线性方程组的表示消元法
线性方程组的几种求解方法
线性方程组的几种解法线性方程组形式如下：常记为矩阵形式其中一、高斯消元法高斯（Gauss)消元法的基本思想是：通过一系列的加减消元运算，也就是代数中的加减消去法，将方程组化为上三角矩阵；然后，再逐一回代求解出x向量。
现举例说明如下：（一）消元过程第一步：将(1)/3使x1的系数化为1 得再将(2)、(3)式中x1的系数都化为零，即由(2)-2×(1)(1)得由(3)-4×(1)(1)得)1(32)2(......3432=+xx)1(321)1(......23132=++xxx第二步：将(2)(1)除以2/3，使x 2系数化为1，得再将(3)(1)式中x 2系数化为零，即 由(3)(1)-(-14/3)*(2)(2)，得第三步：将(3)(2)除以18/3，使x 3系数化为1，得经消元后，得到如下三角代数方程组：（二）回代过程由(3)(3)得 x 3=1, 将x 3代入(2)(2)得x 2=-2, 将x 2 、x 3代入(1)(1)得x 2=1 所以，本题解为[x]=[1,2,-1]T（三）、用矩阵演示进行消元过程第一步： 先将方程写成增广矩阵的形式第二步：然后对矩阵进行初等行变换初等行变换包含如下操作（1） 将某行同乘或同除一个非零实数（2） 将某行加入到另一行 （3） 将任意两行互换第三步：将增广矩阵变换成上三角矩阵，即主对角线全为1，左下三角矩阵全为0，形)3(3)3(......1-=x )2(3)3( (63)18-=x )2(32)2(......02=+x x )1(32)3( (63)10314-=--x x示例：（四）高斯消元的公式综合以上讨论，不难看出，高斯消元法解方程组的公式为1．消元（1）令a ij(1) = a ij , （i,j=1,2,3,…,n）b i(1) =b i , （i=1,2,3,…,n）（2）对k=1到n-1，若a kk(k)≠0，进行l ik = a ik(k) / a kk(k) , （i=k+1,k+2,…,n）a ij(k+1) = a ij(k) - l ik * a kj(k), （i,j= k+1,k+2,…,n）b i(k+1) = b i(k) - l ik * b k(k), （i= k+1,k+2,…,n）2．回代若a nn(n) ≠0x n = b n(n) / a nn(n)x i = (b i(i) – sgm(a ij(i) * x j)/- a ii(i),（i = n-1,n-2,…,1）,( j = i+1,i+2,…,n )（五）高斯消元法的条件消元过程要求a ii(i) ≠0 (i=1,2,…,n),回代过程则进一步要求a nn(n) ≠0,但就方程组Ax=b 讲，a ii(i)是否等于0时无法事先看出来的。
线性方程组求解及应用
线性方程组求解及应用线性方程组是由一组线性方程所组成的方程集合。
线性方程组的解是满足所有方程的变量取值集合。
求解线性方程组的过程就是找到使得所有方程都成立的变量取值，也就是找到方程组的解。
线性方程组可以用矩阵的形式表示。
设线性方程组有n个未知数，m个方程，那么可以将方程组表示为一个n×m的矩阵A乘以一个m×1的向量X等于一个n×1的向量B。
即AX=B，其中A为系数矩阵，X为未知数向量，B为常数向量。
求解线性方程组有多种方法，下面介绍常见的几种方法。
1.高斯消元法：高斯消元法是一种基本的求解线性方程组的方法，它通过消元法将线性方程组化为上三角形式。
具体步骤如下：a) 将线性方程组写成增广矩阵的形式；b) 选取一个非零的元素作为主元，通过初等行变换将主元所在的列下方的元素都变为0；c) 对剩余的行进行相同的操作，依次选取主元，直到将矩阵化为上三角形式；d) 回代求解未知数。
2.矩阵求逆法：如果方程组的系数矩阵A可逆，那么可以通过求系数矩阵A的逆矩阵来求解线性方程组的解。
即X=A^(-1)B。
求逆矩阵可以使用伴随矩阵求解，也可以使用线性方程组的增广矩阵进行求解。
3.克拉默法则：克拉默法则适用于未知数个数和方程个数相等的线性方程组。
该方法通过求解系数矩阵A对应的行列式和每个未知数对应的行列式的比值来求解方程组。
具体步骤如下：a)计算系数矩阵A的行列式D；b)将方程组中第i个未知数的系数替换为常数向量B，计算系数矩阵A_i的行列式D_i；c)未知数的取值即为D_i除以D的值。
线性方程组的应用范围很广，常见的应用包括：1.电路分析：电路中的电流和电压关系可以表示为线性方程组，通过求解线性方程组可以分析电路中各部分的电流和电压分布。
2.优化问题：例如线性规划问题，可以通过线性方程组的求解来找到使得目标函数取得最大或最小值的变量取值。
3.图像处理：图像的旋转、平移、缩放等操作可以通过线性方程组的求解来实现。
线性代数解线性方程组的消元法
a12
a22
a1n
a2n
b1 b2 ,
am1 am2 amn bm
利 用 矩 阵 的 初 等 行 变 换 将 A 化 为 阶 梯 形 ,
c11 0
c12 c 22
c1r c2r
c1n c2n
d 1 d2
0
A
0
0 c rr c rn d r
0
0
0
d
r
1
0 0 0 0 0
用矩阵的初等行变换解方程组(1)：
2 1 1 1 2
B
1 4
1 6
2 2
1 2
4 4
3 6 9 7 9
1 1 2
r1 r2
2
1
1
1 4 1 2
r3 2
2 3
3 6
1 9
1 7
2 9
1 1 2 2 1 1
1 4 1 2
2 3
3 6
1 9
1 7
2 9
r2 r3
r3 2r1
r4 3r1
最后一个为矛盾方程组 0 2, 故方程组无解.
a11x1 a12x2 a1nxn b1 ,
线性方程组
a21x 1 a 22x2
a2nxn
b2
,
am1x1 am2x2 amnxn bm .
a11
系数矩阵
A
a21
a12
a22
a1n
a2n
,
am1 am2 amn
增广矩阵
a11 A(A,b)a 21
2x1 x2 x3 x4 1
7
x1 x1 2
x2 x2
x3 x4 2x3 4
线性方程组的消元法
1.2 消元法与矩阵初等变换的关系
定义
定义 2 设 n 元线性方程组
1( 3 )
2
x1
x 2 x2
2x x3
3
2 2
x3 4
(1) ， (2) ， (3) ，
解得 x3 4 ，x2 6 ，x1 12 ．
系数矩阵是阶梯形矩阵的方程组称为阶梯形方程组。
（4-1）
1.1 消元法
定义
消元法解线性方程组的实质是反复地对方程组进行变换，得到阶梯形方程组．而所作的 变换，也只有以下三种类型．
线性代数
1.1 消元法
例题
例1
2x1 x2 5x3 2
解线性方程组
x1
x2 2x3 2
x1 2x2 x3 4
(1) ， (2) ， (3) ．
解：为了更方便地表达解题过程，可用符号来表示，符号含义如下： (1) (2) 表示交
换方程 (1) 与 (2) ； (2) 2(1) 表示方程 (2) 减去方程 (1) 的 2 倍，类似地， (3) (1) 表示方程 (3)
加方程 (1) ， (3) (2) 表示方程 (3) 减去方程 (2) ； 1 (3) 表示方程 (3) 乘以 1 ．
2
2
消元法解方程组的过程表示如下．
2x1 x2 5x3 2 (1)
x1 x2 2x3 2 (1)
x1
x2 2x3 2
(2) (1)(2) 2x1 x2 5x3 2
线性方程组的消元法
线性方程组的消元法线性方程组的消元法是解决线性方程组的常用方法之一，通过逐步消去未知数的系数，将方程组转化为更简单的形式，从而求得方程组的解。
本文将详细介绍线性方程组的消元法及其应用。
1. 消元法简介消元法是一种通过逐步消除未知数的系数，将线性方程组转化为更简单形式的方法。
它的基本思想是通过不断的代入与消去操作，将方程组转化为三角形式或最简形式，从而求得方程组的解。
2. 线性方程组的一般形式线性方程组的一般形式可以表示为：a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + ... + a₁ₙxₙ = b₁a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + ... + a₂ₙxₙ = b₂...aₙ₁x₁ + aₙ₂x₂ + ... + aₙₙxₙ = bₙ其中，a₁₁、a₁₂、...、aₙₙ为未知数的系数，b₁、b₂、...、bₙ为常数项。
3. 消元法的步骤（1）选取主元：根据方程组的特点，选择一项作为主元，并将其系数置为1，并且使其所在的其他行对应的列的系数皆为0，这样可以简化计算过程并减少误差。
（2）代入消元：选择一个非主元进行代入，将其代入主元所在的其他方程中，从而消去该未知数。
（3）重复步骤（1）和（2），直至将所有的非主元都消去为止。
（4）最后得到一个三角形形式的线性方程组，可以通过回代法求解该方程组的解。
4. 消元法的应用消元法广泛应用于各个领域，特别是在科学和工程领域中具有重要作用。
以下是几个应用实例：（1）经济学中的输入产出模型：通过消元法可以分析不同产业之间的投入产出关系，从而得出经济模型的解释。
（2）物理学中的电路分析：通过消元法可以简化复杂的电路方程组，从而计算出电路中各个节点的电压和电流。
（3）化学反应平衡问题：通过消元法可以解决化学反应平衡过程中的复杂线性方程组，从而得到反应物和生成物的浓度。
5. 总结消元法是一种解决线性方程组的有效方法，通过逐步消除未知数的系数，将方程组转化为更简单的形式，从而求得方程组的解。
线性方程组的解法消元法代入法高斯消元法
线性方程组的解法消元法代入法高斯消元法线性方程组的解法：消元法、代入法和高斯消元法线性方程组是数学中的基本概念之一，在现代数学和物理学的研究中有着广泛的应用。
为了求解线性方程组，人们发明了许多方法，其中最常用的有消元法、代入法和高斯消元法。
本文将介绍这三种方法的基本原理和求解步骤，并通过实例对其进行说明。
一、消元法消元法是一种通过逐步消除未知量，从而求解线性方程组的方法。
其基本原理是利用等式变换，逐步消去各个方程中的未知量，直到将方程组化为上三角形式，然后通过回代方法，求解未知量的值。
具体步骤如下：1. 将含有未知量的项都移动到等式的同一侧，即将线性方程组转化为增广矩阵形式。
2. 选取一个主元素，将该列的其他元素全部变为0，从而消去该列的未知量。
3. 依次选取下一个主元素，直到整个增广矩阵被消元成上三角形式。
4. 利用回代方法，求解未知量的值。
二、代入法代入法是一种通过将一个方程的解代入另一个方程，逐步求解未知量的方法。
其基本原理是将一个方程的未知量表示为另一个方程的已知量，不断代入，从而求解未知量的值。
具体步骤如下：1. 将一个方程的未知量表示为另一个方程的已知量。
2. 将该解代入另一个方程，求解未知量的值。
3. 重复以上步骤，直到求出所有未知量的值。
三、高斯消元法高斯消元法是一种通过矩阵变换，将线性方程组化为上三角形式，从而求解未知量的方法。
其基本原理是利用初等矩阵变换，逐步将增广矩阵化为上三角形式，然后通过回代方法，求解未知量的值。
具体步骤如下：1. 将矩阵的列向量按递增顺序排列，从左到右依次选取主元素。
2. 利用初等矩阵变换，将每一列的主元素下方元素全部变为0。
3. 重复以上步骤，直到整个增广矩阵被化为上三角形式。
4. 利用回代方法，求解未知量的值。
举例说明：考虑以下线性方程组：x + 2y – z = 92x – y + 3z = –33x + y + 4z = 12采用消元法求解：将该方程组转化为增广矩阵形式：1 2 –1 | 92 –13 | –33 14 | 12选取主元素1，将第2行乘以2减去第1行，将第3行乘以3减去第1行，得到：1 2 –1 | 90 –5 5 | –210 –5 7 | –15选取主元素–5，将第3行减去第2行，得到：1 2 –1 | 90 –5 5 | –210 0 2 | 6将该矩阵化为上三角形式，然后采用回代方法，求得：x = 2y = –3z = 3同样的，采用代入法或高斯消元法也能求解出相同的结果。
3.1 消元法(线性方程组解的判定)
0 x1 − x2 − x3 + x4 = 例4: 求解齐次方程组的通解: 0 x1 − x2 + x3 − 3 x4 = x − x − 2x + 3x = 0 2 3 4 1
解：对系数矩阵 A进行初等变换:
1 −1 −1 1 1 −1 −1 1 1 −1 0 −1 1 1 1 3 0 0 2 4 0 0 1 2 A= − − → − → − 1 −1 2 3 0 0 −1 2 0 0 0 0
x称为未知量矩阵称为常数项矩阵 ,b .
线性方程组的矩阵形式为： Ax = b.
2. 高斯消元法： 2 x1 + x2 = 例: 用消元法解线性方程组： 3 x1 − x2 = 对应方程组的增广矩阵: 对线性方程组用消元法: 2 (1) x1 + x2 = 1 1 2 A= x − x = 3 (2) 1 2 − 1 1 3 消去 x1, (1)-(2)得： 0 2 −1 2 x2 = −1 (3) A1 = x − x = 3 (4) − 1 1 3 1 2 (3)×1/2 得： 1 1 0 1 − = (5) x2 = − A 2 2 2 1 1 3 − 3 (6) x1 − x2 = (5)↔(6) 得：
( )
0, x1 − x2 − x3 + x4 = 其同解方程组为： 2 x 3 − 4 x4 = 1.
取 x2, x4 作为自由未知量，将自由未知量移到等式右端，得： x1 − x3 = x2 − x4 , x3 4 x4 + 1. 2=
令得 = : x2 k = k2 , 1 , x4 :
求解线性方程组
求解线性方程组线性方程组是数学中的一类重要方程组，它可用于描述许多实际问题。
解线性方程组的目标是找到满足所有方程条件的未知数的值。
本文将介绍解线性方程组的基本方法和步骤。
方法一：高斯消元法高斯消元法是解线性方程组最常用的方法之一。
它的基本思想是通过一系列行变换将线性方程组化简为阶梯形或行最简形。
以下是高斯消元法的步骤：1. 将线性方程组表示为增广矩阵的形式，其中未知数的系数构成方程组的系数矩阵A，常数构成列向量B。
2. 利用行变换，将增广矩阵化简为阶梯形矩阵。
行变换包括互换两行、某一行乘以非零常数、某一行乘以非零常数后加到另一行上。
3. 根据化简后的阶梯形矩阵，可以直接读出方程组的解。
如果存在零行，即无解；如果存在形如0 = c（c为非零常数）的方程，即无解；其他情况下，解的个数等于未知数的个数减去方程数的个数。
方法二：矩阵求逆法矩阵求逆法也是一种求解线性方程组的方法。
它的基本思想是通过求解系数矩阵的逆矩阵，进而得到方程组的解。
以下是矩阵求逆法的步骤：1. 将线性方程组表示为矩阵方程的形式：AX = B，其中A为系数矩阵，X为未知数的列向量，B为常数的列向量。
2. 检查系数矩阵A是否可逆。
若可逆，则方程组有唯一解；若不可逆，则方程组可能没有解或有无穷多个解。
3. 若A可逆，计算系数矩阵的逆矩阵A^(-1)。
4. 解方程组的解为X = A^(-1) * B。
需要注意的是，矩阵求逆法只适用于方程组的系数矩阵可逆的情况。
方法三：克拉默法则克拉默法则是一种基于行列式的求解线性方程组的方法。
它的基本思想是根据克拉默法则公式，求解未知数的值。
以下是克拉默法则的步骤：1. 将线性方程组表示为矩阵方程的形式：AX = B，其中A为系数矩阵，X为未知数的列向量，B为常数的列向量。
2. 计算系数矩阵A的行列式值D，即|A|。
3. 对每个未知数，将系数矩阵的列向量替换为方程组常数向量，得到新的矩阵A_i。
4. 计算新的矩阵A_i的行列式值D_i。
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如果X0是AX 的解，则AX0 ， 用P左乘等式两端得到CX0 ； 反之，若X0满足CX0 ，
用P 1左乘等式两端得AX0 ，
故两方程组同解。
14
阶梯矩阵
设A (aij )mn , 矩阵A的每一行的第一个非零元
定义称为该行的首元. 若A的所有元素全为零的行
(如果存在这样的零行)都位于A最下端，而不
15
0 1 1 0 0
0 0 1 0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
01
行阶梯形矩阵特点：
（1）可划出一
条阶梯线，线的 下方全为零； （2）每个台 阶 只有一行，
1 0 1 0 4
0 0
1 0
1 0
0 1
3 3
B
5
0 0 0 0 0
台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线后面
的第一个元素为非零元，即非零行的第一个非
b1
b2
,
M
bn
A称为线性方程组的系数矩阵，A%称为 增广矩阵.
2
借助于矩阵乘法，线性方程组可表示为
矩阵形式：
AX .
对系数矩阵A进行列分块A=(1 ,2 ,L ,n ),
则可得到线性方程组的向量形式：
x11 x22 L xnn .
线性方程也可以表示为求和形式：
n
aij x j bi , (i 1, 2,L , s).
（3）线性方程组如有解，如何求解？ 如解有无穷多，如何表示所有的解？
5
消元法解线性方程组
用消元法解下列方程组的过程．
引例 求解线性方程组
2 x1 x2 x3 x4 2,
4
x1 x2 2 x3 x1 6 x2 2 x3
x4 2 x4
4, 4,
3x1 6x2 9 x3 7 x4 9,
10
这三种初等变换只改变了线性方程组 的系数和常数，而未知量保持不变。因此， 如果将未知量与系数和常数项分离开来， 实际上是对系数和常数项构成的增广矩阵 作了三种初等行变换。因此解线性方程组 时只需对由系数和常数项所构成的增广矩 阵作初等行变换。
11
问题： （1）为什么经过一系列的初等行变换以后得 到的新的方程组的解为原方程组的解。我们 需要给出它的理论依据。 (2)是否任意一个线性方程组都有解，在什么 条件下方程组无解？
零元．
16
回顾:消元法解方程的过程实际上就是用一系列 初等行变换把增广矩阵化为阶梯形矩阵(特别是 若当阶梯形)的过程.
现重新用初等行变换化增广矩阵为Jordan 阶梯形的方法求解线性方程组
2 x1 x2 x3 x4 2,
4
x1 x2 2 x3 x1 6 x2 2 x3
x1 c 4
1 4
x
x2 x3 x4
c
c
3
,
3
即x
c
1 10
3 0 3
(2)
其中c为任意常数.
9
从上面的例子我们可以看出，用消元法解线 性方程组，实际上是对线性方程组施行了以下 三种变换：
(1)互换两个方程的位置； (2)用一非零数c乘某一方程； (3)把其中一个方程的k倍加到另一个方程上 我们称以上三种变换为线性方程组的初等变换
j=1
3
c1
n维向量X 0
c2
M
若满足AX
0
,
则称X
是
0
cn
线性方程组AX=的一个解，方程组解的全
体构成的集合称为解集合.解集合相等的方
程组称为同解方程组.常数项有非零项的线
性方程组称为非齐次线性方程组，常数项
全为零的称为齐次线性方程组.
4
线性方程组研究的主要问题为： （1）线性方程组是否有解？ （2）线性方程组如有解，有多少个解?
3 4
4 23
x2 x3 x4 0, x4 3,
2 3
0 0,
4
用“回代”的方法求出解：
(B3 ) (B4 )
8
解得 x1 x3 4, x2 x3 3, x4 3, x3可任意取值.
令x3 c,方程组的解为
x1 c 4
x2 x3
c c
3
x4 3
或令xห้องสมุดไป่ตู้ c,方程组的解可记作
equations),aij(i 1, 2,L , s; j 1, 2,L , n)称为
系数，bi(i 1, 2,L , s)称为常数项. 1
让
a11 a12 L
A
a21 M
a22 M
L
a1n
a2n
，X
M
x1
x2
M
,
as1 as2 L asn
xn
A% ( A, ).
2 x2 5 x2
2 x3 5 x3
2 x4 3 x4
0, 6,
2 3
3 x2 3 x3 4 x4 3, 4
(B1 ) (B2 )
7
2 1 2
3 52 4 32
x1 x2 2 x3 x4 4,
x2 x3 x4 0, 2x4 6,
x4 3,
1 2 3 4
x1 x2 2 x3 x4 4, 1
§1 线性方程组的表示、消元法 定义1
含有n个未知变量x1, x2 ,L , xn的一次方程组
a11 x1 a12 x2 L a1n xn b1
aL21Lx1L
a22 x2 L LLLL
L
a2n xn b2 LLLL
as1 x1 as2 x2 L asn xn bs
称为n元线性方程组(system of linear
12
消元法解线性方程组的理论根据：
对线性方程组AX 做有限多次初 等变化换化为线性方程组CX (这个过程相当于对A%＝( A, )作有 限多次初等行变换，变为C% (C , )), 则CX 与AX 同解.
13
这是因为存在可逆矩阵P，使得
A% C% PA% (PA, P )，
得C PA， PB。
全为零的行依次的首元所在的列标是严格增
加的，则称A是阶梯形矩阵（ladder matrix).
若首元皆为1,同时首元所在列其余元素皆为零
的阶梯形矩阵称为若当（Jordan)阶梯形.
例 0 1 0 第一，二，三行的首元所
1
1
0
,
在的列依次为2，1，3， 不是严格增的，故不是阶
0 0 1 梯行.
1
2
3 2
4
(1)
6
解
(1)
1 2 3 2
23 3 21
4 31
x1 x2 2 x3 x4 4, 1
2 x1 x2 x3 x4 2, 2 x1 3 x2 x3 x4 2,
2 3
3 x1 6 x2 9 x3 7 x4 9, 4
x1 x2 2 x3 x4 4, 1