第1节 用消元法解线性方程组
（完整版）解线性方程组的消元法及其应用
（完整版）解线性方程组的消元法及其应用解线性方程组的消元法及其应用朱立平曲小刚)教学目标与要求通过本节的学习，使学生熟练掌握一种求解方程组的比较简便且实用的方法—高斯消元法，并能够熟练应用消元法将矩阵化为阶梯形矩阵和求矩阵的逆矩阵.教学重点与难点教学重点：解线性方程组的高斯消元法，利用消元法求逆矩阵教学难点：高斯消元法，利用消元法求逆矩阵.教学方法与建议先向学生说明由于运算量的庞大，克莱姆法则在实际应用中是很麻烦的，然后通过解具体的方程组，让学生自己归纳出在解方程组的时候需要做的三种变换，从而引出解高阶方程组比较简便的一种方法—高斯消元法，其三种变换的实质就是对增广矩阵的初等行变换，最后介绍利用消元法可以将矩阵化为阶梯形矩阵以及求矩阵的逆。
教学过程设计1. 问题的提出由前面第二章的知识，我们知道当方程组的解唯一的时候，可以利用克莱姆法则求出方程组的解，但随着方程组阶数的增高，需要计算的行列式的阶数和个数也增多，从而运算量也越来越大，因此在实际求解中该方法是很麻烦的.引例解线性方程组4x1 2x2 5x3 4 (1)x1 2x2 7 (2)2x1 x2 3x3 1 (3)x1 2x2 7 (1)(1) ( 4) (2)x1 2x2 7 (1)解(1)(1) (2) 4x1 2x2 5x3 4 (2)(1) ( 2) (3)6x2 5x3 24 (2)2x1 x2 3x3 1 (3) 5x2 3x3 13 (3)5 X i 2x 2 7（2）（）（3）66x 2 5x 3 24 7 X 3 7 6用回代的方法求出解即可.问题：观察解此方程组的过程，我们总共作了三种变换：（1 ）交换方程次序，（2）以不等于零的数乘某个方程，（3）一个方程加上另一个方程的k 倍.那么对于高阶方程组来说，是否也可以考虑用此方法.2. 矩阵的初等变换定义1阶梯形矩阵是指每一非零行第一个非零元素前的零元素个数随行序数的增加而增加的矩阵.定义2下面的三种变换统称为矩阵的初等行变换：i. 互换矩阵的两行（例如第i 行与第j 行，记作r i r j ），ii.用数k 0乘矩阵的某行的所有元素（例如第 i 行乘k ，记作kr i ），iii. 把矩阵某行的所有元素的k 倍加到另一行的对应元素上去（例如第j 行的k 倍加到第i 行上，记作r i kr j ）.同理可以定义矩阵的初等列变换 .定义3如果矩阵A 经过有限次初等变换变为矩阵B ，则称矩阵 A 与B 等价，记作A ~B .注：任意一个矩阵总可以经过初等变换化为阶梯形矩阵3.咼斯消兀法对」般口丁 II 阶线性方程组a 〔1 X 1812X 2 a 1n Xnb (1)a 21 X 1 a 22X 2a 2n X nb 2 (2)(3.1)an 1 X1a n2X 2ann Xnb n(n)若系数行列式detA 0,即方程组有唯一解，则其消元过程如下:第一步，设方程（1）中X i 的系数a M 0将方程（I ）与（1）对调，使对调后的第一个方程 X i第二步，设a 22） 0，保留第二个方程，消去它以下方程中的含X 2的项，得(1) ⑵(3)的系数不为零.作i並(D(i 2,3,a 11n ），得到同解方程组(0)anX1(0)a 12 X 2 (0) a 1 n Xn b 1(0) (1) a ?2 X 2(1) a 2n X nby(1)a n2X 2(1)a nn X n(3.2)接下来的回代过程首先由（3.4）的最后万程求出X n ，依次向上代入求出 X n1,X n 2, X 1即可?高斯消元法用矩阵初等变换的方法表示就是注：用高斯消元法求解线性方程组，是对线性方程组作三种初等行变换（某个方程乘非零常数k ；一个方程乘常数 k 加到另一个方程，对换两个方程的位置），将其化为同解的阶梯形方程组，这一消元过程用矩阵来表示就是对方程组的增广矩阵施行初等行变换，化为阶梯矩阵?因此，求解线性方程组时不能对增广矩阵施行对换矩阵的两列以外的列变换，若对换矩阵的两列，相应地未知兀也要对换4.应用（1）化矩阵为阶梯形例1试用消元法化 A 为阶梯形矩阵，1 2 1 0 22 4 2 6 6A2 1 0 2 33333 4解(0) 耳1 X1a^x 2 a 22)x 2(0)&13 X 3(1) a 23 X3a 33)X 3(0) a 1n Xn a 2nX n a 3?X n附 byb 32)a%a n^X nb n (3)照此消兀，直至第 n 1步得到三角形方程组J0)」o ）jo) J°)a 〔i x 〔 a 〔2 X 2 a 13 X 3 a1 n Xnb 1(1) a ?2 X 2 (1) a 23 X 3 (1) a 2n Xn by(2)a 33 X 3(2)a 3n X nb 32)(3.3)(3.4)a11a 12a1 nb 1 (A,b)a21 a22a2nb 2an1n2annb na (0)a (0)a11a12 a*a (0)a1n b 1(0) a22a 23)a2nbyf 2)33a(2)b 32)f 2)n3a(2)nnb n (2)r2 —r 1 a11r 931『afa(0)12「3b (0)a (1) a 22 )2a 42)rr3r 1*11a(1)22a 2^r4by于 arn Ta11a(1)an2事 byr n吧r矿a ：0〉aja(0)a 13 a，0〉 a (0) a 22)a23 a*b 21)f 2)33a 3?b 32)(n 1)(n 1)annn(n 1) ann xn』1)b n1 2 1 02 121 02 『2 2r 1r 32r10 0 0 6 2 r 2 『332 2 1 『4 3r 2 Ar 44r10 3 2 2 10 0 6 20 9 6 3 2 09 632110 2 1121 020 32 2 1 r4-r 3 232 2 1B0 0 0 6 2 0 0 0 6 20 031则B 即为所求的与 A 等价的阶梯形矩阵求逆矩阵利用初等行变换求逆矩阵的方法主要分为以下三步 :a ）将矩阵A 与冋阶的单位方阵 I 拼成(A, I) ;b ）对A 施行初等行变换，目标是将 A 变换成 I ;c ）当A 变换为时，原来的 I 变换成A 1，即（A,1）(I, A 1)主：若将A, I 拼成 A，只能施行初等列变换，A II A1?求矩阵A 的逆矩阵11 1A1 02 .1 2 11 11 1 0 01 11 1 0（ 1）『1解(A, 1)=1 020 1 00 1 1 1 112 1 10 0 1 『3『10 1 1 2 1 0 “『3『211 1 1 i 1 0 0『1 『『3 1 『3 0 0 ； 4 3 20 1 1! 11 0 0 1 0\ 32 10 0 1 : 2 1 『1 1 『20 0 1 21 14 3 2 1所以A 32 12 1 1。
线性代数解线性方程组的消元法
a12
a22
a1n
a2n
b1 b2 ,
am1 am2 amn bm
利 用 矩 阵 的 初 等 行 变 换 将 A 化 为 阶 梯 形 ,
c11 0
c12 c 22
c1r c2r
c1n c2n
d 1 d2
0
A
0
0 c rr c rn d r
0
0
0
d
r
1
0 0 0 0 0
用矩阵的初等行变换解方程组(1)：
2 1 1 1 2
B
1 4
1 6
2 2
1 2
4 4
3 6 9 7 9
1 1 2
r1 r2
2
1
1
1 4 1 2
r3 2
2 3
3 6
1 9
1 7
2 9
1 1 2 2 1 1
1 4 1 2
2 3
3 6
1 9
1 7
2 9
r2 r3
r3 2r1
r4 3r1
最后一个为矛盾方程组 0 2, 故方程组无解.
a11x1 a12x2 a1nxn b1 ,
线性方程组
a21x 1 a 22x2
a2nxn
b2
,
am1x1 am2x2 amnxn bm .
a11
系数矩阵
A
a21
a12
a22
a1n
a2n
,
am1 am2 amn
增广矩阵
a11 A(A,b)a 21
2x1 x2 x3 x4 1
7
x1 x1 2
x2 x2
x3 x4 2x3 4
消元法求解常系数线性微分方程组
消元法求解常系数线性微分方程组下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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第1讲 用矩阵消元法求解线性方程组
a ____ ， b ____ ， c ____ ；
u 1 2 (2) 设 B x v 3 为反对称矩阵，则 y z w u ____ ， v ____ ， w ____ ； x ____ ， y ____ ， z ____ .
为(1)的一个解(向量). (1)的全体解向量形成的集合称为(1)的解(向量)集合. 在(1)中，将 n 个未知量 x1 , x2 , , xn 改为 y1 , y2 , , yn ，并不影响解向量集合. 所以
反映了(1)的所有本质特征. 说，增广矩阵 A
2、初等变换
-5-
定义 11
在线性方程组(1)中，
以 A [ aij ]mn 的第 j 列各元素次序不变排成新矩阵的第 j 行( j 1, 2, , n )，亦得
a11 a 12 T A a1n
显然，有
a21 am1 a22 am 2 . a2 n amn
ent ij A ent ji AT (i 1, 2, , m; j 1, 2, , n) ，
C A B .
数与矩阵可以相乘. 定义 6 设 A [ aij ]mn ，则称矩阵 [kaij ]mn [ aij k ]mn 为数 k 与矩阵 A 的数量乘积(或
A 的 k 倍)，记作 kA 或 Ak .
加法与数量乘法统称为矩阵的线性运算. 2、 m n 矩阵空间 数域 上的全体 m n 矩阵形成的集合可以表示为
(加法交换律) (加法结合律) (加法右单位元) (加法右逆元) ( 1 倍) (数乘结合律) (第一分配律) (第二分配律)
mn 关于矩阵的加法与数量乘法，称为数域 上的 m n 矩阵空间. 减法是加法的派生运算： A B A ( B ) .
用高斯消元法解线性方程组
用高斯消元法解线性方程组高斯消元法是一种常用的解线性方程组的方法。
它通过一系列的行变换将线性方程组转化为一个简化的行阶梯形式，从而可以方便地求解方程组。
基本步骤使用高斯消元法解线性方程组的基本步骤如下：1. 构造增广矩阵：将线性方程组的系数矩阵和常数向量按照方程的顺序组合成一个增广矩阵。
2. 初等行变换：通过初等行变换操作，将增广矩阵转化为行阶梯形或行最简形。
3. 回代求解：从最后一行开始，反向代入得到方程组的解。
详细步骤以下是用高斯消元法解线性方程组的详细步骤：1. 将线性方程组的系数矩阵和常数向量按照方程的顺序组合成一个增广矩阵，如下所示：[a11 a12 ... a1n | b1][a21 a22 ... a2n | b2][... ... ... ... | ...][an1 an2 ... ann | bn]2. 选择第一个非零元素所在的列，记为第 k 列。
3. 通过初等行变换操作，将第 k 列除了第 k 行之外的所有元素变为零。
首先，将第 k 行的第 k 个元素系数标准化为 1，即将第 k 行的所有元素除以第 k 个元素的值。
然后，对第 i 行（i ≠ k）进行以下操作：将第 i 行的第 k 个元素的系数变为零，即将第 i 行减去第 k 行的 k 个元素乘以第 i 行的第 k 个元素的系数。
4. 重复步骤 2 和步骤 3，直至所有列都处理完毕。
5. 如果最后一行的所有元素都为零，则该线性方程组无解。
6. 如果最后一行的最后一个非零元素所在的列号为 m，则 m+1 到 n 列的所有元素均为自由变量。
7. 从最后一行开始，反向代入求解自由变量。
示例假设有以下线性方程组：2x + 3y - z = 13x + 2y + z = 2x + 3y + 2z = 3将该方程组转化为增广矩阵的形式：[2 3 -1 | 1][3 2 1 | 2][1 3 2 | 3]通过高斯消元法的步骤，可以得到以下的行阶梯形式：[1 3/2 1/2 | 3/2][0 7/2 -3/2 | -3/2][0 0 17/7 | 17/14]根据行阶梯形式，可以得到方程组的解为：x = 1/2y = -1/2z = 2/7总结高斯消元法是一种简单而有效的方法，用于解线性方程组。
高斯消元法完整
高斯消元法(完整)高斯消元法解线性方程组在工程技术和工程管理中有许多问题经常可以归结为线性方程组类型的数学模型，这些模型中方程和未知量个数常常有多个，而且方程个数与未知量个数也不一定相同。
那么这样的线性方程组是否有解呢？如果有解，解是否唯一？若解不唯一，解的结构如何呢？这就是下面要讨论的问题。
一、线性方程组设含有n 个未知量、有m 个方程式组成的方程组a x a x a xb a x a x a x b a x a x a x b n n n n m m mn n m11112211211222221122+++=+++=+++=⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪ （3.1） 其中系数a ij ，常数b j 都是已知数，x i 是未知量（也称为未知数）。
当右端常数项b 1,b 2, …, b m 不全为0时，称方程组（3.1）为非齐次线性方程组；当b 1=b 2= … =b m = 0时，即a x a x a x a x a x a x a x a x a x n n n n m m mn n 111122121122221122000+++=+++=+++=⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪ （3.2） 称为齐次线性方程组。
由n 个数k 1, k 2, …, k n 组成的一个有序数组（k 1, k 2, …, k n ），如果将它们依次代入方程组（3.1）中的x 1, x 2, …, x n 后，（3.1）中的每个方程都变成恒等式，则称这个有序数组（k 1, k 2, …, k n ）为方程组（3.1）的一个解。
显然由x 1=0,x 2=0, …, x n =0组成的有序数组（0, 0, …, 0）是齐次线性方程组（3.2）的一个解，称之为齐次线性方程组（3.2）的零解，而当齐次线性方程组的未知量取值不全为零时，称之为非零解。
（利用矩阵来讨论线性方程组的解的情况或求线性方程组的解是很方便的。
因此，我们先给出线性方程组的矩阵表示形式。
考研高数总复习第三章线性方程组第一节讲解
再把 x3 = -6， 故方程组的唯
情形二 r < n
这时阶梯形方程组为
c11x1 c12 x2 c1r xr c x 1,r1 r1 c1n xn d1 ,
c22 x2 c2r xr c2,r1xr1 c2n xn d2 ,
crr xr cr,r1xr1 crn xn dr ,
其中 cii 0 , i = 1, 2, … , r .
把它变形，得
c11x1 c12 x2 c1r xr d1 c1,r1xr1 c1n xn ,
c22 x2 c2r xr d2 c2,r1xr1 c2n xn ,
crr xr dr cr,r1xr1 crn xn ,
x1 x2 2x1 2x2
2 3x3
1
(1) (2)
x1 2x2 x3 2 (3)
STEP 2 方程 (1) 乘以 -2 加到方程 (2);
方程 (1) 乘以 1 加到方程 (3), 得
x1 x2
2
(1)
4x2 3x3 3
(4)
x2 x3 0
(5)
STEP 3 交换方程 (4) 与方程 (5), 得
一个方程上去. (3) 交换两个方程在方程组中的位置;
定义 1 变换 (1)，(2)，(3) 称为线性方程组 的初等变换.
2 消元法的证明
消元的过程就是反复施行初等变换的过程.
下
同解方程组 面证明，初等变换总是把方程组变成
.
证明 只证变换 (2)
对于方程组
a11x1 a12 x2 a1n xn b1 ,
x1 x2
2 (1)
x2 x3 0
(5)
4x2 3x3 3 (4)
STEP 4 方程 (5) 乘以 -4 加到方程 (4) , 得
消元法解线性方程组
3
÷2
(1)
4
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解
1↔ 2 3 ÷2
(1)
⎧ x1 + x2 − 2 x3 + x4 = 4, ⎪ 2 x − x − x + x = 2, ⎪ 1 2 3 4 ⎨ ⎪ 2 x1 − 3 x2 + x3 − x4 = 2, ⎪ 3 x1 + 6 x2 − 9 x3 + 7 x4 = 9, ⎩ ⎧ x1 + x2 − 2 x3 + x4 = 4, ⎪ 2 x − 2 x + 2 x = 0,43; 5 x 3 − 3 x 4 = − 6, ⎪ 3 x 2 − 3 x 3 + 4 x 4 = − 3, ⎩
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2 r2 − ⎛31 ⎛ 1 − 1 r ⎜ ⎜ 1 r3 − ⎜ 21 − 0 − 2 2r ⎜ 1 B1 = ⎜ ⎜3 2 −0 −5 1 r4 − ⎜ 1 ⎜ 3r ⎜3 ⎜0 −3 9 ⎝6 ⎝
r2 ÷ 2 r3 − 5r2 r4 − 3r2
2 − 1 4 ⎞1 ⎟ 2 − 1 2 ⎟2 − 1 2 ⎟3 5 − ⎟ ⎟4 3 − 7 9⎠
k1 (0,1,1,0 ) + k2 (− 1,2,2,1)
T T
(k1 , k2 ∈ R ).
问( I )与( II )是否有非零公共解 ? 若有 , 求出来;若没 有, 说明理由.
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思考题解答 解
将( II )的通解代入 ( I )得
⎧ − k2 + k1 + 2k2 = 0 ⇒ k1 = − k2 . ⎨ ⎩ k1 + 2k2 − k2 = 0
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该矩阵主元都是1且每个主元所在列其它元素都是0.
为了保证上述方法（消元法）对所有方程组可进行， 必须解决下面两个问题：
（1）方程组的初等变换不会影响方程组的解；
（2）任一个矩阵都可用初等行变换化成行阶梯矩阵。
三、同解方程组 定义1.3 如果两个线性方程组的解集合相同，则称 这两个线性方程组是同解的。 同解作为线性方程组解之间的关系式一个等价关系， 即它具有下面三条性质 （1）自反性： 任何线性方程组都与它自身是同解的。 （2）对称性： 如果（I）与（II）同解， 则（II）与 （I）同解。 如果（I）与（II）同解， 且（II）与 （3）传递性： （III）同解, 则（I）与（III）同解。
命题1.1 线性方程组的初等变换总是把线性方程组 变成同解的方程组。 命题1.2 任意矩阵都可经过一系列初等行变换化成 行阶梯矩阵。 命题1.3 任意矩阵都可经过一系列初等行变换化成 简化行阶梯矩阵。
例1.2 用矩阵的初等变换将A化为（简化）行阶梯矩阵
0 1 1 1 A 2 1 1 3 1 2 2 5
．
1 ( ) r3 10
行阶梯矩阵
1 2 2 0 r2 r3 0 1 1 0 r1 5 r3 0 0 0 1 1 0 0 0 r1 2 r2 0 1 1 0 0 0 0 1
简化行阶梯矩阵
作业：P141 Ex 1（1），2（1）（行阶梯矩阵）
第三个方程减去第一个方程的3倍，
x1 x2 x3 2 x2 x3 3 5 x2 2 x3 6
第三个方程减去第二个方程的5倍得
x1 x2 x3 2 x2 x3 3 3 x3 9 1 第三个方程乘以 得 3 x1 x2 x3 2 x2 x3 3 x3 3
x1 5 1 1 0 5 1 0 0 5 r1 r2 0 1 0 0 0 1 0 0 x2 0 0 0 1 3 0 0 1 3 x3 3
r2 r1 r3 r
定义1.2 一个行阶梯矩阵称为简化行阶梯矩阵，若
利用线性方程组增广矩阵求解的过程就是利用矩阵 初等行变换把矩阵化成行阶梯的过程。 例如 行阶梯矩阵也可利用初等行变换继续化简，
1 1 1 2 1 1 0 5 r2 r1 0 1 1 3 0 1 0 0 r r 3 0 0 1 3 0 0 1 3
方程组（I）的系数矩阵A和增广矩阵 A 分别为
a11 a21 A am 1 a11 a21 A am 1 a12 a22 am 2 a12 a22 a1n a2 n M m ,n ( K ) amn b1 b2 M m , n 1 ( K ) bm
例如
1 1 2 3 0 2 1 4 0 0 3 6
1 1 2 3 0 0 1 4 0 0 0 6
0 1 2 3 0 0 1 4 0 0 0 6 0 1 2 3 0 0 0 0 0 0 0 0
称其为方程组（I）的解向量。 （I）的解的全体构成的集合称为它的解集合， 记为Z((I)).
二、消元法解一般线性方程组的过程 例1.1 解线性方程组
2 x1 x2 3 x3 1 x1 x2 x3 2 3 x1 2 x2 5 x3 0
解 第二个方程与第一个方程对换次序得 x1 x2 x3 2 2 x1 x2 3 x3 1 3 x1 2 x2 5 x3 0 第二个方程减去第一个方程的2倍，
a1n a2 n
am 2 amn
显然，线性方程组是由其增广矩阵唯一决定的。
如果未知量 x1 , x2 , , xn分别用n 个数 c1 , c2 ,, cn 代入方程组（I）中后每一个式子都变成恒等式, 则称有序数组 c1 , c2 ,, cn 是方程组（I）的解。
n K 显然，这个解可看成向量空间 的一个向量，
它对应方程组为 最后这个矩阵称为行阶梯矩阵，
x1 x2 x3 2 x2 x3 3 x3 3
解这个方程组就得到原方程组的解。
下面给出行阶梯矩阵的重要概念
定义1.1 如果矩阵A的每行左边第一个元素至该行
的第一个非零元素（若存在）所在的下方全为零； 并且当某行元素都是0时它下面的各行也全是零， 则称A为行阶梯矩阵，其中A的非0行中最左边这 个非0元素称为主元。
解
1 2 2 5 1 2 2 5 r2 3 r3 r2 r3 0 0 0 10 0 1 1 1 0 1 1 1 0 0 0 10 1 2 2 5 0 1 1 1 0 0 0 1
③ 用一个非零的数乘某一个方程；
对应矩阵的初变换。
注意到上面用线性方程组初等变换解方程组时， 未知量没参与运算且参与运算的仅仅是系数和 常数项；并且线性方程组的初等变换正好对应 矩阵的初等行变换。 因此，上面解线性方程组
的过程可在增广矩阵上进行。如上例：
2 1 3 1 A 1 1 1 2 3 2 5 0 1 1 1 2 r1 r2 2 1 3 1 3 2 5 0
1 1 1 2 1 1 1 2 r1 r2 r2 2 r1 2 1 3 1 0 1 1 3 r3 3 r 3 2 5 0 0 5 2 6
1 1 1 1 2 1 1 1 2 r3 r3 5 r2 3 0 1 1 3 0 1 1 3 0 0 1 3 0 0 3 9
x x x 2 1 2 3 x2 x3 3 x3 3
回代
x1 5 x2 0 x3 3
上面求解线性方程组都
用了哪些变换？
求解上述线性方程组用到下面三种变换 ① 将一个方程的倍数加到另一个方程上；
② 交换两个方程的位置.
0 1 1 1 1 2 2 5 r1 r3 A 2 1 1 3 2 1 1 3 1 2 2 5 0 1 1 1
5 1 2 2 1 2 2 5 r2 2 r1 r2 3 r3 0 0 0 10 0 3 3 13 0 1 1 0 1 1 1 1
§1 用消元法解线性方程组
重点 1、解线性方程组的Gauss消元法的过程 2、线性方程组初等变换与矩阵初等行变换关系 3、行阶梯矩阵的概念 一、线性方程组的有关概念 m个方程n个未知量的线性方程组的一般形式为
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 （I） a21 x1 a22 x2 a2 n xn b2 a x a x a x b mn n m m1 1 m 2 2