2019-2020学年高中数学 第一章 导数及其应用 第11课时 导数在实际生活中的应用教案 苏教版选修2-2.doc
2020学年高中数学第1章导数及其应用1.1导数的概念1.1.2瞬时变化率——导数(一)课件苏教版选修2_2
【解】 (1)因为物体在 t∈[3，5]内的时间变化量为 Δt＝5－3＝2， 物体在 t∈[3，5]内的位移变化量为 Δs＝3×52＋2－(3×32＋2)＝3×(52－32)＝48， 所以物体在 t∈[3，5]上的平均速度为ΔΔst＝428＝24(m/s)．
(2)因为物体在 t＝0 附近的平均变化率为 ΔΔst＝f(0＋ΔΔt)t－f(0)＝29＋3[(0＋Δt)－Δ3]t2－29－3(0－3)2 ＝3Δt－18， 因为 Δt 无限趋近于 0 时， ΔΔst＝3Δt－18 无限趋近于－18， 所以物体的初速度 v0 为－18 m/s.
曲线上某一点处的切线 已知曲线 y＝13x3 上一点 P2，83，求： (1)点 P 处的切线斜率； (2)点 P 处的切线方程．
【解】 (1)由 y＝13x3， ΔΔxy＝13(x＋ΔΔxx)3－13x3＝13×3x2Δx＋3xΔ(Δxx)2＋(Δx)3 ＝13[3x2＋3xΔx＋(Δx)2]， 当 Δx 无限趋近于 0 时，ΔΔxy无限趋近于 x2， 所以点 P 处的切线的斜率等于 4. (2)在点 P 处的切线方程是 y－83＝4(x－2)． 即 12x－3y－16＝0.
解
析
：
因
为
Δy Δx
＝
a(x＋Δx)2＋b(x＋Δx)－7－ax2－bx＋7 Δx
＝
aΔx
＋
2ax＋b，所以当 Δx→0 时，ΔΔxy＝2ax＋b，即点(1，1)处的切线的
斜率为 2a＋b.
由已知可得a2＋a＋b－b＝7＝4 1，解得 a＝－4，b＝12.
答案：－4 12
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
3．曲线 y＝x3－2x2－4x＋2 在点(1，－3)处的切线方程是______． 解析：因为 y＝x3－2x2－4x＋2，所以 ΔΔxy＝(1＋Δx)3－2(1＋Δx)2－4(1＋ΔΔxx)＋2－(13－2×12－4×1＋2) ＝(Δx)3＋(ΔΔxx)2－5Δx＝(Δx)2＋Δx－5， 所以当 Δx→0 时，ΔΔxy→－5，所以点(1，－3)处切线斜率为－5， 所以切线方程为 y＋3＝－5(x－1)，即 5x＋y－2＝0. 答案：5x＋y－2＝0
2019-2020数学人教A版选修2-2课件：第一章导数及其应用1.5 1.5.1 1.5.2 课后
9．若做变速直线运动的物体 v(t)＝t2，在 0≤t≤a 内经过的路程为 9， 则 a 的值为________．
答案 3
解析 将区间[0，a]分为等长的 n 个小区间，第 i 个区间记为i－n 1a，ina (i＝1,2，…，n)，取每个小区间的右端点的速度近似代替，则 Δt＝an，所以 v(ti)＝ina2，sn＝∑i＝n1 ina2·an＝an33(1＋22＋…＋n2)
第三页，编辑于星期日：点 二十分。
3．在求由 x＝a，x＝b(a<b)，y＝f(x)(f(x)≥0)及 y＝0 围成的曲边梯形的 面积 S 时，在区间[a，b]上等间隔地插入 n－1 个分点，分别过这些分点作 x 轴的垂线，把曲边梯形分成 n 个小曲边梯形，下列说法中正确的个数是( )
①n 个小曲边梯形的面积和等于 S； ②n 个小曲边梯形的面积和小于 S； ③n 个小曲边梯形的面积和大于 S； ④n 个小曲边梯形的面积和与 S 之间的大小关系无法确定． A．1 B．2 C．3 D．4
解 将区间[0,2]等分成 n 个小区间，则第 i 个小区间为2i－n 1，2ni(i＝
1,2，…，n)．
第 i 个小区间的面积 ΔSi＝f2i－n 1·2n，
所以 Sn＝∑ i＝n1f2i－n 1·2n＝2n∑ i＝n1
4i－12 n2
答案15
第十五页，编辑于星期日：点 二十分。
＝n83∑i＝n1 (i－1)2
解析 所围成的四边形为直角梯形，x＝0 时，y＝1，x＝2 时，y＝3， 所以 S＝12×(1＋3)×2＝4.
答案
解析11
第十一页，编辑于星期日：点 二十分。
8．已知某物体运动的速度 v＝2t－1，t∈[0,10]，若把区间 10 等分，取 每个小区间右端点处的函数值为近似小矩形的高，则物体运动的路程近似值 为________．
2020学年高中数学第1章导数及其应用1.2导数的运算1.2.3简单复合函数的导数课件苏教版选修2_2
判断复合函数的复合关系的一般方法是从外向里分析，最外层的 主体函数结构是以基本函数为主要形式，各层的中间变量结构也 都是基本函数关系，这样一层一层分析，最里层应是关于自变量 x 的基本函数或关于自变量 x 的基本函数经过有限次四则运算而 得到的函数．
1.指出下列函数的复合关系： (1)y＝cos( 3x＋1)；(2)y＝e3x2＋2；(3)y＝(1＋15x)3.
第1章 导数及其应用
1.2.3 简单复合函数的导数
第1章 导数及其应用
1.了解复合函数的概念，掌握复合函数的求导法则． 2.能够利用复合函数的求导法则，并结合已经学过的公式、法则 进行一些简单复合函数的求导(仅限于形如 f(ax＋b)的导数)．
1．复合函数的概念 由基本初等函数复合而成的函数，称为复合函数．如 y＝sin 2x 由 y＝sin u 及 u＝_2_x__复合而成． 2．复合函数的求导法则 若 y＝f(u)，u＝ax＋b，则 yx′＝__y_u_′·_u_x_′ _____，即 yx′＝___y_u_′·_a___． 其中 yx′，yu′分别表示 y 关于 _x__的导数及 y 关于_u__的导数．
1．函数 y＝(3x－2)2 的导数 y′＝________． 解析：y′＝2(3x－2)·(3x－2)′＝6(3x－2)． 答案：18x－12
2．若 f(x)＝sin3x＋π4，则 f′π4＝________． 解析：f′(x)＝3cos3x＋π4，所以 f′π4＝－3. 答案：－3
3．设曲线 y＝eax 在点(0，1)处的切线与直线 x＋2y＋1＝0 垂直， 则 a＝________． 解析：由题意知 y′|x＝0＝aeax|x＝0＝a＝2. 答案：2
(2)设 y＝cos u，u＝53π－7x.
2020版高中数学第一章导数及其应用1.1.3导数的几何意义课件新人教A版选修2_2
(1)因为切线的倾斜角为 45°,
所以切线斜率为 tan 45°=1,
即
f'(x0)=6x0=1,得
x0
=
1.
6
所以该点的坐标为 1 , 85 .
6 12
(2)因为切线平行于直线6x-y-2=0,
所以切线的斜率为6,即f'(x0)=6x0=6,得x0=1. 所以该点的坐标为(1,10).
典例透析
典例透析
1.1.3 导数的几何意义
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目标导航
1.了解导函数的概念;理解导数的几何意义. 2.会求导函数. 3.根据导数的几何意义,会求曲线上某点处的切线方程.
知识梳理
1.导数的几何意义
(1)切线:如图,当点Pn(xn,f(xn))(n=1,2,3,4,…)沿着曲线f(x)趋近于点 P(x0,f(x0))时,割线PPn趋近于确定的位置,这个确定位置的直线PT称
注意:若f'(x0)>0,则切线与x轴正方向的夹角是锐角;若f'(x0)<0,则 切线与x轴正方向的夹角为钝角;若f'(x0)=0,则切线与x轴平行或重 合.
重难聚焦
2.“用割线的极限位置来定义切线”和“与曲线只有一个公共点的 直线是切线”的区别是什么?
剖析在初中我们学习过圆的切线:当直线和圆有唯一公共点时, 我们称直线和圆相切,这时直线叫做圆的切线,唯一的公共点叫做 切点,圆是一种特殊的曲线.如果将圆的切线推广为一般曲线的切 线:当直线和曲线有唯一公共点时,直线叫做曲线过该点的切线,这 种推广是不妥当的.
方程与已知的曲线方程组成方程组,求方程组的解.
题型一
题型二
题型三
题型四
∴y'|x=2
高中数学 第一章 导数及其应用 1.4.1 导数在实际生活中的应用教案 新人教A版选修2-2(20
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导数在实际生活中的应用一、教学目标：1．通过本课的教学，对学生进行函数思想和方法的培养．2．通过本课例题的分析与解答,培养学生的发散思维能力和逐步形成运用导数知识解决实际问题的能力．3．通过解决科技、经济、社会中的某些简单实际问题，体验导数求最大值与最小值的应用．二、教学重点:运用导数求函数的最值在实际问题中的应用．教学难点：如何把实际问题中所涉及的几个变量转化成函数关系式．三、教学用具：投影仪四、教学过程1．复习引导求可导函数)f的最大值和最小值的方法和步骤如何？（学生思考回答）(x2．本课内容引入与分析在日常生活、生产和科研中，常常会遇到一些实际问题,这些问题有的可以转化成求函数最大值和最小值的问题（从而引出例题)．例2 在边长为60 cm的正方形铁片的四角上切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱子的容积最大？最大容积是多少？例题分析：思路一：设箱底边长为x cm ，则箱高260x h -=cm ，得箱子容积V 是箱底边长x 的函数： )600(260)(322<<-==x x x h x x r .具体解法见课本． 思路二：设箱底高为x cm ，则箱底边长为)260(x -cm,则得箱子容积V 是x 的函数)300( )260()(2<<⋅-=x x x x V思路三；对于一用初等方法解答22)60(2)60(21)60(21)(2x x x x x x x x V ⋅⋅-=⋅⋅-=-=．由40260=⇒=-x x x x x x x x x V 4)260)(260(41)260()(2⋅--=⋅-= 由104260=⇒=-x x x思路四：由一知当x 过小(接近于0）或过大（接近于60）时箱子容积很小，由二知当x 过小（接近于0）或过大(接近于30）时箱子容积很小．以上可导函数x x x V 2)260()(-=或2260)(x x x V ⋅-=在各自定义域中都只有一个极值点，从图象角度理解即只有一个波峰,即是单峰的，因而这个极值点就是最值点，不必考虑端点的函数值．请注意这一点．思路五：从二求得的结果发现,箱子的高恰好是原正方形边长的61,这个结论是否具有一般性?建议课后完成下列变式题，得出相关的结论．变式：从一块边长为a 的正方形铁皮的各角截去相等的方块，把各边折起来，做成一个无盖的箱子,箱子的高是这个正方形边长的几分之几时，箱子容积最大？提示：)20( )2()(2a x x a x x V <<-= 答案：6a x =．例3 (本章章头图中所提出的问题)圆柱形金属饮料罐的容积一定时，它的高与底面半径应怎样选取才能使所用材料最省？例题分析分析1：设金属饮料罐高为h ，底面半径为R ，则材料最省即是表面积最小，且表面积是R 和h 的二元函数，222R Rh S ππ+=必须消去一个自变量．由常数（定值)22R V h h R V ππ=⇒=代入前式则得S 是R 的一元函数，RV R R S 22)(2+=π（具体解法见课本）． 分析2：初等数学方法解答，222222)(V RV R V R R V R V R R S πππ=⋅⋅⇒++=（常数)，所以当3222ππV R R V R =⇒=，代入R h R V h 22=⇒=π 注意:从解答结果发现，罐高与底面直径相等时，所用材料最省．请量一量日常生活中使用的铁皮菜缸，看是否也有这个结论，想一想这是为什么?变式：当如图所示的圆柱形金属罐的表面积为定值S 时，应怎样制作,才能使其容积最大?提示：222R Rh S ππ+= ①RR S h ππ222-=⇒ 322221)2(2122)(R SR R R S R R R S R V πππππ-=-=⋅-= 22603210)(R S R S R V ππ=⇒=-⇒=' ② ②代入①R h R Rh R 222622=⇒+=⇒πππ3．课堂练习教科书第137页练习第1、2题．4．本课内容小结(1)生活、生产和科研中会遇到许多实际问题,要善于用数学的观点和方法去分析问题；（2）解题时，应该考虑一题多解、方法对比、注意联想，推测有些问题是否有一般性结论；（3）注意总结例题中涉及的知识点、重点和难点．五、布置作业。
2019-2020学年高中数学(人教B版 选修2-2)教师用书：第1章 导数及其应用 1.2.1、1.2.2
1.2 导数的运算1．2.1 常数函数与幂函数的导数 1．2.2 导数公式表及数学软件的应用1．能根据定义求函数y ＝c ，y ＝x ，y ＝x 2，y ＝1x ，y ＝x 的导数．(难点) 2．掌握基本初等函数的导数公式，并能进行简单的应用．(重点、易混点)[基础·初探]教材整理1 几个常用函数的导数 阅读教材P 14～P 15，完成下列问题．【答案】 0 1 2x －1x2判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若y ＝x 3＋2，则y ′＝3x 2＋2.( ) (2)若y ＝1x ，则y ′＝1x2.( ) (3)若y ＝e ，则y ′＝0.( )【解析】(1)由y＝x3＋2，∴y′＝3x2.(2)由y＝1x，∴y′＝－1x2.(3)由y＝e，∴y′＝0.【答案】(1)×(2)×(3)√教材整理2基本初等函数的导数公式阅读教材P17，完成下列问题．【答案】0 nx n－1μxμ－1a x ln a e x1xln a1xcos x－sin x1．给出下列命题：①y＝ln 2，则y′＝1 2；②y＝1x2，则y′＝－2x3；③y＝2x，则y′＝2x ln 2；④y＝log2x，则y′＝1 xln 2.其中正确命题的个数为( )A．1 B．2C．3 D．4【解析】对于①，y′＝0，故①错；显然②③④正确，故选C.【答案】 C2．若函数f (x )＝10x ，则f ′(1)等于( ) A.110 B ．10 C ．10ln 10D.110ln 10【解析】 ∵f ′(x )＝10x ln 10，∴f ′(1)＝10ln 10. 【答案】 C[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问1： 解惑： 疑问2： 解惑： 疑问3： 解惑：[小组合作型](1)y ＝x 12；(2)y ＝1x4；(3)y ＝5x3；(4)y ＝3x ；(5)y ＝log 5x .【精彩点拨】 首先观察函数解析式是否符合求导形式，若不符合可先将函数解析式化为基本初等函数的求导形式．【自主解答】 (1)y ′＝(x 12)′＝12x 11. (2)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x4′＝(x －4)′＝－4x －5＝－4x5.(3)y ′＝(5x3)′＝(x 35)′＝35x －25. (4)y ′＝(3x )′＝3x ln 3. (5)y ′＝(log 5x )′＝1xln 5.1．若所求函数符合导数公式，则直接利用公式求解．2．对于不能直接利用公式的类型，一般遵循“先化简，再求导”的基本原则，避免不必要的运算失误．3．要特别注意“1x 与ln x ”，“a x 与log a x ”，“sin x 与cos x ”的导数区别．[再练一题]1．若f (x )＝x 3，g (x )＝log 3x, 则f ′(x )－g ′(x )＝__________.【导学号：05410008】【解析】 ∵f ′(x )＝3x 2，g ′(x )＝1xln 3， ∴f ′(x )－g ′(x )＝3x 2－1xln 3. 【答案】 3x 2－1xln 3(1)求质点在t ＝π3时的速度； (2)求质点运动的加速度．【精彩点拨】 (1)先求s ′(t )，再求s ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π3.(2)加速度是速度v (t )对t 的导数，故先求v (t )，再求导． 【自主解答】 (1)v (t )＝s ′(t )＝cos t ，∴v ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝cos π3＝12.即质点在t ＝π3时的速度为12. (2)∵v (t )＝cos t ，∴加速度a (t )＝v ′(t )＝(cos t )′＝－sin t .1．速度是路程对时间的导数，加速度是速度对时间的导数．2．求函数在某定点(点在函数曲线上)的导数的方法步骤是：(1)先求函数的导函数；(2)把对应点的横坐标代入导函数求相应的导数值．[再练一题]2．(1)求函数f (x )＝13x在(1,1)处的导数；(2)求函数f (x )＝cos x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，22处的导数．【解】 (1)∵f ′(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13x ′＝(x －13)′＝－13x －43＝－133x4， ∴f ′(1)＝－1331＝－13.(2)∵f ′(x )＝－sin x ， ∴f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝－sin π4＝－22.[探究共研型]探究1 f (x )＝x ，f (x ) 【提示】 ∵(x )′＝1·x 1－1，(x 2)′＝2·x 2－1，(x)′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 12′＝12x 12－1，∴(x α)′＝α·x α－1.探究2 点P 是曲线y ＝e x 上的任意一点，求点P 到直线y ＝x 的最小距离．【提示】 如图，当曲线y ＝e x 在点P (x 0，y 0)处的切线与直线y ＝x 平行时，点P 到直线y ＝x 的距离最近，则曲线y ＝e x 在点P (x 0，y 0)处的切线斜率为1，又y ′＝(e x )′＝e x ， ∴e x 0＝1，得x 0＝0，代入y ＝e x ，得y 0＝1，即P (0,1)． 利用点到直线的距离公式得最小距离为22.求过曲线f (x )＝cos x 上一点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，12且与曲线在这点的切线垂直的直线方程．【精彩点拨】 错误!→错误!→所求直线斜率k ＝－1f′⎝ ⎛⎭⎪⎫π3→利用点斜式写出直线方程【自主解答】 因为f (x )＝cos x ，所以f ′(x )＝－sin x ，则曲线f (x )＝cos x 在点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，12的切线斜率为f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝－sin π3＝－32， 所以所求直线的斜率为23 3， 所求直线方程为y －12＝233⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3， 即y ＝23 3x －239π＋12.求曲线方程或切线方程时应注意：(1)切点是曲线与切线的公共点，切点坐标既满足曲线方程也满足切线方程； (2)曲线在切点处的导数就是切线的斜率；(3)必须明确已知点是不是切点，如果不是，应先设出切点.[再练一题]3．若将上例中点P 的坐标改为(π，－1)，求相应的直线方程． 【解】 ∵f (x )＝cos x ，∴f ′(x )＝－sin x ，则曲线f (x )＝cos x 在点P (π，－1)处的切线斜率为f ′(π)＝－sin π＝0， 所以所求直线的斜率不存在， 所以所求直线方程为x ＝π.[构建·体系]1．已知f (x )＝x α(α∈Q ＋)，若f ′(1)＝14，则α等于( ) 【导学号：05410009】 A.13 B.12 C.18D.14【解析】∵f(x)＝xα，∴f′(x)＝αxα－1，∴f′(1)＝α＝1 4.【答案】 D 2．给出下列结论：①若y＝1x3，则y′＝－3x4；②若y＝3x，则y′＝133x；③若f(x)＝3x，则f′(1)＝3.其中正确的个数是( )A．1 B．2C．3 D．0【解析】对于①，y′＝错误!＝错误!＝错误!，正确；对于②，y′＝13x13－1＝13x－23，不正确；对于③，f′(x)＝3，故f′(1)＝3，正确．【答案】 B3．已知函数f(x)＝ax3＋x＋1的图象在点(1，f(1))处的切线过点(2,7)，则a＝________. 【解析】∵f′(x)＝3ax2＋1，∴f′(1)＝3a＋1.又f(1)＝a＋2，∴切线方程为y－(a＋2)＝(3a＋1)(x－1)．∵切线过点(2,7)，∴7－(a＋2)＝3a＋1，解得a＝1.【答案】 14．已知函数y＝kx是曲线y＝ln x的一条切线，则k＝__________.【解析】设切点为(x0，y0)，∵y′＝1x，∴k＝1x0，∴y＝1x0·x，又点(x0，y0)在曲线y＝ln x上，∴y0＝ln x0，∴ln x0＝x0x0，∴x0＝e，∴k＝1e.【答案】1 e5．已知直线y＝kx是曲线y＝3x的切线，则k的值为________. 【解析】设切点为(x0，y0)．因为y′＝3x ln 3，①所以k＝3x0ln 3，所以y＝3x0ln 3·x，又因为(x0，y0)在曲线y＝3x上，所以3x0ln 3·x0＝3x0，②所以x0＝1 ln 3＝log3 e.所以k＝eln 3.【答案】eln 3我还有这些不足：(1)(2)我的课下提升方案：(1)(2)。
(统编版)2020学年高中数学第一章1.4导数在实际生活中的应用教学案苏教版选修1
1.4 导数在实际生活中的应用[对应学生用书P22]面积、体积最大问题[例1] 用长为2∶1，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？[思路点拨] 不妨设长方体的宽为x m ，则长为2x m ，高为h ＝18－12x4＝(4.5－3x )m ⎝⎛⎭⎪⎫0<x <32.建立长方体的体积函数模型，再求最值．[精解详析] 设长方体的宽为x m ， 则长为2x m ，高为h ＝18－12x 4＝(4.5－3x )m ⎝ ⎛⎭⎪⎫0<x <32.故长方体的体积为V (x )＝2x 2(4.5－3x )＝(9x 2－6x 3)m 3⎝⎛⎭⎪⎫0<x <32.从而V ′(x )＝18x －18x 2＝18x (1－x )．令V ′(x )＝0，解得x ＝0(舍去)，或x ＝1，因此x ＝1. 当0<x <1时，V ′(x )>0；当1<x <32时，V ′(x )<0，故在x ＝1处V (x )取得极大值，并且这个极大值就是V (x )的最大值．从而最大体积V ＝V (1)＝9×12－6×13＝3(m 3)，此时长方体的长为2 m ，高为1.5 m. 故当长方体的长为2 m ，宽为1 m ，高为1.5 m 时，体积最大，最大体积为3 m 3. [一点通] 在求实际问题中的最大值或最小值时，一般是先设自变量、因变量，建立函数关系式，并确定其定义域，利用求函数的最值的方法求解，注意结果应与实际情况相结合．用导数求解实际问题中的最大(小)值时，如果函数在区间内只有一个极值点，那么依据实际意义，该极值点也就是最值点．1．要做一个圆锥形的漏斗，其母线长为20 cm ，要使其体积最大，则高为________cm.解析：设该漏斗的高为x cm ，则底面半径为202－x 2 cm ，其体积为V ＝13πx (202－x 2)＝13π(400x －x 3)(0<x <20)，则V ′＝13π(400－3x 2)． 令V ′＝0，解得x 1＝2033，x 2＝－2033(舍去)．当0<x <2033时，V ′>0；当2033<x <20时，V ′<0， 所以当x ＝2033时，V 取得最大值．答案：20332．用长为90 cm ，宽为48 cm 的长方形铁皮做一个无盖的容器．先在四角分别截掉一个大小相同的小正方形，然后把四边翻折90°，再焊接而成．问该容器的高为多少时，容器的容积最大？最大容积是多少？解：设容器的高为x cm ，容积为V (x ) cm 3，则V (x )＝x (90－2x )(48－2x )＝4x 3－276x 2＋4 320x (0<x <24)． 故V ′(x )＝12x 2－552x ＋4 320 ＝12(x －10)(x －36)．令V ′(x )＝0，得x ＝10，或x ＝36(舍去)． 当0<x <10时，V ′(x )>0，即V (x )为增函数； 当10<x <24时，V ′(x )<0，即V (x )为减函数．因此，在定义域(0,24)内，函数V (x )只有当x ＝10时取得最大值，其最大值为V (10)＝19 600(cm 3)．因此当容器的高为10 cm 时，容器的容积最大，最大容积为19 600 cm 3.成本最低(费用最省)问题[例2] 地形限制，长、宽都不能超过16 m ，如果池外周壁建造单价为每米400元，中间两条隔墙建造单价为每米248元，池底建造单价为每平方米80元(池壁厚度忽略不计，且池无盖)．(1) (2)污水处理池的长和宽各为多少时，污水处理池的总造价最低？并求出最低总造价． [思路点拨]分析题意→写出函数关系式→写出定义域→对函数关系式求导→讨论单调性→求最值 [精解详析] (1)污水处理池长为x m ，则宽为200xm.据题意⎩⎪⎨⎪⎧0<x ≤16，0<200x ≤16，解得252≤x ≤16，y ＝⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋2·200x ×400＋400x×248＋16 000＝800x ＋259 200x ＋16 000⎝ ⎛⎭⎪⎫252≤x ≤16， (2)由(1)知y ′＝800－259 200x2＝0， 解得x ＝18，当x ∈(0,18)时，函数y 为减函数； 当x ∈(18，＋∞)时，函数y 为增函数． 又∵252≤x ≤16，∴当x ＝16时，y min ＝45 000.∴当且仅当长为16 m 、宽为12.5 m 时， 总造价y 最低为45 000元．[一点通] (1)实际生活中用料最省、费用最低、损耗最小、最节省时间等都需要利用导数求解相应函数的最小值，此时根据f ′(x )＝0求出函数取极值的点(注意根据实际意义舍去不合适的函数取极值的点)，若函数在该点附近满足左减右增，则此时惟一的极小值就是所求函数的最小值．(2)在解题过程中很容易忽略关键词“无盖”，从而多求了一个底面积．实际问题中的用料最省问题一般都是要求几何体的表面积，但要注意实物的表面积往往会缺少一个底面或侧面等．3．做一个容积为256升的方底无盖水箱，它的高为________分米时最省材料． 解析：设水箱底面边长为x 分米，则高为256x 2分米，用料总面积S ＝x 2＋4·256x2·x ＝x2＋256×4x，S ′＝2x －256×4x2，令S ′＝0得x ＝8， 当0＜x ＜8时，S ′＜0，当x ＞8时，S ′＞0， 所以当x ＝8时，S 取得最小值，则高为4分米． 答案：44．某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m 米，余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩．经测算，一个桥墩的工程费用为256万元，距离为x 米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2＋x )x 万元．假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素．记余下工程的费用为y 万元．(1)试写出y 关于x 的函数关系式；(2)当m ＝640米时，需新建多少个桥墩才能使y 最小？ 解：(1)设需新建n 个桥墩， 则(n ＋1)x ＝m ，即n ＝mx－1.所以y ＝f (x )＝256n ＋(n ＋1)(2＋x )x＝256⎝⎛⎭⎪⎫mx－1＋m x(2＋x )x ＝256mx＋m x ＋2m －256.(2)由(1)知，f ′(x )＝－256m x 2＋12mx －12＝m 2x 2(x 32－512)． 令f ′(x )＝0，得x 32＝512，所以x ＝64.当0＜x ＜64时，f ′(x )＜0，f (x )在区间(0,64)内为减函数；当64＜x ＜640时，f ′(x )＞0，f (x )在区间(64,640)内为增函数． 所以f (x )在x ＝64处取得最小值．此时n ＝m x －1＝64064－1＝9.故需新建9个桥墩才能使y 最小．利润最大问题[例3] P (元/吨)之间的关系式为P ＝24 200－15x 2，且生产x 吨的成本为R ＝50 000＋200x (元)．问该工厂每月生产多少吨产品才能使利润达到最大？最大利润是多少？(利润＝收入－成本)[思路点拨] 根据利润与生产量以及价格之间的关系，建立满足题意的函数关系式，然后利用导数求解．[精解详析] 每月生产x 吨时的利润为f (x )＝⎝⎛⎭⎪⎫24 200－15x 2x －(50 000＋200x )＝－15x 3＋24 000x －50 000(x ≥0)．由f ′(x )＝－35x 2＋24 000＝0，解得x 1＝200，x 2＝－200(舍去)．因为f (x )在[0，＋∞)内只有一个点x ＝200使f ′(x )＝0，且0＜x ＜200时，f ′(x )＞0；x ＞200时，f ′(x )＜0；故x ＝200就是最大值点，且最大值为f (200)＝－15×2003＋24 000×200－50 000＝3 150 000(元)．所以每月生产200吨产品时，利润达到最大，最大利润为315万元．[一点通] 利润最大问题是生活中常见的一类问题，一般根据“利润＝收入－成本”建立函数关系式，再利用导数求最大值．求解时要注意：①价格要大于成本，否则就会亏本；②销量要大于0，否则不会获利．5．某商品一件的成本为30元，在某段时间内，若以每件x 元出售，可卖出(200－x )件，当每件商品的定价为________元时，利润最大．解析：利润为S (x )＝(x －30)(200－x ) ＝－x 2＋230x －6 000(30≤x ≤200)，S ′(x )＝－2x ＋230，由S ′(x )＝0得x ＝115，当30≤x <115时，S ′(x )>0； 当115<x ≤200时，S ′(x )<0， 所以当x ＝115时利润最大． 答案：1156．某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y (单位：kg)与销售价格x (单位：元/kg)满足关系式y ＝ax －3＋10(x －6)2.其中3＜x ＜6，a 为常数．已知销售价格为5元/kg 时，每日可售出该商品11千克．(1)求a 的值；(2)若该商品的成本为3元/kg ，试确定销售价格x 的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．解：(1)因为x ＝5时，y ＝11， 所以a2＋10＝11，a ＝2.(2)由(1)可知，该商品每日的销售量y ＝2x －3＋10(x －6)2. 所以商场每日销售该商品所获得的利润f (x )＝(x －3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x －3＋10x －62＝2＋10(x －3)(x －6)2,3＜x ＜6.从而，f ′(x )＝10[(x －6)2＋2(x －3)(x －6)] ＝30(x －4)(x －6)．于是，当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x (3,4) 4 (4,6) f ′(x ) ＋0 －f (x )极大值42由上表可得，x ＝4是函数f (x )在区间(3,6)内的极大值点，也是最大值点． 所以，当x ＝4时，函数f (x )取得最大值，且最大值等于42.答：当销售价格为4元/kg 时，商场每日销售该商品所获得的利润最大．1．解决实际生活问题的基本思路：实际问题 用函数表示的数学问题用导数解决数学问题 实际问题的答案2．求实际问题中的最大(小)值，主要步骤如下：(1)抽象出实际问题的数学模型，列出变量之间的函数关系式y ＝f (x )； (2)求出函数的导数f ′(x )，解方程f ′(x )＝0；(3)比较函数在区间端点和使f ′(x )＝0的点处的取值大小，最大者为最大值，最小者为最小值．[对应课时跟踪训练(九)]一、填空题1．已知某生产厂家的年利润y (单元：万元)与年产量x (单位：万件)之间的函数关系式为y ＝－13x 3＋81x －234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为________万件．解析：y ′＝－x 2＋81，令y ′＝0，得x ＝9(x ＝－9舍)，且经讨论知x ＝9是函数取极大值的点，所以厂家获得最大年利润的年产量是9万件．答案：92．用总长为14.8 m 的钢条制作一个长方体容器的框架，若所制作容器的底面的一边比高长0.5 m ，则当高为________m 时，容器的容积最大．解析：设高为x 米，则V ＝x (x ＋0.5)⎝ ⎛⎭⎪⎫14.84－2x －0.5，令V ′＝－6x 2＋4.4x ＋1.6＝0，解得x ＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＝－415舍去.答案：13.如图，将直径为d 的圆木锯成长方体横梁，横截面为矩形，横梁的强度同它的断面高的平方与宽x 的积成正比(强度系数为k ，k >0)．要将直径为d 的圆木锯成强度最大的横梁，断面的宽x 应为________．解析：设断面高为h ，则h 2＝d 2－x 2.设横梁的强度函数为f (x )，则f (x )＝kxh 2＝kx (d 2－x 2)，0<x <d .令f ′(x )＝k (d 2－3x 2)＝0，解得x ＝±33d (舍去负值)．当0<x <33d 时，f ′(x )>0，f (x )单调递增；当33d <x <d 时，f ′(x )<0，f (x )单调递减． 所以函数f (x )在定义域(0，d )内只有一个极大值点x ＝33d .所以x ＝33d 时，f (x )有最大值．答案：33d 4.如图，已知一罐圆柱形红牛饮料的容积为250 mL ，则它的底面半径等于________时(用含有π的式子表示)，可使所用的材料最省．解析：设圆柱的高为h ，表面积为S ，容积为V ，底面半径为r ，则表面积S ＝2πrh ＋2πr 2，而V ＝250＝πr 2h ，得h ＝250πr 2，则S ＝2πr ·250πr 2＋2πr 2＝500r＋2πr 2，S ′＝－500r 2＋4πr ，令S ′＝0得r ＝53π2π，因为S 只有一个极值，所以当r ＝53π2π时，S 取得最小值，即此时所用的材料最省．答案：53π2π5.如图，内接于抛物线y ＝1－x 2的矩形ABCD ，其中A 、B 在抛物线上运动，C 、D 在x 轴上运动，则此矩形的面积的最大值是________．解析：设CD ＝x ，则点C 坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x2，0. 点B 坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，1－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22所以矩形ABCD 的面积S ＝f (x )＝x ·⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22＝－x 34＋x (x ∈(0,2))．由f ′(x )＝－34x 2＋1＝0，得x 1＝－23(舍)，x 2＝23， 所以x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，23时，f ′(x )＞0，f (x )是递增的， x ∈⎝⎛⎭⎪⎫23，2时，f ′(x )＜0，f (x )是递减的，当x ＝23时，f (x )取最大值439.答案：439二、解答题6．某品牌电视生产厂家有A ，B 两种型号的电视机参加了家电下乡活动，若厂家对A ，B 两种型号的电视机的投放金额分别为p ，q 万元，农民购买电视机获得的补贴分别为110p ，25ln q 万元，已知A ，B 两种型号的电视机的投放总额为10万元，且A ，B 两种型号的电视机的投放金额均不低于1万元，请你制定一个投放方案，使得在这次活动中农民得到的补贴最多，并求出最大值．(精确到0.1，参考数据：ln 4≈1.4)解：设B 型号电视机的投放金额为x 万元(1≤x ≤9)，农民得到的补贴为y 万元，则A 型号的电视机的投放金额为(10－x )万元，由题意得y ＝110(10－x )＋25ln x ＝25ln x －110x ＋1,1≤x ≤9，∴y ′＝25x －110.令y ′＝0得x ＝4，由y ′>0得1≤x <4，由y ′<0得4<x ≤9， 故y 在[1,4)上单调递增，在(4,9]上单调递减，∴当x ＝4时，y 取得最大值，且y max ＝25 ln 4－110×4＋1≈1.2，这时，10－x ＝6.故厂家对A ，B 两种型号的电视机的投放金额分别为6万元和4万元时，农民得到的补贴最多，最多补贴约1.2万元．7．请你设计一个包装盒．如图所示，ABCD 是边长为60 cm 的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A ，B ，C ，D 四个点重合于图中的点P ，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒．E ，F 在AB 上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点．设AE ＝FB ＝x (cm)．(1)若广告商要求包装盒的侧面积S (cm 2)最大，试问x 应取何值？(2)某厂商要求包装盒的容积V (cm 3)最大，试问x 应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．解：设包装盒的高为h (cm)，底面边长为a (cm)． 由已知得a ＝2x ，h ＝60－2x2＝2(30－x )，0＜x ＜30.(1)S ＝4ah ＝8x (30－x )＝－8(x －15)2＋1 800， 所以当x ＝15时，S 取得最大值． (2)V ＝a 2h ＝22(－x 3＋30x 2)，V ′＝62x (20－x )．由V ′＝0，得x ＝0(舍)或x ＝20.当x ∈(0,20)时，V ′＞0；当x ∈(20,30)时，V ′＜0. 所以当x ＝20时，V 取得极大值，也是最大值．此时h a ＝12.即包装盒的高与底面边长的比值为12.8．统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y (L)关于行驶速度x (km/h)的函数解析式可以表示为：y ＝1128 000x 3－380x ＋8(0＜x ≤120)．已知甲、乙两地相距100 km.(1)当汽车以40 km/h 的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少L? (2)当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为多少L? 解：(1)当x ＝40 km/h 时，汽车从甲地到乙地行驶了10040＝2.5 h ，要耗油⎝⎛⎭⎪⎫1128 000×403－380×40＋8×2.5＝17.5(L)．∴当汽车以40 km/h 的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油17.5 L.11 (2)设当速度为x km/h 时，汽车从甲地到乙地行驶了100xh ，耗油量为h (x )升，依题意得h (x )＝⎝⎛⎭⎪⎫1128 000x 3－380x ＋8·100x ＝11 280x 2＋800x －154(0＜x ≤120)， 则h ′(x )＝x 640－800x 2＝x 3－803640x 2(0＜x ≤120)． 令h ′(x )＝0，得x ＝80，当x ∈(0,80)时，h ′(x )＜0，h (x )是单调递减函数；当x ∈(80,120)时，h ′(x )＞0，h (x )是单调递增函数．∴当x ＝80时，h (x )取到极小值，h (80)＝11.25.∵h (x )在(0,120]上只有一个极值，且h (120)＝856>h (80)． ∴当x ＝80时函数取得最小值．∴当汽车以80 km/h 的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25 L.。
2019_2020学年高中数学第一章导数及其应用1.1.3导数的几何意义课件新人教A版选修2_2
二、归纳总结·核心必记
1．导数的几何意义
函数f(x)在x＝x0处的导数就是切线PT的 斜率k，即k＝f′(x0)
＝ lim
Δx→0
fx0＋ΔΔxx－fx0.
2．导函数
从求函数f(x)在x＝x0处导数的过程可以看到，当x＝x0时， f′(x0)是一个 确定 的数．这样，当x变化时，f′(x)便是x的 一个函数，我们称它为f(x)的导函数(简称导数)．y＝f(x)的
[类题通法] 利用导数的几何意义求切线方程的方法
(1)若已知点(x0，y0)在已知曲线上，求在点(x0，y0)处的切线方 程，先求出函数y＝f(x)在点x0处的导数，然后根据直线的点 斜式方程，得切线方程y－y0＝f′(x0)(x－x0)．
(2)若点(x0，y0)不在曲线上，求过点(x0，y0)的切线方程，首先 应设出切点坐标，然后根据导数的几何意义列出等式，求出 切点坐标，进而求出切线方程．
提示：当点Pn趋近于点P时，割线PPn趋近于过点P的切线PT.
(3)当Pn无限趋近于点P时，kn与切线PT的斜率k有什么关系？
提示：kn无限趋近于切线PT的斜率k.
(4)如何求得(x)在x＝x0处的导数就是切线PT的斜率k，即k
＝ lim
Δx→0
fx0＋ΔΔxx－fx0＝f′(x0)．
探究点三 导数几何意义的应用
[典例精析]
(1)若函数y＝f(x)的导函数在区间[a，b]上是增函数，则函
数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象可能是下图中的
()
(2)已知函数y＝f(x)，y＝g(x)的导函数的图象如图，那么y＝
f(x)，y＝g(x)的图象可能是
()
[解析] (1)由导数的几何意义知导函数递增说明函数切线 斜率随x增大而变大，因此应选A.
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2019-2020学年高中数学第一章导数及其应用第11课时导数在实
际生活中的应用教案苏教版选修2-2
【教学目标】
1. 进一步熟练函数的最大值与最小值的求法；
⒉初步会解有关函数最大值、最小值的实际问题.
【教学重点、难点】
解有关函数（如边际函数、边际成本）最大值、最小值的实际问题．
【教学过程】
一、复习引入：
导数在实际生活中有着广泛的应用，例如，用料最省、利润最大、效率最高等最优解问题，常常可以归结为函数的最值问题，从而可用导数来解决.
利用导数求函数的最值步骤:
（1）求)
(x
f在(,)
a b内的极值；
（2）将)
(x
f的各极值与)
(a
f、)
(b
f比较得出函数)
(x
f在[,]
a b上的最值.
二、例题分析：
例1、在边长为60cm的正方形铁片的四角切去相等的小正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的方底箱子，当箱底的边长是多少时，箱子的容积最大？最大容积是多少？
例2、圆柱形金属饮料罐的容积一定时，它的高与底面半径应怎样选取，才能使所用的材料最省？
b
变式：当圆柱形金属饮料罐的表面积为定值S 时，它的高与底面半径应怎样选取，才能使其容积有最大值？
例3、一条水渠，断面为等腰梯形，如图所示，在确定断面尺寸时，希望在断面ABCD 的面积为定值S 时，使得湿周CD BC AB l ++=最小，这样可使水流阻力小，渗透少，求此时的高h 和下底边长b .
例4、已知电源的内阻为r ，电动势为E ，当外电阻R 多大时，才能使电功率最大？最大电功率是多少？
例5、强度分别为a ，b 的两个光源A ，B 间的距离为d ，试问：在连结两光源的线段AB 上，何处照度最小？试就a =8，b =1，d =3时回答上述问题.（照度与光的强度成正比，与光源距离的平方成反比）
例6、在经济学中，生产x 单位产品的成本称为成本函数，记为()C x ，出售x 单位产品的收益称为收益函数，记为()R x ，()()R x C x -称为利润函数，记为()P x ，
（1）如果632()100.00351000C x x x x -=-++，那么生产多少单位产品时，边际)(x C '最低？(边际成本：生产规模增加一个单位时成本的增加量)
（2）如果()501000C x x =+，产品的单价()1000.01p x x =-，那么怎样定价可使利润最大？
三、课堂小结
（1）解有关函数最大值、最小值的实际问题，需要分析问题中各个变量之间的关系，找出适当的函数关系式，并确定函数的定义区间；所得结果要符合问题的实际意义．
（2）根据问题的实际意义来判断函数最值时，如果函数在此区间上只有一个极值点，那么这个极值就是所求最值，不必再与端点值比较．
（3）相当多有关最值的实际问题用导数方法解决较简单
四、课后作业。