热传导方程中的若干反问题
7 热传导反问题及应用
x =L
0 < x < L, τ > 0
= ql(τ )
ql(τ ) 如果我们通过某种方法得到了边界条件 t0(τ ) ，
和初始条件 f ( x) ，通过求解导热微分方程获得温度场
t x = 0 = f (x )
ω t ( x, τ ) ω = cos ωτ − x − ϕ exp − x t0 2a 2a x 2 2 x 2 4 a τ − − − − cos ω τ ϕ exp η dη ( ) 2 ∫ 0 4aη π
反问题的困难何在？
不同的边界条件变化频率对内部温度变化频率的影响
ω 2 t ( x,τ ) ω 2 = cos ωτ − x − ϕ exp − x t0 2a 2a
1 1
1 0.75 0.5 0.25 1000 -0.25 -0.5 -0.75 -1 2000 3000 4000 5000
求解思路
可以证明，在上式中建立起来的 ql(τ ) 与 g(τ ) 的关系是线性的，即如果有 ql(τ ) → g(τ )
ql1(τ ) → g 1(τ ) ql 2(τ ) → g 2(τ )
α ql(τ ) → α g 1(τ ) + β g 2(τ )
ω 2 t ( x,τ ) ω 2 = cos ωτ − x − ϕ exp − x t0 2a 2a
1 1
1 0.75 0.5 0.25 5000 -0.25 -0.5 -0.75 -1 10000 15000 20000
热传导方程反问题
热传导方程反问题热传导方程反问题是指在已知温度分布的情况下，通过测量边界上的温度来确定材料的热传导系数。
这个问题可以用数学模型来描述，即热传导方程。
热传导方程是描述物质内部温度分布随时间和空间变化的偏微分方程。
它可以用以下形式表示：∂u/∂t = α∇^2u其中，u表示温度分布，t表示时间，α表示热传导系数，∇^2表示拉普拉斯算子。
在反问题中，我们已知边界上的温度分布和时间变化情况，需要求解未知的热传导系数α。
为了解决这个问题，可以采用逆问题方法。
逆问题方法是一种数学处理方法，在已知输出数据和输入模型之间寻找最优解。
在热传导方程反问题中，逆问题方法可以通过以下步骤进行：1. 建立正问题模型：根据已知条件建立热传导方程，并求解出温度分布。
2. 确定目标函数：目标函数是一个衡量模型输出与实际观测值之间差异的指标。
在本例中，目标函数可以定义为测量值与模拟值之间的平均误差。
3. 选择逆问题方法：逆问题方法有很多种，包括正则化方法、贝叶斯方法、遗传算法等。
在本例中，可以采用最小二乘法。
4. 求解逆问题：根据正问题模型和目标函数，使用最小二乘法求解未知的热传导系数α。
热传导方程反问题的求解过程中需要注意以下几点：1. 数据收集：在进行反问题求解前需要收集足够的数据，包括边界上的温度分布和时间变化情况。
2. 正确建立模型：建立正问题模型时需要考虑材料的物理特性和实际情况，并进行合理简化。
3. 选择合适的逆问题方法：不同的逆问题方法适用于不同类型的反问题，需要根据具体情况选择合适的方法。
4. 对结果进行验证：求解出热传导系数后需要对结果进行验证，比较模拟值与实际观测值之间的差异，以评估求解结果的可靠性和精度。
总之，热传导方程反问题是一种重要的数学处理方法，在工程领域中具有广泛应用。
通过正确建立模型、选择合适的逆问题方法和对结果进行验证，可以求解出未知的热传导系数，为工程设计和优化提供有力支持。
传热学反问题
传热学反问题传热学反问题是一种应用广泛的问题形式，在工程领域、生物医学领域和环境科学领域等都有着重要的应用。
它的核心是利用已知的热源和温度分布信息推导出热传导系数、传热通量和表面温度等未知量，从而解决实际问题。
下面将分步骤阐述传热学反问题的解决过程。
步骤一：建立反问题的数学模型传热学反问题的首要任务就是建立合适的数学模型。
这个模型包括一些方程组成的系统，用于描述传热过程的基本规律。
其中，最重要的方程是热传导方程，它可以描述热量在空间中的传递规律，通常表示为：∂(ρcT)/∂t=k∇2T+Q其中，ρ是物质的密度，c是比热容，T是温度，t是时间，k是热传导系数，Q是热源项，∇2是拉普拉斯算符。
步骤二：收集观测数据传热学反问题需要使用实验或数值模拟等方法来获取观测数据。
这些数据包括热源位置和大小、表面温度分布，以及边界条件等。
这些数据可以帮助我们更好地了解实际问题，从而优化数学模型。
步骤三：调整方程中的未知量在得到热源和温度分布的观测数据之后，我们需要利用这些数据来计算未知的热传导系数、传热通量、表面温度等参数。
这个过程通常需要使用数值计算方法，例如有限元法或反演算法等。
通过这些方法，我们可以优化方程式中的未知量，获得更准确的解。
步骤四：验证解的合理性最后，我们需要验证反问题的解是否合理。
这通常需要使用正问题，即用已知的热传导系数、传热通量和表面温度等参数来计算温度分布。
如果计算出来的温度分布与实测数据符合，那么表明我们的解是可行的。
总之，传热学反问题是一种复杂的问题形式，需要结合数学、物理和计算机科学等多个学科的知识。
但是，它对于解决工程实际问题、提高环境保护和促进生物医学研究等方面有着不可替代的作用。
7第七讲 热传导反问题
k al 2 ∂t dX (τ ) = λl B exp ( − k 2 ) = ρl γ = ρl γ ∂x dτ π 4 alτ τ 1 π = k ρlγ al
λl B exp ( −k 2 )
相界面位置的求解
λl B exp ( −k c pl ( t p − t∞ ) γ π
2
3 半空间的溶解过程
r2
r2
待定的系数
A + Φv R R Ei(− ) = t∞ − C Ei(− ) = tp 4πλs 4asτ 4alτ
2 2
解的形式
( ts = A − B Ei r2 ) 4asτ r2 ) 4alτ ( tl = t∞ − C Ei ts = t p − tl = t∞ −
R = k 4aτ Φv a A + Ei(−k 2 ) = t ∞ − C Ei(−k 2 s ) = t p al 4πλs A = tp − Φv Ei(−k 2 ) 4πλs C = t∞ − tp a Ei( −k 2 s ) al
λ ρ γ
X (τ )
x
控制方程和边界条件
∂tl ∂ tl = al 2 ∂τ ∂x x = 0 tl = t0
2
τ =0 tlX = t p
tl = t p
∂t dX (τ ) −λl = ρlγ ∂x dτ
数学模型的待定系数法
从前面半无限介质的导热问题的解可知
x ) erf ( 4alτ
是方程
λ ( t p − tw ) ργ
dτ = X (τ )dX
tw
X (τ )
x λ ρ qconduct = qlatent γ cp = 0
X (τ ) =
第十八章 热传导反问题
第18章:热传导反问题本章导读Deform3d中得Inverse heat transfer wizard模块得目得就是获得工件热传导区域得热传导系数函数。
具体方法就是一个被热电偶处理过得工件进行淬火处理或其她热处理,在热处理中把热电偶处理过得位置对应得时间温度数据收集起来做成数据文件。
基于初始猜测得热传导系数,DEFORM3D将会运行一个淬火处理或其她热处理得仿真。
最后DEFORM3D最优化程序将会对比仿真出来得时间温度数据与实验得到得时间温度数据,并且进行最优化运算直到达到一个最优值。
预备知识热传导反问题就是反问题中得重要一类,即通过给出物体表面热流以及对物体内部得一点或多点得温度观测值,反过来推倒物体得初始状态、流动状态、边界条件、内部热源与传热系数等。
由于在实际工程中,材料得热传导特性以及边界条件、内部热源位置等往往就是不知道得,她们很难测量得到甚至根本无法直接测量得到,从而以物体表面热流、部分内部点得温度测量值等温度信息为基础,借助一些反演分析方法进行辨识就是解决这类问题得有效方法。
在反问题中,将反演参数作为优化变量,测点温度计算值与测量值之间得残差作为优化目标函数,通过极小化目标函数进行仿真。
热传导反问题(inverseheatconductionproblem, IHCP)就是基础传热学研究得热点之一,在宇宙航天、原子能技术、机械工程以及冶金等与传热测量有关得工程领域中已获得了广泛得应用研究。
下面我们就热传导反问题在某些领域得应用做一简要概述:1、无损探伤领域:对蒸汽管道、钢包等圆筒体进行疲劳分析时,需要知道内壁得温度等边界条件,但就是内壁温度往往很难直接测得,而外壁温度可以直接测得,为此,人们可以通过外壁温度分布信息来反演内壁温度得分布得情况,进而得到内壁得几何形状,实现无损探伤得目得。
2、宇宙航天领域:在引导航天器返回地面过程中,由于气动加热作用,航天器表面热流密度极高,甚至可能会影响到航天器得安全,但就是其准确值无法直接测量,可以通过测量航天器内壁得某些温度信息来推算外壁得热流。
反问题概述
反问题（inverse problem）：给定零点 x1,x2,......,xn, 求 n 次多项式
p (x ) c (x x 1 )(x x n )
Adams 于1845 年彻底解决了这个反问题。他所运用的方 法在当时是空前新颖的。令人遗憾的是，英国天文学家Airy 先 入为主地认为天王星的轨道问题是引力定律不再适用的结果， 没有重视Adams 向他提交的新行星的轨道计算结果。
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几乎与此同时，法国人Le Verrier 独立地解决了同样 的反问题。1846 年9 月23 日，柏林天文台的Galle 按照Le Verrier 提交的计算轨道着手观测，当晚就在偏离预言位 置不到1 度的地方发现了一颗新的八等星。连续观测的数 据都与Le Verrier 的预测结果吻合得很好，证实这是一颗 新行星。这时英国天文台才想起了Adams 的工作，悔之 晚矣。
目前，国际上已经能够进行三维速度全波形反演。 弹性波全波形反演研究已经成为国际潮流。
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• 正问题，一般是按着自然顺序来研究事物的
演化过程或分布形态，起着由因推果的作用。
• 反问题，是根据事物的演化结果，由可观测的
现象来探求事物的内部规律或所受的外部影响， 起着倒果求因的作用。
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• 线性方程 Ax=y • y’=y+n
• 我国反问题的研究最早由计算数学家冯康倡导（1982）。 他把反问题列为计算数学四大问题之一（正问题、反问题 、逼近问题和代数问题）
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科学史上的著名的案例
1781 年，天王星被确认为太阳系的第7 颗大行星。40年后， 法国天文学家Bouvard 搜集了一个多世纪来的全部观测资料， 包括了1781 年之前的旧数据和之后的新数据，试图用牛顿的天 体力学原理来计算天王星的运动轨道。他发现了一个奇怪的现 象：用全部数据计算出的轨道与旧数据吻合得很好，但是与新 数据相比误差远超出精度允许的范围；如果仅以新数据为依据 重新计算轨道，得到的结果又无法和旧数据相匹配。Bouvard 的治学态度非常严谨，他在论文中指出：“两套数据的不符究 竟是因为旧的观测记录不可靠，还是来自某个外部未知因素对 这颗行星的干扰？我将这个谜留待将来去揭示。”
热传导方程的热传输与数学问题
热传导方程的热传输与数学问题热传导方程的热传输和数学问题热传导方程是描述热传输现象的基本方程之一，它描述了任何固体、液体和气体中的热传输过程。
热传导方程的重要性在于它能够预测任何物体在给定的时间内的温度分布、热流等重要参数。
从物理学的角度来看，热传导是一种分子间能量传输的过程。
这种能量从较高温度区域向较低温度区域传递，结果是整个物体达到温度的均衡状态。
热传导的过程受到许多因素的影响，如温度差、压力变化、物理性质、表面条件等等。
热传导方程涉及许多数学问题，如微积分、偏微分方程、数值方法等。
为了解决热传导方程，需要建立一个数学模型来模拟物体的热传输，这样就可以预测任何物体的温度分布和热流。
对于一些复杂的几何形状，如圆柱、球体，需要使用坐标变换来解决问题。
一种常见的方法是使用分数阶微积分来解决热传导方程的问题。
分数阶微积分是扩展了经典微积分，包括分数阶积分和分数阶导数。
分数阶微积分在应用物理学、力学和统计物理学等领域中的应用越来越广泛。
对于热传导方程的数值解，数值方法是一个重要的工具。
目前，最常见的方法之一是使用有限元分析。
有限元分析是一种数值方法，它将物体划分为许多小区域，并将每个小区域视为一个简单的数学模型。
通过求解热传导方程可以获得整个物体的温度分布和热流。
数值方法的有效性和精度取决于模型的选择。
因此，数值模型的选择也是解决热传导方程的一个关键问题。
一种新的方法是使用深度学习技术来解决这个问题。
深度学习在计算机科学和人工智能领域中得到了广泛的应用，它可以从大量的数据中学习，自动发现模式并作出预测。
总之，热传导方程是物理学和工程学中的一个重要领域。
热传导方程的数学分析和数值解决方法会受到不同领域的关注。
通过数学方法和工程实践，我们可以更好地理解热传导方程，从而更好地利用和控制热传输过程，为实际应用提供更高品质的解决方案。
热传导方程的反问题(二)
热传导方程的反问题(二)热传导方程的反问题简介热传导方程是描述物质内部温度分布及其随时间变化的方程。
在实际问题中，我们常常需要根据已知的物理量推断未知的参数或场景。
这就引出了热传导方程的反问题，也称为参数估计或边界估计问题。
相关问题1.参数估计问题–问题描述：给定初始条件、边界条件和观测数据，如何估计热传导方程中的未知参数？–解决方法：采用数值优化或统计学方法进行参数估计，如最小二乘法、贝叶斯推断等。
2.边界估计问题–问题描述：给定初始条件、已知参数和观测数据，如何估计热传导方程的未知边界条件？–解决方法：采用反问题理论中的边界控制法、拟静态法或等效源法进行边界估计。
3.初始条件估计问题–问题描述：给定边界条件、已知参数和观测数据，如何估计热传导方程的未知初始条件？–解决方法：采用反问题理论中的初始控制法、拟静态法或等效源法进行初始条件估计。
4.传热源估计问题–问题描述：给定初始条件、边界条件和已知参数，如何估计热传导方程中的未知传热源分布？–解决方法：采用反问题理论中的反投影法、正则化方法或贝叶斯推断进行传热源估计。
5.不适定问题–问题描述：由于观测数据的不完备或噪声干扰等因素，反问题可能变成不适定问题，即无法唯一确定未知量。
–解决方法：采用正则化方法、贝叶斯推断或降维等技术，对问题进行合理的约束或降低问题维度，以获得稳定的解。
总结热传导方程的反问题涉及参数估计、边界估计、初始条件估计、传热源估计以及不适定问题等方面。
通过采用数值优化、统计学方法、反问题理论及正则化方法等手段，可以解决这些问题，并推断出热传导方程中的未知量。
对于不适定问题，需要合理约束或降维，以获得可靠的解。
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复旦大学
博士学位论文
热传导方程中的若干反问题
姓名:贾现正
申请学位级别:博士
专业:计算数学
指导教师:程晋
20050930
热传导方程中的若干反问题
作者:贾现正
学位授予单位:复旦大学
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