初1数学竞赛教程含例题练习及答案⑾
2023年初一数学竞赛教程含例题练习及答案⑽
初一数学竞赛讲座第10讲计数措施与原理计数措施与原理是组合数学重要课题之一, 本讲简介某些计数基本措施及计数基本原理。
一、枚举法一位旅客要从武汉乘火车去北京, 她要理解所有可供乘坐车次共有多少, 一种最易行措施是找一张列车运行时刻表, 将所有从武汉到北京车次逐一挑出来, 共有多少次车也就数出来了, 这种计数措施就是枚举法。
所谓枚举法, 就是把所规定计数所有对象一一列举出来, 最终计算总数措施。
运用枚举法进行列举时, 必要注意无一反复, 也无一遗漏。
例1 四个学生每人做了一张贺年片, 放在桌子上, 然后每人去拿一张, 但不能拿自己做一张。
问: 一共有多少种不一样措施？解：设四个学生分别是A, B, C, D, 她们做贺年片分别是a, b, c, d。
先考虑A拿B做贺年片b状况（如下表）, 一共有3种措施。
同样, A拿C或D做贺年片也有3种措施。
一共有3＋3＋3=9（种）不一样措施。
例2 甲、乙二人打乒乓球, 谁先连胜两局谁赢, 若没有人连胜头两局, 则谁先胜三局谁赢, 打到决出输赢为止。
问: 一共有多少种也许状况？解：如下图, 咱们先考虑甲胜第一局状况：图中打√为胜者, 一共有7种也许状况。
同理, 乙胜第一局也有 7种也许状况。
一共有 7＋7=14（种）也许状况。
二、加法原理假如完毕一件事情有n类措施, 而每一类措施中分别有m1, m2, …, mn种措施, 而无论采用这些措施中任何一种, 都能单独地完毕这件事情, 那么要完毕这件事情共有: N=m1+m2+…mn种措施。
这是咱们所熟知加法原理, 也是运用分类法计数根据。
例3 一种自然数, 假如它顺着数和倒着数都是同样, 则称这个数为“回文数”。
例如1331, 7, 202都是回文数, 而220则不是回文数。
问: 1到6位回文数一共有多少个？按从小到大排, 第个回文数是多少？解: 一位回文数有: 1, 2, …, 9, 共9个；二位回文数有: 11, 22, …, 99, 共9个；三位回文数有: 101, 111, …, 999, 共90个；四位回文数有: 1001, 1111, …, 9999, 共90个；五位回文数有: 10001, 10101, …, 99999, 共900个；六位回文数有：100001, 101101, …, 999999, 共900个。
初中一年级数学竞赛第1试试题(附参考答案)
初中一年级数学竞赛第1试试题一、选择题(每小题5分，共50分) 1·－20011的负倒数是( )· A ．－20011 B ．2001 C·－2001 D ．20011 2．下列运算中，正确的一个是( )． A ．(－2)3=－6 B ．-(－3)2=－9 C ．23×23=29D ．－23÷(－2)=4 3．若|m|>m ，则m 的取值范围是( )． A ． m≥0 B m≤O C．m>0 D ．m<O4．如图，∠AOD 是直角，∠AOB=∠BOC=∠COD．在图中所有的角中,45°的角有( )． A ． O 个 B ．1个 C ．2个 D ．3个5．当x=32时，代数式1+3x 的值是－32的( )． A ．绝对值 B ．倒数 C ．相反数 D ．倒数的相反数6．珠穆朗玛峰峰顶比吐鲁番盆地底部高9003 m ．已知，珠穆朗玛峰海拔高度是8848 m ，则吐鲁番盆地的海拔高度是( )．A ．－155 mB ．155 mC ．－17851 mD ．17851 m 7．下面四个命题中．正确的命题是( )． A ．两个不同的整数之间必定有一个正数 B ．两个不同的整数之间必定有一个整数 C ．两个不同的整数之间必定有一个有理数 D ．两个不同的整数之间必定有一个负数8．如图，在一个正方形的四个顶点处，按逆时针方向各写了一个数：2，0，O ，1．然后取各边中点，并在各中点处写上其所在边两端点处的两个数的平均值．这四个中点构成一个新的正方形，又在这个新的正方形四边中点处写上其所在边两个端点处的两个数的平均值．连续这样做到第10个正方形，则图上写出的所有数的和是( )． A ．30 B ．27 C ．20 D ．109．If ma m b 3-nand n a b mare similar terms ，then the value of(m —n)200lis( )．(英汉小字典：similar terms 同类项；value 值．) A ．O B ．1 C ．－1 D ．－3200l10．若k 为整数，则使得方程(k －1999)x=2001—2000x 的解也是整数的k 值有( )．A ．4个B ．8个C ．12个D ．16个 二、A 组填空题(每小题5分，共50分) 11．计算：19197676767676191919 =12．若|x+y －1|与|x —y+3|互为相反数．则(x+y)2001=13．已知5是关于x 的方程3mx+4n=0的解，那么n/m=14．将2001表示为若干个(多于1个)连续正奇数的和，考虑所有不同的表示方法．将每种表示方法中的最大的奇数取出来归于一组，则这组数中最大的数是 ．15．为使某项工程提前20天完成任务，需将原定的工作效率提高25%．则原计划完成这项工程需要 天．16．如图，△ABC 的面积等于12平方厘米．D 是AB 边的中点．E 为AC边上一点，且AE=2EC ．0为DC 与BE 的交点．若△DBO 的面积为a 平方厘米，△CEO 的面积为b 平方厘米．则a －b= 平方厘米． 17．已知a<O ，且|a|≤a，则|2x －6|—|x －2|的最小值是 ．18．If the equation m(x －1)=2001－n(x －2)for x has infinite roots ，then m 2001+n2001=(英汉小字典：equation 方程；infinite roots 无数个根．)19．若进货价降低8％而售出价不变，那么利润(按进货价而定)可由目前的p ％增加到(p+10)％，则原来的利润是20．修建一所房子有一系列工作要做，其中某些工作要在其他一些工作完成之后才能进行．表1列出修建一所房子的每项工作的前面的工作和完成该工作所需的时间．问修建该房子最快的时间是 天． 表l21．一个整数与5之差的绝对值大于1999而小于2001，则这个整数是22．在所有各位数字之和等于34，且能被11整除的四位数中最大的一个是 ，最小的一个是 ．23．平面内两两相交的6条直线，其交点个数最少为 个，最多为 个 24．We have the following numbers ：2954,1936,1727,712,59，the maximum number among them is ，the minimum number is (英汉小字典：number 数；maximum 最大的；minimum 最小的．)25．有两种蠓虫，一个是疾病的媒介，记为A ；另一种却是有益的花粉传播者，记为B ．现有A 、B 两种蠓虫各6只，它们的触角和翼的长度列如表2： 表21A 2，6只B 种蠓虫的平均翼长、触角长分别为B1和B2．问|A 1－B 1|+|A 2－B 2|等于 ．对于一只新捕捉到的蠓虫，记其翼长和触角长分别为x 和y ．如果|x —A 1|+|y —A 2|>|x —B 1|+|y —B 2|，则认为它是A 种蠓虫，否则认为是B 种蠓虫．现知，x=1．80，y=1．24，则可认为该蠓虫是 种蠓虫．初一第1试参考答案。
数学竞赛试题初一及答案
数学竞赛试题初一及答案一、选择题（每题2分，共10分）1. 下列哪个数是最小的正整数？A. 0B. 1C. -1D. 22. 如果a和b是两个非零实数，且a+b=5，那么a-b的最大值是多少？A. 5B. 4C. 3D. 23. 一个数的平方根是它本身，这个数可能是：A. 0B. 1C. -1D. 44. 下列哪个选项是4的倍数？A. 7B. 8C. 9D. 105. 如果一个三角形的内角和为180°，那么一个四边形的内角和是多少度？A. 360°B. 540°C. 720°D. 900°二、填空题（每题2分，共10分）6. 一个数的绝对值是它与____的距离。
7. 圆的周长公式是C=__。
8. 如果一个数的立方等于它本身，那么这个数可能是____。
9. 一个直角三角形的两条直角边分别为3和4，那么它的斜边长是____。
10. 一个数的倒数是1/这个数，那么1的倒数是____。
三、简答题（每题5分，共15分）11. 解释什么是有理数，并给出两个有理数的例子。
12. 什么是质数？请列出前5个质数。
13. 描述如何使用勾股定理来计算直角三角形的斜边长度。
四、计算题（每题10分，共20分）14. 计算下列表达式的值：(2+3)×(2-3)。
15. 解下列方程：2x + 5 = 13。
五、解答题（每题15分，共30分）16. 一个长方形的长是15厘米，宽是10厘米，求它的周长和面积。
17. 一个班级有40名学生，其中1/4是男生，1/3是女生，剩余的是教师。
求男生、女生和教师的人数。
答案：一、选择题1. B2. A3. A4. B5. A二、填空题6. 07. 2πr（或πd，d为直径）8. 0, ±19. 5 10. 1三、简答题11. 有理数是可以表示为两个整数的比的数，例如1/2和3。
12. 质数是大于1的自然数，且除了1和它本身外，不能被其他自然数整除的数。
数学竞赛试题及答案初中
数学竞赛试题及答案初中试题一：代数问题题目：如果\( a \)和\( b \)是两个连续的自然数，且\( a^2 + b^2= 45 \)，求\( a \)和\( b \)的值。
解答：设\( a \)为较小的自然数，那么\( b = a + 1 \)。
根据题意，我们有：\[ a^2 + (a + 1)^2 = 45 \]\[ a^2 + a^2 + 2a + 1 = 45 \]\[ 2a^2 + 2a - 44 = 0 \]\[ a^2 + a - 22 = 0 \]分解因式得：\[ (a + 11)(a - 2) = 0 \]因此，\( a = -11 \)或\( a = 2 \)。
由于\( a \)是自然数，所以\( a = 2 \)，\( b = 3 \)。
试题二：几何问题题目：在一个直角三角形中，直角边的长度分别为3厘米和4厘米，求斜边的长度。
解答：根据勾股定理，直角三角形的斜边\( c \)可以通过以下公式计算：\[ c = \sqrt{a^2 + b^2} \]其中\( a \)和\( b \)是直角边的长度。
代入数值：\[ c = \sqrt{3^2 + 4^2} \]\[ c = \sqrt{9 + 16} \]\[ c = \sqrt{25} \]\[ c = 5 \]所以斜边的长度是5厘米。
试题三：数列问题题目：一个等差数列的前三项分别是2，5，8，求这个数列的第10项。
解答：等差数列的通项公式是：\[ a_n = a_1 + (n - 1)d \]其中\( a_n \)是第\( n \)项，\( a_1 \)是首项，\( d \)是公差。
已知首项\( a_1 = 2 \)，公差\( d = 5 - 2 = 3 \)。
代入公式求第10项：\[ a_{10} = 2 + (10 - 1) \times 3 \]\[ a_{10} = 2 + 9 \times 3 \]\[ a_{10} = 2 + 27 \]\[ a_{10} = 29 \]所以这个数列的第10项是29。
初一上数学竞赛试题及答案
初一上数学竞赛试题及答案一、选择题（每题3分，共15分）1. 下列哪个数是最小的正整数？A. 0B. -1C. 1D. 22. 如果一个数的平方等于它本身，那么这个数可能是：A. 0B. 1C. -1D. 23. 一个数的绝对值是它本身，这个数是：A. 正数B. 负数C. 0D. 正数或04. 以下哪个选项不是有理数？A. πB. √2C. 0.3333...D. -35. 如果一个数的立方等于它本身，那么这个数是：A. 0B. 1C. -1D. 2二、填空题（每题2分，共10分）6. 一个数的相反数是它自身的数是______。
7. 如果一个数的绝对值是5，那么这个数是______或______。
8. 一个数的平方根是它自身的数是______或______。
9. 一个数的立方根是它自身的数是______。
10. 如果一个数的倒数是它自身，那么这个数是______。
三、解答题（每题5分，共20分）11. 计算下列表达式的值：(-2)^3 + 4 × (-1)^2。
12. 解方程：2x - 5 = 3x + 1。
13. 一个数列的前三项为1, 3, 6，这个数列的第四项是多少？14. 一个长方形的长是宽的两倍，如果它的周长是24厘米，求它的长和宽。
四、应用题（每题10分，共20分）15. 一个班级有40名学生，其中男生比女生多10人，问这个班级有多少男生和女生？16. 一个水果店有苹果和橙子，苹果的价格是每斤5元，橙子的价格是每斤3元。
如果一个顾客购买了10斤苹果和15斤橙子，总共花费了105元，求苹果和橙子各买了多少斤？五、证明题（每题15分，共15分）17. 证明：对于任意正整数n，(1 + 2 + 3 + ... + n) = n(n + 1) / 2。
初一上数学竞赛试题答案一、选择题1. C2. B3. D4. A5. B二、填空题6. 07. 5，-58. 0，19. 110. 1，-1三、解答题11. (-2)^3 + 4 × (-1)^2 = -8 + 4 = -412. 2x - 5 = 3x + 1 → x = -613. 第四项为：1 + 3 = 4，3 + 6 = 9，6 + 9 = 1514. 设宽为x，则长为2x，周长为2(x + 2x) = 24，解得x = 4，长为8厘米，宽为4厘米。
数学竞赛试题初级答案及解析
数学竞赛试题初级答案及解析【试题一】题目：一个数列的前三项分别为1，3，6，求第4项的值。
答案：10解析：观察数列的前三项，可以发现每一项与前一项的差值分别为2和3，这两个差值构成了一个新的等差数列，其公差为1。
因此，我们可以推断出原数列的下一项差值为4。
将4加到第三项6上，得到第4项的值为10。
【试题二】题目：如果一个直角三角形的两条直角边分别为3和4，求斜边的长度。
答案：5解析：根据勾股定理，直角三角形的斜边长度可以通过两条直角边的平方和的平方根来计算。
即 \( c = \sqrt{a^2 + b^2} \)，其中\( a \) 和 \( b \) 分别是两条直角边的长度。
将3和4代入公式，得到 \( c = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \)。
【试题三】题目：一个圆的半径为5，求其面积。
答案：78.5解析：圆的面积可以通过公式 \( A = \pi r^2 \) 来计算，其中\( r \) 是圆的半径。
将5代入公式，得到 \( A = \pi \times 5^2 = 25\pi \)。
取 \( \pi \) 的近似值3.14，得到 \( A \approx 25 \times 3.14 = 78.5 \)。
【试题四】题目：如果一个数的平方等于这个数本身，这个数是什么？答案：0或1解析：设这个数为 \( x \)，根据题意，我们有 \( x^2 = x \)。
将等式重写为 \( x^2 - x = 0 \)，可以分解为 \( x(x - 1) = 0 \)。
根据零乘律，\( x = 0 \) 或 \( x - 1 = 0 \)，即 \( x = 0 \) 或\( x = 1 \)。
【试题五】题目：一个长方体的长、宽、高分别为2、3和4，求其体积。
答案：24解析：长方体的体积可以通过公式 \( V = 长 \times 宽 \times 高\) 来计算。
初一数学竞赛试题及答案
初一数学竞赛试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列哪个数是最小的正整数？A. 0B. 1C. -1D. 2答案：B2. 一个数的相反数是它自己，这个数是：A. 0B. 1C. -1D. 2答案：A3. 如果一个角的补角是它的两倍，那么这个角的度数是：A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°答案：C4. 以下哪个选项表示的是一次函数的图象？A. 一条直线B. 一个圆C. 一个椭圆D. 一个抛物线答案：A5. 一个数的平方是9，这个数是：A. 3B. -3C. 3或-3D. 以上都不对答案：C6. 一个数的立方是-27，这个数是：A. 3B. -3C. 3或-3D. 以上都不对答案：B7. 以下哪个选项是方程2x + 3 = 9的解？A. x = 3B. x = 6C. x = -3D. x = 0答案：A8. 一个数的绝对值是5，这个数可以是：A. 5B. -5C. 5或-5D. 以上都不对答案：C9. 下列哪个选项是不等式2x - 5 > 3的解集？A. x > 4B. x > 2C. x < 4D. x < 2答案：A10. 如果一个三角形的两边长分别是3和4，那么第三边的长度可以是：A. 1B. 2C. 3D. 4答案：C二、填空题（每题3分，共30分）1. 一个数加上它的相反数等于______。
答案：02. 一个数的绝对值是它本身，这个数是______。
答案：非负数3. 一个角的补角是它的三倍，那么这个角的度数是______。
答案：45°4. 一次函数y = 2x + 1的图象经过点（0，1），则这个点是该函数的______。
答案：截距5. 一个数的平方是16，这个数是______。
答案：±46. 一个数的立方是8，这个数是______。
答案：27. 方程3x - 7 = 2的解是______。
数学竞赛初赛试题及答案详解
数学竞赛初赛试题及答案详解试题一：代数基础题题目：若\( a \)，\( b \)，\( c \)是实数，且满足\( a^2 + b^2 + c^2 = 1 \)，求证：\( a^4 + b^4 + c^4 \leq 1 \)。
解答：首先，我们可以利用平方和不等式，即对于任意实数\( x \)和\( y \)，有\( (x+y)^2 \geq 4xy \)。
将\( x = a^2 \)和\( y = b^2 \)代入，得到：\[ (a^2 + b^2)^2 \geq 4a^2b^2 \]\[ 1 - c^2 \geq 4a^2b^2 \]\[ 1 \geq c^2 + 4a^2b^2 \]由于\( a^2 + b^2 + c^2 = 1 \)，我们可以得出：\[ a^4 + b^4 \leq 1 - c^2 \]类似地，我们可以证明：\[ a^4 + c^4 \leq 1 - b^2 \]\[ b^4 + c^4 \leq 1 - a^2 \]将这三个不等式相加，我们得到：\[ 2(a^4 + b^4 + c^4) \leq 3 - (a^2 + b^2 + c^2) \]\[ 2(a^4 + b^4 + c^4) \leq 2 \]\[ a^4 + b^4 + c^4 \leq 1 \]证明完毕。
试题二：几何问题题目：在直角三角形ABC中，∠C是直角，若AB=5，AC=3，求BC的长度。
解答：根据勾股定理，直角三角形的斜边的平方等于两直角边的平方和。
设BC的长度为\( x \)，则有：\[ AB^2 = AC^2 + BC^2 \]\[ 5^2 = 3^2 + x^2 \]\[ 25 = 9 + x^2 \]\[ x^2 = 16 \]\[ x = 4 \]所以，BC的长度为4。
试题三：组合问题题目：有5个不同的球和3个不同的盒子，将这些球放入盒子中，每个盒子至少放一个球，有多少种不同的放法？解答：首先，我们需要将5个球分成3组，每组至少一个球。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
初一数学竞赛讲座第11讲染色和赋值染色方法和赋值方法是解答数学竞赛问题的两种常用的方法。
就其本质而言, 染色方法是一种对题目所研究的对象进行分类的一种形象化的方法。
而凡是能用染色方法来解的题, 一般地都可以用赋值方法来解, 只需将染成某一种颜色的对象换成赋于其某一数值就行了。
赋值方法的适用范围要更广泛一些, 我们可将题目所研究的对象赋于适当的数值, 然后利用这些数值的大小、正负、奇偶以及相互之间运算结果等来进行推证。
一、染色法将问题中的对象适当进行染色, 有利于我们观察、分析对象之间的关系。
像国际象棋的棋盘那样, 我们可以把被研究的对象染上不同的颜色, 许多隐藏的关系会变得明朗, 再通过对染色图形的处理达到对原问题的解决, 这种解题方法称为染色法。
常见的染色方式有：点染色、线段染色、小方格染色和对区域染色。
例1用15个“T”字形纸片和1个“田”字形纸片（如下图所示）, 能否覆盖一个8×8的棋盘？解：如下图, 将 8×8的棋盘染成黑白相间的形状。
如果15个“T”字形纸片和1个“田”字形纸片能够覆盖一个8×8的棋盘, 那么它们覆盖住的白格数和黑格数都应该是32个, 但是每个“T”字形纸片只能覆盖1个或3个白格, 而1和3都是奇数, 因此15个“T”字形纸片覆盖的白格数是一个奇数；又每个“田”字形纸片一定覆盖2个白格, 从而15个“T”字形纸片与1个“田”字形纸片所覆盖的白格数是奇数, 这与32是偶数矛盾, 因此, 用它们不能覆盖整个棋盘。
例2如左下图, 把正方体分割成27个相等的小正方体, 在中心的那个小正方体中有一只甲虫, 甲虫能从每个小正方体走到与这个正方体相邻的6个小正方体中的任何一个中去。
如果要求甲虫只能走到每个小正方体一次, 那么甲虫能走遍所有的正方体吗？解：甲虫不能走遍所有的正方体。
我们如右上图将正方体分割成27个小正方体, 涂上黑白相间的两种颜色, 使得中心的小正方体染成白色, 再使两个相邻的小正方体染上不同的颜色。
显然, 在27个小正方体中, 14个是黑的, 13个是白的。
甲虫从中间的白色小正方体出发, 每走一步, 方格就改变一种颜色。
故它走27步, 应该经过14个白色的小正方体、13个黑色的小正方体。
因此在27步中至少有一个小正方体, 甲虫进去过两次。
由此可见, 如果要求甲虫到每一个小正方体只去一次, 那么甲虫不能走遍所有的小正方体。
例3 8×8的国际象棋棋盘能不能被剪成7个2×2的正方形和9个4×1的长方形？如果可以, 请给出一种剪法；如果不行, 请说明理由。
解：如下图, 对8×8的棋盘染色, 则每一个4×1的长方形能盖住2白2黑小方格, 每一个2×2的正方形能盖住1白3黑或3白1黑小方格。
推知7个正方形盖住的黑格总数是一个奇数, 但图中的黑格数为32, 是一个偶数, 故这种剪法是不存在的。
例4在平面上有一个27×27的方格棋盘, 在棋盘的正中间摆好81枚棋子, 它们被摆成一个9×9的正方形。
按下面的规则进行游戏：每一枚棋子都可沿水平方向或竖直方向越过相邻的棋子, 放进紧挨着这枚棋子的空格中, 并把越过的这枚棋子取出来。
问：是否存在一种走法, 使棋盘上最后恰好剩下一枚棋子？解：如下图, 将整个棋盘的每一格都分别染上红、白、黑三种颜色, 这种染色方式将棋盘按颜色分成了三个部分。
按照游戏规则, 每走一步, 有两部分中的棋子数各减少了一个, 而第三部分的棋子数增加了一个。
这表明每走一步, 每个部分的棋子数的奇偶性都要改变。
因为一开始时, 81个棋子摆成一个9×9的正方形, 显然三个部分的棋子数是相同的, 故每走一步, 三部分中的棋子数的奇偶性是一致的。
如果在走了若干步以后, 棋盘上恰好剩下一枚棋子, 则两部分上的棋子数为偶数, 而另一部分的棋子数为奇数, 这种结局是不可能的, 即不存在一种走法, 使棋盘上最后恰好剩下一枚棋子。
例5图1是由数字0, 1交替构成的, 图2是由图1中任选减1, 如此反复多次形成的。
问：图2中的A格上的数字是多少？解：如左下图所示, 将8×8方格黑白交替地染色。
此题允许右上图所示的6个操作, 这6个操作无论实行在哪个位置上, 白格中的数字之和减去黑格中的数字之和总是常数。
所以图1中白格中的数字之和减去黑格中的数字之和, 与图2中白格中的数字之和减去黑格中的数字之和相等, 都等于32, 由（31＋A）-32=32, 得出A=33。
例6有一批商品, 每件都是长方体形状, 尺寸是1×2×4。
现在有一批现成的木箱, 内空尺寸是6×6×6。
问：能不能用这些商品将木箱填满？解：我们用染色法来解决这个问题。
先将6×6×6的木箱分成216个小正方体, 这216个小正方体, 可以组成27个棱长为2的正方体。
我们将这些棱长为2的正方体按黑白相间涂上颜色（如下图）。
容易计算出, 有14个黑色的, 有13个白色的。
现在将商品放入木箱内, 不管怎么放, 每件商品要占据8个棱长为1的小正方体的空间, 而且其中黑、白色的必须各占据4个。
现在白色的小正方体共有8×13=104（个）, 再配上104个黑色的小正方体, 一共可以放26件商品, 这时木箱余下的是8个黑色小正方体所占据的空间。
这8个黑色的小正方体的体积虽然与一件商品的体积相等, 但是容不下这件商品。
因此不能用这些商品刚好填满。
例7 6个人参加一个集会, 每两个人或者互相认识或者互相不认识。
证明：存在两个“三人组”, 在每一个“三人组”中的三个人, 或者互相认识, 或者互相不认识（这两个“三人组”可以有公共成员）。
证明：将每个人用一个点表示, 如果两人认识就在相应的两个点之间连一条红色线段, 否则就连一条蓝色线段。
本题即是要证明在所得的图中存在两个同色的三角形。
设这六个点为A, B, C, D, E, F。
我们先证明存在一个同色的三角形：考虑由A点引出的五条线段AB, AC, AD, AE, AF, 其中必然有三条被染成了相同的颜色, 不妨设AB, AC, AD同为红色。
再考虑△BCD的三边：若其中有一条是红色, 则存在一个红色三角形；若这三条都不是红色, 则存在一个蓝色三角形。
下面再来证明有两个同色三角形：不妨设△ABC的三条边都是红色的。
若△DEF也是三边同为红色的, 则显然就有两个同色三角形；若△DEF三边中有一条边为蓝色, 设其为DE, 再考虑DA, DB, DC三条线段：若其中有两条为红色, 则显然有一个红色三角形；若其中有两条是蓝色的, 则设其为DA, DB。
此时在EA, EB中若有一边为蓝色, 则存在一个蓝色三角形；而若两边都是红色, 则又存在一个红色三角形。
故不论如何涂色, 总可以找到两个同色的三角形。
二、赋值法将问题中的某些对象用适当的数表示之后, 再进行运算、推理、解题的方法叫做赋值法。
许多组合问题和非传统的数论问题常用此法求解。
常见的赋值方式有：对点赋值、对线段赋值、对区域赋值及对其他对象赋值。
例8一群旅游者, 从A村走到B村, 路线如下图所示。
怎样走才能在最短时间内到达B村？图中的数字表示走这一段路程需要的时间（单位：分）。
解：我们先把从A村到各村的最短时间标注在各村的旁边, 从左到右, 一一标注, 如下图所示。
由此不难看出, 按图中的粗黑线走就能在最短时间（60分钟）内从A村走到B村。
例9把下图中的圆圈任意涂上红色或蓝色。
问：有无可能使得在同一条直线上的红圈数都是奇数？请说明理由。
解：假设题中所设想的染色方案能够实现, 那么每条直线上代表各点的数字之和便应都是奇数。
一共有五条直线, 把这五条直线上代表各点的数字之和的这五个奇数再加起来, 得到的总和数仍应是一个奇数。
但是, 由观察可见, 图中每个点都恰好同时位于两条直线上, 在求上述总和数时, 代表各点的数字都恰被加过两次, 所以这个总和应是一个偶数。
这就导致矛盾, 说明假设不成立, 染色方案不能实现。
例10平面上n（n≥2）个点A1, A2, …, An顺次排在同一条直线上, 每点涂上黑白两色中的某一种颜色。
已知A1和An涂上的颜色不同。
证明：相邻两点间连接的线段中, 其两端点不同色的线段的条数必为奇数。
证明：赋予黑点以整数值1, 白点以整数值2, 点Ai以整数值为a i, 当A i为黑点时, a i=1, 当A i为白点时, a i=2。
再赋予线段A i A i+1以整数值a i+a i+1, 则两端同色的线段具有的整数值为2或4, 两端异色的线段具有的整数值为3。
所有线段对应的整数值的总和为（a1＋a2）＋（a2＋a3）＋（a3＋a4）＋…＋（a n-1＋a n）＝a1＋a n＋2（a2＋a3＋…＋a n-1）＝2＋1＋2（a2＋a3＋…＋a n-1）＝奇数。
设具有整数值2, 3, 4的线段的条数依次为l, m, n, 则2l＋m＋4n=奇数。
由上式推知, m必为奇数, 证明完毕。
例11 下面的表1是一个电子显示盘, 每一次操作可以使某一行四个字母同时改变, 或者使某一列四个字母同时改变。
改变的规则是按照英文字母的顺序, 每个英文字母变成它的下一个字母（即A变成B, B变成C……Z变成A）。
问：能否经过若干次操作, 使表1变为表2？如果能, 请写出变化过程, 如果不能, 请说明理由。
S O B R K B D ST Z F P H E X GH O C N R T B SA D V X C F Y A表1 表2解：不能。
将表中的英文字母分别用它们在字母表中的序号代替（即A用1, B用2……Z用26代替）。
这样表1和表2就分别变成了表3和表4。
每一次操作中字母的置换相当于下面的置换：1→2, 2→3, …, 25→26, 26→1。
19 1521820 266168 15 3141 4 2224表31124198 52471820 2193625 1表4容易看出, 每次操作使四个数字改变了奇偶性, 而16个数字的和的奇偶性没有改变。
因为表3中16个数字的和为213, 表4中16个数字的和为174, 它们的奇偶性不同, 所以表3不能变成表4, 即表1不能变成表2。
例12如图（1）～（6）所示的六种图形拼成右下图, 如果图（1）必须放在右下图的中间一列, 应如何拼？解：把右上图黑、白相间染色（见上图）。
其中有11个白格和10个黑格, 当图形拼成后, 图形（2）（4）（5）（6）一定是黑、白各2格, 而图形（3）必须有3格是同一种颜色, 另一种颜色1格。
因为前四种图形, 黑、白已各占2×4=8（格）, 而黑格总共只有10格, 所以图形（3）只能是3白1黑。