(附答案)《垂径定理》典型例题
垂径定理练习题及答案
垂径定理练习题及答案一、选择题1. 在一个圆中，如果一条直径的端点与圆上一点相连，这条线段的中点与圆心的距离是直径的（）A. 一半B. 半径B. 直径D. 无法确定2. 垂径定理指出，如果一条线段是圆的直径，那么它与圆上任意一点连线所形成的直角三角形的斜边是（）A. 直径B. 半径C. 线段D. 无法确定3. 圆内接四边形的对角线互相平分，且其中一条对角线是圆的直径，那么这个四边形是（）A. 平行四边形B. 矩形C. 菱形D. 无法确定4. 如果圆的半径为r，那么圆的直径是（）A. 2rB. rC. r的平方D. 2r的平方二、填空题1. 垂径定理告诉我们，如果一条线段是圆的直径，那么它与圆上任意一点连线所形成的直角三角形的斜边是______。
2. 圆的内接四边形中，如果对角线互相平分，且其中一条对角线是圆的直径，那么这个四边形的对角线长度相等，等于______。
3. 已知圆的半径为5cm，那么圆的直径是______。
三、解答题1. 已知一个圆的半径为7cm，圆内有一点P，连接点P和圆心O，得到线段OP。
如果OP的长度为4cm，求点P到圆上任意一点的距离。
2. 一个圆的直径为14cm，圆内接四边形ABCD，其中AC为直径。
已知AB=6cm，求BC的长度。
四、证明题1. 证明：如果一个三角形是直角三角形，且斜边是圆的直径，那么这个三角形的外接圆的直径是这个三角形的斜边。
2. 证明：如果一个圆的内接四边形的对角线互相平分，且其中一条对角线是圆的直径，那么这个四边形的对角线长度相等。
答案：一、选择题1. A2. A3. B4. A二、填空题1. 直径的一半2. 圆的直径3. 10cm三、解答题1. 点P到圆上任意一点的距离是3cm（利用勾股定理，OP为直角三角形的一条直角边，半径为斜边，另一直角边为点P到圆上任意一点的距离）。
2. BC的长度是8cm（利用圆内接四边形的性质，对角线互相平分，且AC是直径，所以BD=7cm，再利用勾股定理求BC）。
《垂径定理》练习题及答案
《垂径定理》专题【知识考点】1、垂径定理及其推论是指：一条直线①过圆心；②垂直于一条弦；③平分这条弦；④平分弦所对的劣弧；⑤平分弦所对的优弧。
这五个条件只须知道两个，即可得出另三个（平分弦时，直径除外），要求理解掌握。
2、掌握垂径定理在圆的有关计算和证明中的广泛应用。
【精典例题】1、如图，AB 是⊙O 的弦，AB 长为8，P 是⊙O 上一个动点（不与A 、B 重合），过点O 作OC ⊥AP 于点C ，OD ⊥PB 于点D ，则CD 的长为 ． 解：∵OC ⊥AP ，OD ⊥PB ，∴由垂径定理得：AC=PC ，PD=BD ， ∴CD 是△APB 的中位线， ∴CD=21AB=21×8=4，2、如图，在半径为13的⊙O 中，OC 垂直弦AB 于点B ，交⊙O 于点C ，AB=24，则CD 的长是 ． 解：连接OA ， ∵OC ⊥AB ，AB=24， ∴AD=21AB=12， 在Rt △AOD 中，∵OA=13，AD=12，∴OD=5， ∴CD=OC-OD=13-5=8．3、把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知EF=CD=16厘米，则球的半径为 厘米．解：EF 的中点M ，作MN ⊥AD 于点M ，取MN 的中点O ，连接OF ， 设OF=x ，则OM=16-x ，MF=8， 在直角三角形OMF 中，OM 2+MF 2=OF 2 即：（16-x ）2+82=x 2 解得：x=104、当宽为3cm 的刻度尺的一边与圆相切时，另一边与圆的两个交点处的读数如图所示（单位：cm ），那么该圆的半径为 cm 。
解：连接OA ，过点O 作OD ⊥AB 于点D ， ∵OD ⊥AB ， ∴AD=21AB=21（9-1）=4， 设OA=r ，则OD=r-3， 在Rt △OAD 中，利用勾股定理 解得r=625cm ．5、工程上常用钢珠来测量零件上小圆孔的宽口，假设钢珠的直径是10mm ，测得钢珠顶端离零件表面的距离为8mm ，如图所示，则这个小圆孔的宽口AB 的长度为 mm ．解：连接OA ，过点O 作OD ⊥AB 于点D ，则AB=2AD ， ∵钢珠的直径是10mm ， ∴钢珠的半径是5mm ，∵钢珠顶端离零件表面的距离为8mm ， ∴OD=3mm ，在Rt △AOD 中，∵AD= =4mm ，∴AB=2AD=2×4=8mm ．6、如图，△ABC 中，∠BAC=60°，∠ABC=45°，AB=22，D 是线段BC 上的一个动点，以AD 为直径画⊙O 分别交AB ，AC 于E ，F ，连接EF ，则线段EF 长度的最小值为 ．解：如图，连接OE ，OF ，过O 点作OH ⊥EF ，垂足为H ， ∵在Rt △ADB 中，∠ABC=45°，AB=2 2 ， ∴AD=BD=2，即此时圆的直径为2， 由圆周角定理可知∠EOH=21∠EOF=∠BAC=60°， ∴在Rt △EOH 中，EH=OE •sin ∠EOH=1× 23 = 23， 由垂径定理可知EF=2EH= 3，【巩固练习】1．如图1，⊙O的直径为10，圆心O到弦AB的距离OM的长为3，那么弦AB的长是（）A．4 B．6 C．7 D．8（第1题）（第2题）（第4题）（第5题）（第7题）2．如图，⊙O的半径为5，弦AB的长为8，M是弦AB上的一个动点，则线段OM长的最小值为（）A．2 B．3 C．4 D．53．过⊙O内一点M的最长弦为10 cm，最短弦长为8cm，则OM的长为（）A．9cm B．6cm C．3cm D．cm414．如图，小明同学设计了一个测量圆直径的工具，标有刻度的尺子OA、OB在O点钉在一起，并使它们保持垂直，在测直径时，把O点靠在圆周上，读得刻度OE=8个单位，OF=6个单位，则圆的直径为（）A．12个单位 B．10个单位 C．1个单位 D．15个单位5．如图，O⊙的直径AB垂直弦CD于P，且P是半径OB的中点，6cmCD ，则直径AB的长是（）A． B． C． D．6．下列命题中，正确的是（）A．平分一条直径的弦必垂直于这条直径B．平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦C．弦的垂线必经过这条弦所在圆的圆心D．在一个圆内平分一条弧和它所对的弦的直线必经过这个圆的圆心7．如图，某公园的一座石拱桥是圆弧形（劣弧），其跨度为24米，拱的半径为13米，则拱高为( ) A．5米 B．8米 C．7米 D．53米8．⊙O的半径为5cm，弦AB//CD，且AB=8cm,CD=6cm,则AB与CD之间的距离为( )A． 1 cm B． 7cm C． 3 cm或4 cm D． 1cm 或7cm9．已知等腰△ABC的三个顶点都在半径为5的⊙O上，如果底边BC的长为8，那么BC边上的高为( )A．2 B．8 C．2或8 D．310．已知AB 是⊙O 的弦，AB ＝8cm ，OC ⊥AB 与C ，OC=3cm ，则⊙O 的半径为 cm 11．在直径为10cm 的圆中，弦的长为8cm ，则它的弦心距为 cm 12．在半径为10的圆中有一条长为16的弦，那么这条弦的弦心距等于 13．已知AB 是⊙O 的弦，AB ＝8cm ，OC ⊥AB 与C ，OC=3cm ，则⊙O 的半径为 cm14．如图，⊙O 的直径AB 垂直于弦CD ，垂足为E ，若∠COD ＝120°，OE ＝3厘米，则CD ＝ 厘米（第14题） （第16题） （第17题） （第18题） （第19题） 15．过⊙O 内一点M 的最长的弦长为6cm ，最短的弦长为4cm ，则OM 的长等于 cm16．如图，AB 为⊙O 的弦，⊙O 的半径为5，OC ⊥AB 于点D ，交⊙O 于点C ， 且CD ＝l ，则弦AB 的长是17．某蔬菜基地的圆弧形蔬菜大棚的剖面如图所示，已知AB ＝16m ，半径OA ＝10m ，则中间柱CD 的高度为 m18．如图，在直角坐标系中，以点P 为圆心的圆弧与轴交于A 、B 两点，已知P(4，2)和A(2，0)，则点B 的坐标是19．如图，AB 是⊙O 的直径，OD ⊥AC 于点D ，BC=6cm ，则OD= cm20．如图，矩形ABCD 与圆心在AB 上的圆O 交于点G 、B 、F 、E ，GB=10，EF=8，那么AD=（第20题） （第21题） （第22题） （第23题）21．如图，⊙O 的半径是5cm ，P 是⊙O 外一点,PO=8cm ，∠P=30º,则AB= cm 22．如图，是一个隧道的截面，如果路面AB 宽为8米，净高CD 为8米，那么这个 隧道所在圆的半径OA 是___________米23．如图，AB 为半圆直径，O 为圆心，C 为半圆上一点，E 是弧AC 的中点，OE 交弦AC 于点D 。
圆的垂径定理试题(附答案)
2013中考全国100份试卷分类汇编圆的垂径定理1、（2013年潍坊市）如图，⊙O 的直径AB=12，CD 是⊙O 的弦，CD ⊥AB ，垂足为P ，且BP ：AP=1:5,则CD 的长为（ ）.A.24B.28C.52D.542、(2013年黄石)如右图，在Rt ABC 中，90ACB ∠= ，3AC =，4BC =，以点C 为圆心，CA 为 半径的圆与AB 交于点D ，则AD 的长为（ ）A.95B. 245C. 185D. 523、(2013河南省)如图，CD 是O 的直径，弦AB CD ⊥于点G ，直线EF 与O 相切与点D ，则下列结论中不一定正确的是（ ）A. AG ＝BGB. AB ∥BFC.AD ∥BCD. ∠ABC ＝ADC4、（2013•泸州）已知⊙O 的直径CD=10cm ，AB 是⊙O 的弦，AB⊥CD，垂足为M ，且AB=8cm ，则AC 的长为（ ） A. cm B. cm C. cm 或cm D. cm 或cm5、（2013•广安）如图，已知半径OD 与弦AB 互相垂直，垂足为点C ，若AB=8cm ，CD=3cm ，则圆O 的半径为（ ）A. cmB. 5cmC. 4cmD. cm6、（2013•绍兴）绍兴市著名的桥乡，如图，石拱桥的桥顶到水面的距离CD 为8m ，桥拱半径OC 为5m ，则水面宽AB 为（ ）7、（2013•温州）如图，在⊙O中，OC⊥弦AB于点C，AB=4，OC=1，则OB的长是（）A. B. C. D.8、（2013•嘉兴）如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连结AO并延长交⊙O于点E，连结EC．若AB=8，CD=2，则EC的长为（）A. 2B.C.D.9、（2013•莱芜）将半径为3cm的圆形纸片沿AB折叠后，圆弧恰好能经过圆心O，用图中阴影部分的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的高为（）A. B. C. D. 3210、（2013•徐州）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为P．若CD=8，OP=3，则⊙O的半径为（）A. 10B. 8C. 5D. 311、(2013浙江丽水)一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OB=10，水面宽AB=16，则截面圆心O到水面的距离OC是A. 4B. 5C.6D.812、（2013•宜昌）如图，DC 是⊙O直径，弦AB⊥CD于F，连接BC，DB，则下列结论错误的是（）A. B. AF=BF C. OF=CF D. ∠DBC=90°13、（2013•毕节地区）如图在⊙O中，弦AB=8，OC⊥AB，垂足为C，且OC=3，则⊙O的半径（）A. 5B. 10C. 8D. 614、（2013•南宁）如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，且AE=CD=8，∠BAC=∠BOD，则⊙O 的半径为（）A. 4B. 5C. 4D. 315、（2013年佛山）半径为3的圆中，一条弦长为4，则圆心到这条弦的距离是（）A.3B.4C.5D.716、（2013甘肃兰州4分、12）如图是一圆柱形输水管的横截面，阴影部分为有水部分，如果水面AB宽为8cm，水面最深地方的高度为2cm，则该输水管的半径为（）A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm17、（2013•内江）在平面直角坐标系xOy中，以原点O为圆心的圆过点A（13，0），直线y=kx﹣3k+4与⊙O交于B、C两点，则弦BC的长的最小值为．18、（13年安徽省4分、10）如图，点P是等边三角形ABC外接圆⊙O上的点，在以下判断中，不．正确．．的是（）19、（2013•宁波）如图，AE是半圆O的直径，弦AB=BC=4，弦CD=DE=4，连结OB，OD，则图中两个阴影部分的面积和为．图20 图21 图2220、（2013•宁夏）如图，将半径为2cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长为 cm．21、（2013•包头）如图，点A、B、C、D在⊙O上，OB⊥AC，若∠BOC=56°，则∠ADB=度．图23 图24 图25 图26 图27 图2823、（2013•黄冈）如图，M是CD的中点，EM⊥CD，若CD=4，EM=8，则所在圆的半径为．24、（2013•绥化）如图，在⊙O中，弦AB垂直平分半径OC，垂足为D，若⊙O的半径为2，则弦AB 的长为．25、（2013哈尔滨）如图，直线AB与⊙O相切于点A，AC、CD是⊙O的两条弦，且CD∥AB，若⊙O的半径为52，CD=4，则弦AC的长为．26、（2013•张家界）如图，⊙O的直径AB与弦CD垂直，且∠BAC=40°，则∠BOD=．27、（2013•遵义）如图，OC是⊙O的半径，AB是弦，且OC⊥AB，点P在⊙O上，∠APC=26°，则∠BOC=度．28、（2013陕西）如图，AB是⊙O的一条弦，点C是⊙O上一动点，且∠ACB=30°，点E、F分别是AC、BC的中点，直线EF与⊙O交于G、H两点，若⊙O的半径为7，则GE+FH的最大值为．29、（2013年广州市）如图7，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点P在第一象限，PΘ与x轴交于O,A两点，点A的坐标为（6,0），PΘ的半径为13，则点P的坐标为 ____________.30、(2013年深圳市)如图5所示，该小组发现8米高旗杆DE的影子EF落在了包含一圆弧型小桥在内的路上，于是他们开展了测算小桥所在图的半径的活动。
(完整word版)垂径定理典型例题及练习
典型例题分析：例题1、 基本概念1．下面四个命题中正确的一个是（ ）A ．平分一条直径的弦必垂直于这条直径B ．平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦C ．弦的垂线必过这条弦所在圆的圆心D ．在一个圆内平分一条弧和它所对弦的直线必过这个圆的圆心2．下列命题中，正确的是（ ）．A ．过弦的中点的直线平分弦所对的弧B ．过弦的中点的直线必过圆心C ．弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦，且过圆心D ．弦的垂线平分弦所对的弧例题2、垂径定理1、 在直径为52cm 的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示，如果油的最大深度为16cm ，那么油面宽度AB 是________cm.2、在直径为52cm 的圆柱形油槽内装入一些油后，，如果油面宽度是48cm ，那么油的最大深度为________cm.3、如图，已知在⊙O 中，弦CD AB =，且CD AB ⊥，垂足为H ，AB OE ⊥于E ，CD OF ⊥于F .（1）求证：四边形OEHF 是正方形.（2）若3=CH ，9=DH ，求圆心O 到弦AB 和CD 的距离.4、已知：△ABC 内接于⊙O ，AB=AC ，半径OB=5cm ，圆心O 到BC 的距离为3cm ，求AB 的长．5、如图，F 是以O 为圆心，BC 为直径的半圆上任意一点，A 是的中点，AD ⊥BC 于D ，求证：AD=21BF.O A E F例题3、度数问题1、已知：在⊙O中，弦cm12=AB，O点到AB的距离等于AB的一半，求：AOB∠的度数和圆的半径.2、已知：⊙O的半径1=OA，弦AB、AC的长分别是2、3.求BAC∠的度数。
例题4、相交问题如图，已知⊙O的直径AB和弦CD相交于点E，AE=6cm，EB=2cm，∠BED=30°，求CD的长.例题5、平行问题在直径为50cm的⊙O中，弦AB=40cm，弦CD=48cm，且AB∥CD，求：AB与CD之间的距离.例题6、同心圆问题如图，在两个同心圆中，大圆的弦AB，交小圆于C、D两点，设大圆和小圆的半径分别为ba,.求证：22baBDAD-=⋅.例题7、平行与相似已知：如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，于CDAE⊥E，CDBF⊥于F.求证：FDEC=.A BDCEO作 业： 一、概念题1．下列命题中错误的有（）（1）弦的垂直平分线经过圆心（2）平分弦的直径垂直于弦（3）梯形的对角线互相平分（4）圆的对称轴是直径A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2、⊙O 的直径为10，弦AB 的长为8，M 是弦AB 上的动点，则OM 的长的取值范围是（ ）（A ）5OM 3≤≤ （B ）5OM 4≤≤（C ）5OM 3<< （D ）5OM 4<<3．如图，如果AB 为⊙O 直径，弦AB CD ⊥，垂足为E ，那么下列结论中错误的是（ ）A ．DE CE =B ．C ．BAD BAC ∠=∠ D ．AD AC >4．如图，AB 是⊙O 直径，CD 是⊙O 的弦，CD AB ⊥于E ，则图中不大于半圆的相等弧有（ ）对。
垂径定理(解析版)
专题07 垂径定理专题测试学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一．选择题（共10小题）1．（2020•宁波模拟）圆的一条弦长为6，其弦心距为4，则圆的半径为（）A．5 B．6 C．8 D．10【点拨】首先根据垂径定理求得半弦是3cm，再根据勾股定理求得圆的半径．【解析】解：由垂径定理求得AD＝AB＝6÷2＝3，在直角△OAD中，根据勾股定理即可求得半径OA＝＝5．故选：A．【点睛】此题综合运用了垂径定理和勾股定理，解题的关键是构造直角三角形，难度不大．2．（2018秋•鹿城区校级期中）如图，某公图的一石桥是圆弧形（劣弧），其跨径（AB）为24米，拱的半径为13米，则拱高（CD）为（）A．9米B．8米C．7米D．5米【点拨】连接OD、OA，根据勾股定理求出OD，结合图形计算，得到答案．【解析】解：作出圆弧所在的圆的圆心O，连接OD、OA，∵CD垂直平分AB，∴点O在直线CD上，AD＝AB＝12，在Rt△AOD中，OD＝＝＝5，∴CD＝OC﹣OD＝13﹣5＝8（米）故选：B．【点睛】本题考查的是垂径定理的应用，掌握垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，解决计算弦长、半径、弦心距是解题的关键．3．（2019•三明一模）如图，AB，BC是⊙O的两条弦，AO⊥BC，垂足为D，若⊙O的半径为5，BC＝8，则AB的长为（）A．8 B．10 C．D．【点拨】根据垂径定理求出BD，根据勾股定理求出OD，求出AD，再根据勾股定理求出AB即可．【解析】解：连接OB，∵AO⊥BC，AO过O，BC＝8，∴BD＝CD＝4，∠BDO＝90°，由勾股定理得：OD＝＝＝3，∴AD＝OA+OD＝5+3＝8，在Rt△ADB中，由勾股定理得：AB＝＝4，故选：D．【点睛】本题考查了垂径定理和勾股定理，能根据垂径定理求出BD长是解此题的关键．4．（2019秋•江都区期末）如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于点E，DE＝2，AB＝8，则⊙O的半径为（）A．5 B．8 C．3 D．10【点拨】连接OA，由垂径定理得出AE＝BE＝4，设OA＝r，知OE＝r﹣2，根据OA2＝AE2+OE2得到关于r的方程，解之可得答案．【解析】解：如图，连接OA，∵AB⊥CD，AB＝8，∴AE＝BE＝4，设OA＝r，∵DE＝2，∴OE＝r﹣2，由OA2＝AE2+OE2得r2＝（r﹣2）2+42，解得r＝5，即⊙O的半径为5，故选：A．【点睛】本题主要考查垂径定理，解题的关键是掌握垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．5．（2018•大安区模拟）如图，⊙O的直径为10，弦AB的长为6，M是弦AB上的一动点，则线段的OM 的长的取值范围是（）A．3≤OM≤5 B．4≤OM≤5 C．3＜OM＜5 D．4＜OM＜5【点拨】由垂线段最短可知当OM⊥AB时最短，当OM是半径时最长．根据垂径定理求最短长度．【解析】解：如图，连接OA，作OM⊥AB于M，∵⊙O的直径为10，∴半径为5，∴OM的最大值为5，∵OM⊥AB于M，∴AM＝BM，∵AB＝6，∴AM＝3，在Rt△AOM中，OM＝＝＝＝4；此时OM最短，所以OM长的取值范围是4≤OM≤5．故选：B．【点睛】本题考查了垂径定理、勾股定理，解决本题的关键是确定OM的最小值，所以求OM的范围问题又被转化为求弦的弦心距问题，而解决与弦有关的问题时，往往需构造以半径、弦心距和弦长的一半为三边的直角三角形，若设圆的半径为r，弦长为a，这条弦的弦心距为d，则有等式r2＝d2+（）2成立，知道这三个量中的任意两个，就可以求出另外一个．6．（2019春•西湖区校级月考）如图，⊙O的直径CD＝10，AB是⊙O的弦，AB⊥CD于M，且DM：MC ＝4：1，则AB的长是（）A．2 B．8 C．16 D．【点拨】连接OA，由直径DC与弦AB垂直，根据垂径定理得到M为AB的中点，要求AB只需求出AM 即可，AM放在直角三角形AOM中，先由DC的长及DM与MC的比值，求出DM与MC的长，且求出半径OD及OA的长，进而利用DM﹣OD求出OM的长，在直角三角形AOM中，由OA和OM的长，利用勾股定理求出AM，最后利用AB＝2AM即可求出AB的长．【解析】解：连接OA，如图，∵DC⊥AB，且DC为圆O的直径，∴M为AB中点，即AM＝BM＝AB，又∵CD＝10，DM：MC＝4：1，∴DM＝DC＝8，MC＝DC＝2，且OA＝OD＝5，∴OM＝DM﹣OD＝8﹣5＝3，在Rt△AOM中，根据勾股定理得：OA2＝OM2+AM2，即AM＝＝4，则AB＝2AM＝8．故选：B．【点睛】此题考查了垂径定理，比例的性质以及勾股定理，在遇到直径与弦垂直时，常常利用垂径定理得出直径平方弦，且由圆的半径，弦心距及弦的一半构造直角三角形，利用勾股定理来解决问题，故连接OA是本题的突破点．7．（2017秋•滨江区期末）在半径为25cm的⊙O中，弦AB＝40cm，则弦AB所对的弧的中点到AB的距离是（）A．10cm B．15cm C．40cm D．10cm或40cm【点拨】点C和D为弦AB所对弧的中点，连结CD交AB于E，连结OA，如图，根据垂径定理的推论得到CD为直径，CD⊥AB，则AE＝BE＝AB＝20，再利用勾股定理计算出OE＝15，然后分别计算出DE和CE即可．【解析】解：点C和D为弦AB所对弧的中点，连结CD交AB于E，连结OA，如图，∵点C和D为弦AB所对弧的中点，∴CD为直径，CD⊥AB，∴AE＝BE＝AB＝20，在Rt△OAE中，∵OA＝25，AE＝20，∴OE＝＝15，∴DE＝OD+OE＝40，CE＝OC﹣OE＝10，即弦AB和弦AB所对的劣弧的中点的距离为10cm，弦AB和弦AB所对的优弧的中点的距离为40cm．故选：D．【点睛】本题考查了垂径定理和勾股定理，关键是根据垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧解答．8．（2018•建邺区一模）把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知EF＝CD＝4cm，则球的半径长是（）A．2 cm B．2.5 cm C．3 cm D．4 cm【点拨】取EF的中点M，作MN⊥AD于点M，取MN上的球心O，连接OF，设OF＝x，则OM＝4﹣x，MF＝2，然后在Rt△MOF中利用勾股定理求得OF的长即可．【解析】解：EF的中点M，作MN⊥AD于点M，取MN上的球心O，连接OF，∵四边形ABCD是矩形，∴∠C＝∠D＝90°，∴四边形CDMN是矩形，∴MN＝CD＝4，设OF＝x，则ON＝OF，∴OM＝MN﹣ON＝4﹣x，MF＝2，在直角三角形OMF中，OM2+MF2＝OF2即：（4﹣x）2+22＝x2解得：x＝2.5故选：B．【点睛】本题主考查垂径定理及勾股定理的知识，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．9．（2020•河北模拟）如图所示，在⊙O中，AB为弦，OC⊥AB交AB于点D．且OD＝DC．P为⊙O上任意一点，连接P A，PB，若⊙O的半径为1，则S△P AB的最大值为（）A．1 B．C．D．【点拨】连接OA，如图，利用垂径定理得到AD＝BD，＝，再根据OD＝DC可得到OD＝OA＝，所以AD＝，由勾股定理，则AB＝．△P AB底AB不变，当高越大时面积越大，即P点到AB 距离最大时，△APB的面积最大．则当点P为AB所在优弧的中点时，此时PD＝PO+OD＝1+＝，△APB的面积最大，然后根据三角形的面积公式计算即可．【解析】解：连接OA，如图，∵OC⊥AB，∴AD＝BD，∵OD＝DC，∴OD＝OA＝，∴AD＝＝，AB＝2AD＝．当点P为AB所对的优弧的中点时，△APB的面积最大，此时PD＝PO+OD＝1+＝．∴△APB的面积的最大值为＝＝＝．故选：C．【点睛】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．常用辅助线连半径．10．（2018秋•西湖区校级月考）如图，点C是⊙O优弧ACB上的中点，弦AB＝8cm，E为OC上任意一点，动点F从点A出发，以每秒1cm的速度沿AB方向向点B匀速运动，若y＝AE2﹣EF2，则y与动点F的运动时间x（0≤x≤4）秒的函数关系式为（）A．y＝x2﹣4x B．y＝﹣x2﹣4x C．y＝﹣x2+8x D．y＝x2﹣8x【点拨】首先延长CO交AB于G，根据垂径定理的知识，可得CO⊥AB，并可求得AG的值，由勾股定理可得AE2＝AG2+EG2，EF2＝FG2+EG2，即可求得y＝AG2﹣FG2，即可求得函数关系式．【解析】解：解：延长CO交AB于G，∵点C是⊙O优弧ACB上的中点，∴CO⊥AB，AG＝AB＝×8＝4（cm），∴AE2＝AG2+EG2，EF2＝FG2+EG2，当0≤x≤4时，AF＝xcm，FG＝（4﹣x）cm，∴y＝AE2﹣EF2＝AG2+EG2﹣FG2﹣EG2＝AG2﹣FG2＝16﹣（4﹣x）2＝8x﹣x2；故选：C．【点睛】此题考查了垂径定理与勾股定理的应用．此题难度适中，解题的关键是注意辅助线的作法与数形结合思想，分类讨论思想的应用．二．填空题11．（2019•常州模拟）如图，点A、B、C在圆O上，弦AC与半径OB互相平分，那么∠AOC度数为120度．【点拨】首先根据垂径定理得到OA＝AB，结合等边三角形的性质即可求出∠AOC的度数．【解析】解：∵弦AC与半径OB互相平分，∴OA＝AB，∵OA＝OC，∴△OAB是等边三角形，∴∠AOB＝60°，∴∠AOC＝120°，故答案为120．【点睛】本题主要考查了垂径定理的知识，解题的关键是证明△OAB是等边三角形，此题难度不大．12．（2018秋•无棣县期末）如图，AB是⊙O的直径，且经过弦CD的中点H，已知HD＝4，BD＝5，则OA的长度为．【点拨】根据垂径定理解答即可．【解析】解：∵AB是⊙O的直径，且经过弦CD的中点H，∴CH＝HD，AB⊥CD，∴∠BHD＝90°，∵HD＝4，BD＝5，∴BH＝3，设OA＝x，连接OD，可得：x2＝42+（x﹣3）2，解得：x＝，即OA＝，故答案为：．【点睛】此题考查垂径定理，关键是根据垂径定理和勾股定理解答．13．（2018秋•萧山区期中）如图，在半径为5的圆O中，点P为弦AB上一点，AP＝1，PB＝7，则OP的长为3．【点拨】连接OB，作OM⊥AB与M．根据垂径定理和勾股定理求解【解析】解：连接OB，作OM⊥AB与M，∵P A＝1，PB＝7，∴AB＝8，∵OM⊥AB，∴BM＝AB＝×8＝4，∵P A＝2，∴PM＝3，在直角△OBM中，∵OB＝5，BM＝4，∴OM＝＝＝3，在Rt△OPM中，∵OM＝3，PM＝3，∴OP＝＝＝3．故答案为【点睛】本题考查的是垂径定理及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用勾股定理求解是解答此题的关键．14．（2020•杭州模拟）如图，射线PB，PD分别交圆O于点A，B和点C，D，且AB＝CD＝8．已知圆O 半径等于5，OA∥PC，则OP的长度为3．【点拨】作OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，连接OP，如图，利用在等圆中相等的弦所对应的弦心距相等得到OE＝OF，则根据角平分线的性质定理的逆定理可判断PO平分∠BPD，则可证明∠APO＝∠AOP，所以P A＝AO＝5，接着根据垂径定理得到AE＝BE＝AB＝4，然后利用勾股定理先计算出OE，接着计算OP的长．【解析】解：作OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，连接OP，如图，∵AB＝CD，∴OE＝OF，而OE⊥AB，OF⊥CD，∴PO平分∠BPD，∴∠APO＝∠OPC，∵OA∥PC，∴∠AOP＝∠OPC，∴∠APO＝∠AOP，∴P A＝AO＝5，∵OE⊥AB，∴AE＝BE＝AB＝4，在Rt△AOE中，OE＝＝3，在Rt△POE中，PO＝＝3．故答案为3．【点睛】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理．15．（2019秋•汶上县期末）如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点P，AP＝2，BP＝6，∠APC＝30°，则CD的长为2．【点拨】作OH⊥CD于H，连结OC，如图，根据垂径定理由OH⊥CD得到HC＝HD，再利用AP＝2，BP＝6可计算出半径OA＝4，则OP＝OA﹣AP＝2，接着在Rt△OPH中根据含30度的直角三角形的性质计算出OH＝OP＝1，然后在Rt△OHC中利用勾股定理计算出CH＝，所以CD＝2CH＝2．【解析】解：作OH⊥CD于H，连结OC，如图，∵OH⊥CD，∴HC＝HD，∵AP＝2，BP＝6，∴AB＝8，∴OA＝4，∴OP＝OA﹣AP＝2，在Rt△OPH中，∵∠OPH＝30°，∴∠POH＝60°，∴OH＝OP＝1，在Rt△OHC中，∵OC＝4，OH＝1，∴CH＝，∴CD＝2CH＝2．故答案为：2【点睛】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理以及含30度的直角三角形的性质．三．解答题16．（2018•金山区一模）如图，已知AB是⊙O的弦，C是的中点，AB＝8，AC＝2，求⊙O半径的长．【点拨】如图，连接OA，连接OC交AB于D．设⊙O的半径为r．在Rt△ADC中，求出CD，在Rt△ADC中，利用勾股定理构建方程即可解决问题；【解析】解：如图，连接OA，连接OC交AB于D．设⊙O的半径为r．∵＝，∴OC⊥AB，∴AD＝DB＝AB＝4，在Rt△ACD中，CD＝＝2，在Rt△ADO中，∵OA2＝AD2+OD2，∴r2＝（r﹣2）2+16，解得r＝5．∴⊙O的半径为5．【点睛】本题考查垂径定理、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．17．（2019秋•袁州区校级月考）如图，已知圆O的直径AB垂直于弦CD于点E，连接CO并延长交AD于点F，且CF⊥AD．（1）求证：E是OB的中点；（2）若AB＝16，求CD的长．【点拨】（1）要证明：E是OB的中点，只要求证OE＝OB＝OC，即证明∠OCE＝30°即可．（2）在直角△OCE中，根据勾股定理就可以解得CE的长，进而求出CD的长．【解析】（1）证明：连接AC，如图∵直径AB垂直于弦CD于点E，＝，∴AC＝AD，∵过圆心O的线CF⊥AD，∴AF＝DF，即CF是AD的中垂线，∴AC＝CD，∴AC＝AD＝CD．即：△ACD是等边三角形，∴∠FCD＝30°，在Rt△COE中，OE＝OC，∴OE＝OB，∴点E为OB的中点；（2）解：在Rt△OCE中，AB＝16，∴OC＝AB＝8，又∵BE＝OE，∴OE＝4，∴CE＝＝＝4，∴CD＝2CE＝8．【点睛】本题考查垂径定理，勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．18．如图，OA，OB分别是⊙O的半径，弦AC⊥OB于E，弦BD⊥OA于F，AC，BD相交于点G．（1）求证：AC＝BD．（2）若AF＝2，BD＝8，求⊙O的半径r及AG的长．【点拨】（1）证明△OBF≌△OAE（AAS），推出BF＝AE，再利用垂径定理即可解决问题．（2）利用勾股定理以及相似三角形的性质即可解决问题．【解析】（1）证明：∵弦AC⊥OB于E，弦BD⊥OA于F，∴∠OFB＝∠OEA＝90°，AE＝EC，DF＝FB，∵∠O＝∠O，OB＝OA，∴△OBF≌△OAE（AAS），∴BF＝AE，∴BD＝AC．（2）解：设OA＝OB＝r，∵OA⊥BD，∴BF＝DF＝4，在Rt△OBF中，∵OB2＝OF2+BF2，∴r2＝42+（r﹣2）2，解得r＝5，∵△AFG∽△AEO，∴＝，∴＝，∴AG＝．【点睛】本题考查垂径定理，勾股定理，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．19．（2018•合肥模拟）如图，在⊙O中，弦AD、BC相交于点E，连接OE，已知AD＝BC，AD⊥CB．（1）求证：AB＝CD；（2）如果⊙O的半径为5，DE＝1，求AE的长．【点拨】（1）欲证明AB＝CD，只需证得＝；（2）如图，过O作OF⊥AD于点F，作OG⊥BC于点G，连接OA、OC．构建正方形EFOG，利用正方形的性质，垂径定理和勾股定理来求AF的长度，则易求AE的长度．【解析】（1）证明：如图，∵AD＝BC，∴＝，∴﹣＝﹣，即＝，∴AB＝CD；（2）如图，过O作OF⊥AD于点F，作OG⊥BC于点G，连接OA、OC．则AF＝FD，BG＝CG．∵AD＝BC，∴AF＝CG．在Rt△AOF与Rt△COG中，，∴Rt△AOF≌Rt△COG（HL），∴OF＝OG，∴四边形OFEG是正方形，∴OF＝EF．设OF＝EF＝x，则AF＝FD＝x+1，在直角△OAF中．由勾股定理得到：x2+（x+1）2＝52，解得x＝3．则AF＝3+1＝4，即AE＝AF+3＝7．【点睛】本题考查了勾股定理，正方形的判定与性质，垂径定理以及圆周角、弧、弦间的关系．注意（2）中辅助线的作法．20．（2018•江岸区校级模拟）如图，⊙O的两条弦AB，CD交于点E，OE平分∠BED．（1）求证：AB＝CD．（2）若∠BED＝60°，EO＝2，求BE﹣AE的值．【点拨】（1）过点O作AB、CD的垂线，垂足为M、N，由角平分线的性质，可得OM＝ON，然后由弦心距相等可得弦相等，即AB＝CD；（2）先求出EM的长为，由垂径定理可得AM＝BM，则BE﹣AE＝2EM，求出答案即可．【解析】（1）证明：过点O作AB、CD的垂线，垂足为M、N，如图，∵OE平分∠BED，且OM⊥AB，ON⊥CD，∴OM＝ON，∴AB＝CD；（2）解：∵∠BED＝60°，OE平分∠BED，∴∠BEO＝∠BED＝30°，∵OM⊥AB，∴∠OME＝90°，∵OE＝2，∴∴＝1，∴＝＝，∵OM⊥AB，∴BM＝AM，∴BE﹣AE＝BM+EM﹣（AM﹣EM）＝2EM＝2．【点睛】本题考查了垂径定理及勾股定理和角平分线的性质，解题的关键是：作弦心距，由弦心距相等得到弦相等．21．（2020•武汉模拟）如图，⊙O中，直径CD⊥弦AB于E，AM⊥BC于M，交CD于N，连AD．（1）求证：AD＝AN；（2）若AB＝4，ON＝1，求⊙O的半径．【点拨】（1）先根据圆周角定理得出∠BAD＝∠BCD，再由直角三角形的性质得出∠ANE＝∠CNM，故可得出∠BCD＝∠BAM，由全等三角形的判定定理得出△ANE≌△ADE，故可得出结论；（2）先根据垂径定理求出AE的长，设NE＝x，则OE＝x﹣1，NE＝ED＝x，r＝OD＝OE+ED＝2x﹣1连结AO，则AO＝OD＝2x﹣1，在Rt△AOE中根据勾股定理可得出x的值，进而得出结论．【解析】（1）证明：∵∠BAD与∠BCD是同弧所对的圆周角，∴∠BAD＝∠BCD，∵AE⊥CD，AM⊥BC，∴∠AMC＝∠AEN＝90°，∵∠ANE＝∠CNM，∴∠BCD＝∠BAM，∴∠BAM＝BAD，在△ANE与△ADE中，∵，∴△ANE≌△ADE，∴AD＝AN；（2）解：∵AB＝4，AE⊥CD，∴AE＝2，又∵ON＝1，∴设NE＝x，则OE＝x﹣1，NE＝ED＝x，r＝OD＝OE+ED＝2x﹣1连结AO，则AO＝OD＝2x﹣1，∵△AOE是直角三角形，AE＝2，OE＝x﹣1，AO＝2x﹣1，∴（2）2+（x﹣1）2＝（2x﹣1）2，解得x＝2，∴r＝2x﹣1＝3．【点睛】本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．22．（2020•昆山市一模）如图，AB为⊙O的直径，C、D为圆上的两点，OC∥BD，弦AD与BC，OC分别交于E、F．（1）求证：＝；（2）若CE＝1，EB＝3，求⊙O的半径；（3）若BD＝6，AB＝10，求DE的长．【点拨】（1）根据圆周角定理得到∠ADB＝90°，利用平行线的性质得到∠AFO＝∠ADB＝90°，然后根据垂径定理得到结论；（2）连接AC，如图，利用＝得到∠CAD＝∠ABC，再证明△ACE∽△BCA，利用相似比计算出AC ＝2，接着根据圆周角定理得到∠ACB＝90°，然后利用勾股定理计算出AB，从而得到⊙O的半径；（3）先在Rt△DAB中计算出AD＝8，再利用垂径定理得到AF＝DF＝4，则OF＝3，所以CF＝2，然后证明△ECF∽△EBD得到＝，所以＝，然后把DF＝4代入计算即可得到DE的长．【解析】（1）证明：∵AB是圆的直径，∴∠ADB＝90°，∵OC∥BD，∴∠AFO＝∠ADB＝90°，∴OC⊥AD∴＝；（2）解：连接AC，如图，∵＝，∴∠CAD＝∠ABC，∵∠ECA＝∠ACB，∴△ACE∽△BCA，∴AC：CE＝CB：AC，∴AC2＝CE•CB，即AC2＝1×（1+3），∴AC＝2，∵AB是圆的直径，∴∠ACB＝90°，∴AB＝＝2，∴⊙O的半径为；（3）解：在Rt△DAB中，AD＝＝8，∵OC⊥AD，∴AF＝DF＝4，∵OF＝＝3，∴CF＝2，∵CF∥BD，∴△ECF∽△EBD，∴＝＝＝，∴＝∴DE＝×4＝3．【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了垂径定理和相似三角形的判定与性质.。
圆的垂径定理习题及答案
圆的垂径定理习题一. 选择题 1.如图1,00的直径为10,圆心0到弦AB 的距离0M 的长为3,那么弦AB 的长是（ ）2.如图，O 0的半径为5,弦AB 的长为8,M 是弦AB 上的一个动点，则线段0M 长的最小值为（）3.过O 0内一点M 的最长弦为10cm 最短弦长为8cm 则0M 的长为（）A* 9cmE, 5cm4.如图，小明同学设计了一个测量圆直径的工具，标有刻度的尺子 0A 0B 在 0点钉在一起，并使它们保持垂直，在测直径时，把 0点靠在圆周上，读得刻度0E=8个单位，0F=6个单位，则圆的直位 D. 15个单位5.如图，00的直径AB 垂直弦CD 于 P,且P 是半径0B 的中点，6cmCD ，则直径AB 的长是（）6. 下列命题中，正确的是（A .平分一条直径的弦必垂直于这条直径B .平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦C .弦的垂线必经过这条弦所在圆的圆心D .在一个圆内平分一条弧和它所对的弦的直线必经过这个圆的圆心7. 如图，某公园的一座石拱桥是圆弧形（劣弧），其跨度为24米，拱的半径为13米，则拱高为A.4B. 6C. 7D. 8 B. 3 C. 4 D. 5B . 10个单位 C. 1个单A . 212个单位E & 5米B, 8米C. 7米D,出米D8.0O 的半径为5cm 弦AB//CD ,且AB=8cm,CD=6cn 则AB 与CD 之间的距离为( ) A . 1 cm B. 7cm C. 3 cm 或 4 cm D. 1cm 或 7cm9•已知等腰△ ABC 的三个顶点都在半径为5的0 0上，如果底边BC 的长为8,那么BC 边上的高为 ( ) A . 2 B. 8 C. 2 或 8 D. 3 二、填空题1. _________________________________________________________________________ 已知AB 是O 0的弦，AB= 8cm, OCL AB 与C, 0C=3cm 则O 0的半径为 __________________________ c m2. ____________________________________________________________________ 在直径为10cm 的圆中，弦 AB 的长为8cm,则它的弦心距为 _______________________________ cm3. 在半径为10的圆中有一条长为16的弦，那么这条弦的弦心距等于 _____________________4. 已知AB 是O 0的弦，AB= 8cm, OC L AB 与C, 0C=3cm 则O O 的半径为 ________________ cm5. ______________________________________________________________________________ 如图，O 0的直径AB 垂直于弦CD ，垂足为E ，若/C0氐120°, 0E= 3厘米，贝U CD= ___________ 厘6. _____________________________________________________________ 半径为6cm 的圆中，垂直平分半径 0A 的弦长为 _______________________________________________ c m7. 过O 0内一点M 的最长的弦长为6cm,最短的弦长为4cm,则0M 勺长等于 cm8. 已知AB 是O 0的直径，弦CDL AB E为垂足，CD=8 0E=1则AB= __________9. 如图，AB 为O 0的弦，O 0的半径为5, OC L AB 于点D,交O 0于点C,且CD= l ，则弦AB 的长11. __________________________ 如图，在直角坐标系中，以点P 为圆心的圆弧与轴交于 A 、B 两点，已知P(4, 2)和A(2, 0), 贝卩点B 的坐标是12. ____________________________________________________________ 如图，AB 是O 0的直径，ODL AC 于点D, BC=6cm 则0D ________________________________ cm10. 某蔬菜基地的圆弧形蔬菜大棚的剖面如图所示，已知 AB= 16m 半径04 10m 则中间柱 CD的高度为13. 如图，矩形ABCDf圆心在AB上的圆0交于点G B、F、E, GB=10 EF=8 那么AD= ______14.___________________________________________________________________________ 如图，O O 的半径是 5cm P 是o o 外一点，PO=8cm / P=3GO,则 AB ______________________ cm是 __________________ Cm16. 已知AB 是圆O 的弦,半径OC 垂直AB 交AB 于D,若AB=8 CD=2则圆的半径为 _______________ 17. 一个圆弧形门拱的拱高为1米，跨度为4米，那么这个门拱的半径为 ___________________ 米 18. 在直径为10厘米的圆中，两条分别为6厘米和8厘米的平行弦之间的距离是厘米19. 如图,是一个隧道的截面,如果路面AB 宽为8米,净高CD 为8米,那么这个 隧道所在圆的20. 如图,AB 为半圆直径,O 为圆心,C 为半圆上一点,E 是弧AC 的中点,OE 交弦AC 于点0 若 AC=8cm DE=2cm 则 OD 的长为 _____________ c m21. 已知等腰△ ABC 的三个顶点都在半径为5的。
初中垂径定理试题及答案
初中垂径定理试题及答案一、选择题1. 在圆中，垂直于弦的直径是该弦的（）。
A. 垂线B. 垂径C. 弦心距D. 弦长答案：B2. 垂径定理告诉我们，如果一条线段垂直于弦，并且平分弦，那么它也平分弦所对的（）。
A. 弧B. 圆心角C. 弦心距D. 弦长答案：A3. 在圆中，如果一条直径垂直于弦，那么这条直径将弦分成的两段长度（）。
A. 相等B. 不相等C. 无法确定D. 取决于圆的大小答案：A二、填空题4. 在圆中，如果弦AB的中点为M，且直径CD垂直于弦AB于点M，则弦AB所对的弧ACB的度数为______。
答案：90°5. 垂径定理在圆的几何学中非常重要，它说明了垂直于弦的直径将弦平分，并且平分的弦所对的弧是______。
答案：相等的三、解答题6. 已知圆O的半径为10cm，弦AB垂直于直径CD于点M，求弦AB的长度。
答案：由于直径CD垂直于弦AB，根据垂径定理，弦AB被直径CD平分，因此弦AB的长度为圆的直径，即20cm。
7. 在一个圆中，弦AC的长度为12cm，弦BC的长度为8cm，且AC和BC相交于点O，求圆的半径。
答案：由于AC和BC相交于圆心O，根据垂径定理，OA=OC，OB=OA，因此OA=OC=6cm，OB=OA=6cm。
根据勾股定理，圆的半径r满足r^2 =OA^2 + OB^2 = 6^2 + 6^2 = 72，所以r = √72 = 6√2 cm。
四、证明题8. 证明：在圆中，如果一条直径垂直于弦，那么这条直径将弦平分。
答案：设圆心为O，直径为CD，弦为AB，且CD垂直于AB于点M。
要证明CM=MD。
由于CD是直径，所以∠CMO=∠DMO=90°。
根据垂径定理，CM=MD，因此这条直径将弦平分。
垂径定理典型例题及练习(供参考)
典型例题分析：例题1、 基本概念1．下面四个命题中正确的一个是（ ）A ．平分一条直径的弦必垂直于这条直径B ．平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦C ．弦的垂线必过这条弦所在圆的圆心D ．在一个圆内平分一条弧和它所对弦的直线必过这个圆的圆心2．下列命题中，正确的是（ ）．A ．过弦的中点的直线平分弦所对的弧B ．过弦的中点的直线必过圆心C ．弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦，且过圆心D ．弦的垂线平分弦所对的弧例题2、垂径定理1、 在直径为52cm 的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示，如果油的最大深度为16cm ，那么油面宽度AB 是________cm.2、在直径为52cm 的圆柱形油槽内装入一些油后，，如果油面宽度是48cm ，那么油的最大深度为________cm.3、如图，已知在⊙O 中，弦CD AB =，且CD AB ⊥，垂足为H ，AB OE ⊥于E ，CD OF ⊥于F .（1）求证：四边形OEHF 是正方形.（2）若3=CH ，9=DH ，求圆心O 到弦AB 和CD 的距离.4、已知：△ABC 内接于⊙O ，AB=AC ，半径OB=5cm ，圆心O 到BC 的距离为3cm ，求AB 的长．5、如图，F 是以O 为圆心，BC 为直径的半圆上任意一点，A 是的中点，AD ⊥BC 于D ，求证：AD=21BF.O A E F例题3、度数问题1、已知：在⊙O中，弦cm12=AB，O点到AB的距离等于AB的一半，求：AOB∠的度数和圆的半径.2、已知：⊙O的半径1=OA，弦AB、AC的长分别是2、3.求BAC∠的度数。
例题4、相交问题如图，已知⊙O的直径AB和弦CD相交于点E，AE=6cm，EB=2cm，∠BED=30°，求CD的长.例题5、平行问题在直径为50cm的⊙O中，弦AB=40cm，弦CD=48cm，且AB∥CD，求：AB与CD之间的距离.例题6、同心圆问题如图，在两个同心圆中，大圆的弦AB，交小圆于C、D两点，设大圆和小圆的半径分别为ba,.求证：22baBDAD-=⋅.例题7、平行与相似已知：如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，于CDAE⊥E，CDBF⊥于F.求证：FDEC=.A BDCEO作 业：一、概念题1．下列命题中错误的有（）（1）弦的垂直平分线经过圆心（2）平分弦的直径垂直于弦（3）梯形的对角线互相平分（4）圆的对称轴是直径A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2、⊙O 的直径为10，弦AB 的长为8，M 是弦AB 上的动点，则OM 的长的取值范围是（ ）（A ）5OM 3≤≤ （B ）5OM 4≤≤（C ）5OM 3<< （D ）5OM 4<<3．如图，如果AB 为⊙O 直径，弦AB CD ⊥，垂足为E ，那么下列结论中错误的是（ ）A ．DE CE =B ．C ．BAD BAC ∠=∠ D ．AD AC >4．如图，AB 是⊙O 直径，CD 是⊙O 的弦，CD AB ⊥于E ，则图中不大于半圆的相等弧有（ ）对。
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《垂径定理》典型例题
例1. 选择题：
（1）下列说法中，正确的是（）
A. 长度相等的弧是等弧
B. 两个半圆是等弧
C. 半径相等的弧是等弧
D. 直径是圆中最长的弦答案：D
（2）下列说法错误的是（）
A. 圆上的点到圆心的距离相等
B. 过圆心的线段是直径
C. 直径是圆中最长的弦
D. 半径相等的圆是等圆答案：B
例2. 如图，已知AB是⊙O的直径，M、N分别是AO、BO的中点，CM⊥AB，DN⊥AB。
分析：要证弧相等，可证弧所对的弦相等，也可证弧所对的圆心角相等。
证明：连结OC、OD
∵M、N分别是OA、OB的中点
∵OA＝OB，∴OM＝ON
又CM⊥AB，DN⊥AB，OC＝OD
∴Rt△OMC≌Rt△OND
∴∠AOC＝∠BOD
例3. 在⊙O中，弦AB＝12cm，点O到AB的距离等于AB的一半，求∠AOB 的度数和圆的半径。
分析：根据O到AB的距离，可利用垂径定理解决。
解：过O点作OE⊥AB于E
∵AB＝12
由垂径定理知：
∴△ABO为直角三角形，△AOE为等腰直角三角形。
例4. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，以点C为圆心，CA 为半径的圆与AB、BC分别交于点D、E。
求AB、AD的长。
分析：求AB较简单，求弦长AD可先求AF。
解：过点C作CF⊥AB于F
∵∠C＝90°，AC＝3，BC＝4
∵∠A＝∠A，∠AFC＝∠ACB
∴△AFC∽△ACB
例5. 如图，⊙O中，弦AB＝10cm，P是弦AB上一点，且PA＝4cm，OP＝5cm，求⊙O的半径。
分析：⊙O中已知弦长求半径，通常作弦心距构造直角三角形，利用勾股定理求解。
解：连OA，过点O作OM⊥AB于点M
∵点P在AB上，PA＝4cm
即⊙O的半径为7cm。
例6. 如图“五段彩虹展翅飞”是某省利用国债资金修建的横跨渡江的琼洲大桥已正式通车，该桥的两边均有五个红色的圆拱，最高的圆拱的跨度为110米，拱高为22米，求这个圆拱所在圆的直径。
分析：略
解：如图，设圆拱所在圆的圆心为O，半径为r，CD为拱高
则OC⊥AB于D
答：这个圆拱所在圆的直径为159.5米。
学习要有三心:一信心；二决心；三恒心.
知识+方法=能力,能力+勤奋=效率,效率×时间=成绩.
宝剑锋从磨砺出,梅花香自苦寒来.。