一元一次方程初中数学竞赛专题讲座(26份初中数学竞赛教程)

学科：奥数

教学内容：一元一次方程

【内容综述】

一元一次方程是最简单的方程，它是进一步学习方程、不等式和函数的基础，许多方程都是通过变形后转化为一元一次方程来解的。本期主要介绍一些解一元一次方程的基本方法和技巧。

只含有一个未知数（又称为一元），且其次数是1的方程叫做一元一次方程，任何一个一元一次方程总可以化为的形式，这是一元一次方程的标准形式（最简形式）。

解一元一次方程的一般步骤：（1）去分母；（2）去括号；（3）移项；（4）合并同类项，化为最简形式；（5）方程两边同除以未知数的系数，得出方程的解。

【要点讲解】

§1 含参量的一元一次方程

含有参变量的方程在求解时往往需分类讨论，关于的方程。

因为未注明，所以它的解有下面三种情况：

（1）当时，方程有唯一解；

（2）当时，方程的解为任意数；

（3）当，时，方程无解。

★例1解关于χ的方程。

思路这是含参量的一元一次方程，需分类讨论。

解：把原方程变形为

即

当，即且时，方程有唯一解；

当且，即且时，方程无解；

当且，即时，方程的解为任意数。

★★例2若a，b，c是正数，解方程。

解法一：原方程两边乘以abc，得到方程

,

移项合并同类项得

即

由，，知

,

即。

解法2：对原方程左端的每一项减去1，得

即

∵由，，知

∴

∴

说明通过细心观察方程的自身特点，巧妙地分析为3个，为3个，使原方程易于求解。

★★例3k为何正数时，方程的解是正数？

思路当方程有唯一解时，此解的正负可由a，b的取值确定：

（1）若b=0时，方程的解是零；反之，若方程的解是零，b=0成立。

（2）若时，则方程的解是正数；反之，若方程的解是正数，则成立。

（3）若时，则方程的解是负数；反之，若方程的解是负数，则成立。

解：按未知数χ整理方程得

要使方程的解为正数，需要

不等式的左端

因为，所以只要或时上式大于零，所以当或时，原方程的解是正数，因此或，即为所求。

§2 含有绝对值符号的一次方程

解含有绝对值符号的一次方程时，可利用绝对值的定义脱去绝对值符号，转化为普通的一元一次方程。其关键是需分情况脱去绝对值符号。

★★★例4若关于χ的方程无解，只有一个解，有两个解，则m，n，k的大小关系是（）

（A）；（B）；

（C）；（D）；

思路对于方程，

当时，此时方程无解；

当时，此时方程的解为；

当时，此时方程的解为或。

解：无解，则

有一个解，则

有两个解，则。

所以，成立，选择（A）。

例5解关于χ的方程

（1）；

（2）。

思路解含有绝对值符号的方程的关键是去绝对值符号，这可用“零点分段法”，即令，，分别得到χ=-2，χ=3，用-2，3将数轴分成三段：χ≥3，-2＜χ＜3，χ≤-2然后在每一段上去掉绝对值符号再求解。

解：（1）当χ≤-2时，原方程化为

解得χ=-2；

当-2＜χ＜3时，原方程化为

即5=5，所以-2＜χ＜3是原方程的解。

当χ≥3时，原方程化为

解得χ=3。

综合以上得，原方程的解为-2≤χ≤3。

（2）当χ＜2时，原方程化为

即

由知，若a>1时，解为；

当2≤χ≤3时，原方程化为

即若a=1时，解为2≤χ≤3；

当a>3时，原方程化为

即

由知，若a>1时，解为。

综合以上得；当a>1时，解为；当a=1时，解为2≤χ≤3；当a<1时，无解。

说明由绝对值符号内代数式值为零解出分类“零点”；在每种情况下求得的解必须在分类条件内；对含字母的方程需要进行讨论。

★★★★例6求关于χ的方程的所有解的和。

思路此方程有两层绝对值符号，先由，利用绝对值的定义，去掉外层的绝对值符号，使得方程转化为只含有一个绝对值符号的方程，然后再去掉里层的绝对值符号求解。

解：由原方程得

即

∴，，，，

故

§3 含有高斯函数符号的一次方程

高斯函数表示不超过的最大整数，如，，，解含高斯符号的方程的基本方法是，利用定义脱去方括号符号，转化为普通一元一次方程求解。

★★★★例7求方程的所有根的和。

解：设（t为整数。）

则,

因为

即,

t=-2, -3

对应的为,。从而原方程所有根的和

★★★★★例8设n是自然数，表示不超过的最大整数，解方程

思路因，由是n自然数，知n与n+1中必为一奇一偶，所以是整数。因是整数，2，3，4，5，…，n都是整数，所以由=

解：原方程变形为

合并同类项得

即

A级

★1．若方程与方程是同解方程，则的值为（）

（A）4；（B）-4；

（C）8；（D）-8。

★★2．方程的解是（）

（A）1996；（B）1997；（C）1998；（D）1999。

★★★3．是关于χ的一元一次方程，且χ有惟一解，则χ=______________。

★★★4．如果表示不超过χ的最大整数，那么方程

的解χ=____________。

★★★5．已知方程，当取何值时，方程无解？当取何值时，方程有无穷多个解？当取3时，方程的解是多少？若方程的解是-2，那么的值是多大？

B级

★★★6．已知方程有一个负根而且没有正根，那么的a取值范围是

__________。

★★★7．如果关于χ的方程有无穷多个解，那么参数a的值满足条件__________。

★★★★8．若a>0, b<0，则方程的解是什么？

9．若abc=1，解方程。

参考答案与提示:

A级

1．（D）；

2．（D），提示：利用拆项求和法将原方程化简为。

3．1.5，提示：由题意得3a+2b=0，且a≠0。

4．-2，提示：方程变形为，显然χ只能是整数，且χ<0。

5．当时，方程无解；当时，方程有无穷多个解；当=3时，χ=2；当χ=-2时，=1。

B级

6．a≥1，提示：由方程有负根，有，从而，故；若方程有正根，则χ=χ+1，即，解出<1，从而方程没有正根应≥1。

7．a=±4，提示：分χ≤-1,-1<χ<3, χ≥3，三种情况来讨论。

8．当χ≥a时，原方程化为，解得χ=。当b<χ<时，原方程化为，此式恒成立。当χ≤b时，原方程化为，解得χ=b，综上原方程的解是b≤χ≤a。

9．

∴原方程的解为χ=1999。