2019-2020学年淮安市高二下期末考试数学试卷(文)含解析
江苏省淮安市2019-2020学年数学高二第二学期期末质量检测试题含解析
江苏省淮安市2019-2020学年数学高二第二学期期末质量检测试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设随机变量X ～N(μ，σ2)且P(X<1)＝12，P(X>2)＝p ，则P(0<X<1)的值为( ) A ．12p B ．1－pC ．1－2pD ．12－p【答案】D 【解析】 【分析】 由1(1)2P X <=，得正态分布概率密度曲线关于1μ=对称，又由(2)P X p >=，根据对称性，可得(0)P X p <=，进而可得1(01)2P X p <<=-，即可求解．【详解】 由随机变量(,)X N μσ，可知随机变量服从正态分布，其中X μ=是图象的对称轴，又由1(1)2P X <=，所以1μ=， 又因为(2)P X p >=，根据正态分布概率密度曲线的对称性，可得(0)P X p <=， 所以1(01)2P X p <<=-，故选D ． 【点睛】本题主要考查了正态分布曲线性质的简单应用，其中熟记正态分布概率密度曲线的对称性，合理推算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题． 2．已知i 为虚数单位，15zi i =+，则复数z 的虚部为( ) A ．1- B ．1 C ．i -D ．i【答案】A 【解析】 【分析】给15zi i =+两边同乘以i ，化简求出z ，然后可得到其虚部 【详解】解：因为15zi i =+，所以2(15)zi i i =+255z i i i -=+=-所以5z i =-，所以虚部为1- 故选：A 【点睛】此题考查复数的运算和复数的有关概念，属于基础题3．已知函数()212ln 2f x x ax x =+-，则“43a >”是“对任意121,[,2]3x x ∈，且12x x ≠，都有( )1212()()0f x f x x x ->-成立”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件【答案】A 【解析】对任意121,,23x x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，且12x x ≠，都有()()12120f x f x x x ->-成立， 则函数在1,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增， ()221'0x ax f x x+-=≥在1,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立，即2210x ax +-≥在1,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立， 2112x a x x x-∴≥=-，由函数的单调性可得：在1,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦上max 11181333x x ⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭, 即842,33a a ≥≥， 原问题转化为考查“43a >”是“43x ≥”的关系，很明显可得： “43a >”是“对任意121,,23x x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，且12x x ≠，都有()()12120f x f x x x ->-成立”充分不必要条件. 本题选择A 选项.4．函数()12ln 1xf x x x =-+的定义域（ ）A ．()0,∞+B ．()1,-+∞C ．()0,1D ．()()0,11,+∞【答案】A 【解析】 【分析】解不等式010xx x ⎧>⎪+⎨⎪≥⎩即得函数的定义域.【详解】由题得010,0100xx x x x x x ⎧><->⎧⎪∴∴>+⎨⎨≥⎩⎪≥⎩或 所以函数的定义域为()0,∞+. 故选A 【点睛】本题主要考查函数的定义域的求法，考查对数函数和幂函数的定义域，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.5．参数方程3cos 1cos x y αα=+⎧⎨=-⎩（α为参数）对应的普通方程为（ ）A ．310x y ++=B ．310x y +-=C ．()31024x y x +-=-≤≤D ．()31011x y x +-=-≤≤【答案】C 【解析】 【分析】将参数方程消参后，可得普通方程，结合三角函数值域即可判断定义域. 【详解】参数方程3cos 1cos x y αα=+⎧⎨=-⎩（α为参数），消参后可得310x y +-=， 因为1cos 1α-≤≤ 所以24x -≤≤即()310,24x y x +-=-≤≤ 故选：C. 【点睛】本题考查了参数方程与普通方程的转化，注意自变量取值范围，属于基础题.6．某校从高一年级学生中随机抽取部分学生，将他们的模块测试成绩分成6组：[40,50), [50,60), [60,70), [70,80), [80,90), [90,100]加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．已知高一年级共有学生600名，据此估计，该模块测试成绩不少于60分的学生人数为（）A．588 B．480 C．450 D．120【答案】B【解析】试题分析：根据频率分布直方图，得；该模块测试成绩不少于60分的频率是1-（0.005+0.015）×10=0.8，∴对应的学生人数是600×0.8=480考点：频率分布直方图7．某篮球队甲、乙两名运动员练习罚球，每人练习10组，每组罚球40个.命中个数的茎叶图如下图，则下面结论中错误．．的一个是（）A．甲的极差是29 B．甲的中位数是24C．甲罚球命中率比乙高D．乙的众数是21【答案】B【解析】【分析】通过茎叶图找出甲的最大值及最小值求出极差判断出A对；找出甲中间的两个数，求出这两个数的平均数即数据的中位数，判断出D错；根据图的数据分布，判断出甲的平均值比乙的平均值大，判断出C对．【详解】由茎叶图知甲的最大值为37，最小值为8，所以甲的极差为29，故A对甲中间的两个数为22，24，所以甲的中位数为2224232+=故B不对甲的命中个数集中在20而乙的命中个数集中在10和20，所以甲的平均数大，故C对乙的数据中出现次数最多的是21，所以D对故选B．【点睛】茎叶图的优点是保留了原始数据，便于记录及表示，能反映数据在各段上的分布情况．茎叶图不能直接反映总体的分布情况，这就需要通过茎叶图给出的数据求出数据的数字特征，进一步估计总体情况．8．某高中举办了一场中学生作文竞赛活动，现决定从参赛选手中选出一等奖一名、二等奖二名、三等奖二名，通过评委会获悉在此次比赛中获奖的学生为3男2女，其中一等奖、二等奖的奖项中都有男生，请计算一下这5名学生不同的获奖可能种数为（ ） A ．12 B ．15 C ．18 D ．21【答案】B 【解析】 【分析】一等奖为男生，则从3个男生里选一个；二等奖有男生，可能是一男一女，可能是两男；剩下的即为三等奖的学生，依照分析求组合数即可 【详解】由题可知，一等奖为男生，故13C ；二等奖可能为2个男生或1个男生，1个女生，故11221C C +⋅ 故获奖可能种数为()111322115C C C ⋅+⋅=，即选B 【点睛】本题考查利用排列组合解决实际问题，考查分类求满足条件的组合数9．已知函数()f x 满足对任意实数,m n ，都有()()()1f m n f m f n +=+-，设()()(0,1)1xx a g x f x a a a =+>≠+，(ln 2019)2018g =，1ln 2019g ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）A ．2018B ．2017C ．-2016D ．-2015【答案】D 【解析】 【分析】通过取特殊值，可得(0)1f =，进一步可得()()2f x f x +-=，然后经过计算可得111x xx x a a a a --+=++，最后代值计算，可得结果. 【详解】由题可知：()()()1f m n f m f n +=+- 令0m n ==，可得(0)1f =令,==-m x n x ，则()()()1f x x f x f x -=+-- 所以()()2f x f x +-=又111x x x x a a a a --+=++ 由()()1xx a g x f x a =++，所以()()()()311x xx x a a g x g x f x f x a a ---+=-+++=++又()1lnln 20192019g g ⎛⎫=- ⎪⎝⎭所以1ln (ln 2019)32019g g ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，由(ln 2019)2018g = 所以1ln 20152019g ⎛⎫=- ⎪⎝⎭故选：D 【点睛】本题考查抽象函数的应用，难点在于发现()()2f x f x +-=，111x xx x a a a a --+=++，考验观察能力以及分析问题的能力，属中档题.10．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，122n n n a a a ++=+，若37513a a a +-=，770S =，则1a =（ ） A ．1- B ．0C ．1D ．2【答案】C 【解析】 【分析】首先根据122n n n a a a ++=+得到数列{}n a 为等差数列，再根据770S =，37513a a a +-=即可算出1a 的值. 【详解】因为122n n n a a a ++=+，所以数列{}n a 为等差数列. 因为17747()7702a a S a +===，所以410a =. 375555213a a a a a a +-=-==. 543d a a =-=.因为41310a a d =+=，所以11a =. 故选：C 【点睛】本题主要考查等差数列的性质，同时考查了等差中项，属于简单题.11．11||d x x -=⎰（ ）A ．0B ．12C ．1D ．2【答案】C 【解析】 【分析】根据定积分的意义和性质，111||2x dx xdx -=⎰⎰，计算即可得出.【详解】 因为11210101||2=2|12x dx xdx x -=⨯=⎰⎰， 故选C. 【点睛】本题主要考查了含绝对值的被积函数的定积分求值，定积分的性质，属于中档题. 12．已知函数31()42f x x ax =++ ，则“0a > ”是“()f x 在R 上单调递增”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 f′(x)＝32x 2＋a ，当a≥0时，f′(x)≥0恒成立，故“a＞0”是“f(x)在R 上单调递增”的充分不必要条件．故选A.二、填空题：本题共4小题13．复数34z i =-（i 是虚数单位）的虚部是_________ 【答案】4- 【解析】 【分析】根据复数z 的结果，直接判断出其虚部是多少. 【详解】因为34z i =-，所以复数z 的虚部为4-. 故答案为：4-. 【点睛】本题考查复数的虚部的辨别，难度容易.已知复数z a bi =+，则a 为复数的实部，b 为复数的虚部. 14．不等式|32|1x -<的解集为________【答案】1(,1)3【解析】 【分析】根据绝对值的定义去绝对值符号，直接求出不等式的解集即可. 【详解】由321x -<，得-1321x <-<，解得113x <<故答案为1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，考查等价转化的数学思想和计算能力. 15．有n 个元素的集合的3元子集共有20个，则n = _______. 【答案】6 【解析】 【分析】在n 个元素中选取3个元素共有3C n 种，解3C n =20即可得解.【详解】在n 个元素中选取3个元素共有3C n 种，解3C n =20得6n =，故答案为6.【点睛】本题考查了组合数在集合中的应用，属于基础题. 16．若函数在上存在单调增区间，则实数的取值范围是_______.【答案】【解析】 试题分析：．当时，的最大值为，令，解得，所以a 的取值范围是．考点：利用导数判断函数的单调性．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
2019-2020学年江苏省淮安市高二下学期期末数学试题(解析版)
2019-2020学年江苏省淮安市高二下学期期末数学试题一、单选题1．若复数z 满足()121-=i z （i 为虚数单位），则z 为（ ）A ．BC ．5D ．15【答案】B【解析】利用复数的除法可算出z 的值，再利用公式计算其模. 【详解】()()11+212+12121+255i z i i i i ===--，故||z ==.故选：B. 【点睛】本题考查复数的除法以及复数的模，属于基础题.2．设随机变量()~,0.2X B n ，且() 1.6E X =，则n 为（ ） A ．4 B ．6C ．8D ．10【答案】C【解析】由二项分布的均值公式()E X np =即可求得n 的值. 【详解】()~,0.2X B n()0.2 1.6E X np n ∴===8n ∴=故选：C 【点睛】本题考查二项分布的均值，属于简单题. 3．函数()()922f x x x x =+>-的最小值为（ ） A ．5 B ．3C ．8D ．6【答案】C【解析】对()f x 进行配凑可得()99(2)222f x x x x x =+=-++--，再利用基本不等式求解即可.因为2x >，所以20x ->，所以()99(2)22822f x x x x x =+=-++≥=--, 当且仅当922x x -=-，即5x =时等号成立. 所以()f x 的最小值为8. 故选：C 【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求和的最小值，关键是构造积为定值，属于基础题. 4．从1，2，3，4，5，这5个数中任取两个奇数，1个偶数，组成没有重复数字的三位数的个数为（ ） A ．60 B ．24 C ．12 D ．36【答案】D【解析】采用分步计数原理，分两步，第一步先选取三个数，第二步对选出的三个数进行排列. 【详解】第一步先将三个数取出，有21326C C ⋅=种， 第二步对取出的三个数进行排列，共有336A =种，所以完成两步共有6636⨯=种. 故选：D. 【点睛】本题考查排列、组合及简单计数问题，是一道基础题.5．为研究某种细菌在特定环境下，随时间变化的繁殖情况，得到如下实验数据：由最小二乘法得y 与x 的线性回归方程为0.7y x a =+，则当8x =时，繁殖个数y 的预测值为（ ） A ．4.9B ．5.25C ．5.95D ．6.15【解析】根据题中条件，求出,x y ，再由回归直线必过样本中心，求出a ，将8x =代入回归方程，即可求出结果. 【详解】由题中数据可得：3456 4.54x +++==， 2.534 4.53.54y +++==，因为回归直线必过样本中心(),x y ， 所以0.7 3.50.7 4.50.35a y x =-=-⨯=， 因此0.70.35y x =+，所以当8x =时，0.780.35 5.95y =⨯+=. 故选：C. 【点睛】本题主要考查用回归直线求预测值，熟记回归直线的特征即可，属于基础题型. 6．现有4名男生，2名女生．从中选出3人参加学校组织的社会实践活动，在男生甲被选中的情况下，女生乙也被选中的概率为（ ） A ．23B ．35C ．12D ．25【答案】D【解析】设男生甲被选中为事件A ，女生乙也被选中为事件B ，分别求得1()2P A =，1()5P AB =，再结合条件概率的计算公式，即可求解.【详解】由题意，从现有4名男生，2名女生选出3人参加学校组织的社会实践活动，设男生甲被选中为事件A ，其概率为25361()2C P A C ==，设女生乙也被选中为事件B ，其概率为14361()5C P AB C ==，所以在男生甲被选中的情况下，女生乙也被选中的概率为()2(|)1()5215P AB P B A P A ===. 故选：D. 【点睛】本题主要考查了条件概率的求解，其中解答中正确理解题意，熟练应用条件概率的计算公式求解是解答的关键，着重考查推理与计算能力.7．在某区2020年5月份的高二期中质量检测中，学生的数学成绩服从正态分布()~98,100X N .且()881080.683P x ≤≤≈，()781180.954P x ≤≤≈，已知参加本次考试的学生有9460人，王小雅同学在这次考试中数学成绩为108分，则她的数学成绩在该区的排名大约是（ ） A ．2800 B ．2180C ．1500D ．6230【答案】C【解析】首先根据题意得到正态曲线的对称轴，再计算()108≥P x ，即可得到答案. 【详解】由题知：学生的数学成绩服从正态分布()~98,100X N 所以98μ=，10σ=. 所以()()11081881080.15852⎡⎤≥=-≤≤≈⎣⎦P x P x ， 即数学成绩高于108分的学生占总人数的0.1585，所以王小雅同学的数学成绩在该区的排名大约是94600.15851500⨯≈. 故选：C 【点睛】本题主要考查正态分布曲线的特点和曲线所表示的意义，属于简单题. 8．若函数ln y x ax =-有两个零点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．1,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．0,1【答案】C【解析】函数ln y x ax =-有两个零点等价于方程ln 0x ax -=有两个根，等价于y a =与ln (0)xyx x 图象有两个交点，通过导数分析ln (0)xy x x的单调性，根据图象即可求出求出a 的范围. 【详解】函数ln y x ax =-有两个零点，∴方程ln 0x ax -=有两个根，0x ，分离参数得ln xa x=， y a ∴=与ln (0)xyx x图象有两个交点， 令ln ()(0)xg x x x=>， 21ln '()xg x x，令'()0g x =，解得x e = 当0x e <<时，'()0g x >，∴()g x 在()0,e 单调递增，当x e >时，)'(0g x <，∴()g x 在(),e +∞单调递减，且()0>g x()g x ∴在x e =处取得极大值及最大值1(e)g e=， 可以画出函数()g x 的大致图象如下：观察图象可以得出10a e<<. 故选：C. 【点睛】本题主要考查函数零点的应用，构造函数求函数的导数，利用函数极值和导数之间的关系是解决本题的关键.二、多选题9．已知复数()(()()2131z m m m i m R =-+-∈，则下列说法正确的是（ ）A ．若0m =，则共轭复数13z i =B ．若复数2z =，则3m =C ．若复数z 为纯虚数，则1m =±D ．若0m =，则2420z z ++=【答案】BD【解析】根据每个选项里的条件，求出相应的结果，即可判断选项的正误.【详解】对于A ，0m =时，1z =-，则1z =-，故A 错误；对于B ，若复数2z =，则满足(()21210m m m ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩，解得m ，故B 正确；对于C ，若复数z为纯虚数，则满足(()21010m m m ⎧-=⎪⎨-≠⎪⎩，解得1m =-，故C 错误；对于D ，若0m =，则1z =-，()()221420412z z ++=+--++=，故D 正确. 故选：BD. 【点睛】本题主要考查对复数相关概念的理解，注意不同情形下的取值要求，是一道基础题. 10．若()()()()102100121021111x a a x a x a x +=+++++++，x ∈R ，则（ ）A ．01a =B ．()101021rr rr a C -=-，0,1,2,,10r =C ．12101a a a +++=D ．()()221002101393a a a a a a +++-+++=【答案】AD【解析】对于A ，令1x =-可求出0a 的值；对于B ，由于101010(21)[2(1)1][12(1)]x x x +=+-=-+，从而可求出其通项公式，从而可求出r a ；对于C ，先令0x =，求出01210a a a a ++++的值，再减去0a 可得1210a a a +++的值；对于D ，先令0x =，求出01210a a a a ++++的值，再令2x =-可求出01210a a a a -+-+的值，然后两式相乘可得()()220210139a a a a a a +++-+++的值.【详解】解：对于A ，令1x =-，则100(21)a -+=，得01a =，所以A 正确；对于B ，因为101010(21)[2(1)1][12(1)]x x x +=+-=-+，所以10(2)r r r a C =-，故B 错误；对于C ，令0x =，则012101a a a a ++++=，又因为01a =，所以12100a a a +++=，所以C 错误；对于D ，令2x =-，则012101010(41)3a a a a =-+-+=-+，即()()1002101393a a a a a a +++-+++=，因为()()02101391a a a a a a +++++++=，所以()()221002101393a a a a a a +++-+++=，所以D 正确，故选：AD 【点睛】此题主要考查二项式定理的应用，利用了赋值法求值，考查转化思想和计算能力，属于基础题.11．下列结论正确的是（ ）A ．463456A ⨯⨯⨯=B ．233667C C C +=C ．3885C C =D ．“仁义礼智信”为儒家“五常”，由伟大的教育家孔子提出，现将“仁义礼智信”排成一排，则“礼智”互不相邻的排法总数为72 【答案】ABCD【解析】分别计算各选项，即可判断正误. 【详解】 对于A ，121m n A n n n n m ，故A 正确；对于B ，2366152035C C ，3735C =，故B 正确； 对于C ，mn mnn C C ，故C 正确；对于D ，采用插空法，将“礼智”插入“仁义信”的4个空中，则一共有22342372C A A 种，故D 正确. 故选：ABCD. 【点睛】本题考查排列组合知识的应用，属于基础题.12．关于函数1()ln f x x x=+，下列说法正确的是（ ） A ．(1)f 是()f x 的极小值；B ．函数()y f x x =-有且只有1个零点C ．()f x 在(,1)-∞上单调递减；D ．设()()g x xf x =，则1g g e ⎛⎫< ⎪⎝⎭. 【答案】ABD【解析】由函数()f x 的定义域为(0,)+∞，可知选项C 错误，再利用导数求出极小值可判断选项A 正确；由1()ln y f x x x x x=-=+-求导，可判断该函数在(0,)+∞上单调递减且1x =时其函数值为0，可判断选项B 正确；对()()1ln g x xf x x x ==+求导，分析单调性，求出最小值可判断选项D 正确. 【详解】函数()f x 的定义域为(0,)+∞，可知C 错误， 对A ，22111()x f x x x x-'=-+=， 当(0,1)x ∈时，()0f x '<，函数()f x 在(0,1)上单调递减； 当(1,)x ∈+∞时，()0f x '>，函数()f x 在(1,)+∞上单调递增， 所以当1x =时，函数()f x 取得极小值(1)1f =，故A 正确； 对B ，1()ln y f x x x x x=-=+-，其定义域为(0,)+∞， 22222131112410x x x y x x x x ⎛⎫--- ⎪-+-⎝⎭=-+-==<'， 所以函数()y f x x =-在(0,)+∞上单调递减，又1x =时其函数值为0， 所以函数()y f x x =-有且只有1个零点，故B 正确； 对D ，()()1ln g x xf x x x ==+，其定义域为(0,)+∞，()ln 1g x x =+，令()0g x =，得1=x e，当1(0,)∈x e 时，()0g x '<，函数()g x 在1(0,)e上单调递减； 当1(,)∈+∞x e时，()0g x '>，函数()g x 在1(,)e+∞上单调递增， 所以当1=x e时，函数()g x 取得极小值1()g e ，也是最小值，所以1g g e ⎛⎫< ⎪⎝⎭，故D 正确. 故选：ABD 【点睛】本题主要考查导数在研究函数中的应用，属于中档题.三、填空题13．曲线()sin f x x =在点(0,(0))f 处的切线方程为________________． 【答案】y x =【解析】根据导数的几何意义，求得在点(0,(0))f 处的切线的斜率为1k =，进而可求解切线的方程，得到答案． 【详解】由题意，函数()sin f x x =，则()cos f x x '=，则(0)cos01f '==， 即在点(0,(0))f 处的切线的斜率为1k = 又由(0)sin 00f ==，即切点的坐标为(0,0)， 所以在点(0,0)处的切线的方程为y x =， 故答案为y x = 【点睛】本题主要考查了利用导数的几何意义求解在某点处的切线方程，其中解答中熟练应用导数的几何意义，求得切线的斜率是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．14．已知随机变量X 的概率分布为：则()3P X ≥=__________________. 【答案】0.38【解析】由分布列的性质求出=3X 时的概率，即可求出()3P X ≥. 【详解】()0.160.220.2430.100.060.01=1P X +++=+++ ()30.21P X ∴==()()()()()3=3=4=5=6=0.210.100.060.01=0.38P X P X P X P X P X ∴≥=++++++故答案为：0.38 【点睛】本题考查离散型随机变量分布列性质的应用以及求概率，属于基础题. 15．多项式()()3254321012345212x x a x a x a x a x a x a ++=+++++，则1a =_______________.【答案】44【解析】由于()()()223321221(44)x x x x x ++=+++，所以1a 等于3(21)x +展开式的2次项系数与4乘以3(21)x +展开式的3次项系数的和. 【详解】解：3(21)x +的通项公式为3332r r rr T C x --=，因为()()()223321221(44)x x x x x ++=+++，所以1203133242123244a C C =⋅+⨯⋅=+=,故答案为：44 【点睛】此题考查二项式定理的应用，考查求二项式展开式中指定项的系数，属于基础题四、双空题16．某学校组织教师进行“学习强国”知识竞赛，规则为：每位参赛教师都要回答3个问题，且对这三个问题回答正确与否相互之间互不影响，已知对给出的3个问题，教师甲答对的概率分别为34，12，p .若教师甲恰好答对3个问题的概率是14，则p =________，在前述条件下，设随机变量X 表示教师甲答对题目的个数，则X 的数学期望为_______________. 【答案】23 2312【解析】(1)根据恰好答对3个问题的概率是14，可以列式子311424p ⨯⨯=，即可求出p ；(2)先将答对不同题目个数的概率计算出来，再根据数学期望的计算方法即可计算出来. 【详解】 （1）教师甲恰好答对3个问题的概率是14， 311424p ， 23p ∴=； （2）教师甲答对题目的个数X 可取值为0，1，2，3，1111042324P X , 311111112114234234234P X , 11231231111242342342324P X , 134P X , ∴X 的数学期望为111112312324424412. 故答案为：（1）23（2）2312. 【点睛】本题主要考查随机事件的概率的求法以及数学期望的求法，是一道基础题.五、解答题17．某市第一批支援湖北抗疫医疗队共10人，其中有2名志愿者、3名医生、5名护士，现根据需要，从中选派3名队员到J 医院参与救治工作. （1）求志愿者、医生、护士各选1人的概率； （2）求至少选1名医生的概率.【答案】（1）14（2）1724. 【解析】（1）先计算出所有的选派方法310C ，再计算出志愿者、医生、护士各选1人的方法，即可求出概率；（2）先求出对立事件的概率，即不选医生的概率，即可求出至少选1名医生的概率. 【详解】（1）记“志愿者、医生、护土各选1人”为事件A ，()11123510314C C C P A C ==， 所以志愿者、医生，护士各选1人的概率为14； （2）记“至少选1名医生”为事件B ，则事件B 的对立事件为“不选医生”，记作事件B ，37310724C P BC , ()()17124P B P B ∴=-=, 所以至少选1名医生的概率为1724. 【点睛】本题主要考查排列、组合、及简单计数问题，解决此题的方法是计算对立事件的数目，含有“至多”“至少”等词语的事件一般是从对立事件入手.18．已知多项式12nx ⎫-⎪⎭的展开式中，第3项与第5项的二项式系数之比为2：5. （1）求n 的值；（2）求展开式中含x 项的系数. 【答案】（1）8；（2）7.【解析】（1）根据二项式系数的比值列式求解n ； （2）先求出展开式的通项，然后求解所求项的系数．【详解】（1）因为多项式12nx ⎫⎪⎭的展开式中第3项、第5项二项式系数分别为2n C ，4n C ，又第3项与第5项的二项式系数之比为2：5.所以，2425n n C C =，.即()()()()122112354321n n n n n n -⨯=---⨯⨯⨯， 化简得25240n n --=，解得8n =或3n =-（舍去）； 故n 的值为8.（2）又因为展开式通项83821881122rx rr r rr T C C xx --+⎛⎫⎛⎫=⋅-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 当8312r-=时，解得2r ；.所以2238172T C x x ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭， 所以展开式中含x 项的系数为7. 【点睛】该题考查的是有关二项式定理的问题，涉及到的知识点有给定项的二项式系数，利用通项求特定项的系数，属于简单题目. 19．已知函数()33f x ax x =-在2x =处取得极值. （1）求实数a 的值；（2）若过点()1,P t 存在3条直线与曲线()y f x =相切，求实数t 的取值范围. 【答案】（1）2a =；（2）()3,1--. 【解析】（1）由已知得'02f ⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭，解得2a =，再对函数()f x 求导，验证函数()f x在x =处取得极值； （2）设切点为()3,23x x x -，则切线的斜率为3223631x x tx x --=--，则过点P 存在3条直线与曲线()y f x =相切，等价于方程324630x x t -++=有3个不同的实数解.设()32463p x x x t =-++，即需()0p x =有3解，()()'121p x x x =-，令()'p x =得0x =或1x =.需()()0010p p ⎧>⎪⎨<⎪⎩，解之得可得实数t 的取值范围.【详解】（1）因为函数()33f x ax x =-在x =处取得极值.由()'233f x ax =-，知2'33022f a ⎛⎫⎛=-= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭，解得2a =；.当2a =时，()323f x x x =-，()263f x x ='-，令()0f x '=，2x =±；∴,2x ⎛∈-∞- ⎝⎭，()'0f x >，()f x 在,2⎛-∞- ⎝⎭上单调递增；22x ⎛∈- ⎝⎭，()'0f x <，()f x 在,22⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭单调递减x ⎛⎫∈ ⎝∞ +⎪⎪⎭，()'0f x >，()f x 在⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增；所以2a =时，函数()f x 在x =处取得极小值. （2）设切点为()3,23x x x -，则切线的斜率为3223631x x tx x --=--，整理得：324630x x t -++=，则过点P 存在3条直线与曲线()y f x =相切 等价于方程324630x x t -++=有3个不同的实数解.. 设()32463p x x x t =-++，()()'121p x x x =-，令()'0p x =得0x =或1x =.当(),0x ∈-∞时，()0p x '>，()p x 在(),0-∞上单调递增，当()0,1x ∈时，()0p x '<，()p x 在()0,1上单调递减，当()1,x ∈+∞时，()0p x '>，()p x 在()1,+∞上单调递增，.()0p x =有3解，则()()0010p p ⎧>⎪⎨<⎪⎩，解之得31t -<<-.所以实数t 的取值范围为()3,1--.【点睛】本题考查利用函数的导函数研究函数的极值，切线的条数等相关问题，属于较难题. 20．冠状病毒是一个大型病毒家族，今年出现的新型冠状病毒（nCoV）是以前从未在人体中发现的冠状病毒新毒株.（1）某科研团队为研究潜伏期与新冠肺炎患者年龄的关系，组织专家统计了该地区新冠肺炎患者新冠病毒潜伏期的相关信息，其中被统计的患者中60岁以下的人数与60岁以上的人数相同，60岁以下且潜伏期在7天以下的人数约占15，60岁以上且潜伏期在7天以下的人数约占35，若研究得到在犯错误概率不超过0.010的前提下，认为潜伏期与新冠肺炎患者年龄有关，现设被统计的60岁以上的人员人数为5x，请完成下面2×2列联表并计算被统计的60岁以上的人员至少多少人？附1：()()()()()22n ad bcXa b c d a c b d-=++++，其中n a b c d=+++（2）某地区的新冠肺炎治愈人数y（人）与3月份的时间x（日）满足回归直线方程ˆˆˆy bx a=+，统计数据如下：已知5=11405i i y y ==∑，52=190i i x =∑，5=1885i i i x y =∑，请利用所给数据求t 和回归直线方程ˆˆˆybx a =+； 附2：()1221ˆni ii ni i x y nx ybx n x ==-⋅=-∑∑，ˆˆay bx =-. 【答案】（1）填表见解析；被统计的60岁以上的人员人数至少为20人；（2）60t =；ˆ8.56yx =+. 【解析】（1）根据题意填写列联表，计算观测值，对照临界值列出不等式，从而求得结果；（2）由题意求出回归系数，写出回归方程． 【详解】解：（1）因为被统计的患者中60岁以下的人数与60岁以上的人数相同，60岁以下且潜伏期在7天以下的人数约占15， 60岁以上且潜伏期在7天以下的人数约占35，由被统计的60岁以上的人员人数为5x ， 填写22⨯列联表如下；计算()()()()()()22210?·24?355?5?4?63n ad bc x x x x x xX a b c d a c b d x x x x--===++++， 因为犯错误概率不超过0.010的前提，所以5 6.6353x，519.905x ， 所以被统计的60岁以上的人员人数至少为20人． （2）由统计数据如下表，且511405i i y y ===∑，52190ii x==∑，51885i i i x y ==∑，由40y =，得4052530404560t =⨯----=，所以()51522215?88554408.59054ˆ5i ii i i x y x ybx x ==--⨯⨯===-⨯-∑∑， ˆˆ408.546ay bx =-=-⨯=； 所以y 关于x 的回归方程为ˆ8.56yx =+． 【点睛】本题考查了列联表与独立性检验的应用问题，也考查了线性回归方程的计算问题，是中档题．21．2019年《少年的你》自上映以来引发了社会的广泛关注，特别引起了在校学生情感共鸣，现假如男生认为《少年的你》值得看的概率为45，女生认为《少年的你》值得看的概率为34，某机构就《少年的你》是否值得看的问题随机采访了4名学生（其中2男2女）（1）求这4名学生中女生认为值得看的人数比男生认为值得看的人数多的概率； （2）设ζ表示这4名学生中认为《少年的你》值得看的人数，求ζ的分布列与数学期望.【答案】（1）87400；（2）分布列见解析；期望为3110. 【解析】（1）对于事件“这4名学生中女生认为值得看的人数比男生认为值得看的人数多”分三种情况：认为值得看的人中有：1名男生，2名女生；无男生，1名女生；无男生，2名女生.分别求得相应的概率，再相加可得答案.（2）随机变量ξ的可能取值为0，1，2，3，4，.分别求得随机变量取值的概率，构成分布列，再利用离散型随机变量的分布列的期望公式求得答案.【详解】（1）设X 表示2名男生中认为值得看的人数，Y 表示2名女生中认为值得看的人数. 设“这4名观众中女生认为值得看的人数比男生认为值得看的人数多”为事件A ，. 又因为男生认为《少年的你》值得看的概率为45，女生值得看的概率为34所以()()()()1, 20, 10, 2P A P X Y P X Y P X Y ===+==+==22221122341113318745554445400C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅+⋅+⋅=⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 所以女生认为值得看的人数比男生认为值得看的人数多的概率为87400. （2）ξ的可能取值为0，1，2，3，4，.()()2202211100,054400P P X Y C C ξ⎛⎫⎛⎫=====⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()()()22100212224111311411,00,1554544400P P X Y P X Y C C C C ξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫====+===⋅+⋅= ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()()()()22,01,10,2P P X Y P X Y P X Y ξ====+==+==2222201102222222414113137354554454400C C C C C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅+⋅+⋅= ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ()()()221221222241343116831,22,1554544400P P X Y P X Y C C C C ξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫====+===⋅+⋅= ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()()2222224314442,254400P P X Y C C ξ⎛⎫⎛⎫=====⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以ξ的分布列为：所以114731681441240310123440040040040040040010E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==， 所以数学期望为3110. 【点睛】本题考查相互独立事件的概率，概率的加法公式，离散型随机变量的分布列以及其期望公式，属于中档题.22．设函数()xf x xe =，()()xg x a e e=-，（1）设()()()x xf x g x ϕ=-，讨论()ϕx 的单调性；（2）若不等式()()0f x g x +>对()1,∈+∞x 恒成立，求整数a 的最大值. 【答案】（1）见解析（2）3.【解析】（1）由题可得()()2xxx x e a e eϕ=--，利用()ϕx 的导数来讨论单调性；（2）先将不等式中的参数a 分离，然后构造函数，将不等式的恒成立转化为求函数的最值，然后利用函数的导数讨论函数的单调性，从而求出函数的最值，最终求出a 的最大值. 【详解】（1）因为()xf x xe =，()()xg x a e e=-，()()()x xf x g x ϕ=-，∴()()2x x x x e a e e ϕ=--，()()22x x e x x a ϕ'∴=++，令22y x x a =++，则44a ∆=-，①当1a ≥时，()0x ϕ'≥，()ϕx 在(),-∞+∞上单调递增，②当1a <时，令()0x ϕ'=，1x =-±当(,1x ∈-∞-，()0ϕ'>x ，()ϕx 在(,1-∞-上单调递增，当(11x ∈--+，()0ϕ'<x ，()ϕx 在(11--+上单调速减，当()1x ∈-++∞，()0ϕ'>x ，()ϕx 在()1-++∞上单调递增， 综上：当1a ≥时，()ϕx 在(),-∞+∞上单调递增；当1a <时，()ϕx在(,1-∞--，()1-+∞上单调递增；在(11--+上单调递减； （2）当()1,∈+∞x 时，()0xxxe a e e->+恒成立，等价于当()1,∈+∞x 时，xx xe a e e >-恒成立，令()xx xe t x e e=-，()1,∈+∞x ，()()()2x x xe e ex e t x ee --'∴=-，令()xx x e e m e --=，()1,∈+∞x ，()0x m x e e '∴=->， ()x e x e x e m -∴-=在1,上单调递增，()2230m e e =-<，()3340m e e =->，()m x ∴'在()2,3上有唯一零点0x ，且00x e ex e =+，()02,3x ∈，()t x ∴在()01,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增， ()()()()00000000min13,4x x x ex e x e t x t x x e e ex +∴====+∈-，()013,4a x ∴<+∈，∴a 的最大值为3.【点睛】本题考查利用导数讨论函数的单调性，以及利用导数解决不等式的恒成立问题，合理的构造函数是解决问题的关键，是一道综合题.。
2019-2020学年江苏省淮安市淮阴中学高二下学期期末数学试卷 (解析版)
2019-2020学年江苏淮安市淮阴中学高二第二学期期末数学试卷一、选择题（共10小题）.1．集合A＝{x|﹣1≤x≤2}，B＝{x|x＜1}，则A∩B＝（）A．{x|x＜1}B．{x|﹣1≤x≤2}C．{x|﹣1≤x≤1}D．{x|﹣1≤x＜1} 2．已知x与y之间的一组数据：x0123y1357则y与x的线性回归方程＝bx+必过点（）A．（2，2）B．（1.5，4）C．（1，2）D．（2.5，4）3．已知α∈{﹣3，﹣2，，2}，若幂函数f（x）＝xα为奇函数，且在（0，+∞）上单调递减，则α的值为（）A．﹣3B．﹣2C．D．24．为了得到函数y＝lg的图象，只需把函数y＝lgx的图象上所有的点（）A．向左平移3个单位长度，再向上平移I个单位长度B．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度C．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度D．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度5．不等式＞1的解集为（）A．{x＜﹣1或x＞3}B．{x＜﹣1或1＜x＜3}C．{x|﹣1＜x＜1或x＞3}D．{x|﹣1＜x＜1或1＜x＜3}6．已知随机变量X～N（2，σ2），P（X≤4）＝0.8，那么P（2≤X≤4）的值为（）A．0.2B．0.3C．0.4D．0.87．用数字0，1，2，3，4这五个数字组成的无重复数字的四位偶数的个数为（）A．64B．88C．72D．608．若存在实数x使得不等式|x+1|﹣|x﹣1|≤a2﹣3a成立，则实数a的取值范围为（）A．（﹣∞，]∪[，+∞）B．（﹣∞，﹣2]∪[1，+∞）C．[1，2]D．（﹣∞，1]∪[2，+∞）9．设a，b都是不等于1的正数，则“log a3＞log b3＞1”是“3a＜3b”的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件10．（x2+2）3（﹣1）7展开式中常数项是（）A．15B．﹣15C．7D．﹣7二、多选题（共2小题）.11．下列说法正确的是（）A．函数y＝与函数y＝log33x是同一函数B．函数y＝的值域是（﹣∞，4]C．若奇函数f（x）对定义域内任意x都有f（x）＝f（2﹣x），则f（x）为周期函数D．函数y＝|x|sin x为R上奇函数12．已知函数f（x）＝，则方程f2（x）﹣2f（x）+a2﹣1＝0的根的个数可能为（）A．2B．6C．5D．4三、填空题（共4小题）.13．函数f（x）＝的定义域是．14．设函数f（x）＝x3+（a﹣1）x2+ax为奇函数，则曲线y＝f（x）在点x＝1处的切线方程为．15．设0＜p＜1，随机变量ξ的分布列是ξ012p2c2c c 则实数c的值为；随机变量ξ的方差为．16．已知动抛物线y＝x2+ax+b（其中a∈R，b≤0）与动直线y＝t（t≥1）交于A、B两点且与动直线y＝t+1交于C、D两点，ABCD构成一个梯形，S为这个梯形的面积，AD为其一腰长，则S2+16AD2的最小值为．四、解答题17．设（1+2x）n＝a0+a1x+…+a n x n，其中n∈N*，a0，a1，……，a n∈R．（1）若n＝6，写出二项展开式第四项；（2）若n＝8，求出a0+a2+a4+a6+a8的值．18．现有大小相同的7只球，其中2只不同的红球，2只不同的白球，3只不同的黑球．（1）将这7只球排成一列且相同颜色的球必须排在一起，有多少种排列的方法？（请用数字作答）（2）将这7只球分成三堆，三堆的球数分别为：1，3，3，共有多少种分堆的方法？（请用数字作答）（3）现取4只球，求各种颜色的球都必须取到的概率．（请用数字作答）19．设函数f（x）＝a x+mb x，其中a，m，b∈R．（1）若a＝2，b＝且f（x）为R上偶函数，求实数m的值；（2）若a＝4，b＝2且f（x）在R上有最小值，求实数m的取值范围；（3）a∈（0，1），b＞1，解关于x的不等式f（x）＞0．20．设U＝R，A＝{x||x+1|＞1），B＝{x|x2+（m+1）x+3m＜0}．（1）求集合A；（2）若B＝∅，求实数m的取值范围；（3）若A∪B＝R，求实数m的取值范围．21．江苏实行的“新高考方案：3+1+2”模式，其中统考科目：“3”指语文、数学、外语三门，不分文理：学生根据高校的要求，结合自身特长兴趣，“1”指首先在在物理、历史2门科目中选择一门：“2”指再从思想政治、地理、化学、生物4门科目中选择2门．某校根据统计选物理的学生占整个学生的；并且在选物理的条件下，选择地理的概率为；在选历史的条件下，选地理的概率为．（1）求该校最终选地理的学生概率；（2）该校甲、乙、丙三人选地理的人数设为随机变量X．①求随机变量X＝2的概率；②求X的概率分布表以及数学期望．22．已知函数f（x）＝xlnx，函数g（x）＝x3﹣ax2，a为实数．（1）若g（x）≥a2在[1，+∞）上恒成立，求实数a的取值范围；（2）求证：实数b＞0时，f（x）﹣b在（1，+∞）仅有一个零点；（3）若h（x）＝﹣g（x），是否存在实数x1，x2，其中x1＞1，x2＞0，使得f（x）在x1处的切线与h（x）在x2处的切线重合，若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．参考答案一、单选题（共10小题）.1．集合A＝{x|﹣1≤x≤2}，B＝{x|x＜1}，则A∩B＝（）A．{x|x＜1}B．{x|﹣1≤x≤2}C．{x|﹣1≤x≤1}D．{x|﹣1≤x＜1}【分析】利用交集和数轴即可求出A∩B．解：A∩B＝{x|﹣1≤x≤2}∩{x|x＜1}＝{x|﹣1≤x≤2，且x＜8}＝{x|﹣1≤x＜1}．故选：D．2．已知x与y之间的一组数据：x0123y1357则y与x的线性回归方程＝bx+必过点（）A．（2，2）B．（1.5，4）C．（1，2）D．（2.5，4）【分析】先分别计算平均数，可得样本中心点，利用线性回归方程必过样本中心点，即可得到结论．解：由题意，＝（0+1+2+6）＝1.5，＝（1+4+5+7）＝4∴x与y组成的线性回归方程必过点（1.5，4）故选：B．3．已知α∈{﹣3，﹣2，，2}，若幂函数f（x）＝xα为奇函数，且在（0，+∞）上单调递减，则α的值为（）A．﹣3B．﹣2C．D．2【分析】利用幂函数的性质求解．解：∵幂函数f（x）＝xα为奇函数，且在（0，+∞）上单调递减，∴α为奇数且α＜0，故选：A．4．为了得到函数y＝lg的图象，只需把函数y＝lgx的图象上所有的点（）A．向左平移3个单位长度，再向上平移I个单位长度B．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度C．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度D．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度【分析】直接利用对数的关系式的变换和函数的图象的平移变换的应用求出结果．解：y＝lg＝lg（x﹣3）﹣1．所以要得到函数y＝lg的图象，只需将函数lgx的图象向右平移3个单位，在将函数的图象向下平移1个单位即可．故选：D．5．不等式＞1的解集为（）A．{x＜﹣1或x＞3}B．{x＜﹣1或1＜x＜3}C．{x|﹣1＜x＜1或x＞3}D．{x|﹣1＜x＜1或1＜x＜3}【分析】通过讨论x的范围，得到关于x的不等式组，解出即可．解：∵＞1，∴＞0，解得：﹣2＜x＜1或x＞3，故选：C．6．已知随机变量X～N（2，σ2），P（X≤4）＝0.8，那么P（2≤X≤4）的值为（）A．0.2B．0.3C．0.4D．0.8【分析】根据P（2≤X≤4）＝P（X≤4）﹣P（X＜2）计算．解：∵随机变量X～N（2，σ2），∴P（X＜2）＝0.5，∴P（2≤X≤4）＝P（X≤4）﹣P（X＜2）＝0.3．故选：B．7．用数字0，1，2，3，4这五个数字组成的无重复数字的四位偶数的个数为（）A．64B．88C．72D．60【分析】根据题意，分四位偶数的个位是否为0两种情况讨论，求出每种情况下四位偶数的数目，由加法原理计算可得答案．解：根据题意，分2种情况讨论：①当个位是数字0时，剩下的4个数字中任选3个，安排在千、百、十位，可以组成A43＝24个四位偶数，②当个位不是5时，个位可以是2，4，有两种选法，千位有3种选法，中间两位可以从余下的4个数字中选两个，共有C26C31A32＝36种四位偶数，故选：D．8．若存在实数x使得不等式|x+1|﹣|x﹣1|≤a2﹣3a成立，则实数a的取值范围为（）A．（﹣∞，]∪[，+∞）B．（﹣∞，﹣2]∪[1，+∞）C．[1，2]D．（﹣∞，1]∪[2，+∞）【分析】先求出f（x）＝|x+1|+|x﹣1|的最小值为﹣2，转化为a2﹣3a≥﹣2，即可求出a 的范围．解：令f（x）＝|x+1|﹣|x﹣1|＝，则﹣2≤f（x）≤2，即﹣2≤|x+6|﹣|x﹣1|≤2，则a2﹣3a≥﹣2，故选：D．9．设a，b都是不等于1的正数，则“log a3＞log b3＞1”是“3a＜3b”的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件【分析】由已知结合对数不等式的性质可得1＜a＜b＜3，得到3a＜3b；反之，由3a＜3b，不一定有log a3＞log b3＞1成立，再由充分必要条件的判定得答案．解：a，b都是不等于1的正数，由log a3＞log b3＞1，得1＜a＜b＜3，∴4a＜3b；∴“log a3＞log b3＞1”是“3a＜3b”的充分不必要条件．故选：B．10．（x2+2）3（﹣1）7展开式中常数项是（）A．15B．﹣15C．7D．﹣7【分析】分别求出两个二项式的展开式，相乘，令指数为0，即可求得结论．解：（x2+2）8展开式的通项为T r+1＝2r x6﹣2r（0≤r≤5）（﹣1）5展开式的通项为T k+1＝（﹣1）k x2k﹣14（0≤k≤5）令2k﹣2r﹣8＝0，则k﹣r＝8，所以（x2+2）3（﹣1）7展开式中常数项为故选：B．二、多选题（每题5分，共10分）11．下列说法正确的是（）A．函数y＝与函数y＝log33x是同一函数B．函数y＝的值域是（﹣∞，4]C．若奇函数f（x）对定义域内任意x都有f（x）＝f（2﹣x），则f（x）为周期函数D．函数y＝|x|sin x为R上奇函数【分析】A从函数定义域考虑，B从函数值域考虑，C经过计算得出函数周期为4，D用函数奇偶性判断出是奇函数．解：A选项错在两函数的定义域不同，B选项由指数函数值域恒大于0以及偶次根式一定大于等于0得出该函数值域为[0，4）．C选项由f（x）＝f（2﹣x）得f（﹣x）＝f（7+x）＝﹣f（x），f（4+x）＝﹣f（2+x），所以f（4+x）＝f（x），求出周期为4．D选项|x|为偶函数，sin x为奇函数，所以整个函数为奇函数．故选：CD．12．已知函数f（x）＝，则方程f2（x）﹣2f（x）+a2﹣1＝0的根的个数可能为（）A．2B．6C．5D．4【分析】画出函数f（x）的图象，对a分类可得关于f（x）的一元二次方程根的情况，数形结合可得方程f2（x）﹣2f（x）+a2﹣1＝0的根的个数的可能取值．解：画出f（x）＝的图象如图，△＝4﹣4（a2﹣1）＝8﹣4a2．若a＝，则f2（x）﹣2f（x）+a7﹣1＝0化为f2（x）﹣2f（x）+1＝0，即f（x）＝3，若＜a＜﹣1或1＜a＜，则f（x）＝5﹣∈（0，1），或f（x）＝1+∈（1，2），若a＝±1，则f（x）＝0或f（x）＝2，方程f2（x）﹣2f（x）+a2﹣1＝3的根的个数为4个；方程f2（x）﹣2f（x）+a2﹣1＝0的根的个数为4个．故选：ACD．三、填空题（每题5分，共20分）13．函数f（x）＝的定义域是（0，2]．【分析】要是解析式有意义，只要1﹣log2x≥0，log2x≤1，结合对数函数的图象或单调性求解即可．解：1﹣log2x≥0，log2x≤1＝log22，故0＜x≤2．故答案为：（0，2]14．设函数f（x）＝x3+（a﹣1）x2+ax为奇函数，则曲线y＝f（x）在点x＝1处的切线方程为4x﹣y﹣2＝0．【分析】利用函数的奇偶性求出a，求出函数的导数，求出切线的向量然后求解切线方程．解：函数f（x）＝x3+（a﹣1）x2+ax，因为f（x）为奇函数，所以a＝1，可得函数f（x）＝x3+x，可得f′（x）＝3x2+1，f（1）＝2；则曲线y＝f（x）在点（1，2）处的切线方程为：y﹣2＝8（x﹣1）．即y＝4x﹣2．故答案为：4x﹣y﹣2＝0．15．设0＜p＜1，随机变量ξ的分布列是ξ012p2c2c c 则实数c的值为；随机变量ξ的方差为．【分析】利用分布列的性质求出c，然后求解期望以及方差即可．解：由题意可得：2c2+＝1，解得c＝．所以Eξ＝0×+1×+2×＝，故答案为：；．16．已知动抛物线y＝x2+ax+b（其中a∈R，b≤0）与动直线y＝t（t≥1）交于A、B两点且与动直线y＝t+1交于C、D两点，ABCD构成一个梯形，S为这个梯形的面积，AD为其一腰长，则S2+16AD2的最小值为20．【分析】可设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），且x1＜x2，x4＜x3，联立y＝t与抛物线的方程，以及y＝t+1与抛物线的方程，运用韦达定理和求根公式，求得|AB|，|CD|，|AD|，再由梯形的面积公式和勾股定理、换元法和基本不等式可得所求最小值．解：可设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x5，y3），D（x4，y4），且x1＜x2，x2＜x3，由y＝t与y＝x2+ax+b联立，可得x2+ax+b﹣t＝0，x1+x6＝﹣a，x1x2＝b﹣t，则|AB|＝|x1﹣x2|＝＝，则△2＝a2﹣4（b﹣t﹣1），由于b≤0，t≥7，可得△2＞0恒成立，可得S＝（|AB|+|CD|）×1＝（+），设u＝，v＝，则v2﹣u2＝4，即v﹣u＝，当且仅当（u+v）7＝即u+v＝4时，上式取得等号．故答案为：20．四、解答题17．设（1+2x）n＝a0+a1x+…+a n x n，其中n∈N*，a0，a1，……，a n∈R．（1）若n＝6，写出二项展开式第四项；（2）若n＝8，求出a0+a2+a4+a6+a8的值．【分析】（1）由二项式展开式公式即可求得第四项；（1）分别令x＝1，x＝﹣1，计算即可得结论．解：（1）n＝6时，二项式展开式第四项为T4＝（2x）3＝160x3．（2）（1+2x）8＝a0+a1x+…+a3x8，令x＝﹣1，1＝a0﹣a1+a2﹣…+a6，所以a0+a2+a4+a6+a7＝，18．现有大小相同的7只球，其中2只不同的红球，2只不同的白球，3只不同的黑球．（1）将这7只球排成一列且相同颜色的球必须排在一起，有多少种排列的方法？（请用数字作答）（2）将这7只球分成三堆，三堆的球数分别为：1，3，3，共有多少种分堆的方法？（请用数字作答）（3）现取4只球，求各种颜色的球都必须取到的概率．（请用数字作答）【分析】（1）根据题意，用捆绑法分析：将三种颜色的球都分别看成整体，再将三个整体之间进行排列，由分步计数原理计算可得答案；（2）根据题意，由平均分组和不平均分组公式直接计算可得答案；（3）根据题意，由组合数公式计算从7只球中任取4个的情况数目，由加法原理分析三种颜色都有的情况数目，由古典概型公式计算可得答案．解：（1）根据题意，将2只不同的红球看成一个整体，有A22＝2种顺序，2只不同的白球，有A26＝2种顺序，三个整体之间进行排列，有A33＝4种情况（2）根据题意，将这7只球分成1，3，8的三堆，有＝70种排法；其中三种颜色都有的情况有C22C71C31+C21C22C31+C21C41C32＝24种，则各种颜色的球都必须取到的概率P＝，19．设函数f（x）＝a x+mb x，其中a，m，b∈R．（1）若a＝2，b＝且f（x）为R上偶函数，求实数m的值；（2）若a＝4，b＝2且f（x）在R上有最小值，求实数m的取值范围；（3）a∈（0，1），b＞1，解关于x的不等式f（x）＞0．【分析】（1）运用偶函数的定义可得f（﹣1）＝f（1），解方程可得m，检验即可；（2）可令t＝2x，t＞0，可设g（t）＝t2+mt，结合二次函数的最值求法可得m的范围；（3）由题意可得（）x＞﹣m，讨论m≥0，m＜0，结合指数函数的值域和单调性，可得解集．解：（1）当a＝2，b＝时，f（x）＝2x+m•（）x，所以f（﹣1）＝+2m，f（1）＝4+m，可得f（﹣1）＝f（1），即+2m＝2+m，此时f（x）＝2x+（）x，f（﹣x）＝（）x+2x，所以m＝3；可令t＝2x，t＞0，则g（t）在（0，+∞）有最小值，可得﹣＞0，（3）f（x）＝a x+m•b x＞6，所以a x＞﹣m•b x，因为a∈（0，1），b＞1，所以，当﹣m≤4即m≥0时，原不等式的解集为R；当﹣m＞0，即m＜0时，原不等式的解集为（﹣log（﹣m））．20．设U＝R，A＝{x||x+1|＞1），B＝{x|x2+（m+1）x+3m＜0}．（1）求集合A；（2）若B＝∅，求实数m的取值范围；（3）若A∪B＝R，求实数m的取值范围．【分析】（1）解绝对值不等式即可得出A＝{x|x＜﹣2或x＞0}；（2）B＝∅时，可得出不等式x2+（m+1）x+3m＜0无解，从而得出△≤0，然后即可得出m的取值范围；（3）根据题意，首先根据△＞0得出或，然后根据A∪B＝R即可得出，然后解出m的范围即可．解：（1）A＝{x|x＜﹣2或x＞0}；（2）若B＝∅，则不等式x2+（m+1）x+3m＜0无解，∴m的取值范围为；设x1，x6为x2+（m+1）x+3m＝0的两个根，则B＝（x1，x2），∴，解得m＜﹣2，综上得，m的取值范围为（﹣∞，﹣2）．21．江苏实行的“新高考方案：3+1+2”模式，其中统考科目：“3”指语文、数学、外语三门，不分文理：学生根据高校的要求，结合自身特长兴趣，“1”指首先在在物理、历史2门科目中选择一门：“2”指再从思想政治、地理、化学、生物4门科目中选择2门．某校根据统计选物理的学生占整个学生的；并且在选物理的条件下，选择地理的概率为；在选历史的条件下，选地理的概率为．（1）求该校最终选地理的学生概率；（2）该校甲、乙、丙三人选地理的人数设为随机变量X．①求随机变量X＝2的概率；②求X的概率分布表以及数学期望．【分析】（1）根据相互独立事件的概率公式计算即可；（2）①根据二项分布概率计算公式计算即可；②先利用二项分布概率计算公式分别计算出X＝0，1，2，3时的概率，再画出概率分布表，结合数学期望计算公式即可求解数学期望．解：（1）该校最终选地理的学生为事件A，．②，，X6123P．22．已知函数f（x）＝xlnx，函数g（x）＝x3﹣ax2，a为实数．（1）若g（x）≥a2在[1，+∞）上恒成立，求实数a的取值范围；（2）求证：实数b＞0时，f（x）﹣b在（1，+∞）仅有一个零点；（3）若h（x）＝﹣g（x），是否存在实数x1，x2，其中x1＞1，x2＞0，使得f（x）在x1处的切线与h（x）在x2处的切线重合，若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．【分析】（1）求出函数的导数，根据函数的单调性求出a的范围即可；（2）令m（x）＝f（x）﹣b＝xlnx﹣b，x＞1，求出函数的单调性，结合零点存在性定理证明即可；（3）求出a＝，得到lnx1+1＝+，令l（x2）＝+，根据导函数求出x2＝，求出lnx1+1≥3，结合函数的单调性判断即可．解：（1）若g（x）≥a2在[1，+∞）上恒成立，故1﹣a≥a2，故a∈[，]，故g（x）在[1，+∞）递增，故a∈[，]；故m（x）在（1，+∞）递增，又b＞0，故m（1）•m（e b）＜4，且m（x）的图象不间断，m（x）在（1，+∞）递增，（3）h（x）＝﹣x3+ax2，h′（x）＝﹣3x3+2ax，f′（x）＝lnx+1，l2：y+﹣a＝（﹣3+2ax2）（x﹣x2），即y＝（﹣3+2ax2）x+2﹣a，故lnx8+1＝﹣3+7•x2＝lnx1+1＝+，令l（x2）＝+，l（x）在（8，）递减，在（，+∞）递增，故8≥3﹣lnx7﹣1，令t＝，t＞8，故t（x）在（1，+∞）递增，而n（x）＝3﹣lnx1﹣1＞n（1）＝8，故不存在．。
江苏省淮安市2019-2020学年数学高二第二学期期末质量检测试题含解析
江苏省淮安市2019-2020学年数学高二第二学期期末质量检测试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）1．从1，2，3，4，5中不放回地依次选取2个数，记事件A =“第一次取到的是奇数”，事件B =“第二次取到的是奇数”，则(|)P B A =（ ）A ．12B ．25C ．310D ．152．设,a b ∈R ，则“1a ≥，且1b ≥”是“2a b +≥”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：根据表中数据可得回归直线方程0.76y x a =+，据此估计，该社区一户年收入为20万元家庭的年支出约为( ) A ．15.2B ．15.4C ．15.6D ．15.84．《数术记遗》是《算经十书》中的一部，相传是汉末徐岳（约公元2世纪）所著，该书主要记述了：积算（即筹算）太乙、两仪、三才、五行、八卦、九宫、运筹、了知、成数、把头、龟算、珠算计数14种计算器械的使用方法某研究性学习小组3人分工搜集整理14种计算器械的相关资料，其中一人4种、另两人每人5种计算器械，则不同的分配方法有（ ）A ．455314105322C C C A AB．455214105233C C C A AC ．4551410522C C C AD ．45514105C C C5．从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为60︒的共有（ ） A ．24对B ．30对C ．48对D ．60对6．设函数y =A ，函数3x y=的值域为B ，则A B =（ ）A ．(0,1)B ．(0,1]C ．[1,1]-D ．(0,)+∞7．已知函数()cos sin 4f x x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，则函数()f x 满足（ ） A ．最小正周期为2T π=B ．图像关于点,8π⎛ ⎝⎭对称C ．在区间0,8π⎛⎫⎪⎝⎭上为减函数D ．图像关于直线8x π=对称8．以下四个命题中，真命题有（ ）．A ．:sin p y x =是周期函数，q ：空集是集合A 的子集，则p q ∨为假命题B ．“x ∀∈R ，210x x ++>”的否定是“0x ∃∈R ，20010x x ++<”C ．“a b >”是“33log log a b >”的必要不充分条件D ．已知命题p ：“如果0xy =，那么0x =或0y =”，在命题p 的逆命题，否命题，逆否命题三个命题中，真命题的个数有2个．9．在15个村庄中有7个村庄交通不方便，现从中任意选10个村庄，用X 表示这10个村庄中交通不方便的村庄数，下列概率等于4637787810101515+C C C CC C 的是（ ）A ．(2)P X =B ．(67)≤≤P XC ．(4)P X =D ．(34)≤≤P X10．执行如图所示的程序框图，则输出的S 值为( )A ．4B ．5C ．8D ．911．a ，b 为空间两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC 的直角边AC 所在直线与a ，b 都垂直，斜边AB 以AC 为旋转轴选择，有下列结论： ①当直线AB 与a 成60°角时，AB 与b 成30°角； ②当直线AB 与a 成60°角时，AB 与b 成60°角； ③直线AB 与a 所成角的最小值为45°； ④直线AB 与a 所成角的最大值为60°；其中正确的是_______.（填写所以正确结论的编号）. A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④12．为了解某社区居民的家庭年收入和年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：根据上表可得回归直线方程ˆˆˆybx a =+，其中0.78b ∧=，a y b x ∧∧=-元，据此估计，该社区一户收入为16万元家庭年支出为（ ） A ．12.68万元B ．13.88万元C ．12.78万元D ．14.28万元二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）13．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，26S =，666S =，则数列{}2na 的前n 项和为__________．14．若直角坐标平面内,A B 两点满足点,A B 都在函数()f x 的图像上，且点,A B 关于原点对称，则称(,)A B 是函数()f x 一个“姊妹点对”（(,)A B 与(,)B A 可看作同一“姊妹点对”）.已知22,0,()2,0,x x x x f x x e⎧+<⎪=⎨⎪⎩则()f x 的“姊妹点对”有_______个.15．已知复数1223,z i z t i =+=-，且12·z z 是实数，则实数t =__________.16．在正方体1111ABCD A B C D -中，已知M 为11A B 的中点，则异面直线AM 与1B C 所成角的余弦值为______．三、解答题（本题包括6个小题，共70分） 17．设命题:p 函数()f x =R ；命题:39x xq a-<对一切实数x 恒成立，若命题“p q ∧”为假命题，求实数a 的取值范围.18．4个不同的红球和6个不同的白球放入同一个袋中，现从中取出4个球． （1）若取出的红球的个数不少于白球的个数，则有多少不同的取法？（2）取出一个红球记2分，取出一个白球记1分，若取出4个球所得总分不少于5分，则有多少种不同取法．19．（6分）在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的方程为()222cos 4sin 4ρθθ+=，过点()2,1P 的直线l 的参数方程为2212x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）. （Ⅰ）求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；（Ⅱ）若直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，求AB 的值，并求定点P 到A ，B 两点的距离之积.20．（6分）已知二次函数2()f x ax bx c =++（,,a b c 均为实数），满足0a b c -+=，对于任意实数x 都有()0f x x -≥，并且当(0,2)x ∈时，有21()()2x f x +≤. （1）求(1)f 的值；并证明：116ac ≥； （2）当[2,2]x ∈-且a c +取得最小值时，函数()()F x f x mx =-（m 为实数）单调递增，求证：12m ≤-. 21．（6分）已知抛物线Ω：24y x =的焦点为F ，过F 作互相垂直的直线AB ,CD 分别与Ω交于点A 、B 和C 、D .（1）当AB 的倾斜角为45时，求以AB 为直径的圆的标准方程；（2）问是否存在常数λ，使得||||||||AB CD AB CD λ+=⋅恒成立？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由.22．（8分）已知函数()f x xlnx =. (1)讨论函数()f x 的单调性;(2)对于任意正实数x,不等式()12f x kx >-恒成立,求实数k 的取值范围. 参考答案一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．A 【解析】分析：利用条件概率公式求(|)P B A .详解：由条件概率得(|)P B A =2311341.2A C C =故答案为：A.点睛：（1）本题主要考查条件概率的求法，意在考查学生对该知识的掌握水平.(2) 条件概率的公式:()(|)()P AB P B A P A = =()()n AB n A . 2．A 【解析】分析：由题意逐一考查充分性和必要性即可.详解：若“1a ≥，且1b ≥”，有不等式的性质可知“2a b +≥”，则充分性成立； 若“2a b +≥”，可能5,2a b ==-，不满足“1a ≥，且1b ≥”，即必要性不成立； 综上可得：“1a ≥，且1b ≥”是“2a b +≥”的充分不必要条件. 本题选择A 选项.点睛：本题主要考查充分不必要条件的判定及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 3．C 【解析】 【分析】由于回归直线方程过中心点(,)x y ，所以先求出,x y 的值，代入回归方程中，求出a ，可得回归直线方程，然后令20x 可得结果【详解】 解：因为1(8.28.610.011.311.9)105x =⨯++++=， 1(6.27.58.08.59.8)85y =⨯++++=所以80.76100.4a =-⨯=，所以回归直线方程为0.760.4y x =+ 所以当20x 时，0.76200.415.6y =⨯+=故选： C 【点睛】此题考查线性回归方程，涉及平均值的计算，属于基础题 4．A 【解析】 【分析】本题涉及平均分组问题，先计算出分组的方法，然后乘以33A 得出总的方法数. 【详解】先将14种计算器械分为三组，方法数有4551410522C C C A 种，再排给3个人，方法数有455314105322C C C A A ⨯种，故选A. 【点睛】本小题主要考查简单的排列组合问题，考查平均分组要注意的地方，属于基础题. 5．C 【解析】试题分析：在正方体''''ABCD A B C D -中，与上平面''''A B C D 中一条对角线''A C 成60的直线有''BC B C ，，','A D AD ，','A B AB ，','D C DC 共八对直线，与上平面''''A B C D 中另一条对角线60的直线也有八对直线，所以一个平面中有16对直线，正方体6个面共有166⨯对直线，去掉重复，则有166=482⨯对.故选C.考点：1.直线的位置关系；2.异面直线所成的角. 6．B 【解析】 【分析】根据二次根式的性质求出A ，再结合指数函数的性质求出B ，取交集即可． 【详解】 210x -，11x ∴-，解得：[1A =-，1] 而3xy =单调递增， 故值域：()0,B ∈+∞，(]0,1A B =∴=，故选：B ． 【点睛】本题考查定义域值域的求法，考查交集等基本知识，是基础题 7．D 【解析】∵函数f （x ）=cos （x +4π）sinx =22sinx ）•sinx 22•122cos x-=24（sin2x +cos2x ）﹣24=12sin （2x +4π）+24，故它的最小正周期为2π2π=，故A 不正确； 令x =8π，求得f （x ）=12+4=24+，为函数f （x ）的最大值，故函数f （x ）的图象关于直线x=8π对称，且f （x ）的图象不关于点（8π，4）对称，故B 不正确、D 正确； 在区间（0，8π）上，2x +4π∈（4π，2π），f （x ）=12sin （2x +4π）+4为增函数，故C 不正确，故选D ． 8．C 【解析】选项A 中，由题意得p 为真，q 为真，则p q ∨为真，故A 不正确．选项B 中，命题的否定应是“0x ∃∈R ，20010x x ++≤”，故B 不正确．选项C 中，由“a b >”不能得到“33log log a b >”成立；由“33log log a b >”一定能得到“a b >”成立。
江苏省淮安市蒋集中学2019-2020学年高二数学文期末试卷含解析
江苏省淮安市蒋集中学2019-2020学年高二数学文期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知椭圆，若其长轴在轴上.焦距为，则等于（）A. B. C. D.参考答案：A2. 将曲线c按伸缩变换公式变换得到曲线方程为x/2+y/2=1，则曲线c的方程为（）A．B．C．4x2+9y2=1 D．4x2+9y2=36参考答案：C【考点】O7：伸缩变换．【分析】只要把伸缩变换公式代入曲线方程为x/2+y/2=1，即可得原曲线c的方程．【解答】解：由题意，把伸缩变换公式代入曲线方程为x/2+y/2=1，得（2x）2+（3y）2=1，即4x2+9y2=1．∴曲线c的方程为4x2+9y2=1．故选C．3. 下列说法正确的是（）A．命题“若，则”的否命题是“若，则”B．命题“，”的否定是“，”C．函数的最小值为2D．若，则“”是“”的必要不充分条件参考答案：D对于选项A，命题“若，则”的否命题是“若，则”，所以选项A错误.对于选项B，命题“，”的否定是“，”，所以选项B错误.对于选项C，不能利用基本不等式求最小值，因为取等的条件不成立. 只能这样：设所以函数在上是增函数，所以t=3时函数取最小值所以选项C错误.对于选项D,由得a>1或a<0，由于a>1或a<0是“”的必要不充分条件，所以“”是“”的必要不充分条件，所以选项D正确.故选D.4. 已知椭圆E：+=1（a＞b＞0）的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线l：3x﹣4y=0交椭圆E于A，B两点，若|AF|+|BF|=4，点M到直线l的距离不小于，则椭圆E的离心率的取值范围是( )A．（0，] B．（0，] C．[，1）D．[，1）参考答案：A【考点】直线与圆锥曲线的关系．【专题】开放型；圆锥曲线中的最值与范围问题．【分析】如图所示，设F′为椭圆的左焦点，连接AF′，BF′，则四边形AFBF′是平行四边形，可得4=|AF|+|BF|=|AF′|+|BF|=2a．取M（0，b），由点M到直线l的距离不小于，可得，解得b≥1．再利用离心率计算公式e==即可得出．【解答】解：如图所示，设F′为椭圆的左焦点，连接AF′，BF′，则四边形AFBF′是平行四边形，∴4=|AF|+|BF|=|AF′|+|AF|=2a，∴a=2．取M（0，b），∵点M到直线l的距离不小于，∴，解得b≥1．∴e==≤=．∴椭圆E的离心率的取值范围是．故选：A．【点评】本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、点到直线的距离公式、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．5. 以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）．已知甲组数据的中位数为15，乙组数据的平均数为16.8，则x，y的值分别为（）A．2，5 B．5，5 C．5，8 D．8，8参考答案：C【考点】茎叶图．【分析】求乙组数据的平均数就是把所有乙组数据加起来，再除以5．找甲组数据的中位数要把甲组数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数为中位数．据此列式求解即可．【解答】解：乙组数据平均数=（9+15+18+24+10+y）÷5=16.8；∴y=8；甲组数据可排列成：9，12，10+x，24，27．所以中位数为：10+x=15，∴x=5．故选：C．6. 点A（2，1）到抛物线y2=ax准线的距离为1，则a的值为（）A．或B．或C．﹣4或﹣12 D．4或12参考答案：C【考点】K8：抛物线的简单性质．【分析】求出抛物线的准线方程，根据距离列出方程解出a的值．【解答】解：抛物线的准线方程为x=﹣，∴点A（2，1）到抛物线y2=ax准线的距离为|2+|=1解得a=4或a=﹣12．故选C．7. 等差数列—3，1，5，…的第15项的值是（）A．40 B．53 C．63 D．76参考答案：B8. 将函数的图象向右平移个单位，再将图象上每一点的横坐标缩短到原来的倍，所得图象关于直线对称，则的最小正值为（）A． B． C．D．参考答案：C9. 一个物体的运动方程为其中的单位是米，的单位是秒，那么物体在秒末的瞬时速度是（）A．米/秒 B．米/秒C．米/秒 D．米/秒参考答案：C10. 若为异面直线，直线c∥a，则c与b的位置关系是（）（A）相交（B）异面（C）平行（D）异面或相交参考答案：D略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知变量x，y满足约束条件，若目标函数z=ax+2by（a＞0，b＞0）在该约束条件下的最小值为2，则的最小值为．参考答案：9【考点】简单线性规划．【分析】首先根据约束条件求出使得目标函数z=ax+2by（a＞0，b＞0）在该约束条件下的最小值为2的x，y值，得到a，b的等式，利用基本不等式求最小值．【解答】解：由题意变量x，y满足约束条件，对应的区域如图，可得在A（2，1）处z取得最小值，所以2a+2b=2，即a+b=1，所以=（）（a+b）=5+≥5+2=9，当且仅当时等号成立．故答案为：912. 一次月考数学测验结束后，四位同学对完答案后估计分数，甲：我没有得满分；乙：丙得了满分；丙：丁得了满分；丁：我没有得满分.以上四位同学中只有一个人说的是真话，只有一个人数学得到满分，据此判断，得了满分的同学是．参考答案：甲13. 给定下列四个命题：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．其中，为真命题的是．参考答案：②④【考点】平面与平面之间的位置关系；空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系．【专题】证明题．【分析】用空间中线与线、面与面、线与面的相关定义与定理进行判断，相关定理与定义较多，要根据每一个命题进行合理选择．①用面面平行的判定定理进行验证，②用面面垂直的判定定理进行验证；③用空间两条直线的位置关系验证；④用面面垂直的性质定理验证．【解答】解：当两个平面相交时，一个平面内的两条直线可以平行于另一个平面，故①不对；由平面与平面垂直的判定定理可知②正确；空间中垂直于同一条直线的两条直线可以平行，相交也可以异面，故③不对；若两个平面垂直，只有在一个平面内与它们的交线垂直的直线才与另一个平面垂直，故④正确．故应填②④【点评】考查空间中面面的位置关系的判定，属于检查基础知识是否掌握熟练的题型．14. 如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=BC=AA1，∠ABC=90°，则直线AB1和BC1所成的角是．参考答案：60°【考点】异面直线及其所成的角．【专题】空间角．【分析】由题意补成正方体，由正三角形的性质可得．【解答】解：不妨设AB=BC=AA1=a，由题意可补成棱长为a的正方体，（如图）∵AD1∥BC1，∴∠B1AD1就是直线AB1和BC1所成的角，在正三角形AB1D1中易得∠B1AD1=60故答案为：60°【点评】本题考查异面直线所成的角，补形法是解决问题的关键，属基础题．15. 已知函数f（x）=（a为常数，e为自然对数的底数）的图象在点A（e，1）处的切线与该函数的图象恰好有三个公共点，则实数a的取值范围是．参考答案：考点：根的存在性及根的个数判断．专题：函数的性质及应用．分析：利用导数的几何意义求出切线方程，利用分段函数与切线有三个不同的交点，得到当x＜1时，切线和二次函数有两个不同的交点，利用二次函数根的分布建立不等式关系，即可求得a的取值范围．解答：解：当x≥1，函数f（x）的导数，f'（x）=，则f'（e）=，则在A（e，1）处的切线方程为y﹣1=（x﹣e），即y=．当x≥1时，切线和函数f（x）=lnx有且只有一个交点，∴要使切线与该函数的图象恰好有三个公共点，则当x＜1时，函数f（x）==，有两个不同的交点，即（x+2）（x﹣a）=x，在x＜1时，有两个不同的根，设g（x）=（x+2）（x﹣a）﹣x=x2+（1﹣a）x﹣2a，则满足，即，∴，解得或，即实数a的取值范围是．故答案为：．点评：不同主要考查导数的几何意义，以及函数交点问题，利用二次函数的根的分布是解决本题的关键．考查学生分析问题的能力，综合性较强．16. 已知椭圆以及椭圆内一点P(4，2)，则以P为中点的弦所在直线的斜率为____________．参考答案：(－∞，1)．依题意得关于x的方程x2－a＝－1没有实数解，因此a－1＜0，即a＜117. 已知过点（1，1）的直线l与圆C：x2+y2﹣4y+2=0相切，则圆C的半径为，直线l的方程为．参考答案：，x﹣y=0．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】把圆C的方程化为标准方程，写出圆心与半径，验证点P（1，1）在圆C上，求出直线CP的斜率，从而求出直线l的斜率和方程．【解答】解：圆C：x2+y2﹣4y+2=0，化为标准方程是：x2+（y﹣2）2=2，所以圆心坐标为C（0，2），半径r=；又点P（1，1）满足方程x2+y2﹣4y+2=0，所以点P在圆C上，又直线CP的斜率为k CP==﹣1，所以直线l的斜率为k=1，直线l方程为y﹣1=x﹣1，即x﹣y=0．故答案为：，x﹣y=0．三、解答题：本大题共5小题，共72分。
2019-2020学年江苏省淮安市高二下学期期末数学试卷 (解析版)
2019-2020学年江苏省淮安市高二第二学期期末数学试卷一、选择题（共8小题）.1．若复数z满足（1﹣2i）z＝1（i为虚数单位），则|z|为（）A．B．C．5D．2．设随机变量X～B（n，0.2），且E（X）＝1.6，则n为（）A．4B．6C．8D．103．函数的最小值为（）A．5B．3C．8D．64．从1，2，3，4，5，这5个数中任取两个奇数，1个偶数，组成没有重复数字的三位数的个数为（）A．60B．24C．12D．365．为了研究某种病毒在特定环境下随时间变化的繁殖情况，得到如下实验数据：天数x（天）3456繁殖个数y（千个） 2.534 4.5由最小二乘法得y与x的线性回归方程为，则当x＝8时，繁殖个数y的预测值为（）A．5.95B．6.15C．5.25D．4.96．某小区有6名歌手，其中4名男歌手，2名女歌手．从中选出3人参加区组织的社区演出，在男歌手甲被选中的情况下，女歌手乙也被选中的概率为（）A．B．C．D．7．在某区2020年5月份的高二期中质量检测中，学生的数学成绩服从正态分布X～N（98，100）．且P（88≤x≤108）≈0.683，P（78≤x≤118）≈0.954，已知参加本次考试的学生有9460人，王小雅同学在这次考试中数学成绩为108分，则她的数学成绩在该区的排名大约是（）A．2800B．2180C．1500D．62308．若函数y＝lnx﹣ax有两个零点，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，）B．（，1）C．（0，）D．（0，1）二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分，每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9．已知复数，则下列说法正确的是（）A．若m＝0则共轭复数＝1﹣B．若复数z＝2，则m＝C．若复数z为纯虚数，则m＝±1D．若m＝0，则4+2z+z2＝010．若∈R，则（）A．a0＝1B．a r＝C210﹣r（﹣1）r，r＝0，1，2，…，10C．a1+a2+…+a10＝1D．（a0+a2+…+a10）2﹣（a1+a3+…+a9）2＝31011．下列结论正确的是（）A．3×4×5×6＝AB．C+C＝CC．C＝CD．“仁义礼智信”为儒家“五常”，由伟大的教育家孔子提出，现将“仁义礼智信”排成一排，则“礼智”互不相邻的排法总数为7212．关于函数，下列说法正确的是（）A．f（1）是f（x）的极小值B．函数y＝f（x）﹣x有且只有1个零点C．f（x）在（﹣∞，1）上单调递减D．设g（x）＝xf（x），则三、填空题（共4小题）.13．曲线y＝sin x在点O（0，0）处的切线方程为．14．已知随机变量X的概率分布为：X0123456P0.160.220.24？0.100.060.01则P（X≥3）＝．15．多项式（2x+1）3（x+2）2＝a0x5+a1x4+a2x3+a3x2+a4x1+a5，则a1＝．16．某学校组织教师进行“学习强国”知识竞赛，规则为：每位参赛教师都要回答3个问题，且对这三个问题回答正确与否相互之间互不影响，已知对给出的3个问题，教师甲答对的概率分别为，，p．若教师甲恰好答对3个问题的概率是，则p＝，在前述条件下，设随机变量X表示教师甲答对题目的个数，则X的数学期望为．四、解答题：本大题共6小题，共计70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．某市第一批支援湖北抗疫医疗队共10人，其中有2名志愿者、3名医生、5名护士，现根据需要，从中选派3名队员到J医院参与救治工作．（1）求志愿者、医生、护士各选1人的概率；（2）求至少选1名医生的概率．18．已知多项式的展开式中，第3项与第5项的二项式系数之比为2：5．（1）求n的值；（2）求展开式中含x项的系数．19．已知函数f（x）＝ax3﹣3x在x＝处取得极值．（1）求实数a的值；（2）若过点P（1，t）存在3条直线与曲线y＝f（x）相切，求实数t的取值范围．20．病毒是一个大型病毒家族，今年出现的新病毒是以前从未在人体中发现的病毒新毒株．（1）某科研团队为研究潜伏期与新病毒患者年龄的关系，组织专家统计了该地区新病毒患者新冠病毒潜伏期的相关信息，其中被统计的患者中60岁以下的人数与60岁以上的人数相同，60岁以下且潜伏期在7天以下的人数约占，60岁以上且潜伏期在7天以下的人数约占，若研究得到在犯错误概率不超过0.010的前提下，认为潜伏期与新病毒患者年龄有关，现设被统计的60岁以上的人员人数为5x，请完成下面2×2列联表并计算被统计的60岁以上的人员至少多少人？潜伏期7天以下潜伏期7天以上合计60岁以下60岁以上5x 合计附1：X2＝，其中n＝a+b+c+d．P（X2≥k0）0.1000.0500.0100.0050.001 k0 2.706 3.841 6.6357.87910.828（2）某地区的新病毒治愈人数y（人）与3月份的时间x（日）满足回归直线方程，统计数据如下：3月日期（日）23456治愈人数（人）25304045t已知＝y i＝40，x i2＝90，x i y i＝885，请利用所给数据求t和回归直线方程；附2：＝，＝﹣．21．2019年《少年的你》自上映以来引发了社会的广泛关注，特别引起了在校学生情感共鸣，现假如男生认为《少年的你》值得看的概率为，女生认为《少年的你》值得看的概率为，某机构就《少年的你》是否值得看的问题随机采访了4名学生（其中2男2女）．（1）求这4名学生中女生认为值得看的人数比男生认为值得看的人数多的概率；（2）设ξ表示这4名学生中认为《少年的你》值得看的人数，求ξ的分布列与数学期望．22．设函数f（x）＝xe x，g（x）＝a（e﹣e x）．（1）设φ（x）＝xf（x）﹣g（x），讨论φ（x）的单调性；（2）若不等式f（x）+g（x）＞0对x∈（1，+∞）恒成立，求整数a的最大值．参考答案一、选择题（共8小题）.1．若复数z满足（1﹣2i）z＝1（i为虚数单位），则|z|为（）A．B．C．5D．【分析】根据复数的运算法则先求出z，结合复数模长公式进行计算即可．解：由（1﹣2i）z＝1得z＝＝＝＝+i，则|z|＝＝＝，故选：B．2．设随机变量X～B（n，0.2），且E（X）＝1.6，则n为（）A．4B．6C．8D．10【分析】利用二项分布的期望的公式，列出方程，即可得出n的值．解：∵随机变量X～B（n，0.2），∴E（X）＝1.6＝np＝n×0.2＝1.6，∴n＝8．故选：C．3．函数的最小值为（）A．5B．3C．8D．6【分析】先变形，f（x）＝x﹣2++2，再利用基本不等式的性质即可得解，注意取等号的条件．解：f（x）＝x+＝x﹣2++2≥2+2＝8，当且仅当x﹣2＝，即x＝5时，取等号．所以函数f（x）的最小值为8．故选：C．4．从1，2，3，4，5，这5个数中任取两个奇数，1个偶数，组成没有重复数字的三位数的个数为（）A．60B．24C．12D．36【分析】根据题意，分2步进行分析：①在1、3、5三个奇数中任选2个，在2、4两个偶数中任选1个，②将选出的3个数字全排列，组成三位数，由分步计数原理计算可得答案．解：根据题意，分2步进行分析：①在1、3、5三个奇数中任选2个，有C32＝3种选法，在2、4两个偶数中任选1个，有C21＝2种选法，②将选出的3个数字全排列，组成三位数，有A33＝6种情况，则可以组成3×2×6＝36个没有重复数字的三位数；故选：D．5．为了研究某种病毒在特定环境下随时间变化的繁殖情况，得到如下实验数据：天数x（天）3456繁殖个数y（千个） 2.534 4.5由最小二乘法得y与x的线性回归方程为，则当x＝8时，繁殖个数y的预测值为（）A．5.95B．6.15C．5.25D．4.9【分析】由已知求得样本点的中心的坐标，代入线性回归方程求得，可得线性回归方程，取x＝8求得y值即可．解：∵，，∴样本点的中心的坐标为（4.5，3.5），代入，得3.5＝0.7×，即．∴y关于x的线性回归方程为．取x＝8，得＝5.95．∴当x＝8时，繁殖个数y的预测值为5.95．故选：A．6．某小区有6名歌手，其中4名男歌手，2名女歌手．从中选出3人参加区组织的社区演出，在男歌手甲被选中的情况下，女歌手乙也被选中的概率为（）A．B．C．D．【分析】设事件A表示“男歌手甲被选中”，事件B表示“女歌手乙也被选中”，则P （A）＝＝，P（AB）＝＝，在男歌手甲被选中的情况下，女歌手乙也被选中的概率为P（B|A）＝，由此能求结果．解：某小区有6名歌手，其中4名男歌手，2名女歌手．从中选出3人参加区组织的社区演出，设事件A表示“男歌手甲被选中”，事件B表示“女歌手乙也被选中”，则P（A）＝＝，P（AB）＝＝，∴在男歌手甲被选中的情况下，女歌手乙也被选中的概率：P（B|A）＝＝＝．故选：D．7．在某区2020年5月份的高二期中质量检测中，学生的数学成绩服从正态分布X～N（98，100）．且P（88≤x≤108）≈0.683，P（78≤x≤118）≈0.954，已知参加本次考试的学生有9460人，王小雅同学在这次考试中数学成绩为108分，则她的数学成绩在该区的排名大约是（）A．2800B．2180C．1500D．6230【分析】由已知可得正态分布曲线的对称轴，再由已知求得P（ξ≥108），乘以9460得答案．解：由学生的数学成绩服从正态分布X～N（98，100），∴μ＝98，σ＝10，∴P（ξ≥108）＝[1﹣P（88≤x≤108）]≈0.1585，即数学成绩高于108分的学生占总人数的15.85%．∴9460×15.85%≈1500．即她的数学成绩在该区的排名大约是1500名．故选：C．8．若函数y＝lnx﹣ax有两个零点，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，）B．（，1）C．（0，）D．（0，1）【分析】函数y＝lnx﹣ax在其定义域内有两个零点⇔函数y＝a与函数g（x）＝的图象有两个交点．利用导数研究函数g（x）的图象与单调性，即可得出结论．解：函数y＝lnx﹣ax在其定义域内有两个零点⇔函数y＝a与函数g（x）＝的图象有两个交点．g′（x）＝，可得x＝e时，函数f（x）取得极大值，即最大值，f（e）＝，又x＞1时，lnx＞0，x→+∞时，g（x）→0，x∈（0，1）时，g（x）＜0，x→0+时，g（x）→﹣∞，∴0＜a＜．即实数a的取值范围是（0，）．故选：C．二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分，每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9．已知复数，则下列说法正确的是（）A．若m＝0则共轭复数＝1﹣B．若复数z＝2，则m＝C．若复数z为纯虚数，则m＝±1D．若m＝0，则4+2z+z2＝0【分析】把m＝0代入，化简后可得A错误；代入4+2z+z2整理，可得D正确；再由实部为2，虚部为0求解m判断B；由实部为0且虚部不为0列式求解m判断C．解：∵，若m＝0，则z＝﹣1+，∴，故A错误；此时4+2z+z2＝4+2（﹣1+）+＝2+﹣2﹣2，故D正确；若复数z＝2，则，即m＝，故B正确；若复数z为纯虚数，则，即m＝﹣1，故C错误．故选：BD．10．若∈R，则（）A．a0＝1B．a r＝C210﹣r（﹣1）r，r＝0，1，2，…，10C．a1+a2+…+a10＝1D．（a0+a2+…+a10）2﹣（a1+a3+…+a9）2＝310【分析】分别利用赋值法进行判断即可．解：A．令x＝﹣1得a0＝（﹣2+1）10＝1，故A正确，B．令x+1＝t，则x＝t﹣1，则多项式等价为a0+a1t+a2t2+…+a10t10，＝（2t﹣1）10，则T r+1＝C210﹣r t10﹣r（﹣1）r，则当r＝9时t的系数是a1，不是a9，故B错误，C．令x＝0得，a0+a1+a2+…+a10＝1，即a1+a2+…+a10＝0，故C错误，D．令x＝0得a0+a1+a2+…+a10＝1，令x＝﹣2，得a0﹣a1+a2+…+a10＝310，则（a0+a2+…+a10）2﹣（a1+a3+…+a9）2＝（a0+a2+…+a10+a1+a3+…+a9）（a0+a2+…+a10﹣a1﹣a3﹣…﹣a9）＝1×310＝310，故D正确故正确的是AD，故选：AD．11．下列结论正确的是（）A．3×4×5×6＝AB．C+C＝CC．C＝CD．“仁义礼智信”为儒家“五常”，由伟大的教育家孔子提出，现将“仁义礼智信”排成一排，则“礼智”互不相邻的排法总数为72【分析】利用排列、组合的定义和性质直接求解．解：对于A，3×4×5×6＝6×5×4×3＝A，故A正确；对于B，由组合数公式得C+C＝C，故B正确；对于C，由组合数公式得C＝C，故C正确；对于D，将“仁义礼智信”排成一排，则“礼智”互不相邻的排法总数为：＝72，故D正确．故选：ABCD．12．关于函数，下列说法正确的是（）A．f（1）是f（x）的极小值B．函数y＝f（x）﹣x有且只有1个零点C．f（x）在（﹣∞，1）上单调递减D．设g（x）＝xf（x），则【分析】①由函数f（x）的定义域{x|x＞0}，可推出C错误，对f（x）求导，分析f（x）的单调性进而可得f（x）极小值＝f（1），可推出A正确．②y＝f（x）﹣x＝+lnx﹣x，求导数，分析单调性可得y＝f（x）﹣x＝+lnx﹣x，在（0，+∞）上单调递减，且g（1）＝0，进而可推出B正确．③对g（x）＝xf（x）＝1+xlnx求导数，分析单调性，可推出g（x）最小值＝g（），进而可推出D正确．解：①函数f（x）的定义域为{x|x＞0}，故C错误，f′（x）＝﹣+＝，在（0，1）上f′（x）＜0，f（x）单调递减，在（1，+∞）上，f′（x）＞0，f（x）单调递增，所以f（x）极小值＝f（1）＝1，故A正确．②y＝f（x）﹣x＝+lnx﹣x，y′＝﹣+﹣1＝＝＜0，所以函数y＝f（x）﹣x＝+lnx﹣x，在（0，+∞）上单调递减，且g（1）＝0，所以y＝f（x）﹣x有且只有一个零点，故B正确．③g（x）＝xf（x）＝1+xlnx，g′（x）＝x•+lnx＝1+lnx，所以在（e﹣1，+∞）上，g′（x）＞0，g（x）单调递增，在（0，e﹣1）上，g′（x）＜0，g（x）单调递减，所以g（x）最小值＝g（e﹣1）＝g（），所以g（）＜g（），故D正确．故选：ABD．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分．16题第一空2分，第二空3分．13．曲线y＝sin x在点O（0，0）处的切线方程为x﹣y＝0．【分析】先对函数y＝sin x进行求导，再根据导数的几何意义求出曲线y＝sin x在点x＝π处的切线斜率，进而可得到切线方程．解：∵y′＝cos x，∴切线的斜率k＝y′|x＝0＝1，∴切线方程为y﹣0＝x﹣0，即x﹣y＝0．故答案为：x﹣y＝0．14．已知随机变量X的概率分布为：X0123456P0.160.220.24？0.100.060.01则P（X≥3）＝0.38．【分析】由随机变量X的概率分布求出P（X＝3），再由P（X≥3）＝P（X＝3）+P（X ＝4）+P（X＝5）+P（X＝6），能求出结果．解：由随机变量X的概率分布知：P（X＝3）＝1﹣0.16﹣0.22﹣0.24﹣0.10﹣0.06﹣0.01＝0.21，P（X≥3）＝P（X＝3）+P（X＝4）+P（X＝5）+P（X＝6）＝0.21+0.10+0.06+0.01＝0.38．故答案为：0.38．15．多项式（2x+1）3（x+2）2＝a0x5+a1x4+a2x3+a3x2+a4x1+a5，则a1＝44．【分析】利用二项式定理的展开式，求解x4的系数就是两个多项式的展开式中x3与x 系数的乘积和x2与x2的系数乘积的和．解：多项式（2x+1）3（x+2）2＝a0x5+a1x4+a2x3+a3x2+a4x1+a5，则（2x+1）3中，x3的系数为C3023＝8，x2的系数为C3122＝12，（x+2）2中，x的系数为4，x2的系数为1，∴a1＝8×4+12×1＝44．故答案为：44．16．某学校组织教师进行“学习强国”知识竞赛，规则为：每位参赛教师都要回答3个问题，且对这三个问题回答正确与否相互之间互不影响，已知对给出的3个问题，教师甲答对的概率分别为，，p．若教师甲恰好答对3个问题的概率是，则p＝，在前述条件下，设随机变量X表示教师甲答对题目的个数，则X的数学期望为．【分析】由教师甲恰好答对3个问题的概率是，利用相互独立事件概率乘法公式列出方程，能求出p的值．X的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出E（X）．解：对给出的3个问题，教师甲答对的概率分别为，，p．∵教师甲恰好答对3个问题的概率是，∴＝，解得p＝．设随机变量X表示教师甲答对题目的个数，则X的可能取值为0，1，2，3，P（X＝0）＝（1﹣）（1﹣）（1﹣）＝，P（X＝1）＝×（1﹣）×（1﹣）+（1﹣）××（1﹣）+（1﹣）×（1﹣）×＝，P（X＝2）＝++＝，P（X＝3）＝＝，∴E（X）＝＝．故答案为：，．四、解答题：本大题共6小题，共计70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．某市第一批支援湖北抗疫医疗队共10人，其中有2名志愿者、3名医生、5名护士，现根据需要，从中选派3名队员到J医院参与救治工作．（1）求志愿者、医生、护士各选1人的概率；（2）求至少选1名医生的概率．【分析】（1）记“志愿者、医生、护士各选1人”为事件A，利用古典概型、排列组合能求出志愿者、医生、护士各选1人的概率．（2）记“至少选1名医生”为事件B，利用对立事件概率计算公式能求出至少选1名医生的概率．解：（1）记“志愿者、医生、护士各选1人”为事件A，则P（A）＝＝．∴志愿者、医生、护士各选1人的概率为．（2）记“至少选1名医生”为事件B，则P（B）＝1﹣＝，∴至少选1名医生的概率为．18．已知多项式的展开式中，第3项与第5项的二项式系数之比为2：5．（1）求n的值；（2）求展开式中含x项的系数．【分析】（1）由二项式系数求出展开式中第3项与第5项的二项式系数列出方程求出n 的值．（2）将求出n的值代入通项，求出通项公式，令x的指数为1求出r的值，将r的值代入通项求出含x项的系数．解：（1）因为多项式展开式中第3项与第5项的二项式系数分别为，，又第3项与第5项的二项式系数之比为2：5，∴，即＝，化简得n2﹣5n﹣24＝0，解得n＝8 或n＝﹣3（舍），故n的值为8．（2）∵展开式的通项为T r+1＝•＝当＝1时，解得r＝2，所以T3＝＝7x∴展开式中含x项的系数为7．19．已知函数f（x）＝ax3﹣3x在x＝处取得极值．（1）求实数a的值；（2）若过点P（1，t）存在3条直线与曲线y＝f（x）相切，求实数t的取值范围．【分析】（1）先求导得f′（x）＝3ax2﹣3，再根据题意可得f′（）＝0，解得a ＝2，再检验是否符合题意．（2）设切点为（x，2x3﹣3x），根据导数的几何意义可得k切＝6x2﹣3，进而可得＝6x2﹣3，化简得：4x3﹣6x2+3+t＝0有3个不同的实数解⇒p（x）＝4x3﹣6x2+3+t有3个零点，再分析p（x）有3个零点时t的取值范围．解：（1）因为函数f（x）＝ax3﹣3x在x＝处取得极值，由f′（x）＝3ax2﹣3，知f′（）＝3a（）2﹣3＝0，解得a＝2，当a＝2时，f（x）＝2x3﹣3x，f′（x）＝6x2﹣3，令f′（x）＝0，得x＝±，所以x∈（﹣∞，﹣），f′（x）＞0，f（x）在（﹣∞，﹣）上单调递增，x∈（﹣，），f′（x）＜0，f（x）在（﹣，）上单调递减，x∈（，+∞），f′（x）＞0，f（x）在（，+∞）上单调递增，所以a＝2时，函数f（x）在x＝处取得极小值．（2）设切点为（x，2x3﹣3x），则切线的斜率为＝6x2﹣3，整理得：4x3﹣6x2+3+t＝0，则过点P存在3条直线与曲线y＝f（x）相切，等价于方程4x3﹣6x2+3+t＝0有3个不同的实数解，设p（x）＝4x3﹣6x2+3+t，p′（x）＝12x（x﹣1），令p′（x）＝0得x＝0或x＝1，当x∈（﹣∞，0）时，p′（x）＞0，p（x）在（﹣∞，0）上单调递增，当x∈（0，1）时，p′（x）＜0，p（x）在（0，1）上单调递减，当x∈（1，+∞）时，p′（x）＞0，p（x）在（1，+∞）上单调递增，p（x）＝0有3解，则，解得﹣3＜t＜﹣1，所以实数t的取值范围为（﹣3，﹣1）．20．病毒是一个大型病毒家族，今年出现的新病毒是以前从未在人体中发现的病毒新毒株．（1）某科研团队为研究潜伏期与新病毒患者年龄的关系，组织专家统计了该地区新病毒患者新冠病毒潜伏期的相关信息，其中被统计的患者中60岁以下的人数与60岁以上的人数相同，60岁以下且潜伏期在7天以下的人数约占，60岁以上且潜伏期在7天以下的人数约占，若研究得到在犯错误概率不超过0.010的前提下，认为潜伏期与新病毒患者年龄有关，现设被统计的60岁以上的人员人数为5x，请完成下面2×2列联表并计算被统计的60岁以上的人员至少多少人？潜伏期7天以下潜伏期7天以上合计60岁以下60岁以上5x 合计附1：X2＝，其中n＝a+b+c+d．P（X2≥k0）0.1000.0500.0100.0050.001 k0 2.706 3.841 6.6357.87910.828（2）某地区的新病毒治愈人数y（人）与3月份的时间x（日）满足回归直线方程，统计数据如下：3月日期（日）23456治愈人数（人）25304045t已知＝y i＝40，x i2＝90，x i y i＝885，请利用所给数据求t和回归直线方程；附2：＝，＝﹣．【分析】（1）根据题意填写列联表，计算观测值，对照临界值列出不等式，从而求得结果；（2）由题意求出回归系数，写出回归方程．解：（1）因为被统计的患者中60岁以下的人数与60岁以上的人数相同，60岁以下且潜伏期在7天以下的人数约占，60岁以上且潜伏期在7天以下的人数约占，由被统计的60岁以上的人员人数为5x，填写2×2列联表如下；潜伏期7天以下潜伏期7天以上合计60岁以下x4x5x60岁以上3x2x5x 合计4x5x10x计算X2＝＝＝，因为犯错误概率不超过0.010的前提，所以≥6.635，5x≥19.905，所以被统计的60岁以上的人员人数至少为20人．（2）由统计数据如下表，3月日期（日）23456治愈人数（人）25304045t且＝y i＝40，x i2＝90，x i y i＝885，由＝40，得t＝40×5﹣25﹣30﹣40﹣45＝60，所以＝＝＝8.5，＝﹣＝40﹣8.5×4＝6；所以y关于x的回归方程为＝8.5x+6．21．2019年《少年的你》自上映以来引发了社会的广泛关注，特别引起了在校学生情感共鸣，现假如男生认为《少年的你》值得看的概率为，女生认为《少年的你》值得看的概率为，某机构就《少年的你》是否值得看的问题随机采访了4名学生（其中2男2女）．（1）求这4名学生中女生认为值得看的人数比男生认为值得看的人数多的概率；（2）设ξ表示这4名学生中认为《少年的你》值得看的人数，求ξ的分布列与数学期望．【分析】（1）设X表示2名男生认为值得看的人数，Y表示2名女生中认为值得看的人数，设“这4名观众中女生认为值得看的人数比男生认为值得看的人数多”为事件A，男生认为《少年的你》值得看的概率为，女生值得看的概率为，wwdmjP（A）＝P （X＝1，Y＝2）+P（Y＝0，Y＝1）+P（X＝0，Y＝2），由此能求出结果．（2）ξ的可能取值为0，1，2，3，4，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和数学期望．解：（1）设X表示2名男生认为值得看的人数，Y表示2名女生中认为值得看的人数，设“这4名观众中女生认为值得看的人数比男生认为值得看的人数多”为事件A，又∵男生认为《少年的你》值得看的概率为，女生值得看的概率为，∴P（A）＝P（X＝1，Y＝2）+P（X＝0，Y＝1）+P（X＝0，Y＝2）＝（）2•（）（）+（）2•（）（）+（）2（）2＝，∴这4名学生中女生认为值得看的人数比男生认为值得看的人数多的概率为．（2）ξ的可能取值为0，1，2，3，4，P（ξ＝0）＝P（X＝0，Y＝0）＝＝，P（ξ＝1）＝P（X＝1，Y＝0）+P（X＝0，Y＝1）＝+＝，P（ξ＝2）＝P（X＝2，Y＝0）+P（X＝1，Y＝1）+P（X＝0，Y＝2）＝+（）2＝，P（ξ＝3）＝P（X＝1，Y＝2）+P（X＝2，Y＝1）＝＝，P（ξ＝4）＝P（X＝2，Y＝2）＝＝，∴ξ的分布列为：ξ01234PE（ξ）＝+4×＝．22．设函数f（x）＝xe x，g（x）＝a（e﹣e x）．（1）设φ（x）＝xf（x）﹣g（x），讨论φ（x）的单调性；（2）若不等式f（x）+g（x）＞0对x∈（1，+∞）恒成立，求整数a的最大值．【分析】（1）根据题意可得φ（x）＝xf（x）﹣g（x）＝x2e x﹣a（e﹣e x），对φ（x）求导得φ′（x）＝e x（x2+2x+a），△＝4﹣4a，分①a≥1时，②a＜1时，讨论φ′（x）的正负，φ（x）的单调性．（2）根据题意问题可转化为当x∈（1，+∞）时，恒成立，令t（x）＝，x∈（1，+∞），只需a＜t（x）min即可．对t（x）求导，分析单调性，进而得t（x）的最小值即可得出答案．解：（1）因为f（x）＝xe x，g（x）＝a（e﹣e x），φ（x）＝xf（x）﹣g（x）＝x2e x﹣a（e﹣e x），φ′（x）＝e x（x2+2x+a），△＝4﹣4a，①当a≥1时，φ′（x）≥0，φ（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增，②当a＜1时，令φ′（x）＝0，x＝﹣1±，当x∈（﹣∞，﹣1﹣），φ′（x）＞0，φ（x）在（﹣∞，﹣1﹣）上单调递增，当x∈（﹣1﹣，﹣1+），φ′（x）＜0，φ（x）在（﹣1﹣，﹣1+）上单调递减，当x∈（﹣1+，+∞），φ′（x）＞0，φ（x）在（﹣1+，+∞）上单调递增．综上得：当a≥1时，φ（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增，当a＜1时，φ（x）在（﹣∞，﹣1﹣），（﹣1+，+∞）上单调递增，φ（x）在（﹣1﹣，﹣1+）上单调递减，（2）当x∈（1，+∞）时，xe x+a（e﹣e x）＞0恒成立，等价于当x∈（1，+∞）时，恒成立，令t（x）＝，x∈（1，+∞），则t′（x）＝，令m（x）＝e x﹣ex﹣e，x∈（1，+∞），m′（x）＝e x﹣e＞0，所以m（x）＝e x﹣ex﹣e在（1，+∞）上单调递增，又因为m（2）＝e2﹣3e＜0，m（3）＝e3﹣4e＞0，所以m（x）在（2，3）上有唯一零点x0，且e＝ex0+e，x0∈（2，3），所以t（x）在（1，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增，所以t（x）min＝t（x0）＝＝＝x0+1∈（3，4），所以a＜x0+1∈（3，4），故整数a的最大值为3．。
2020年江苏省淮安市数学高二第二学期期末综合测试试题含解析
A．30B．40C．42D．48
【答案】A
【解析】
【分析】
根据所给的图形，计算出总人数，即可得到A的人数．
【详解】
解：根据选择D方式的有18人，所占比例为15%，得总人数为 120人，
故选择A方式的人数为120﹣42﹣30﹣18＝30人．
故选A．
【点睛】
【详解】
， 为奇函数，且在 上有 ，故选C.
【点睛】
本小题主要考查导数运算，考查函数的奇偶性，考查函数图像的识别，属于基础题.
2．若复数 满足 ，则 的虚部是（）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
由题意可得： ，
则： ，
即 的虚部是 .
本题选择B选项.
3．关于“斜二测”画图法，下列说法不正确的是（ ）
A．平行直线的斜二测图仍是平行直线
B．斜二测图中，互相平行的任意两条线段的长度之比保持原比例不变
C．正三角形的直观图一定为等腰三角形
D．在画直观图时，由于坐标轴的选取不同，所得的直观图可能不同
【答案】C
【解析】
【分析】
根据斜二测画法的特征，对选项中的命题进行分析、判断正误即可．
【详解】
解：对于A，平行直线的斜二测图仍是平行直线，A正确；
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
分析：先排乙，再排甲，最后排剩余三人.
详解：先排乙，有 种，再排甲，有 种，最后排剩余三人，有 种
因此共有 ，
选D.
点睛：求解排列、组合问题常用的解题方法：
(1)元素相邻的排列问题——“捆邦法”；(2)元素相间的排列问题——“插空法”；(3)元素有顺序限制的排列问题——“除序法”；(4)带有“含”与“不含”“至多”“至少”的排列组合问题——“间接法”； （5） “在”与“不在”问题——“分类法”.
江苏省淮安市2020年高二第二学期数学期末学业质量监测试题含解析
江苏省淮安市2020年高二第二学期数学期末学业质量监测试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知二项式()nx x-的展开式中二项式系数之和为64，则该展开式中常数项为 A ．－20 B ．－15C ．15D ．20【答案】C 【解析】 【分析】利用二项式系数之和为64解得6n =，再利用二项式定理得到常数项. 【详解】 二项式()nx x-的展开式中二项式系数之和为642646n n ⇒=⇒= 36662166()()(1)r r r r rr r x T C x C x x x--+-⇒=⋅-=-当36042r r -=⇒=时，系数为15 故答案选C 【点睛】本题考查了二项式定理，先计算出6n =是解题的关键，意在考查学生的计算能力.2．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的离心率为6，则此双曲线的渐近线方程为( )A ．2y x =±B ．2y x =±C ．22y x =±D ．12y x =±【答案】C 【解析】试题分析： 因为双曲线的离心率为6,所以62c a =,又因为双曲线中222c a b =+,所以22b a =,而焦点在x 轴上的双曲线的渐近线方程为b y x a =±,所以此双曲线的渐近线方程为22y x =±,故选C. 考点：1、双曲线的离心率；2、双曲线渐近方程. 3．已知两个不同的平面，和两条不同的直线，满足，则“”是“”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】D【解析】 【分析】分别判断充分性和必要性得到答案. 【详解】 如图所示：既不充分也不必要条件. 故答案选D 【点睛】本题考查了充分必要条件，举出反例可以简化运算. 4．函数()()2ln 1f x x 的图像大致是=+（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】 【分析】 【详解】由于函数为偶函数又过（0，0）,排除Ｂ，Ｃ，Ｄ，所以直接选A. 【考点定位】对图像的考查其实是对性质的考查，注意函数的特征即可，属于简单题.5．甲、乙、丙三人到三个不同的景点旅游，每人只去一个景点，设事件A 为“三个人去的景点各不相同”，事件B 为“甲独自去一个景点，乙、丙去剩下的景点”，则(A |B)P 等于（ ） A ．49B ．29C ．12D ．13【答案】C 【解析】 【分析】这是求甲独自去一个景点的前提下，三个人去的景点不同的概率，求出相应的基本事件的个数，即可得出结果. 【详解】甲独自去一个景点，则有3个景点可选，乙、丙只能在剩下的两个景点选择，根据分步乘法计数原理可得，对应的基本事件有32212⨯⨯=种；另外，三个人去不同景点对应的基本事件有3216⨯⨯=种，所以61(/)122P A B ==，故选C. 【点睛】本题主要考查条件概率，确定相应的基本事件个数是解决本题的关键.6．已知双曲线2222x y 1(a 0,b 0)a b-=>>，过原点作一条倾斜角为π3直线分别交双曲线左、右两支P ，Q两点，以线段PQ 为直径的圆过右焦点F ，则双曲线离心率为( )A 1B 1C ．2D 【答案】B 【解析】 【分析】求得直线PQ 的方程，联立直线的方程和双曲线的方程，求得,P Q 两点坐标的关系，根据FQ FP ⊥列方程，化简后求得离心率. 【详解】设()()1122,,,P x y Q x y ，依题意直线PQ 的方程为y =，代入双曲线方程并化简得222222222223,333a b a b x y x b a b a ===--，故221212220,,3a b x x x x b a -+=⋅=- 12y y ⋅= 221222333a b x x b a-⋅=-，设焦点坐标为(),0F c ，由于以PQ 为直径的圆经过点F ，故0FP FQ ⋅=，即()()1122,,0x c y x c y -⋅-=，即21240x x c +=，即4224630b a b a --=，两边除以4a 得42630b b a a ⎛⎫⎛⎫--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得23b a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭故1e ===，故选B. 【点睛】本小题主要考查直线和双曲线的交点，考查圆的直径有关的几何性质，考查运算求解能力，属于中档题.7．在ABC ∆中，角A B C ，，的对边分别是a b c ，，，若132cos 3b c A ===，，，则a =（ ）A ．5 BC ．4D ．3【答案】D 【解析】 【分析】已知两边及夹角，可利用余弦定理求出． 【详解】由余弦定理可得：22212cos 9423293a b c bc A =+-=+-⨯⨯⨯=， 解得3a =.故选D. 【点睛】本题主要考查利用正余弦定理解三角形，注意根据条件选用合适的定理解决． 8．用反证法证明“,20x x ∀∈>R ”时，应假设（ ） A ．00,20x x ∃∈≤RB ．00,20x x ∃∈<R C ．,20x x ∀∈≤R D ．00,20x x ∃∈>R【答案】A 【解析】 【分析】根据反证法的步骤，假设是对原命题结论的否定，即可得出正确选项． 【详解】根据反证法的步骤，假设是对原命题的否定，P （x 0）成立的否定是使得P （x 0）不成立，即用反证法证明“∀x ∈R ，2x ＞0”，应假设为∃x 0∈R ，02x ≤0 故选：A ． 【点睛】本题考查反证法的概念，全称命题的否定，注意 “ 改量词否结论”9．若,a b ∈R ，且0ab ≠，则“11()()22a b >”是“方程221x y a b+=表示焦点在y 轴上的椭圆”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】 【分析】由指数函数的单调性可得a b <；由椭圆方程可得0a b <<，再由充分必要条件的定义，即可得到所求结论． 【详解】解：若1122a b⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则a b <， 若方程221x y a b+=表示焦点在y 轴上的椭圆，则0b a >>，即“1122ab⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭”是“方程221x y a b +=表示焦点在y 轴上的椭圆”的必要不充分条件.故选：B 【点睛】本题考查指数函数的单调性以及椭圆方程，考查充分必要条件的定义，考查推理能力，属于基础题． 10．下列说法正确的是（ ）A ．若p q ∨为真命题，则p q ∧为真命题B ．命题“若1x >-，则21x >”的否命题是真命题C ．命题“函数()ln 2xy =的值域是R ”的逆否命题是真命题D ．命题:p “a ∀∈R ，关于x 的不等式210x ax ++>有解”，则p ⌝为“0a R ∃∈，关于x 的不等式2010x a x ++≤无解”【答案】C 【解析】 【分析】采用命题的基本判断法进行判断，条件能推出结论为真，推不出为假 【详解】A. 若p q ∨为真命题，则,p q 中有一个为真命题即可满足，但推不出p q ∧为真命题，A 错B. 命题“若1x >-，则21x >”的否命题是：“若1x ≤-，则21x ≤”，当2x =-时，不满足，B 错C. 原命题与逆否命题真假性相同，2x 的取值大于零，所以()ln 2xy =值域为R ，C 为真命题D. 命题:p “a ∀∈R ，关于x 的不等式210x ax ++>有解”，则p ⌝为“0a R ∃∈，关于x 的不等式2010x a x ++>无解”，D 错答案选C 【点睛】四种常见命题需要熟悉基本改写方式，原命题与逆否命题为真，逆命题与否命题为真，原命题与逆命题或否命题真假性无法判断，需改写之后再进行判断，命题的否定为只否定结论，全称改存在，存在改全称11．已知η的分布列为：设32ξη=-则E ξ的值为（ ） A ．3- B ．43C ．23-D ．5【答案】A 【解析】 【分析】求出η的期望，然后利用32ξη=-，求解E ξ即可． 【详解】由题意可知E （η）＝﹣112⨯+013⨯+11163⨯=-．∵32ξη=-，所以E ξ＝E （1η﹣2）＝1E （η）﹣2=-1． 故选A ． 【点睛】本题考查数学期望的运算性质，也可根据两个变量之间的关系写出ξ的分布列，再由ξ分布列求出期望． 12．方程221mx y +=表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是（ ） A ．()1,+∞ B ．()0,∞+C ．()0,1D ．()0,2【答案】A 【解析】 【分析】将椭圆方程化为标准方程，根据题中条件列出关于m 的不等式，解出该不等式可得出实数m 的取值范围.【详解】椭圆的标准方程为2211x y m+=，由于该方程表示焦点在y 轴上的椭圆，则101m<<，解得1m ，因此，实数m 的取值范围是()1,+∞，故选A. 【点睛】本题考查椭圆的标准方程，考查根据方程判断出焦点的位置，解题时要将椭圆方程化为标准形式，结合条件列出不等式进行求解，考查运算求解能力，属于中等题. 二、填空题：本题共4小题13．若()1,,2a λ=，()2,1,1b =-，a 与b 的夹角为60，则λ的值为______． 【答案】17-或1 【解析】 【分析】利用空间向量的数量积的坐标运算公式可求得1cos6025a b a bλ⋅===+，从而可求得λ的值．【详解】 解：()1,,2a λ=，()2,1,1b =-，5a λ∴=+，6b =，4a b λ⋅=-，又a 与b 的夹角为60，1cos6025a b a bλ⋅∴===+，解得：17λ=-或1． 故答案为：17-或1 【点睛】本题考查空间向量的数量积的坐标运算，熟练掌握空间向量的数量积的坐标运算公式是关键，属于中档题． 14．已知函数22log (3),2()2,2x x x f x x --<⎧=⎨≥⎩，则2(log 12)f =_________ 【答案】3 【解析】 【分析】判断2log 122≥，再代入2()2x f x -=，利用对数恒等式，计算求得式子的值为3.【详解】因为2log 122≥，所以2(log 12)f =22log 12log 12222122324-===，故填3. 【点睛】在计算2log 1222-的值时，先进行幂运算，再进行对数运算，能使运算过程更清晰. 15．已知函数2ln(),0(),0x xx x f x e e a x --<⎧=⎨+-≥⎩，若()f x 的所有零点之和为1，则实数a 的取值范围为__________． 【答案】221],(e e + 【解析】 【分析】先根据分段函数的形式确定出0x <时()f x 的零点为01x =-，再根据0x >时函数解析式的特点和导数的符号确定出()f x 图象的“局部对称性”以及单调性，结合()f x 所有零点的和为1可得()()00,10f f ≥<，从而得到参数a 的取值范围.【详解】当0x <时，易得()f x 的零点为01x =-， 当0x ≥时，()2xxf x e ea -=+-，∵当[]0,2x ∈时，()()2f x f x =-，∴()f x 的图象在[]0,2上关于直线1x =对称. 又22()x xe ef x e-'=， 当1x >时，()0f x '>，故()f x 单调递增，当01x <<时，()0f x '<，故()f x 单调递减，且()201f e a =+-，()12f e a =-.因为()f x 的所有零点之和为1，故()f x 在[)0,+∞内有两个不同的零点，且()()0010f f ⎧≥⎪⎨<⎪⎩，解得221e a e <≤+. 故实数a 的取值范围为221],(e e +． 故答案为：221],(e e +． 【点睛】本题考查分段函数的零点，已知函数零点的个数求参数的取值范围时，应根据解析式的特点和导数寻找函数图象的对称性和函数的单调性，最后根据零点的个数得到特殊点处函数的符号，本题属于较难题.16．已知球的半径为24cm ，一个圆锥的高等于这个球的直径，而且球的表面积等于圆锥的表面积，则这个圆锥的体积是__________ cm 1．（结果保留圆周率π）【答案】312288πcm【解析】 【分析】结合球的表面积等于圆锥的表面积，建立等式，计算半径r ，利用体积计算公式2V r h π=⋅，即可。
2019-2020学年江苏省淮安市新城中学高二数学文期末试题含解析
2019-2020学年江苏省淮安市新城中学高二数学文期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 曲线与两坐标轴所围成图形的面积为（）A．4 B．3 C．D．2参考答案：B2. 下列结论正确的是( )A．当x＞0且x≠1时，lgx+≥2 B．当x＞0时，+≥2C．当x≥2时，x+的最小值为2 D．当0＜x≤2时，x﹣无最大值参考答案：B【考点】基本不等式．【分析】本题中各选项都是利用基本不等式求最值，注意验证一正、二定、三相等条件是否满足即可．A中不满足“正数”，C中“=”取不到．【解答】解：A中，当0＜x＜1时，lgx＜0，lgx+≥2不成立；由基本不等式B正确；C中“=”取不到；D中x﹣在0＜x≤2时单调递增，当x=2时取最大值．故选B【点评】本题主要考查利用基本不等式求最值的三个条件，一正、二定、三相等，在解题中要牢记．3. 已知函数f（x）=，若f（x）+5≥0恒成立，则实数m 的取值范围是（）A．B．C．（﹣∞，2] D．（﹣∞，2）参考答案：A【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】要找m的取值使f（x）+5≥0恒成立，思路是求出f′（x）并令其等于零找出函数的最小值点，得到函数f（x）的最小值，即可求出m的取值范围．【解答】解：因为函数f（x）=x3﹣2x2+3m，所以f′（x）=x2﹣4x．令f′（x）=0得x=0或x=4，经检验知x=4是函数的一个最小值点，所以函数的最小值为f（4）=3m﹣．不等式f（x）+5≥0恒成立，即3m﹣+5≥0恒成立，解得m≥．故选：A．4. “龟兔赛跑”讲述了这样的故事：领先的兔子看着慢慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉．当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点．用s1，s2分别表示乌龟和兔子所行的路程(t为时间)，则下图与故事情节相吻合的是（）A. B.C. D.参考答案：B【分析】由题意得的始终是匀速增长，开始时，的增长比较快，但中间有一段时间停止增长，在最后一段时间里，的增长又较快，但的值没有超过的值，由此得到结论．【详解】由题意可得的始终是匀速增长，开始时，的增长比较快，但中间有一段时间停止增长，在最后一段时间里，的增长又较快，但的值没有超过的值，结合所给的图象可知，B选项适合，故选B．【点睛】本题主要考查了函数的图象的识别与应用，其中解答中根据题意判断关于的函数的性质及其图象的特征是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．5. 将两个数a=2, b= -6交换，使a= -6, b=2，下列语句正确的( )参考答案：B略6. 已知数列满足，则（）A. 0B.C. D. 6参考答案：B7. 已知点，若直线过点与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（）A． B． C． D．参考答案：A8. 函数有()．A．极小值－1，极大值1B．极小值－2，极大值3C．极小值－2，极大值2D．极小值－1，极大值3参考答案：D略9. 已知，则（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞b＞a D．c＞a＞b参考答案：B【考点】对数值大小的比较．【分析】利用指数函数、对数函数的单调性求解．【解答】解：∵a=＞π0=1，b=＜logπ1=0，0=＜c=＜=1．∴a＞c＞b．故选：B．10. 一个坛子里有编号为1，2，…，12的12个大小相同的球，其中1到6号球是红球，其余的是黑球. 若从中任取两个球，则取到的都是红球，且至少有1个球的号码是偶数的概率是（）A． B． C． D．参考答案：D略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 不等式﹣x2+2x﹣3＞0的解集是．参考答案：?【考点】一元二次不等式的解法．【分析】把不等式化为x2﹣2x+3＜0，计算△＜0，判断原不等式的解集是?．【解答】解：不等式﹣x2+2x﹣3＞0化为x2﹣2x+3＜0，△=4﹣4×1×3=﹣8＜0，不等式对应的方程无实数解，所以原不等式的解集是?．故答案为：?．12. 已知直线x+y﹣2=0与圆x2+y2=r2（r＞0）相交于A、B两点，O为坐标原点，若∠AOB=120°，则r= ．参考答案：2【考点】直线与圆的位置关系．【分析】由已知得圆心O（0，0）到直线x+﹣2=0的距离d等于半径r的一半，由此能求出半径r．【解答】解：∵直线x+y﹣2=0与圆x2+y2=r2（r＞0）相交于A、B两点，O为坐标原点，若∠AOB=120°，∴圆心O（0，0）到直线x+﹣2=0的距离d等于半径r的一半，即d=，解得r=2．故答案为：2．【点评】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意点到直线的距离公式的合理运用．13. 执行如图所示的程序框图，输出的s值为．参考答案：【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序，依次写出每次循环得到的i，s的值，当i=4时，不满足条件i＜4，退出循环，输出s的值为．【解答】解：模拟执行程序，可得i=0，s=3满足条件i＜4，执行循环体，i=1，s=满足条件i＜4，执行循环体，i=2，s=﹣满足条件i＜4，执行循环体，i=3，s=3满足条件i＜4，执行循环体，i=4，s=不满足条件i＜4，退出循环，输出s的值为．故答案为：．14. 在平面直角坐标系xOy中，曲线x2+y2=2|x|+2|y|围成的图形的面积为．参考答案：6π+8【考点】圆的一般方程．【分析】x＞0，y＞0时，方程化为（x﹣1）2+（y﹣1）2=2，其面积为=+2，根据图象的对称性，可得曲线x2+y2=2|x|+2|y|围成的图形的面积．【解答】解：x＞0，y＞0时，方程化为（x﹣1）2+（y﹣1）2=2，其面积为=+2根据图象的对称性，可得曲线x2+y2=2|x|+2|y|围成的图形的面积为6π+8，故答案为6π+8．15. 椭圆（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，若椭圆上存在点P，满足∠F1PF2=120°，则该椭圆的离心率的取值范围是．参考答案：[，1）【考点】椭圆的简单性质．【分析】如图根据椭圆的性质可知，∠F1PF2当点P在短轴顶点（不妨设上顶点A）时最大，要椭圆上存在点P，满足∠F1PF2=120°，∠F1AF2≥120°，∠F1AO≥60°，即可，【解答】解：如图根据椭圆的性质可知，∠F1PF2当点P在短轴顶点（不妨设上顶点A）时最大，要椭圆上存在点P，满足∠F1PF2=120°，∠F1AF2≥120°，∠F1AO≥60°，tan∠F1AO=，故椭圆离心率的取范围是[，1）故答案为[，1）16. 若抛物线的焦点与双曲线的左焦点重合,则的值 .参考答案：417. 在平面直角坐标系中，双曲线的离心率为▲ .参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。
2019年江苏省淮安市文通中学高二数学文下学期期末试卷含解析
2019年江苏省淮安市文通中学高二数学文下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 在下列各数中，最大的数是（）A． B．C、D．参考答案：B2. 不等式|x+3|﹣|x﹣1|≤a2﹣3a对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为（）A．（﹣∞，﹣1]∪[4，+∞）B．（﹣∞，﹣2]∪[5，+∞）C．[1，2] D．（﹣∞，1]∪[2，+∞）参考答案：A【考点】绝对值不等式的解法．【分析】利用绝对值的几何意义，求出|x+3|﹣|x﹣1|的最大值不大于a2﹣3a，求出a的范围．【解答】解：因为|x+3|﹣|x﹣1|≤4对|x+3|﹣|x﹣1|≤a2﹣3a对任意x恒成立，所以a2﹣3a≥4即a2﹣3a﹣4≥0，解得a≥4或a≤﹣1．故选A．3. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体最长的侧棱长为（）A．2 B．C．1 D．参考答案：B【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知：该几何体为四棱锥，PA⊥底面ABCD，底面ABCD是正方形．由图可知：最长的棱长为PC．【解答】解：由三视图可知：该几何体为四棱锥，PA⊥底面ABCD，底面ABCD是正方形．由图可知：最长的棱长为PC，PC==．故选：B．【点评】本题考查了四棱锥的三视图、空间线面位置关系、勾股定理、正方形的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4. 函数有（）A 极大值，极小值B 极大值，极小值C 极大值，无极小值D 极小值，无极大值参考答案：C5. 若条件则为的（）A.充分不必要条件B. 必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件参考答案：A6. 已知i是虚数单位，则等于( )A．+i B．+i C．+i D．+i参考答案：A考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：根据复数的基本运算法则进行计算即可．解答：解：===+i，故选：A点评：本题主要考查复数的基本运算，比较基础．7. 若a，b，c成等比数列，则函数的图象与x轴的交点个数为（）A略8. 的最小值是（）A．1 B．2 C．3 D．8参考答案：C略9. 若{a、b、c}为空间的一组基底，则下列各项中，能构成基底的一组向量是 ()A．a，a＋b，a－b B．b，a＋b，a－bC．c，a＋b，a－b D．a＋b，a－b，a＋2b参考答案：C10. 在坐标平面内,与点A(1,2)的距离为1,且与点B(3,1)的距离为2的直线共有( )A.1条B.2条C.3条D.4条参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 在直角坐标系xOy中，圆O的方程为，将其横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变，得到曲线C，则曲线C的普通方程为_____．参考答案：【分析】根据题意，设P为曲线C上任意一点，分析可得其对应圆O上的点的坐标为（x，y），又由圆O的方程为x2+y2＝1，分析可得答案．【详解】根据题意，设为曲线上任意一点，则对应圆上的点的坐标为，又由圆的方程为，则有；即曲线的普通方程为；故答案为：．【点睛】本题考查直角坐标系下的伸缩变化，注意伸缩变化的公式，属于基础题．12. 若过点的直线与曲线有公共点，则直线的斜率的取值范围为________．参考答案：13. 已知的三边长分别为，其面积为，则的内切圆的半径.这是一道平面几何题，其证明方法采用“等面积法”.请用类比推理方法猜测对空间四面体存在类似结论为____.参考答案：四面体的各表面面积分别为，其体积为，则四面体的内切球半径略14. 用秦九韶算法计算多项式当时的值为_________。
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淮安市高二第二学期期末调研测试
数学试题（文）
填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分）
1. 已知集合，集合，则__________.
【答案】
【解析】由交集的定义可得.
2. 已知是虚数单位，若是实数，则实数_______.
【答案】4
【解析】由复数的运算法则：,
该数为实数，则： .
3. 若函数的最小正周期为，则正数的值为___________
【答案】3
【解析】由正弦型函数的最小正周期公式可得： .
4. 函数的定义域为________.
【答案】
【解析】函数有意义，则：，
求解关于实数x的不等式组可得函数的定义域为.
点睛：求函数的定义域，其实质就是以函数解析式有意义为准则，列出不等式或不等式组，然后求出它们的解集即可．
5. 若角的终边经过点，则的值为_____________.
【答案】
【解析】试题分析：根据三角函数定义：，其中，所以
考点：三角函数定义
6. 已知幂函数的图象经过点，则的值为___________.
【答案】2
【解析】设幂函数的解析式为：，则：，即：
.
7. 已知函数，则_________.
【答案】
【解析】由函数的解析式有：，...
则： .
8. 已知半径为1的扇形面积为，则此扇形的周长为___________.【答案】
【解析】设扇形的弧长为，则：，
则此扇形的周长为.
9. 函数的单调递增区间为_____________.
【答案】（0，1）
【解析】函数有意义，则：，且：，
由结合函数的定义域可得函数的单调递增区间为（0，1）.
10. 已知，且，则___________.【答案】
【解析】由题意可得：,
结合角的范围和同角三角函数可知：，即.
11. 已知函数在区间上存在零点，
则___________.
【答案】5
【解析】函数的零点满足：,即：，绘制函数的图象观察可得 .
12. 已知定义在上的函数满足，且，若，则实数的取值范围为______.
【答案】
【解析】由题意可得，函数是定义在区间上的减函数，
不等式即：，据此有：
，求解关于实数t的不等式可得实数的取值范围为.
点睛：奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称，反之也成立．利用这一性质可简化一些函数图象的画法，也可以利用它去判断函数的奇偶性．
13. 函数，对任意的，总有，则实数的取值为_____________.【答案】3...
【解析】当时，不等式即：，
令，则，
函数在区间内单调递减，，
此时，
同理当时可得，
则实数的取值为3.
14. 已知函数对任意的，都有，求实数的取值范围
__________.
【答案】
【解析】问题等价于在区间上，，分类讨论：
当时，函数在区间上单调递增，则：，即，此时；
当时，函数在区间上单调递减，则：，即，此时，当时，不等式明显成立，
综上可得实数的取值范围是.
二、解答题：本大题共6小题，共90分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.
15. 已知复数，（为虚数单位，）
（1）若复数在复平面内对应的点位于第一、三象限的角平分线上，求实数的值；
（2）当实数时，求的值.
【答案】(1) (2)
【解析】试题分析：
(1)由题意得到关于实数,m的方程，解方程可得；
(2)首先求得复数z的值为，然后利用复数模的运算法则可得的值为.
试题解析：
（1）因为复数所对应的点在一、三象限的角平分线上，
所以，
解得.
（2）当实数时，.
，
所以的值为.
16. 已知函数
（1）化简；...
（2）若，求，的值.
【答案】(1) (2) ，
【解析】试题分析：
(1)利用诱导公式和同角三角函数基本关系化简可得
(2)利用同角三角函数基本关系结合题意可得，.
试题解析：
(1)
(2)由，平方可得，
即. ，
，
又，，，,
.
17. 已知函数的部分图象如图所示
（1）求函数的单调递减区间；
（2）求函数在区间上的取值范围.
【答案】(1) (2)
【解析】试题分析：
(1)首先求得函数的解析式为.据此可得函数的单调递减区间为
；
(2)由函数的定义域结合(1)中的解析式可得的取值范围是.
试题解析：
（1）由图象得A=2. 最小正周期T=.,
由得，，
又得，所以，所求函数的解析式为.
由得.所以，
函数的单调减区间为.
（2）
，即的取值范围是.
点睛：三角函数单调区间的确定，一般先将函数式化为基本三角函数标准式，然后通过同解变形或利用数形结合方法求解．对复合函数单调区间的确定，应明确是对复合过程中的每一个函数而言，同增同减则为增，一增一减则为减．...
18. 生产某种产品的年固定成本为250万元，每生产千件，需要另投入成本为，当年产量不足80千件时，（万元），当年产量不小于80千件时，
（万元），通过市场分析，每件商品售价为0.05万元时，该商品能全部售完 .
（1）写出年利润（万元）关于年产量（千件）的函数解析式（利润=销售额-成本）；（2）年产量为多少千件时，生产该商品获得的利润最大.
【答案】(1) (2) 当年产量为100 千件时,生产该商品获利润最大.
【解析】试题分析：
(1)由题意将利润函数写成分段函数的形式：
(2)利用导函数讨论函数的单调性，结合函数的定义域可得当年产量为100 千件时,生产该商品获利润最大.
试题解析：
(1)因为每件
．．商品售价为万元,则千件
．．商品销售额为万元,依题意得，当时,=当时,
.
(2)当时, .
，.此时,当x=60时,L(x)取得最大值L(60)=950（万元）当时, ，
当且仅当,即x=100时,L(x)取得最大值1000（万元）. 因为，所以当年产量为100千件时,生产该商品获利润最大.
答：当年产量为100 千件时,生产该商品获利润最大.
19. 已知函数是奇函数.
（1）求实数的值；
（2）判断函数在区间上的单调性并说明理由；
（3）当时，函数的值域为，求实数的值.
【答案】(1) (2)见解析（3）
【解析】试题分析：
(1)由奇函数的定义可得；
(2)利用题意结合函数单调性的定义可得当时在上是减函数，当时在上是增函数；
(3)利用题意分类讨论可得.
试题解析：
（1）由已知条件得对定义域中的均成立，
所以,即
即对定义域中的均成立，得，
当时显然不成立，所以. ...
（2）由（1）知，其定义域为
设，
当时，，所以；
当时，，即，
所以当时在上是减函数，
同理：当时在上是增函数；
（3），其定义域为，
(i) ,所以在上为增函数，
要使值域为，则（无解）.
(ii) ，则，所以在上为减函数，
要使值域为，则所以.
20. 已知函数
（1）设为偶函数，当时，，求曲线在点处的切线方程；（2）设，求函数的极值；
（3）若存在，当时，恒有成立，求实数的取值范围.【答案】(1) (2)见解析（3）
【解析】试题分析：
(1)利用题意首先求得函数的解析式，然后利用导函数与切线的关系可得切线方程为
.
(2)由函数的解析式对参数分类讨论即可求得函数的极值；
(3)分离系数后构造新函数，结合函数的性质可得实数的取值范围是.
试题解析：
（1）当时，=.
令，又为偶函数，所以，
当时，，
由点斜式方程得切线方程为.
（2）由已知.
所以，
当
所以上单调递增，无极值.
若，则当，...
当，
所以，当时，,无极小值.
（3）由已知，令 ,
当时恒成立.,
,即，不合题意.
解得，.
当
从而当即，
综上述，.
点睛：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出，本专题在高考中的命题方向及命题角度从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．(4)考查数形结合思想的应用．。