随机变量的均值与方差

随机变量的均值与方差

一、填空题

1．已知离散型随机变量X 的概率分布为

则其方差V (X )＝解析 由0.5＋m ＋0.2＝1得m ＝0.3，∴E (X )＝1×0.5＋3×0.3＋5×0.2＝2.4，∴V (X )＝(1－2.4)2×0.5＋(3－2.4)2×0.3＋(5－2.4)2×0.2＝2.44. 答案 2.44

2．(优质试题·西安调研)某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1 000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X ，则X 的数学期望为________．

解析 设没有发芽的种子有ξ粒，则ξ～B (1 000,0.1)，且X ＝2ξ，∴E (X )＝E (2ξ)＝2E (ξ)＝2×1 000×0.1＝200. 答案 200

3．已知随机变量X 服从二项分布，且E (X )＝2.4，V (X )＝1.44，则二项分布的参数n ，p 的值分别为________．

解析 由二项分布X ～B (n ，p )及E (X )＝np ，V (X )＝np ·(1－p )得2.4＝np ，且1.44＝np (1－p )，解得n ＝6，p ＝0.4. 答案 6,0.4

4．随机变量ξ的取值为0,1,2.若P (ξ＝0)＝1

5，E (ξ)＝1，则V (ξ)＝________. 解析 设P (ξ＝1)＝a ，P (ξ＝2)＝b ， 则⎩⎪⎨⎪⎧

15＋a ＋b ＝1，a ＋2b ＝1，

解得⎩⎪⎨⎪⎧

a ＝3

5，b ＝1

5，

所以V(ξ)＝(0－1)2×1

5＋(1－1)

2×

3

5＋(2－1)

2×

1

5＝

2

5.

答案2 5

5．已知随机变量X＋η＝8，若X～B(10,0.6)，则E(η)，V(η)分别是________．解析由已知随机变量X＋η＝8，所以有η＝8－X.因此，求得E(η)＝8－E(X)＝8－10×0.6＝2，V(η)＝(－1)2V(X)＝10×0.6×0.4＝2.4.

答案 2.4

6．口袋中有5只球，编号分别为1,2,3,4,5，从中任取3只球，以X表示取出的球的最大号码，则X的数学期望E(X)的值是________．

解析由题意知，X可以取3,4,5，P(X＝3)＝1

C35＝

1

10，

P(X＝4)＝C23

C35＝

3

10，P(X＝5)＝

C24

C35＝

6

10＝

3

5，

所以E(X)＝3×1

10＋4×

3

10＋5×

3

5＝4.5.

答案 4.5

7．(优质试题·扬州期末)已知X的概率分布为

设Y＝2X＋1，则

解析由概率分布的性质，a＝1－1

2－

1

6＝

1

3，

∴E(X)＝－1×1

2＋0×

1

6＋1×

1

3＝－

1

6，

因此E(Y)＝E(2X＋1)＝2E(X)＋1＝2 3.

答案2 3

8．(优质试题·合肥模拟)某科技创新大赛设有一、二、三等奖(参与活动的都有奖)且相应奖项获奖的概率是以a为首项，2为公比的等比数列，相应的奖金分

别是7 000元、5 600元、4 200元，则参加此次大赛获得奖金的期望是________元．

解析 由题意知a ＋2a ＋4a ＝1，∴a ＝1

7，∴获得一、二、三等奖的概率分别为17，27，47，∴所获奖金的期望是E (X )＝17×7 000＋27×5 600＋47×4 200＝5 000元． 答案 5 000 二、解答题

9．(优质试题·苏州调研)一位网民在网上光顾某网店，经过一番浏览后，对该店铺中的A ，B ，C 三种商品有购买意向．已知该网民购买A 种商品的概率为34，购买B 种商品的概率为23，购买C 种商品的概率为1

2.假设该网民是否购买这三种商品相互独立．

(1)求该网民至少购买两种商品的概率；

(2)用随机变量η表示该网民购买商品的种数，求η的概率分布和数学期望． 解 (1)记“该网民购买i 种商品”为事件A i ，i ＝2,3， 则P (A 3)＝34×23×12＝14，

P (A 2)＝34×23×⎝ ⎛

⎭⎪⎫1－12＋34×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23×12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34×23×12＝1124，

所以该网民至少购买两种商品的概率为P (A 3)＋P (A 2)＝14＋1124＝17

24， (2)随机变量η的可能取值为0,1,2,3， P (η＝0)＝⎝ ⎛

⎭⎪⎫1－34×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＝124，

又P (η＝2)＝P (A 2)＝1124，P (η＝3)＝P (A 3)＝1

4， 所以P (η＝1)＝1－124－1124－14＝1

4. 所以随机变量η的概率分布为

故数学期望E (η)＝0×124＋1×14＋2×1124＋3×14＝23

12.

10．(优质试题·南通、扬州、泰州三市调研)一个摸球游戏，规则如下：在一个不透明的纸盒中，装有6个大小相同、颜色各异的玻璃球，参加者交费1元可玩1次游戏，从中有放回地摸球3次，参加者预先指定盒中的某一种颜色的玻璃球，然后摸球．当所指定的玻璃球不出现时，游戏费被没收；当所指定的玻璃球出现1次，2次，3次时，参加者可相应获得游戏费的0倍，1倍，k 倍的奖励(k ∈N *)，且游戏费仍退还给参加者．记参加者玩1次游戏的收益为X 元．

(1)求概率P (X ＝0)的值；

(2)为使收益X 的数学期望不小于0元，求k 的最小值．

解 (1)由题知事件“X ＝0”表示“有放回的摸球3次，所指定的玻璃球只出现1次”，则P (X ＝0)＝C 13×16×⎝ ⎛⎭⎪⎫562＝2572. (2)由题知X 的可能值为k ，－1,1,0， 且P (X ＝－1)＝C 03×⎝ ⎛⎭⎪⎫563＝125216， P (X ＝0)＝2572，

P (X ＝1)＝C 23×⎝ ⎛⎭⎪⎫162×56＝5

72

， P (X ＝k )＝C 33×⎝ ⎛⎭

⎪⎫163＝

1216，

所以参加游戏者的收益X 的概率分布为

所以E (X )＝(－1)×125216＋0×2572＋1×572＋k ×1

216＝k －110216(元)， 为使收益X 的数学期望不小于0元，则k ≥110，所以k 的最小值为110. 11．从装有除颜色外完全相同的3个白球和m 个黑球的布袋中随机摸取一球，