作业刚体力学答案版

作业5 刚体力学

♫刚体：在力的作用下不发生形变的物体

⎰=-⇒=210t t dt dt d ωθθθω角速度 ⎰=-⇒=21

0t t dt dt

d βωωω

β角加速度

1、（基础8）绕定轴转动的飞轮均匀地减速，t ＝0时角速度为05rad s ω=，t ＝20s 时角速

度为00.8ωω=，则飞轮的角加速度β= -0.05 rad/s 2 ，t ＝0到 t ＝100 s 时间内飞轮所转过的角度θ= 250rad ． 【解答】

飞轮作匀变速转动，据0t ωωβ=+，可得出：20

0.05rad s t

ωωβ-==-

据2

012

t t θωβ=+

可得结果。 ♫定轴转动的转动定律：

定轴转动的角加速度与它所受的合外力矩成正比，与刚体的转动惯量成反比.βJ M =

质点运动与刚体定轴转动对照

[ C ] 1、（基础2）一轻绳跨过一具有水平光滑轴、质量为M 的定滑轮，绳的两端分别悬有质量为m 1和m 2的物体(m 1＜m 2)，如图5-7所示．绳与轮之间无

相对滑动．若某时刻滑轮沿逆时针方向转动，则绳中的张力

(A) 处处相等． (B) 左边大于右边．

(C) 右边大于左边． (D) 哪边大无法判断． 【解答】

由于m 1＜m 2,实际上滑轮在作减速转动,角加速度方向垂直纸面向内,设滑轮半径为R,受右端绳子向下拉力为T 2，左端绳子向下拉力为T 1，对滑轮由转动定律得:(T 2-T 1)R=J β [ D ] 2、（基础3）如图所示，一质量为m 的匀质细杆AB ，A 端靠在粗糙的竖直墙壁上，B 端置于粗糙水平地面上而静止，杆身与竖直方向成θ角，则A 端对墙壁的压力大小为

θcos 41(A)mg θ

tan 21(B)mg

θsin (C)mg (D)不能唯一确定

m 2

m 1 O

【解答】

因为细杆处于平衡状态，它所受的合外力为零，以B 为参考点，外力矩也是平衡的，则有：

A B N f = A B f N mg +=

θθθlcon N l f l

mg A A +=sin sin 2

三个独立方程有四个未知数，不能唯一确定。

3（自测9）一长为l 、质量可以忽略的直杆，两端分别固定有质量为2m 和m 的小球，杆可绕通过其中心O 且与杆垂直的水平光滑固定轴在铅直平面内转动．开始杆与水平方向成某一角度θ，处于静止状态，如图所示．释放后，杆绕O 轴转动．则当杆转到水平位置时，该系统所受到的合外力矩的大小 /2mgl ，此时该系统角加速度的大小 23g

l

． 【解答】

4、（基础12） 如图5-14所示，滑块A 、重物B 和滑轮C 的质量分别为m A 、m B 和m C ，滑轮的半径为R ，滑轮对轴的转动惯量J ＝

2

1

m C R 2．滑块A 与桌面间、滑轮与轴承之间均无摩擦，绳的质量可不计，绳与滑轮之间无相对滑动．滑块A 的加速度. 【解答】

C

B A B m m m g

m a ++=

)(22

由转动定律得:

B A T R T R J β-= (1) B B B G T m a -= (2) A A T m a = (3) a R β= (4)

4个方程,共有4个未知量: A T 、B T 、a 和β。可求：()22B A B c a m g m m m =++⎡⎤⎣⎦

5、（基础18）如图5-17所示、质量分别为m 和2m 、半径分别为r 和2r

的两个均匀圆盘，同轴地粘在一起，可以绕通过盘心且垂直盘面的水平光滑固定轴转动，对转轴的转动惯量为9mr 2/2，大小圆盘边缘都绕有绳子，绳子下端都挂一质量为m 的重物，求盘的角加速度的大小． 【解答】

受力情况如图5-17，'11T T =，'22T T =

11mg T ma -= (1) 22T mg ma -= (2)

C

A

B

G B

T B

T A

2/2/2/2M mgl mgl mgl =-= 2222(/2)(/2)3M mgl g J m l m l l

β===

+

12

2

T r T r Jβ

-=(3)

1

2

a rβ

=(4)

2

a rβ

=(5)

联立以上几式解得:

2

19

g

r

♫转动惯量：

质量非连续分布：2

2

2

2

2

1

1

2

j

j

j

j

r

m

r

m

r

m

r

m

J+

+

+

=

∆

=∑

质量连续分布：m

r

r

m

J

j

j

j

d2

2⎰

∑=

∆

=

1、（基础10）如图5-13所示，P、Q、R和S是附于刚性轻质细杆上的质量分别为4m、3m、

2m和m的四个质点，PQ＝QR＝RS＝l，则系统对O

O'轴的转动惯量为。

【解答】

据2

i i

J m r

=∑有：

2222

4(3)3(2)2050

J m l m l ml ml

=+++=

♫摩擦力矩：

⎰=

-

=

-

=

-

=

dM

M

gdm

r

dN

r

rdf

dMμ

μ

1、（自测12）一根质量为m、长为l的均匀细杆，可在水平桌面上绕通过其一端的竖直固

定轴转动．已知细杆与桌面的滑动摩擦系数为μ，则杆转动时受的摩擦力矩的大小为

=μmgl/2

【解答】

在细杆长x处取线元dx，所受到的摩擦力矩dM=μ(m/l)gxdx，

则

02

l m mgl

M gxdx

l

μ

μ

==

⎰

♫定轴转动的动能定理：2

1

2

22

1

2

1

d

2

1

ω

ω

θ

θ

θ

J

J

M

A-

=

=⎰

♫定轴转动的角动量定理：

1

2

2

1

d

d

d

ω

ωJ

J

t

M

t

L

M t

t

-

=

⇒

=⎰

角动量守恒:合外力矩为零。ω

J

L=为常量

[ C ]1、（基础7）一圆盘正绕垂直于盘面的水平光滑固定轴O转

动，如图5-11射来两个质量相同，速度大小相同，方向相反并在一

条直线上的子弹，子弹射入圆盘并且留在盘内，则子弹射入后的瞬

间，圆盘的角速度

(A) 增大．(B) 不变．(C) 减小．(D) 不能确定．

【解答】

把三者看作同一系统时,系统所受合外力矩为零,系统角动量守恒。设L为每一子弹相对与O

点的角动量大小，据角动量守恒定律有：

[ C]2、（自测4）光滑的水平桌面上，有一长为2L、质量为m的匀质

细杆，可绕过其中点且垂直于杆的竖直光滑固定轴O自由转动，其转动

惯量为

3

1

mL2，起初杆静止．桌面上有两个质量均为m的小球，各自在

垂直于杆的方向上，正对着杆的一端，以相同速率v相向运动，如图所

O

M

m

m

图5-11

O

v

v

俯视图

R

P

S

R

Q

R O

O′