概率论与数理统计第1章ppt
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概率论与数理统计
一、事件的频率与概率
次数， µ n ( A ) : 事件 A 在 n 次可重复试验中出现的 次数，
称为 A 在 n 次试验中出现的频数
频率—— f n ( A) = 频率
µ n ( A)
n
.
频率有如下性质： 频率有如下性质：
1. 非负性：对任何事件 A，有 0 ≤ f n ( A) ≤ 1 非负性：
掷一骰子， 如： A =“掷一骰子，点数小于 4”， B =“掷一骰子，点数小于 5”， 掷一骰子， 则A ⊂ B.
显然对任何事件 A，有 Φ ⊂ A ⊂ Ω⊂ A，则称事件 A与事件 B相等，记作 A = B .
2.事件的和（并） 事件的和（
两个事件 A, B 中至少有一个发生 (属于A或属于 B的样本点 构成的集合 )，称为事件 A 与 B 的和(并 ), 记作 A + B 或 A ∪ B .
显然， 显然，事件 A 与 A 可以构成一个完备事件 组
类似地，称可列个事件 A1 , A2 , L , An， 构成一个 L 类似地， 完备事件组， 完备事件组，如果满足 ：
(1)
( 2)
Ai A j = Φ
(i ≠ j )
∑A
i
i
=Ω
律 事件运算满足下列运算 ：
(1) 交换律 A + B = B + A AB = BA
设袋中有红, 黄各一球, 例: 设袋中有红,白,黄各一球,有放回抽取三 取出球后仍把球放回原袋中),每次取一球, ),每次取一球 次(取出球后仍把球放回原袋中),每次取一球,试 说明下列各组事件是否相容?若不相容, 说明下列各组事件是否相容?若不相容,说明是否 对立? 对立? 三次抽取, 三次抽取, (1) A=“三次抽取,颜色全不同”,B=“三次抽取, = 三次抽取 颜色全不同” = 三次抽取 相容 颜色不全同” 颜色不全同” (2) A=“三次抽取,颜色全同”,B=“三次抽取, 三次抽取, 三次抽取, = 三次抽取 颜色全同” = 三次抽取 颜色不全同” 颜色不全同” 不相容， 不相容，对立 三次抽取, 三次抽取, (3) A=“三次抽取,无红色球”,B=“三次抽取, = 三次抽取 无红色球” = 三次抽取 无黄色球” 无黄色球” 相容 三次抽取, (4) A=“三次抽取,无红色球也无黄色”, = 三次抽取 无红色球也无黄色” B=“三次抽取, 无白色球” 不相容，不对立 三次抽取, = 三次抽取 无白色球” 不相容，
第一章--随机事件及其概率PPT课件
.
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结8束
§1.1 随机事件及其频率·概率的统计定义
随机事件（简称事件） 随机试验中的某种结果(它在一次试验中可能发生
也可能不发生,而且在大量重复试验中具有某种统计规 律性).
或：随机试验结果的一种描述 或：关于试验结果的一个命题 用大写 A,字 B,C母 ,表.示
随机事件 事件 必然事件 (记作U)
概率论与数理统计
主编：刘韶跃 李以泉 丁碧文 杨湘桃
湘潭大学出版社
概率论与数理统计教程（第四版）
.
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结1束
美国报纸检阅（Parade）的专栏内提出了一个有趣的 概率问题：电视主持人指着三扇关着的门说，其中一 扇后是汽车，另两扇后各有一只山羊，你可以随意打 开一扇，后面的东西就归你了，你当然想得到一辆汽 车！当你选定一扇门后，比方说选定1号门（但未打 开），主持人知道哪扇门后是汽车，哪扇门后是山羊， 他打开另一扇中有山羊的一个，比方说他打开了3号 门让你看到里边是山羊，并对你说：我现在再给你一 个机会，允许你改变原来的选择，为了得到汽车，你 是坚持1号门还是改选2号门？
个使他苦恼了很久的问题：“两个赌徒相约赌
若干局，谁先赢m局就算获胜，全部赌本就归
胜者，但是当其中一个人甲赢了a(a<m)局的
时候，赌博中止，问赌本应当如何分配才算合
理？” 概率论在物理、化学、生物、生态、
天文、地质、医学等学科中，在控制论、信息
论、电子技术、预报、运筹等工程技术中的应
用都非常广泛。
概率论与数理统计教程（第四版）
设随机 A在 n次 事试 件验m 中 次 ,则 发比 生
m称为随机事 A的件 相对频率(简称频率). n
概率论与数理统计PPT1章
OPTION
一、随机试验
例1 随机试验的例子
6 第2章 随机变量及其分布
1. 抛掷一枚均匀的硬币，有可能正面朝上，也 有可能反面朝上；
2. 抛掷一枚均匀的骰子，出现的点数； 3. 某快餐店一天内接到的订单量； 4. 航班起飞延误的时间； 5. 一支正常交易的A股股票每天的涨跌幅。
二、样本空间
7 第2章 随机变量及其分布
3 第2章 随机变量及其分布
1.1 随机事件及其运算
一、随机试验 二、样本空间 三、随机事件 四、随机事件间的关系和运算
一、随机试验
4 第2章 随机变量及其分布
随机现象——在个别试验中呈现不确定的结 果, 而在大量重复试验中结果呈现某种规律性的现 象.这种规律性称为统计规律性.
概率论是一门研究随机现象及其统计规律的学 科.
2、随机事件之间的运算 （1）事件的并
事件的并
四、随机事件之间的关系与运算第2章 随机变量及其分布 16
2、随机事件之间的运算 （2）事件的交（积）
事件的交
四、随机事件之间的关系与运算第2章 随机变量及其分布 17
2、随机事件之间的运算 （3）事件的差
四、随机事件之间的关系与运算第2章 随机变量及其分布 18
2、随机事件之间的运算 （4）对立事件
2、随机事件之间的运算
第2章 随机变量及其分布 19
从随机事件间的关系和运算可以看出，
01
OPTION
02
OPTION
03
OPTION
3、事件的运算性质
①交换律 ②结合律 ③分配律 ④对偶律
第2章 随机变量及其分布 20
3、事件的运算性质
例3
1 2 3 4
第2章 随机变量及其分布 21
一、随机试验
例1 随机试验的例子
6 第2章 随机变量及其分布
1. 抛掷一枚均匀的硬币，有可能正面朝上，也 有可能反面朝上；
2. 抛掷一枚均匀的骰子，出现的点数； 3. 某快餐店一天内接到的订单量； 4. 航班起飞延误的时间； 5. 一支正常交易的A股股票每天的涨跌幅。
二、样本空间
7 第2章 随机变量及其分布
3 第2章 随机变量及其分布
1.1 随机事件及其运算
一、随机试验 二、样本空间 三、随机事件 四、随机事件间的关系和运算
一、随机试验
4 第2章 随机变量及其分布
随机现象——在个别试验中呈现不确定的结 果, 而在大量重复试验中结果呈现某种规律性的现 象.这种规律性称为统计规律性.
概率论是一门研究随机现象及其统计规律的学 科.
2、随机事件之间的运算 （1）事件的并
事件的并
四、随机事件之间的关系与运算第2章 随机变量及其分布 16
2、随机事件之间的运算 （2）事件的交（积）
事件的交
四、随机事件之间的关系与运算第2章 随机变量及其分布 17
2、随机事件之间的运算 （3）事件的差
四、随机事件之间的关系与运算第2章 随机变量及其分布 18
2、随机事件之间的运算 （4）对立事件
2、随机事件之间的运算
第2章 随机变量及其分布 19
从随机事件间的关系和运算可以看出，
01
OPTION
02
OPTION
03
OPTION
3、事件的运算性质
①交换律 ②结合律 ③分配律 ④对偶律
第2章 随机变量及其分布 20
3、事件的运算性质
例3
1 2 3 4
第2章 随机变量及其分布 21
浙江大学《概率论与数理统计》第1章
定义2：将概率视为测度，且满足：
1。 P( A) 0
2。 P(S) 1
3。 A1, A2,...,Ak ,...,Ai Aj （i j）,
P( Ai ) P( Ai )
i 1
i 1
称P(A)为事件A的概率。
性质：1 P() 0
证：令 An (n 1, 2,...),
例： 由n个部件组成的系统，记
n
• 串联系统： A Ai
i 1
n
• 并联系统： A Ai
i 1
Ai {第i个部件没有损坏}，i=1,2, ,n,
A＝{系统没有损坏}
1-3 频率与概率
(一)频率
定义：记
fn
(
A)
nA n
；
其中 n A —A发生的次数(频数)；
n—总试验次数。称 fn ( A) 为A
10 3 0.6 31 0.62
n =500 nH fn(H) 251 0.502 249 0.498 256 0.512 253 0.506 251 0.502 246 0.492 244 0.488 258 0.516 262 0.524 247 0.494
实验者 德·摩根
蒲丰 K·皮尔逊 K·皮尔逊
n
n
P( Ai ) P( Ai )
P( Ai Aj )
i 1
i 1
1i jn
P( Ai Aj Ak ) (1)n1 P( A1A2 An )
1i jk n
例：甲乙丙3人去参加某个集会的概率 均为0.4，其中至少有两人参加的概率为 0.3，都参加的概率为0.05，求3人中至 少有一人参加的概率。
1。 P( A) 0
2。 P(S) 1
3。 A1, A2,...,Ak ,...,Ai Aj （i j）,
P( Ai ) P( Ai )
i 1
i 1
称P(A)为事件A的概率。
性质：1 P() 0
证：令 An (n 1, 2,...),
例： 由n个部件组成的系统，记
n
• 串联系统： A Ai
i 1
n
• 并联系统： A Ai
i 1
Ai {第i个部件没有损坏}，i=1,2, ,n,
A＝{系统没有损坏}
1-3 频率与概率
(一)频率
定义：记
fn
(
A)
nA n
；
其中 n A —A发生的次数(频数)；
n—总试验次数。称 fn ( A) 为A
10 3 0.6 31 0.62
n =500 nH fn(H) 251 0.502 249 0.498 256 0.512 253 0.506 251 0.502 246 0.492 244 0.488 258 0.516 262 0.524 247 0.494
实验者 德·摩根
蒲丰 K·皮尔逊 K·皮尔逊
n
n
P( Ai ) P( Ai )
P( Ai Aj )
i 1
i 1
1i jn
P( Ai Aj Ak ) (1)n1 P( A1A2 An )
1i jk n
例：甲乙丙3人去参加某个集会的概率 均为0.4，其中至少有两人参加的概率为 0.3，都参加的概率为0.05，求3人中至 少有一人参加的概率。
海南大学《概率论与数理统计》课件-第一二三四章
x2 f ( x)d x;
x1
(4) 若 f ( x) 在点 x 处连续,则有 F( x) f ( x).
注意 对于任意可能值 a ,连续型随机变量取 a 的概率等于零.即
P{ X a} 0.
10、 均匀分布 定义 设连续型随机变量X 具有概率密度
例如某无f些线( x元电) 件元 或件0b,设的1 a备寿, 的命其a寿,电它命x,力服设从b,备指的数寿分命布,. 则称动物X 的在寿区命间等(a都,b)服区从间指上数服分从布均. 匀分布, 记为 X ~ U(a,b).
代表事件 A 在试验中发生的概率，它与试验总
数
n 有关。若
lim
n
npn
0
则
lim
n
Cnk
pnk
1 pn
nk
k
k！e
8、 连续型随机变量及其概率密度
设X为 随 机 变 量，F ( x)为X 的 分 布 函 数,若 存 在 非 负 函 数f ( x),使 对 于 任 意 实 数x 有
x
F ( x) f (t)d t,
第一章 随机事件及其概率
1 了解样本空间的概念，理解随机事件的概念，重 点掌握随机事件的关系和运算。 2 理解概率和条件概率的概念，掌握概率的基本性 质，能利用古典概型和几何概型计算一些事件的 概率。 3 掌握概率的加法公式、条件概率公式、乘法公式、 全概率公式和贝叶斯公式计算过事件的概率的方 法 4 理解事件独立性的概念，会利用事件独立性进行 事件概率计算。 5 理解独立重复试验的概率，掌握利用伯努利概型 计算过事件概率的方法。
(3) F () lim F ( x) 0, F () lim F( x) 1;
x
x
概率论与数理统计(完整版)
ABC 反之 不成 立
例. 甲、乙、丙三人各射击一次，事件A1,A2,A3分别表示 甲、乙、丙射中，试说明下列事件所表示的结果：
A 2,A 2 A 3, A 1A 2, A 1 A 2, A 1A 2A 3, A 1A 2 A 2A 3 A 1A 3.
14
§3. 概率的概念 一. 古典定义：
等可能概型的两个特点:
在其中计算B发生的概率, 从而得到P(B|A). 例2. 在1, 2, 3, 4, 5这5个数码中, 每次取一个数码, 取后不放回, 连取两次, 求在第1次取到偶数的条 件下, 第2次取到奇数的概率.
32
(二) 乘法公式:
由条件概 ,立率 即P 定 可 (A 义 0 得 )则 , 有 P(AP B()A)|A P)(.B
若事件A发生必然导致事件B发生,则称件B包含事件A,记 作AB. 若A B且A B, 即A=B, 则称A与B相等.
B
A S
(1) AB
8
2.和事件:
AB{x|xA或xB}称为 A与B的和事 . 件
即AB ,中至少有一 ,称个 为 A与 发 B的 生和 ,记AB.
可列个A事 1, A2件 ,的和事件记 Ak.为
推广 P(AB)>0, 则有 P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB). 一般, 设A1, A2, …,An是n个事件,(n≥2), P(A1A2 ...An-1)>0, 则有乘法公式: P(A1A2…An)=P(A1)P(A2|A1)…P(An-1|A1A2…An-2) P(An|A1A2…An-1).
P(A1 A2 …)=P(A1)+P(A2)+… (可列可加性)
25
2.概率的性质： 性1质 . P()0.
例. 甲、乙、丙三人各射击一次，事件A1,A2,A3分别表示 甲、乙、丙射中，试说明下列事件所表示的结果：
A 2,A 2 A 3, A 1A 2, A 1 A 2, A 1A 2A 3, A 1A 2 A 2A 3 A 1A 3.
14
§3. 概率的概念 一. 古典定义：
等可能概型的两个特点:
在其中计算B发生的概率, 从而得到P(B|A). 例2. 在1, 2, 3, 4, 5这5个数码中, 每次取一个数码, 取后不放回, 连取两次, 求在第1次取到偶数的条 件下, 第2次取到奇数的概率.
32
(二) 乘法公式:
由条件概 ,立率 即P 定 可 (A 义 0 得 )则 , 有 P(AP B()A)|A P)(.B
若事件A发生必然导致事件B发生,则称件B包含事件A,记 作AB. 若A B且A B, 即A=B, 则称A与B相等.
B
A S
(1) AB
8
2.和事件:
AB{x|xA或xB}称为 A与B的和事 . 件
即AB ,中至少有一 ,称个 为 A与 发 B的 生和 ,记AB.
可列个A事 1, A2件 ,的和事件记 Ak.为
推广 P(AB)>0, 则有 P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB). 一般, 设A1, A2, …,An是n个事件,(n≥2), P(A1A2 ...An-1)>0, 则有乘法公式: P(A1A2…An)=P(A1)P(A2|A1)…P(An-1|A1A2…An-2) P(An|A1A2…An-1).
P(A1 A2 …)=P(A1)+P(A2)+… (可列可加性)
25
2.概率的性质： 性1质 . P()0.
同济大学《概率论与数理统计》PPT课件
随机事件 D=“出现的点数超过 6”= ，即一定不会发生的不可能事件。
同济大学数学系 & 人民邮电出版社
四、随机事件之间的关系与运算
第1章 随机事件与概率 10
（1）事件的包含
若事件 A 的发生必然导致事件 B 的发生, 则称事件A 包含在事件 B 中. 记作 A B .
BA
A B
同济大学数学系 & 人民邮电出版社
3
某快餐店一天内接到的订单量；
4
航班起飞延误的时间；
5
一支正常交易的A股股票每天的涨跌幅。
二、样本空间
第1章 随机事件与概率 6
一个随机试验，每一个可能出现的结果称为一个样本点，记为
全体样本点的集合称为样本空间, 记为 , 也即样本空间是随机试验的一切可能结果组成
的集合, 集合中的元素就是样本点. 样本空间可以是有限集, 可数集, 一个区间（或若干区间的并集）.
01 在相同的条件下试验可以重复进行;
OPTION
02 每次试验的结果不止一个, 但是试验之前可以明确;
OPTION
03 每次试验将要发生什么样的结果是事先无法预知的.
OPTION
一、随机试验
例1
随机试验的例子
第1章 随机事件与概率 5
1 抛掷一枚均匀的硬币，有可能正面朝上，也有可能反面朝上；
2
抛掷一枚均匀的骰子，出现的点数；
（互斥）.
同济大学数学系 & 人民邮电出版社
2、随机事件之间的运算
第1章 随机事件与概率 12
（1）事件的并
事件 A 或 B至少有一个发生时, 称事件 A 与事件B 的并事件发生, 记为 A U B .
（2）事件的交（积）
同济大学数学系 & 人民邮电出版社
四、随机事件之间的关系与运算
第1章 随机事件与概率 10
（1）事件的包含
若事件 A 的发生必然导致事件 B 的发生, 则称事件A 包含在事件 B 中. 记作 A B .
BA
A B
同济大学数学系 & 人民邮电出版社
3
某快餐店一天内接到的订单量；
4
航班起飞延误的时间；
5
一支正常交易的A股股票每天的涨跌幅。
二、样本空间
第1章 随机事件与概率 6
一个随机试验，每一个可能出现的结果称为一个样本点，记为
全体样本点的集合称为样本空间, 记为 , 也即样本空间是随机试验的一切可能结果组成
的集合, 集合中的元素就是样本点. 样本空间可以是有限集, 可数集, 一个区间（或若干区间的并集）.
01 在相同的条件下试验可以重复进行;
OPTION
02 每次试验的结果不止一个, 但是试验之前可以明确;
OPTION
03 每次试验将要发生什么样的结果是事先无法预知的.
OPTION
一、随机试验
例1
随机试验的例子
第1章 随机事件与概率 5
1 抛掷一枚均匀的硬币，有可能正面朝上，也有可能反面朝上；
2
抛掷一枚均匀的骰子，出现的点数；
（互斥）.
同济大学数学系 & 人民邮电出版社
2、随机事件之间的运算
第1章 随机事件与概率 12
（1）事件的并
事件 A 或 B至少有一个发生时, 称事件 A 与事件B 的并事件发生, 记为 A U B .
（2）事件的交（积）
概率论与数理统计-第1章-第2讲-古典概率与几何概率
19
概率论与数理统计
学海无涯，祝你成功！
主讲教师 |
20
概率论与数理统计
第1章 随机事件与概率
第2讲 古典概率与几何概率
主讲教师 |
本章内容
01 古典概率 02 几何概率
02 古典概率
在概率论发展的历史上，最早研究的一类最直观、最简单的问题是等 可能摡型，在这类问题中，样本空间中每个样本点出现的可能性是相等的.
例如 抛掷一枚均匀的硬币，或抛掷一颗均匀的骰子，这类随机试验，它 们都有如下的两个特点：
10
02 古典概率
例 “分房模型”的应用
某班级有 k (k≤365)个人，求k 个人的生日均不相同的概率. 恰有 k 个盒子中各有一球
P( A)
C
k 365
k
!
365k
Ak 365
365k
问：如何求“至少有两人同生日”的概率？
下一讲揭晓
11
02 古典概率
几何概型 (古典概型的推广)
古典概型考虑了样本空间仅包含有限个样本点的等可能概率模型， 但等可能概型还有其它类型，如样本空间为一线段、平面或空间区域 等，这类等可能概型称为几何概型，思路如下：
(n k 1) n! (n k)!
从n个不同元素中任取 k个的不同排列总数
（4）组合公式
C
k n
n(n 1)
(n k 1) n!
ห้องสมุดไป่ตู้
k!
(n k)!k!
从n个不同元素中任取 k个的不同组合总数
5
02 古典概率
典型例题
例 设有N件产品，其中有M件次品，现从这N件中任取n件， 求其中恰 有k件次品的概率.
9
02 古典概率
概率论与数理统计
学海无涯，祝你成功！
主讲教师 |
20
概率论与数理统计
第1章 随机事件与概率
第2讲 古典概率与几何概率
主讲教师 |
本章内容
01 古典概率 02 几何概率
02 古典概率
在概率论发展的历史上，最早研究的一类最直观、最简单的问题是等 可能摡型，在这类问题中，样本空间中每个样本点出现的可能性是相等的.
例如 抛掷一枚均匀的硬币，或抛掷一颗均匀的骰子，这类随机试验，它 们都有如下的两个特点：
10
02 古典概率
例 “分房模型”的应用
某班级有 k (k≤365)个人，求k 个人的生日均不相同的概率. 恰有 k 个盒子中各有一球
P( A)
C
k 365
k
!
365k
Ak 365
365k
问：如何求“至少有两人同生日”的概率？
下一讲揭晓
11
02 古典概率
几何概型 (古典概型的推广)
古典概型考虑了样本空间仅包含有限个样本点的等可能概率模型， 但等可能概型还有其它类型，如样本空间为一线段、平面或空间区域 等，这类等可能概型称为几何概型，思路如下：
(n k 1) n! (n k)!
从n个不同元素中任取 k个的不同排列总数
（4）组合公式
C
k n
n(n 1)
(n k 1) n!
ห้องสมุดไป่ตู้
k!
(n k)!k!
从n个不同元素中任取 k个的不同组合总数
5
02 古典概率
典型例题
例 设有N件产品，其中有M件次品，现从这N件中任取n件， 求其中恰 有k件次品的概率.
9
02 古典概率
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NDD, DDN, DND, DDD }.
实例4 从一批灯泡中任取 一只, 测试其寿命.
4 {t t 0}.
其中 t 为灯泡的寿命 .
实5
记录某城市120 急 救电话台一昼夜接 到的呼唤次数.
5 { 0, 1, 2, }.
说明 1. 试验不同, 对应的样本空间也不同. 2. 同一试验 , 若试验目的不同,则对应的样 本空 间也不同.
实例3 抛掷一枚骰子,观 察出现的点数.
结果有可能为:
1, 2, 3, 4, 5 或 6.
实例4 从一批含有正品 和次品的产品中任意抽取 一个产品.
实例5 过马路交叉口时, 可能遇上各种颜色的交通 指挥灯.
其结果可能为: 正品 、次品.
实例6 出生的婴儿可 能是男,也可能是女.
实例7 明天的天气可
确定性现象的特征
(2) 随机现象
条件完全决定结果
在一定条件下可能出现也可能不出现的现象
称为随机现象.
实例1 在相同条件下掷一枚均匀的硬币，观察 正反两面出现的情况.
结果有可能出现正面也可能出现反面.
实例2 用同一门炮向同 一目标发射同一种炮弹多 发 , 观察弹落点的情况. 结果: 弹落点会各不相同.
实例 抛掷一枚骰子, 观察出现的点数.
“点数不大于4”,“点数为偶数” 等都为随机事件.
它们分别可以对应了样本空间Ω ={1,2,3,4,5,6}的
子集｛1,2,3,4｝和｛2,4,6｝．
反过来， Ω的每个子集都对应了该试验的一个随
机事件．
随机事件的定义
随机试验 E 的样本空间Ω 的子集 称为 E 的随机事件, 简称事件.
能是晴 , 也可能是多云
或雨.
随机现象的特征
条件不能完全决定结果
说明 (1) 随机现象揭示了条件和结果之间的非确定性 联系 , 其数量关系无法用函数加以描述. (2) 随机现象在一次观察中出现什么结果具有偶 然性, 但在大量试验或观察中, 这种结果的出现具 有一定的统计规律性 , 概率论就是研究随机现象 规律性的一门数学学科. 如何来研究随机现象? 随机现象是通过随机试验来研究的. 问题 什么是随机试验?
Ω
.
样本点e
实例1 抛掷一枚硬币,观察正面,反面出现的情况.
1 {H ,T }.
H 正面朝上 T 反面朝上
实例2 抛掷一枚骰子,观察出现的点数.
2 {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
实例3 从一批产品中,依次任选三件,记录出 现正品与次品的情况.
记 N 正品, D 次品.
则 3 { NNN, NND, NDN, DNN,
(2) 从一批产品中,依次任选三件,记 录出现正品与次品的件数.
(3) 记录某公共汽车站 某时刻的等车人数.
(4) 考察某地区 10 月 份的平均气温.
(5) 从一批灯泡中任 取一只,测试其寿命.
二、样本空间
现代集合论为表述随机试验提供了一 个方便的工具 .
我们把随机试验的每个基本结果称为 样本点，记作e 或ω. 全体样本点的集合称为 样本空间. 样本空间用Ω表示.
(2) 随机试验通常用 E 来表示.
实例 “抛掷一枚硬币,观 察正面、反面出现的情况”.
分析 (1) 试验可以在相同的条件下重复地进行;
(2) 试验的所有可能结果: 正面、反面;
(3) 进行一次试验之前不能 确定哪一个结果会出现.
故为随机试验.
同理可知下列试验都为随机试验. (1) 抛掷一枚骰子,观察出现的点数.
第1章 随机事件及其概率
1.1 随机事件 1.2 随机事件的概率 1.3 条件概率与事件的独立性 1.4 全概率公式与逆概率公式
概率论是研究随机现象的数量规律的数学 分支，从近代博弈论逐步发展起来；数理统计 以概率论为工具研究统计资料的收集、整理， 并依据收集现象的规律性作出科学的分析和推 断。
概率论与数理统计以随机现象的统计规律 性为研究对象，其最终目的在于用随机现象 的规律性指导我们的实践。
当且仅当子集Ａ中某个样本点出现时， 称事件Ａ发生．
实例 抛掷一枚骰子, 观察出现的点数. 特别地：
基本事件 由一个样本点组成的单点集 实例 “出现1点”, “出现2点”, … , “出现6点”. 必然事件 随机试验中必然发生的事件． 实例 上述试验中 “点数不大于6” 就是必然事件. 不可能事件 随机试验中不可能发生的事件. 实例 上述试验中 “点数大于6” 就是不可能事件.
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1.1 随机事件
一、随机试验 二、样本空间 三、随机事件及其发生 四、事件之间的关系和运算
自然界所观察到的现象: 确定性现象 随机现象
(1) 确定性现象
在一定条件下必然发生 的现象称为确定性现象或 决定性现象。 实例
“太阳不会从西边升起”,
“水从高处流向低处”,
“同性电荷必然互斥”,
例如 只包含两个样本点的样本空间
{H,T}
它既可以作为抛掷硬币出现正面或出现反面的
模型 , 也可以作为产品检验中合格与不合格的 模型 , 又能用于排队现象中有人排队与无人排 队的模型等.
在具体问题的 研究中 , 描述随机 现象的第一步就是 建立样本空间.
三、随机事件及其发生
随机事件：
通俗地讲 随机事件是指随机试验中可能发生也 可能不发生的结果。 根据这个说法不难发现 随机事件和样本空间的 子集有一一对应关系！
一、随机试验
在概率论中,把具有以下三个特征的试验称为随机 试验。 （1）可以在相同的条件下重复地进行(可重复性） ； （2）每次试验的可能结果不止一个,并且能事先明确试 验的所有可能结果（可预见性） ；
（3）进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现 （随机性） 。
说明
(1) 随机试验简称为试验, 是一个广泛的术语.它包 括各种各样的科学实验, 也包括对客观事物进行 的 “调查”、“观察”或 “测量” 等.
例如 对于同一试验: “将一枚硬币抛掷三 次若”观.察正面 H、反面 T 出现的情况 ,则样本空间
为 {HHH , HHT , HTH , THH ,
HTT , TTH , THT , TTT }.
若观察出现正面的次数 , 则样本空间为
{ 0, 1, 2, 3}.
说明
3. 建立样本空间,事实上就是建立随机现 象的数学模型. 因此 , 一个样本空间可以 概括许多内容大不相同的实际问题.
实例4 从一批灯泡中任取 一只, 测试其寿命.
4 {t t 0}.
其中 t 为灯泡的寿命 .
实5
记录某城市120 急 救电话台一昼夜接 到的呼唤次数.
5 { 0, 1, 2, }.
说明 1. 试验不同, 对应的样本空间也不同. 2. 同一试验 , 若试验目的不同,则对应的样 本空 间也不同.
实例3 抛掷一枚骰子,观 察出现的点数.
结果有可能为:
1, 2, 3, 4, 5 或 6.
实例4 从一批含有正品 和次品的产品中任意抽取 一个产品.
实例5 过马路交叉口时, 可能遇上各种颜色的交通 指挥灯.
其结果可能为: 正品 、次品.
实例6 出生的婴儿可 能是男,也可能是女.
实例7 明天的天气可
确定性现象的特征
(2) 随机现象
条件完全决定结果
在一定条件下可能出现也可能不出现的现象
称为随机现象.
实例1 在相同条件下掷一枚均匀的硬币，观察 正反两面出现的情况.
结果有可能出现正面也可能出现反面.
实例2 用同一门炮向同 一目标发射同一种炮弹多 发 , 观察弹落点的情况. 结果: 弹落点会各不相同.
实例 抛掷一枚骰子, 观察出现的点数.
“点数不大于4”,“点数为偶数” 等都为随机事件.
它们分别可以对应了样本空间Ω ={1,2,3,4,5,6}的
子集｛1,2,3,4｝和｛2,4,6｝．
反过来， Ω的每个子集都对应了该试验的一个随
机事件．
随机事件的定义
随机试验 E 的样本空间Ω 的子集 称为 E 的随机事件, 简称事件.
能是晴 , 也可能是多云
或雨.
随机现象的特征
条件不能完全决定结果
说明 (1) 随机现象揭示了条件和结果之间的非确定性 联系 , 其数量关系无法用函数加以描述. (2) 随机现象在一次观察中出现什么结果具有偶 然性, 但在大量试验或观察中, 这种结果的出现具 有一定的统计规律性 , 概率论就是研究随机现象 规律性的一门数学学科. 如何来研究随机现象? 随机现象是通过随机试验来研究的. 问题 什么是随机试验?
Ω
.
样本点e
实例1 抛掷一枚硬币,观察正面,反面出现的情况.
1 {H ,T }.
H 正面朝上 T 反面朝上
实例2 抛掷一枚骰子,观察出现的点数.
2 {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
实例3 从一批产品中,依次任选三件,记录出 现正品与次品的情况.
记 N 正品, D 次品.
则 3 { NNN, NND, NDN, DNN,
(2) 从一批产品中,依次任选三件,记 录出现正品与次品的件数.
(3) 记录某公共汽车站 某时刻的等车人数.
(4) 考察某地区 10 月 份的平均气温.
(5) 从一批灯泡中任 取一只,测试其寿命.
二、样本空间
现代集合论为表述随机试验提供了一 个方便的工具 .
我们把随机试验的每个基本结果称为 样本点，记作e 或ω. 全体样本点的集合称为 样本空间. 样本空间用Ω表示.
(2) 随机试验通常用 E 来表示.
实例 “抛掷一枚硬币,观 察正面、反面出现的情况”.
分析 (1) 试验可以在相同的条件下重复地进行;
(2) 试验的所有可能结果: 正面、反面;
(3) 进行一次试验之前不能 确定哪一个结果会出现.
故为随机试验.
同理可知下列试验都为随机试验. (1) 抛掷一枚骰子,观察出现的点数.
第1章 随机事件及其概率
1.1 随机事件 1.2 随机事件的概率 1.3 条件概率与事件的独立性 1.4 全概率公式与逆概率公式
概率论是研究随机现象的数量规律的数学 分支，从近代博弈论逐步发展起来；数理统计 以概率论为工具研究统计资料的收集、整理， 并依据收集现象的规律性作出科学的分析和推 断。
概率论与数理统计以随机现象的统计规律 性为研究对象，其最终目的在于用随机现象 的规律性指导我们的实践。
当且仅当子集Ａ中某个样本点出现时， 称事件Ａ发生．
实例 抛掷一枚骰子, 观察出现的点数. 特别地：
基本事件 由一个样本点组成的单点集 实例 “出现1点”, “出现2点”, … , “出现6点”. 必然事件 随机试验中必然发生的事件． 实例 上述试验中 “点数不大于6” 就是必然事件. 不可能事件 随机试验中不可能发生的事件. 实例 上述试验中 “点数大于6” 就是不可能事件.
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1.1 随机事件
一、随机试验 二、样本空间 三、随机事件及其发生 四、事件之间的关系和运算
自然界所观察到的现象: 确定性现象 随机现象
(1) 确定性现象
在一定条件下必然发生 的现象称为确定性现象或 决定性现象。 实例
“太阳不会从西边升起”,
“水从高处流向低处”,
“同性电荷必然互斥”,
例如 只包含两个样本点的样本空间
{H,T}
它既可以作为抛掷硬币出现正面或出现反面的
模型 , 也可以作为产品检验中合格与不合格的 模型 , 又能用于排队现象中有人排队与无人排 队的模型等.
在具体问题的 研究中 , 描述随机 现象的第一步就是 建立样本空间.
三、随机事件及其发生
随机事件：
通俗地讲 随机事件是指随机试验中可能发生也 可能不发生的结果。 根据这个说法不难发现 随机事件和样本空间的 子集有一一对应关系！
一、随机试验
在概率论中,把具有以下三个特征的试验称为随机 试验。 （1）可以在相同的条件下重复地进行(可重复性） ； （2）每次试验的可能结果不止一个,并且能事先明确试 验的所有可能结果（可预见性） ；
（3）进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现 （随机性） 。
说明
(1) 随机试验简称为试验, 是一个广泛的术语.它包 括各种各样的科学实验, 也包括对客观事物进行 的 “调查”、“观察”或 “测量” 等.
例如 对于同一试验: “将一枚硬币抛掷三 次若”观.察正面 H、反面 T 出现的情况 ,则样本空间
为 {HHH , HHT , HTH , THH ,
HTT , TTH , THT , TTT }.
若观察出现正面的次数 , 则样本空间为
{ 0, 1, 2, 3}.
说明
3. 建立样本空间,事实上就是建立随机现 象的数学模型. 因此 , 一个样本空间可以 概括许多内容大不相同的实际问题.