(推荐)高二下学期期末考试数学试卷
浙江杭州2024年高二下学期6月期末考试数学试题+答案
2023学年第二学期杭州市高二年级教学质量检测数学试题卷考生须知：1．本试卷分试题卷和答题卡两部分。
满分150分，考试时间120分钟。
2．答题前，必须在答题卡指定位置上用黑笔填写学校名、姓名、试场号、座位号、准考证号，并用2B 铅笔将准考证号所对应的数字涂黑。
3．答案必须写在答题卡相应的位置上，写在其他地方无效。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的。
1．已知复数11i =+z ，22i =−z （i 为虚数单位，2i 1=−），则复数21=−z z z 对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．命题“0∃>x ，23100−−>x x ”的否定是（ ） A ．0∀>x ，23100−−>x x B ．0∃>x ，23100−−≤x x C ．0∀≤x ，23100−−≤x xD ．0∀>x ，23100−−≤x x3．下列函数中，以π为最小正周期的奇函数是（ ） A ．sin 2=y xB ．cos =y xC ．2sin =y xD ．2cos =y x4．若甲、乙、丙三人排成一行拍照，则甲不在中间的概率是（ ） A ．14B ．13C ．23D ．345．在正方体1111−ABCD A B C D 中，P ，Q 分别是棱1AA 和1CC 上的点，113=PA AA ，113=BQ BB ，那么正方体中过点D ，P ，Q 的截面形状为（ ） A ．三角形B ．四边形C ．五边形D ．六边形6．在同一个坐标系中，函数()log =a f x x ，()=−g x a x ，()=ah x x 的图象可能．．是（ ） A ． B ． C ． D ．7．已知()sin 23sin 2γβα=+，则tan()tan()αβγαβγ++=−+（ ）A ．2−B ．14 C ．32D ．12−8．已知经过圆锥SO 的轴的截面是顶角为θ的等腰三角形，用平行于底面的截面将圆锥SO 分成两部分，若这两部分几何体都存在内切球（与各面均相切），且上、下两部分几何体的体积之比是1：7，则cos θ=（ ）A ．13B C ．79D 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分。
辽宁省大连育明高级中学2023-2024学年高二下学期期末考试数学试题(含答案)
大连育明高级中学2023~2024学年（下）期末考试高二 数学试卷满分150分 时间120分钟★祝考试顺利★注意事项：1.答卷前：先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证条码粘贴在答题卡上指定位置.2.选择题，每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.3.非选择题，用0.5mm 黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域，写在非答题区域无效.4.画图清晰，并用2B 铅笔加深.第Ⅰ卷（共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 已知集合，，则（ ）A B. C D. 2. 有四个命题：①若，则；②若，则；③若，，则；④若且，则．其中真命题是（ ）A. ①②③B. ①②④C. ①③④D. ②③④3. 已知等差数列和的前项和分别为和，且，则（ ）A.B.C.D.4. 下列命题中正确的是（ ）A. 以模型去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，将其变换后得到线性方程，则，的值分别是4和0.3B. 对两个变量，进行线性相关检验，得线性相关系数，对两个变量，进行线性相关检...的{}2A y y x =={B x y ==A B = [)0,∞+[)1,-+∞[]1,0-()1,0-a b >33a b >1a b >>log 2log 2a b >0a b <<0c d <<ac bd >12a <<03b <<22a b -<-<{}n a {}n b n n S n T 335n n S n T n +=+526a b b =+141741731315e kx y c =ln z y =0.34z x =+c k x y 10.8995r =u v验，得线性相关系数，则变量与正相关，变量与负相关，变量与的线性相关性较强C. 根据变量与的成对样本数据，计算得到，根据小概率值的独立性检验，可判断与有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05D. 某校高三（1）班和（2）班各有40名同学，其中参加数学兴趣社团的学生分别有10人和8人，现从这两个班中随机抽取一名同学，若抽到的是参加数学兴趣社团的学生，则他来自高三（1）班的概率是5. 若，则（ ）A. B. C. D. 6. 设等比数列中，，使函数在时取得极值，则的值是（ ）A. 或B.C. D. 7. 已知函数，则“有两个极值”的一个必要不充分条件是（ ）A.B. C. D. 8. 已知函数有三个不同的零点，，，且，则的值为（ ）A. 81B. ﹣81C. ﹣9D. 9二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 已知，且，则（ ）A. 的最小值是 B. 最小值为C.D.的最小值是10. 下列关于数列与其前项和的命题，表述正确的是（ ）20.9568r =-x y u v x y X Y 2 4.712=χ0.05α=()0.05 3.841x =X Y 94011221ln ,ln ,4433ea b c ===-c b a <<b c a <<c a b<<b a c<<{}n a 3a 7a ()3223733f x x a x a x a =+++=1x -05a ±±()221ln 2f x x x ax x =--()f x 11a -<<104a -<<102a -<<102a <<()()()()229ln 3ln 33f x x a x x a x =+-+-1x 2x 3x 1231x x x <<<2312123ln ln ln 333x x x x x x ⎛⎫ ⎛⎫⎛⎪⎫---⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎭⎝0,0a b >>1a b +=ab 14222a b +23+12a a b+1+{}n a n n SA. 若，则B. 若，则C. 若是等比数列，，则D. 若，则数列单调递增11. 下列说法正确的是（ ）．A. 函数在区间的最小值为B. 函数的图象关于点中心对称C. 已知函数，若时，都有成立，则实数的取值范围为D. 若恒成立，则实数的取值范围为第Ⅱ卷（共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 计算：______.13. 已知数列满足，，若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是______.14. 已知函数的定义域为为的导函数，且，，若为偶函数，则__________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15. 已知数列的首项为，且满足.（1）求数列的通项公式；（2）设数列的前项和为，求.16. 某校为了提高教师身心健康号召教师利用空余时间参加阳光体育活动．现有4名男教师，2名女教师报111,11n n a a a +==--202412a =112,2n n S S a +==12n n a -={}n a 241,4S S ==864S =12311n a a a a n =+ {}n a ()2sin f x x x =-[]0,ππ3-()321313f x x x x =--+81,3⎛⎫- ⎪⎝⎭()12ln f x ax x x=--212x x >≥()()2121121f x f x x x x x ->-a ()1,+∞e ln ax a x >a 1,e⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭10421116log 74⎛⎫++=⎪⎝⎭{}n a 14a =()*1222,nn n a a n n N -=+≥∈()2235n nn a λ--<-*n ∈N λ()(),f x g x (),g x 'R ()g x ()()10f x g x '+-=()()2410f x g x ---'-=()g x 20241()n f n ==∑{}n a 112a =131n n na a a +=+{}n a 2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭n n T n T名，本周随机选取2人参加．（1）求在有女教师参加活动的条件下，恰有一名女教师参加活动的概率；（2）记参加活动的女教师人数为X ，求X 的分布列及期望；（3）若本次活动有慢跑、游泳、瑜伽三个可选项目，每名女教师至多从中选择参加2项活动，且选择参加1项或2项的可能性均为，每名男教师至少从中选择参加2项活动，且选择参加2项或3项的可能性也均为，每人每参加1项活动可获得“体育明星”积分3分，选择参加几项活动彼此互不影响，记随机选取的两人得分之和为Y ，求Y 的期望．17. 已知函数在点处的切线方程为．⑴求函数的解析式；⑵若对于区间上任意两个自变量的值都有，求实数的最小值；⑶若过点可作曲线的三条切线，求实数的取值范围．18. 在“飞彩镌流年”文艺汇演中，诸位参赛者一展风采，奉上了一场舞与乐的盛宴.现从2000位参赛者中随机抽取40位幸运嘉宾，统计他们的年龄数据，得样本平均数.（1）若所有参赛者年龄服从正态分布，请估计参赛者年龄在30岁以上的人数（计算结果四舍五入取整数）；（2）若该文艺汇演对所有参赛者的表演作品进行评级，每位参赛者只有一个表演作品且每位参赛者作品有的概率评为类，的概率评为类，每位参赛者作品的评级结果相互独立.记上述40位幸运嘉宾的作品中恰有2份类作品的概率为，求的极大值点；（3）以（2）中确定的作为的值，记上述幸运嘉宾的作品中的类作品数为，若对这些幸运嘉宾进行颁奖，现有两种颁奖方式：甲：类作品参赛者获得1000元现金，类作品参赛者获得100元现金；乙：类作品参赛者获得3000元现金，类作品参赛者不获得现金奖励.根据奖金期望判断主办方选择何种颁奖方式，成本可能更低.附：若，则，，.19 已知函数（）．.()E X 1212()E Y ()()323,f x ax bx x a b R =+-∈()()1,1f 20y +=()f x []2,2-12,x x ()()12f x f x c -≤c ()()2,2M m m ≠()y f x =m 45.75μ=X ()2,15.75N μ%(0100)a a <<A ()1%a -B A ()p a ()p a 0a 0a a A Y A B A B ()2~,X N μσ{}0.6827P X μσ-<={2}0.9545P X μσ-<={3}0.9973P X μσ-<=1()2ln f x m x x x=-+0m >（1）求函数的单调区间；（2）证明：（，）；（3）若函数有三个不同的零点，求的取值范围．()f x 2322221111(1)(1)(1e 234n+++⋅⋅⋅+<*n ∈N 2n ≥221()ln 2g x m x x x=--+m大连育明高级中学2023~2024学年（下）期末考试高二数学试卷答案第Ⅰ卷（共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.【1题答案】【答案】A【2题答案】【答案】C【3题答案】【答案】C【4题答案】【答案】C【5题答案】【答案】C【6题答案】【答案】D【7题答案】【答案】A【8题答案】【答案】A二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.【9题答案】【答案】BC【10题答案】【答案】AD【11题答案】【答案】ABD第Ⅱ卷（共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.【12题答案】【答案】1【13题答案】【答案】【14题答案】【答案】2024四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.【15题答案】【答案】（1）; （2）.【16题答案】【答案】（1）（2）分布列及期望略. （3）【17题答案】【答案】（1）；（2）4；（3）.【18题答案】【答案】（1） （2）（3）选择甲方式成本更低【19题答案】【答案】（1）答案略； （2）证明略；（3）.37(,)8-∞131n a n =-()18342n n T n +=+-⨯89()13E Y =()33f x x x =-62m -<<16835(1,)+∞。
四川省乐山市2023-2024学年高二下学期期末考试数学试题
四川省乐山市2023-2024学年高二下学期期末考试数学试题一、单选题1．已知函数12()f x x =，则(4)f '=（ ）A ．14B ．12C ．1D ．22．已知数列13，…，按此规律， ） A ．第11项B ．第12项C ．第13项D ．第14项3．对变量x ，y 由观测数据()()*,i i x y i ∈N 得散点图1；对变量u ，v 由观测数据()()*,i i u v i ∈N 得散点图2．1r 表示变量x ，y 之间的线性相关系数，2r 表示变量u ，v 之间的线性相关系数，则下列说法正确的是（ ）A ．变量x 与y 呈现正相关，且12r r >B ．变量x 与y 呈现负相关，且12r r <C ．变量u 与v 呈现正相关，且12r r >D ．变量u 与v 呈现负相关，且12r r <4．某校准备从甲、乙等7人中选出4人参加社区服务工作，要求甲、乙至少有1人参加，则不同的方法有（ ） A ．35种B ．30种C ．25种D ．20种5．牛顿在《流数法》一书中，给出了高次代数方程的一种数值解法——牛顿法．设r 是()()2100f x x x x =+-=>的根，选取01x =作为r 的初始近似值，过点()()00,x f x 做曲线()y f x =的切线l ，l 与x 轴的交点的横坐标为1x ，称1x 是r 的一次近似值；过点()()11,x f x 做曲线()y f x =的切线，则该切线与x 轴的交点的横坐标为2x ，称2x 是r 的二次近似值．则2x =（ ）A ．23B ．1120C ．1321D ．17276．某市组织5名志愿者到当地三个学校开展活动，要求每个学校至少派一名志愿者，每名志愿者只能去一个学校，则不同的派出方法有（ ） A ．240种B ．150种C ．120种D ．60种7．某次大型联考10000名学生参加，考试成绩（满分100分）近似服从正态分布()2~,X N μσ（其中μ和σ分别为样本的均值和标准差），若本次考试平均成绩为65分，87分以上共有228人，学生甲的成绩为76分，则学生甲的名次大致是（ ）名．附：若随机变量X 服从正态分布()2,N μσ，则()0.6827P X μσμσ-<≤+≈，()220.9545P X μσμσ-<≤+≈，()330.9937P X μσμσ-<≤+≈．A ．456B ．1587C ．3174D ．84138．已知数列{}n a 的前n 项和2n S n =，记数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，则2024T =（ ）A ．40474048B ．20234048C ．40484049D ．20244049二、多选题9．设离散型随机变量X 满足()()5521C 0,1,2,3,4,533iii P X i i -⎛⎫⎛⎫=== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，则下列说法正确的是（ ） A ．()803243P X == B ．10()3E X =C ．5()3D X =D ．()3111E X +=10．已知等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，若258a a +=-，1412a a +=-，则下列说法正确的是（ ）A ．2d =-B ．211n a n =-C ．100S =D ．n S 最小值为25-11．若20242024240480124048(1())1x x a a x a x a x +-=++++L ，则（ ）A ．00a =B ．101220242024C a =C ．2024200i i a ==∑D ．4048120231(24)0483i i i ia -==⨯⋅∑12．在数列{}n a 中，11a =，12nn n a a +-=，若不等式312(1)1n n n a λ-+⋅-≥+对任意*n ∈N 恒成立，则实数λ的值可以是（ ）A ．1B ．0C ．1-D ．2-三、填空题13．由数字2，3，4，5可组成个三位数（各位上数字可重复，用数字作答）．14．一个不透明的箱子中有5个小球，其中2个白球，3个黑球，现从中任取两个小球，其中一个是白球，则另一个也是白球的概率是．15．数列{}n a 是各项均为正数的等比数列，满足1212118a a a a ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，345345111256a a a a a a ⎛⎫++=++ ⎪⎝⎭，则数列的通项n a =．16．已知函数11e 1()ex xf x a x a x--=-+-，若()0f x ≥有解，则a 的取值范围是．四、解答题17．某游泳俱乐部为了解中学生对游泳是否有兴趣，从某中学随机抽取男生和女生各50人进行调查，对游泳有兴趣的人数占总人数的45，女生中有5人对游泳没有兴趣．(1)完成下面2×2列联表：(2)依据0.05a =的独立性检验，能否认为游泳兴趣跟性别有关？ 附：()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，其中n a b c d =+++．18．已知函数2()()f x x x c =-．(1)若2c =，求函数()y f x =在(1,(1))f 处的切线方程； (2)讨论函数()y f x =的单调性．19．2020年至2023年全国粮食年产量y （单位：万万吨）的数据如下表：(1)请用相关系数判断y 关于x 的线性相关程度（计算时精确到小数点后2位，若0.75r >，则线性相关程度较高，若0.30.75r <<，则线性相关程度一般）； (2)求出y 关于x 的线性回归方程，并预测2025年全国粮食年产量．参考公式：相关系数()()niix x y y r --=∑()()()1122211ˆn niii ii i nniii i x x y y x y nx ybx x xnx====---⋅==--∑∑∑∑，截距a y bx =-$$．参考数据：4168.71i i i x y ==∑0.19 2.24．20．设数列{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，且111a b ==，328a b +=，2323a b -=-． (1)求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； (2)若数列{}n b 单调递增，记nn na cb =，求数列{}n c 的前n 项和n T ，并证明：13n T ≤<． 21．某校篮球队举行投篮与传球训练：(1)投篮规则如下：每名队员用一组篮球定点投篮，一组3个球，先投2个普通球，再投1个花球．记投进一个普通球得1分，普通球投进的概率为12；投进一个花球得2分，花球投进的概率为14．记某队员进行一组定点投篮训练后得分为X ，求X 的分布列和期望()E X ;(2)现选投篮成绩最好的3名队员进行传球展示，从甲开始，每次等可能地传给另外两名队员，接到球的队员又等可能地传给另外两名队员，如此反复，假设传出的球都能接住．求传了n 次球后，球在甲手上的概率n P ．22．已知函数()()e ,()()ln xf x a xg x x a x =+=+．(1)当0a =时，求函数()y f x =的极值； (2)当21e a ≥时，若()()12(0)f xg x t t ==>，求证：()1211ln ex x t +≥-．。
云南省曲靖市2023-2024学年高二下学期期末考试数学试卷(一)
云南省曲靖市2023-2024学年高二下学期期末考试数学试卷（一）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________二、多选题9．某高中为了调查本校学生一个月内在学习用品方面的支出情况，抽出了一个容量为n且支出在[)20,60元的样本，其频率分布直方图如图所示，则下列说法错误的是（）A．估计众数为45C．估计平均数为43 10．已知函数()2cos(f x w=2π，且5π是()f x的最小正零点，则（四、解答题15．已知ABCV的内角,,A B C的对边分别为,,a b c，且()cos cos tan2sin+=.b Cc B B a B(1)求；B(2)若2V的周长.2,sin6sin sin==，求ABCb B A C16．如图，在四棱锥P ABCD-中，PA^底面ABCD，四边形ABCD为正方形，M，N 分别为AB，PD的中点.(1)求证：//MN平面PBC；(2)若PA AD=，求直线MN与平面PCD所成角的正弦值.17．某兴趣小组为了研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系，请一所中学校医务室人员统计近期昼夜温差情况和到该校医务室就诊的患感冒学生人数，如下是2021年10月、11月中的5组数据：的斜率之和为0，试证明：对于任意非零实数k，直线l必过定点.19．已知函数()(1)ln=+-+.f x x x ax a(1)当1f处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；a=时，求函数()f x在点(1,(1))(2)若关于x的不等式()0+¥上恒成立，求实数a的取值范围.f x>在(1,)17．(1)ˆ0.95 5.41=+y x(2)分布列见解析；期望为1.8∵()~3,0.6X B ，∴()00300.60.40.064P X C 3==´´=()12310.60.40.288P X C ==´´=()22320.60.40.432P X C ==´´=()330330.60.40.216P X C ==´´=∴X 的分布列为答案第151页，共22页。
江苏省宿迁市2023-2024学年高二下学期6月期末考试数学试题(解析版)
高二年级调研测试数学本试卷共4页，19小题，满分150分，考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．将条形码横贴在答题卡上“条形码粘贴处”．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上．如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案．不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答无效．4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 计算012456C C C ++=（ ）A. 20B. 21C. 35D. 36【答案】B 【解析】【分析】利用组合数计算公式计算可得结果.【详解】由组合数计算公式可得01245665C C C 152112×++=++=×. 故选：B2. 已知样本数据121x +，221x +，…，21n x +的平均数为5，则131x +，231x +，…，31n x +的平均数为（ ） A. 6 B. 7C. 15D. 16【答案】B 【解析】【分析】根据平均数的性质即可得12,,,n x x x …的平均数为2，则可得到新的一组数据的平均数. 【详解】由题意，样本数据121x +，221x +，…，21n x +的平均数为5，设12,,,n x x x …的平均数为x ， 即215+=x ，解得2x =，根据平均数性质知131x +，231x +，…，31n x +的平均数为317x +=. 故选：B3. 下表是大合唱比赛24个班级的得分情况，则80百分位数是（ ） 得分 7 8 9 10 11 13 14 频数 4246242A. 13.5B. 10.5C. 12D. 13【答案】D 【解析】【分析】根据百分位数的定义求解即可.【详解】因为00248019.2×=，24个班级的得分按照从小到大排序， 可得80百分位数是第20个数为13. 故选：D4. 已知a ，b 为两条不同直线，α，β，γ为三个不同平面，则下列说法正确的是（ ） A. 若a b ∥，b α⊂，则//a α B. 若//a α，b α⊂，则//a b C. //αγ，//βγ，则//αβ D. 若αγ⊥，βγ⊥，则//αβ【答案】C 【解析】【分析】由线线、线面、面面的位置关系即可求得本题. 【详解】若//a b ，b α⊂，则//a α或a α⊂，则A 错； 若//a α，b α⊂，则//a b 或a 与b 异面，则B 错；//αγ，//βγ，由平行的传递性可知，//αβ，则C 对；若αγ⊥，βγ⊥，则//αβ或相交.，D 错， 故选：C.5. 已知,,A B C 三点不共线，O 为平面ABC 外一点，下列条件中能确定,,,M A B C 四点共面的是（ ）的.A. OM OA OB OC =++B. 3OM OA OB BC =−−C. 1123OM OA OB OC =++D. 32OM OA OB BC =−−【答案】D 【解析】【分析】根据空间向量基本定理对选项逐个进行验证即可得出结论.【详解】由空间向量基本定理可知，若,,,M A B C 四点共面，则需满足存在实数,,x y z 使得OM xOA yOB zOC =++，且1x y z ++=， 显然选项A ，C 不成立；对于选项B ，由3OM OA OB BC =−−可得()33OM OA OB OC OB OA OC =−−−=− ，不合题意，即B 错误；对于D ，化简32OM OA OB BC =−−可得()323OM OA OB OC OB OA OB OC =−−−=−− ，满足()()3111+−+−=，可得D 正确； 故选：D6. 已知随机事件A ，B ，3()10P A =，1()2P B =，1(|)3P B A =，则(|)P A B =（ ） A.15B.16 C.320D.110【答案】A 【解析】【分析】根据题意，由乘法公式代入计算可得()P AB ，再由条件概率公式，代入计算，即可得到结果. 【详解】因为3()10P A =，1()2P B =，1(|)3P B A =， 则()()131(|)31010P B A P A P AB ×=×==， 则()()1110(|)152P AB P A BP B ===. 故选：A7. 已知9290129(21)x a a x a x a x +=+++⋅⋅⋅+，则682424682222a a a a +++的值为（ ）A. 255B. 256C. 511D. 512【答案】A 【解析】【分析】利用二项式定理写出展开式的通项，令0x =求出0=1a ，分别令12x =、12x =−，再两式相加可得8202825622a a a +++=，再减去0a 即可. 【详解】令0x =，得0=1a ， 令12x =，得93891202389251222222a a a a a a ++++++== ， 令12x =−，得38912023********a a a a a a −+−++−= ， 两式相加得82028251222a a a+++=， 得8202825622a a a +++= ， 则682424682552222a a a a +++=. 故选：A.8. 某工厂有甲、乙、丙3个车间生产同一种产品，其中甲车间的产量占总产量的20%，乙车间占35%，丙车间占45%．已知这3个车间的次品率依次为5%，4%，2%，若从该厂生产的这种产品中取出1件为次 ） A.331000B.1033C.1433D.311【答案】C 【解析】【分析】根据题意，由全概率公式可得抽取到次品的概率，再由条件概率公式代入计算，即可求解. 【详解】记事件A 表示甲车间生产的产品， 记事件B 表示乙车间生产的产品， 记事件C 表示丙车间生产的产品， 记事件D 表示抽取到次品，则()()()0.2,0.35,0.45P A P B P C ===, ()()()0.05,0.04,0.02P D A P D B P D C ===，取到次品的概率为()()()()()()()P D P A P D A P B P D B P C P D C =++0.20.050.350.040.450.020.033=×+×+×=，若取到的是次品，此次品由乙车间生产的概率为：()()()()()()0.350.040.014140.0330.03333P B P D B P BD P B D P D P D ×=====.故选：C二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9. 下列选项中叙述正确有（ ）A. 在施肥量不过量的情况下，施肥量与粮食产量之间具有正相关关系B. 在公式1xy=中，变量y 与x 之间不具有相关关系C. 相关系数10.6r =时变量间的相关程度弱于20.8r =−时变量间的相关程度D. 某小区所有家庭年收入x （万元）与年支出y （万元）具有相关关系，其线性回归方程为ˆˆ0.8ybx =+．若20x =，16y =，则ˆ0.76b =． 【答案】ACD 【解析】【分析】AB 的正误，根据相关系数的性质可判断C 的正误，根据回归方程的性质可判断D 的正误.【详解】对于A ，在施肥量不过量的情况下，施肥量越大，粮食产量越高， 故两者之间具有正相关关系，故A 正确.对于B ，变量y 与x 之间函数关系，不是相关关系，故B 错误. 对于C ，因为210.80.6r r =>=，故相关系数10.6r =时变量间的相关程度弱于20.8r =−时变量间的相关程度，故C 正确.对于D ，因为回归直线过(),x y ，故ˆ16200.8b=×+，故ˆ0.76b =，故D 正确. 故选：ACD.10. 已知点(2,3,3)A −−，(2,5,1)B ，(1,4,0)C ，平面α经过线段AB 的中点D ，且与直线AB 垂直，下列选项中叙述正确的有（ ） A. 线段AB 的长为36的是B. 点(1,2,1)P −在平面α内C. 线段AB 的中点D 的坐标为(0,4,1)−D. 直线CD 与平面α【答案】BCD 【解析】【分析】由空间两点间的距离公式即可得到线段AB 的长，判断A ；由AB ⊥平面α，垂足为点D ，PD AB ⊥，即可判断B ；由中点坐标公式可得点D 的坐标，判断C ；设直线CD 与平面α所成的角为β，sin cos ,AB CD AB CD AB CDβ⋅==，通过坐标运算可得，判断D.【详解】因为点(2,3,3)A −−，(2,5,1)B ， 所以6AB =,故A 错误；设D 点的坐标为(),,x y z ，因为D 为线段AB 的中点，所以2235310,4,1222x y z −++−+======−， 则D 的坐标为(0,4,1)−，故C 正确；因为点(1,2,1)P −，则()1,2,0PD =− ，又()4,2,4AB =，则()()1,2,04,2,40PD AB ⋅=−⋅=，所以PD AB ⊥，即PD AB ⊥， 又AB ⊥平面α，垂足为点D ，即D ∈平面α，所以PD ⊂平面α，故B 正确；由(1,4,0)C ，(0,4,1)D −，得()1,0,1CD =−−，设直线CD 与平面α所成的角为β，则sin cos ,ABβ= ，故D 正确.故选：BCD.11. 甲袋中有2个红球、3个黄球，乙袋中有3个红球、2个黄球，同时从甲、乙两袋中取出2个球交换，分别记交换后甲、乙两个袋子中红球个数的数学期望为()E X 、()E Y ，方差为()D X 、()D Y ，则下列结论正确的是（ ）A. ()()5E X E Y +=B. ()()E X E Y <C. ()()D X D Y <D. ()()D X D Y =【答案】ABD 【解析】【分析】依题意可知不管如何交换红球个数始终只有5个，易知5X Y +=，利用期望值和方差性质可得A ，D 正确，C 错误；易知随机变量X 的所有可能取值为0,1,2,3,4，写出对应的概率并得出分布列，可得() 2.4E X =，()()5 2.6E Y E X =−=，可得B 正确.【详解】根据题意，记甲、乙两个袋子中红球个数分别为,X Y ， 不管如何交换红球个数始终只有5个，易知5X Y +=，对于A ，由期望值性质可得()()()55E X E Y E Y =−=−，即()()5E X E Y +=，所以A 正确； 对于B ，易知随机变量X 的所有可能取值为0,1,2,3,4； 当从甲袋中取出2个红球，乙袋中取出2个黄球后交换，可得()()22222255C C 105C C 100P X P Y ====×=， 当从甲袋中取出1个红球，1个黄球，乙袋中取出2个黄球后交换，或者从甲袋中2个红球，乙袋中取出1个红球，1个黄球后交换，可得()()1111223232222555C C C C C 12314C C C 10025P X P Y ====+×==；当从甲袋中取出1个红球，1个黄球，乙袋中取出1个红球，1个黄球；或者从甲袋中取出2个红球，乙袋中取出取出2个红球；或者从甲袋中取出2个黄球，乙袋中取出取出2个黄球后交换，可得()()1111222223233322222222555555C C C C C C C C 422123C C C C C C 10050P X P Y ====×+×+×==； 当从甲袋中取出2个黄球，乙袋中取出1个红球，1个黄球；或者从甲袋中取出1个红球，1个黄球，乙袋中取出取出2个红球后交换，可得()()21111232323322225555C C C C C C 36932C C C C 10025P X P Y ====×+×==；当从甲袋中取出2个黄球，乙袋中取出2个红球后交换，可得()()22332255C C 941C C 100P X P Y ====×=，随机变量X 的分布列为所以期望值()132******** 2.4100255025100E X =×+×+×+×+×=， 可得()()5 2.6E Y E X =−=，即()()E X E Y <，可得B 正确； 对于C ，D ，由方差性质可得()()()()()251D Y D X D X D X =−=−=，即可得()()D X D Y =，所以C 错误，D 正确. 故选：ABD【点睛】关键点点睛：根据题意可得随机变量满足5X Y +=，利用期望值和方差性质可判断出AD 选项，再求出随机变量X 的分布列可得结论.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12. 已知随机变量X 服从正态分布()295,N σ，若(80)0.3P X <=，则(95110)P X ≤<=______． 【答案】0.2##15【解析】【分析】根据正态分布的对称性结合已知条件求解即可. 【详解】因为随机变量X 服从正态分布()295,N σ，(80)0.3P X <=， 所以(95110)(8095)0.5(80)0.2P X P X P X ≤<=<<=−<=, 故答案为：0.213. 如图，用四种不同颜色给图中的,,,,A B C D E 五个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色．则不同的涂色方法共有______种．【答案】72 【解析】【分析】由图形可知点E 比较特殊，所以按照分类分步计数原理从点E 开始涂色计算可得结果.【详解】根据题意按照,,,,A B C D E 的顺序分5步进行涂色，第一步，点E 的涂色有14C 种，第二步，点A 的颜色与E 不同，其涂色有13C 种， 第三步，点B 的颜色与,A E 都不同，其涂色有12C 种，第四步，对点C 涂色，当,A C 同色时，点C 有1种选择；当,A C 不同色时，点C 有1种选择； 第五步，对点D 涂色，当,A C 同色时，点D 有2种选择；当,A C 不同色时，点D 有1种选择；根据分类分步计数原理可得，不同的涂色方法共有()111432C C C 121172×+×=种. 故答案为：7214. 如图，已知三棱锥−P ABC 的底面是边长为2的等边三角形，60APB ∠=°，D 为AB 中点，PA CD ⊥，则三棱锥−P ABC 的外接球表面积为______．【答案】20π3##20π3【解析】【分析】设PAB 外接圆的圆心为E ，三棱锥−P ABC 的外接球的球心为O ，连接OE ， ABC 的外接圆的圆心为G ，连接OG ，OB ，可证四边形OGDE 为矩形，利用解直角三角形可求外接球半径，故可求其表面积.【详解】因为ABC 为等边三角形，D 为AB 中点，故CD AB ⊥， 而PA CD ⊥，PA AB A = ，,PA AB ⊂平面PAB ，所以CD ⊥平面PAB . 设PAB 外接圆的圆心为E ，三棱锥−P ABC 的外接球的球心为O ，连接,OE BE ， 设ABC 的外接圆的圆心为G ，连接OG ，OB ， 则OE ⊥平面PAB ，OG CD ⊥故//OE CD ，故,,,O G D E 共面，而DE ⊂平面PAB ， 故CD DE ⊥，故四边形OGDE 为矩形.又12sinABBEAPB=×∠13OE DG CD===，故外接球半径为OB=，故外接球的表面积为1520π4π93×=，故答案为：20π3四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚．15.在()*23,Nnx n n≥∈的展开式中，第2，3，4项的二项式系数依次成等差数列．（1）证明展开式中不存在常数项；（2）求展开式中所有的有理项．【答案】（1）证明见解析；（2）7128x，4672x，280x，214x.【解析】【分析】（1）根据题意可求得7n=，利用二项展开式的通项可得展开式中不存在常数项；（2）由二项展开式的通项令x的指数为整数即可解得合适的k值，求出所有的有理项.【小问1详解】易知第2，3，4项的二项式系数依次为123C,C,Cn n n，可得132C+C2Cn n n=，即()()()121262n n n n nn−−−+=×，整理得()()270n n−−=，解得7n=或2n=（舍）；所以二项式为72x，假设第1k+项为常数项，其中Nk∈，即可得()1777277C 22C kk k kkk k x x −−−−=为常数项，所以1702k k −−=， 解得14N 3k =∉，不合题意； 即假设不成立，所以展开式中不存在常数项； 【小问2详解】由（1）可知，二项展开式的通项()1777277C22C kk k kk k k x x−−−−=可得， 其中的有理项需满足17Z 2k k −−∈，即37Z 2k −∈，且7k ≤；当30,77Z 2k k =−=∈，此时有理项为707772C 128x x =； 当32,74Z 2k k =−=∈，此时有理项为524472C 672x x =； 当34,71Z 2k k =−=∈，此时有理项为3472C 280x x =； 当36,72Z 2k k =−=−∈，此时有理项为16272142C x x−=； 综上可知，展开式中所有的有理项为7128x ，4672x ，280x ，214x . 16. 某校天文社团将2名男生和4名女生分成两组，每组3人，分配到A ，B 两个班级招募新社员． （1）求到A 班招募新社员的3名学生中有2名女生的概率；（2）设到A ，B 两班招募新社员的男生人数分别为a ，b ，记X a b =−，求X 的分布列和方差． 【答案】（1）35（2）85【解析】【分析】（1）由古典概型的概率求解122436C C 3C 5P ==； （2）由题意，X 的可能取值为2,0,2−，算出对应概率()2P X =−，()0P X =，()2P X =，即可列出X 的分布列，再求出()E X ，进而由公式求出方差．【小问1详解】到A 班招募新社员的3名学生中有2名女生的概率为122436C C 3C 5P ==. 【小问2详解】由题意，X 的可能取值为2,0,2−，则()032436C C 12C 5P X =−==，()122436C C 30C 5P X ===，()212436C C 12C 5P X ===， 所以X 的分布列为则()1312020555E X =−×+×+×=， 所以()()()()22213182000205555D X =−−×+−×+−×=. 17. 如图，正三棱柱111ABC A B C 中，D 为AB 的中点．（1）求证：1BC ∥平面1ACD ； （2）当1AA AB的值为多少时，1AB ⊥平面1ACD ?请给出证明． 【答案】（1）证明见答案. （2 【解析】【分析】（1）连接1AC ,交1AC 于点O ，连接DO ，能证出1//BC DO ，则能证出1BC ∥平面1ACD.（2）先把1AB ⊥平面1ACD 当做条件，得出11AB A D ⊥，得出1AA AB的值，过程要正面分析. 【小问1详解】连接1AC ,交1AC 于点O ，连接DO ， 因为O 是1AC 的中点，D 为AB 的中点， 所以DO 是1ABC 的中位线，即1//BC DO ,1BC ⊄平面1ACD ，DO ⊂平面1ACD ， 所以1BC ∥平面1ACD . 【小问2详解】1AA AB =时，1AB ⊥平面1ACD ，证明如下：因为1AA AB =，11tan A AB ∴∠，111tan AA DA B AD ∠= 1111A AB DA B ∴∠=∠，1112DA B AA D π∠+∠= ，1112A AB AA D π∴∠+∠=，即11AB A D ⊥.因为三棱柱111ABC A B C 为正三棱柱，ABC ∴ 为正三角形，且1AA ⊥平面ABC ，1,CD AB CD AA ∴⊥⊥，1AB AA A ∩=，AB ⊂平面11ABB A ，1AA ⊂平面11ABB A ，CD 平面11ABB A ，因为1AB ⊂平面11ABB A ，所以1AB CD ⊥，1A D CD D = ，1,A D CD ⊂平面1ACD ， 1AB ∴⊥平面1ACD .1AA AB∴18. 会员足够多的某知名户外健身俱乐部，为研究不高于40岁和高于40岁两类会员对服务质量的满意度．现随机抽取100名会员进行服务满意度调查，结果如下：年龄段满意度合计满意不满意 不高于40岁 50 20 70 高于40岁 25 5 30 合计7525100（1）问：能否认为，会员不高于40岁和高于40岁年龄结构对服务满意度有关；（2）用随机抽取的100名会员中的满意度频率代表俱乐部所有会员的满意度概率．从所有会员中随机抽取3人，记抽取的3人中，对服务满意的人数为X ，求X 的分布列和数学期望．参考公式：22()()()()()n ad bc a b c d a c b d χ−=++++（其中n a b c d =+++）．参考数据：()20P x χ≥ 0.150.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.0010x2.072 2.7063.841 5.024 6.635 7.879 10.828【答案】（1）不能认为会员不高于40岁和高于40岁年龄结构对服务满意度有关. （2）分布列见解析；94. 【解析】【分析】（1）首先根据列联表中的数据结合公式计算2χ值，然后对照表格得到结论；（2）由表格可知，对服务满意的人的概率为34，且33,4X B∼，根据二项分布公式即可求解． 【小问1详解】 由列联表可知：2217100(5052520)100.587255 2.072730630χ××−×<××==≈， 所以不能认为会员不高于40岁和高于40岁年龄结构对服务满意度有关. 【小问2详解】由表格可知，对服务满意人的概率为34，且33,4X B∼， 则0,1,2,3X =，可得：()303110C 464P X ===，()2133191C 4464P X === ， ()22331272C 4464P X ===，()3333273C 464P X === ， 故X 的分布列如图：可得()39344EX =×=. 19. 如图，在三棱台ABC DEF −中，2AB BC AC ===，1AD DF FC ===，N 为DF 的中点，二面角D AC B −−的大小为θ．（1）求证：AC BN ⊥； （2）若π2θ=，求三棱台ABC DEF −的体积； （3）若A 到平面BCFE cos θ的值． 【答案】（1）证明见解析； （2）78（3）3cos 5θ=−的【解析】【分析】（1）利用三棱柱性质，根据线面垂直的判定定理可得AC ⊥平面BMN ，可证明结论； （2）由二面角定义并利用棱台的体积公式代入计算可得结果；（3）建立空间坐标系，求出平面BCFE 的法向量，利用点到平面距离的向量求法即可得出cos θ的值. 【小问1详解】取AC 的中点为M ，连接,NM BM ；如下图所示：易知平面//ABC 平面DEF ，且平面ABC ∩平面DACF AC =，平面DEF ∩平面DACF DF =； 所以//AC DF ，又因为1AD FC ==， 可得四边形DACF 为等腰梯形，且,M N 分别为,AC DF 的中点，所以MN AC ⊥， 因为2AB BC AC ===，所以BM AC ⊥， 易知BM MN M = ，且,BM MN ⊂平面BMN ， 所以AC ⊥平面BMN ，又BN ⊂平面BMN ，所以AC BN ⊥； 【小问2详解】由二面角定义可得，二面角D AC B −−的平面角即为BMN ∠， 当π2θ=时，即π2BMN ∠=，因此可得MN ⊥平面ABC ，可知MN 即为三棱台的高，由1,2ADDF FC AC ====可得MN =；易知三棱台的上、下底面面积分别为DEFABC S S =因此三棱台ABC DEF −的体积为1738V =【小问3详解】由（1）知，BM AC ⊥，MN AC ⊥，二面角D AC B −−的平面角即为()0,πBMN θ∠=∈； 以M 为坐标原点，分别以,MA MB 所在直线为,x y 轴，过点M 作垂直于平面ABC 的垂线为z 轴建立如图所示的空间直角坐标系：可得()()()()1,0,0,1,0,0,,,0,0,0A C B N M θθ −，易知11,0,022NF MC==−，可得12F θθ − ；则()1,cos 2CBCF θθ =设平面BCFE 的一个法向量为(),,n x y z =，所以01cos sin 02n CB x n CF x y z θθ ⋅==⋅=++=， 令1y =，则1cos sin x z θθ−=，可得1cos sin n θθ−=； 显然()2,0,0AC =− ，由A 到平面BCFE，可得AC n n ⋅==，可得21cos 4sin θθ− =；整理得25cos 2cos 30θθ−−=，解得3cos 5θ=−或cos 1θ=； 又()0,πθ∈，可得3cos 5θ=−.【点睛】方法点睛：求解点到平面距离常用方法：（1）等体积法：通过转换顶点，利用体积相等可得点到面的距离；（2）向量法：求出平面的法向量，并利用点到平面距离的向量求法公式计算可得结果；。
山西省运城市20232024学年高二下学期期末考试数学含答案(可编辑)
运城市２０２３－２０２４学年第二学期期末调研测试高二数学试题２０２４ ７本试题满分１５０分，考试时间１２０分钟。
答案一律写在答题卡上。
注意事项：１ 答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。
２ 答题时使用０ ５毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。
３ 请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效。
４ 保持卡面清洁，不折叠，不破损。
一、选择题：本题共８小题，每小题５分，共４０分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．１．设全集Ｕ＝Ｒ，集合Ａ＝｛ｘ│ｙ＝２槡－ｘ｝，Ｂ＝｛ｙ│ｙ＝２ｘ，ｘ∈Ａ｝，则Ａ∩Ｂ＝Ａ．（－∞，２］Ｂ．［２，＋∞）Ｃ．（０，２］Ｄ．［２，４］２．函数ｆ（ｘ）＝│ｘ│（ｘ－１）的单调递减区间是Ａ．（－∞，０）Ｂ．（０，１２）Ｃ．（１２，１）Ｄ．（１，＋∞）３．函数ｙ＝ｓｉｎｘｅｘ＋ｅ－ｘ（ｘ∈［－２，２］）的图象大致为４．已知ｐ：３ｘ＋２＞１，ｑ：－２≤ｘ＜１，则ｐ是ｑ的（ ）条件．Ａ．充分不必要Ｂ．必要不充分Ｃ．充要Ｄ．既不充分也不必要５．已知函数ｆ（ｘ）＝（１３）ｘ，ｘ＞１１ｘ，０＜ｘ＜{１，则ｆ（ｆ（ｌｏｇ槡３２））＝Ａ．１４Ｂ．４Ｃ．１２Ｄ．２６．若（ｘ＋ｍｘ）（ｘ－１ｘ）５的展开式中常数项是２０，则ｍ＝Ａ．－２Ｂ．－３Ｃ．２Ｄ．３７．根据气象灾害风险提示，５月１２日～１４日某市进入持续性暴雨模式，城乡积涝和地质灾害风险极高，全市范围内降雨天气易涝点新增至３６处．已知有包括甲乙在内的５个排水施工队前往３个指定易涝路口强排水（且每个易涝路口至少安排一个排水施工队），其中甲、乙施工队不在同一个易涝路口，则不同的安排方法有Ａ．８６Ｂ．１００Ｃ．１１４Ｄ．１３６８．已知函数ｆ（ｘ）＝│ｌｎｘ│，ｘ＞０－ｘ２－４ｘ＋１，ｘ≤{０若关于ｘ的方程［ｆ（ｘ）］２－２ａｆ（ｘ）＋ａ２－１＝０有ｋ（ｋ∈Ｎ）个不等的实根ｘ１，ｘ２，…ｘｋ，且ｘ１＜ｘ２＜…＜ｘｋ，则下列结论正确的是Ａ．当ａ＝０时，ｋ＝４Ｂ．当ｋ＝２时，ａ的取值范围为ａ＜１Ｃ．当ｋ＝８时，ｘ１＋ｘ４＋ｘ６ｘ７＝－３Ｄ．当ｋ＝７时，ａ的取值范围为（１，２）二、选择题：本题共３小题，每小题６分，共１８分．在每小题给出的选项中有多项符合题目要求，全部选对得６分，部分选对的得部分分，有选错的得０分．９．已知全集Ｕ＝｛ｘ│ｘ＜１０，ｘ∈Ｎ｝，Ａ Ｕ，Ｂ Ｕ，Ａ∩（瓓ＵＢ）＝｛１，９｝，Ａ∩Ｂ＝｛３｝，（瓓ＵＡ）∩（瓓ＵＢ）＝｛４，６，７｝，则下列选项正确的为Ａ．２∈ＢＢ．Ａ的不同子集的个数为８Ｃ．｛１｝ ＡＤ．６ 瓓Ｕ（Ａ∪Ｂ）１０．已知由样本数据（ｘｉ，ｙｉ）（ｉ＝１，２，３，…，１０）组成的一个样本，得到经验回归方程为＾ｙ＝２ｘ－０．４，且ｘ＝２，去除两个样本点（－２，１）和（２，－１）后，得到新的经验回归方程为＾ｙ＝３ｘ＋ｂ＾．在余下的８个样本数据和新的经验回归方程中Ａ．相关变量ｘ，ｙ具有正相关关系Ｂ．新的经验回归方程为＾ｙ＝３ｘ－３Ｃ．随着自变量ｘ值增加，因变量ｙ值增加速度变小Ｄ．样本（４，８ ９）的残差为０．１１１．已知ｆ（ｘ）是定义在实数集Ｒ上的偶函数，当ｘ≥０时，ｆ（ｘ）＝２ｘ４ｘ＋１．则下列结论正确的是Ａ．对于ｘ∈Ｒ，ｆ（ｘ）＝２ｘ４ｘ＋１Ｂ．ｆ（ｘ）在（０，＋∞）上为减函数Ｃ．ｆ（ｘ）的值域为（－∞，１２］Ｄ．ｆ（０．３０．４）＞ｆ（－０．４０．３）＞ｆ（ｌｏｇ２３７）三、填空题：本题共３小题，每小题５分，共１５分．１２．已知函数ｆ（ｘ）＝ｘ３－ｓｉｎｘ（ａｘ－１）（３ｘ＋２）为奇函数，则实数ａ的值为．１３．一个袋子中有ｎ（ｎ∈Ｎ）个红球和５个白球，每次从袋子中随机摸出２个球．若“摸出的两个球颜色不相同”发生的概率记为ｐ（ｎ），则ｐ（ｎ）的最大值为．１４．已知函数ｆ（ｘ），ｇ（ｘ）的定义域均为Ｒ，ｆ（ｘ）为奇函数，ｇ（ｘ＋１）为偶函数，ｆ（－１）＝２，ｇ（ｘ＋２）－ｆ（ｘ）＝１，则∑６１ｉ＝１ｇ（ｉ）＝．四、解答题：本题共５小题，共７７分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．１５．已知集合Ａ＝｛ｘ│ｘ２－５ｘ－６＜０｝，集合Ｂ＝｛ｘ│［ｘ－（１－ａ）］［ｘ－（１＋ａ）］＞０｝，其中ａ＞０．（１）若ａ＝２，求Ａ∩（瓓ＲＢ）；（２）设命题ｐ：ｘ∈Ａ，命题ｑ：ｘ∈Ｂ，若ｐ是瓙ｑ的必要而不充分条件，求实数ａ的取值范围．１６．已知函数ｆ（ｘ）＝ｌｏｇ２（４ｘ＋ａ·２ｘ＋１６），其中ａ∈Ｒ．（１）若ａ＝－１０，求函数ｆ（ｘ）的定义域；（２）当ｘ∈［１，＋∞）时，ｆ（ｘ）＞ｘ恒成立，求实数ａ的取值范围．１７．某疾病可分为Ａ，Ｂ两种类型，为了解该疾病的类型与患者性别是否相关，在某地区随机抽取了１８００名该疾病的患者进行调查，发现女性患者人数是男性患者人数的１２，男性患Ａ型疾病的人数为男性患者人数的２３，女性患Ａ型疾病的人数是女性患者人数的３４．（１）根据所给信息完成下列２×２列联表：性别疾病类型Ａ型Ｂ型合计男女合计（２）基于（１）中完成的２×２列联表，依据小概率值α＝０．００１的 ２独立性检验，分析所患疾病的类型与性别是否有关？（３）某团队进行预防Ａ型疾病的疫苗的研发试验，试验期间至多安排２个周期接种疫苗，每人每个周期接种３次，每次接种费用为９元．该团队研发的疫苗每次接种后产生抗体的概率为２３，如果第一个周期内至少２次出现抗体，则该周期结束后终止试验，否则进入第二个周期，记该试验中１人用于接种疫苗的费用为ξ，求Ｅ（ξ）．附： ２＝ｎ（ａｄ－ｂｃ）２（ａ＋ｂ）（ｃ＋ｄ）（ａ＋ｃ）（ｂ＋ｄ），ｎ＝ａ＋ｂ＋ｃ＋ｄα０．１０００．０５００．０１００．００５０．００１α２．７０６３．８４１６．６３５７．８７９１０．８２８１８．基础学科招生改革试点，也称强基计划，是教育部开展的招生改革工作，主要是为了选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生．强基计划的校考由试点高校自主命题，某试点高校校考过程中笔试通过后才能进入面试环节．２０２２年报考该试点高校的学生的笔试成绩Ｘ近似服从正态分布Ｎ（μ，σ２）．其中，μ近似为样本平均数，σ２近似为样本方差ｓ２．已知μ的近似值为７６．５，ｓ的近似值为５．５，以样本估计总体．（１）假设有８４．１３５％的学生的笔试成绩高于该校预期的平均成绩，求该校预期的平均成绩大约是多少？（２）若笔试成绩高于７６．５分进入面试，若从报考该试点高校的学生中随机抽取１０人，设其中进入面试学生数为ξ，求随机变量ξ的期望．（３）现有甲、乙、丙、丁四名学生进入了面试，且他们通过面试的概率分别为１３、１３、１２、１２．设这４名学生中通过面试的人数为Ｘ，求随机变量Ｘ的分布列和数学期望．参考数据：若Ｘ～Ｎ（μ，σ２），则：Ｐ（μ－σ＜Ｘ≤μ＋σ）≈０．６８２７；Ｐ（μ－２σ＜Ｘ≤μ＋２σ）≈０．９５４５；Ｐ（μ－３σ＜Ｘ≤μ＋３σ）≈０．９９７３．１９．定义一种新的运算“ ”： ｘ，ｙ∈Ｒ，都有ｘ ｙ＝ｌｇ（１０ｘ＋１０ｙ）．（１）对于任意实数ａ，ｂ，ｃ，试判断（ａ ｂ）－ｃ与（ａ－ｃ） （ｂ－ｃ）的大小关系；（２）若关于ｘ的不等式（ｘ－１）２＞［（ａ２ｘ２） （ａ２ｘ２）］－ｌｇ２的解集中的整数恰有２个，求实数ａ的取值范围；（３）已知函数ｆ（ｘ）＝ｌｇ（ｘ＋４－２ｘ＋槡３），ｇ（ｘ）＝（１ ｘ） （－ｘ），若对任意的ｘ１∈Ｒ，总存在ｘ２∈［－３２，＋∞），使得ｇ（ｘ１）＝ｌｇ│３ｍ－２│＋ｆ（ｘ２），求实数ｍ的取值范围．命题人：康杰中学 张阳朋运城中学 吕莹高二数学期末答案一、1-8 C B BA B DCC 二、9.ABC 10．AB 11.ABD 三、12.3213.59 14.63四 、15.（1）15.2{|650}{|16}A x x x x x =+->=-<<， …………1分 ){{|[(1)][(1]0}|1x x a B x x a x a =---+<>=-或1}x a >+． ………… 2分若2a =，则{|1B x x =<-或3}x >，{}31|≤≤-=x x B C R ， ………… 4分{}31|)(≤<-=∴x x B C A R ………… 6分（2）若的必要而不充分条件是q p ⌝，{}a x a x B C A B C U U +≤≤-=⊆∴11 ， ………… 8分∴01116a a a >⎧⎪->-⎨⎪+<⎩，解得02a <<． ………… 12分 a ∴的取值范围是(0,2)． ………… 13分16.（1）当10a =-时，()()2log 410216xxf x =-⨯+，由4102160x x -⨯+>得()()22028xx-->， ………… 2分故22x <或28x >，得1x <或3x >， ………… 4分 故函数()()2log 410216xxf x =-⨯+的定义域为()(),13,-∞⋃+∞，………… 6分(2)解一：由()f x x >得()22log 4216log 2xxxa x +⋅+>=， ………… 7分得42216x x x a +⋅+>，即()041216xxa +-⋅+>， ………… 8分22116122 9所以当[)+∞∈,1x 时，()f x x >恒成立，即为()()2116g t t a t =+-⋅+在[)+∞∈,2t 上最小值大于0， ………… 10分函数()()2116g t t a t =+-⋅+的对称轴为12at -=， 当221<-a即3->a 时，函数()g t 在[)+∞,2上单调递增， 此时0218)2(>+=a g ，得9->a ，a <-∴3 ………… 12分 当221≥-a，即3-≤a 时，函数()g t 在对称轴取得最小值， 此时()21112211602g a a a a ⎪⎛⎫=⎝---⎛⎫⎛⎫ ⎪⎝⎭+-+ ⎭>⎪⎭⎝，得79a -<<，37-≤<-∴a ………… 14分 故a 的取值范围为()7,-+∞ ………… 15分 解二：由()f x x >得()22log 4216log 2xxxa x +⋅+>=， ………… 7分得42216x x x a +⋅+>，即()041216xxa +-⋅+>， ………… 8分设2x t =，因[)+∞∈,1x ，故22≥=x t ， ………… 9分 所以当[)+∞∈,1x 时，()f x x >恒成立，即）（21)16(162≥++-=-+->t tt t t t a ………… 11分 令1)16()(++-=t t t g 则”成立时“当且仅当==-≤++-=4,71)16()(t tt t g ………… 14分故a 的取值范围为()7,-+∞ ………… 15分 17. （1）设男性患者人数为m ，则女性患者人数为12m ，由118002m m +=12001200600 2 21200800336004504322⨯列联表如下：疾病类型性别A 型B 型 合计男 800 400 1200 女 450 150 600 合计12505501800………… 5分（2）零假设0H ：所患疾病的类型与性别无关， ………… 6分 根据列联表中的数据，经计算得到()2218008001504504001441200600125055011χ⨯⨯-⨯==⨯⨯⨯，…… 8分 由于20.00114413.09110.82811χχ=≈>=， ………… 9分 依据小概率值0.001α=的2χ独立性检验，可以认为所患疾病的类型与性别有关.… 10分 （3）接种疫苗的费用ξ可能的取值为27，54， ………… 11分223322220(27)C ()(1()33327P ξ==-+=， ………… 12分207(54)12727P ξ==-=， ………… 13分则ξ的分布列为ξ27 54P2027 727期望为()2072754342727E ξ=⨯+⨯= .………… 15分 18．解：（1）由()()0.50.841352P X P X μσμσμσ-<≤+>-=+=，………2分76.5 5.576.5 5.571 4（2）由76.5μ=得，()176.52P ξ>=， 即从所有参加笔试的学生中随机抽取1名学生，该生笔试成绩76.5以上的概率为12…5分 所以随机变量ξ服从二项分布110,2X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭， ………6分 所以()11052E ξ=⨯=． ………8分 （3）X 的可能取值为0，1，2，3，4． ………9分()220022111011329P X C C ⎛⎫⎛⎫==⨯-⨯⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ………10分 ()22100122221111111111113323223P X C C C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯⨯-⨯⨯-+⨯-⨯⨯⨯-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭,…11分()22201122221111112111323322P X C C C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⨯⨯⨯-+⨯⨯-⨯⨯⨯- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭220222111313236C C ⎛⎫⎛⎫+⨯-⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ………12分 6121311312112131)3(2221212222=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⨯+⎪⎭⎫⎝⎛⨯==C C C C X p ， ……13分()22222211143236P X C C ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ………14分 X 0 1 2 3 4()P X19 13 1336 16 136………15分 ∴()11131150123493366363E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=． ………17分 19. （1） ,x y ∀∈R ，()lg 1010xyx y ⊕=+∴()()lg 1010a b a b c c ⊕-=+-， ………2分10101010101010 45（2）()()()()222222222222lg 1010lg 210lg 2a x a xa xa x a x a x⊕=+=⨯=+∴原不等式可化为：()2221x a x ->，即()221210a x x --+>， ………6分满足题意，必有210a -<，即1a <-或1a >① ………7分令()()22121h x axx =--+，由于()010h =>，()21h a =-，结合①可得：()10h <， ………8分∴()h x 的一个零点在区间()0,1，另一个零点在区间[)1,2--， ………9分从而⎩⎨⎧>-≤-0)1(0)2(h h ，即⎩⎨⎧>+-⨯--⨯-≤+-⨯--⨯-01)1(2)1(101)2(2)2(12222）（）（a a ② ………10分 由①②可得：223232<≤-≤<-a a 或 ………11分 （3）()(lg 4f x x =+，()()lg 101010xxg x -=++ ………12分设4t x =+3,2x ⎡⎫∈-+∞⎪⎢⎣⎭r =，[)0,r ∈+∞，则()2132x r =-， ∴()()2221151*********t r r r r r =-+-=-+=-+≥， ………14分∴()lg 2f x ≥，()1()lg 32g x m f x =-+的值域为)lg 32lg 2,A m ⎡=-++∞⎣ ………15分1010101012x x -++≥=，∴()lg12g x ≥()g x 的值域为[)lg12,B =+∞ ………16分根据题意可知：B A ⊆，∴lg 32lg 2lg12m -+≤解之得：4833m -≤≤且23m ≠ ………17分为。
20232024学年四川省成都市第七中学高二下学期期末考试数学试卷
20232024学年四川省成都市第七中学高二下学期期末考试数学试卷1.若集合，，则集合B的真子集个数为（）A．5B．6C．7D．82.已知向量，，若，则（）A．B．C．D．3.已知是直线的方向向量，是平面的法向量，若，则（）A．B．C．D．44.已知等差数列和的前项和分别为和，且，则（）A．B．C．D．5.从1，3，5，7中任取2个数字，从2，4中任取1个数字，可以组成没有重复数字的三位数的个数是（）A．8B．12C．18D．726.某公司对员工的工作绩效进行评估，得到一组数据，后来复查数据时，又将重复记录在数据中，则这组新的数据和原来的数据相比，一定不会改变的是（）A．平均数B．中位数C．极差D．众数7.抛物线绕它的对称轴旋转所得到的曲面叫抛物面，用于加热水和水壶食物的太阳灶应用了抛物线的光学性质：一束平行于抛物线对称轴的光线，经过抛物面的反射后，集中于它的焦点．已知一束平行反射镜于轴的入射光线与抛物线的交点为，则反射光线所在直线被抛物线截得的弦长为（）A．B．C．D．8.函数的零点个数是（）A．8B．6C．4D．29.如图，正方体的棱长为2，则下列说法正确的是（）A．直线和所成的角为B．四面体的体积是C．点到平面的距离为D．平面与平面所成二面角的正弦值为10.在同一平面直角坐标系中，直线与圆的位置可能为（）A．B．C．D．11.把一枚质地均匀的骰子连续抛四次，设出现点数为奇数点的次数为，则下列结论中正确的是（）A．服从超几何分布B．服从二项分布C．D．若，则12.已知函数，则__________.13.如图，从甲地到乙地有2条路，从乙地到丁地有3条路；从甲地到丙地有4条路，从丙地到丁地有2条路，则从甲地去丁地，共有__________种不同的走法．14.若不等式恒成立，则的最小值为______________________．15.海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮汐，一般早潮叫潮，晚潮叫汐，潮汐具有周期现象.某海滨浴场内水位（单位：）是时间，单位：的函数，记作，下面是某天水深的数据：036912151821242 1.51 1.52 1.51 1.52经长期观察，的曲线可近似的满足函数.(1)根据表中数据，作出函数简图，并求出函数一个近似表达式；(2)一般情况下，水深超过1.25米该海滨浴场方可开放，另外，当水深超过1.75米时，由于安全原因，会被关闭，那么该海滨浴场在一天内的上午7：00到晚上19：00，有多长时间可以开放？16.在三棱台中，平面，，且，，为的中点，是上一点，且（）.(1)求证：平面；(2)已知，且直线与平面的所成角的正弦值为时，求平面与平面所成夹角的余弦值.17.3名同学去听同时举行的，，课外知识讲座，每名同学只能随机选择听其中1个讲座（每个讲座被选择是等可能的）.(1)记选择课外知识讲座的人数为随机变量，求的分布列与数学期望；(2)对于两个不相互独立的事件，，若，，称为事件，的相关系数.①已知，证明；②记事件“课外知识讲座有同学选择”，事件“至少有两个课外知识讲座有同学选择”，判断事件，是否独立，若独立，说明理由；若不独立，求.18.已知点为坐标原点，将向量绕逆时针旋转角后得到向量.(1)若，求的坐标；(2)若，求的坐标（用表示）；(3)若点在抛物线上，且为等边三角形，讨论的个数.19.设实系数一元二次方程①，有两根，则方程可变形为，展开得②，比较①②可以得到这表明，任何一个一元二次方程的根与系数的关系为：两个根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两个根的积等于常数项与二次项系数的比.这就是我们熟知的一元二次方程的韦达定理.事实上，与二次方程类似，一元三次方程也有韦达定理.设方程有三个根，则有③(1)证明公式③，即一元三次方程的韦达定理；(2)已知函数恰有两个零点.（i）求证：的其中一个零点大于0，另一个零点大于且小于0；（ii）求的取值范围.。
东北师大附中2024年高二下学期期末考试数学试卷(含答案解析)
东北师大附中2023—3024学年下学期高（二）年级期末考试（数学）科试卷注意事项：1.答题前，考生需将自己的姓名、班级、考场/座位号填写在答题卡指定位置上，并粘贴条形码.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.3.回答非选择题时，请使用0.5毫米黑色字迹签字笔将答案写在答题卡各题目的答题区域内，超出答题区域或在草稿纸、本试题卷上书写的答案无效.4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄皱、弄破，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀. 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.1. 设集合{}0,1,2,3,5A =，{}2|20B x xx =−>，则A B = （ ） A. {}0,1,2 B. {}0,3,5C. {}3,5D. {}52. 在等差数列{}n a 中，2a ，5a 是方程280x x m −+=的两根，则{}n a 的前6项和为（ ） A. 48B. 24C. 12D. 83. 二次函数()2213y x a x =+−−在[]1,3x ∈−上最大值为1，则实数a 值为（ ） A. 12−B. 13−C 12−或13−D. 1−或13−4. 命题0:(0,)p x ∞∃∈+，使得20010x x λ−+<成立.若p 为假命题，则λ的取值范围是（ ）A. {}2λλ≤ B. {}2λλ≥C. {}22λλ−≤≤D. {2λλ≤−或}2λ≥5. 已知x ∈R ，条件2:p x x <，条件1:q a x≥，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值不可能是（ ） A.12B. 1C. 2D. 2−6. 已知各项均为正数数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，1lg lg lg 2n n n a a ++=，*n ∈N ，则9S =.的（ ） A. 511B. 61C. 41D. 97. 已知函数(1)y f x =+是定义在R 上偶函数，且2()31)(f x f x ++−=，则（ ）A. ()10f =B. ()20f =C. ()31f =D. ()41f =8. 已知函数()()1e x f x x =+和()()ln g x x x a =+有相同的最小值.若()()12(0)f x g x t t ==>，则()22121ln 1tx x ++的最大值为（ ）A. e2B. eC. 2e 2D. 2e二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，选对但不全的得部分，有选错的得0分.9. 已知函数()1xxf x a a=−，其中0a >且1a ≠，则下列结论正确的是（ ）A. 函数()f x 是奇函数B. 函数()f x 的图象过定点()0,1C. 函数()f x 0=在其定义域上有解D. 当1a >时，函数()f x 在其定义域上为单调递增函数10. 定义在(0,)+∞上的函数()f x 满足e()()x xf x f x x′+=，则（ ）A.(π)(e)e πf f >B. 若2e (2)2f =，则2x =为()f x 的极值点C. 若(1)e f =，则1x =为()f x 的极值点D. 若(1)e f <，则()f x 在(0,)+∞上单调递增11. 记数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}2n a 的前n 项和为n T ，若112a =，点()1,n n a a +在函数()21f x x x =−+的图像上，则下列结论正确的是（ ）的A. 数列{}n a 递增B.112n a ≤< C ()1112n n a a +≥+ D. ()12n n S T n <+三、填空题：本大题共3小题，每小题4分，共12分.12. 设等比数列{}n a 的前n 项和是n S .已知3630,120S S ==，则12S =__________. 13. 已知正实数x ，y 满足3x y +=，若2111m m x y+>−+恒成立，则实数m 的取值范围为____________.14. ()1,0e1e ,02x x xx f x x + ≥ = −−<，若()()2g x mf x =−有且只有两个零点，则实数m 的取值范围是______．四、解答题：本大题共5小题，共58分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. 已知函数()()1e x f x x =+.（1）求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程； （2）求函数()f x 的单调区间和极值.16. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且212nn S n =−. （1）求数列{}n a 通项公式； （2）令11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前11项和11T . 17. 已知等差数列{}n a 满足124564,27a a a a a +=++=. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令3nnn b a =⋅，求数列{}n b 的前n 项和n S . 18. 已知函数()e ,()2ln(1)x f x ax g x x x =−=+−，其中a ∈R . （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）令()()()F x f x g x =−，证明：当()()0,e ,0,a x ∈∈+∞时，()12ln2F x >−..的19. 已知0a >，函数()()2πsin ,2sin ,0,24ax f x ax x g x x==∈. （1）当2a =时，证明：()()f x g x >；（2）若()()f x g x >恒成立，求a 的取值范围；（3）设集合()*1πcos,21nn n k A a a n k k ===∈ +∑N ，对于正整数m ，集合{}2mB x m x m =<<，记m A B 中元素的个数为m b ，求数列{}m b 的通项公式.东北师大附中2023—3024学年下学期高（二）年级期末考试（数学）科试卷注意事项：1.答题前，考生需将自己的姓名、班级、考场/座位号填写在答题卡指定位置上，并粘贴条形码.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.3.回答非选择题时，请使用0.5毫米黑色字迹签字笔将答案写在答题卡各题目的答题区域内，超出答题区域或在草稿纸、本试题卷上书写的答案无效.4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄皱、弄破，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀. 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.1 设集合{}0,1,2,3,5A =，{}2|20B x xx =−>，则A B = （ ） A. {}0,1,2 B. {}0,3,5C. {}3,5D. {}5【答案】C 【解析】【分析】由不等式220x x −>，解得2x >或0x <，再运用集合的交集即可. 【详解】由不等式220x x −>，解得2x >或0x <，则集合{|2x x >或0}x <， 又{}0,1,2,3,5A =， ∴ {}3,5A B = . 故选：C.2. 在等差数列{}n a 中，2a ，5a 是方程280x x m −+=的两根，则{}n a 的前6项和为（ ） A. 48 B. 24C. 12D. 8【答案】B 【解析】【分析】利用韦达定理确定258a a +=，根据等差数列性质有25168a a a a +=+=，在应用等差数列前n 项和公式即可求解..【详解】因为2a ，5a 是方程280x x m −+=的两根，所以258a a +=， 又因为{}n a 是等差数列，根据等差数列的性质有：25168a a a a +=+=， 设{}n a 的前6项和为6S ，则()166638242a a S +×==×=.故选：B3. 二次函数()2213y x a x =+−−在[]1,3x ∈−上最大值为1，则实数a 值为（ ）A. 12−B. 13−C. 12−或13−D. 1−或13−【答案】D 【解析】【分析】根据顶点的位置分两种情况讨论即可.【详解】()2213y x a x =+−−，则图像开口向上，对称轴为直线122ax −=. 当1212a −≤时，即12a ≥−，3x =时有最大值1,即9(21)331a +−×−=，解得13a =−； 当1212a−≥时，即12a ≤−，=1x −时有最大值1,即1(21)(1)31a +−×−−=，得1a =−； 故1a =−或13a =−.故选：D ．4. 命题0:(0,)p x ∞∃∈+，使得20010x x λ−+<成立.若p 为假命题，则λ的取值范围是（ ）A. {}2λλ≤ B. {}2λλ≥C. {}22λλ−≤≤ D. {2λλ≤−或}2λ≥【答案】A 【解析】【分析】根据题意可得p ¬为真命题，再参变分离求解即可．【详解】由题意，p 为假命题，故p ¬为真命题，故()20,,10x x x λ∀∈+∞−+≥﹐故()10,,x x xλ∀∈+∞≤+，又当()0,x ∈+∞时，12x x +≥=，当且仅当1x =时，等号成立， 所以λ的取值范围是{}2|λλ≤ 故选：A ．5. 已知x ∈R ，条件2:p x x <，条件1:q a x≥，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值不可能是（ ） A.12B. 1C. 2D. 2−【答案】C 【解析】【分析】先解出命题所对应的集合，再将条件之间的关系转化为集合间的关系，即可得解. 【详解】因为x R ∈，条件2:p x x <，条件1:q a x≥， 所以p 对应的集合()0,1A =，q 对应的集合1B x a x=≥， 又p 是q 的充分不必要条件，所以A B ， 当0a =时，集合{}100B xx x x=≥=>，满足题意；当>0a 时，集合110Bx a x x x a=≥=<≤ ，此时需满足11a ≥即01a <≤；当0a <时，集合()11,0,B xa x a ∞∞ =≥=−∪+，满足题意； 所以实数a 的取值范围为(],1−∞. 所以实数a 的取值不可能是2. 故选：C.【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是把命题间的关系转化为集合间的关系及分类求解命题q 对应的集合.6. 已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，1lg lg lg 2n n n a a ++=，*n ∈N ，则9S =（ ） A. 511B. 61C. 41D. 9【答案】B 【解析】【分析】利用对数运算法则可求得12nn n a a +=，即可知数列{}n a 的奇数项与偶数项分别成等比数列，再由分组求和可得结果.【详解】由1lg lg lg 2n n n a a ++=可得1lg lg 2nn n a a +=， 即12nn n a a +=，所以1122n n n a a +++=，两式相除可得22n na a +=； 即356413242a a a a a a a a =⋅==⋅⋅==， 由11a =可得22a =，因此数列{}n a 的奇数项是以11a =为首项，公比为2的等比数列， 偶数项是以22a =为首项，公比为2的等比数列，所以()()91239139248S a a a a a a a a a a =+++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+()()54112212611212×−×−=+=−−.故选：B7. 已知函数(1)y f x =+R 上的偶函数，且2()31)(f x f x ++−=，则（ ）A. ()10f =B. ()20f =C. ()31f =D. ()41f =【答案】D 【解析】【分析】函数(1)y f x =+是定义在R 上的偶函数，可知()f x 对称轴为1x =，又2()31)(f x f x ++−=可推出周期为4，根据函数的对称性和周期性即可判断正误.【详解】解：因为函数(1)y f x =+是定义在R 上的偶函数，所以()f x 关于1x =对称，则(1)(1)f x f x −=+，又2()31)(f x f x ++−=，所以2(1)3)(f f x x +++=，即()()()()()22,422f x f x f x f x f x +=−++=−++=， 函数()f x 的周期为4，取0x =，则()()()()(0)2222201f f f f f ⇒=+===， 所以()()401f f ==，则D 选项正确，B 、C 选项错误；由已知条件不能确定()1f 的值，A 选项错误； 故选：D. 8. 已知函数()()1e x f x x =+和()()ln g x x x a =+有相同的最小值.若()()12(0)f x g x t t ==>，则()22121ln 1tx x ++的最大值为（ ）A. e2B. eC. 2e 2D. 2e【答案】A 【解析】【分析】首先利用导数求出两个最小值，从而得到1a =，再代入得12ln x x =，化简得()222121ln 1ln 1ttt x x ++=+，最后设新函数()21ln (0)th t t t+=>，利用导数求解其最大值即可. 【详解】依题意，()()2e x f x x ′=+，可知<2x −时，()0f x ′<，此时()f x 单调递减；2x >−时，()0f x '>，此时()f x 单调递增；则2x =−时，()f x 取得极小值()212ef −=−，也即为最小值； 又()1ln 1,0ea g x x a x −−′=++<<时，()0g x ′<，此时()f x 单调递减；1e a x −−>时，()0g x ′>，此时()f x 单调递增；则1e a x −−=时，()g x 取得极小值()11e ea a g −−−−=−，也即为()g x 最小值.由121e ea −−−=−，解得1a =. 因为()()12(0)f x g x t t ==>，所以()()11221e ln 1(0)xx x x t t +=+=>，可知1211,e x x >−>，且12ln x x =，所以()()2222212221ln 1ln 1ln 1ln 1t t tt x x x x +++==++，令()21ln (0)t h t t t +=>，则()312ln t h t t −−=′，当()120e ,0t h t −<′<>，此时()f x 单调递增； 当()12e ,0t h t −>′<，此时()f x 单调递减；故12e t −=时，()h t 取极大值12ee 2h − = ，也即为最大值.故选：A .【点睛】关键点点点睛：本题的关键是通过导数求出两函数最小值，从而解出1a =，再代入减少变量得()222121ln 1ln 1ttt x x ++=+，最后设新函数，利用导数求出其最大值即可. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，选对但不全的得部分，有选错的得0分.9. 已知函数()1xxf x a a=−，其中0a >且1a ≠，则下列结论正确的是（ ）A. 函数()f x 是奇函数B. 函数()f x 的图象过定点()0,1C. 函数()f x 0=在其定义域上有解D. 当1a >时，函数()f x 在其定义域上单调递增函数 【答案】ACD 【解析】【分析】对选项A ，利用奇函数的定义即可判断A 正确，对选项B ，根据()00f =即可判断B 错误，对选项C ，令()0xxf x a a−==−求解即可判断C 正确，对选项D ，根据指数函数单调性即可判断D 正确.【详解】函数()1xx x x f x a a a a − =−=−， 对选项A ，()xxf x a a−=−，定义域为R ，()()xxf x a a f x −−=−=−， 所以函数()f x 是奇函数，故A 正确. 对选项B ，()000f a a ==−，故B 错误.对选项C ，()xxf x a a−=−，定义域为R ，令()0xxf x a a−==−，解得0x =，为故C 正确.对选项D ，当1a >时，101a <<，所以x y a =和1xy a=−在R 上为增函数，所以函数()1xxf x a a=−在R 上为单调递增函数，故D 正确.故选：ACD10. 定义在(0,)+∞上的函数()f x 满足e()()x xf x f x x′+=，则（ ）A.(π)(e)e πf f >B. 若2e (2)2f =，则2x =为()f x 的极值点C. 若(1)e f =，则1x =为()f x 的极值点D. 若(1)e f <，则()f x 在(0,)+∞上单调递增 【答案】ABD 【解析】【分析】令()()g x xf x =且,()0x ∈+∞，结合已知可得()0g x ′>，即可判断A ；将已知条件化为2e ()()x xf x f x x−′=且,()0x ∈+∞，再令()e ()x h x xf x =−并应用导数研究单调性得()(1)e (1)h x h f ≥=−，进而判断B 、C 、D.【详解】令()()g x xf x =且,()0x ∈+∞，则e ()()()0xg x f x xf x x′′=+=>，所以()g x 在(0,)+∞上递增，则(π)(e)π(π)e π((e π)(e))e f g f f g f >>⇒>⇒，A 对； 由题设2e ()()x xf x f x x−′=且,()0x ∈+∞， 令()e ()x h x xf x =−，则1()e ()()e (1)x xh x f x xf x x′′=−−=−， 当01x <<时()0h x ′<，即()h x 递减；当1x >时()0h x ′>，即()h x 递增；所以()(1)e (1)h x h f ≥=−， 若2e (2)2f =，则2(2)e 2(2)0(1)h f h =−=>，所以(1,2)上2()()0h x f x x′=<，()f x 递减；(2,)+∞上2()()0h x f x x ′=>，()f x 递增； 故2x =为()f x 的极值点，B 对；若(1)e f =，则()0h x ≥，即()0f x ′≥，故()f x 在(0,)+∞上递增，故1x =不是()f x 的极值点，C 错； 若(1)e f <，则()0h x >，即()0f x ′>，故()f x 在(0,)+∞上单调递增，D 对. 故选：ABD【点睛】关键点点睛：对于B 、C 、D ，由2e ()()x xf x f x x−′=且,()0x ∈+∞，并构造()e ()x h x xf x =−且应用导数研究其单调性和极值为关键.11. 记数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}2n a 的前n 项和为n T ，若112a =，点()1,n n a a +在函数()21f x x x =−+的图像上，则下列结论正确的是（ ）A. 数列{}n a 递增B.112n a ≤< C. ()1112n n a a +≥+ D. ()12n n S T n <+【答案】ABD 【解析】【分析】根据题意得到n a ，1n a +的关系式，选项A ，将式子变形，可判断数列{}n a 的增减性；选项B ，利用递推关系式得到1n a −与11n a +−同号，结合112a =即可判断；选项C ，将式子变形，利用B 中的结论即可判断；选项D ，将2n n S T −转化为数列{}22n n a a −的前n 项和，然后结合递推关系式即可求解． 【详解】由题意知211n n n a a a +=−+， 选项A ：所以()2110n n n a a a +−=−≥，故1n n a a +≥，若存在1n n a a +=，则有()2110n n n a a a +−=−=，即存在1n a =，当1n =时，11a =，与112a =矛盾， 当2n ≥时，由211n n n a a a +=−+得2111n n n a a a −−=−+，若1n a =，有2110n n a a −−−=，则10n a −=或11n a −=，若10n a −=与112a =且1n n a a +≥矛盾；若1n a =时有11n a −=，递推可得11a =，与112a =矛盾， 综上，不存在1n n a a +=，所以1n n a a +>，故数列{}n a 递增，故A 正确． 选项B ：数列{}n a 递增，112a =，故12n a ≥，故()2111n n n n n a a a a a +=−−=−，所以1n a −与11n a +−同号， 因11102a −=−<，所以10n a −<，即1n a <． 综上，112n a ≤<，故B 正确． 选项C ：由选项B 知112n a ≤<，所以()()2211212112312102n n n n n n n n n a a a a a a a a a +−−=−+−−=−+=−−≤ ，即()1112n n a a +≤+，故C 错误．选项D ：由题意，2n n S T −可视为数列{}22n n a a −的前n 项和，因为2121n n n n a a a a +−=+−， 所以()()()12231112111n n n n n S T a a a a a a n a a ++−=+−++−+++−=+− ， 又{}n a 递增，所以110n a a +−<，故112n n n S T n a a n +−=+−<，即()12n n S T n <+，故D 正确． 故选：ABD.【点睛】思路点睛：选项中的不等式，要通过已知条件进行构造，如C 选项需要构造121n n a a +−−的形式，并判断121n n a a +−−的符号；D 选项则需构造2n n S T −，比较2n n S T −与n 的大小关系，将2n n S T −转化为数列{}22n n a a −的前n 项和是解题关键.三、填空题：本大题共3小题，每小题4分，共12分.12. 设等比数列{}n a 的前n 项和是n S .已知3630,120S S ==，则12S =__________. 【答案】1200 【解析】【分析】根据等比数列片段和的性质分析求解.【详解】因为n S 是等比数列{}n a 的前n 项和且30S ≠，为可知3S ，63S S −，96S S −，129S S −也成等比数列， 又因为330S =,6120S =，则6333S S S −=， 可得296303270S S −=×=，3129303810S S −=×=，所以96270390S S =+=，1298101200S S =+=. 故答案为：1200.13. 已知正实数x ，y 满足3x y +=，若2111m m x y+>−+恒成立，则实数m 的取值范围为____________.【答案】【解析】【分析】根据基本不等式求得不等式左边的最小值，建立不等式21m m −<，解出即可.【详解】因为0,0x y >>且3x y +=，则()14x y ++= 则()11111111214141y x x y x y x y x y+ +=+++=++ +++1214≥×+= ， 当且仅当11y x x y+=+，即1,2x y ==时，等号成立， 因为不等式2111m m x y +>−+恒成立，则21m m −<m <<， 所以实数m的取值范围为.故答案为：.14. ()1,0e1e ,02x x xx f x x + ≥ = −−<，若()()2g x mf x =−有且只有两个零点，则实数m 的取值范围是______．【答案】()(),42e,−∞−+∞ 【解析】【分析】当0x ≥时，求导得到单调区间，根据平移和翻折得到函数图象，变换得到()2f x m=，根据函数图象得到102e m <<或1202m−<<，解得答案. 【详解】当0x ≥时，()exx f x =，()1e x xf x =′−， 当[)0,1x ∈时，()0f x ′>，函数()f x 单调递增；当[)1,x ∞∈+时，()0f x ′≤，函数()f x 单调递减，且()11ef =， 当0x <时， ()11e 2x f x +=−−，其图象可以由e x y =的图象向左平移一个单位， 再向下平移12个单位，再把x 轴上方的图象翻折到x 轴下方得到， 画出函数图象，如图所示：()()2g x mf x =−，当0m =时，()2g x =−，无零点；当0m ≠时，()()20g x mf x =−=，即()2f x m =， 函数()g x 有两个零点，即函数()f x 与函数2y m=的图象有两个交点，根据图象知：102e m <<或1202m−<<，解得2e m >或4m <− 故实数m 的取值范围是()(),42e,∞∞−−∪+. 故答案为：()(),42e,∞∞−−∪+.【点睛】关键点睛：本题考查了利用导数解决函数的零点问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中画出函数图象，将零点问题转化为函数图象的交点问题是解题的关键，数形结合的思想.需要熟练掌握.四、解答题：本大题共5小题，共58分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. 已知函数()()1e x f x x =+.（1）求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程； （2）求函数()f x 的单调区间和极值.【答案】（1）30e e x y −−=（2）答案见详解 【解析】【分析】（1）求导，根据导数的几何意义求切线方程； （2）根据导数求单调区间，进而可得极值. 【小问1详解】 因为()()1e x f x x =+，则()()()1e e 2e x x x f x x x =++=+′，可得()12e f =，()13e f ′=，即切点坐标为()1,2e ，斜率3e k =，所以切线方程为()2e3e 1y x −=−，即30e e x y −−=. 【小问2详解】因为函数()f x 的定义域为R ， 由（1）可知：()()2e xf x x +′=，令()0f x ′>，解得2x >−；令()0f x ′<，解得<2x −；所以函数()f x 的单调递减区间为(),2∞−−，单调递增区间为()2,∞−+，且函数()f x 的极小值为()212e f −=−，无极大值. 16. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且212nn S n =−. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）令11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前11项和11T . 【答案】（1）213na n =−（2）111−【解析】【分析】（1）利用n a 与n S 的关系求解即可； （2）利用裂项相消法求解即可. 【小问1详解】因为212nn S n =−， 当1n =时，1111a S ==−； 当2n ≥时，()()()122111221321n nn n n a S S n n n − ==−−−−=−−−；经检验：111a =−满足213n a n =−，所以213na n =−. 【小问2详解】由（1）得：()()1111112132112213211n n n b a a n n n n +===×− −−−−， 所以11111111111112119979112111111T =−+−++−=−−=−−−−− . 17. 已知等差数列{}n a 满足124564,27a a a a a +=++=. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令3nnn b a =⋅，求数列{}n b 的前n 项和n S . 【答案】（1）21na n =− （2）()1133n n S n +=−⋅+【解析】【分析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，根据等差数列通项公式列式解出1,a d ，即可得到答案； （2）由条件可得()()11233n n n n n b +−⋅−−⋅=，利用裂项相消法运算求解.【小问1详解】设等差数列{}n a 公差为d ，的则()1214561243427a a a d a a a a d +=+= ++=+= ，解得112a d = = ，所以()12121n a n n =+−=−. 【小问2详解】由（1）可知：()()()121333123nn n n nn n n b n a +=−⋅=−⋅−−⋅=⋅，则()()()()343110313023133331213n n n n n n S n ++=−−+×−+×−×+⋅⋅⋅−⋅−−⋅=−⋅++，所以()1133n n S n +=−⋅+.18. 已知函数()e ,()2ln(1)x f x ax g x x x =−=+−，其中a ∈R . （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）令()()()F x f x g x =−，证明：当()()0,e ,0,a x ∈∈+∞时，()12ln2F x >−.【答案】（1）答案见详解 （2）证明见详解 【解析】【分析】（1）求导，分0a ≤和0a >两种情况，利用导数求原函数的单调性；（2）根据题意利用导数分析原函数单调性和最值可得ff (xx )>e xx −aaxx ≥0，()()12ln 21g x g ≤=−，即可得结果.【小问1详解】由题意可知：()f x 的定义域为R ，且()e ′=−x f x a ， 若0a ≤，则()e 0x f x a ′=−>对任意x ∈R 恒成立， 可知()f x 在(),∞∞−+内单调递增；若0a >，令()0f x ′>，解得ln x a >；令()0f x ′<，解得ln x a <； 可知()f x 在(),ln a ∞−内单调递减，在()ln ,a ∞+内单调递增； 综上所述：若0a ≤，()f x 在(),∞∞−+内单调递增；若0a >，()f x 在(),ln a ∞−内单调递减，在()ln ,a ∞+内单调递增. 【小问2详解】若e a =，则()e e xf x x =−，由（1）可知：()f x 在(),1∞−内单调递减，在()1,∞+内单调递增，所以()()10f x f ≥=，即e e 0x x −≥当且仅当1x =时，等号成立， 因为()()0,e ,0,a x ∞∈∈+，则ff (xx )>e xx −aaxx ≥0，即()0f x >；因为()2ln(1)g x x x =+−，则()21111xg x x x −=−=′++， 且0x >，令()0g x ′>，解得01x <<；令()0g x ′<，解得1x >； 可知()f x 在()1,∞+内单调递减，在()0,1内单调递增， 可得()()12ln 21g x g ≤=−，即()12ln 2g x −≥−； 所以FF (xx )=ff (xx )−gg (xx )>1−2ln 2. 【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式的基本步骤（1）作差或变形； （2）构造新的函数()h x ；（3）利用导数研究()h x 的单调性或最值； （4）根据单调性及最值，得到所证不等式．特别地：一般转化为分别求左、右两端两个函数的最值问题．19. 已知0a >，函数()()2πsin ,2sin ,0,24ax f x ax x g x x==∈. （1）当2a =时，证明：()()f x g x >；（2）若()()f x g x >恒成立，求a 的取值范围；（3）设集合()*1πcos ,21nn n k A a a n k k ===∈ +∑N ，对于正整数m ，集合{}2m B x m x m =<<，记m A B 中元素的个数为m b ，求数列{}m b 的通项公式.【答案】（1）证明见详解 （2）(]0,2 （3）m b m =【解析】【分析】（1）令()()()π,0,4F x f x g x x=−∈，求导，利用导数判断函数单调性，求最小值即可证明；（2）对a 的值分类讨论，利用导数判断函数单调性，求最小值，判断能否满足()0F x >； （3）利用（1）中结论，cosπ2kk (kk+1)>1−π2kk (kk+1)，通过放缩并用裂项相消法求()1πcos21nk k k =+∑，有()1π1cos21nk n n k k =−<<+∑，可得m b m =.【小问1详解】令()()()2πsin 2sin,0,24ax F x f x g x ax x x =−=−∈， 若2a =，则()()22sin 2sin 2sin sin F x x x x x x x =−=−， 又因为π04x <<，2sin 0x >． 设()sin h x x x =−，π04x <<， 则ℎ′(xx )=1−cos xx >0，可知()h 在π0,4上单调递增， 可得()()00h x h >=， 即()0F x >，所以()()f x g x >. 【小问2详解】 因为()22sin1cos 22axg x ax ==−， 由（1）可知：()sin cos 1F x ax x ax +−，π04x <<， 原题意等价于()0F x >对任意π0,4x∈恒成立， 则()()sin cos sin Fx a x x x ax −′=+， 当02a <≤时， 注意到π022ax x <≤<，则sin sin2ax x ≤， 可得()()()()sin cos sin2sin 1cos sin cos F x a x x x x a x x x x x ′ ≥+−=−+− ，由（1）得sin 0x x −>，则()0F x ′>，可知()F x 在π0,4上单调递增，则()()00F x F >=，满足题意； 当2a >时，令()()()sin cos sin x F x a x x x ax ϕ==+−′，π04x <<， 则()()()222cos sin cos 2cos cos x a x x x a ax a a ax a ax a ϕ =−−<−=−′， 因为201a <<，可知存在0,2a πθ ∈ ，使得2cos a a θ=， 当(0,)x θ∈时，0,()ax a θ∈，()2220x a a a ϕ < ′−=， 可知()x ϕ在()0,θ上单调递减，则()()00x ϕϕ<=， 即()0F x ′<在()0,θ上恒成立，可知()F x 在()0,θ上单调递减，则()()00F F θ<=，不合题意； 综上所述：a 的取值范围为(]0,2．所以a 的取值范围为(]0,2.【小问3详解】由（1）可知2a =时，cos212sin 12x x x x >−>−，则cos π2kk (kk+1)>1−π2kk (kk+1)=π�1kk −1kk+1�， 1n =时，()1πcos21n kk k ==+∑； 2n =时，()1πcos21n k k k =+∑ 3n ≥时，∑cos nn kk=1π2kk (kk+1)≥√22+√6+√24+nn −2−π2�13−1nn+1�>nn −2+3√2+√6π， √2√6�2−202√12184>0，则√2√6�2>202，即200−>，π411066−>−−=>π16>， 得∑cos nn kk=1π2kk (kk+1)>nn −2+3√2+√64−π6>nn −1，又()1πcos21n k n k k =<+∑， 1n =时，01<<，2n =时，12<<， 所以N n ∗∈时，都有()1π1cos 21n k n n k k =−<<+∑， ()*1πcos ,21n n n k A a a n k k = ==∈ +∑N ，则N n ∗∈时，集合A 在每个区间()1,n n −都有且只有一个元素， 对于正整数m ，集合{}2m B x m x m =<<，记m A B 中元素的个数为m b， 由2m m m −=，所以m b m =.【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用； 二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理，利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用，不等式问题，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.。
浙江省台州市2023-2024学年高二下学期6月期末考试数学试题含答案
台州市2023学年第二学期高二年级期末质量评估试题数学（答案在最后）2024.6一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.集合{}3A x x =≤，集合{}2,3,4,5B =，则A B = （）A.{}3x x ≤ B.{}2,3 C.{}2,3,4,5 D.{}345x x x x ≤==或或【答案】B 【解析】【分析】根据题意结合集合间的交集运算求解.【详解】因为集合{}3A x x =≤，集合{}2,3,4,5B =，所以{}2,3A B ⋂=.故选：B.2.复数z 及其共轭复数z 满足232i z z +=+（其中i 是虚数单位），则z =（）A.23i 3-+B.23i 3--C.12i+ D.12i-【答案】D 【解析】【分析】设出复数z 的代数形式，结合共轭复数及复数相等求出z 即可.【详解】设i,,z a b a b =+∈R ，由232i z z +=+，得i 2(i)32i a b a b ++-=+，即3i 32i a b -=+，因此1,2a b ==-，所以12z i =-.故选：D3.已知向量()1,a x = ，(),4b x = ，x ∈R ．若()//a b b +，则x =（）A.2B.2或2-C.4- D.4-或1-【答案】B 【解析】【分析】根据向量共线的坐标表示式列出方程，求解即得.【详解】因()1,a x =，(),4b x = ，则(1,4)a b x x +=++ ，由()//a b b +可得，(4)4(1)x x x +=+，解得，2x =或2-.故选：B.4.已知a ，b 为正实数，22411a b +=，则（）A.ab 的最小值为4B.ab 的最大值为4C.ab 的最小值为2D.ab 的最大值为2【答案】A 【解析】【分析】由题设条件等式，运用基本不等式计算即得.【详解】因a ，b 为正实数，由22411a b +=可得22412412a b ab ab =+≥⨯=，即得4ab ≥，当且仅当21a b=时取等号，即a b ==时，ab 的最小值为4.故选：A.5.设定义在R 上的函数()sin2f x x =．记()()1f x f x =，对任意的*n ∈N ，()()1n n f x f x +'⎡⎤=⎣⎦，则()2024f x =（）A.sin2xB.cos2x- C.20232cos2x- D.20242sin2x【答案】C 【解析】【分析】根据题意，由复合函数的求导法则可得对于*n ∈N ，若n 能被4整除，则()12cos 2n n f x x -=-，代入计算，即可求解.【详解】由题意可得，()1sin2f x x =，()()2sin 22cos 2f x x x '==，()()232cos 22sin 2f x x x '==-，()()2342sin 22cos 2f x x x =-=-，()()3452cos 22sin 2f x x x '=-=，通过以上可以看出()n f x 满足以下规律：①对于*n ∈N ，若n 能被4整除，则()12cos 2n n f x x -=-；②对于*n ∈N ，若n 除4余1，则()12sin 2n n f x x -=，③对于*n ∈N ，若n 除4余2，则()12cos 2n n f x x -=，④对于*n ∈N ，若n 除4余3，则()12sin 2n n f x x -=-，则()()2023202450642cos 2f x f x x⨯==-.故选：C6.甲、乙等5人站成前排2人、后排3人拍照，其中甲、乙两人在同一排相邻的排法共有（）A.12种B.24种C.36种D.48种【答案】C 【解析】【分析】分两种情况，甲、乙两人站前排和甲、乙两人站后排，先排甲、乙再排其他人，利用分类加法原理可求解.【详解】分两种情况，当甲、乙两人站前排时，有2323A A 12⋅=种排法，当甲、乙两人站后排时，先排甲、乙再排其他人，有2122322A A A 24⋅⋅=种排法，综上，共有122436+=种排法.故选：C7.现有2道单选题，假定学生张君对每道题有思路与无思路的概率均为0.5．他对题目若有思路，做对的概率为0.75；若没有思路，做对的概率为0.25．在已知张君恰做对1题的条件下，则其恰有1题有思路的概率为（）A.716B.12C.916D.58【答案】D 【解析】【分析】首先利用全概率公式求做1题且作对的概率，再结合二项分布概率公式，以及条件概率公式，即可求解.【详解】设事件A 为张君对1题有思路，A 表示张君对1题没有思路，事件B 表示做对，则()()()()()0.50.750.50.250.5P B P B A P A P B A P A =+=⨯+⨯=，所以2题恰有1题作对的概率为12C 0.50.50.5⨯⨯=，则2题中作对1题，且只有1题有思路的概率()12C 0.50.750.50.750.50.250.50.250.3125P =⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=，所以张君恰做对1题的条件下，则其恰有1题有思路的概率为0.312550.6250.58==.故选：D8.设323210()f x a x a x a x a =+++（1023,,,a a a a ∈R 且30a ≠），方程()0f x =在复数集C 内的三个根为123,,x x x ，可以将上述方程变形为3123()()()0a x x x x x x ---=，展开得到2312331223333131230()()x x x x x a x a x x x a x a x x x x x -+-+++=+，比较该方程与方程()0f x =，可以得到011223311233321233,,a x a ax x x x x a x x x x x x a a ++=+=--+=．已知(i)1i f =+（i 是虚数单位），且tan ,tan ,tan αβγ是()0f x =的三个实根，则tan()αβγ++=（）A.1B.1- C.2D.2-【答案】B 【解析】【分析】由(i)1i f =+结合复数相等得02131,1a a a a -=-=，再借助复数根的定义，结合和角的正切公式计算即得.【详解】依题意，3232101i i i i a a a a ++=++，即0213()i 1(i )a a a a --=++，而0123,,,a a a a ∈R 且30a ≠，则02131,1a a a a -=-=，23tan tan tan a a αβγ++=-，13tan tan tan tan tan tan a a αββγγα++=，03tan tan tan a a αβγ=-，所以tan tan tan tan()tan 1tan tan tan()tan tan 1tan()tan 1tan 1tan tan αβγαβγαβαβγαβαβγγαβ++++-++==+-+⋅-⋅-0233021313tan tan tan tan tan tan tan tan tan t 1an tan t )1(a 1n a a a a a a a a a a αβγαβγαββγγα-+-=+===---++-+-.故选：B【点睛】关键点点睛：由已知结合复数相等求得02131,1a a a a -=-=是解题的关键.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.9.下列命题正确的是（）A.若随机变量X 服从二项分布15,3B ⎛⎫⎪⎝⎭，则()29D X =B.若随机变量X 服从正态分布()5,4N ，则()()731P X P X >+≥=C.当事件A ，B ，C 两两独立时，()()()()P ABC P A P B P C =D.当事件A ，B ，C 两两互斥时，()()()()P A B C P A P B P C ++=++【答案】BD 【解析】【分析】根据二项分布得方差公式即可判断A ；根据正态分布得对称性，从而可判断B ；根据独立事件乘积公式结合具体事件说明即可判断C ；根据互斥事件和概率公式计算，即可判断D ．【详解】对于A ，由随机变量X 服从二项分布1(5,)3B ，得1110()51339D X ⎛⎫=⨯⨯-= ⎪⎝⎭，故A 错误；对于B ，因为随机变量X 服从正态分布()5,4N ，则对称轴为5X =，()()73P X P X >=<，所以()()731P X P X >+≥=，故B 正确；对于C ，三个事件A ，B ，C 两两独立能推出()()()P AB P A P B =，且()()()P AC P A P C =，且()()()P BC P B P C =，但是推不出()()()()P ABC P A P B P C =，比如：从1，2，3，4中随机选出一个数字，事件A ：取出的数字为1或2．事件B ：取出的数字为1或3，事件C ：取出的数字为1或4，则AB AC BC ABC ===为取出数字1，所以()()()()()()()11,24P A P B P C P AB P AC P BC P ABC =======，满足()()()P AB P A P B =．且()()()P AC P A P C =，且()()()P BC P B P C =，但是推不出()()()()P ABC P A P B P C =，故选项C 错误；当事件A ，B ，C 两两互斥时，则,A B C +互斥则()()()()()()P A B C P A B P C P A P B P C ++=++=++,D 选项正确；故选：BD.10.关于函数()3f x x =的图象的切线，下列说法正确的是（）A.在点()1,1A 处的切线方程为32y x =-B.经过点()1,1A 的切线方程为32y x =-C.切线():0l y kx b k =+≠与()y f x =的图象必有两个公共点D.在点()311,P x x 处的切线过点()()30001,Q x x xx ≠，则012x x =-【答案】ACD 【解析】【分析】求出函数的导函数，利用导数的几何意义判断A 、C 、D ，设切点为()322,x x ，表示出切线方程，求出2x ，即可判断B.【详解】由()3f x x =得()23f x x '=，对于A ：由()13f '=，所以函数在点()1,1A 处的切线方程为()131y x -=-，即32y x =-，故A 正确；对于B ：设切点为()322,x x ，所以()2223f x x '=，所以切线方程为()322223y x x x x -=-，又切线过点()1,1A ，所以()32222131x x x -=-，解得21x =或212x =-，所以过点()1,1A 的切线方程为32y x =-或3410x y -+=，故B 错误；对于C 、D ：()2113f x x ='，则在点()311,P x x 的切线方程为()321113y x x x x -=-，则()013203113x x x x x -=-，即()()()1222001100113x xx x x x x x x -++=-，因为10x x ≠，则122200113x x x x x ++=，即12201020x x x x +-=，即()()101020x x xx +-=，所以012x x =-，又()00f '=，当0x ≠时()230f x x '=>，又点()()3001,Q x x xx ≠在函数()3f x x =上，且与点()311,P x x 相异，即过曲线上任意点（除原点外）的切线必经过曲线上另一点（不是切点），对于切线():0l y kx b k =+≠，则切点不是坐标原点，所以切线():0l y kx b k =+≠与()y f x =的图象必有两个公共点，故C 、D 正确.故选：ACD11.已知ABC △的内角,,A B C 所对的边分别为a ，b ，c ，其中a 为定值．若ABC △的面积212S a =，则（）A.tan A 的最大值为43B.22b c +的最小值为22aC.ABC △周长的最小值为)1a+D.b c的取值范围是11,22⎤-⎥⎣⎦【答案】ACD 【解析】【分析】根据已知条件得到sin a b C =，2sin a bc A =，设边a 上的高为h ，211.22S a a h h a ==⨯∴= 利用利用余弦定理、同角三角函数关系式和基本不等式计算判断各个选项；【详解】211sin ,sin ,22S a ab C a b C ==∴= 211sin 22S a bc A == ，2sin a bc A ∴=，∴2sin sin sin sin ,sin sin sin A B A C A B C ==，设边a 上的高为h ，211.22S a a h h a ==⨯∴= 对于A ，根据余弦定理2222222cos ,2cos a b c bc A b c a bc A =+-∴+=+，2sin a bc A = ，22sin 2cos b c bc A bc A ∴+=+，22sin 2cos bc A bc A b c bc bc++∴=，22sin 2cos 2b c b cA A bc c b ++==+≥，当b c c b =时，即b c =时，等号成立，2cos 2sin ,sin (0,1],cos 0A A A A ≥-∈∴>所以两边平方可得()222224cos 2sin 44sin sin ,sin cos 1,A A A A A A ≥-=-++= 2244sin 44sin sin ,A A A -≥-+244sin 5sin 0,sin 0,sin ,5A A A A ∴-+≤≠∴≤ 3sin cos [,1),tan 5cos AA A A ∴∈=,所以tan A 的最大值为43，故A 正确.对于B ，22222sin a b c bc A+≥=,当b c =时，等号成立，由A 可知4sin ,5A ≤，所以222225sin 2a abc A +≥=，则22b c +的最小值为252a ，故B 错误；对于C ，ABC △周长为,2a b c b c +++≥== ，当b c =时，等号成立，4sin ,5A ≤ ，b c ∴+≥所以ABC △周长的最小值为)1a +，故C 正确；对于D ，22525sin 2cos (sin 2cos ))(cos ,sin 55b c bc A bc A bc A A bc A ∴+=+=+≤+ϕϕ=ϕ=sin()(1,1)A +ϕ∈- 22b c ∴+两边同时除以2c ，2222110b b c c +≤∴≤，计算可得bc 的取值范围是11,22⎤-⎥⎣⎦，故D 正确；故选：ACD.【点睛】解三角形中求最值方法1.边的范围或最值方法：根据边角的各自特点，利用正（余）弦定理进行合理转化，在利用三角函数的范围或基本不等式进行求解；2.周长范围或最值方法：周长问题可看作边长问题，解决周长问题可类同求边的范围或最值；3.角的范围或最值方法：可借助三角函数的有界性，或利用正（余）弦定理把三角转化成边，在结合不等式的相关性质进行求解；4.面积的范围或最值方法：通常利用面积公式，将其转化为同一类元素，然后三角函数的有界性或者实数的不等式求解三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.()52x y +的展开式中32x y 的系数是______（用数字作答）·【答案】40【解析】【分析】二项式定理展开式中的特定项的系数问题，只需按照二项式定理展开即可.【详解】根据二项式定理，含有32x y 的项为2323235C (2)40T x y x y ==.故答案为：40.13.已知π,0,2αβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()sin 3αβ-=，1cos cos 4αβ=，则()tan αβ-=______，()cos αβ+=______．【答案】①.②.16【解析】【分析】利用题设等式先求出tan tan 3αβ-=，再由()sin αβ-求出cos()αβ-，继而求得sin sin αβ和tan tan αβ⋅，最后分别代入和角公式与差角公式计算即得.【详解】由()sin 3αβ-=可得，sin cos cos sin 3αβαβ-=两边分别除以1cos cos 4αβ=的左式和右式，tan tan 3αβ-=.因π,0,2αβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则ππ,22αβ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，故1cos()3αβ-==，展开得，1cos cos sin sin 3αβαβ+=，因1cos cos 4αβ=，代入得，1sin sin 12αβ=，两式相除得，1tan tan 3αβ⋅=，于是，()tan tan 3tan 11tan tan 13αβαβαβ--===+⋅+，()111cos cos cos sin sin 4126αβαβαβ+=-=-=.故答案为：16.14.在正方体1111ABCD A B C D -中，P 为正方形11ADD A 的中心，直线l ⊂底面ABCD ，则二面角1A l P --的平面角的正弦值的最大值是______．【答案】22【解析】【分析】利用空间向量方法计算该二面角的余弦值的平方，然后相应证明21cos 2θ≥，即可得到sin 2θ≤，最后给出取到等号的例子即可.【详解】不妨设正方体1111ABCD A B C D -的边长为2，以A 为原点，1,,AB AD AA分别作为,,x y z 轴正方向，建立空间直角坐标系.则平面ABCD 即为由x 轴和y 轴确定的平面，()10,0,2A ，()0,1,1P .设与l 同向的一个非零向量是(),,0u v α=，()00,,0M x y 是原点A 在l 上的投影，则由于向量(),,0v u β=- 与α垂直且可落入平面ABCD 内，故存在实数t 使得AM t β= ，即()()00,,0,,0x y vt ut =-.设()1,,n a b c = 和()2,,n p q r =分别是l 与()10,0,2A 确定的平面和l 与()0,1,1P 确定的平面的一个法向量.则1112200n n A M n n PM αα⎧⋅=⋅=⎪⎨⋅=⋅=⎪⎩，故()00002010ua vb x a y b c up vq x p y q r +=+-=⎧⎨+=+--=⎩.解得12,n n的一个可能的取值是()1002,2,n v u x v y u =-- ，()()200,,1n v u x v y u =--- .由于()()00,,0,,0x y vt ut =-，故()()2212,2,n v u u v t =--+ ，()()222,,n v u u u v t =--+ .记二面角1A l P --的值为θ，则()()()()()()()()()222222222212222222222222222221222cos 4422u v u v t u u v t n n n n u v u v t u v u v t u u v tθ+++-+⋅==⋅+++⋅+++-+ .一方面，由于()()()()()()()()222222222222222222222222224422u v u vt u u v tu v u v t u v u v t u u v t+++-+-+++⋅+++-+()()()()()()()422222422222222222222222222422422u v t u u v t u v u v u v t u v u u v t=++++++++-++()()()()()()222222222222224442442u v t u u v t u v uv u v u u v t-+⋅+-++++⋅+()()()()()()223422222222222232242442u v u v t u v u v t u u v t u v t -++-++++-+()()()()()()()432222422322222222222243842u v t u u v t u v u v t u v u v uv =+-++++++-++()()()()()2232222222222234u v t uuvtu vtv u v =+-+++++0≥，故()()()()()()()()2222222222222222222222222244220u v u vt u u v tu v u v t u v u v t u u v t +++-+-+++⋅+++-+≥，从而()()()()()()()()222222222222222222222222221cos 24422u v u v t u u v t u v u v t u v u v t u u v t θ+++-+=≥+++⋅+++-+.故2211sin 1cos 122θθ=-≤-=，从而sin 2θ≤.另一方面，当l 为直线AB 时，由于AB 垂直于平面11ADD A ，1,AA AP 在平面11ADD A 内，故1AB AA ⊥，AB AP ⊥.所以二面角1A l P --的大小等于1A AP ∠，即1sin sin sin 452A AP θ=∠=︒=.综上，二面角1A l P --的正弦值的最大值是2.【点睛】关键点点睛：本题的关键在于使用空间向量方法计算二面角的余弦值，再用代数变形求正弦值的最大值.四、解答题：本小题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤.15.已知函数()()π2sin 0,02f x x ωϕωϕ⎛⎫=-><<⎪⎝⎭，x ∈R ．给出如下三组条件：①函数()f x 的最小正周期为π，且当5π12x =时，()f x 取到最大值；②函数()f x 的单调递减区间是()7ππ,π1212πk k k ⎡⎤--∈⎢⎥⎣⎦Z ，单调递增区间是()π5ππ,π1212k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z ；③1x ，2x 是方程()1f x =的两个根，12x x -的最小值为π3，且6π06πf x f x ⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．从这三组条件中任选一组作为条件，完成以下问题：（1）求函数()f x 的解析式；（2）若0π2263x f ⎛⎫+=⎪⎝⎭，求05π12f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值．注：如果选择多组条件分别解答，按第一组解答给分．【答案】（1）()π2sin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭;（2）149.【解析】【分析】(1)利用周期计算ω，利用代点法计算ϕ即可;(2)代入找到角的关系即可.【小问1详解】若选择①：由题知2ππT ω==，故2ω=．当5π12x =时，5ππ22π122k ϕ⨯-=+，k ∈Z ，故π2π3k ϕ=-，又π02ϕ<<，故π3ϕ=．所以()π2sin 23f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭．若选择②：由单调区间可知周期为π，故2ππT ω==，故2ω=．由题意知当π12x =-时，()f x 取最小值，即ππ22π122k ϕ⎛⎫⨯--=- ⎪⎝⎭，k ∈Z ，故π2π3k ϕ=-，又π02ϕ<<，故π3ϕ=．所以()π2sin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．若选择③：令()1f x =，即()2sin 1x ωϕ-=，易知，()()12π5π2π2π2π663x x k k ωϕωϕ⎛⎫⎛⎫---≥+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即()21min2π3x x ω-=，又12x x -的最小值为π3，故2ω=．由6π06πf x f x ⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，可知π,06⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 的对称中心，则π2π6k ϕ⨯-=，k ∈Z ，故ππ3k ϕ=-，又0πϕ<<，故π3ϕ=．所以()π2sin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．【小问2详解】由00π22sin 263x f x ⎛⎫+==⎪⎝⎭，得01sin 3x =．故()200005ππ142sin 22cos2212sin 1229f x x x x ⎛⎫⎛⎫+=+==-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．16.已知函数()1f x x a x a=-+-为偶函数．（1）求实数a 的值；（2）若不等式()f x bx ≥恒成立，求实数b 的取值范围．【答案】（1）0a =．（2）[]1,1-．【解析】【分析】（1）由偶函数的定义域关于原点对称即可求得a 的值；（2）根据函数定义域分段讨论，化简不等式，利用不等式恒成立即得参数范围.【小问1详解】()f x 的定义域为{}x x a ≠，由()f x 是偶函数，知其定义域关于原点对称，故0a =；当0a =时，()1f x x x=+为偶函数.所以0a =．【小问2详解】由（1）知，()1f x x x=+，则()f x bx ≥恒成立即1x bx x+≥（*）恒成立．①当0x >时，（*）式恒成立等价于1x bx x+≥恒成立，即211b x≤+恒成立，因210x >，故1b ≤；②当0x <时，（*）式恒成立等价于1x bx x--≥恒成立，即211b x ≥--恒成立，因210x-<，故1b ≥-．综上可得，b 的取值范围是[]1,1-．17.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，AB BC ⊥，12AB BB ==，BC =．D ，E 分别是棱1AC CC 、的中点，点F 在线段1A E 上．（1）若12A F FE =，求证：//AF 平面BDE ；（2）若三棱锥F ABD -的体积为32，求直线BF 与平面11AA C C 所成角的正切值．【答案】（1）证明见解析（2）13．【解析】【分析】（1）先证明11AA F C EF ∽△△得A ，F ，1C 三点共线，再证AF DE ∥即得；（2）过点B 作BH AC ⊥,证BH ⊥平面11AA C C ，可得BFH ∠就是直线BF 与平面11AA C C 所成的角，利用体积求出点F 到平面ABC 的距离h ，证32DF h ==，继而求出,BH HF 即得.【小问1详解】连接1C F ,在直三棱柱111ABC A B C -中，11AA CC ∥，所以11AA F C EF ∠=∠．又因为112AA C E =，12A F FE =，所以11AA F C EF ∽△△，故11AFA C FE ∠=∠，即A ，F ，1C 三点共线．因点D ，E 分别是棱AC 、1CC 的中点，故AF DE ∥，又DE ⊂平面BDE ，AF ⊄平面BDE ，所以AF ∥平面BDE ．【小问2详解】过点B 作BH AC ⊥，垂足为点H ，连接FH ，FB ．在直三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，又BH ⊂平面，所以1AA BH ⊥，又BH AC ⊥，1AA AC A = ，所以BH ⊥平面11AA C C ．故FH 是斜线FB 在平面11AA C C 上的射影，所以BFH ∠就是直线BF 与平面11AA C C 所成的角．记点F到平面ABC的距离为h，11112332232F ABD ABDV S h-==⨯⨯⨯⨯==△，得32h=．因1322AA CE h+==,故得F为1A E的中点，即32DF h==．在Rt ABC中，因2,AB BC==,则60BAC∠= ,于是，sin60BH AB=︒=，cos601AH AB=︒=，1HD AD AH=-=．求得2HF==，故239tan13BHBFHHF∠==．所以直线BF与平面11AA C C．18.已知函数()()()Rlnxf x ax a=∈+．（1）当0a=时，求函数()f x的单调区间；（2）当1a=时，证明：()112f x x<+；（3）若()f x既有极大值又有极小值，求实数a的取值范围．【答案】（1）单调递增区间是()e,+∞，函数()f x的单调递减区间是()0,1，()1,e．（2）证明见解析（3）01a<<【解析】【分析】（1）先求出函数的定义域，然后对函数后由导数的正负可求出函数单调区间；（2）不等式转化为()11ln12x xx<++，构造函数()()2ln12xh x xx=+-+，利用导数求出其单调区间，利用其单调性可证得结论；（3）设t x a=+，令()lnt ag tt-=，则转化为()g t既有极大值又有极小值，则()2lnlnt attg tt-'-=，令()ln ln1t a as t t tt t-=-=+-，然后对函数求导后，分0a≤，1a=，1a>，01a<<四种情况讨论即可得答案.【小问1详解】当0a=时，()lnxf xx=，函数()f x的定义域为()()0,11,+∞，()2ln 1ln x f x x-'=，令()0f x ¢>，解得e x >；令()0f x '<，解得01x <<或1e x <<，故函数()f x 的单调递增区间是()e,+∞，函数()f x 的单调递减区间是()0,1，()1,e ．【小问2详解】当1a =时，()()ln 1xf x x =+，函数()f x 的定义域为()()1,00,-⋃+∞，不等式()112f x x <+就是不等式()11ln 12x x x <++（*），当10x -<<时，（*）式等价于()2ln 12xx x +<+；当0x >时，（*）式等价于()2ln 12xx x +>+．设()()2ln 12x h x x x =+-+，()()()()2221401212x h x x x x x =-=++'>++，故()h x 在()1,-+∞上单调递增，故当10x -<<时，()()00h x h <=，即()2ln 12xx x +<+，当0x >时，()()00h x h >=，即()2ln 12xx x +>+．所以原式成立．【小问3详解】设t x a =+，令()ln t ag t t-=，()f x 既有极大值又有极小值等价于()g t 既有极大值又有极小值．()2ln ln t at t g t t-'-=，记()ln ln 1t a as t t t t t-=-=+-．()221a t a s t t t t='-=-，①当0a ≤时，有()0s t ¢³，则()s t 在()()0,11,+∞ 上单调递增，故函数()s t 在()()0,11,+∞ 上至多有1个零点，不合题意；②当1a =时，()s t 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，且()10s =，故()s t 在()()0,11,+∞ 上没有零点，不合题意；③当1a >时，()s t 在()()0,11,a 上单调递减，在[),a +∞上单调递增，又()110s a =->，()ln 0s a a =>，故函数()s t 在()()0,11,+∞ 上没有零点，不合题意；④当01a <<时，()s t 在()0,a 上单调递减，在[)(),11,a +∞ 上单调递增，且有()e lne 10e ea as =+-=>，()110s a =-<，()ln 0s a a =<，2221122122e e 1112a as a a a a a a--⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-≥+-+--⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦（这里用不等式：当0x ≥时，2e 12xx x ≥++）244221022a aa a a ⎛⎫=++--=> ⎪⎝⎭．下面证明当0x ≥时，2e 12xx x ≥++，令2()e 1(0)2xx x x x ϕ=---≥，则()e 1x x x ϕ'=--，令()()e 1x t x x x ϕ'==--，则()e 10(0)x t x x '=-≥≥，所以()()e 1x t x x x ϕ'==--在[0,)+∞上单调递增，所以()(0)0''≥=x ϕϕ，所以()ϕx 在[0,)+∞上单调递增，所以()(0)x ϕϕ≥，所以当0x ≥时，2e 12xx x ≥++，所以()()e 10s s ⋅<，()21e 0a s a s -⎛⎫⋅< ⎪⎝⎭，又因为函数()s t 的图象分别在区间()0,1，()1,+∞上连续，所以函数()s t 在21e ,a a -⎛⎫ ⎪⎝⎭，()1,e 内各有1个零点，分别记为1t 和2t ，故1t 、2t 分别为函数()g t 的极大值点、极小值点．即()f x 既有极大值又有极小值．综上，当01a <<时，()f x 既有极大值又有极小值．【点睛】关键点点睛：此题考查导数的综合应用，考查利用导数求函数的单调区间，考查利用导数证明不等式，考查利用导数解决函数极值问题，第（3）问解题的关键是换元后将问题转化为()ln t ag t t-=既有极大值又有极小值，然后两次求导后分情况讨论，考查计算能力和数学转化的思想及分类讨论思想，属于难题.19.在做抛掷质地均匀硬币的试验过程中，将正面朝上记作1，反面朝上记作0，记录结果得到一串由0和1构成的序列.在序列中规定：仅有数字0相连的排列称为由0构成的游程；仅有数字1相连的排列称为由1构成的游程.如在序列000111110100001101110010011000中，共有13个游程，其中由0构成的游程有7个，分别是000，0，0000，0，00，00，000；由1构成的游程有6个，分别是11111，1，11，111，1，11.（1）由2个0和3个1随机构成的序列中，求游程个数的分布列与期望；（2）由m 个0和n 个1随机构成的序列，记作123m n a a a a +⋅⋅⋅.记事件{}111A a ==，{}10,1k k k A a a -===，2k =，3，…，m n +.（i ）求()1P A ，()2P A ；（ii ）求游程个数的期望.【答案】（1）分布列见解析，175（2）（i ）()1n P A m n =+，()()()21mn P A m n m n =++-；（ii ）21mn m n++．【解析】【分析】（1）由已知{}2,3,4,5X ∈，分别求出()2P X =，()3P X =，()4P X =，()5P X =，即可列出分布列，求出期望；（2）（i ）由古典概型可得()1n P A m n=+，()()()21mn P A m n m n =++-；（ii ）由（i ）可知()()()12C C 1n m n k n m n mn P A m n m n -+-+==++-，2k =，3，…，m n +，设设1游程个数为Y ，设0游程个数为Z ，则由期望的性质可得()()1m n k k E Y P A +==∑，进而可得()n mn E Y m n +=+，类似可得()m mnE Z m n+=+，则得两类游程数目的数学期望为()21mnE Y Z m n+=++.【小问1详解】设X 表示游程的个数，则{}2,3,4,5X ∈，由2个0和3个1在排列时，共有25C 10=种排列，当2X =时，有2种排列：11100、00111，所以()212105P X ===；当3X =时，有3种排列：10011、11001、01110，所以()3310P X ==；当4X =时，有4种排列：10110、11010、01011、01101，所以()424105P X ===；当5X =时，只有一种排列：10101，所以()215105P X ===.故X 的分布列为：X 2345P1531025110期望为()13211723455105105E X =⨯+⨯+⨯+⨯=.【小问2详解】（i ）()111C C n m n n m n n P A m n -+-+==+，()()()122C C 1n m n n m n mn P A m n m n -+-+==++-.（ii ）可知当随机事件k A 发生时，k a 就是一个1游程的开始，此时令1,0,k k A k A I A ⎧=⎨⎩发生不发生，设1游程个数为Y ，则1km n A k Y I+==∑，由（i ）可知()111C C n m n n m n n P A m n-+-+==+，()()()12C C 1n m n k n m n mnP A m n m n -+-+==++-，2k =，3，…，m n +，由期望的性质可知，()()()111kk m nm nm nA A k k k k E Y E I E I P A +++===⎛⎫=== ⎪⎝⎭∑∑∑()()21m nk n mn n mn m n m n m n m n+=+=+=+++-+∑，设0游程个数为Z ，类似可得()m mnE Z m n+=+，因此两类游程数目的数学期望为()221m n mn mnE Y Z m n m n+++==+++.【点睛】关键点点睛：解答本题关键是（2）（ii ）先令1,0,kk A kA I A ⎧=⎨⎩发生不发生，则1游程个数为1k m nA k Y I +==∑，再利用期望的性质，()()()111k k m nm n m n A A k k k k E Y E I E I P A +++===⎛⎫=== ⎪⎝⎭∑∑∑，进而求得游程个数的期望.。
高二下学期期末考试数学试卷与答案解析(共四套)
高二下学期期末考试数学试卷（一）注意事项：1．本试卷共22题。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
2．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
3．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知各项为正数的等比数列{a n}中，a2＝1，a4a6＝64，则公比q＝（）A．4 B．3 C．2 D．2.从4种不同的书中买3本送给3名同学，每人各1本，不同的送法共有（）A．4种B．12种C．24种D．64种3.直线与曲线相切，则b的值为（）A．﹣2 B．﹣1 C．D．14.若函数f（x）＝alnx﹣x2+5x在（1，3）内无极值点，则实数a的取值范围是（）A．（﹣，3）B．（﹣∞，﹣）C．[3，+∞）D．（﹣∞，﹣]∪[3，+∞）5.已知集合A＝{1，2，3，4}，B＝{1，2，3，4，5}，从集合A中任取3个不同的元素，其中最小的元素用a表示，从集合B中任取3个不同的元素，其中最大的元素用b表示，记X＝b﹣a，则随机变量X的期望为（）A．B．C．3 D．46.在二项式（x﹣2y）6的展开式中，设二项式系数和为A，各项系数和为B，x的奇次幂项的系数和为C，则＝（）A．﹣B．C．﹣D．7.已知x与y之间的几组数据如表：x 1 2 3 4y 1 m n 4如表数据中y的平均值为2.5，若某同学对m赋了三个值分别为1.5，2，2.5，得到三条线性回归直线方程分别为y＝b1x+a1，y＝b2x+a2，y＝b3x+a3，对应的相关系数分别为r1，r2，r3，下列结论中错误的是（）参考公式：线性回归方程y＝中，其中，．相关系数r＝．A．三条回归直线有共同交点B．相关系数中，r2最大C．b1＞b2D．a1＞a28.已知数列{a n}：，，，，，，，，，，，，，…（其中第一项是，接下来的22﹣1项是，，再接下来的23﹣1项是，，，，，，，依此类推．）的前n项和为S n，下列判断：①是{a n}的第2036项；②存在常数M，使得S n＜M恒成立；③S2036＝1018；④满足不等式S n＞1019的正整数n的最小值是2100．其中正确的序号是（）A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
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19.解：由题设条件知f(1)= , = ,
;
;
.………………………………3分
(2)猜想： （其中 ）……………………5分
以下用数学归纳法证明：
（1）当 时， ，
所以此时猜想成立。………………………………6分
（2）假设 时， 成立
那么 时，
……………9分
，
，
,
所以X的概率分布为
X
1
2
3
4
P
………………6分
(2) 由题意，X的可能取值为1，2，3，4，其中
，Байду номын сангаас
，
,
.
所以X的概率分布为
X
1
2
3
4
P
………………12分
18．解：（1） ，所以 ………………2分
………………4分
当 时有最小值 ；………………5分
（2）由（1） ，所以
从而 ，………………8分
，………………10分
（C）（ ， ）∪（ ， ）（D）（ ， ）∪（ ， ）
11.某小区有7个连在一起的车位，现有3辆不同型号的车需要停放，如果要求剩余的4个车位连在一起， 那么不同的停放方法的种数为（ ）
A．16种B．18种C．24种D．32种
12. 设函数 是 上以5为周期的可导偶函数，则曲线 在 处的切线的斜率为（ ）
已知 展开式中 的系数为11，求：（1） 的系数的最小值；（2）当 系数取最小值时，求 展开式中 的奇数次幂项的系数之和。
19．（本题共12分）
某班一信息奥赛同学编了下列运算程序，将数据输入满足如下性质:①输入1时，输出结果是 ；②输入整数 时，输出结果 是将前一结果 先乘以3n-5，再除以3n+1.
的停放方法共有
（A） 种 （B） 种 （C） 种（D） 种
8. 若幂函数 的图象经过点 ，则它在 点处的切线方程为（ ）
（A） （B） （C） （D）
9.若函数 的图象的顶点在第四象限，则函数 的图象可能是（ ）
10.设 是定义在R上的奇函数， ,当 时，有 恒成立，则不等式
的解集是（ ）
（A）（ ， ）∪（ ， ）（B）（ ， ）∪（ ， ）
所以当汽车以 千米∕时的速度行驶时，从甲地到乙地耗油最少，
最少为 升。……………………………………………………………… 12分
22.解：（1）因为 ，所以 ．……………………………1分
因为函数 的图像在点 处的切线斜率为3，
所以 ，即 ．
22. （本题共14分）
已知函数 的图象在点 （ 为自然对数的底数）处的切线斜率为3．
（1）求实数 的值；（2）若 ，且 对任意 恒成立，求 的最大值；
（3）当 时，证明 ．
参考答案(理)
一、选择题：CCAAD ACBAD CB
二、填空题：
13. 14. 15． (99.5% ) 16.
三解答题
17.解：（1）由题意，X的可能取值为1，2，3，4，其中
三、解答题：（本题共6个小题，共74分）
17. （本题共12分）
一批产品共10件，其中7件正品，3件次品，每次从这批产品中任取一件，在下述情况下，分别求直至取得正品时所需次数X的概率分布列。（1）每次取出的产品不再放回去（2）每次取出一件次品后，总是另取一件正品放回到这批产品中.
18．（本题共12分）
4. 若 ，则 等于（ ）
（A） （B） （C） （D）
5.函数 在点 处的导数是（ ）
(A) (B) (C) ( D)
6. 已知随机变量 服从正态分布 ,则 ( )
(A) 0.16 (B) 0.32 (C) 0.68 (D) 0.84
7. 某校共有7个车位，现要停放3辆不同的汽车，若要求4个空位必须都相邻，则不同（ ）
需蚝油 （升）。
所以，汽车以40千米∕时的速度匀速行驶，从甲地到乙地需耗油 升…4分.
（II）当汽车的行驶速度为 千米∕时时，从甲地到乙地需行驶 小时.设耗油量为 升，依题意，得
其中， .………………………………………………………… 7分
.
令 ，得 .
因为当 时， ， 是减函数；当 时， ， 是增函数，所以当 时， 取得最小值 .
所以 时，猜想成立。
由（1）（2）知，猜想： （其中 ）成立。
…………………………12分
20解：（1）求函数 的导数： 。曲线 在点 处的切线方程为： ，即 。……………4分
（2）如果有一条切线过点 ，则存在t，使 。
于是，若过点 可作曲线 的三条切线，则方程 有三个相异的实数根。记 ，则 。当 变化时， 的变化情况如下表：
0
＋
0
－
0
＋
↗
极大值
↘
极小值
↗
由 的单调性，当极大值 或极小值 时，方程 最多有一个实数根；
当 时，解方程 得 ， ，即方程 只有两个相异的实数根；
当 时，解方程 得 ，即方程 只有两个相异的实数根。
综上，如果过 可作曲线 的三条切线，即 有三个相异的实数根，则 即 。
…………………………12分
21.（I）当 时，汽车从甲地到乙地行驶了 （小时），
高二下学期期末考试
数学试题（理科）
一、选择题：（本题共10个小题，每小题5分，共60分）
1．设 =（ ）
（A） （B） （C） （D）
2．下列等于1的积分是（）
A． B． C． D．
3.用数学归纳法证明：1+ + + 时，在第二步证明从n=k到n=k+1成立时，左边增加的项数是（ ）
A. B. C. D.
（1）求f(2),f(3),f(4);（2） 试由（1）推测f(n)（其中 ）的表达式，并给出证明.
20. （本题共12分）
已知函数 。（Ⅰ）求曲线 在点 处的切线方程；
（Ⅱ）设 ，如果过点 可作曲线 的三条切线，证明： 。
21.（本题共12分）
据统计某种汽车的最高车速为120千米∕时，在匀速行驶时每小时的耗油量 （升）与行驶速度 （千米∕时）之间有如下函数关系： 。已知甲、乙两地相距100千米。（I）若汽车以40千米∕时的速度匀速行驶，则从甲地到乙地需耗油多少升？（II）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
二、填空题：（本题共4个小题，每小题4分，共16分）
13.若 ，其中 、 ， 是 虚数单位，则 _________。
14. 函数 的单调增区间为_________________。
15. 定积分 的值等于_________________。
16. 若 内一点 满足 ，则 。类比以上推理过程可得如下命题：若四面体 内一点 满足 ， 则 .