热传导方程及其定解问题的导出

第一章 热传导方程本章介绍最典型的抛物型方程—热传导方程,在研究热传导,扩散等物理现象时都会遇到这类方程.§1 热传导方程及其定解问题的导出1.1热传导方程的导出物理模型在三维空间中,考虑一均匀,各向同性的物体Ω,假定它内部有热源,并且与周围介质有热交换,需要来研究物体内部温度的分布和变化.以函数),,,(t z y x u 表示物体Ω在位置),,(z y x 及时刻t 的温度.物体内部由于各部分温度不同,产生热量的传递,它们遵循能量守恒定律. 能量守恒定律物体内部的热量的增加等于通过物体的边界流入的热量与由物体内部的热源所生成的热量的总和.在物体Ω内任意截取一块D .现在时段],[21t t 上对D 使用能量守恒定律.设),,,(t z y x u u =是温度(度),c 是比热(焦耳∕度·千克),ρ是密度(千克/米3), q是热流密度(焦耳/秒·米2),0f 是热源强度(焦耳/千克·秒).注意到在dt 时段内通过D 的边界D ∂上小块dS 进入区域D 的热量为dSdt n q ⋅-(n是D ∂的外法向),从而由能量守恒律,我们有,)||(2121120⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+⋅-=-∂==t t Dt t DDt t t t dxdydz f dt ds n q dt dxdydz u u c ρρ（1.1） 大家知道,热量流动的原因是因为在物体内部存在温差.依据传热学中的傅立叶实验定律,在一定条件下,热流向量与温度梯度成正比,u k q ∇-=（梯度⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂∂∂==∇z u y u x u gradu u ,,） （1.2） 这里负号表明热量是由高温向低温流动,k 是物体的导热系数.,nu k n u k n q ∂∂-=⋅∇-=⋅从而(1.1)式可改写为⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+∂∂=-∂==2121120)||(t t Dt t D D t t t t dxdydz f dt dS n uk dt dxdydz u u c ρρ (1.3) 假设(,,,)u x y z t 在柱体(0,)Ω⨯+∞内具有连续微商222222,,,z u y u x u t u ∂∂∂∂∂∂∂∂.则应用散度定理(或高斯公式)立得:[]22110()t t t t D Dudt c dxdydz dt k u f dxdydz t ρρ∂=∇∇+∂⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰,由于被积函数在(0,)Ω⨯+∞内连续,以及],[21t t ,D 的任意性,又由于物体均匀,各向同性,k c ,,ρ都是常数,立得:,)(0f u k tuc ρρ+∇∇=∂∂ ,)(0cf u c kt u +∇∇=∂∂ρ ,,,,,)(222222u zuy u x u z u z y u y x u x z u y u x u z y x u ∆∂∂+∂∂+∂∂=⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂∂∂⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂∂∂=∇⋅∇记为令,,02cf f c ka ==ρ∆是三维Laplace 算子,则 ,2f u a tu+∆=∂∂ （1.4） 称为热传导方程.当0≥f 时表示热源,当0≤f 时表示热汇.为了具体确定物体内部的温度分布,我们还需要知道物体的初始温度分布以及通过物体的边界受周围介质的影响. 初始条件Ω∂⋃Ω=Ω∈=),,(),,,()0,,,(z y x z y x z y x u ϕ边界条件有三类: 1.已知边界上的温度分布),,,,(t z y x g u =∑这里[0,)∑=∂Ω⨯∞.特别当≡g 常数时,称物体的边界保持恒温. 2.已知通过边界Ω∂的热量),,,,(t z y x g nu k=∂∂∑(n 为Ω∂上的单位外法向量),0≥g 表示流入,0≤g 表示流出,特别当0≡g 表示物体绝热. 3已知通过边界Ω∂与周围介质有热交换.(),00∑∑-=∂∂u g nu kα或),,,,(t z y x g u n u =⎪⎭⎫⎝⎛+∂∂∑α这里0g 表示周围介质温度,00>=kαα表示热交换系数.定解问题为了具体确定物体的温度场,我们需要求解热传导方程的某一特定的定解问题. 设Ω是空间3R 中的有界开区域.第一初边值问题⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=Ω∈=∞⨯Ω∈=∆-∂∂∑),,,(),,(),,,()0,,,(),0(),,,(,2t z y x g u z y x z y x z y x u t z y x f u a t u ϕ 第二初边值问题⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂∂Ω∈=∞⨯Ω∈=∆-∂∂∑),,,(),,(),,,()0,,,(),0(),,,(,2t z y x g nu z y x z y x z y x u t z y x f u a t u ϕ 第三初边值问题⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=⎪⎭⎫ ⎝⎛+∂∂Ω∈=∞⨯Ω∈=∆-∂∂∑),,,(),,(),,,()0,,,(),0(),,,(,2t z y x g u nuz y x z y x z y x u t z y x f u a t u αϕ初值问题(或称Cauchy 问题)⎪⎩⎪⎨⎧∈=∞⨯∈=∆-∂∂332),,(),,,()0,,,(),0(),,,(,R z y x z y x z y x u R t z y x f u a tu ϕ 什么是定解问题的解(解说一下)验证2212),(x t a t x u u +==是方程0222=∂∂-∂∂xu a t u 的一个解; ()0,21),(2242>=--t eta t x u ta x ξπ(ξ是参数)是方程0222=∂∂-∂∂x u a t u 的一个解. 数学物理方程的主要问题,在推导出方程之后,求出方程的解.然而求出一个偏微分方程的精确解一般是困难的. 附注1 方程f u a tu=∆-∂∂2虽然通常称为热传导方程,但绝不只用来表述热传导现象.事实上,自然界还有很多现象同样可用这个方程来刻划,一个重要的例子是考虑某类分子在介质(如空气,水,…)中的扩散.浓度u 的不均匀产生分子运动(扩散),它遵循质量守恒定律.根据Nernst 实验定律:分子运动速度与浓度的梯度成正比:u D v ∇-=,D 称为扩散系数.从而同样可导出分子浓度u 适合的方程f u a t u=∆-∂∂2,这里2a 是一个与扩散系数成正比的常数,f 表示反应项.因此人们通常把方程f u a tu=∆-∂∂2称为扩散方程,而u a ∆-2称为扩散项.附注2 对某些三维问题,如果根据问题的某些性质,适当选取坐标系,可以化归为或近似地化归为一维或二维问题来处理.这样的简化对于 求解定解问题,特别是求问题的近似解带来方便.例 1. 如果物体可看成一根细杆,它的侧表面绝热,它与周围介质的热交换只在杆的两端l x ,0=进行;如果在任意一个与杆的轴线垂直的截面上,初始温度和热源强度的变化很小,那么我们可以近似地认为杆上的温度分布只依赖于截面的位置.因此如果取杆的轴线为轴,那么方程(1.4)可改写为),(222t x f x u a t u =∂∂-∂∂ （1.5） 我们称它为一维热传导方程.同样,如考虑薄片物体上的热传导,薄片的侧面绝热,可得二维热传导方程.例 2 考虑一半径为R 的球体,它通过球表面与周围介质有热交换.如果在球面上所有各点所受周围介质的影响都相同,且球内任意一点的初始温度和热源强度只依赖于它到球心的距离而与它的方位无关,那么如果我们选择以球心为坐标原点并引进球坐标,从而球内的温度),(t r u u =适合方程),(2222t r f r u r ru a t u =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂-∂∂ 这是由于222),,(),,,(z y x r t r v t z y x u u ++===.rx r v x r r v x u ∂∂=∂∂∂∂=∂∂, r vrx r r x r v r x x r v r x r v r x r v x x u ∂∂-+⋅∂∂=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+⋅∂∂=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅∂∂∂∂=∂∂3222222222222, 同理 r vry r r y r v y u ∂∂-+⋅∂∂=∂∂322222222, r vrz r r z r v z u ∂∂-+⋅∂∂=∂∂322222222, 于是222222zuy u x u u ∂∂+∂∂+∂∂=∆ ()r v rz y x r r z y x r v ∂∂++-+++⋅∂∂=322222222223 r vr rv ∂∂+∂∂=222 .我们称它为球对称问题的热传导方程.例 3 考虑一高为H ,半径为R 的圆柱形物体.引入柱坐标系,取柱体的轴线为z 轴,下底落在0=z 平面上,假设在柱体的侧表面和上下底上给出的边界条件只分别依赖于z 和r (点到轴线的距离),且柱体初始温度和内部热源亦只是z r ,的函数.这样在柱体内温度),,(t z r u u =适合方程),,(122222t z r f z u r u r r u a t u =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂-∂∂ 这是一个二维轴对称问题的热传导方程. 这是由于22),,,(),,,(y x r t z r v t z y x u u +===r vrx r r x r v x u ∂∂-+⋅∂∂=∂∂322222222 r v ry r r y r v y u ∂∂-+⋅∂∂=∂∂322222222rvr r v y u x u ∂∂+∂∂=∂∂+∂∂1222222 若进一步假设柱长无穷,且通过柱体侧表面受周围介质的影响是相同的,又若柱体的初始温度的内部热源只依赖于r ,这样在柱体内温度),(t r u u =适合方程.),(1222t r f r u r r u a t u =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂-∂∂ 附注3 如果物体内部的热源以及它和外界的热交换与时间无关.这样在相当长时间以后物体内部的温度渐趋于稳定。

设),,(),,,(lim z y x v t z y x u t =+∞→,则有0lim=∂∂+∞→tut ,从而稳定温度场适合Poisson 方程Ω∈=∆-),,(,),,(2z y x z y x f v a .。