《最短路径问题》轴对称课件ppt
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初中数学人教八年级上册第十三章轴对称最短路径问题PPT
B A
l
探究 活动 1
探究 活动 1
追问1 这是一个实际问题，我们需要对实际问题
怎么转化呢？ 将A，B 两地抽象
·B
为两个点，将河l 抽 A·
象为一条直线．
l
上面的问题就转化为
B
：当点C 在l 的什么位
A
置时，AC 与CB 的和最
小（如图）．
C
l
(Ⅱ) 两点在一条直线同侧
已知：如图,A、B在直线L的同一侧，在L上
求一点，使得PA+PB最小.
作法：① 作点B关于直线l的对称点B/.
② 连接AB/,交直线l于点P.
B
点P的位置即为所求. A
为什么这样做就能得 到最短距离呢？
MP
l
MA + MB′>PA+PB ′
即MA + MB′>PA+PB
B/
三角形任意两边之和大于第三边
巩固 强化意识
问题2：如图，将军骑马从A点出发，经过河
各取一个点 C, D ，使得四边形 CMND 的周长最小.、
课堂 练习
如图，四边形ABCD中，∠BAD=120°， ∠B=∠D=90°,在BC，CD上分别找一点M、N ，当△AMN周长最小时，∠AMN+∠ANM的 度数为多少？
A B
D A″
N
M A′
C
总结 促我进步
我的收获：
.
还需提升：
.
总结 促我进步
1.知识收获：利用轴对称，平移等几何知识进行 最佳路径设计
13.4 课题学习 最短路径问题
温故 新旧链接
1.如图1：从A点到B点有三条路，走 ② 路最近，依
据是 两点之间线段最短 ；
l
探究 活动 1
探究 活动 1
追问1 这是一个实际问题，我们需要对实际问题
怎么转化呢？ 将A，B 两地抽象
·B
为两个点，将河l 抽 A·
象为一条直线．
l
上面的问题就转化为
B
：当点C 在l 的什么位
A
置时，AC 与CB 的和最
小（如图）．
C
l
(Ⅱ) 两点在一条直线同侧
已知：如图,A、B在直线L的同一侧，在L上
求一点，使得PA+PB最小.
作法：① 作点B关于直线l的对称点B/.
② 连接AB/,交直线l于点P.
B
点P的位置即为所求. A
为什么这样做就能得 到最短距离呢？
MP
l
MA + MB′>PA+PB ′
即MA + MB′>PA+PB
B/
三角形任意两边之和大于第三边
巩固 强化意识
问题2：如图，将军骑马从A点出发，经过河
各取一个点 C, D ，使得四边形 CMND 的周长最小.、
课堂 练习
如图，四边形ABCD中，∠BAD=120°， ∠B=∠D=90°,在BC，CD上分别找一点M、N ，当△AMN周长最小时，∠AMN+∠ANM的 度数为多少？
A B
D A″
N
M A′
C
总结 促我进步
我的收获：
.
还需提升：
.
总结 促我进步
1.知识收获：利用轴对称，平移等几何知识进行 最佳路径设计
13.4 课题学习 最短路径问题
温故 新旧链接
1.如图1：从A点到B点有三条路，走 ② 路最近，依
据是 两点之间线段最短 ；
13.4.1最短路径问题优秀课件
A BC NhomakorabeaDl
3.在我们前面的学习中，还有哪些涉及比较线段大小的基本事实？ 三角形三边关系：两边之和大于第三边； 斜边大于直角边.
4.如图，如何做点A关于直线l的对称点？
A
l
A′
问题2 如果点A,B分别是直线l同侧的两个点，又应该如何解决？
想一想： 对于问题2，如何将点
B
B“移”到l 的另一侧B′处，满足
典例精析
练习1.如图，在△ABC中，AB=3,AC=4,BC=5，EF垂直平分BC，点P 为直线EF上的任一点，则AP+BP的最小值是（ ）
A. 7
B. 6
C. 5
D. 4
典例精析 (两线一点型)
例2：如图，牧马营地在点P处，每天牧马人要赶着马群先到草地a上吃 草，再到河边b处饮水，最后回到营地.请你设计一条放牧路线，使其所 走总路程最短.
第十三章 轴对称
13.4 课题学习 最短路径问题
学习目标
1.能利用轴对称解决简单的最短路径问题.（难点） 2.体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟
转化思想．（重点）
情景引入
请问牛郎织女在河边哪个地方相会，能让他两人走的总路程 最短？
迢迢牵牛星，皎皎河汉女。 纤纤擢素手，札札弄机杼。 终日不成章，泣涕零如雨； 河汉清且浅，相去复几许！ 盈盈一水间，脉脉不得语。
BC =B′C，BC′=B′C′．
B
∴ AC +BC= AC +B′C = AB′，
A
∴ AC′+BC′= AC′+B′C′． 在△AB′C′中，
C
C′
l
AB′＜AC′+B′C′，
∴ AC +BC＜AC′+BC′．
3.在我们前面的学习中，还有哪些涉及比较线段大小的基本事实？ 三角形三边关系：两边之和大于第三边； 斜边大于直角边.
4.如图，如何做点A关于直线l的对称点？
A
l
A′
问题2 如果点A,B分别是直线l同侧的两个点，又应该如何解决？
想一想： 对于问题2，如何将点
B
B“移”到l 的另一侧B′处，满足
典例精析
练习1.如图，在△ABC中，AB=3,AC=4,BC=5，EF垂直平分BC，点P 为直线EF上的任一点，则AP+BP的最小值是（ ）
A. 7
B. 6
C. 5
D. 4
典例精析 (两线一点型)
例2：如图，牧马营地在点P处，每天牧马人要赶着马群先到草地a上吃 草，再到河边b处饮水，最后回到营地.请你设计一条放牧路线，使其所 走总路程最短.
第十三章 轴对称
13.4 课题学习 最短路径问题
学习目标
1.能利用轴对称解决简单的最短路径问题.（难点） 2.体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟
转化思想．（重点）
情景引入
请问牛郎织女在河边哪个地方相会，能让他两人走的总路程 最短？
迢迢牵牛星，皎皎河汉女。 纤纤擢素手，札札弄机杼。 终日不成章，泣涕零如雨； 河汉清且浅，相去复几许！ 盈盈一水间，脉脉不得语。
BC =B′C，BC′=B′C′．
B
∴ AC +BC= AC +B′C = AB′，
A
∴ AC′+BC′= AC′+B′C′． 在△AB′C′中，
C
C′
l
AB′＜AC′+B′C′，
∴ AC +BC＜AC′+BC′．
《最短路径问题》PPT课件
13.4 课题学习 最短路径问题
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
.
1
学习目标
1.体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转 化思想．（重点）
2.能利用轴对称解决简单的最短路径问题.（难点）
.
2
导入新课
复习引入 1.如图，连接A、B两点的所有连线中，哪条最短？为什么？
②最短，因为两点之间，线段最短
A．P是m上到A、B距离之和最短的
点，Q是m上到A、B距离相等的点
B．Q是m上到A、B距离之和最短的
点，P是m上到A、B距离相等的点
C．P、Q都是m上到A、B距离之和最
短的点
D．P、Q都是m上到A、B距离相等
的点
.
16
2.如图，∠AOB=30°，∠AOB内有一定点P，且
OP=10．在OA上有一点Q，OB上有一点R．若
△PQR周长最小，则最小周长是（ A ）
A．10
B．15
C．20
D．30
.
17
3.如图，牧童在A处放马，其家在B处，A、B到河岸的距离分 别为AC和BD，且AC=BD,若点A到河岸CD的中点的距离为500 米，则牧童从A处把马牵到河边饮水再回家，所走的最短距离 是 1000 米.
C
D 河
A
B
.
18
则点C 即为所求． ACΒιβλιοθήκη B lB′.
9
问题3 你能用所学的知识证明AC +BC最短吗？
证明：如图，在直线l 上任取一点C′（与点C 不重合），
连接AC′，BC′，B′C′．由轴对称的性质知，
BC =B′C，BC′=B′C′．
∴ AC +BC= AC +B′C = AB′，
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
.
1
学习目标
1.体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转 化思想．（重点）
2.能利用轴对称解决简单的最短路径问题.（难点）
.
2
导入新课
复习引入 1.如图，连接A、B两点的所有连线中，哪条最短？为什么？
②最短，因为两点之间，线段最短
A．P是m上到A、B距离之和最短的
点，Q是m上到A、B距离相等的点
B．Q是m上到A、B距离之和最短的
点，P是m上到A、B距离相等的点
C．P、Q都是m上到A、B距离之和最
短的点
D．P、Q都是m上到A、B距离相等
的点
.
16
2.如图，∠AOB=30°，∠AOB内有一定点P，且
OP=10．在OA上有一点Q，OB上有一点R．若
△PQR周长最小，则最小周长是（ A ）
A．10
B．15
C．20
D．30
.
17
3.如图，牧童在A处放马，其家在B处，A、B到河岸的距离分 别为AC和BD，且AC=BD,若点A到河岸CD的中点的距离为500 米，则牧童从A处把马牵到河边饮水再回家，所走的最短距离 是 1000 米.
C
D 河
A
B
.
18
则点C 即为所求． ACΒιβλιοθήκη B lB′.
9
问题3 你能用所学的知识证明AC +BC最短吗？
证明：如图，在直线l 上任取一点C′（与点C 不重合），
连接AC′，BC′，B′C′．由轴对称的性质知，
BC =B′C，BC′=B′C′．
∴ AC +BC= AC +B′C = AB′，
一次函数之最短路径问题ppt课件【可编辑全文】
29
课下任务
3、如图，直线y=-x+7与两坐标轴分别交于AB两点，O为坐标原点，点Q 为直线AB上一个动点
y A
Q ● P●
-1 o●
B x
30
课下任务
3、如图，直线y=-x+7与两坐标轴分别交于AB两点，O为坐标原点，点Q 为直线AB上一个动点
y A
垂线段最短
-1 o● P●
Q ●
B x
31
20
任务拓展 变式五：如图，已知平面直角坐标系中，A、B 两点的坐标分别为A(2,—3）B(4, 1）， 若点P(m,0)和点Q(m+1,0) 是x轴上的两个动点， 则当m= 时， AP+PQ+QB最小．
21
任务拓展
将点B(4,1)向左平移1个单位到B'(3,1),连接AB'交x轴于点P,再将点P向右平移一 个单位即为点Q
在平面直角坐标系中，矩形 半轴上， ， ，
的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在x轴、y轴的正
OACB
D为边OB的中点. (1)若E为边OA上的一个动点，
OA 3 OB 4
y
当△CDE的周长最小时， 求点E的坐标；
B
C
D
O
Ax
E
11
任务演练
如图，作点D关于x轴的对称点 ，
连 由接题意得C与CDx(3轴,4交) D于(0点,2E),即为所求。
2、直线y=kx+b过点A（2，-3）和点B(4,1),则这条直线解析式为：
. 它与
x轴交点(4,坐1)标为
，与y轴交点坐标为
(-4,-1)
( 7 ,0) (0,-7) 自任主务独要立求完：2成
课下任务
3、如图，直线y=-x+7与两坐标轴分别交于AB两点，O为坐标原点，点Q 为直线AB上一个动点
y A
Q ● P●
-1 o●
B x
30
课下任务
3、如图，直线y=-x+7与两坐标轴分别交于AB两点，O为坐标原点，点Q 为直线AB上一个动点
y A
垂线段最短
-1 o● P●
Q ●
B x
31
20
任务拓展 变式五：如图，已知平面直角坐标系中，A、B 两点的坐标分别为A(2,—3）B(4, 1）， 若点P(m,0)和点Q(m+1,0) 是x轴上的两个动点， 则当m= 时， AP+PQ+QB最小．
21
任务拓展
将点B(4,1)向左平移1个单位到B'(3,1),连接AB'交x轴于点P,再将点P向右平移一 个单位即为点Q
在平面直角坐标系中，矩形 半轴上， ， ，
的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在x轴、y轴的正
OACB
D为边OB的中点. (1)若E为边OA上的一个动点，
OA 3 OB 4
y
当△CDE的周长最小时， 求点E的坐标；
B
C
D
O
Ax
E
11
任务演练
如图，作点D关于x轴的对称点 ，
连 由接题意得C与CDx(3轴,4交) D于(0点,2E),即为所求。
2、直线y=kx+b过点A（2，-3）和点B(4,1),则这条直线解析式为：
. 它与
x轴交点(4,坐1)标为
，与y轴交点坐标为
(-4,-1)
( 7 ,0) (0,-7) 自任主务独要立求完：2成
最短路径问题-(PPT课件) 公开课
第十三章 轴对称
故事引入
导入新课
复习旧知
1.如图，连接A、B两点的所有连线中，哪条最短？
①
为什么？
②
②最短，因为两点之间，线段最短
A ③B
2.如图，点P是直线l外一点，点P与该直线l上各点连
接的所有线段中，哪条最短？为什么？
P
PC最短，因为垂线段最短
A BC
Dl
3.如图，如何作点A关于直线l的对称点？
B
A
C
l
联想旧知
B
A
C
l
B′
用旧知解决新知
A
C
l
B
提示：本题也可作A点关于直线l的对称点
典例精析
例1 如图，已知点D、点E分别是等边三角形ABC
中BC、AB边的中点，AD=5，点F是AD边上的动
点，则BF+EF的最小值为（ B ）
A．7.5
B．5
C．4
D．不能确定
解析：△ABC为等边三角形，点D是BC边的中点，即点B与点 C关于直线AD对称.∵点F在AD上，故BF=CF.即BF+EF的最小 值可转化为求CF+EF的最小值，故连接CE即可，线段CE的长 即为BF+EF的最小值.
l2
l2
2.关键： 作对称点，利用轴对称的性质将线段转化， 从而利用“两点之间，线段最短”来解决
作法及思路分析
1.作点A关于直线 l 的对称点A′ ，连接CA′。
B A
l
C
A′
2.由上步可知AC+CB=B_′_A_C_+_C_B_′ ___
思考：当C在直线 l 的什么位置时AC +CB′最短？
3.如图，如何作点A关于直线l的对称点？
故事引入
导入新课
复习旧知
1.如图，连接A、B两点的所有连线中，哪条最短？
①
为什么？
②
②最短，因为两点之间，线段最短
A ③B
2.如图，点P是直线l外一点，点P与该直线l上各点连
接的所有线段中，哪条最短？为什么？
P
PC最短，因为垂线段最短
A BC
Dl
3.如图，如何作点A关于直线l的对称点？
B
A
C
l
联想旧知
B
A
C
l
B′
用旧知解决新知
A
C
l
B
提示：本题也可作A点关于直线l的对称点
典例精析
例1 如图，已知点D、点E分别是等边三角形ABC
中BC、AB边的中点，AD=5，点F是AD边上的动
点，则BF+EF的最小值为（ B ）
A．7.5
B．5
C．4
D．不能确定
解析：△ABC为等边三角形，点D是BC边的中点，即点B与点 C关于直线AD对称.∵点F在AD上，故BF=CF.即BF+EF的最小 值可转化为求CF+EF的最小值，故连接CE即可，线段CE的长 即为BF+EF的最小值.
l2
l2
2.关键： 作对称点，利用轴对称的性质将线段转化， 从而利用“两点之间，线段最短”来解决
作法及思路分析
1.作点A关于直线 l 的对称点A′ ，连接CA′。
B A
l
C
A′
2.由上步可知AC+CB=B_′_A_C_+_C_B_′ ___
思考：当C在直线 l 的什么位置时AC +CB′最短？
3.如图，如何作点A关于直线l的对称点？
13.4 课题学习 最短路径问题 课件(共15张PPT)人教版初中数学八年级上册
迁移应用
3.如图，点P是∠AOB内任意一点，点M和点N分别是射线OB和射线OA 上的动点，当△PMN的周长为最小时，画出点M,N的位置.
B P'
M P
O
N
A
P''
解：如图所示，点 M,N 即为所求
B
M
P
O
A N
课后延伸
1.课本P93，第15题 2.收集最短路径的其他模型
人教版八年级数学第十三章《轴对称》
课题学习—最短路径问题
情境引入
古从军行 唐·李颀
经验唤醒
如图所示，请规划从A地到B地最近的路线？为什么 这条路线最近？
A
B
AB即为最短路线，因为两点之间，线段最短
探究一
问题情境1
图形
将军从烽火台到河边饮马 在这个情境中我们 再回到营地，饮马点在什么位 分别把烽火台，营 置，可使将军所走的路径最短？ 地，河流抽象成哪
种几何图形？
A. 点 B.线
A
l B
最短路径作法
直线异侧 “两定点”
连定点 得最短
A
l P
B
两点之间 线段最短
探究二
问题情境2
将军从烽火台到河边 饮马再回到营地，饮马点 在什么位置，可使将军所 走的路径最短？
图形
我们可以把情境 2抽象成怎样的几何 图形？
最短路径作法
直线同侧“两定点”
作对称 化折为直得最短
∴AＭ１+M１N１+BN１＝AA１+A１N１+BN１ 在△A１N１B中
因为A1N1+BN1＞A1B 因此AM１+M１N１+BN１＞ AM+MN+BN. ∴AM +MN+BN为最短路径.
人教八年级数学上册《轴对称作图最短路径问题》课件(共23张PPT)
如图，A为马厩，B为帐篷，牧马人某一天要从马厩 牵出马，先到草地边某一处牧马，再到河边给马喝 水，然后回到帐篷，请你帮助他确定这一天的最短 路线。
有四个班的同学分别在M、
N两处参加劳动，另外四个 班的同学分别在道路AB、 AC两处劳动，现要在道路 AB、AC的交叉区域内设 一个荼水供应点P ，使P到
两条道路的距离相等，且
使 PM= PN，请你找出点 A
P的位置，并说明理由。
B
P
M N
C
轴对称变换的特征: 由一个平面图形可以得到它关于一条直 线l对称的图形，这个图形与原图形的 形状、大小完全一样； 新图形上的每一点，都是原图形上的某 一点关于直线l的对称点； 连接任意一对对应点的线段被对称轴垂 直平分。
路线：小明——P——A
A
P
小明
如果另一侧放着一些小木棍，小明先去捡球， 还要跑到另一侧去取木棍，则小明又应按怎 样的路线跑，去捡哪个位置的球，小木棍， 才能最快跑到目的地A处。
路线：按BDEA
DE
A
B
C
小明
■如图,OA、OB是两条相交的公路,点P 是一个邮电所,现想在OA、OB上各设立 一个投递点,要想使邮电员每次投递路 程最近,问投递点应设立在何处？
水管最短？
A
张村
B 李庄
C
A′
如图所示，水泵站修在 C 点可使所 用的水管最短.
思考： 为什么在C点的位置修建泵站，
就能使所用的管线最短呢？
总结： 实际上是通过轴对称变换，把
A，B在直线同侧的问题转化为在直 线的两侧，从而可利用“两点之间线 段最短”加以解决。
拓展应用，巩固提高
八年级某班同学做游戏，在活动区域边放了一 些球，则小明按怎样的路线跑，去捡哪个位 置的球，才能最快拿到球跑到目的地A处。
《最短路径问题》轴对称PPT免费课件
在△A1N1B中，因为A1N1+BN1＞A1B. 因此AM1 +M1N1+BN1 ＞ AM+MN+BN.
探究新知
证明：由平移的性质，得 BN∥EM 且BN=EM, MN=CD, BD∥CE, BD=CE,所以A到B的路径长为
AM+MN+BN=AM+MN+EM=AE+MN,
若桥的位置建在CD处，连接AC,CD,DB,CE,则A到B的路径长
解：如图，P点即为该点.
探究新知
例2 如图，在直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（1，4）和
（3，0），点C是y轴上的一个动点，且A，B，C三点不在同一条
直线上，当△ABC的周长最小时点C的坐标是（ A ）
A．（0，3）
B．（0，2）
C．（0，1）
D．（0，0）
C′
解析：作B点关于y轴对称点B′，连接AB′，交y轴于 B′
探究新知
如图，平移A到A1，使AA1等于 A 河宽，连接A1B交河岸于N作桥MN， A1
M Ｍ１
此时路径AM+MN+BN最短.
理由:另任作桥M1N1，连接AM1，BN1，A1N1.
N
Ｎ１
B
由平移性质可知，AM＝A1N，AA1＝MN＝M1N1，AM1＝A1N1.
AM+MN+BN转化为AA1＋A1B，而AM1 +M1N1+BN1转化为AA1＋ A1N1+BN1.
组成的三角形的周长最短，找出此点并说明理由．
（2）如图②，在∠AOB内部有一点P，是否在OA、OB上分别存在点E、F，
使得E、F、P三点组成的三角形的周长最短，找出E、F两点，并说明理由．
探究新知
证明：由平移的性质，得 BN∥EM 且BN=EM, MN=CD, BD∥CE, BD=CE,所以A到B的路径长为
AM+MN+BN=AM+MN+EM=AE+MN,
若桥的位置建在CD处，连接AC,CD,DB,CE,则A到B的路径长
解：如图，P点即为该点.
探究新知
例2 如图，在直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（1，4）和
（3，0），点C是y轴上的一个动点，且A，B，C三点不在同一条
直线上，当△ABC的周长最小时点C的坐标是（ A ）
A．（0，3）
B．（0，2）
C．（0，1）
D．（0，0）
C′
解析：作B点关于y轴对称点B′，连接AB′，交y轴于 B′
探究新知
如图，平移A到A1，使AA1等于 A 河宽，连接A1B交河岸于N作桥MN， A1
M Ｍ１
此时路径AM+MN+BN最短.
理由:另任作桥M1N1，连接AM1，BN1，A1N1.
N
Ｎ１
B
由平移性质可知，AM＝A1N，AA1＝MN＝M1N1，AM1＝A1N1.
AM+MN+BN转化为AA1＋A1B，而AM1 +M1N1+BN1转化为AA1＋ A1N1+BN1.
组成的三角形的周长最短，找出此点并说明理由．
（2）如图②，在∠AOB内部有一点P，是否在OA、OB上分别存在点E、F，
使得E、F、P三点组成的三角形的周长最短，找出E、F两点，并说明理由．
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则A到B的路径长为 AC+CD+DB=AC+CD+CE=AC+CE+MN,
A MC
在△ACE中，∵AC+CE＞AE, ∴AC+CE+MN＞AE+MN,
ND E
即AC+CD+DB ＞AM+MN+BN，
B
故桥的位置建在MN处，A到B的路径最短.
总结：在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称、平移 等变换把未知问题转化为已解决的问题，从而作出最短路径 的选择.
解决问题
如图，平移A到A1，使AA1等于河 宽，连接A1B交河岸于N作桥MN， 此时路径AM+MN+BN最短.
A
A1
M Ｍ１
N
Ｎ１
理由:另任作桥M1N１，连接AM１，BN１，A１N１.
B
由平移性质可知，AM＝A１N，AA１＝MN＝M１N１，AM１＝A１N１.
AM+MN+BN 转化为AA １ ＋ A１B，而A M１ ＋ M１ N１ ＋BN１ 转化
2、造桥选址问题 如图，A和B 两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN.
桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短（假定河的两岸是平行 的直线，桥要与河垂直）？
A
B
如图假定任选位置造桥MN，连接AM和BN，从A到B的路径 是AM+MN+BN，那么怎样确定什么情况下最短呢？
●A
M
M
N
N
?
●B
思考 我们能否在不改变AM+MN+BN的前提下把桥转化到一侧呢？ 什么图形变换能帮助我们呢？
线上各点的所有线段中，垂线段最短”等的问题，我们称之为
最短路径问题.
现实生活中经常涉及到选择最短路径问题，本节将利用数
学知识探究数学史的著名的“牧马人饮马问题”及“造桥选址
问题”.
①
P
②
A ③B
A BC
Dl
如图，牧马人从点A地出发，到一条笔直的河边l 饮马，然后到B地， 牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？
A
C
C′
l
即 AC +BC 最短．
B′
例1 如图，已知点D、点E分别是等边三角形ABC中BC、AB边的中点，
AD=5，点F是AD边上的动点，则BF+EF的最小值为（ B ）
A．7.5 C．4
B．5 D．不能确定
解析：△ABC为等边三角形，点D是BC边的中点，即点B与点C关于直线 AD对称.∵点F在AD上，故BF=CF.即BF+EF的最小值可转化为求CF+EF 的最小值，故连接CE即可，线段CE的长即为BF+EF的最小值.
B．（0，2）
C．（0，1）
D．（0，0）
C′
解析：作B点关于y 轴对称点B′，连接AB′，交
B′
y 轴于点C′，此时△ABC的周长最小，然后依
E
据点A与点B′的坐标可得到BE、AE的长，然后
证明△B′C′O为等腰直角三角形即可．
总结：求三角形周长的最小值，先确定动点所在的直线和 固 定点，而后作某一固定点关于动点所在直线的对称点， 而后将其与另一固定点连线，连线与动点所在直线的交点即 为三角形周长最小时动点的位置.
方案：
A
（1）把A平移到岸边.
（2）把B平移到岸边.
（3）把桥平移到和A相连.
（4）把桥平移到和B相连.
Ｍ
Ｎ
B
（1）把A平移到岸边. AM+MN+BN长度改变了
A
A'
Hale Waihona Puke ＭＮ B' B
（2）把B平移到岸边. AM+MN+BN长度改变了
（3）把桥平移到和A相连.
A Ｍ
Ｎ B
（4）把桥平移到和B相连.
AM+MN+BN 长度有没有改变 呢？
总结：此类求线段和的最小值问题，找准对称点是关键，而 后将求线段长的和转化为求某一线段的长，而再根据已知条 件求解.
例2 如图，在直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（1，4）和（3，0），
点C是 y 轴上的一个动点，且A，B，C三点不在同一条直线上，当△ABC
的周长最小时点C的坐标是（ A ）
A．（0，3）
为AA １ ＋A１N１＋BN１.
在△A１N１B 中，因为A1N1+BN1＞A1B. 因此AM１＋M１N１＋BN１＞ AM+MN+BN.
证明：由平移的性质，得 BN∥EM 且BN=EM, MN=CD, BD∥CE,
BD=CE,
∴ A到B的路径长为AM+MN+BN=AM+MN+EM=AE+MN,
若桥的位置建在CD处，连接AC,CD,DB,CE,
接的所有线段中，哪条最短？为什么？
P
PC最短，因为垂线段最短
A BC
Dl
3.在我们前面的学习中，还有哪些涉及比较线段大小 的基本事实？ 三角形三边关系：两边之和大于第三边； 斜边大于直角边. 4.如图，如何做点A关于直线l的对称点？
A
l
A′
知识讲解
1、牧马人饮马问题
“两点的所有连线中，线段最短”“连接直线外一点与直
第十三章 轴对称
最短路径问题
学习目标
1 能利用轴对称解决简单的最短路径问题.（难点） 2 体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想．（重点）
新课导入
1.如图，连接A、B两点的所有连线中，哪条最短？
为什么？
①
②最短，因为两点之间，线段最短
②
A ③B
2.如图，点P是直线l外一点，点P与该直线l上各点连
随堂训练
1、如图，直线l是一条河，P、Q是两个村庄.欲在l上的某处修建一个
水泵站，向P、Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺
问题2 如果点A,B分别是直线l 同侧的两个点，又应该如何解决？
B 想一想：对于问题2，如何将点
B“移”到l 的另一侧B′处，满
A
足直线l 上的任意一点C，都保
持CB 与CB′的长度相等？
l
利用轴对称，作出点B关于直线l 的对称点B′.
B′
作法： （1）作点B 关于直线l 的对称点B′；
（2）连接AB′，与直线l 相交于点C．
B
B
抽象成
A
A
l
实际问题
C
l
数学问题
作图问题：在直线l上求作一点C,使AC+BC最短问题.
问题1 现在假设点A,B分别是直线l异侧的两个点，如何在l上 找到一个点，使得这个点到点A，点B的距离的和最短？
连接AB,与直线 l 相交于一点C.
A
C
根据是“两点之间，线段最
l
短”，可知这个交点即为所求.
B
则点C 即为所求．
B
A
C l
B′
问题3 你能用所学的知识证明AC +BC最短吗？
证明：如图，在直线l 上任取一点C ′(与点C 不重合)，连接AC′， BC′，B′C′．由轴对称的性质知，
BC =B′C，BC′=B′C′．
∴ AC +BC= AC +B′C = AB′，
B
∴ AC′+BC′= AC′+B′C′． 在△AB′C′中， AB′＜AC′+B′C′， ∴ AC +BC＜AC′+BC′．