2 向量及其线性运算
合集下载
线性代数第二章2-2向量及其线性运算
代数形象：向 量 的 坐 标 表 示 式
a a1 a2
an
空
解析几何
点空间：点的集合
间
线性代数
向量空间：向量的集合
( n 3)
坐 标
几 何 形 象： 空间直线、曲线、 空间平面或曲面
系
代 数 形 象： 向量空间中的平面
( x, y, z ) ax by cz d r ( x , y, z )
解
四、向量空间 1、定义 设Ｖ为ｎ维非空向量组，且满足
①对加法封闭
if V , V V ; if V , R V . ②对数乘封闭 那么就称向量组Ｖ为向量空间（Vector Space）．
例1 全体ｎ维向量所组成的集合是一个向量空间, 记作 ：
第二节 向量及其线性运算
１、引入 确定小鸟的飞行状态， 需要以下若干个参数： 小鸟身体的质量ｍ 小鸟身体的仰角ψ 鸟翼的转角ψ 鸟翼的振动频率ｔ 小鸟身体的水平转角θ 小鸟重心在空间的位置参数 P ( x , y , z ) 还有… 所以，为确定小鸟的飞行状态，会产生一组有序数组 m t x y z
i 1,2,
, n
5、负向量： (a1, a2 ,
, an ), (a1, a2 , , an )
二、向量的运算 1、加法 a1
a2 an , b1 a2 b2 b2 bn ,
规定 a1 b1
an bn an bn
所以 V2不是一个向量空间.
例3
V3 x x1
有
k R,
V4 x x1
判别下列集合是否为向量空间.
向量的线性运算向量的加法和数乘
向量的线性运算向量的加法和数乘向量的线性运算：向量的加法和数乘向量是数学中一个重要的概念，它在许多领域中都有广泛的应用。
在线性代数中，向量的线性运算是一项基础且重要的内容。
本文将重点介绍向量的加法和数乘两种线性运算，以及它们的性质和应用。
一、向量的加法向量的加法是指将两个向量相应位置上的元素进行相加得到一个新的向量。
设有两个向量：向量A = (a₁, a₂, ..., aₙ)和向量B = (b₁,b₂, ..., bₙ)，则它们的加法可表示为：A +B = (a₁ + b₁, a₂ + b₂, ..., aₙ + bₙ)其中，a₁ + b₁表示A和B的第一个元素相加，a₂ + b₂表示A和B的第二个元素相加，以此类推。
需要注意的是，参与加法运算的两个向量必须有相同的维度，即拥有相同数量的元素。
向量的加法具有以下性质：1. 交换律：对于任意两个向量A和B，有A + B = B + A。
即向量的加法满足交换律，顺序可以交换而不影响结果。
2. 结合律：对于任意三个向量A、B和C，有(A + B) + C = A + (B +C)。
即向量的加法满足结合律，可以按照任意顺序进行多次加法运算。
3. 零向量：对于任意向量A，存在一个全零向量0，使得A + 0 = A。
即任何向量与零向量进行加法运算，结果仍为原向量本身。
向量的加法有着广泛的应用，例如在力学中，将多个力的作用效果用向量的加法表示；在几何学中，将多个向量的位移用向量的加法表示等等。
二、向量的数乘向量的数乘是指将一个实数乘以一个向量的每个元素得到一个新的向量。
设有一个向量A = (a₁, a₂, ..., aₙ)，实数k，则它们的数乘可表示为：kA = (ka₁, ka₂, ..., kaₙ)即向量A的每个元素都乘以k得到新的元素。
这里的实数k称为标量，而向量A称为向量kA的标量倍。
需要注意的是，标量与向量进行数乘时，不改变向量的维度。
向量的数乘具有以下性质：1. 结合律：对于任意实数k₁和k₂以及向量A，有(k₁k₂)A =k₁(k₂A)。
3.2向量及其线性组合1-PPT课件
o ( 0 , 0 ,..., 0 ) 即
注：维数不同的零向量是不相同的。 负向量：n 维向量 的各分量的相反数所构成的 n 维 向量，称为 的负向量，记作 ，即
( a , a ,..., a ) 1 2 n
设 (a1 , a2 ,..., a n ) ， (b1 , b2 ,..., bn ) 都 向量相等： 是 n 维向量， 若它们的各个对应的分量都 相等，则称向量 与 相等， 记 作
T ( 2 , 3 ) 由 1
T ( 4 , 2 ) 2
构成的向量组1T, 2T为行向量组. 说明： （1）任何一个含有有限个向量的向量组，都可以构成 一个矩阵. n个m维列向量所组成的列向量组 , 2 , , 1 n 构成一个 mn 矩阵 a11 a12 a1 j a1n a21 a22 a2 j a2n A ( , , , ) 1 2 n a a a a mj mn m1 m2
（2）向量的数乘
（k∈R） ， 所 定义3.3 n维向量 对应的各分量的 k 倍 构成的 n维向量，称为数 k 与向量 的乘积， 记作 k ，
减法
( )
与 的 和 称 为 与 的 差 ， 记 作 ， 即
( a ,a ,..., a ) ( b ,b ,..., b ) 1 2 n 1 2 n ( a b ,a b ,..., a b ) 1 1 2 2 n n
T T T, T 都是行向量. (4 ,2 ), (2 ,3 ), 则 若 2 1 1 2
注： 1. 行向量和列向量总被看作是不同的向量; 2. 行向量和列向量都按照矩阵运算法则进行运算; 3. 当没有明确说明是行向量还是列向量时, 都当作 列向量.
注：维数不同的零向量是不相同的。 负向量：n 维向量 的各分量的相反数所构成的 n 维 向量，称为 的负向量，记作 ，即
( a , a ,..., a ) 1 2 n
设 (a1 , a2 ,..., a n ) ， (b1 , b2 ,..., bn ) 都 向量相等： 是 n 维向量， 若它们的各个对应的分量都 相等，则称向量 与 相等， 记 作
T ( 2 , 3 ) 由 1
T ( 4 , 2 ) 2
构成的向量组1T, 2T为行向量组. 说明： （1）任何一个含有有限个向量的向量组，都可以构成 一个矩阵. n个m维列向量所组成的列向量组 , 2 , , 1 n 构成一个 mn 矩阵 a11 a12 a1 j a1n a21 a22 a2 j a2n A ( , , , ) 1 2 n a a a a mj mn m1 m2
（2）向量的数乘
（k∈R） ， 所 定义3.3 n维向量 对应的各分量的 k 倍 构成的 n维向量，称为数 k 与向量 的乘积， 记作 k ，
减法
( )
与 的 和 称 为 与 的 差 ， 记 作 ， 即
( a ,a ,..., a ) ( b ,b ,..., b ) 1 2 n 1 2 n ( a b ,a b ,..., a b ) 1 1 2 2 n n
T T T, T 都是行向量. (4 ,2 ), (2 ,3 ), 则 若 2 1 1 2
注： 1. 行向量和列向量总被看作是不同的向量; 2. 行向量和列向量都按照矩阵运算法则进行运算; 3. 当没有明确说明是行向量还是列向量时, 都当作 列向量.
空间向量及其线性运算(课件)(人教A版2019选修一)高二数学同步精品
自主学习
三．空间向量的线性运算
空 加法 间
三角形法则:a＋b＝O→A ＋A→B ＝ O→B 平行四边形法则:a＋b＝O→A ＋O→C ＝ O→B
向 量
减法
a－b＝O→A －O→C ＝C→A
的 线
当 λ>0 时，λa（λa 的长度为 a 的|λ|a 倍）＝λO→A
性 运 算
数乘 运算
＝P→Q （与 a 同向）
当堂达标
2.向量 a，b 互为相反向量，已知|b|＝3，则下列结论正确的是( ) A．a＝b B．a＋b 为实数 0 C．a 与 b 方向相同 D．|a|＝3
D 解析：向量 a，b 互为相反向量，则 a，b 模相等、方向相反，故选 D.
当堂达标
3.已知正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，A→1E＝14A→1C1，若A→E＝xA→A1＋y(A→B＋A→D)，则(
自主学习
六.共面向量 定义：平行于___同__一__个__平__面_____的向量叫做共面向量.
1.证明空间三个向量共面，常用如下方法： (1)设法证明其中一个向量可以表示成另两个向量的线性组合， 即若 a＝xb＋yc，则向量 a，b，c 共面； (2)寻找平面 α，证明这些向量与平面 α 平行.
)
A．x＝1，y＝12
B．x＝12，y＝1
C．x＝1，y＝13
D．x＝1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱy＝14
D 解析：A→E＝A→A1＋A→1E＝A→A1＋14A→1C1＝A→A1＋14(A→B＋A→D)．所以 x＝1，y＝14．
当堂达标
4.如图，在长方体 ABCD－A′B′C′D′中，AB＝3，AD＝2，AA′＝1， 则分别以长方体的顶点为起点和终点的向量中： ①单位向量共有多少个？ ②试写出模为 5的所有向量． ③试写出与向量A→B相等的所有向量． ④试写出向量-A-→A′的所有相反向量．
3-1,2n维向量及其运算向量组的线性相关性
0
1
定义2 设两个n维向量组
I
1, 2, 3,……,s
(II)
1, 2, 3, ……,t
如果(I)组中每一个向量i (i=1,2,…,s)都能由
向量组(II)线性表示，则称向量组(I)可以
由向量组(II)线性表示.
如果两个向量组可以相互线性表示，则称这
两个向量组等价.
例如，对于向量组
一. n维向量空间
1. n 维向量
定义：n 个有次序的数a1,a2 , ,an 所组成的有序数组
a1,a2 , ,an 称为一个n 维向量。
这 n 个数称为该向量的 n 个分量，第 i个数 ai 称为第 i 个分量。
分量全为实数的向量称为实向量，
分量为复数的向量称为复向量.
以后我们用小写希腊字母 , , 来代表向量。
注意 1. 若 1,2 ,
,
线性无关
m
,
则只有当
k1 km 0时, 才有
k11 k22 kmm 0成立 .
2. 对于任一向量组,不是线性无关就是
线性相关 .
的和，记为
负向量：向量 a1, a2 , , an 称为向量 的负向量
向量减法： ( )
数乘向量：设k为实数，向量 ka1, ka2 , , kan 称为向量 a1,a2 , ,an
与数k的数量乘积。记为 k
满足运算律：
(1)
(5)1
(2)( ) ( ) (6)k(l ) (kl)
例如：
(1,2,3,, n)
(1 2i,2 3i,,n (n 1))
第2个分量 第1个分量
第n个分量
n维实向量 n维复向量
向量通常写成一行： a1,a2 , ,an 称为行向量。
向量
设有两个向量组： 定义 3.6 设有两个向量组：
α 1 , α 2 ,⋯ , α s β 1 , β 2 ,⋯ , β t
A = (α1 ,α2 ,⋯,αm )
m 个n维行向量所组成 的向量组 β 1 , β 2 ,⋯ β m ,
T T T
构成一个 m × n矩阵
β1T T β2 B= ⋮ T β m
线性方程组的向量表示
a11 x1 + a12 x 2 + ⋯ + a1n x n = b1 , a 21 x1 + a 22 x 2 + ⋯ + a 2 n x n = b2 , ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ a m 1 x1 + a m 2 x 2 + ⋯ + a mn x n = bm .
例5
判断向量 3 0 11 β 1 = ( 4 , 3 , − 1 ,11 ) 与 β 2 =（ 4，，， ）
是否各为向量组 2 − 5 − 1 1 α 1 = ( 1，， 1， )， α 2 =（ 2， 1，，）的线性组合
T T 解 设 k 1α 1 + k 2α 2 = β 1 , 对矩阵 ( α 1 , α 2 , β 1T )
若干个同维数的列向量（或同维数的行向量） 若干个同维数的列向量（或同维数的行向量） 所组成的集合叫做向量组． 所组成的集合叫做向量组． 例如 矩阵A = (a ij )m n 有n个m 维列向量 × aj a1 a2 an a11 a12 ⋯ a1 j ⋯ a1n a 21 a 22 ⋯ a 2 j ⋯ a 2 n A= ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ a a m 2 ⋯ a mj ⋯ a mn m1
解析几何(教材)pdf
JJJJG
2MD ，所以 MD
1
(b
a)
，且
JJJG MB
JJJJG MD
1 (a b) .
2
2
前面已经规定,模为 1 的向量叫单位向量. 对于非零向量 a ，与它同方向的单
位向量叫做向量 a
的单位向量 ,
常记为
a0
或
e a
.这里有
|
a0
|=|
e a
|
1.
按照向量的数乘规定， a a0 与 a0 (即 a )的方向相同，a 的模也相同.显然有公
D
C
M
b
A
a
B
图7
解 由于平行四边形的对角线互相平分，所以
JJJG JJJJG
JJJG
a + b = AC 2AM ， (a + b) 2MA
4
于是
JJJG MA
1
(a
+
b)
；因为
JJJJG MC
JJJG
JJJJG
MA ，所以 MC
1 (a + b) .
2
2
又 a + b
JJJG BD
JJJJG
因此，若把向量 a 与 b 移到同一个点 O ，则从 a 的终点 A 向 b 的终点 B 所引向量 便是向量 b 与 a 的差 b a （图 6(b)）.
特别地，当 b = a 时，有 a a = a + (a) = 0 .
3
由三角形两边之和大于第三边的原理，有 a+b d a b 及 a-b d a b
数乘向量满足下列性质：
(1)结合律 O(Pa) P(Oa) (OP)a ；
空间向量的线性运算
空间向量的线性运算空间向量是三维空间中的一个重要概念，它具有方向和大小。
在现实生活和科学研究中，我们常常需要对空间向量进行各种数学操作和运算。
本文将介绍空间向量的线性运算，包括向量的加法、减法、数量乘法以及与数的乘法。
1. 向量的加法向量的加法是指将两个向量相加得到一个新的向量。
设有两个向量A和B，它们的坐标分别表示为(Ax, Ay, Az)和(Bx, By, Bz)。
则两个向量的加法运算可以表示为：A +B = (Ax + Bx, Ay + By, Az + Bz)2. 向量的减法向量的减法是指将两个向量相减得到一个新的向量。
设有两个向量A和B，它们的坐标分别表示为(Ax, Ay, Az)和(Bx, By, Bz)。
则两个向量的减法运算可以表示为：A -B = (Ax - Bx, Ay - By, Az - Bz)3. 数量乘法数量乘法是指将一个向量与一个标量相乘得到一个新的向量。
设有一个向量A和一个标量k，向量A的坐标表示为(Ax, Ay, Az)。
则向量A与标量k的数量乘法运算可以表示为：kA = (kAx, kAy, kAz)4. 向量与数的乘法向量与数的乘法是指将一个向量的每个分量都与一个相同的数相乘得到一个新的向量。
设有一个向量A和一个数k，向量A的坐标表示为(Ax, Ay, Az)。
则向量A与数k的乘法运算可以表示为：A * k = (Ax * k, Ay * k, Az * k)空间向量的线性运算具有以下几个重要性质：1. 加法交换律对于任意的向量A和B，有A + B = B + A。
2. 加法结合律对于任意的向量A、B和C，有(A + B) + C = A + (B + C)。
3. 减法与加法的关系向量减法可以看作是加法的逆运算，即A - B = A + (-B)，其中-A表示向量B取相反数得到的向量。
4. 标量乘法分配律对于任意的向量A和标量k、m，有k(A + B) = kA + kB，(k + m)A = kA + mA。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
由勾股定理得
r r = OM
对两点 与 因
P x
= x2 + y2 + z2
得两点间的距离公式:
= (x2 x1) + ( y2 y1) + (z2 z1)
2 2
2
例2. 求证以 的三角形是等腰三角形 . 证:
为顶点
Q M1M2 = (7 4)2 + (1 3)2 + (2 1)2 = 14
解:设所求点的坐标为C(0,y,0) 由题意|AC|=|BC| 由两点间距离公式得:
(1 0) 2 + (3 y ) 2 + (7 0) 2 = (5 0) 2 + (7 y ) 2 + ( 5 0) 2
解之y=2
因此所求点C(0,2,0)
2. 方向角与方向余弦 设有两非零向量 记作 类似可定义向量与轴, 轴与轴的夹角 . 与三坐标轴的夹角α , β , γ 为其方向角 方向角. 方向角 方向角的余弦称为其方向余弦 方向余弦. 方向余弦 x x cosα = r = r x2 + y2 + z2 任取空间一点 O , 称 =∠AOB (0≤ ≤ π ) 为向量
坐标原点 坐标轴 坐标面
Ⅳ
Ⅲ
Ⅱ Ⅰ
卦限(八个) Ⅶ
oxoy面
y
y轴(纵轴) Ⅵ
x
x轴(横轴) Ⅷ Ⅴ
在直角坐标系下
→ → 点 M ← 有序数组 (x, y, z) ← 向径 r (称为点 M 的坐标 坐标) 坐标 特殊点的坐标 :
11
11
原点 O(0,0,0) ;
坐标轴上的点 P, Q , R ;
第一节 向量及其线性运算
一,空间直角坐标系 二,向量与向量的线性运算 三,向量的坐标表示
第七章 七
向量的模,方向角, 四,向量的模,方向角,方向余弦
一,空间直角坐标系
1. 空间直角坐标系的基本概念 过空间一定点 o , 由三条互相垂直的数轴按右手规则 组成一个空间直角坐标系.
z z 轴(竖轴)
yoz面
本章教学要求:
(1)理解空间直角坐标系. (2)理解向量的概念. (3)掌握向量的坐标表示及运算(线性运算,内积及外积)会求两个向量的夹 角,知道向量的方向余弦,知道两个向量平行与垂直的充要条件. (4)了解平面方程,直线方程的概念,会求简单的平面方程,直线方程. (5)了解曲面方程的概念.知道常用二次曲面的方程其图形,知道以坐标轴为 旋转轴的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程及其图形. (6)知道空间曲线的参数方程和一般方程,会求简单空间曲线在坐标平面上投影. 单元教学重点: 向量的概念,向量的坐标表示及运算,两个向量平行与垂直的充要条件.简单的 平面方程与直线方程的确定,常用二次曲面的方程及其图形.
坐标面上的点 A , B , C
z
R(0,0, z)
B(0, y, z)
C(x, o, z)
o
r
M
y
Q(0, y,0)
x P(x,0,0)
A(x, y,0)
z
坐标轴 :
o
y
x
坐标面 :
二,向量与向量的线性运算
1,向量的概念 向量: 既有大小, 又有方向的量称为向量 (又称矢量). 表示法: 向量的模 : 有向线段 M1 M2 , 或 a , 向量的大小,
z
沿三个坐标轴方向的分向量 分向量. 分向量
r r 设 a = ( ax , ay , az ), b = (bx , by , bz ) , λ 为 数, 实 则 r r a ±b = (ax ± bx , ay ± by , az ± bz ) r (λ a , λ a , λ a ) λa = x y z
r r的夹角. a,b
z
r γ r β o α x
y
x x cosα = r = r x2 + y2 + z2 y y cos β = r = r x2 + y2 + z2 z z cos γ = r = r x2 + y2 + z2
方向余弦的性质:
z
r γ r β o α x
y
例4. 已知两点
r r r r λ(a + b) = λ a + λ b 1 r ro r r r a. 因此 a = a ao 则 单 向 a = a 有 位 量 r
分配律
定理1. 设 a 为非零向量 , 则 定理 a‖b 证: " ". 设 a‖b , 取 λ=± (λ 为唯一实数) , a , b 同向时
取正号, 反向时取负号, 则 b 与 λ a 同向, 且
2 2
因点 A 在第一卦限 , 故 cosγ = 1 , 于是 2
cos γ =1 cos α cos β = 1 4
2
o
OA= OA OA = 6( 1 , 2
故点 A 的坐标为 (3, 3 2, 3).
2 1 , ) 2 2 = (3, 3
2, 3)
r r r r r r r r r r r 1. 设 m = 3 i + 5 j + 8k , n = 2 i 4 j 7 k , p =5i + j r r r r r 求向量 a = 4 m + 3n p 在 x 轴上的投影及在 y 4k ,
轴上的分向量. 解: 因
备用题
故在 x 轴上的投影为 a x=13
r r 在 y 轴上的分向量为 ay j = 7 j
2. 设 m = i + j, n = 2 j + k, 求以向量 m, n 为边的平 行四边形的对角线的长度 . 解: 对角线的长为
| m n |
Q m +n = ( 1, 1,1) mn = (1, 3, 1)
2,向量的线性运算 ,
1. 向量的加法 平行四边形法则:
( a + b) + c
c
b+ c b
b a+ b
三角形法则:
a + (b + c)
a
a+ b b
a+ b
a
运算规律 : 交换律
a +b = b + a 结合律 ( a + b) + c = a + (b + c ) = a + b + c
a
a +b = AC
= 2 MA = 2 MB
MD = 1 ( b a) 2
D
b
C
b a = BD
MC = 1 ( a + b) 2
∴ MA = 1 ( a + b) MB = 1 (b a ) A 2 2
M a B
三. 向量的坐标表示
r r r 以i , j , k 分 表 x, y , z 轴 的 位 量 , 设点 M 别 示 上 单 向
和
计算向量
的模 ,方向余弦和方向角 . 解:
M1M2 = ( 1 2, 3 2 , 0 2 )
= (1, 1, 2 )
(1)2 +12 + ( 2)2 = 2
1 cos β = , 2
2π , 3
π
3
,
2 cosγ = 2 3π 4
例5. 设点 A 位于第一卦限, 向径 OA 与 x 轴 y 轴的夹 角依次为 π , π , 且 OA = 6, 求点 A 的坐标 . 3 4 解: 已知 α = π , β = π , 则 3 4
∴ | m+ n = 3
n
m
| m n = 11
该平行四边形的对角线的长度各为 3, 11
�
向径 (矢径): 起点为原点的向量. 自由向量: 与起点无关的向量. 单位向量: 模为 1 的向量, 零向量: 模为 0 的向量,
M1 M2
若向量 a 与 b大小相等, 方向相同, 则称 a 与 b 相等, 记作 a=b ; 若向量 a 与 b 方向相同或相反, 则称 a 与 b 平行, 记作 a‖b ; 规定: 零向量与任何向量平行 ; 与 a 的模相同, 但方向相反的向量称为 a 的负向量, , , 记作-a ; 因平行向量可平移到同一直线上, 故两向量平行又称 两向量共线 . 若 k (≥3)个向量经平移可移到同一平面上 , 则称此 k 个向量共面 .
=
=b
故 b = λ a.
再证数 λ 的唯一性 . 设又有 b= a , 则 (λ ) a = 0
故 λ = 0, 即λ = .
"
" 已知 b=λ a , 则 b=0 a , b 同向 a , b 反向 ABCD 对角线的交点,
a‖b
例1. 设 M MC, MD. 用 示
的坐标为 M(x, y , z) , 则 在空间直角坐标系下, 任意向量 r 可用向径 OM 表示.
OM = ON + NM = OA + OB + OC
r r r r r = x i + y j + z k = (x , y , z )
此式称为向量 r 的坐标分解式 , 坐标分解式
C r r r r M k j B ro y i A N x
三角形法则可推广到多个向量相加 .
s = a1 + a2 + a3 + a4 + a5 a4 a3
a5
s
a2
a1
2. 向量的减法
a
三角不等式
3. 向量与数的乘法
r λ 是一个数 , λ 与 a 的乘积是一个新向量, 记作 λ a .
规定 :
可见 r r r r 总之: λa = λ a 1a = a ; r r r r r 运算律 : 结合律 λ( a) = (λ a) = λ a 1a = a ;
r r = OM
对两点 与 因
P x
= x2 + y2 + z2
得两点间的距离公式:
= (x2 x1) + ( y2 y1) + (z2 z1)
2 2
2
例2. 求证以 的三角形是等腰三角形 . 证:
为顶点
Q M1M2 = (7 4)2 + (1 3)2 + (2 1)2 = 14
解:设所求点的坐标为C(0,y,0) 由题意|AC|=|BC| 由两点间距离公式得:
(1 0) 2 + (3 y ) 2 + (7 0) 2 = (5 0) 2 + (7 y ) 2 + ( 5 0) 2
解之y=2
因此所求点C(0,2,0)
2. 方向角与方向余弦 设有两非零向量 记作 类似可定义向量与轴, 轴与轴的夹角 . 与三坐标轴的夹角α , β , γ 为其方向角 方向角. 方向角 方向角的余弦称为其方向余弦 方向余弦. 方向余弦 x x cosα = r = r x2 + y2 + z2 任取空间一点 O , 称 =∠AOB (0≤ ≤ π ) 为向量
坐标原点 坐标轴 坐标面
Ⅳ
Ⅲ
Ⅱ Ⅰ
卦限(八个) Ⅶ
oxoy面
y
y轴(纵轴) Ⅵ
x
x轴(横轴) Ⅷ Ⅴ
在直角坐标系下
→ → 点 M ← 有序数组 (x, y, z) ← 向径 r (称为点 M 的坐标 坐标) 坐标 特殊点的坐标 :
11
11
原点 O(0,0,0) ;
坐标轴上的点 P, Q , R ;
第一节 向量及其线性运算
一,空间直角坐标系 二,向量与向量的线性运算 三,向量的坐标表示
第七章 七
向量的模,方向角, 四,向量的模,方向角,方向余弦
一,空间直角坐标系
1. 空间直角坐标系的基本概念 过空间一定点 o , 由三条互相垂直的数轴按右手规则 组成一个空间直角坐标系.
z z 轴(竖轴)
yoz面
本章教学要求:
(1)理解空间直角坐标系. (2)理解向量的概念. (3)掌握向量的坐标表示及运算(线性运算,内积及外积)会求两个向量的夹 角,知道向量的方向余弦,知道两个向量平行与垂直的充要条件. (4)了解平面方程,直线方程的概念,会求简单的平面方程,直线方程. (5)了解曲面方程的概念.知道常用二次曲面的方程其图形,知道以坐标轴为 旋转轴的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程及其图形. (6)知道空间曲线的参数方程和一般方程,会求简单空间曲线在坐标平面上投影. 单元教学重点: 向量的概念,向量的坐标表示及运算,两个向量平行与垂直的充要条件.简单的 平面方程与直线方程的确定,常用二次曲面的方程及其图形.
坐标面上的点 A , B , C
z
R(0,0, z)
B(0, y, z)
C(x, o, z)
o
r
M
y
Q(0, y,0)
x P(x,0,0)
A(x, y,0)
z
坐标轴 :
o
y
x
坐标面 :
二,向量与向量的线性运算
1,向量的概念 向量: 既有大小, 又有方向的量称为向量 (又称矢量). 表示法: 向量的模 : 有向线段 M1 M2 , 或 a , 向量的大小,
z
沿三个坐标轴方向的分向量 分向量. 分向量
r r 设 a = ( ax , ay , az ), b = (bx , by , bz ) , λ 为 数, 实 则 r r a ±b = (ax ± bx , ay ± by , az ± bz ) r (λ a , λ a , λ a ) λa = x y z
r r的夹角. a,b
z
r γ r β o α x
y
x x cosα = r = r x2 + y2 + z2 y y cos β = r = r x2 + y2 + z2 z z cos γ = r = r x2 + y2 + z2
方向余弦的性质:
z
r γ r β o α x
y
例4. 已知两点
r r r r λ(a + b) = λ a + λ b 1 r ro r r r a. 因此 a = a ao 则 单 向 a = a 有 位 量 r
分配律
定理1. 设 a 为非零向量 , 则 定理 a‖b 证: " ". 设 a‖b , 取 λ=± (λ 为唯一实数) , a , b 同向时
取正号, 反向时取负号, 则 b 与 λ a 同向, 且
2 2
因点 A 在第一卦限 , 故 cosγ = 1 , 于是 2
cos γ =1 cos α cos β = 1 4
2
o
OA= OA OA = 6( 1 , 2
故点 A 的坐标为 (3, 3 2, 3).
2 1 , ) 2 2 = (3, 3
2, 3)
r r r r r r r r r r r 1. 设 m = 3 i + 5 j + 8k , n = 2 i 4 j 7 k , p =5i + j r r r r r 求向量 a = 4 m + 3n p 在 x 轴上的投影及在 y 4k ,
轴上的分向量. 解: 因
备用题
故在 x 轴上的投影为 a x=13
r r 在 y 轴上的分向量为 ay j = 7 j
2. 设 m = i + j, n = 2 j + k, 求以向量 m, n 为边的平 行四边形的对角线的长度 . 解: 对角线的长为
| m n |
Q m +n = ( 1, 1,1) mn = (1, 3, 1)
2,向量的线性运算 ,
1. 向量的加法 平行四边形法则:
( a + b) + c
c
b+ c b
b a+ b
三角形法则:
a + (b + c)
a
a+ b b
a+ b
a
运算规律 : 交换律
a +b = b + a 结合律 ( a + b) + c = a + (b + c ) = a + b + c
a
a +b = AC
= 2 MA = 2 MB
MD = 1 ( b a) 2
D
b
C
b a = BD
MC = 1 ( a + b) 2
∴ MA = 1 ( a + b) MB = 1 (b a ) A 2 2
M a B
三. 向量的坐标表示
r r r 以i , j , k 分 表 x, y , z 轴 的 位 量 , 设点 M 别 示 上 单 向
和
计算向量
的模 ,方向余弦和方向角 . 解:
M1M2 = ( 1 2, 3 2 , 0 2 )
= (1, 1, 2 )
(1)2 +12 + ( 2)2 = 2
1 cos β = , 2
2π , 3
π
3
,
2 cosγ = 2 3π 4
例5. 设点 A 位于第一卦限, 向径 OA 与 x 轴 y 轴的夹 角依次为 π , π , 且 OA = 6, 求点 A 的坐标 . 3 4 解: 已知 α = π , β = π , 则 3 4
∴ | m+ n = 3
n
m
| m n = 11
该平行四边形的对角线的长度各为 3, 11
�
向径 (矢径): 起点为原点的向量. 自由向量: 与起点无关的向量. 单位向量: 模为 1 的向量, 零向量: 模为 0 的向量,
M1 M2
若向量 a 与 b大小相等, 方向相同, 则称 a 与 b 相等, 记作 a=b ; 若向量 a 与 b 方向相同或相反, 则称 a 与 b 平行, 记作 a‖b ; 规定: 零向量与任何向量平行 ; 与 a 的模相同, 但方向相反的向量称为 a 的负向量, , , 记作-a ; 因平行向量可平移到同一直线上, 故两向量平行又称 两向量共线 . 若 k (≥3)个向量经平移可移到同一平面上 , 则称此 k 个向量共面 .
=
=b
故 b = λ a.
再证数 λ 的唯一性 . 设又有 b= a , 则 (λ ) a = 0
故 λ = 0, 即λ = .
"
" 已知 b=λ a , 则 b=0 a , b 同向 a , b 反向 ABCD 对角线的交点,
a‖b
例1. 设 M MC, MD. 用 示
的坐标为 M(x, y , z) , 则 在空间直角坐标系下, 任意向量 r 可用向径 OM 表示.
OM = ON + NM = OA + OB + OC
r r r r r = x i + y j + z k = (x , y , z )
此式称为向量 r 的坐标分解式 , 坐标分解式
C r r r r M k j B ro y i A N x
三角形法则可推广到多个向量相加 .
s = a1 + a2 + a3 + a4 + a5 a4 a3
a5
s
a2
a1
2. 向量的减法
a
三角不等式
3. 向量与数的乘法
r λ 是一个数 , λ 与 a 的乘积是一个新向量, 记作 λ a .
规定 :
可见 r r r r 总之: λa = λ a 1a = a ; r r r r r 运算律 : 结合律 λ( a) = (λ a) = λ a 1a = a ;