 40 0.48 x1 0.65 x2 0.42 x3 20 20 x1 700 25 x2 800 15 x3 500 x1 , x2 , x3 0
多目标规划的解集
直观理解
对单目标规划来说，给定任意两个可行解 x1 , x2 R ，通过比较它们的目标函数 值 f x1 , f x2 就可以确定哪个更优。 但对于多目标规划而言， 给定任意两个可行解
多目标规划ppt
多目标规划问题的典型实例
例1 木梁设计问题
用直径为 1（单位长）的圆木制成截面为矩形的梁。为使重量最轻面强度最大， 问截面的宽和高应取何尺寸？ 假设矩形截面的宽和高分别为 x1 和 x2 ，那么根据几何知识可得：
2 x12 + x2 = 1
且此时木梁的截面面积为 x x 。同时根据材料力规划的解集
绝对最优解
* * 设 x* ∈ R ，如果对于 ∀x ∈ R 均有 F ( x ) ≤ F ( x ) ，则称 x 为多目标规划问题的绝对最
*
优解。多目标规划问题的绝对最优解的全体可以记为 Rab ，其含义为：该最优解与 任意一个可行解都是可以进行比较的。下图为当 n = 1, p = 2 时绝对最优解的示意图。
以显然 A2 比 A3 好。 对于方案 A1 和 A2 ，由于无法确定其优劣， 而且又没有比它们更好的其他方案，所 以它们就被称之为多目标规划问题的有效解 有效解 （或者非劣解） ，其余方案都称为劣解。所有 非劣解构成的集合称为非劣解集 非劣解集。 非劣解集
O
f2 A5 A4 A1 A3 A2 f1 A6 A7
x2 L xn ] ； F ( x ) = f1 ( x )
T
f2 ( x ) L
f p ( x ) , p ≥ 2
对向量形式的 p 个目标函数求最小，且目标函数 F ( x ) 和约束函数 gi ( x ) 、hi ( x ) 可以 是线性函数也可以是非线性函数。
令 R = {x | gi ( x ) ≤ 0, i = 1, 2,..., m} ，则称 R 为问题的可行域，V-min F ( x ) 指的是
多目标规划问题的典型实例
例2 工厂采购问题
某工厂需要采购某种生产原料，该原料市场上有 A 和 B 两种，单价分别为 2 元/kg 和 1.5 元/kg。现要求所花的总费用不超过 300 元，购得的原料总重量不少于 120kg，其中 A 原料不得少于 60kg。间如何确定最佳采购方案，花最少的钱，采 购最多数量的原料。 设 A、B 两种原料分别采购 x1 、 x2 kg，那么总的花费为： f1 ( x ) = 2 x1 + 1.5 x2 购得的原料总量为： f 2 ( x ) = x1 + x2 那么我们求解的目标即是使得花最少的钱买最多的原料，即最小化 f ( x ) 的同时
ch19-多目标规划
第19章 多目标规划19.1 算法前面介绍的最优化方法只有一个目标函数，是单目标函数最优化方法。
但是，在许多实际工程问题中，往往希望多个指标都达到最优值，所以就有多个目标函数。
这种问题称为多目标最优化问题。
多目标最优化问题的数学模型为：u l e i e i Rx x x x m m i x G m i x G x F n ≤≤+====∈,...,10)(,...,10)()(m in式中F (x ) 为目标函数向量。
由于多目标最优化问题中各目标函数之间往往是不可公度的，因此往往没有惟一解，此时引进非劣解的概念（非劣解又称为有效解或帕累托解）。
定义 若,)*(,)*(*Ω∈∆+∆Ω∈x x x x x 使得的邻域内不存在 且j x F x x F m i x F x x F j j i i 对于某些*)()*(,...,1*)()*(<∆+=≤∆+则称x* 为非劣解.多目标规划有许多解法，下面列出常用的几种。
1. 权和法该法将许多目标向量问题转化为所有目标的加权求和的标量问题，即∑⋅=Ω∈2)()(m in x F x f i i x ω 加权因子的选取方法很多，有专家打分法、α方法、容限法和加权因子分解法等。
该问题可以用标准的无约束最优化算法进行求解。
2. ε 约束法ε 约束法克服了权和法的某些凸性问题。
它对目标函数向量中的主要目标 进行最小化， 将其他目标用不等式约束的形式写出：p i m i x F sub x F i i p x ≠=≤Ω∈,...,1)(.)(m in ε3. 目标达到法目标函数系列为)},(),...,(),({)(21x F x F x F x F m = 对应地有其目标值系列*}*,...,*,{*21m F F F F =。
允许目标函数有正负偏差，偏差的大小由加权系数向量},...,,{21m W W W W =控制，于是目标达到问题可以表达为标准的最优化问题：m i F x F sub i i i x R ,...,1*)(.m in ,=≤-Ω∈∈γωγγ指定目标*}*,{21F F ，定义目标点P 。
不确定系统中的多目标规划模型及其应用
。
案例四：企业生产计划制定问题
总结词
企业生产计划制定问题是一个涉及多个产 品、多个车间和多个时间段的多目标规划 问题，目标是最小化生产成本和最大化生 产效率。
详细描述
在企业生产中，如何合理安排生产计划， 以最小化生产成本并确保生产效率是一个 关键问题。多目标规划模型被广泛应用于 企业生产计划的制定中，通过对多个目标 进行权衡和优化，为企业提供更加全面和 准确的决策支持。
02 03
多目标规划的困难
多目标规划的困难在于多个目标之间可能存在冲突，因此需要在不同 目标之间进行权衡和折中。同时，多目标规划通常需要更多的信息和 决策支持来做出决策。
多目标规划的方法
多目标规划的方法包括分层序列法、目标逼近法、交互式方法、有效 前沿法等。
不确定系统中的多目标规划模型构建
01
不确定性和多目标规划的结合：不确定性和多目标规划的结合是解决复杂系统 优化问题的有效方法。通过将不确定性和多目标规划相结合，可以更好地处理 复杂系统的优化问题，提高决策的鲁棒性和适应性。
感谢您的观看
THANKS
进一步深入研究不确定系统中 的多目标规划模型，探讨更广 泛的应用领域和实际问题。
将所建立的模型应用于其他领 域，如经济、能源、交通等， 以验证其普适性和有效性。
结合人工智能和机器学习等方 法，研究如何利用数据和算法 优化多目标规划模型，提高其 自适应性和鲁棒性。
针对复杂的多目标优化问题， 研究如何将多目标规划模型与 其他方法相结合，以获得更精 确、更有效的解决方案。
02
多目标规划在管理、工程、经济等领域有广泛的应用，但现有
研究往往忽略不确定性的影响。
不确定性对多目标规划模型的建立和应用有着重要影响，因此
案例四：企业生产计划制定问题
总结词
企业生产计划制定问题是一个涉及多个产 品、多个车间和多个时间段的多目标规划 问题，目标是最小化生产成本和最大化生 产效率。
详细描述
在企业生产中，如何合理安排生产计划， 以最小化生产成本并确保生产效率是一个 关键问题。多目标规划模型被广泛应用于 企业生产计划的制定中，通过对多个目标 进行权衡和优化，为企业提供更加全面和 准确的决策支持。
02 03
多目标规划的困难
多目标规划的困难在于多个目标之间可能存在冲突，因此需要在不同 目标之间进行权衡和折中。同时，多目标规划通常需要更多的信息和 决策支持来做出决策。
多目标规划的方法
多目标规划的方法包括分层序列法、目标逼近法、交互式方法、有效 前沿法等。
不确定系统中的多目标规划模型构建
01
不确定性和多目标规划的结合：不确定性和多目标规划的结合是解决复杂系统 优化问题的有效方法。通过将不确定性和多目标规划相结合，可以更好地处理 复杂系统的优化问题，提高决策的鲁棒性和适应性。
感谢您的观看
THANKS
进一步深入研究不确定系统中 的多目标规划模型，探讨更广 泛的应用领域和实际问题。
将所建立的模型应用于其他领 域，如经济、能源、交通等， 以验证其普适性和有效性。
结合人工智能和机器学习等方 法，研究如何利用数据和算法 优化多目标规划模型，提高其 自适应性和鲁棒性。
针对复杂的多目标优化问题， 研究如何将多目标规划模型与 其他方法相结合，以获得更精 确、更有效的解决方案。
02
多目标规划在管理、工程、经济等领域有广泛的应用，但现有
研究往往忽略不确定性的影响。
不确定性对多目标规划模型的建立和应用有着重要影响，因此
数学建模多目标规划
虑利润，还需要考虑多个方面，因此增加下列因素(目标)：
• 力求使利润指标不低于1500元 • 考虑到市场需求,甲、乙两种产品的产量比应尽量保持1:2 • 设备A为贵重设备，严格禁止超时使用 • 设备C可以适当加班，但要控制；设备B既要求充分利用，又 尽可能不加班，在重要性上，设备B是设备C的3倍 从上述问题可以看出，仅用线性规划方法是不够的，需 要借助于目标规划的方法进行建模求解
4 5 6 7 8 9
∗ ∗ ∗
多目标规划
• 对学分数和课程数加权形成一个目标，如三七开。
Min Y = λ1Z − λ2W = 0.7 Z − 0.3W
课号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 课名 微积分 线性代数 最优化方法 数据结构 应用统计 计算机模拟 计算机编程 预测理论 数学实验 学分 5 4 4 3 4 3 2 2 3
u( f (x)) = ∑λi fi (x)
i =1
m
∑λ = 1
i =1 i
m
转化单目标法
3. 极大极小点法
1≤ i ≤ m
min u ( f ( x )) = min max{ f i ( x )}
x∈ X 1≤ i ≤ m
4. 范数理想点法
dp
(
p⎤ ⎡ f ( x ), f ;ω = ⎢ ∑ ω i f i ( x ) − f i ⎥ ⎣ i =1 ⎦ m
0-1规划模型
课号 课名 微积分 线性代数 最优化方法 数据结构 应用统计 计算机模拟 计算机编程 预测理论 数学实验 先修课要求
约束条件 先修课程要求 x3=1必有x1 = x2 =1
∗ 1 ∗ 2 ∗ 3 ∗ ∗ ∗
4 5 6 7 8 9
微积分；线性代数 计算机编程 微积分；线性代数 计算机编程 应用统计 微积分；线性代数
第6章多目标规划方法精品PPT课件
如果将（6.1.1）和（6.1.2）式进一步缩
写， 即
max(m ZiF n(X ) )
（6.1.3）
(X)G
（6.1.4）
式中： ZF(X)是k维函数向量；
k是目标函数的个数；
Φ(X ) 等是m维函数向量；
G是m维常数向量；
m是约束方程的个数。
甘肃农业大学资源与环境学院
对 于 线 性 多 目 标 规 划 问 题 ， （ 6.1.3 ） 和 （6.1.4）式可以进一步用矩阵表示
尽可能的小，或即：
(x12x22)min
根据问题的要求，应满足下述约束条件：
x1 H
x1 x1
x2
x2
W
0
4
x
2
x1
0
x 1 0 , x 2 0
这是具有两个目标的非线性规划问题。
甘肃农业大学资源与环境学院
多目标规划及其非劣解
例3：【投资决策问题】某投资开发公司拥有总资金A万元， 今有n(≥2)个项目可供选择。设投资第i(i=1，2，……，n)个 项目要用资金ai万元，预计可得到收益bi万元。问应如何使 用总资金A万元，才能得到最佳的经济效益？
甘肃农业大学资源与环境学院
第1节 多目标规划及其非劣解
➢多目标规划及其非劣解 ➢多目标规划的非劣解
甘肃农业大学资源与环境学院
多目标规划及其非劣解
例1：【喜糖问题】设市场上有甲级糖及乙级糖，单价分别 为4元/斤及2元/斤。今要筹办一桩喜事。“筹备小组”计 划总花费不超过40元，糖的总斤数不少于10斤，甲级糖不 少于5斤。问如何确定最佳的采购方案。
n
f1(x1，……，xn) bixi max i1 n
f2(x1，……，xn) aixi min i1
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min f1(x1, x2 ) 2 100 x1 4 800 x2
max f2 (x1, x2 ) 3 600 x1 6 500 x2
而且满足
x1 5
x2 x1
8 x2
9
x1, x2 0
对于上述多目标规划问题，如果决策者 提出的期望目标是：（1）每个月的总投资 不超30 000元；（2）每个月的总利润达到 或超过45 000元；（3）两个目标同等重要。 那么，借助Matlab软件系统中的优化计算工
第4节 多目标规划应用实例
土地利用问题 生产计划问题 投资问题
一、土地利用问题
第5章第1节中，我们运用线性规划方 法讨论了表5.1.4所描述的农场作物种植计 划的问题。但是，由于线性规划只有单一 的目标函数，所以当时我们建立的作物种 植计划模型属于单目标规划模型，给出的 种植计划方案，要么使总产量最大，要么 使总产值最大；两个目标无法兼得。那么， 究竟怎样制定作物种植计划，才能兼顾总 产量和总产值双重目标呢？下面我们用多 目标规划的思想方法解决这个问题。
具进行求解，可以得到一个非劣解方案为
x1 5
x2 4
按照此方案进行生产，该企业每个月可以 获得利润44 000元，同时需要投资29 700元。
三、投资问题
某企业拟用1 000万元投资于A、B两个
项目的技术改造。设 x1 、x2分别表示分配给A、
B项目的投资（万元）。据估计，投资项目A、 B的年收益分别为投资的60%和70%；但投资 风险损失，与总投资和单项投资均有关系
x1＝646.313 9万元，x2 ＝304.147 7万元
此方案的投资风险损失为799.308 2万元， 每一年的总收益为600.691 8万元。
表6.4.1 线性加权目标下的非劣解方案（单位：hm2）
I等耕地 II等耕地 III等耕地
水稻
0
0
200
大豆
0
19.117 6
0
玉米
100 280.882 4
0
目标规划方法
实际上，除了线性加权求和法以外，我们
还可以用目标规划方法求解上述多目标规划问
题。
如果我们对总产量 f1(X ) 和总产值 f2 (X ) ， 分别提出一个期望目标值
13 200x11 11 400x12 10 800x13 12 000x21 10 200x22 9 000x23
11
200x31
9
600x32
8
000x33
d2
d
2
6
600
000
除了目标约束以外，该模型的约束条件， 还包括硬约束和非负约束的限制。其中，பைடு நூலகம் 约束包括耕地面积约束（6.4.3）式和最低收 获量约束（6.4.4）式；非负约束，不但包括 决策变量的非负约束（6.4.5）式，还包括正、 负偏差变量的非负约束
据市0.场001调x1查2 显0.示002，x22A项0.目001的x1投x2资前景好 于B项目，因此希望A项目的投资额不小B项 目。试问应该如何在A、B两个项目之间分配 投资，才能既使年利润最大，又使风险损失 为最小？
该问题是一个非线性多目标规划 问题，将它用数学语言描述出来，就
是：求 x1 、 x2 ，使
（6.4.1）
②追求总产值最大
maxf2 (X) = 1.20×(11 000x11 9 500x12 9 000x13 ) +1.50×(8 000x21 6 800x22 6 000x23 ) + 0.80×(14 000x31 12 000x32 10 000x33) 13 200x11 11 400x12 10 800x13 12 000x21 10 200x22 9 000x23 11 200x31 9 600x32 8 000x33
max f1(x1, x2 ) 0.60 x1 0.70 x2
min f 2 (x1, x2 ) 0.001 x12 0.002 x22 0.001 x1x2
而且满足
x1 x2 1 x1 x2
000 0
x1, x2 0
对于上述多目标规划问题，如果决 策者提出的期望目标是：（1）每一年的 总收益不小于600万元；（2）希望投资 风险损失不超过800万元；（3）两个目 标 同 等 重 要 。 那 么 ， 借 助 Matlab 软 件 中 的优化计算工具进行求解，可以得到一 个非劣解方案为
非负约束
xij 0 (i 1,2,3; j 1,2,3) （6.4.5）
对上述多目标规划问题，我们可以采
用如下方法，求其非劣解。
用线性加权方法
取 1 2 0.5 ，重新构造目标函数
max Z 0.5 f1( X ) 0.5 f2(X ) 12 100x11 10 450x12 9 900x13 10 000x21 9 000x22 7 500x23 12 600x31 10 800x32 9 000x33
f1* 6 100 000（kg）
f
* 2
6
600
000（元）
并将两个目标视为相同的优先级。
如果
d
1
、d1
分别表示对应第1个目标期
望值的正、负偏差变量， d
2
、d
2
分别表示对
应于第2个目标期望值的正、负偏差变量，而
且将每一个目标的正、负偏差变量同等看待
（即可将它们的权系数都赋为1），那么，该
取 xij为决策变量，它表示在第 j 等 级的耕地上种植第i种作物的面积。如果 追求总产量最大和总产值最大双重目标， 那么，目标函数包括：
①追求总产量最大
ma xf1( X ) = 11 000x11 9 500x12 9 000x13 + 8 000x21 6 800x22 6 000x23 +14 000x31 12 000x32 10 000x33
69.852 9
0
在此非劣解方案下，两个目标的正、负
差变量分为
d1
0，d1
0，d
2
0
，d
2
0
。
二、生产计划问题
某企业拟生产A和B两种产品，其生 产投资费用分别为2 100元/t和4 800元/t。 A、B两种产品的利润分别为3 600元/t和 6 500元/t。A、B产品每月的最大生产能力 分别为5 t和8 t；市场对这两种产品总量的 需求每月不少于9 t。试问该企业应该如何 安排生产计划，才能既能满足市场需求， 又节约投资，而且使生产利润达到最大?
该问题是一个线性多目标规划问题。如 果计划决策变量用 x1和 x2 表示，它们分别代 表A、B产品每月的生产量（单位：t）； f1(x1, x2 ) 表示生产A、B两种产品的总投资费 用（单位：元）；f2 (x1, x2 ) 表示生产A、B两种 产品获得的总利润（单位：元）。那么，该
多目标规划问题就是：求 x1和 x2 ，使
这样，就将多目标规划转化为单目标 线性规划。
用单纯形方法对该问题求解，可以得到 一个满意解（非劣解）方案，结果见表 6.4.1。
此方案是：III等耕地全部种植水稻，I 等耕地全部种植玉米，II等耕地种植大豆 19.117 6 hm2、种植玉米280.882 4 hm2。在 此方案下，线性加权目标函数的最大取值 为6 445 600。
d 1
0, d1
0,
d
2
0,
d
2
0
解上述目标规划问题，可以得到一个非劣 解方案，详见表6.4.2。
表6.4.2 目标规划的非劣解方案（单位:hm2）
水稻 大豆 玉米
I等耕地 24.338 2
0 75.661 8
II等耕地 III等耕地
211.029 4 200
19.117 6
0
目标规划问题的目标函数为
min
Z
d1
d1
d
2
d
2
对应的两个目标约束为
f1(X) d1- d1 6 100 000
（6.4.8）
f2 (X)
d
2
d
2
6
600
000
（6.4.9）
即
11 000x11 9 500x12 9 000x13 + 8 000x21 6 800x22 6 000x23 +14 000x31 12 000x32 10 000x33 d1 d1 6 100 000
（6.4.2）
根据题意，约束方程包括：
耕地面积约束
x11 x21 x31 100 x12 x22 x32 300 x13 x23 x33 200
最低收获量约束
（6.4.3）
11 000x11 9 500x12 9 000x13 190 000 8 000x21 6 800x22 6 000x23 130 000 （6.4.4） 14 000x31 12 000x32 10 000x33 350 000
max f2 (x1, x2 ) 3 600 x1 6 500 x2
而且满足
x1 5
x2 x1
8 x2
9
x1, x2 0
对于上述多目标规划问题，如果决策者 提出的期望目标是：（1）每个月的总投资 不超30 000元；（2）每个月的总利润达到 或超过45 000元；（3）两个目标同等重要。 那么，借助Matlab软件系统中的优化计算工
第4节 多目标规划应用实例
土地利用问题 生产计划问题 投资问题
一、土地利用问题
第5章第1节中，我们运用线性规划方 法讨论了表5.1.4所描述的农场作物种植计 划的问题。但是，由于线性规划只有单一 的目标函数，所以当时我们建立的作物种 植计划模型属于单目标规划模型，给出的 种植计划方案，要么使总产量最大，要么 使总产值最大；两个目标无法兼得。那么， 究竟怎样制定作物种植计划，才能兼顾总 产量和总产值双重目标呢？下面我们用多 目标规划的思想方法解决这个问题。
具进行求解，可以得到一个非劣解方案为
x1 5
x2 4
按照此方案进行生产，该企业每个月可以 获得利润44 000元，同时需要投资29 700元。
三、投资问题
某企业拟用1 000万元投资于A、B两个
项目的技术改造。设 x1 、x2分别表示分配给A、
B项目的投资（万元）。据估计，投资项目A、 B的年收益分别为投资的60%和70%；但投资 风险损失，与总投资和单项投资均有关系
x1＝646.313 9万元，x2 ＝304.147 7万元
此方案的投资风险损失为799.308 2万元， 每一年的总收益为600.691 8万元。
表6.4.1 线性加权目标下的非劣解方案（单位：hm2）
I等耕地 II等耕地 III等耕地
水稻
0
0
200
大豆
0
19.117 6
0
玉米
100 280.882 4
0
目标规划方法
实际上，除了线性加权求和法以外，我们
还可以用目标规划方法求解上述多目标规划问
题。
如果我们对总产量 f1(X ) 和总产值 f2 (X ) ， 分别提出一个期望目标值
13 200x11 11 400x12 10 800x13 12 000x21 10 200x22 9 000x23
11
200x31
9
600x32
8
000x33
d2
d
2
6
600
000
除了目标约束以外，该模型的约束条件， 还包括硬约束和非负约束的限制。其中，பைடு நூலகம் 约束包括耕地面积约束（6.4.3）式和最低收 获量约束（6.4.4）式；非负约束，不但包括 决策变量的非负约束（6.4.5）式，还包括正、 负偏差变量的非负约束
据市0.场001调x1查2 显0.示002，x22A项0.目001的x1投x2资前景好 于B项目，因此希望A项目的投资额不小B项 目。试问应该如何在A、B两个项目之间分配 投资，才能既使年利润最大，又使风险损失 为最小？
该问题是一个非线性多目标规划 问题，将它用数学语言描述出来，就
是：求 x1 、 x2 ，使
（6.4.1）
②追求总产值最大
maxf2 (X) = 1.20×(11 000x11 9 500x12 9 000x13 ) +1.50×(8 000x21 6 800x22 6 000x23 ) + 0.80×(14 000x31 12 000x32 10 000x33) 13 200x11 11 400x12 10 800x13 12 000x21 10 200x22 9 000x23 11 200x31 9 600x32 8 000x33
max f1(x1, x2 ) 0.60 x1 0.70 x2
min f 2 (x1, x2 ) 0.001 x12 0.002 x22 0.001 x1x2
而且满足
x1 x2 1 x1 x2
000 0
x1, x2 0
对于上述多目标规划问题，如果决 策者提出的期望目标是：（1）每一年的 总收益不小于600万元；（2）希望投资 风险损失不超过800万元；（3）两个目 标 同 等 重 要 。 那 么 ， 借 助 Matlab 软 件 中 的优化计算工具进行求解，可以得到一 个非劣解方案为
非负约束
xij 0 (i 1,2,3; j 1,2,3) （6.4.5）
对上述多目标规划问题，我们可以采
用如下方法，求其非劣解。
用线性加权方法
取 1 2 0.5 ，重新构造目标函数
max Z 0.5 f1( X ) 0.5 f2(X ) 12 100x11 10 450x12 9 900x13 10 000x21 9 000x22 7 500x23 12 600x31 10 800x32 9 000x33
f1* 6 100 000（kg）
f
* 2
6
600
000（元）
并将两个目标视为相同的优先级。
如果
d
1
、d1
分别表示对应第1个目标期
望值的正、负偏差变量， d
2
、d
2
分别表示对
应于第2个目标期望值的正、负偏差变量，而
且将每一个目标的正、负偏差变量同等看待
（即可将它们的权系数都赋为1），那么，该
取 xij为决策变量，它表示在第 j 等 级的耕地上种植第i种作物的面积。如果 追求总产量最大和总产值最大双重目标， 那么，目标函数包括：
①追求总产量最大
ma xf1( X ) = 11 000x11 9 500x12 9 000x13 + 8 000x21 6 800x22 6 000x23 +14 000x31 12 000x32 10 000x33
69.852 9
0
在此非劣解方案下，两个目标的正、负
差变量分为
d1
0，d1
0，d
2
0
，d
2
0
。
二、生产计划问题
某企业拟生产A和B两种产品，其生 产投资费用分别为2 100元/t和4 800元/t。 A、B两种产品的利润分别为3 600元/t和 6 500元/t。A、B产品每月的最大生产能力 分别为5 t和8 t；市场对这两种产品总量的 需求每月不少于9 t。试问该企业应该如何 安排生产计划，才能既能满足市场需求， 又节约投资，而且使生产利润达到最大?
该问题是一个线性多目标规划问题。如 果计划决策变量用 x1和 x2 表示，它们分别代 表A、B产品每月的生产量（单位：t）； f1(x1, x2 ) 表示生产A、B两种产品的总投资费 用（单位：元）；f2 (x1, x2 ) 表示生产A、B两种 产品获得的总利润（单位：元）。那么，该
多目标规划问题就是：求 x1和 x2 ，使
这样，就将多目标规划转化为单目标 线性规划。
用单纯形方法对该问题求解，可以得到 一个满意解（非劣解）方案，结果见表 6.4.1。
此方案是：III等耕地全部种植水稻，I 等耕地全部种植玉米，II等耕地种植大豆 19.117 6 hm2、种植玉米280.882 4 hm2。在 此方案下，线性加权目标函数的最大取值 为6 445 600。
d 1
0, d1
0,
d
2
0,
d
2
0
解上述目标规划问题，可以得到一个非劣 解方案，详见表6.4.2。
表6.4.2 目标规划的非劣解方案（单位:hm2）
水稻 大豆 玉米
I等耕地 24.338 2
0 75.661 8
II等耕地 III等耕地
211.029 4 200
19.117 6
0
目标规划问题的目标函数为
min
Z
d1
d1
d
2
d
2
对应的两个目标约束为
f1(X) d1- d1 6 100 000
（6.4.8）
f2 (X)
d
2
d
2
6
600
000
（6.4.9）
即
11 000x11 9 500x12 9 000x13 + 8 000x21 6 800x22 6 000x23 +14 000x31 12 000x32 10 000x33 d1 d1 6 100 000
（6.4.2）
根据题意，约束方程包括：
耕地面积约束
x11 x21 x31 100 x12 x22 x32 300 x13 x23 x33 200
最低收获量约束
（6.4.3）
11 000x11 9 500x12 9 000x13 190 000 8 000x21 6 800x22 6 000x23 130 000 （6.4.4） 14 000x31 12 000x32 10 000x33 350 000