(完整版)解线性方程组的消元法及其应用
（完整版）解线性方程组的消元法及其应用
（完整版）解线性方程组的消元法及其应用解线性方程组的消元法及其应用朱立平曲小刚)教学目标与要求通过本节的学习，使学生熟练掌握一种求解方程组的比较简便且实用的方法—高斯消元法，并能够熟练应用消元法将矩阵化为阶梯形矩阵和求矩阵的逆矩阵.教学重点与难点教学重点：解线性方程组的高斯消元法，利用消元法求逆矩阵教学难点：高斯消元法，利用消元法求逆矩阵.教学方法与建议先向学生说明由于运算量的庞大，克莱姆法则在实际应用中是很麻烦的，然后通过解具体的方程组，让学生自己归纳出在解方程组的时候需要做的三种变换，从而引出解高阶方程组比较简便的一种方法—高斯消元法，其三种变换的实质就是对增广矩阵的初等行变换，最后介绍利用消元法可以将矩阵化为阶梯形矩阵以及求矩阵的逆。
教学过程设计1. 问题的提出由前面第二章的知识，我们知道当方程组的解唯一的时候，可以利用克莱姆法则求出方程组的解，但随着方程组阶数的增高，需要计算的行列式的阶数和个数也增多，从而运算量也越来越大，因此在实际求解中该方法是很麻烦的.引例解线性方程组4x1 2x2 5x3 4 (1)x1 2x2 7 (2)2x1 x2 3x3 1 (3)x1 2x2 7 (1)(1) ( 4) (2)x1 2x2 7 (1)解(1)(1) (2) 4x1 2x2 5x3 4 (2)(1) ( 2) (3)6x2 5x3 24 (2)2x1 x2 3x3 1 (3) 5x2 3x3 13 (3)5 X i 2x 2 7（2）（）（3）66x 2 5x 3 24 7 X 3 7 6用回代的方法求出解即可.问题：观察解此方程组的过程，我们总共作了三种变换：（1 ）交换方程次序，（2）以不等于零的数乘某个方程，（3）一个方程加上另一个方程的k 倍.那么对于高阶方程组来说，是否也可以考虑用此方法.2. 矩阵的初等变换定义1阶梯形矩阵是指每一非零行第一个非零元素前的零元素个数随行序数的增加而增加的矩阵.定义2下面的三种变换统称为矩阵的初等行变换：i. 互换矩阵的两行（例如第i 行与第j 行，记作r i r j ），ii.用数k 0乘矩阵的某行的所有元素（例如第 i 行乘k ，记作kr i ），iii. 把矩阵某行的所有元素的k 倍加到另一行的对应元素上去（例如第j 行的k 倍加到第i 行上，记作r i kr j ）.同理可以定义矩阵的初等列变换 .定义3如果矩阵A 经过有限次初等变换变为矩阵B ，则称矩阵 A 与B 等价，记作A ~B .注：任意一个矩阵总可以经过初等变换化为阶梯形矩阵3.咼斯消兀法对」般口丁 II 阶线性方程组a 〔1 X 1812X 2 a 1n Xnb (1)a 21 X 1 a 22X 2a 2n X nb 2 (2)(3.1)an 1 X1a n2X 2ann Xnb n(n)若系数行列式detA 0,即方程组有唯一解，则其消元过程如下:第一步，设方程（1）中X i 的系数a M 0将方程（I ）与（1）对调，使对调后的第一个方程 X i第二步，设a 22） 0，保留第二个方程，消去它以下方程中的含X 2的项，得(1) ⑵(3)的系数不为零.作i並(D(i 2,3,a 11n ），得到同解方程组(0)anX1(0)a 12 X 2 (0) a 1 n Xn b 1(0) (1) a ?2 X 2(1) a 2n X nby(1)a n2X 2(1)a nn X n(3.2)接下来的回代过程首先由（3.4）的最后万程求出X n ，依次向上代入求出 X n1,X n 2, X 1即可?高斯消元法用矩阵初等变换的方法表示就是注：用高斯消元法求解线性方程组，是对线性方程组作三种初等行变换（某个方程乘非零常数k ；一个方程乘常数 k 加到另一个方程，对换两个方程的位置），将其化为同解的阶梯形方程组，这一消元过程用矩阵来表示就是对方程组的增广矩阵施行初等行变换，化为阶梯矩阵?因此，求解线性方程组时不能对增广矩阵施行对换矩阵的两列以外的列变换，若对换矩阵的两列，相应地未知兀也要对换4.应用（1）化矩阵为阶梯形例1试用消元法化 A 为阶梯形矩阵，1 2 1 0 22 4 2 6 6A2 1 0 2 33333 4解(0) 耳1 X1a^x 2 a 22)x 2(0)&13 X 3(1) a 23 X3a 33)X 3(0) a 1n Xn a 2nX n a 3?X n附 byb 32)a%a n^X nb n (3)照此消兀，直至第 n 1步得到三角形方程组J0)」o ）jo) J°)a 〔i x 〔 a 〔2 X 2 a 13 X 3 a1 n Xnb 1(1) a ?2 X 2 (1) a 23 X 3 (1) a 2n Xn by(2)a 33 X 3(2)a 3n X nb 32)(3.3)(3.4)a11a 12a1 nb 1 (A,b)a21 a22a2nb 2an1n2annb na (0)a (0)a11a12 a*a (0)a1n b 1(0) a22a 23)a2nbyf 2)33a(2)b 32)f 2)n3a(2)nnb n (2)r2 —r 1 a11r 931『afa(0)12「3b (0)a (1) a 22 )2a 42)rr3r 1*11a(1)22a 2^r4by于 arn Ta11a(1)an2事 byr n吧r矿a ：0〉aja(0)a 13 a，0〉 a (0) a 22)a23 a*b 21)f 2)33a 3?b 32)(n 1)(n 1)annn(n 1) ann xn』1)b n1 2 1 02 121 02 『2 2r 1r 32r10 0 0 6 2 r 2 『332 2 1 『4 3r 2 Ar 44r10 3 2 2 10 0 6 20 9 6 3 2 09 632110 2 1121 020 32 2 1 r4-r 3 232 2 1B0 0 0 6 2 0 0 0 6 20 031则B 即为所求的与 A 等价的阶梯形矩阵求逆矩阵利用初等行变换求逆矩阵的方法主要分为以下三步 :a ）将矩阵A 与冋阶的单位方阵 I 拼成(A, I) ;b ）对A 施行初等行变换，目标是将 A 变换成 I ;c ）当A 变换为时，原来的 I 变换成A 1，即（A,1）(I, A 1)主：若将A, I 拼成 A，只能施行初等列变换，A II A1?求矩阵A 的逆矩阵11 1A1 02 .1 2 11 11 1 0 01 11 1 0（ 1）『1解(A, 1)=1 020 1 00 1 1 1 112 1 10 0 1 『3『10 1 1 2 1 0 “『3『211 1 1 i 1 0 0『1 『『3 1 『3 0 0 ； 4 3 20 1 1! 11 0 0 1 0\ 32 10 0 1 : 2 1 『1 1 『20 0 1 21 14 3 2 1所以A 32 12 1 1。
线性方程组的消元法
线性方程组的消元法线性方程组的消元法是解决线性方程组的常用方法之一，通过逐步消去未知数的系数，将方程组转化为更简单的形式，从而求得方程组的解。
本文将详细介绍线性方程组的消元法及其应用。
1. 消元法简介消元法是一种通过逐步消除未知数的系数，将线性方程组转化为更简单形式的方法。
它的基本思想是通过不断的代入与消去操作，将方程组转化为三角形式或最简形式，从而求得方程组的解。
2. 线性方程组的一般形式线性方程组的一般形式可以表示为：a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + ... + a₁ₙxₙ = b₁a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + ... + a₂ₙxₙ = b₂...aₙ₁x₁ + aₙ₂x₂ + ... + aₙₙxₙ = bₙ其中，a₁₁、a₁₂、...、aₙₙ为未知数的系数，b₁、b₂、...、bₙ为常数项。
3. 消元法的步骤（1）选取主元：根据方程组的特点，选择一项作为主元，并将其系数置为1，并且使其所在的其他行对应的列的系数皆为0，这样可以简化计算过程并减少误差。
（2）代入消元：选择一个非主元进行代入，将其代入主元所在的其他方程中，从而消去该未知数。
（3）重复步骤（1）和（2），直至将所有的非主元都消去为止。
（4）最后得到一个三角形形式的线性方程组，可以通过回代法求解该方程组的解。
4. 消元法的应用消元法广泛应用于各个领域，特别是在科学和工程领域中具有重要作用。
以下是几个应用实例：（1）经济学中的输入产出模型：通过消元法可以分析不同产业之间的投入产出关系，从而得出经济模型的解释。
（2）物理学中的电路分析：通过消元法可以简化复杂的电路方程组，从而计算出电路中各个节点的电压和电流。
（3）化学反应平衡问题：通过消元法可以解决化学反应平衡过程中的复杂线性方程组，从而得到反应物和生成物的浓度。
5. 总结消元法是一种解决线性方程组的有效方法，通过逐步消除未知数的系数，将方程组转化为更简单的形式，从而求得方程组的解。
高斯消元法在解线性方程组中的应用
高斯消元法在解线性方程组中的应用高斯消元法是一种非常实用的算法，能够对线性方程组进行求解。
因此，它在数学、物理、化学、工程学等领域都得到了广泛
的应用。
高斯消元法是将线性方程组的系数矩阵转化为所要求的矩阵，
使用一些简单的变换来达到简化方程组的目的。
具体来说，首先
可以通过交换两个方程或多个方程来使系数矩阵的主对角线上的
元素变为非零元。
然后，通过将系数矩阵的某一行乘以一个非零
常数或将某一行加上或减去另一行来使主对角线以下的元素为0。
最终，得到一个上三角矩阵，可以通过回代求解得到方程组的解。
高斯消元法的优缺点：
优点：高斯消元法计算简单，求解速度较快，可在一定范围内
获得较高的精度。
缺点：高斯消元法在某些情况下可能会产生有限或无限多的解，这可能是由于线性方程组中的约束条件不充分或矛盾导致的。
此外，随着线性方程组大小的增加，高斯消元法求解的复杂性会显
著增加。
在大型的稀疏线性方程组中，高斯消元法往往不是最好的选择。
高斯消元法的应用场景：
高斯消元法可以用于求解各种问题，如求解矩阵方程、求解线性方程组变型、线性回归、最小二乘法等。
这些问题的求解都可以转化为求解线性方程组的问题，因此高斯消元法是解决这些问题的关键算法。
总之，高斯消元法是一种重要的数学工具，在各个领域都能够得到广泛的应用。
无论是通过纸笔计算还是计算机程序实现，高斯消元法都应该是每个使用线性代数的科学家和工程师的基本工具之一。
解线性方程组的消元法及其应用(最新整理)
0 2 6
6 2 3
2 r2 r3 0
12
0 0
3 0 9
2 0 6
2 6 3
1 r4 3r2
22
1
0
0 0
2 3 0 0
1 2 0 0
0 2 6 3
2
1
r4
1 2
r3
1 0
2 1
0 0
2 3 0 0
1 2 0 0
0 2 6 0
2
1 2 0
=
B
则 B 即为所求的与 A 等价的阶梯形矩阵. （2）求逆矩阵
高斯消元法用矩阵初等变换的方法表示就是
a11
( A,b)
a21
an1
a (0) 11
a (0) 12
a (0) 13
a a (1)
(1)
22
23
a (2) 33
a (2) n3
a12 a22
an2
a (0) 1n
a (1) 2n
a (2) 3n
a (2) nn
a1n a2n
ann
解线性方程组的消元法及其应用
（朱立平 曲小刚）
教学目标与要求
通过本节的学习，使学生熟练掌握一种求解方程组的比较简便且实用的方法—高斯消 元法，并能够熟练应用消元法将矩阵化为阶梯形矩阵和求矩阵的逆矩阵.
教学重点与难点
教学重点：解线性方程组的高斯消元法，利用消元法求逆矩阵. 教学难点：高斯消元法，利用消元法求逆矩阵.
b(2) n
a (0) 1n
a (1) 2n
a (1)
nn
(0)
r3
a3(12) a2(12)
r2
线性方程组的解法消元法代入法高斯消元法
线性方程组的解法消元法代入法高斯消元法线性方程组的解法：消元法、代入法和高斯消元法线性方程组是数学中的基本概念之一，在现代数学和物理学的研究中有着广泛的应用。
为了求解线性方程组，人们发明了许多方法，其中最常用的有消元法、代入法和高斯消元法。
本文将介绍这三种方法的基本原理和求解步骤，并通过实例对其进行说明。
一、消元法消元法是一种通过逐步消除未知量，从而求解线性方程组的方法。
其基本原理是利用等式变换，逐步消去各个方程中的未知量，直到将方程组化为上三角形式，然后通过回代方法，求解未知量的值。
具体步骤如下：1. 将含有未知量的项都移动到等式的同一侧，即将线性方程组转化为增广矩阵形式。
2. 选取一个主元素，将该列的其他元素全部变为0，从而消去该列的未知量。
3. 依次选取下一个主元素，直到整个增广矩阵被消元成上三角形式。
4. 利用回代方法，求解未知量的值。
二、代入法代入法是一种通过将一个方程的解代入另一个方程，逐步求解未知量的方法。
其基本原理是将一个方程的未知量表示为另一个方程的已知量，不断代入，从而求解未知量的值。
具体步骤如下：1. 将一个方程的未知量表示为另一个方程的已知量。
2. 将该解代入另一个方程，求解未知量的值。
3. 重复以上步骤，直到求出所有未知量的值。
三、高斯消元法高斯消元法是一种通过矩阵变换，将线性方程组化为上三角形式，从而求解未知量的方法。
其基本原理是利用初等矩阵变换，逐步将增广矩阵化为上三角形式，然后通过回代方法，求解未知量的值。
具体步骤如下：1. 将矩阵的列向量按递增顺序排列，从左到右依次选取主元素。
2. 利用初等矩阵变换，将每一列的主元素下方元素全部变为0。
3. 重复以上步骤，直到整个增广矩阵被化为上三角形式。
4. 利用回代方法，求解未知量的值。
举例说明：考虑以下线性方程组：x + 2y – z = 92x – y + 3z = –33x + y + 4z = 12采用消元法求解：将该方程组转化为增广矩阵形式：1 2 –1 | 92 –13 | –33 14 | 12选取主元素1，将第2行乘以2减去第1行，将第3行乘以3减去第1行，得到：1 2 –1 | 90 –5 5 | –210 –5 7 | –15选取主元素–5，将第3行减去第2行，得到：1 2 –1 | 90 –5 5 | –210 0 2 | 6将该矩阵化为上三角形式，然后采用回代方法，求得：x = 2y = –3z = 3同样的，采用代入法或高斯消元法也能求解出相同的结果。
求解线性方程组
求解线性方程组线性方程组是数学中的一类重要方程组，它可用于描述许多实际问题。
解线性方程组的目标是找到满足所有方程条件的未知数的值。
本文将介绍解线性方程组的基本方法和步骤。
方法一：高斯消元法高斯消元法是解线性方程组最常用的方法之一。
它的基本思想是通过一系列行变换将线性方程组化简为阶梯形或行最简形。
以下是高斯消元法的步骤：1. 将线性方程组表示为增广矩阵的形式，其中未知数的系数构成方程组的系数矩阵A，常数构成列向量B。
2. 利用行变换，将增广矩阵化简为阶梯形矩阵。
行变换包括互换两行、某一行乘以非零常数、某一行乘以非零常数后加到另一行上。
3. 根据化简后的阶梯形矩阵，可以直接读出方程组的解。
如果存在零行，即无解；如果存在形如0 = c（c为非零常数）的方程，即无解；其他情况下，解的个数等于未知数的个数减去方程数的个数。
方法二：矩阵求逆法矩阵求逆法也是一种求解线性方程组的方法。
它的基本思想是通过求解系数矩阵的逆矩阵，进而得到方程组的解。
以下是矩阵求逆法的步骤：1. 将线性方程组表示为矩阵方程的形式：AX = B，其中A为系数矩阵，X为未知数的列向量，B为常数的列向量。
2. 检查系数矩阵A是否可逆。
若可逆，则方程组有唯一解；若不可逆，则方程组可能没有解或有无穷多个解。
3. 若A可逆，计算系数矩阵的逆矩阵A^(-1)。
4. 解方程组的解为X = A^(-1) * B。
需要注意的是，矩阵求逆法只适用于方程组的系数矩阵可逆的情况。
方法三：克拉默法则克拉默法则是一种基于行列式的求解线性方程组的方法。
它的基本思想是根据克拉默法则公式，求解未知数的值。
以下是克拉默法则的步骤：1. 将线性方程组表示为矩阵方程的形式：AX = B，其中A为系数矩阵，X为未知数的列向量，B为常数的列向量。
2. 计算系数矩阵A的行列式值D，即|A|。
3. 对每个未知数，将系数矩阵的列向量替换为方程组常数向量，得到新的矩阵A_i。
4. 计算新的矩阵A_i的行列式值D_i。
线性方程组的解法
线性方程组的解法在数学中，线性方程组是由一系列线性方程组成的方程集合。
解决线性方程组是数学中的一个重要问题，在实际应用中也有广泛的应用。
本文将介绍几种常见的线性方程组的解法，以帮助读者更好地理解和应用这些方法。
一、高斯消元法高斯消元法是解决线性方程组的一种常见且经典的方法。
它通过一系列的行变换，将线性方程组化简为一个上三角矩阵，从而求得方程组的解。
具体步骤如下：步骤1：将线性方程组写成增广矩阵的形式。
步骤2：选取一个非零的系数作为主元素，并将该系数所在行作为当前行。
步骤3：将主元素所在列的其他行元素都通过初等变换变为0。
步骤4：重复步骤2和步骤3，直到将矩阵化简为上三角形式。
步骤5：回代求解，得到线性方程组的解。
高斯消元法是一种直观且容易理解的解法，但对于某些特殊的线性方程组，可能会遇到无解或者无穷多解的情况。
二、矩阵的逆乘法矩阵的逆乘法是另一种解决线性方程组的方法，它通过矩阵的逆和向量的乘法，将线性方程组表示为一个矩阵方程，从而求得方程组的解。
具体步骤如下：步骤1：将线性方程组表示为增广矩阵的形式。
步骤2：判断增广矩阵的系数矩阵是否可逆，如果可逆，则存在矩阵的逆。
步骤3：计算增广矩阵的系数矩阵的逆。
步骤4：将原始线性方程组表示为矩阵方程形式，即AX = B。
步骤5：求解矩阵方程，即X = A^(-1)B。
矩阵的逆乘法是一种简便且高效的解法，但需要注意矩阵的可逆性，在某些情况下可能不存在逆矩阵或者矩阵的逆计算比较困难。
三、克拉默法则克拉默法则是一种基于行列式求解线性方程组的方法。
它通过计算方程组的系数行列式和各个未知数在方程组中的代数余子式，从而求得方程组的解。
具体步骤如下：步骤1：将线性方程组的系数和常数项构成一个矩阵。
步骤2：计算系数矩阵的行列式，即主行列式D。
步骤3：分别将主行列式D中的每一列替换为常数项列，计算得到各个未知数的代数余子式。
步骤4：根据克拉默法则的公式，未知数的值等于其对应的代数余子式除以主行列式D。
3.1 线性方程组的消元解法
定理3.1 线性方程组 线性方程组AX=b有解的充分必要条件是: 有解的充分必要条件是: 定理 有解的充分必要条件是 r(A b)=r(A). 且当r(A b)=n时有唯一解; 当r(A b)<n时有无 且当 时有唯一解; 时有无 时有唯一解 穷多解. 穷多解.
例2 解线性方程组 x1 + 5 x2 − x3 − x4 = −1 x − 2 x + x + 3x = 3 1 2 3 4 3 x1 + 8 x2 − x3 + x4 = 1 x1 − 9 x2 + 3 x3 + 7 x4 = 7 例3 解线性方程组
2 x1 + 2 x2 = 8 → − 3 x2 = −9 ⑤ x3 = 2 2 x1 + 2 x2 = 8 → x2 = 3 ⑥ x3 = 2
=2 2 x1 → x2 = 3 x3 = 2 x1 = 1 → x2 = 3 x = 2 3
⑤
⑥
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解线性方程组的消元法及其应用
（朱立平 曲小刚）
● 教学目标与要求
通过本节的学习，使学生熟练掌握一种求解方程组的比较简便且实用的方法—高斯消元法，并能够熟练应用消元法将矩阵化为阶梯形矩阵和求矩阵的逆矩阵.
● 教学重点与难点
教学重点：解线性方程组的高斯消元法，利用消元法求逆矩阵. 教学难点：高斯消元法，利用消元法求逆矩阵.
● 教学方法与建议
先向学生说明由于运算量的庞大，克莱姆法则在实际应用中是很麻烦的，然后通过解具体的方程组，让学生自己归纳出在解方程组的时候需要做的三种变换，从而引出解高阶方程组比较简便的一种方法—高斯消元法，其三种变换的实质就是对增广矩阵的初等行变换，最后介绍利用消元法可以将矩阵化为阶梯形矩阵以及求矩阵的逆。
● 教学过程设计
1.问题的提出
由前面第二章的知识，我们知道当方程组的解唯一的时候，可以利用克莱姆法则求出方程组的解，但随着方程组阶数的增高，需要计算的行列式的阶数和个数也增多，从而运算量也越来越大，因此在实际求解中该方法是很麻烦的.
引例 解线性方程组
⎪⎩⎪
⎨⎧=+-=+=++132724524321
21321x x x x x x x x )3()2()1(
解 （1）−−−→−↔)2()1(⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++=+13245247
232132121x x x x x x x x )3()2()1(−−−−→−+-⨯+-⨯)
3()2()1()2()4()1(⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=+=+133524567232
3221x x x x x x )3()2()1(
−−−−→−+-⨯)3()65
()2(⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧
=--=+=+76
724567233221x x x x x )3()2()1(
用回代的方法求出解即可.
问题：观察解此方程组的过程，我们总共作了三种变换：（1）交换方程次序，（2）以不等于零的数乘某个方程，（3）一个方程加上另一个方程的k 倍.那么对于高阶方程组来说，是否也可以考虑用此方法.
2.矩阵的初等变换
定义1 阶梯形矩阵是指每一非零行第一个非零元素前的零元素个数随行序数的增加而增加的矩阵.
定义2 下面的三种变换统称为矩阵的初等行变换：
i. 互换矩阵的两行（例如第i 行与第j 行，记作j i r r ↔）， ii. 用数0≠k 乘矩阵的某行的所有元素（例如第i 行乘k ，记作i kr ），
iii.
把矩阵某行的所有元素的k 倍加到另一行的对应元素上去（例如第j 行的k 倍加到第i 行上，记作j i kr r +）.
同理可以定义矩阵的初等列变换.
定义 3 如果矩阵A 经过有限次初等变换变为矩阵B ，则称矩阵A 与B 等价，记作
A ~
B .
注：任意一个矩阵总可以经过初等变换化为阶梯形矩阵.
3. 高斯消元法
对于一般的n 阶线性方程组
⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧=++=+++=+++n
n nn n n n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ22112
22221211
1212111 )()2()1(n （3.1） 若系数行列式0det ≠A ，即方程组有唯一解，则其消元过程如下：
第一步，设方程（1）中1x 的系数01≠l a 将方程)(l 与（1）对调，使对调后的第一个方程1x 的系数不为零.作)1(11
1
a a i i -
),3,2(n i Λ=，得到同解方程组 ⎪⎪
⎩
⎪⎪⎨⎧=++=++=+++)1()1(2)1(2)
1(2
)1(22)1(22)0(1)0(12)0(121)0(11n n nn n n n n n b x a x a b x a x a b x a x a x a ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ （3.2）
第二步，设0)
1(22≠a ，保留第二个方程，消去它以下方程中的含2x 的项，得
⎪⎪
⎪⎩
⎪⎪⎪⎨⎧=++=++=+++=++++)
3()3(3)3(3)
2(3
)2(33)2(33)
1(2)1(23)1(232)1(22)0(1)0(13)0(132)0(121)0(11n n nn n n n n n n n b x a x a b x a x a b x a x a x a b x a x a x a x a ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ （3.3） 照此消元，直至第1-n 步得到三角形方程组
⎪⎪
⎪⎩
⎪⎪⎪⎨⎧==++=+++=++++--)
1()1()
2(3
)2(33)2(33)
1(2)1(23)1(232)1(22)0(1)0(13)0(132)0(121)0(11n n n n nn n n n n n n b x a b x a x a b x a x a x a b x a x a x a x a ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ （3.4） 接下来的回代过程首先由（3.4）的最后方程求出n x ，依次向上代入求出121,,x x x n n Λ--即可.
高斯消元法用矩阵初等变换的方法表示就是
=),(b A ⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛n nn
n n n
n b a a a b a a a
b a a a ΛΛΛΛΛΛΛΛ
21
222221
1112
11→
---1
113131
112121
11
1r a a r r a a
r r a a r n n Λ
ΛΛΛ⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝
⎛)1()1()1(2
)1(2
)1(2)1(22
)0(1)0(1)0(12)0(11
n nn
n n
n b a a b a
a
b
a
a
a Λ
ΛΛΛΛΛΛ→
-
--2
)1(22
)1(4242)1(22)1(3232
)1(22
)1(2r a a r r a a r r a a r n n Λ
ΛΛΛ⎪⎪
⎪⎪⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛)2()2()2(3
)2(3)2(3)2(33)1(2)1(2)1(23)1(22
)0(1)0(1)0(13)0(12)0(11n nn
n n n n b a a b a a b a a a b a a a a Λ
ΛΛΛΛΛΛΛ→→Λ⎪⎪⎪⎪⎪
⎪⎭
⎫
⎝
⎛--)1()1()2(3)2(3)2(33)
1(2)1(2)1(23)1(22
)0(1)0(1)
0(13)
0(12)0(11n n n nn
n n n b a b a a b a a a b a a a a ΛΛO
Λ
ΛΛ
注：用高斯消元法求解线性方程组，是对线性方程组作三种初等行变换(某个方程乘非零常数k ；一个方程乘常数k 加到另一个方程，对换两个方程的位置)，将其化为同解的阶梯形方程组，这一消元过程用矩阵来表示就是对方程组的增广矩阵施行初等行变换，化为阶梯矩阵.因此，求解线性方程组时不能对增广矩阵施行对换矩阵的两列以外的列变换，若对换矩阵的两列，相应地未知元也要对换.
4. 应用
（1）化矩阵为阶梯形
例1 试用消元法化A 为阶梯形矩阵，
⎪⎪⎪
⎪
⎪⎭
⎫
⎝
⎛-----=43333320126624
220
121A
解
→
-+-13121
4224r r r r r r A
⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----236
90122302600020121→↔3
2r r ⎪⎪
⎪
⎪⎪
⎭⎫
⎝
⎛-----236902600
01223
020
12
1→-2
43r r
⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛-----13
00
02600012230201
21→+3421r r ⎪⎪⎪⎪
⎪⎭
⎫
⎝
⎛----0000026
0001223
020121=B
则B 即为所求的与A 等价的阶梯形矩阵. （2）求逆矩阵
利用初等行变换求逆矩阵的方法主要分为以下三步： a) 将矩阵A 与同阶的单位方阵I 拼成),(I A ；
b) 对A 施行初等行变换，目标是将A 变换成I ；
c) 当A 变换为时，原来的I 变换成1
-A ，即),(),(1-→A I I A .
注：若将I A ,拼成⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛I A ，只能施行初等列变换，即⎪⎪⎭⎫
⎝⎛I A →⎪
⎪⎭
⎫ ⎝⎛-1A I . 例2 求矩阵A 的逆矩阵
=A ⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛---12120111
1. 解 ),(I A =⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛---100121010201
00111
1→++1
213r r r r ⎪⎪⎪
⎭⎫ ⎝⎛---10121001111000111
1→-+123)1(r r r ⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛----112100011110001111→+++323121r r r r r r ⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛112100123010234001
所以=-1
A ⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛112123234.。