LatticeClassification晶体晶格种类
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七大晶系中14个Bravais lattice所对应的材料
固体物理调研报告七大晶系中所对应的材料七大晶系，有十四个Bravais lattice，三十二个点群，230种空间群。
（一）三斜晶系：三斜晶系（triclinic system）是七个晶系中对称性最差的晶系，其特点是既无高次对称轴，也无二次轴和对称面，有的可以有对称中心，有的连对称中心都没有。
所以它的三个结晶轴均相互斜交，轴角a≠b≠c≠90°，轴单位口a≠b≠c。
该晶系也具强非均质性，也有三个主折射率。
但其方向与结晶轴无关。
习见的晶形主要是几种平行双面的聚形。
属于这个晶系的材料：胆矾（CuSO4·5H2O）、硅灰石（CaSiO3）、蓝晶石（Al2SiO5）等等胆矾（硫酸铜矿）（Chalcanthite，Copper Vitriol）化学成分：CuSO4·5H2O。
间含少许铁、锌，有时并含钒、钴、镁、锰等。
晶系及晶形：三斜晶系。
晶形呈厚板状，通常为钟乳状、肾状、葡萄状、纤维状、皮壳状及泉华状、粉末状等。
物理特征：其颜色为深蓝色、天蓝色、淡蓝色等。
条痕为白色或淡蓝色，玻璃光泽，透明至微透明。
贝壳状断口。
解理平行（110），不完全。
性脆。
摩氏硬度为2.5，相对密度为2.1～2.3。
光学特征：二轴晶负光性。
折射率Ng=1.546，Nm=1.539，Np=1.516。
用途：用作杀虫剂及化工原料（造纸、印刷、染色术等）。
晶体完美者，可用来观赏。
产状：产于铜矿床氧化带内。
产地：瑞典、法国、美国、中国（云南、新疆等地）。
（二）单斜晶系：属低级晶族。
其对称特点是，无高次轴，且二次对称轴和对称面均不多于一个。
晶体即以此二次对称轴或对称面发现作为b轴。
b轴与a轴、c轴均成正交，a轴与c轴则斜交，轴角α=γ= 90°，β≠90°，轴单位a不等于b不等于c。
属于单斜晶系的有β-S、CaSO4·2H2O 等带有底轴面的棱晶常见于这种晶系中。
属于这个晶系的材料：正长石（K[AlSi3O8]）、钾石膏（K2Ca(SO4)2·2H2O）、雄黄矿（AsS）等等正长石以L2为b轴，两个垂直b轴的晶棱方向为a、b轴。
固体物理 1.2_晶格的基本类型
所属点群
四方 三角 六角 立方
简单四方 体心四方
三角
六角
简单立方 体心立方 面心立方
a=b c
a= b ＝= 90º
a=b=c
a= b ＝ 90º
C4、S4、C4h、D4 C4V、D2d、D4h
C3、S6、D3 C3Ｖ、D3d
a=b c
C6、C3h、C6h、D6、
a= b ＝ 90º, =120º C6V、D3h、D6h
第 1 章 晶体结构
1.2 晶格的基本类型
立方体的对称操作
对称操作 对称操作数
不动
1
6个2度轴
6
总的对称操作数：
4个3度轴
8
24+24=48
3个4度轴
9
旋转反演
24
15
第 1 章 晶体结构
1.2 晶格的基本类型
正四面体的对称操作
对称操作 对称操作数
不动
1
3个2度轴
3
4个3度轴
8
总旋转操作数 1+3+8=12
第 1 章 晶体结构
1.2 晶格的基本类型
点阵（或晶体）中的对称元素：
（ａ）转动轴： 1、2、3、4、6
（ｂ）转动反演： 4
（ｃ）对称心：
ｉ
（ｄ）镜面：
ｍ
一种点阵可以同时存在若干种对称元素。对称操作的一种特 定的组合方式叫做点群。点群在“群论”中有严格的定义 ，点群代表的是点阵或晶体的对称性，也就是点阵或晶体 能进行什么样的对称操作。
第 1 章 晶体结构
1.2 晶格的基本类型
对称操作通常包括两大类： 平移对称操作
点对称操作
第 1 章 晶体结构
Lattice Classification 晶体晶格种类
Shiv K. Gupta Department of Applied Mechanics,
Notation
P: I: Primitive (lattice points only at the corners of the unit cell) Body-centred (lattice points at the corners + one lattice point at the centre of the unit cell)
Rotational symmetry Reflection symmetry
Shiv K. Gupta Department of Applied Mechanics,
Symmetry classification of lattices
Based on rotational and reflection symmetry alone 7 types of lattices 7 crystal systems
three 2-fold axis one 6-fold axis one 3-fold axis one 2-fold axis none
Shiv K. Gupta Department of Applied Mechanics,
Tetragonal symmetry
Cubic symmetry
Shiv K. Gupta Department of Applievais lattices divided into seven crystal systems
Crystal system
1. Cubic 2. Tetragonal
Bravais lattices
Face-centred cubic in the Bravais list ?
Notation
P: I: Primitive (lattice points only at the corners of the unit cell) Body-centred (lattice points at the corners + one lattice point at the centre of the unit cell)
Rotational symmetry Reflection symmetry
Shiv K. Gupta Department of Applied Mechanics,
Symmetry classification of lattices
Based on rotational and reflection symmetry alone 7 types of lattices 7 crystal systems
three 2-fold axis one 6-fold axis one 3-fold axis one 2-fold axis none
Shiv K. Gupta Department of Applied Mechanics,
Tetragonal symmetry
Cubic symmetry
Shiv K. Gupta Department of Applievais lattices divided into seven crystal systems
Crystal system
1. Cubic 2. Tetragonal
Bravais lattices
Face-centred cubic in the Bravais list ?
晶体结构特征、理论及类型
Cs :1个
晶胞中离子的个数: Cl- :811个 8 晶体结构特征、理论及类型
ZnS型(立方型)
晶格: 面心立方
配位比: 4:4
(红球－Zn2+ ,
绿球－S2-)
晶胞中离子的个数: Zn2+ :4个
S2- :61814个
2 晶体结构特征、理论及类型
8
半径比(r+/r-)规则: 其中一层横截面:
晶体结构特征、理论及类型
2.球的密堆积
(1)六方密堆积:(hexagonal closest packing, hcp)
同层每个 球周围有六个 球，第三层与 第一层对齐， 形成ABAB… 排列方式。
配位数：12
晶体结构特征、理论及类型
(2)面心立方密堆积:(cubic closest packing,ccp)
(2) 晶胞的内容：粒子的种类，数目及它在晶 胞中的相对位置。
按晶胞参数的差异将晶体分成七种晶系。
晶系
边长
夹角
晶体实例
立方晶系
三方晶系 四方晶系 六方晶系 正交晶系
单斜晶系 三斜晶系
a=b=c
a=b=c a = b≠c a = b≠c a≠b≠c a≠b≠c a≠b≠c
α=β=γ= 900
α=β=γ≠900 α=β=γ= 900 α=β= 900, γ= 1200 α=β=γ= 900
△ rHm78k6Jmo-1l U 78k6Jmo-1l
晶体结构特征、理论及类型
影响晶格能的因素： ① 离子的电荷(晶体类型相同时)
Z↑,U↑ 例:U(NaCl)<U(MgO) ② 离子的半径(晶体类型相同时)
R↑,U↓ 例:U(MgO)>U(CaO)
晶胞中离子的个数: Cl- :811个 8 晶体结构特征、理论及类型
ZnS型(立方型)
晶格: 面心立方
配位比: 4:4
(红球－Zn2+ ,
绿球－S2-)
晶胞中离子的个数: Zn2+ :4个
S2- :61814个
2 晶体结构特征、理论及类型
8
半径比(r+/r-)规则: 其中一层横截面:
晶体结构特征、理论及类型
2.球的密堆积
(1)六方密堆积:(hexagonal closest packing, hcp)
同层每个 球周围有六个 球，第三层与 第一层对齐， 形成ABAB… 排列方式。
配位数：12
晶体结构特征、理论及类型
(2)面心立方密堆积:(cubic closest packing,ccp)
(2) 晶胞的内容：粒子的种类，数目及它在晶 胞中的相对位置。
按晶胞参数的差异将晶体分成七种晶系。
晶系
边长
夹角
晶体实例
立方晶系
三方晶系 四方晶系 六方晶系 正交晶系
单斜晶系 三斜晶系
a=b=c
a=b=c a = b≠c a = b≠c a≠b≠c a≠b≠c a≠b≠c
α=β=γ= 900
α=β=γ≠900 α=β=γ= 900 α=β= 900, γ= 1200 α=β=γ= 900
△ rHm78k6Jmo-1l U 78k6Jmo-1l
晶体结构特征、理论及类型
影响晶格能的因素： ① 离子的电荷(晶体类型相同时)
Z↑,U↑ 例:U(NaCl)<U(MgO) ② 离子的半径(晶体类型相同时)
R↑,U↓ 例:U(MgO)>U(CaO)
1.1晶格
二.原胞和基矢
既然点阵是等同点的集合，我们只要绘出一个 点阵的最小周期单元（一个阵点及相应空间）即 可，这个最小的周期重复单元称作点阵的原胞 （Primitive cell ）。 二维点阵的原胞是平行四边形，三维点阵的 原胞是平行六面体。 以原胞的边长为点阵基矢构成平移矢量，可 以把原胞复制满空间。
二维点阵的基矢和原胞
a2
Ⅲ a1
a2
Ⅳ
Ⅰ
a1
a2
Ⅱ a1
a2 a1
Ⅰ
这是一个二维简单斜方点阵，原胞和基矢的选取都 不是唯一的，但一定有相同的面积。一般我们选Ⅰ 为代表该点阵的原胞，称作斜方点阵。
另一标准选取法：Wigner-Seitz原胞
以格点为中心，取 和近邻格点连线垂 直平分线（面）围 成的面积（体积） 为原胞。
六角相绿玉 单斜相石膏
三角相石英
非晶琥珀
石膏沿特定方向被切开。这 一过程被称为解理，容易被 切开的面被称为解理面。
切点
切 点
最终被切开
离子晶体沿特定 方向被解理的示 意图。
1.1 晶格（Crystal lattice）
一. 什么是晶格？
X光衍射证实，晶体外形的对称性是其组成原 子在空间做有规律的周期性排列的结果。
三维情况有两种方式：
按ABAB规律层状排列，形成密堆六角点阵：
原子六角密堆(ABABAB…)排列形成六角结构， 每个原子由12近邻，晶体基元有2个原子。
a1 a2 a3
120, 90
120, 90
具有密堆六方点阵排列的元素晶体有： Be,Mg,Zn,Cd,Gd,Tb,Dy,Ho,Er,Tm,等 化合物晶体也很多。
原胞(Primitive unit cell)：产生完全平移覆盖的晶格最小单元。不唯一，以 方便为准。同一晶格中的各种原胞选择之间体积大小相同.Bravais点阵的原胞只 含一个原子 ,非Bravais点阵的原胞含多个原子。 Wigner-Seitz 原胞由Bravais点 阵中以一个格点为中心的最短和次短的格矢量的中垂面围合而成。 单胞(Conventional unit cell)：为更好显示晶格的旋转和镜像反射对称性而选 的一倍或几倍于原胞的晶格单位. 注意单胞的定义与非Bravais点阵无关.晶格常 数a通常指单胞的边长。
LatticeClassification晶体晶格种类
Crystal system
1. Cubic 2. Tetragonal
Bravais lattices
P P I I F
3. Orthorhombic
4. Hexagonal 5. Trigonal 6. Monoclinic 7. Triclinic
P
P P P P
I
F
C
C
Shiv K. Gupta Department of Applied Mechanics,
Rotational symmetry Reflection symmetry
Shiv K. Gupta Department of Applied Mechanics,
Symmetry classification of lattices
Based on rotational and reflection symmetry alone 7 types of lattices 7 crystal systems
Rotation Axis
If an object come into self-coincidence through smallest non-zero rotation angle of then it is said to have an nfold rotation axis where 0
Face-centred cubic in the Bravais list ?
Problem 3.1
Shiv K. Gupta Cubic F = Tetragonal I Department of Applied Mechanics,
14 Bravais lattices divided into seven crystal systems
1. Cubic 2. Tetragonal
Bravais lattices
P P I I F
3. Orthorhombic
4. Hexagonal 5. Trigonal 6. Monoclinic 7. Triclinic
P
P P P P
I
F
C
C
Shiv K. Gupta Department of Applied Mechanics,
Rotational symmetry Reflection symmetry
Shiv K. Gupta Department of Applied Mechanics,
Symmetry classification of lattices
Based on rotational and reflection symmetry alone 7 types of lattices 7 crystal systems
Rotation Axis
If an object come into self-coincidence through smallest non-zero rotation angle of then it is said to have an nfold rotation axis where 0
Face-centred cubic in the Bravais list ?
Problem 3.1
Shiv K. Gupta Cubic F = Tetragonal I Department of Applied Mechanics,
14 Bravais lattices divided into seven crystal systems
晶体的周期性结构(2)(倒格矢)
波恩-卡曼边界条件
• 电荷密度、势能等物理量满足迭加原理，如
V (r )
V
l
原子
r R l
• 理想的无限大晶体具有平移周期性，这样的物 理量满足
F (r R l ) F (r )
• 实际的晶体都是有限大小的， 并不满足严格的 平移对称性
F (r R l ) F (r )
2
N 3是 原 胞 的 总 数 ，
k 是 满 足 波 恩 -卡 曼 周 期 性 边 界 条 件 的 波 矢 量
k
l1 N1
b1
+
l2 N
2
b2+
l3 N
3
b3
• 对于布里渊区中许可波矢 k 的求和可化为对
k 的连续积分
kBZ
(.....)
V ( 2 )
3
( . . . . )d
3
k
正、倒对应关系
• 互为正格子、倒格子
b 1 2 b 2 2 b 3 2 a2 a3 a 1 (a 2 a 3 ) a 3 a1 a 1 (a 2 a 3 ) a1 a 2 a 1 (a 2 a 3 )
a 1 2 a 2 2 a 3 2 b2 b3 b 1 (b 2 b 3 ) b 3 b1 b 1 (b 2 b 3 ) b1 b 2 b 1 (b 2 b 3 )
j
bi a
2
ij
• 那确实可以满足上述关系，确实可以满足Kh所 有的段点为格点（即有可用基矢和整数表示的 平移周期性）
• bi就是倒格子基矢
• 如果确定了正格子基矢，倒格子基矢就不是任 意的。利用矢量关系
固体物理(第3课)晶格分类
自身重合，则此对称操作称为旋转，轴u称为 n度旋转对称轴（n度轴），记作n。 n=1,2,3,4,6
n度旋转
=2/4 =2/2 =2/6 =2/3 =2/1
(2)中心反演：
如果晶体中存在一 个固定点O，当以O 为坐标原点，并将晶 体中任一点（x，y， z）变为（－x，-y，z）时，晶体能与自 身重合，则该对称操 作称为中心反演，点 O为反演中心，记作i。
a1 d h1h2 h3＝ h1
Gh a1 (h1b1 h2b2 h3b3 ) 2 Gh h1 Gh Gh
返回
3.倒易点阵与傅里叶变换
Γ (r ) r x1a1 x2 a2 x3a3 x1、x2、x3 R 若有r ＝r Rl， Rl l1a1 l2 a2 l3 a3 l1、l2、l3 Z 则有Γ (r ) Γ (r ) (示意图) Γ (r )为周期函数 将Γ (r )作傅里叶级数展开，有： Γ (r ) ＝
晶系与布喇菲原胞
结晶学中的布喇菲原胞(晶胞)一般包括几个最小重复 单元，格点不仅在顶角上，而且可以在体心或面心上。 晶轴：晶胞的基矢沿对称轴或在对称面的法向上，构 成了晶体的坐标系，基矢即是晶轴。 晶系：把晶胞基矢 a、b 、c 满足同一类要求(边长a，b， c和夹角α，β，γ)的一种或数种布喇菲格子称为一个 晶系。 七大晶系→14种布喇菲格子（14种布喇菲原胞，14种 晶胞）* (示意图)
晶系示意图
级别 晶系 三斜 布喇菲 原胞数 简单三斜 对称特征 没有对称轴或只有 一个反演中心 坐标系的性质 a≠b≠c α≠β≠γ a≠b≠c α=γ=90º β＞90º a≠b≠c α=β=γ=90º a=b=c α=β=γ≠90º
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可编辑ppt
8
14 Bravais lattices divided into seven crystal systems
Crystal system 1. Cubic 2. Tetragonal
Bravais lattices
? P I
F
PI
3. Orthorhombic P I
FC
4. Hexagonal
Crystal system
Bravais lattices
1. Cubic
PI
F
2. Tetragonal
PI
3. Orthorhombic P I
FC
4. Hexagonal
P
5. Trigonal
P
6. Monoclinic
P
C
7. Triclinic
P
可编辑ppt
7
Orthorhombic C End-centred orthorhombic Base-centred orthorhombic
Crystal system
Bravais lattices
1. Cubic
PI
F
Simple cubic Primitive cubic Cubic P
Body-centred cubic Cubic I
可编辑ppt
Face-centred cubic Cubic F
6
14 Bravais lattices divided into seven crystal systems
15 lattices
14 lattices
可编辑ppt
13 lattices
14
What is the basis for classification of lattices
into 7 crystal systems
and 14 Bravais lattices?
可编辑ppt
15
Lattices are
System 4. Hexagonal
Unit Cell Shape a=bc, == 90, =120
5. Rhombohedral a=b=c, ==90
6. Monoclinic
abc, ==90
7. Triclinic
abc,
可编辑ppt
5
14 Bravais lattices divided into seven crystal systems
Problem 3.1
Cubic F =可T编辑eptprt agonal I
12
14 Bravais lattices divided into seven crystal systems
Crystal system
Bravais lattices
1. Cubic
PI
FC
2. Tetragonal
Classification of lattice
The Seven Crystal System
And
The Fourteen Bravais Lattices
可编辑ppt
1
7 crystal Systems
System 1. Cubic
Unit Cell Shape a=b=c, ===90
可编辑ppt
non-zero rotation angle of then it is said to have an n-
fold rotation axis where
n
360
0
=180 n=2 2-fold rotation axis
=90 n=4
可编辑ppt
4-fold rotation axis
20
classified on the
basis of their
symmetry
可编辑ppt
16
What is symmetry?
可编辑ppt
17
Symmetry
If an object is brought into selfcoincidence after some operation it said to possess symmetry with respect to that operation.
可编辑ppt
18
Rotational symmetry
A rectangle comes into self-coincidence by 180 degrees rotation
可编辑ppt
19
Rotation Axis
If an object come into self-coincidence through smallest
PI
3. Orthorhombic P I
FC
4. Hexagonal
P
5. Trigonal
P
6. Monoclinic
P
C
7. Triclinic
P
可编辑ppt
13
ML Frankenheim
Auguste Bravais 1811-1863
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Reflection (or mirror symmetry)
可编辑ppt
21
Translational symmetry
Lattices also have translational symmetry
2
7 crystal Systems
System 2. Tetragonal
Unit Cell Shape a=bc, ===90
可编辑ppt
3
7 crystal Systems
System 3 Orthorhombic
Unit Cell Shape abc, ===90
可编辑ppt
4
7 crystal Systems
P
5. Trigonal
P
6. Monoclinic
P
C
7. Triclinic
P
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9
End-centred cubic not in the Bravapipmt ple Tetragonal 10
14 Bravais lattices divided into seven crystal systems
Crystal system
Bravais lattices
1. Cubic
PI
FC
2. Tetragonal
PI
3. Orthorhombic P I
FC
4. Hexagonal
P
5. Trigonal
P
6. Monoclinic
P
C
7. Triclinic
P
可编辑ppt
11
Face-centred cubic in the Bravais list ?