第12讲 非线性规划方法(new)
非线性规划
1. 非线性规划我们讨论过线性规划,其目标函数和约束条件都是自变量的线性函数。
如果目标函数是非线性函数或至少有一个约束条件是非线性等式(不等式),则这一类数学规划就称为非线性规划。
在科学管理和其他领域中，很多实际问题可以归结为线性规划，但还有另一些问题属于非线性规划。
由于非线性规划含有深刻的背景和丰富的内容，已发展为运筹学的重要分支，并且在最优设计,管理科学,风险管理,系统控制,求解均衡模型,以及数据拟合等领域得到越来越广泛的应用。
非线性规划的研究始于三十年代末,是由W.卡鲁什首次进行的，40年代后期进入系统研究，1951年.库恩和.塔克提出带约束条件非线性规划最优化的判别条件,从而奠定了非线性规划的理论基础,后来在理论研究和实用算法方面都有很大的发展。
非线性规划求解方法可分为无约束问题和带约束问题来讨论，前者实际上就是多元函数的极值问题，是后一问题的基础。
无约束问题的求解方法有最陡下降法、共轭梯度法、变尺度法和鲍威尔直接法等。
关于带约束非线性规划的情况比较复杂，因为在迭代过程中除了要使目标函数下降外，还要考虑近似解的可行性。
总的原则是设法将约束问题化为无约束问题；把非线性问题化为线性问题从而使复杂问题简单化。
求解方法有可行方向法、约束集法、制约函数法、简约梯度法、约束变尺度法、二次规划法等。
虽然这些方法都有较好的效果，但是尚未找到可以用于解决所有非线性规划的统一算法。
非线性规划举例[库存管理问题] 考虑首都名酒专卖商店关于啤酒库存的年管理策略。
假设该商店啤酒的年销售量为A 箱,每箱啤酒的平均库存成本为H 元,每次订货成本都为F 元。
如果补货方式是可以在瞬间完成的,那么为了降低年库存管理费用,商店必须决定每年需要定多少次货,以及每次订货量。
我们以Q 表示每次定货数量,那么年定货次数可以为QA,年订货成本为Q A F ⨯。
由于平均库存量为2Q,所以,年持有成本为2Q H ⨯,年库存成本可以表示为:Q HQ A F Q C ⨯+⨯=2)( 将它表示为数学规划问题:min Q H Q A F Q C ⋅+⋅=2)( ..t s 0≥Q其中Q 为决策变量,因为目标函数是非线性的,约束条件是非负约束,所以这是带约束条件的非线性规划问题。
非线性规划知识点讲解总结
非线性规划知识点讲解总结1. 非线性规划的基本概念非线性规划是指目标函数和/或约束条件包含非线性项的优化问题。
一般来说，非线性规划问题可以表示为如下形式：\[\min f(x)\]\[s.t. \ g_i(x) \leq 0, \ i=1,2,...,m\]\[h_j(x)=0, \ j=1,2,...,p\]其中，\(x \in R^n\)是优化变量，\(f(x)\)是目标函数，\(g_i(x)\)和\(h_j(x)\)分别表示不等式约束和等式约束。
目标是找到使目标函数取得最小值的\(x\)。
2. 非线性规划的解决方法非线性规划问题的求解是一个复杂的过程，通常需要使用数值优化方法来解决。
目前，常用的非线性规划求解方法主要包括梯度方法、牛顿方法和拟牛顿方法。
（1）梯度方法梯度方法是一种基于目标函数梯度信息的优化方法。
该方法的基本思想是在迭代过程中不断沿着梯度下降的方向更新优化变量，以期望找到最小值点。
梯度方法的优点是简单易实现，但缺点是可能陷入局部最优解，收敛速度慢。
（2）牛顿方法牛顿方法是一种基于目标函数的二阶导数信息的优化方法。
该方法通过构造目标函数的泰勒展开式，并利用二阶导数信息来迭代更新优化变量，以期望找到最小值点。
牛顿方法的优点是收敛速度快，但缺点是计算复杂度高，需要计算目标函数的二阶导数。
（3）拟牛顿方法拟牛顿方法是一种通过近似求解目标函数的Hessian矩阵来更新优化变量的优化方法。
该方法能够克服牛顿方法的计算复杂度高的问题，同时又能保持相对快速的收敛速度。
拟牛顿方法的典型代表包括DFP方法和BFGS方法。
3. 非线性规划的应用非线性规划方法在实际生活和工程问题中都有着广泛的应用。
以下将介绍非线性规划在生产优化、资源分配和风险管理等领域的应用。
（1）生产优化在制造业中，生产线的优化调度问题通常是一个非线性规划问题。
通过对生产线的机器设备、生产工艺和生产速度等因素进行建模，并设置相应的目标函数和约束条件，可以使用非线性规划方法来求解最优的生产调度方案，以最大程度地提高生产效率和减少成本。
非线性规划ppt课件
g3(x) x1 x2 x3 0
;
20
一维搜索方法
目标函数为单变量的非线性
规划问题称为一维搜索问题
min t0 (0ttmax )
其中 t R 。
(t)
➢精确一维搜索方法 0.618法 Newton法
➢非精确一维搜索方法 Goldstein法 Armijo法
;
21
0.618法（近似黄金分割法）
定义 4.1.2 对于非线性规划(MP)，若 x* X ，并且存在 x* 的一个
领域 N ( x* ) x Rn x x* ( 0, R) ，使
f (x* ) f (x), x N (x* ) X ，
则称 x* 是(MP)的局部最优解或局部极小点，称 f ( x* ) 是(MP)的局部
函数(t) 称为在[a,b]上是单谷的，如果存在一个 t * [a, b] ，使得(t) 在[a, t * ]上严格递减，且在[t * , b] 上严格递增。区间[a,b]称为(t) 的单 谷区间。
第 1 步 确定单谷区间[a,b]，给定最后区间精度 0 ;
第 2 步 计算最初两个探索点
t1 a 0.382(b a) b 0.618(b a)
;
22
0.618法例题
• 例4.3.1 用0.618法求解
min(t) t3 2t 1 t0
(t) 的单谷区间为[0,3]， 0.5
解答
例4.3.1解答 • 迭换换代tbtb 过程0311..62..∧✓18可0036145436481由-00下101.2.∧...0✓871110650431表48611 给0-0100.2.∨...0✓1470出2064308168821 --000100...∨...00✓4178376340791868681 01..7140486 a2112a
非线性规划
1 1 x1 2 1 2 x2 2 0 x1 x 0 2
2
4 x2 6 x2
H=[2 -4; -2 4]; c=[-2 ;-6];A=[1 1; -1 2];b=[2;2]; Aeq=[];beq=[]; VLB=[0;0];VUB=[]; [x,z]=quadprog(H,c,A,b,Aeq,beq,VLB,VUB)
6
n)
G j , I j , Aj 分别表示第j年进入政府，工业界，科学界
为了有根据地衡量这个模型的可靠性，必须了解 进入这三各部门的实际人数G j , I j , A j 与预计人数 G j，， I j A j间的差别，按最小二乘法估计为使得
2 2 2 [( G N ) ( I N ) ( A N ) ], j 1 j j 1 j j 1 j j 1 n
10
非线性规划的基本解法
SUTM外点法
1、罚函数法 SUTM内点法（障碍罚函数法）
2、近似规划法
11
罚函数法 罚函数法基本思想是通过构造罚函数把 约束问题转化为一系列无约束最优化问题，
进而用无约束最优化方法去求解．这类方法
称为序列无约束最小化方法．简称为SUMT
法．
其一为SUMT外点法，其二为SUMT内点 法．
(4) x=fmincon(‘fun’,X0,A,b,Aeq,beq,VLB,VUB,’nonlcon’) (5)x=fmincon(‘fun’,X0,A,b,Aeq,beq,VLB,VUB,’nonlcon’,options)
输出极值点
M文件
迭代的初值
变量上下限
参数说明
非线性规划理论与算法_图文
firstorderopt: [ ] cgiterations: [ ] lambda =
3、问题：
4、外点法（外部惩罚函数法）
（1）几何解释
（2）算法步骤（外点法）：
（3）外点法框图
No
yes
（4）应注意的问题
例 :
（5）一般模型的外点法
算法步骤相同
(6)算法收敛性
5、内点法（障碍函数法） （1）集合结构
（2）算法思想
内点法（障碍函数法）的迭代点是在可行域点集内 部移动的，对接近可行域边界上的点施加越来越大的惩 罚，对可行域边界上的点施加无限大的惩罚，这好比边 界是一道障碍物，阻碍迭代点穿越边界。
内点法要求可行点集的内点集合非空，否则算法无法 运行。这样一来内点法只对不等式约束的优化问题才可能 有效。
（3）算法分析
（4）算法步骤（内点法）：
内点法框图
No
yes
例 解
（5）算法收敛性： （6）罚函数法的缺点
(7)内、外点法的优缺点的比较
外点法
内点法
1.任意x(0)∈Rn
1. x(0)∈S 0(参阅P220讨论内点的选取)
二次规划问题（quadratic programming）的Matlab解
函数 quadprog
格式: x = quadprog(H,f,A,b) %其中H,f,A,b为标准形中的参数，x
为目标函数的最小值。
x = quadprog(H,f,A,b,Aeq,beq) %Aeq,beq满足等约束条件
非线性规划的解法
非线性规划的解法非线性规划是一类重要的数学规划问题，它包含了很多实际应用场景，如金融市场中的资产配置问题，工程界中的最优设计问题等等。
由于非线性目标函数及约束条件的存在，非线性规划问题难以找到全局最优解，面对这样的问题，研究人员提出了众多的解法。
本文将从梯度法、牛顿法、共轭梯度法、拟牛顿法等方法进行介绍，着重讨论它们的优劣性和适用范围。
一、梯度法首先介绍的是梯度法，在非线性规划中，它是最简单的方法之一。
梯度法的核心思想是通过寻找函数的下降方向来不断地优化目标函数。
特别是在解决单峰函数或弱凸函数方面优势明显。
然而，梯度算法也存在一些不足之处，例如：当函数的梯度下降速度过慢时，算法可能会陷入局部最小值中无法跳出，还需要关注梯度方向更新的频率。
当目标函数的梯度非常大，梯度法在求解时可能会遇到局部性和发散性问题。
因此，它并不适合解决多峰、强凸函数。
二、牛顿法在牛顿法中，通过多项式函数的二阶导数信息对目标函数进行近似，寻找下降方向，以求取第一个局部极小值，有时还可以找到全局最小值。
牛顿法在计算方向时充分利用二阶导数的信息，使梯度下降速度更快，收敛更快。
因此，牛顿法适用于单峰性函数问题，同时由于牛顿法已经充分利用二阶信息，因此在解决问题时更加精确，准确性更高。
但牛顿法的计算量比梯度法大，所以不适合大规模的非线性规划问题。
此外，当一些细节信息不准确时，牛顿法可能会导致计算数值不稳定和影响收敛性。
三、共轭梯度法共轭梯度法是非线性规划的另一种解法方法。
共轭梯度法沿预定义的方向向梯度下降，使梯度下降的方向具有共轭性，从而避免了梯度下降法中的副作用。
基于共轭梯度的方法需要存储早期的梯度，随着迭代的进行，每个轴线性搜索方向的计算都会存储预定的轴单位向量。
共轭梯度方法的收敛速度比梯度方法快，是求解非线性规划的有效方法。
四、拟牛顿法拟牛顿法与牛顿法的思路不同，它在目标函数中利用Broyden、Fletcher、Goldfarb、Shanno（BFGS）算法或拟牛顿法更新的方法来寻找下降方向。
非线性规划算法介绍
非线性规划算法介绍在优化问题中，线性规划被广泛应用，但是有时候我们需要解决一些非线性问题。
非线性规划问题是指目标函数或约束条件至少有一个是非线性的优化问题，求解非线性规划问题是在一些工程和科学领域中很重要的任务。
这篇文章将会介绍非线性规划算法的一些概念和原理。
1. 概述非线性规划（Non-linear programming，简称NLP）是指存在非线性的目标函数和约束的最优化问题。
相对于线性规划问题，非线性规划问题的求解要困难得多，因此需要更复杂的算法来解决。
然而，在实际应用中非线性规划问题比比皆是，如金融风险管理、科学研究、交通规划等，因此非线性规划算法的研究意义非常重大。
2. 常见算法(a) 梯度下降法梯度下降法（Gradient descent algorithm）是求解最小化目标函数的一种方式。
在非线性规划问题中，该方法利用目标函数的梯度方向来确定下降的方向，迭代调整参数，直到梯度为零或达到可接受的误差范围。
梯度下降法有多种变形，包括共轭梯度法、牛顿法等。
(b) 拟牛顿法拟牛顿法（Quasi-Newton methods）是用来求解非线性约束优化问题的经典算法之一。
拟牛顿法利用牛顿法的思想，但不需要求解目标函数的二阶导数，转而用近似的Hessian矩阵来取代二阶导数，并用更新步长向量的方式近似求解目标函数的最小值。
(c) 启发式算法启发式算法（Heuristic algorithms）是一种不确定性的、基于经验的求解方法，因此不保证能找到全局最优解。
虽然有缺点，但启发式算法具有较强的鲁棒性和适应性，可用于非线性规划问题的求解。
常见的启发式算法包括模拟退火、遗传算法、蚁群算法、粒子群算法等。
3. 应用案例非线性规划算法在实际应用中发挥着不可或缺的作用。
这里介绍两个基于非线性规划算法的应用案例。
(a) 水利工程在水利工程中，常常需要寻找最优的方案来解决水库调度、灌溉、排洪等问题。
非线性规划算法能够通过寻找水资源的最优利用方法，保证水利工程的经济和社会效益。
非线性规划问题的求解方法
第二步：求 (k) 最优的目标函数
function r=fungetlamada(lamada) %关于lamada的一元函数，求最优步长 global x0 d=fun1gra(x0); r=2*(x0(1)-lamada*d(1))^2+(x0(2)lamada*d(2))^2; %注意负号表示是负梯度
程序1：主程序main2.m
global lamada%主程序main2.m,罚函数方法
x0=[1 1];
lamada=2;
c=10;
e=1e-5;
k=1;
while lamada*fun2p(x0)>=e
x0=fminsearch('fun2min',x0);
lamada=c*lamada;
k=k+ En ，给定误差 0 ，令 k=1；
2. d x 计算搜索方向 (k) f ； (k)
3. 如果 d (k) ，则迭代终止，否则通过下列一维搜索
min x d 求 ： (k)
f (k) (k)
0
x x d 4. 令 (k1) (k) (k) (k) ，置 k=k+1，转（2）步执行。
P (k)为第 k+1 步的搜索方向。
（3） 求出沿 P (k)方向前进的步长 (k )
（4） 得到新的点 X (k+1)， X (k1) X (k ) (k ) P(k )
检验 X (k+1)是否最优，如果是最优，则迭代结束，
否则 k k 1，转到（2）执行。
注意：数值求解最优化问题的计算效率取决
解析法） 。
一般要用到目标函数的导数。
（2）直接法
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基本思想：将求解非线性规划的问题转化为一 系列无约极值问题来求解，故也称为序列无约束最 小化方法．在无约束问题的求解中，对企图违反约 束的那些点给出相应的惩罚约束，迫使这一系列的 无约束问题的极小点不断地向可行域靠近(在可行外 部)，或者一直在可行域内移动(在可行域内部)，直 到收敛到原问题的最优解为止．
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2021年4月24日
1. 引例：股票的组合投资问题
(1) 问题的提出
表 1 股票的相关数据表
股票名称 五年期望收益 率（％）
Ａ
92
Ｂ
64
Ｃ
41
五年的协方差（％）
Ａ
Ｂ
Ｃ
180
36
110
36
120
-30
110
-30
140
试从两个方面分别给出三支股票的 投资比例：
5
2021年4月24日
1. 引例：股票的组合投资问题
k
为最佳步长，由 min
f (X (k)
P(k) )
f
(X (k)
k P(k) ) 确定；
3）计算 k1 X (k1) X (k ) ， k 1 f ( X ) (k 1) f ( X (k ) ) ，
H (k1)
H (k)
k 1 T k 1
T k 1
k 1
H
(k) T
k 1
140 x32
72x1x2
220x1x3
1
60 x2 x3 ]2
12,
x1
,
x2
,
x3
0.
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二. 非线性规划的数学模型
1 . 非线性规划问题的一般模型
如果问题的目标函数和约束条件中包含有非线 性函数，则这样的规划问题称为非线性规划问题。
非线性规划的一般模型为
min
hi
f (x1, x2 ,, xn (x1, x2 ,, xn )
根据表 1 中的数据计算得到
Var(R) 180x12 120x22 140x32 72x1x2 220x1x3 60x2x3.
投资组合的标准差为
1
D [180x12 120x22 140x32 72x1x2 220x1x3 60x2x3]2 .
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2021年4月24日
1. 引例：股票的组合投资问题
第十二章 非线性规划方法
非线性规划的一般模型； 无约束线性规划的求解方法； 带约束非线性规划的求解方法； 非线性规划的软件求解方法； 非线性规划的应用案例分析。
3
2021年4月24日
一、非线性规划的一般模型
1. 引例：股票的组合投资问题
一个投资者拟选择Ａ，Ｂ，Ｃ三支业 绩好的股票来进行长期组合投资．通过对 这三支股票的市场分析和统计预测得到 相关数据如下表 1 所示．
梯度法，或最速下降法．
(2)共轭梯度法 共轭梯度法仅适用于正定二次函数的极小值问题：
min f (X ) 1 X T AX BT X c 2
其中 A 为 n n 实对称正定阵， X , B E n , c 为常数．
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2021年4月24日
2、 一维搜索法
(3)牛顿（Newton）法
对于问题： min f ( X ) 1 X T AX BT X c 2
选择 k 和 P(k) 的一般原则是使
f ( X (0) ) f ( X (1) ) f ( X (k) )
这种算法称为下降算法。 最后检验 X (k) 是否收敛于最优
解，即对 0，是否有 f (X (k1) ) 决定迭代是否结束。
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2021年4月24日
三、无约束非线性规划的解法
min f (X )
一般模型形式： g j (X ) 0, j 1, 2,
（3）
,m
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二. 非线性规划的数学模型
2 . 非线性规划模型的几种特殊情况
（1）无约束的非线性规划
当问题无约束条件时，则此问题 称为无约束的非线性规划问题。
mXinR f ( X ) (4) X 0
当黑塞矩阵 2 f (X (k) ) 正定时，也可应用上面的牛顿法，这
就是拟牛顿法，
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2、 一维搜索法
(5) 变尺度法
1）任取 X (0) E n 和 H (0) （一般取 H (0) I 为单位阵），计算
P(0) H (0) f ( X (0) ), k 0 ；
2）若 f ( X (k) ) 0 ，则停止计算，否则令 X (k1) X (k) k P(k) ，其中
(1) 若目标函数为最大化问题，由 max f (X ) min[ f (X )] ， 令 F(X ) f (X ) ，则 min F(X ) max f (X ) ；
(2) 若约束条件为 g j ( X ) 0 ，则 g j ( X ) 0 ； (3） hi ( X ) 0 hi ( X ) 0且 hi ( X ) 0 。
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1. 引例：股票的组合投资问题
2 . 模型的分析
由概率统计的知识,投资组合的方差为
Var(R) x12Var(r1) x22Var(r2 ) x32Var(r3) 2x1x2Cov(r1, r2 ) 2x1x3Cov(r1, r3) 2x2x3Cov(r2, r3) ,
f ( X ) 的一个极小点。
??问题：如何来产生这个点列？即如何由一个解向量 X (k) 求出另一个新的向量解 X (k1) ？
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1. 一般迭代法
实际上：向量 X (k1) 总可以写成
X (k1) X (k ) k P (k ) (k 1,2,) 其中 P(k) 为一个向量， k 为一个实数，称为步长。 实际中各种迭代法就在于寻求不同的 k 和 P(k) ，特别是方 向 P(k) 的确定是问题的关键，称为搜索方向。
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1. 引例：股票的组合投资问题
3 . 模型的建立
问题（２）：希望在标准差最大不超过12%的情 况下，获得最大的收益．
根据投资者第（２）项要求，则问题的模型为
max R 0.92x1 0.64x2 0.41x3;
x1 x2 x3 1,
s.t.[180x12
120 x22
为进一步寻找最优解在它的可行下降方向中选取其一个方向
D(k) ，并确定最佳步长 k 使
X (k1) X (k)
f
(
X
(k 1)
)
f
k D(k)
(X (k) )
R ,k
0,1,2,
反复进行这一过程，直到得到满足精度要求为止。即称为
可行方向法．
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四、带约束非线性规划的解法
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二. 非线性规划的数学模型
2 . 非线性规划模型的几种特殊情况
min f (X )
一般模型形式： g j (X ) 0, j 1, 2,
（3）
,m
（3）凸规划
当 模 型 (3 ） 中 的 目 标 函 数 f (X ) 为 凸 函 数 ， g j (X )( j 1,2,, m) 均 为 凹函 数 （即 g j (X ) 为 凸 函
(1) 问题的提出
(１)希望将投资组合中的股票收益的标 准差降到最小，以降低投资风险，并希望五 年后的期望收益率不少于65%．
(２)希望在标准差最大 不超过12%的情况下， 获得最大的收益．
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1. 引例：股票的组合投资问题
2 . 模型的分析
设 x1, x2 , x3 分别表示Ａ，Ｂ，Ｃ三支股票的
投资比例，其五年的期望收益率分别记为
r1, r2, r3 ，即为随机变量．
五年后投资组
表 1 股票的相关数据表 股票 五年期望收 五年的协方差（％）
合的总收益率为
名称 益率（％） Ａ Ｂ Ｃ
Ａ
92
180 36 110
R x1r1 x2r2 x3r3 ，
Ｂ Ｃ
64 41
36 120 -30 110 -30 140
T
k 1 k 1
H (k)
H
k 1
(k)
,
P (k 1) H (k 1) f ( X (k 1) )
4）令 k k 1; 返回 2）．
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四、带约束非线性规划的解法
1、非线性规划的可行方向法
假设 X (k) 是问题（３）的
一个可行解，但非最优解，
min f ( X ) g j ( X ) 0, j 1,2,, m （3）
当 A 为正定时，A1 存在，于是有 X * A1B 为最优解．
(4) 拟牛顿法）
对于一般的二阶可微函数 f ( X ) ，在 X (k) 点的局部有 f ( X ) f ( X (k) ) f ( X (k) )T ( X X (k) )
1 ( X X (k) )T 2 f ( X (k) )( X X (k) ) 2
（2）二次规划 如果目标函
数是 X 的二次函
数，约束条件都有 是线性的，则称此 规划为二次规划.
min f (X ) n c j x j n
n
c jk x j xk
j 1
j1 k 1
n
aij x j bi 0,i 1,2,, m
j1
x j 0, c jk ckj , j, k 1,2,, n
数），则这样的非线性规划称为凸规划。
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三、无约束非线性规划的解法