用高斯消元法求解线性方程组

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高斯消元法解线性方程组

高斯消元法解线性方程组线性方程组是数学中常见的问题，其中包含多个线性方程，求解线性方程组即为找到满足所有方程的解。

高斯消元法是一种常用的方法，可以有效地解决线性方程组。

本文将介绍高斯消元法的原理和步骤，并通过一个具体的例子来演示其应用。

一、高斯消元法原理高斯消元法是通过一系列的行变换来将线性方程组转化为上三角形式，进而求解方程组。

具体步骤如下：1. 将线性方程组写成增广矩阵形式，其中每一行表示一个方程，最后一列为常数项。

2. 选择一个主元，通常选择第一列的第一个非零元素作为主元。

3. 将主元所在行的所有元素除以主元，使主元变为1。

4. 将主元所在列的其他行元素通过适当的倍数加到相应行，使得主元所在列的其他元素都变为0。

5. 重复步骤2-4，直到将矩阵转化为上三角形式。

6. 从最后一行开始，通过回代法求解每个未知数的值。

二、高斯消元法步骤示例为了更好地理解高斯消元法的步骤，下面以一个具体的线性方程组为例进行演示。

假设有如下线性方程组：2x + y - z = 1-3x - y + 2z = -2-2x + y + 2z = 3首先，将线性方程组写成增广矩阵形式：[ 2 1 -1 | 1 ][-3 -1 2 | -2 ][-2 1 2 | 3 ]选择第一列的第一个非零元素2作为主元，将主元所在行的所有元素除以主元，使主元变为1，得到：[ 1 0 -0.5 | 0.5 ][-3 -1 2 | -2 ][-2 1 2 | 3 ]然后，将主元所在列的其他行元素通过适当的倍数加到相应行，使得主元所在列的其他元素都变为0，得到：[ 1 0 -0.5 | 0.5 ][ 0 -1 1.5 | -0.5 ][ 0 1 3 | 4 ]接下来，选择第二列的第二个非零元素-1作为主元，将主元所在行的所有元素除以主元，使主元变为1，得到：[ 1 0 -0.5 | 0.5 ][ 0 1 -1.5 | 0.5 ][ 0 1 3 | 4 ]再次进行行变换，将主元所在列的其他行元素通过适当的倍数加到相应行，使得主元所在列的其他元素都变为0，得到：[ 1 0 -0.5 | 0.5 ][ 0 1 -1.5 | 0.5 ][ 0 0 4.5 | 3 ]将矩阵转化为上三角形式后，从最后一行开始，通过回代法求解每个未知数的值。

毕业设计论文高斯消去法求解线性方程组

摘要高斯消去法是求解线性方程组的最基本的方法之一。

为了充分利用GPU (Graphics Processing Unit，图形处理器)的并行处理能力，本文改进了高斯列主元消去法的实现过程，从而提高了求解线性方程组的速度。

并研究了在不同方程组阶数下，GPU对这此算法的加速效果。

NVIDIA新近推出的GPU计算平台采用矩阵型的计算架构，对处理大型矩阵具有极大的优势，且相对CPU有着更高的算法可并行性和计算效率。

本文力图基于GPU的CUDA开发环境，利用GP-GPU的计算特性实现求解线性方程组，以提高算法的运行效率。

最后，本文用C语言实现了高斯列主元消去算法求解线性方程组的基本过程，并分别在NVIDIA GPU并行计算平台和Intel CPU计算平台上加以运行，同时进行了两种计算平台上算法实现的性能比较。

关键词：求解线性方程组；高斯消去法；GPU；CUDA；并行计算AbstractGaussian elimination method is one of the most basic methods for solving linear equations. In order to take full advantage of GPU (Graphics Processing Unit, GPU) of the parallel processing capability, this paper improved Gaussian PCA out of the realization of the process of elimination, resulting in improved system of linear equations to solve the speed. And studied the different equations in a few bands, GPU accelerated the effect of this algorithm. NVIDIA recently introduced the use of GPU computing platform for the calculation of matrix-type structure, to deal with large-scale matrix has great advantages, and the relative CPU algorithm has higher computational efficiency and parallelism. This article seeks to CUDA for GPU-based development environment, the use of GP-GPU computing features to achieve the solution of linear equations in order to improve the effi ciency of algorithm. Finally, using C language realization of the Gaussian elimination algorithm PCA out of linear equations to solve the basic process and NVIDIA GPU in parallel computing platform and Intel CPU computing platform to be run, at the same time on two types of computing platforms algorithm Performance Comparison of the achievement.Key words:Solving linear equations; Gaussian elimination method; GPU; CUDA; Parallel Computing目录第一章绪论 (1)1.1 引言 (1)1.2 论文研究背景 (1)1.3 论文研究的目的和意义 (2)1.4 论文结构安排 (3)第二章求解线性方程组的基本理论 (4)2.1 高斯－约当消去法 (4)2.2 矩阵三角分解法 (5)直接三角分解法 (5)追赶法 (5)2.3 平方根法 (6)2.4 迭代法 (6)2.5 高斯消去法 (7)2.6 高斯列主元素消去法 (9)第三章NVIDIA CUDA并行计算平台 (11)3.1 GPU 技术简介 (11)3.2 CUDA介绍 (13)3.3 CUDA编程模型 (17)3.4 应用程序接口 (20)编程语言扩展 (20)第四章功能实现和相关函数介绍 (22)4.1 程序在CPU上的实现 (22)高斯列主元消去算法实现过程 (22)各文件中的主要功能函数介绍 (24)4.2 程序在GPU上的实现 (26)文件中C语言的扩展 (26)文件编写过程 (29)并行性实现 (31)4.3性能比较与结果分析 (32)第五章总结与展望 (36)致谢 (37)参考文献 (38)第一章绪论1.1 引言当今很多科学与工程计算问题大都可以化为线性代数方程组的形式，所以有效的求解线性方程组在科学和工程计算中是非常重要的。

数值方法高斯消元法

数值方法高斯消元法
高斯消元法（Gaussian Elimination）是指通过迭代使用矩阵运算，化为上三
角形矩阵来求解线性方程组的一种特殊数值算法。

它是数值分析中用于求解结构化和非结构化方程组的主要方法之一，属于改进的回代法，是由德国数学家高斯于
19世纪末提出的。

高斯消元法主要用于求解下列形式的方程组：Ax = b，其中A为非奇异矩阵，
x为未知向量，b为系数向量。

由此可见，该方法最重要的两个思想就是消元和迭代。

本算法的消元操作是通过矩阵的标准变换来实现的，即存在一个三角阵T，它
的下三角部分的映射是原矩阵A，其上三角部分本身恒为单位矩阵，这样一来，原
方程就被转化为一组三角方程，而且由上三角的单位矩阵可以再次得出未知向量x。

在实际应用中，高斯消元法最重要的特点就是它的计算精度高，时间效率也非
常高。

这是因为在处理大矩阵时，它不仅能够提高计算精度，而且能有效控制计算时间。

因此，高斯消元法广泛用于各种数值分析领域，如量子力学计算，复杂系统建模，模式识别，统计过程等等。

此外，高斯消元法也被广泛应用于工业领域，如航空航天，汽车制造，电力电子等。

总而言之，高斯消元法无疑是一种非常出色的线性方程组求解算法，有效地合
理地求解了大量复杂的线性数值问题，用它取代传统的回代法有效地节省了计算时间，是当今数值分析中可靠、高效斗算算法。

线性方程组的求解方法

线性方程组的求解方法线性方程组是数学中的基础概念，广泛应用于各个领域，如物理、经济学、工程学等。

解决线性方程组的问题，对于推动科学技术的发展和解决实际问题具有重要意义。

本文将介绍几种常见的线性方程组的求解方法，包括高斯消元法、矩阵法和迭代法。

一、高斯消元法高斯消元法是求解线性方程组的经典方法之一。

它的基本思想是通过一系列的行变换将方程组化为阶梯形或行最简形，从而得到方程组的解。

首先，将线性方程组写成增广矩阵的形式，其中增广矩阵是由系数矩阵和常数向量组成的。

然后，通过行变换将增广矩阵化为阶梯形或行最简形。

最后，通过回代法求解得到方程组的解。

高斯消元法的优点是简单易懂，容易实现。

但是，当方程组的规模较大时，计算量会很大，效率较低。

二、矩阵法矩阵法是求解线性方程组的另一种常见方法。

它的基本思想是通过矩阵运算将方程组化为矩阵的乘法形式，从而得到方程组的解。

首先，将线性方程组写成矩阵的形式，其中矩阵是由系数矩阵和常数向量组成的。

然后，通过矩阵运算将方程组化为矩阵的乘法形式。

最后，通过求逆矩阵或伴随矩阵求解得到方程组的解。

矩阵法的优点是计算效率高，适用于方程组规模较大的情况。

但是，对于奇异矩阵或非方阵的情况，矩阵法无法求解。

三、迭代法迭代法是求解线性方程组的一种近似解法。

它的基本思想是通过迭代计算逐步逼近方程组的解。

首先，将线性方程组写成矩阵的形式，其中矩阵是由系数矩阵和常数向量组成的。

然后，选择一个初始解，通过迭代计算逐步逼近方程组的解。

最后，通过设定一个误差限，当迭代结果满足误差限时停止计算。

迭代法的优点是计算过程简单，适用于方程组规模较大的情况。

但是，迭代法的收敛性与初始解的选择有关，有时可能无法收敛或收敛速度较慢。

综上所述，线性方程组的求解方法有高斯消元法、矩阵法和迭代法等。

每种方法都有其适用的场景和特点，选择合适的方法可以提高计算效率和解决实际问题的准确性。

在实际应用中，根据问题的具体情况选择合适的方法进行求解，能够更好地推动科学技术的发展和解决实际问题。

1.用高斯消元法解下列线性方程组：

1.用高斯消元法解下列线性方程组：(1)123123123123233,350,43,3136;x x x x x x x x x x x x -+=⎧⎪+-=⎪⎨-+=⎪⎪+-=-⎩ (2)12341234123412342353,34232,288,7980;x x x x x x x x x x x x x x x x +++=⎧⎪+++=-⎪⎨++-=⎪⎪+++=⎩(3)1234123412343,31,123;2x x x x x x x x x x x x ⎧⎪--+=⎪-+-=⎨⎪⎪--+=-⎩ (4)12341234123424270,36430,5104250.x x x x x x x x x x x x -++=⎧⎪-++=⎨⎪-++=⎩解(1)21122133128331502133(,)411341131313613136r r r r A b -↔---⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪--⎪ ⎪=−−−→ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭ 212431412412831283051990153093315051990153093315r r r r r r r r -↔------⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪--- ⎪ ⎪−−−→−−−→⎪ ⎪-- ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭ 32434235219()61283128301530153006600110012120000r r r r r r r +-+⨯-----⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪---- ⎪ ⎪−−−→−−−→ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭ 2312521001010200110000r r r r +-⎛⎫⎪⎪−−−→ ⎪ ⎪⎝⎭因此方程组的解为123121x x x =⎧⎪=⎨⎪=⎩(2)1342223513113253423234232(,)12818128187918011324r r r r A b ----⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪--⎪ ⎪=−−−→ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭ 322131344131132511325011131301113130111313000090000900000r r r r r r r r r r ---↔-----⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪−−−→−−−→ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭因为()2,(,)3r r ==A A b ，所以方程组无解.(3)21311111011110(,)1113100241111123001222r r r r A b --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪---- ⎪ ⎪=--−−−→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭212321211101111102110012001222000000000r r r r r ⨯++⎛⎫-- ⎪--⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪−−−→-−−−→- ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪⎝⎭对应的同解方程组为1243412122⎧=++⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩x x x x x ，令2142,==x k x k则方程组的解为11221324212122x k k x k x k x k ⎧⎪⎪=++⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎪⎪=⎩ （12(,)k k ∈R .(4)1224271224(,)36433643510425510425r r ----⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-−−−→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭A b 211313223(1)531()21224122415002150012006450000+⨯-+-⨯---⎛⎫--⎛⎫ ⎪⎪ ⎪−−−→-−−−→- ⎪⎪ ⎪- ⎪⎝⎭⎝⎭r r r r r r r r 120111500120000-⎛⎫⎪ ⎪→- ⎪ ⎪⎝⎭对应的同解方程组为12434211152=-⎧⎪⎨=⎪⎩x x x x x 令2142,==x k x k ，则方程组的解为112213242211152x k k x kx k x k =-⎧⎪=⎪⎪⎨=⎪⎪=⎪⎩ 12(,)k k ∈R . 2.讨论p 取何值时，下述非齐次线性方程组无解，有唯一解，有无穷多解？在有解时求解.12321231234,,2 4.x x px x px x p x x x ++=⎧⎪-++=⎨⎪-+=-⎩ 分析本题为含有参数p 的非齐次线性方程组的求解，由于其系数矩阵为方阵，故可用行列式分析.解 111111011112022p pp p p p=-=++---A 11(1)(1)(4)22=+=+---p p p p可见：(1)当0A ≠，即4≠p 且1≠-p 时，方程组有唯一解，利用克莱姆法则求得212232124121p p x p p p x p p x p ⎧+=⎪+⎪⎪++⎪=⎨+⎪⎪-=⎪+⎪⎩(2)当4=p 时，0A =，此时213111441144(,)141160552011240228r r r r +-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=-−−−→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-----⎝⎭⎝⎭A b 232152114410300114011400000000⨯+⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪−−−→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭r r r对应的同解方程组为132334x x x x =-⎧⎨=-+⎩，令3=x k则方程组的解为12334x k x k x k =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩ ()k ∈R .(3)当1=-p 时，0A =，此时213111141114(,)1111000511240238r r r r +---⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=--−−−→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭A b23111402380005r r ↔-⎛⎫ ⎪−−−→-- ⎪ ⎪⎝⎭，因为()2,(,)3==r A r A b ，所以方程组无解.3.当,a b 取何值时，下述非齐次线性方程组无解，有唯一解，有无穷多解？在有解时求出它的全部解. 123423423412340,221,(3)2,32 1.x x x x x x x x a x x b x x x ax +++=⎧⎪++=⎪⎨-+--=⎪⎪+++=-⎩解 1111001221(,)01323211a b a ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪--- ⎪-⎝⎭A b 3241311110012************+-⎛⎫ ⎪ ⎪−−−→ ⎪-+ ⎪----⎝⎭r r r r a b a 4211110012************+⎛⎫ ⎪⎪−−−→ ⎪-+ ⎪-⎝⎭r r a b a 由此可见：(1)当1,1=≠-a b 时，()2,(,)3r r ==A A b ，方程组无解.(2)当1,1==-a b 时，()(,)2r r ==A A b ，方程组有无穷多解. 此时(,)A b 可化简为10111012210000000000---⎛⎫⎪⎪⎪⎪⎝⎭ 令3142,==x k x k方程组的解为11221231421221x k k x k k x k x k =+-⎧⎪=--+⎪⎨=⎪⎪=⎩ 12(,)k k ∈R .(3)当1,≠∈a b R 时，方程组有唯一解为123421231110b a x a a b x a b x a x -+⎧=⎪-⎪--⎪=⎪-⎨⎪+=⎪-⎪⎪=⎩4.设121232343454515-=⎧⎪-=⎪⎪-=⎨⎪-=⎪-=⎪⎩x x a x x a x x a x x ax x a ，证明方程组有解的充分必要条件是510==∑i i a ，并在有解的情况下，求出它的全部解.分析线性方程组解的存在性主要依据线性方程组解的定义及有解判别定理来证明.证明 123451100001100(,)001100001110001a a a a a -⎛⎫ ⎪- ⎪⎪=- ⎪-⎪ ⎪-⎝⎭A b 543211234511100001100001100001100000++++=-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪-−−−−−→ ⎪- ⎪⎪⎪⎝⎭∑r r r r r i i a a a a a当()(,)r r =A A b 时，方程组有无穷多解，故要满足510==∑ii a.当有解时，继续对(,)A b 作初等行变换，得123423434410001010010010100011000000-+++⎛⎫ ⎪-++ ⎪⎪-+ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭a a a a a a a a a a 令5=x k 由此得出方程组的解为112342234334445x a a a a k x a a a k x a a k x a kx k=++++⎧⎪=+++⎪⎪=++⎨⎪=+⎪=⎪⎩ ()k ∈R5.已知向量(3,5,7,9)α=，(1,5,2,0)β=-(1)如果αξβ+=，求ξ；(2)如果325αξβ-=，求ξ.解 (1)由αξβ+=，可得(1,5,2,0)(3,5,7,9)(4,0,5,9)ξβα=-=--=--- (2)由325αξβ-=，可得111127(35)(14,10,11,27)(7,5,,)2222ξαβ=-=-=-6.设1233()2()5()αααααα-++=+，求α.其中T T T 123(2,5,1,3),(10,1,5,10),(4,1,1,1)ααα===- 解由已知可得 123332255αααααα-++=+T 1231(325)(1,2,3,4)6αααα=+-= 7.把向量β表示成向量1234,,,αααα的线性组合.(1)1234(1,1,1,1),(1,1,1,1),(1,1,1,1),(1,1,1,1),(1,2,1,1)ααααβ==--=--=--=(2)1234(1,1,0,0),(2,1,3,1),(1,1,0,0),(0,1,1,1),(0,0,0,1)ααααβ====--=解 (1)T T T T T12341111111112(,,,,)1111111111ααααβ⎛⎫⎪--⎪= ⎪--⎪--⎝⎭ 4321313411()21111111111002210022102020010100220000220r r r r r r r r r ---⨯--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪---- ⎪ ⎪−−−→−−−→ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭234224234123441()2145100011111411001101002401010100104100011400014r r r r r r r r r r r r r r ↔--⨯-----⨯⎛⎫ ⎪⎛⎫⎪ ⎪⎪⎪- ⎪ ⎪−−−→−−−−→ ⎪ ⎪ ⎪-⎪ ⎪⎪- ⎪ ⎪⎝⎭ -⎪⎝⎭ 由此可知123451114444βαααα=+--(2)T T T T T 12341210011110(,,,,)0301011011ααααβ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪- ⎪-⎝⎭3221414223(1)1210012100010100101003010000200111100121r r r r r r r r r +---⨯-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪−−−→−−−→ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪-----⎝⎭⎝⎭343241232(1)210001010000010100010r r r r r r r r +⨯-+--⎛⎫ ⎪ ⎪−−−−→ ⎪- ⎪⎝⎭由此可知13βαα=-8.判断下列向量组的线性相关性. (1)123(1,1,1),(0,2,5),(1,3,6)ααα===(2)T T T 123(1,1,2,4),(0,3,1,2),(3,0,7,14)βββ=-==(3)T T T 123(1,1,3,1),(4,1,3,2),(1,0,1,2)γγγ==-=-解 (1)因为123,,ααα构成的矩阵为方阵，故可用行列式求解.因为1011001231220156155==，所以向量组123,,ααα线性相关.(2)123(,,)βββ=213141241031031300332170114214022r r r r r r +--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪−−−→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭23242132103011000000r r r r r ⨯--⎛⎫ ⎪ ⎪−−−→ ⎪ ⎪⎝⎭，因为123(,,)23r βββ=<，所以向量组123,,βββ线性相关. (3)3242213123141141110031(,,)3310154122012r r r r r r γγγ---⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪=−−−→ ⎪ ⎪---- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭24433253141012001000r r r r r r ↔-+⎛⎫ ⎪ ⎪−−−→ ⎪ ⎪⎝⎭，因为123(,,)3r γγγ=，所以向量组123,,γγγ线性无关. 9.设112223334441,,,βααβααβααβαα=+=+=+=+，证明向量组1234,,,ββββ线性相关.分析可按向量组的线性相关的定义，把证明向量组线性相关转化为证明齐次线性方程组有非零解，或直接寻找1234,,,ββββ之间的线性关系式，若系数不全为0，则向量组线性相关。

C++ 数学与算法系列之高斯消元法求解线性方程组

C++ 数学与算法系列之高斯消元法求解线性方程组1. 前言什么是消元法？消元法是指将多个方程式组成的方程组中的若干个变量通过有限次地变换，消去方程式中的变量，通过简化方程式，从而获取结果的一种解题方法。

消元法主要有代入消元法、加减消元法、整体消元法、换元消元法、构造消元法、因式分解消元法、常数消元法、利用比例性质消元法等。

对方程式消元时，是基于如下的初等行变换规则：•改变方程组中方程式的顺序，或者说无论先求解方程组中哪一个方程式，不影响方程组的解。

•对一个方程式中的所有系数乘以或除以某一个非零数，不影响方程组的解。

•方程式之间可以倍乘后相加或相减，不影响解。

其中最常用的为代入消元法和加减消元法，简要介绍一下。

代入消元法如求解2x+3y=10和x+y=4; 2个方程式中的x ,y变量时。

可以把第2个方程式变换成x=4-y。

然后代入到第1个方程中，2(4-y)+3y=10。

可求解出y=2，x=2。

加减消元法还是求解如上的方程组。

可以把第2个方程式乘以2后再去减第1个方程式，或者说让第1个方程式减去第2个方程式乘以2。

2x+3y-2x-2y=10-8。

可以求解y=2。

本文主要和大家聊聊高斯消元法，高斯(Gauss)消元法也称为简单消元法，是求解一般线性方程组的经典算法。

2. 高斯消元法在理解高斯消元化之前，先理解几个基本概念：什么是增广矩阵？增广矩阵是线性代数中的概念，如下线性方程组：使用每个方程式的系数构建的矩阵，称为系数矩阵，表示为：用方程式的系数和结果构建的矩阵称为方程组的增广矩阵。

如下图所示：当方程组中的每一个方程的结果都为0时, 即b1=b2=b3=b4……bm=0，称这样的方程组为齐次线性方程组。

2.1 高斯消元法的思想高斯消元的基本思想：•对于一个有n个变量、有n个方程式的方程组。

•把方程组中除了第1个方程式外的其它方程式中的x1消去，同理，再把除了第2个方程式以下的方程组中其它方程式中的x2消去，依次类推，直到最后1个方程式中只留下xn。

高斯消元法是线性代数中的一个算法可用来求解线性方

高斯消元法，是线性代数中的一个算法，可用来求解线性方程组，并可以求出矩阵的秩，以及求出可逆方阵的逆矩阵。

高斯消元法的原理是：若用初等行变换将增广矩阵化为，则AX = B与CX = D是同解方程组。

所以我们可以用初等行变换把增广矩阵转换为行阶梯阵，然后回代求出方程的解。

以上是线性代数课的回顾，下面来说说高斯消元法在编程中的应用。

首先，先介绍程序中高斯消元法的步骤：(我们设方程组中方程的个数为equ，变元的个数为var，注意：一般情况下是n个方程，n个变元，但是有些题目就故意让方程数与变元数不同)1. 把方程组转换成增广矩阵。

2. 利用初等行变换来把增广矩阵转换成行阶梯阵。

枚举k从0到equ – 1，当前处理的列为col(初始为0) ，每次找第k行以下(包括第k行)，col列中元素绝对值最大的列与第k行交换。

如果col列中的元素全为0，那么则处理col + 1列，k不变。

3. 转换为行阶梯阵，判断解的情况。

①无解当方程中出现(0, 0, …, 0, a)的形式，且a != 0时，说明是无解的。

②唯一解条件是k = equ，即行阶梯阵形成了严格的上三角阵。

利用回代逐一求出解集。

③无穷解。

条件是k < equ，即不能形成严格的上三角形，自由变元的个数即为equ – k，但有些题目要求判断哪些变元是不缺定的。

这里单独介绍下这种解法：首先，自由变元有var - k个，即不确定的变元至少有var - k个。

我们先把所有的变元视为不确定的。

在每个方程中判断不确定变元的个数，如果大于1个，则该方程无法求解。

如果只有1个变元，那么该变元即可求出，即为确定变元。

以上介绍的是求解整数线性方程组的求法，复杂度是O(n3)。

浮点数线性方程组的求法类似，但是要在判断是否为0时，加入EPS，以消除精度问题。

高斯消元法简介在信息学竞赛中，很多问题都可以转化成线性方程组或者与之相关的问题。

因此，我们需要了解线性方程组的各种解法。

高斯消元法求解线性方程组

高斯消元法求解线性方程组线性方程组是数学中重要的概念，它描述了一组线性方程的集合。

解决线性方程组的问题在科学和工程领域中具有广泛的应用。

高斯消元法是一种常用的方法，用于求解线性方程组。

本文将介绍高斯消元法的原理和步骤，并通过实例演示其应用。

一、高斯消元法的原理高斯消元法是一种基于矩阵变换的方法，用于将线性方程组转化为简化的行阶梯形式。

其基本思想是通过一系列的行变换，将方程组中的系数矩阵化为上三角矩阵，从而简化求解过程。

具体而言，高斯消元法的步骤如下：1. 将线性方程组的系数矩阵和常数向量写成增广矩阵的形式。

2. 选取一个主元素，通常选择第一列的第一个非零元素作为主元素。

3. 通过行变换，将主元素下方的所有元素化为零。

4. 选取下一个主元素，并重复步骤3，直到将矩阵化为上三角形式。

5. 通过回代法，求解得到线性方程组的解。

二、高斯消元法的步骤为了更好地理解高斯消元法的步骤，我们以一个具体的线性方程组为例进行演示。

假设我们有以下线性方程组：```2x + 3y - z = 14x - y + z = -2x + 2y + 3z = 3```首先，我们将其写成增广矩阵的形式：```[2, 3, -1 | 1][4, -1, 1 | -2][1, 2, 3 | 3]```接下来，我们选取第一列的第一个非零元素2作为主元素，并通过行变换将主元素下方的元素化为零。

具体步骤如下：1. 将第三行乘以14，然后与第二行相加，得到新的第三行：`[0, 0, 35 | 7]`此时，得到的矩阵为：```[2, 3, -1 | 1][0, -7, 3 | -4][0, 0, 35 | 7]```最后，我们通过回代法求解得到线性方程组的解。

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例如：
3 -1 -1 5 10 -1 -2 -1 10 -2 4.2 7.2 8.3 Output 文件格式： 1、方程个数 n 2、方程的解例如对以上的 Input 文件内容，其 Output 结果为： 3 1.1000000 1.2000000 1.3000000
!用高斯消去法求线性方程组的解 Ax=b,n*n !数据输入文件 input 的数据格式为 n,A,其中 A 按行优先 subroutine Gauss(input,output) character *(20) input,output real A(1:100,1:100),x(1:100),b(1:100),xx(1:100) integer n,k,i,j,flag,s,q,choice integer location(1:100),maxi,maxj,lch real temp,swap write(*,*)'****调用 Gauss 函数求解线性方程组****' write(*,*)'检验传入的数据' write(*,*)'检验 A(i,j)' open(10,file=input) read(10,*) n do i=1,n read(10,*) (A(i,j),j=1,n) write(*,*) (A(i,j),j=1,n) if(A(i,i).eq.0) choice=1
!主程序 character *(20) input,output input='test.dat' output='result.dat' call Gauss(input,output) end
enddo write(*,*)'检验 b(i)' do i=1,n read(10,*) b(i) write(*,*) b(i) location(i)=i !初始 x(i)的位置 enddo write(*,*)'传入数据检验结束' close(10) do k=1,n-1 !利用全主元素消元法 write(*,*)'' write(*,*)'------>进行第 k 次消元,k=',k maxi=k makj=k do i=k,n do j=k,n if(A(i,j).gt.A(maxi,maxj)) then !记住最大值位置 maxi=i maxj=j end if enddo enddo write(*,*)'最大系数位置为：',maxi,maxj !交换行位置 do j=1,n temp=A(k,j) A(k,j)=A(maxi,j) A(maxi,j)=temp enddo temp=b(k) b(k)=b(maxi) b(maxi)=temp !交换列位置 do i=1,n temp=A(i,k) A(i,k)=A(i,maxj) A(i,maxj)=temp enddo write(*,*)'交换后的 A(i,j)' do i=1,n write(*,*) (A(i,j),j=1,n) enddo write(*,*)'交换后的 b(i)' write(*,*) (b(i),i=1,n) !记住列原本 x(i)交换后的位置 location(maxj)=k location(k)=maxj
!开始消元 do i=k+1,n b(i)=b(i)-b(k)*A(i,k)/A(k,k) do j=k+1,n A(i,j)=A(i,j)-A(k,j)*A(i,k)/A(k,k) enddo A(i,k)=0 enddo write(*,*)'消元结果 A(i,j)' do i=1,n write(*,*)(A(i,j),j=1,n) enddo write(*,*)'消元结果 b(i)' write(*,*)(b(i),i=1,n) enddo !输出消元结果 write(*,*)'************最终消元结果************' do i=1,n write(*,*) '线性方程:',i write(*,*) (A(i,j),j=1,n),b(i) enddo write(*,*)'************最终消元结果************' !回代方程 x(n)=b(n)/A(n,n) do i=n-1,1,-1 temp=0.0 do j=i+1,n temp=temp+A(i,j)*x(j) enddo x(i)=(b(i)-temp)/A(i,i) enddo write(*,*)'Gauss 函数求解结果：' open(20,file=output) write(20,*) n !还原 x(i)到初始位置 do i=1,n xx(location(i))=x(location(i)) enddo !输出最终结果 do i=1,n write(*,*) xx(i) write(20,*) xx(i) enddo close(20) write(*,*)'****高斯消元法调用结束****' return end
高斯消元法解线性方程组－－ Fortran 语言陈洋洋程序说明：子过程 Gauss(input,output)用来求解线性方程组 Ax=b,参数 input 为输Βιβλιοθήκη 文件名，output 为输出文件名。
Input 文件格式： 1、给出系数矩阵的阶数 n 2、给出系数矩阵 A（行优先） 3、给出向量 b