热传导方程及其定解问题的导出
大学物理-热传导方程的定解问题例题
du u dx E0 cosdR
现在计算上式从 R 0到 的积分。由于在静电 场中，上式的积分与积分的路线无关，故可取积分路 线为直线，如图(1)所示。将 E0 cos 作为常数提出积分
号外，并将 u(0) 0代入，便有
第五章 数学物理方程和定解条 件的导出 例题
5.2 热传导及稳定场问题
例1 在均匀外电场 E0中置入半径为 R0的导体球，若导体 球接有电池，使球与地保持电势差 u0 。试写出电势 u
满足的泛定方程与定解条件。设导体置入前球心位置
的电势 u(0) 0。 解：选z轴沿均匀外电场 E0的方向，见图1 。
u |R E0R cos |0R E0R cos
球面上电势连续，即 u1(R0 ) u2 (R0 ) u0
因为本题比较简单，有些条件(如周期性条件等)不需要 列出也可以求出结果，就不用列出了。
E0
u2
• • u1 u0
0
R0
z
dx
• E0
•
0
Z
(a)
(b)
（图 1）
设球内外电势分别用u1、u2 表示。
（1）泛定方程。因为除球面上 (R R0 )有自由电荷
分布外，球内外的 f 0，故
2u1 0, R R0 2u2 0, R R0
（2）定解条件 因为导体表面有限的电荷分布对无穷远处电势的
§1 热传导方程及其定解问题的导出
∫t
t2
1
t2 ∂u dt ∫∫∫ cρ dxdydz = ∫ dt ∫∫∫ [k∆u + F ( x , y , z , t )]dxdydz t1 ∂t Ω Ω
的任意性知： 由[t 1 , t 2 ]及 Ω 的任意性知：
∂u cρ = k∆u + F ( x , y , z , t ) ∂t
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2 2 2
r 如果 A = ∇u 由高斯公式： 由高斯公式：
∂Ω
∂Ω
Ω
r ∂u r ∫∫ ∇u ⋅ dS = ∫∫ ∂n dS = ∫∫∫ ∇(∇u)dV = ∫∫∫ ∆udV ∂Ω ∂Ω Ω Ω
4
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1.热传导方程的导出 热传导方程的导出
物理模型：在三维空间中，考虑一均匀、各向同性 的物体 G（其边界为分片光滑曲面 Γ ） 假定其内部有 ， 研 热源，并且与周围介质有热交换。 究物体内部温度的 分布和变化。 物理定律：物体内部由于各部分温度不同，产生热 量的传递。热传导过程中遵循 能量守恒定律，即，物 体 内 部 热 量 的 增 加 等 于 通 过 物 体的 边 界 流入 的 热 量 与 由物体内部的热源所产生的热量的总和：
5
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在G 内任取一小块 区域 Ω ，其 边界为闭曲面 ∂Ω 。
热量 热量 通过边界的流入量 热源的生成量 － ＝ ＋ t=t2 t=t1 t1≤ t ≤t2 t1≤ t ≤t2
Q1 数学推导： 数学推导：
Q2
Q3
①在时间间隔[ t1 , t 2 ]内，物体 Ω 的温度由 u( x , y , z , t1 ) 变 所需要的热量 热量为 到 u( x , y , z , t 2 )所需要的热量为Q1 ：
热传导方程的导出及其定解问题的导出
热传导方程的导出及其定解问题的导出1. 热传导方程的导出考察空间某物体G 的热传导问题。
以函数u (x ,y ,z ,t )表示物体G 在位置(x ,y ,z )及时刻t 的温度。
依据传热学中的Fourier 实验定律，物体在无穷小时段dt 内沿法线方向n 流过一个无穷小面积dS 的热量dQ 与物体温度沿曲面dS 法线方向的方向导数学成正比，即o n d udQ =-k (x ,y ,z )dSdt (1-1)o n 其中k (x ,y ,z )称为物体在点(x ,y ,z )处的热传导系数，它应取正值。
(1-1)式中负号的出 o u现是由于热量总是从温度高的一侧流向低的一侧，因此dQ 应和异号。
o n在物体G 内任取一闭曲面r ，它所包围的区域记为0，由(1-1)式，从时刻t 到t 流进12此闭曲面的全部热量为Q =f t 2仙k (x ,y ,z)—dS\dt (1-2)4I r O nJ这里表示u沿r 上单位外法线方向n 的方向导数。
o n流入的热量使物体内部的温度发生变化，在实践间隔(t ,t )中物体温度从u (x ,y ,z ,t )121变化到u (x‘y ,z ,t2)，它所应该吸收的热量是JU c (x ,y ,z )P (x ,y ,z )[u (x ,y ,z ,t )一u (x ,y ,z ,t )]dxdydz其中c 为比热，P 为密度。
因此就成立 >dt=JfJ C (x ,y ,z )P (x，y ,z)[u (x,y ,z ,12)一U (x ,y ,z ,t i )]dxdydz(1-3)假设函数u 关于变量x ,y ,z 具有二阶连续偏导数，关于t 具有一阶连续偏导数，利用格林公式，可以把(1-3)化为交换积分次序，就得到J t t 12仰(x ，y ,z )护t10O x{k 譽'O x 丿(一O u 、 +—k 二+—°y°y 丿 O z (O u 、k 一>dxdydzdt =c P JI o 丿J 「E O u dtdxdydztO t 丿dxdydzdt =0(1-4)训c P '0、由于t i,t2,0都是任意的，我们得到(1-5)式称为非均匀的各向同性体得热传导方程。
大学物理-热传导方程的定解问题
在各向同性的介质中，热流强度 q 与温度的负梯度成正比， 即
(k：热传导系数)
|q|：单位时间垂直通过等温面单位面积的热量，即 q 的方向：等温面的法线方向 (由高温指向低温) 定律的物理意义：q 正比于温度的下降率 单位时间内流入 / 流出 V 的热量为
单位时间内热源在 V 中释放 / 吸收的热量为
单位时间内，V 中介质温度升高/降低所需/放出的热量为
能量守恒定律：Q3 = Q1 + Q2 则 由 V 的任意性，得到
若介质均匀，即 k 为常量，有来自定义：，因此得到
当 V 内无热源，即 f = 0，故有
二、扩散方程 1. 扩散现象：当空间各点浓度分布不均匀时，就有粒子
从高浓度处流向低浓度处。(浓度：单位体 积中的粒子数) 2. 方程的推导 设：空间中任一小体积 V，其边界面为 S
粒子源强度：F (x, y, z, t) ——单位时间，单位体积 内产生的粒子数
求：空间各点粒子浓度 u(x, y, z, t) 的方程 V 内粒子数增加的来源：扩散 + 粒子源
扩散浓度：N ——单位时间通过垂直于 v (粒子定向运动速 度) 的单位面积的粒子数 N=uv，方向：v 的方向
对于扩散现象，有斐克定律： 扩散强度与浓度的负梯度成正比，即 D：扩散系数
扩散导致 V 内粒子增加的数量：
粒子源 V 粒子增加的数量： 内粒子数总的增加数：
因粒子数守恒，有 由 V 的任意性，得到 若 D 为常量，且设 D = a2，则
若 V 内无粒子源，即 F = 0，因而
总结：热传导：热量的传递；扩散：粒子的运动，两 者物理本质不同，但满足同一微分方程。
热传导方程热传导方程的导出及其定解条件
(1.9)
二、扩散方程
在研究分子扩散过程中也会遇到类似的方程。例如气体的扩散，液体的渗透，半
导体材料中的杂质扩散等。下面，我们来建立所考察介质扩散过程所满足的偏微分方
程。
由于扩散方程和热传导方程的导出极为类似，我们不重复这一过程。只要将扩散
过程所满足的物理规律与热传导过程所满足的物理规律作个类比，扩散方程就不难写
本章中的讨论仅限于对一个空间变量的方程进行，对于多个空间变量的情形， 可 以 进 行 类 似 的 讨 论 ， 有 兴 趣 的 读 者 可 以 参 看F. John编 著 的 《Partial Differential Equations》, Springer-Verlag, 1982.
§ 1. 热传导方程的导出及其定解条件
出。
在 推 导 热 传 导 方 程 的 过 程 中 起 基 本 作 用 的 是Fourier定 律 与 热 量 守 恒 定 律 ， 即 方
程(1.1)与方程(1.3)式。在考虑扩散过程时，我们碰到的是相应的扩散定律与质量守恒
定律，即
dm
=
−γ(x,
y,
z)
∂U ∂n
dS
dt,
(1.10)
t2 t1
S
由于t1，t2与区域Ω都是任意的，于是
νρ
∂u ∂t
=
∂ ∂x
k
∂u ∂x
+
∂ ∂y
k
∂u ∂y
+
∂ ∂z
k
∂u ∂z
.
(1.4) (1.5)
(1.5)式称为非均匀的各向同性介质的:热:::传::导:::方::程:::。如果介质是均匀的，此时k ，ν 及ρ均 为常数，记k/νρ = c2，即得
热传导方程
0
(1 − ξ) sin kπξdξ
例 2.3 如果有一长度为 l 的均匀细棒, 其周围以及两端 x = 0, x = l 均为绝热, 初始温度 分别为 u( x, 0) = f ( x), 问以后时刻的温度分布如何? 且证明当 f ( x) 等于常数 u0 时, 恒 有 u( x , t ) = u0 . 解: ( 2 2 ) ut = a2 u xx , ∞ ∑ kπ k π u x | x=0 = u x | x=l = 0, ⇒ u( x, t) = Ck exp − 2 a2 t cos x l l u| k=0 t=0 = f ( x). ∫ ∫ 1 l 2 l kπ C0 = f (ξ)dξ, Ck = f (ξ) cos ξdξ (k 0) l 0 l 0 l f ( x ) ≡ u0 ⇒ C0 = u0 , Ck = 0 (k 0) ⇒ u( x, t) ≡ u0 .
∞ ∑
(
例 2.5 长度为 l 的均匀细杆的初始温度为 0 ◦ C, 端点 x = 0 保持常温 u0 , 而在 x = l 和 侧面上, 热量可以发散到周围的 介质中去, 介质的温度为 0 ◦ C, 此时杆上的温度分布函数 u( x, t) 满足下述定解问题: ut = a2 u xx − b2 u, u(0, t) = u0 , (u x + Hu)| x=l = 0, u( x, 0) = 0. 试求出 u( x, t). 解: 令 u( x, t) = e−b t v( x, t) + ψ( x), 则当 ψ( x) 满足
T ′ + λa2 T = 0, X (0) = X ′ (π) = 0. k = 0, 1, 2, . . . ( 1) sin k + x. 2
温度场传输方程及定解条件的求解方法研究
温度场传输方程及定解条件的求解方法研究热传导是自然界中常见的一种热量传递方式，其具有重要的理论和应用价值。
在很多现代工业领域中，如材料加工、熔炼、焊接、注塑、电子散热等，热传导的研究与应用都是必不可少的工作。
热传导问题的研究建立在热传导的基本方程式上，其中最基本的方程式就是温度场传输方程。
本文主要探讨温度场传输方程及定解条件的求解方法研究。
一、温度场传输方程的基本理论温度场传输方程是描述物体内部温度分布随时间变化的方程。
它的基本形式可以表示为：∂T/∂t - α ∇²T = q其中，T表示温度，t表示时间，α表示热传导系数，∇²表示拉普拉斯算子，q表示热源项。
在一些情况下，比如固定边界条件下的热传导问题，T的变化只与时间有关，因此，温度场传输方程可以简化为：∂T/∂t - α ∇²T = 0二、求解温度场传输方程的方法1. 分离变量法利用分离变量法可以将温度场传输方程简化为一系列常微分方程，从而容易求解。
具体地，假设温度场T有一个可分离变量的解，即：T(x,y,z,t) = X(x)Y(y)Z(z)T(t)带入温度场传输方程，可以得到以下结果：X''/X + Y''/Y + Z''/Z + λ = γT/T其中，λ和γ是常数。
由于每个部分只与自己对应的坐标有关，因此可以把它们看作是互相独立的问题。
接着，利用定解条件求解每个常微分方程，最后组合在一起得到温度场的解。
2. 有限差分法有限差分法是利用网格点函数逼近微分方程的一种数值方法。
将连续的物理空间离散化为网格，利用差分近似代替微分，继而求解差分方程。
对于温度场传输方程，可利用有限差分法求解。
具体地，将温度场的各个变量在网格上离散化，然后利用差分公式近似替代微分项，从而得到离散方程。
接着利用初值和边界条件求解出网格点的温度。
三、定解条件的求解方法定解条件是温度场传输方程求解的必要条件。
热传导方程习题解答
齐海涛 (SDU)
数学物理方程
2015-11-27 13 / 51
初边值问题的分离变量法
Example 2.1
用分离变量法求下列定解问题的解:
ut = a2uxx (t > 0, 0 < x < π), u(0, t) = ux(π, t) = 0 (t > 0), u(x, 0) = f(x) (0 < x < π).
故单位时间流入 (x, x + ∆x) 的热量为
( ∂
) ∂u
πl2
dQ = dQ1 + dQ2 + dQ3 = ∂x
k(x) ∂x
·
x∗
4 ∆x − k1(u − u1)πl∆x.
综上, 从时刻 t1 到 t2 流入位于 [x1, x2] 杆段的热量为
∫ t2
t1
∫ x2
x1
[ ∂ ∂x
(
)
∂u
k(x) ∂x
y,
z)
∂N ∂n
dSdt.
因此从时刻 t1 到 t2 流入区域 Ω (Γ 为 Ω 的表面) 的质量为
∫ t2
D(x, y, z) ∂N dSdt = ∫ t2
t1
Γ
∂n
t1
div(DgradN)dxdydzdt.
Ω
齐海涛 (SDU)
数学物理方程
2015-11-27 5 / 51
热传导方程及其定解问题的导出
(
)
∂u 1 ∂ ∂t = cρ ∂x
∂u k(x) ∂x
−
4k1 cρl
(u
−
u1).
齐海涛 (SDU)
数学物理方程
2015-11-27 4 / 51