透镜的傅里叶变换性质 PPT课件
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傅里叶光学第4章-透镜的位相调制和傅里叶变换性质课件
其中，
tl
x,
y
exp
j
k 2f
x2 y2
P
x,
y
exp
j
k 2f
x2 y2
表示透镜对入射波前的位相调制；
P x, y 表示透镜对于入射波前大小范围的限制。
2、透镜的傅里叶变换性质
✓ 回顾一下：利用透镜实现夫琅和费衍射，可以在透镜的焦平面上得到 入射场的空间频谱，即实现傅里叶变换的运算。
下面具体分析一下厚度函数(x,y)和透镜主要结构参数(构成透镜的两个球 面的曲率半径R1和R2)之间的关系。
x, y 1 x, y 2 x, y
将透镜一剖为二
x2 y2
1 R12
1
x2 y2 2R12
1
x,
y
01
R1
R12
x2 y2
01
R1
1
1
x2 y2
U f
xf , yf
Af jd
2
exp
j
k 2d
xf 2 yf 2
•T
xf d
,
yf d
对应的强度分布为
I f
xf , yf
Af d 2
2
T
xf d
,
yf d
2
2、透镜的傅里叶变换性质
总结一下：
✓ 在单色平面波照明下，无论物体位于透镜前方、后方还是紧靠透镜， 在透镜的后焦面上都可以得到物体的功率谱；对于这样的照明方式，透 镜后焦面常称为傅里叶变换平面或（空间）频谱面。
2、透镜的傅里叶变换性质
✓ 如果d=f，物体在透镜前 焦面，二次位相弯曲消失， 后焦面的光场分布是物体准 确的傅里叶变换。
✓ 如果d=0，物体在透镜前端面， 由于变换式前的二次位相因子， 使物体的频谱也产生一个位相 弯曲。
信息光学之透镜的傅里叶变换特性
r0 l
1
2
1 2
e jar02
e jar02 2
c irc
r0 l
1
2
1 4
exp[
ja(x2
y2
)]
1 4
exp[
ja(x2
y2
) ]c irc
x2 y2 l
#
§4-1 透镜的位相调制作用: 例 (续)
t(
x,
y)
1 2
1 4
exp[
ja(x2
y
2
)]
1 4
exp[
0 R1 1
1
(
x
2
y R12
2
)
R2
1
1
(
x
2
R22
y
2
)
取近轴近似, x,y足够小, (1-)1/21-/2 成立
透镜的厚度函数
(x,
y)
0
x2
2
y2
1 R1
1 R2
代入光程方程后再代入透过率方程, 得透镜的复振幅透过率函数:
tl (x, y) exp[ jkL(x, y)] exp( jk0 ) exp[ jk (n 1)(x, y)]
∴透镜的复振幅透过率:
tl
(x,
y)
Ul '(x, y) Ul (x, y)
exp[
j (x,
y)]
exp[
jk L( x,
y)]
#
§4-1 透镜的位相调制作用
光程函数
L(x,y) = n(x,y)+[0-(x,y)]=0 + (n-1)(x,y)
适合于任意形状的薄位相物体
物理光学A傅里叶光学PPT课件
,
f
第7页/共25页
上面的讨论可以说明, 理想夫琅和费衍射系 统起到空间频率分析器的作用.这就是现代光学对 夫琅和费衍射的新认识。
当单色光波入射到待分析的图象上时,通过夫 琅和费衍射,一定空间频率的信息就被一定特定方 向的平面衍射波输送出来. 这些衍射波在近场彼 此交织在一起,到了远场它们彼此分开,从而达到 分频的目的.
第1页/共25页
x
0
G
光 栅
3
1 0
-1
-3
屏
f
对于光栅我们可以用透过率函数（x） 来描述,一维透射光栅的透过率函数是一矩形 波函数.
为了讨论问题方便, 设光栅狭缝总数N无限大.
第2页/共25页
f (x)
2d
d
d d 4
0d 4
d 2
3d 4
x
2d
(x)是周期性函数
f (x) f (x md), (m ,1, 2,)
d是空间周期.将上式用 傅里叶级数展开:
f (x) 1 2 cos(2 1 x) 2 cos(2 3 x)
2
d 3
d
2 cos(2 5 x)
5
d
第3页/共25页
令
p0
1 d
,
f
(x)
1 2
2
cos(2p0 x)
2
3
cos(2 3 p0 x)
2
5
cos(2 5 p0 x)
上式表明,图中表示的矩形波可以分解为不同频 率的简谐波,这些简谐波的频率为
第12页/共25页
光栅的像是一 条条直条纹
• •
x
•
•
•
•
•
光学信息处理：2.2 透镜的傅立叶变换性质
P′
透镜将平面波变成球面 波
(x,y)
t1
L
t
Q
r1
x2 y2
t2 L′
Q′
r2
z
导出透镜O 位t相0 变换函数
a(x, y) A2 / A1 1
T~L (x, y) exp[iL (x, y)]
T (x,
y)
eiL ( x, y )
i 2 [QQ ']
e
透镜相位 变换函数
[QQ '] t1 n0t t2 t1 t2 n0 (t0 t1 t2 )
EF'(x ',
y
')
eik ( f
i
'd0 )
f'
exp[ ik 2f
'
(1
d0 )(x '2 f'
y
'2 )]
t
( x0 ,
y0 )exp[i2
( x0x 'f 'Fra biblioteky0 y
f
' ' )]dx0dy0
eik ( f
i
'd0 )
f'
exp[ ik 2f
'
(1
d0 )(x '2 f'
y
'2 )]F
f 'F d
{t (x0 ,
物在透镜后的傅里叶变 换
y0 )}
接收 屏上 振幅 分布
相干平面波照明物平面--透镜后焦面上光场 的复振幅分布正比于物函数的傅立叶变换和 一个二次相位因子的乘积
输出面上光场的复振幅分布和物函数的准确 傅里叶变换相比--产生了相位弯曲
4.2透镜的傅里叶变换特性
d0 = ∞,
1 1 1 − = di d0 f
σ=
(d 0 − d1 )d i (d 0 − d1 ) f
d0 = d0 + f
d1 = − f
(∞ + f )(− f + f ) = 0 µ=
(∞ − f ) f 2
1 1 ⇒ = di f di = f
1 1 1 ⇒ − = di ∞ f
U ( xi , yi ) = C ℑ{t ( x1 , y1 )}
透镜的傅里叶变换特性dxdy把前面各式代入且用c表示积分号前的常量将指数式中平方项展开并进行合并可得dxdydydxjkdxdydydxjk物平面的共轭面得到物的像dydx的位相因子外便是tx根据第三章对会聚光照明下的菲涅耳衍射的讨论可知观察面上得到的将是的傅里叶变换可以写作可以看到通过光源共轭点的观察面上得到的是的傅里叶变换和一个二次位相因子的乘积
(
)
(
)
(
)
U (x i , y i
)=
C
∫
∫∞ ∫ −
∞
η ∫∞ t (x 1 , y 1 ) exp jk 2 dx 1 dy 1 dxdy −
∞
1 1 1 2 1 1 1 2 2 2 2 − x1 + y1 + xi + y i + − − x + y2 η= d −d d d di d1 f 0 1 i x i x1 y i y1 − 2 − x − 2 − y d d d1 d1 i i
k 2 2 U ( x i , y i ) = C exp j µ ( x i + y i ) ℑ {t ( x1 , y1 )} 2
1 1 1 − = di d0 f
σ=
(d 0 − d1 )d i (d 0 − d1 ) f
d0 = d0 + f
d1 = − f
(∞ + f )(− f + f ) = 0 µ=
(∞ − f ) f 2
1 1 ⇒ = di f di = f
1 1 1 ⇒ − = di ∞ f
U ( xi , yi ) = C ℑ{t ( x1 , y1 )}
透镜的傅里叶变换特性dxdy把前面各式代入且用c表示积分号前的常量将指数式中平方项展开并进行合并可得dxdydydxjkdxdydydxjk物平面的共轭面得到物的像dydx的位相因子外便是tx根据第三章对会聚光照明下的菲涅耳衍射的讨论可知观察面上得到的将是的傅里叶变换可以写作可以看到通过光源共轭点的观察面上得到的是的傅里叶变换和一个二次位相因子的乘积
(
)
(
)
(
)
U (x i , y i
)=
C
∫
∫∞ ∫ −
∞
η ∫∞ t (x 1 , y 1 ) exp jk 2 dx 1 dy 1 dxdy −
∞
1 1 1 2 1 1 1 2 2 2 2 − x1 + y1 + xi + y i + − − x + y2 η= d −d d d di d1 f 0 1 i x i x1 y i y1 − 2 − x − 2 − y d d d1 d1 i i
k 2 2 U ( x i , y i ) = C exp j µ ( x i + y i ) ℑ {t ( x1 , y1 )} 2
《傅里叶光学》课件
傅里叶光学在图像处理领域的应用，如图像滤波 、增强、识别等。
光通信
利用傅里叶光学原理实现高速光信号的传输和处 理，提高通信容量和速度。
3
光学仪器设计
傅里叶光学在光学仪器设计中的应用，如干涉仪 、光谱仪等。
傅里叶光学的发展前景和挑战
发展前景
随着光子技术的不断发展，傅里叶光学在光通信、光学仪器、生物医学等领域的应用前 景广阔。
傅里叶光学在光学显微镜、光谱仪和 OCT等生物医学成像技术中被广泛应 用。
光电子器件
利用傅里叶光学原理设计的光电子器 件，如光调制器、光滤波器和光开关 等。
02
傅里叶变换
傅里叶变换的定义和性质
傅里叶变换的定义
将一个时域信号转换为频域信号的过 程，通过正弦和余弦函数的线性组合 来表示信号。
傅里叶变换的性质
傅里叶变换在信号处理中的应用
频域滤波
通过在频域对信号进行滤波，可以实现信号的降噪、增强等处理 。
信号压缩
利用傅里叶变换可以将信号从时域转换到频域，从而实现对信号的 压缩和编码。
图像处理
傅里叶变换在图像处理中也有广泛应用，如图像滤波、图像增强、 图像压缩等。
03
光学信号的傅里叶分析
光学信号的表示和测量
05
傅里叶光学的实践应用
傅里叶光学的实验技术
光学干涉实验
利用干涉现象研究光的波动性质，验证傅里叶光学的 基本原理。
光学衍射实验
通过衍射实验观察光的衍射现象，理解傅里叶光学中 的衍射理论。
光学频谱分析实验
利用傅里叶变换对光信号进行频谱分析，研究光波的 频率成分。
傅里叶光学的应用案例
1 2
图像处理
干涉和衍射在光学系统中的应用
光通信
利用傅里叶光学原理实现高速光信号的传输和处 理，提高通信容量和速度。
3
光学仪器设计
傅里叶光学在光学仪器设计中的应用，如干涉仪 、光谱仪等。
傅里叶光学的发展前景和挑战
发展前景
随着光子技术的不断发展，傅里叶光学在光通信、光学仪器、生物医学等领域的应用前 景广阔。
傅里叶光学在光学显微镜、光谱仪和 OCT等生物医学成像技术中被广泛应 用。
光电子器件
利用傅里叶光学原理设计的光电子器 件，如光调制器、光滤波器和光开关 等。
02
傅里叶变换
傅里叶变换的定义和性质
傅里叶变换的定义
将一个时域信号转换为频域信号的过 程，通过正弦和余弦函数的线性组合 来表示信号。
傅里叶变换的性质
傅里叶变换在信号处理中的应用
频域滤波
通过在频域对信号进行滤波，可以实现信号的降噪、增强等处理 。
信号压缩
利用傅里叶变换可以将信号从时域转换到频域，从而实现对信号的 压缩和编码。
图像处理
傅里叶变换在图像处理中也有广泛应用，如图像滤波、图像增强、 图像压缩等。
03
光学信号的傅里叶分析
光学信号的表示和测量
05
傅里叶光学的实践应用
傅里叶光学的实验技术
光学干涉实验
利用干涉现象研究光的波动性质，验证傅里叶光学的 基本原理。
光学衍射实验
通过衍射实验观察光的衍射现象，理解傅里叶光学中 的衍射理论。
光学频谱分析实验
利用傅里叶变换对光信号进行频谱分析，研究光波的 频率成分。
傅里叶光学的应用案例
1 2
图像处理
干涉和衍射在光学系统中的应用
4_透镜的傅里叶变换性质
透镜的傅里叶变换
• 1、透镜对入射波前的变换作用
• 2、透镜的富里叶变换分析方法
– 传统分析方法(三种情况分析) – 普遍性推导（二次菲涅尔衍射推导，有一定新意） – 物体放置在透镜距离一定距离后的详解(更加科学） – 透镜为什么具有傅里叶变换性质？
• 3、透镜的傅里叶变换性质
– 透镜为什么具有傅里叶变换特性 – 4F系统为什么可以成镜像
• 4、透镜的孔径对傅里变换的影响
• 5、共轭照明下透镜的傅里叶变换特性（新）
• 6、透镜傅里叶变换的应用
2015/4/2
第四章 透镜的傅里叶变换性质
1
一、透镜的光波变换性质
– 1.0 棱镜与透镜
2015/4/2
第四章 透镜的傅里叶变换性质
2
一、透镜的光波变换性质
– 1.1、透镜的几何光学表述
透镜成像图解
L(x,y)表示光线在入射和出射平面的光程
L(x,y)=n△(x,y)+[△0-△(x,y)]=△0+(n-1)△(x,y)
tl(x,y) exp( jkΔ0 ) exp jk(n-1)Δ(x,y)
2015/4/2
第四章 透镜的傅里叶变换性质
7
一、透镜的光波变换性质
– 1.3、透镜的厚度函数
tl (x, y) exp( jkn0 ) exp
j
k 2f
(x2
y2 )
注意：大多数情况下， kn0 绝对位相并不重要，可以忽略
2015/4/2
第四章 透镜的傅里叶变换性质
9
透镜的光波变换性质
– 1.3、透镜的相移函数：特例
当入射光波为平面波时
Ul(x, y)
• 1、透镜对入射波前的变换作用
• 2、透镜的富里叶变换分析方法
– 传统分析方法(三种情况分析) – 普遍性推导（二次菲涅尔衍射推导，有一定新意） – 物体放置在透镜距离一定距离后的详解(更加科学） – 透镜为什么具有傅里叶变换性质？
• 3、透镜的傅里叶变换性质
– 透镜为什么具有傅里叶变换特性 – 4F系统为什么可以成镜像
• 4、透镜的孔径对傅里变换的影响
• 5、共轭照明下透镜的傅里叶变换特性（新）
• 6、透镜傅里叶变换的应用
2015/4/2
第四章 透镜的傅里叶变换性质
1
一、透镜的光波变换性质
– 1.0 棱镜与透镜
2015/4/2
第四章 透镜的傅里叶变换性质
2
一、透镜的光波变换性质
– 1.1、透镜的几何光学表述
透镜成像图解
L(x,y)表示光线在入射和出射平面的光程
L(x,y)=n△(x,y)+[△0-△(x,y)]=△0+(n-1)△(x,y)
tl(x,y) exp( jkΔ0 ) exp jk(n-1)Δ(x,y)
2015/4/2
第四章 透镜的傅里叶变换性质
7
一、透镜的光波变换性质
– 1.3、透镜的厚度函数
tl (x, y) exp( jkn0 ) exp
j
k 2f
(x2
y2 )
注意：大多数情况下， kn0 绝对位相并不重要，可以忽略
2015/4/2
第四章 透镜的傅里叶变换性质
9
透镜的光波变换性质
– 1.3、透镜的相移函数：特例
当入射光波为平面波时
Ul(x, y)
大学物理 透镜的傅立叶变换性质
对应的细节-透镜的作用是什么 定性讨论
薄透镜的位相变换作用定性研究
R1
R2
薄透镜：厚度与曲率半径相比足够小
透镜作用的定性讨论
平面波同一波阵 面上不同点经过 的光程不同，位 相增量也不同， 因此经过透镜之 后，造成波阵面 弯曲，形成会聚 球面波。 凹透镜的分析类 似
A A‘
B
B’
F’
光学计算机
二维输入输出，并行处理，模拟量超高速运算， 装置简单价廉是其优点
缺点一：只能输入输出光学图像
缺点二：模拟量容易受到噪声干扰，精度问题 缺点三：只能直接进行傅立叶变换，实用范围 窄
本节结束，谢谢
d0 f 如果输入平面位于透镜的前焦面
xx0 yy0 x, y c ' t x0 , y0 exp jk dx0 dy0 f
xx0 yy0 U x, y c ' t x0 , y0 exp j 2 dx0 dy0 f
有二次相位因子
频谱可以随q变化（缩放）
物位于透镜后方
分析方法同物体位于透镜前方一致
依然是球面波传播，两次透过和两次菲涅
尔衍射的过程
分析结论：物体无论放在透镜前方还是后
方，在照明光源的共轭面上均可以获得衍
射物体的傅立叶变换，不同的是二次位相 因子的存在
重要结论
物体置于透镜的前焦面，在光源的共轭面
上可以获得衍射物体的复振幅透过率的准确 的傅立叶变换分布。 前焦面 光源的共轭面 准确的傅立叶变换
引申：光学模拟计算机
透镜能够实现傅立叶变换＝光学计算机 特点一：光学计算机无需对输入信号进行 抽样，而是对模拟信号直接处理－模拟输 入 特点二：可以直接处理二维图像（信号）， 并行输入 特点三：光学计算机按照图像－角谱－空 间谱的方式进行运行，速度为光波从输入 到输出面的传播时间，速度极快 特点四：光学计算机就是透镜，价廉，简
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透镜的复振 t(x透, y)镜的expF[.Tj.性k 质(x2 y 2 )]
幅透过率：
2f
物体放在焦距为 f 的透镜的前焦面，
用波长为 的单色平面波垂直入射
物函数t(x0,y0)的准 确的傅里叶变换
照明，在透镜后焦面上得到：
变换的空频坐标与后焦面 空间坐标 xf, yf 的关系：
fx
xf
f
,
fy
∑0
d0
f
xf-yf 强度分布:
2
S’
I
(x,
y)
T
(q
x
d0
)
,
(q
y
d0
)
例题
透镜: D = 5cm, f = 80cm, 物体：d0=20cm，
t(x,
y)
1 2
1
cos
2f0
x0
rect
x0 L
rect
y0 L
L=1cm, f0=100周/cm
x’-y’
x0-y0
xf-yf 强度分布:
§3.2 透镜的傅里叶变换性质 物理解释
后焦面上光场分布与频谱的对应关系
物分布t (x0,y0)是一个复杂结构, 含有 多种空频成分.它调制入射的均匀平 面波,使透射光场携带物体的信息.
透射光场的角谱代表物函数的频谱,
即含有向不同方向衍射的许多平面
波. 其中向 角方向衍射的平面波分
量经过透镜后聚焦到(0, yf)点.
(q
x
d0
)
,
(q
y
d0
)
仍为物体的F.T., 但
1.仍有二次位相因子 2. 频谱面取值fx =xf /qd0), fy = yf / qd0), 随距离d0 而变. 通过调整d0, 可改变频谱的尺度
当d0=0时，结果与物在透镜前相同，即物从两面紧贴透镜都
是等价的。
§3.2 透镜的傅里叶变换性质
∑p
∑0
d0
f
S’
2
I (x,
y)
T
(q
x
d0 )
,
(q
y
d0 )
T(
fx,
fy)
L2 2
fx, fy
1
2
fx f0, fy
1
2
fx
f0,
fy
s
incLf
x
sinc
Lf y
T(
fx,
fy
)
I0
s
incLf
x
sinc
Lfy
1 2
sincL(
fx
f0 )sinc
Lfy
exp[ jkd0
jd 0
]
exp
jk
(x
x0
)2 ( 2d 0
y
y0
)2
可写成:
dUl (x0, y0; x, y)
1
jd0
exp
jk
(x
x0
)2 (y 2d0
y0
)2
x0, y0 平面上的一 个点源，在透镜前
平面上产生的分布。
§3.4 相干照明衍射受限系统的成像分析
1、透镜的点扩散函数 dUl (x0, y0; x, y)
1 2
sincL(
f
x
f0 )sinc
Lfy
例题
透镜: D = 5cm, f = 80cm, 物体：d0=20cm，
t(x,
y)
1 2
1
cos
2f0
x0
rect
x0 L
rect
y0 L
L=1cm, f0=100周/cm
强度分布:
I
(x,
y)
T
(q
x
d0
)
,
(q
y
d0
)
2
沿fx轴:
T(
Imaging Analysis of Diffraction-limited Systems under
Coherent Illumination
目的: 从单透镜的点扩散函数入手, 研究评价 透镜成像质量的频域方法
物平面上小面元的光振动为单位脉冲即δ函数时，通过透镜产生的像场
分布函数称为点扩散函数或脉冲响应。通常用 hxo , yo ; xi , yi 表示。
§3.2 透镜的傅里叶变换性质：小结
我们特别关注物在透镜前, q=f, d0=f 的特殊情形。此时
U (x, y) c
t(x0, y0 ) exp
j
2
x
f
x0
y
f
y0 dx0dy0
c
t(x0, y0 )
f
x
x f
,
f
y
y f
用单色平面波照明物体，物体置于透镜的前焦面，则在 透镜的后焦面上得到物体的准确的傅里叶变换。透镜的后焦 面称为频谱面。
物体紧靠透镜：有效物函数为 t(x0 , y0 )Px0 , y0
物在透镜后: 透镜形成会聚球面波, 在物面上形成投影光瞳函数:
P
x0
q
q d0
,
y0
q
q d0
x’-y’
x0-y0
x-y
∑p
有效物函数为
S’
∑0
t ( x0 ,
y0 )P
x0
q
q d0
,
y0
q
q d0
d0 q
在频谱面上得到有效物函数的傅里叶变换。
解：由几何关系可知，在物面上投影光瞳大于物体尺寸，故可
不考虑透镜孔径的效应。
单位振幅的单色平面波垂直照明，q=f, 透镜后焦面上出现物体的 傅里叶变换，但有一个二次位相因子。
复振幅分布：U
(x,
y)
c'
exp
j
2(q
k
d0
)
(x2
y2
)T
(q
x
d0
)
,
(q
y
d0
)
x’-y’
x0-y0
∑p
y0
2
)]
fx
x
z
,
fy
y
z
§3.2 透镜的傅里叶变换性质
2. 物在透镜后方
对于平面波照明，得到：
U (x,
y)
cexp
jk
x2
2 f
y2 d0
T
(
fx,
fy)
fx
(
x0 , f d0)
fy
(
y0 f d0)
对于球面波照明，得到：
U
(x,
y)
c' exp
j
2(q
k
d0
)
(x2
y
2
)T
P(
x,
y)
exp
j
k 2
1 di
1 d0
1 f
(x 2
y
2
)
exp
jk
xi di
x0 d0
x
yi di
y0 d0
ydxdy
§3.4 相干照明衍射受限系统的成像分析
不管衍射物体位于何种位置，只要观察面是照明光 源的共轭面，则物面（输入面）和观察面（输出面）之 间的关系都是傅里叶变换关系，即观察面上的衍射场都 是夫琅和费型。
透镜的作用
:透镜将照明光波变换成会聚球面波, 会聚点是照明点 光源的共轭像点.从而在此会聚点处(注意:不是物本身 的像点)得到物的F.T., 但比例尺度改变.
f
k
d0
)
( x0 2
y02
)t ( x0
,
y0
)
§3.2 透镜的傅里叶变换性质
2. 物在透镜后方，平面波照明
U
' ( x0
,
y0
)
c
exp
透j 2镜(xP’f前-1ky||后’Pd20平) (面x0
2
y02
)t ( x0 ,
x0-
y0
y0
)
x-y
Ul’
t (x0,y0)
z
x, y
S’
由几何关系易见:
后焦面上(0, yf)点的复振幅,对应空频为
yf = ftan fsin (fx =0, fy = yf /f) 的平面波分量的振幅
= fcosb (近轴近似) 和位相.
方向余弦
推广之, 任意 (xf, yf)点的复振幅, 对应空频
此平面波分量的空频
为 (fx =xf /f, fy = yf /f) 的平面波分量的振
t(x,
y)
1 2
1
cos
2f0
x0
rect
x0 L
rect
y0 L
L=1cm, f0=100周/cm
将
fx
(
xf f d0)
代入,并取
=0.6mm:
I(xf
)
I
0
2
s
inc2
L
(
xf f
d0
)
1 4
s
inc2
L
xf
(
( f
f d0 d0)
)
f
0
1 4
s
inc
2
L
xf
( f d0) ( f d0)
jdi
)
dUl(x0
,
y0
;
x,
y)
exp
jk
(xi
x)2 ( 2di
yi
y)2
dxdy
幅透过率：
2f
物体放在焦距为 f 的透镜的前焦面，
用波长为 的单色平面波垂直入射
物函数t(x0,y0)的准 确的傅里叶变换
照明，在透镜后焦面上得到：
变换的空频坐标与后焦面 空间坐标 xf, yf 的关系：
fx
xf
f
,
fy
∑0
d0
f
xf-yf 强度分布:
2
S’
I
(x,
y)
T
(q
x
d0
)
,
(q
y
d0
)
例题
透镜: D = 5cm, f = 80cm, 物体：d0=20cm，
t(x,
y)
1 2
1
cos
2f0
x0
rect
x0 L
rect
y0 L
L=1cm, f0=100周/cm
x’-y’
x0-y0
xf-yf 强度分布:
§3.2 透镜的傅里叶变换性质 物理解释
后焦面上光场分布与频谱的对应关系
物分布t (x0,y0)是一个复杂结构, 含有 多种空频成分.它调制入射的均匀平 面波,使透射光场携带物体的信息.
透射光场的角谱代表物函数的频谱,
即含有向不同方向衍射的许多平面
波. 其中向 角方向衍射的平面波分
量经过透镜后聚焦到(0, yf)点.
(q
x
d0
)
,
(q
y
d0
)
仍为物体的F.T., 但
1.仍有二次位相因子 2. 频谱面取值fx =xf /qd0), fy = yf / qd0), 随距离d0 而变. 通过调整d0, 可改变频谱的尺度
当d0=0时，结果与物在透镜前相同，即物从两面紧贴透镜都
是等价的。
§3.2 透镜的傅里叶变换性质
∑p
∑0
d0
f
S’
2
I (x,
y)
T
(q
x
d0 )
,
(q
y
d0 )
T(
fx,
fy)
L2 2
fx, fy
1
2
fx f0, fy
1
2
fx
f0,
fy
s
incLf
x
sinc
Lf y
T(
fx,
fy
)
I0
s
incLf
x
sinc
Lfy
1 2
sincL(
fx
f0 )sinc
Lfy
exp[ jkd0
jd 0
]
exp
jk
(x
x0
)2 ( 2d 0
y
y0
)2
可写成:
dUl (x0, y0; x, y)
1
jd0
exp
jk
(x
x0
)2 (y 2d0
y0
)2
x0, y0 平面上的一 个点源，在透镜前
平面上产生的分布。
§3.4 相干照明衍射受限系统的成像分析
1、透镜的点扩散函数 dUl (x0, y0; x, y)
1 2
sincL(
f
x
f0 )sinc
Lfy
例题
透镜: D = 5cm, f = 80cm, 物体：d0=20cm，
t(x,
y)
1 2
1
cos
2f0
x0
rect
x0 L
rect
y0 L
L=1cm, f0=100周/cm
强度分布:
I
(x,
y)
T
(q
x
d0
)
,
(q
y
d0
)
2
沿fx轴:
T(
Imaging Analysis of Diffraction-limited Systems under
Coherent Illumination
目的: 从单透镜的点扩散函数入手, 研究评价 透镜成像质量的频域方法
物平面上小面元的光振动为单位脉冲即δ函数时，通过透镜产生的像场
分布函数称为点扩散函数或脉冲响应。通常用 hxo , yo ; xi , yi 表示。
§3.2 透镜的傅里叶变换性质：小结
我们特别关注物在透镜前, q=f, d0=f 的特殊情形。此时
U (x, y) c
t(x0, y0 ) exp
j
2
x
f
x0
y
f
y0 dx0dy0
c
t(x0, y0 )
f
x
x f
,
f
y
y f
用单色平面波照明物体，物体置于透镜的前焦面，则在 透镜的后焦面上得到物体的准确的傅里叶变换。透镜的后焦 面称为频谱面。
物体紧靠透镜：有效物函数为 t(x0 , y0 )Px0 , y0
物在透镜后: 透镜形成会聚球面波, 在物面上形成投影光瞳函数:
P
x0
q
q d0
,
y0
q
q d0
x’-y’
x0-y0
x-y
∑p
有效物函数为
S’
∑0
t ( x0 ,
y0 )P
x0
q
q d0
,
y0
q
q d0
d0 q
在频谱面上得到有效物函数的傅里叶变换。
解：由几何关系可知，在物面上投影光瞳大于物体尺寸，故可
不考虑透镜孔径的效应。
单位振幅的单色平面波垂直照明，q=f, 透镜后焦面上出现物体的 傅里叶变换，但有一个二次位相因子。
复振幅分布：U
(x,
y)
c'
exp
j
2(q
k
d0
)
(x2
y2
)T
(q
x
d0
)
,
(q
y
d0
)
x’-y’
x0-y0
∑p
y0
2
)]
fx
x
z
,
fy
y
z
§3.2 透镜的傅里叶变换性质
2. 物在透镜后方
对于平面波照明，得到：
U (x,
y)
cexp
jk
x2
2 f
y2 d0
T
(
fx,
fy)
fx
(
x0 , f d0)
fy
(
y0 f d0)
对于球面波照明，得到：
U
(x,
y)
c' exp
j
2(q
k
d0
)
(x2
y
2
)T
P(
x,
y)
exp
j
k 2
1 di
1 d0
1 f
(x 2
y
2
)
exp
jk
xi di
x0 d0
x
yi di
y0 d0
ydxdy
§3.4 相干照明衍射受限系统的成像分析
不管衍射物体位于何种位置，只要观察面是照明光 源的共轭面，则物面（输入面）和观察面（输出面）之 间的关系都是傅里叶变换关系，即观察面上的衍射场都 是夫琅和费型。
透镜的作用
:透镜将照明光波变换成会聚球面波, 会聚点是照明点 光源的共轭像点.从而在此会聚点处(注意:不是物本身 的像点)得到物的F.T., 但比例尺度改变.
f
k
d0
)
( x0 2
y02
)t ( x0
,
y0
)
§3.2 透镜的傅里叶变换性质
2. 物在透镜后方，平面波照明
U
' ( x0
,
y0
)
c
exp
透j 2镜(xP’f前-1ky||后’Pd20平) (面x0
2
y02
)t ( x0 ,
x0-
y0
y0
)
x-y
Ul’
t (x0,y0)
z
x, y
S’
由几何关系易见:
后焦面上(0, yf)点的复振幅,对应空频为
yf = ftan fsin (fx =0, fy = yf /f) 的平面波分量的振幅
= fcosb (近轴近似) 和位相.
方向余弦
推广之, 任意 (xf, yf)点的复振幅, 对应空频
此平面波分量的空频
为 (fx =xf /f, fy = yf /f) 的平面波分量的振
t(x,
y)
1 2
1
cos
2f0
x0
rect
x0 L
rect
y0 L
L=1cm, f0=100周/cm
将
fx
(
xf f d0)
代入,并取
=0.6mm:
I(xf
)
I
0
2
s
inc2
L
(
xf f
d0
)
1 4
s
inc2
L
xf
(
( f
f d0 d0)
)
f
0
1 4
s
inc
2
L
xf
( f d0) ( f d0)
jdi
)
dUl(x0
,
y0
;
x,
y)
exp
jk
(xi
x)2 ( 2di
yi
y)2
dxdy