矩阵秩重要知识点总结_考研必看
矩阵秩重要知识点总结_考研必看
矩阵秩重要知识点总结_考研必看一．矩阵等价行等价：矩阵A经若干次初等行变换变为矩阵B列等价：矩阵A经若干次初等列变换变为矩阵B矩阵等价:矩阵A经若干次初等行变换可以变为矩阵B，矩阵B经若干次初等行变换可以变成矩阵A，则成矩阵A和B等价矩阵等价的充要条件1. 存在可逆矩阵P和Q,PAQ=B2. R(A)=R(B)二．向量的线性表示Case1：向量b能由向量组A线性表示: b=λ1α1+λ2α2+λ3α3+⋯+λmαm充要条件:1.线性方程组Ax=b有解2.R(A)=R(A,b)Case2：向量组B能由向量组A线性表示充要条件：R(A)=R(A,B)推论∵R(A)=R(A,B),R(B) ≤R(A,B) ∴R(B) ≤R(A)Case3：向量组A能由向量组B线性表示充要条件：R(B)=R(B,A)推论∵R(B)=R(A,B),R(A) ≤R(A,B) ∴R(A) ≤R(B)Case4：向量组A和B能相互表示，即向量组A和向量组B等价充要条件:R(A)=R(B)=R(A,B)=R(B,A)Case5：n维单位坐标向量组En能由矩阵A的列向量组线性表示充要条件是:R(A)=R(A,E)n=R(E)=n，所以R(A)=n=R(A,E)三．线性方程组的解1. 非齐次线性方程组（1） R(A)=R(A,B),方程有解.（2） R(A)=R(A,B)=n，解唯一.（3） R(A)=R(A,B)（4）R(A) ≠R(A,B)2．齐次线性方程组（1）一定有解（2）有非零解的充要条件R(A)四．向量组线性相关性向量组线性相关：存在不全为0的实数λ1、λ2，λ3…λn,满足λ1α1+λ2α2+λ3α3+⋯+λnαn=0充要条件:（1） R(A)（2）向量组中至少有一个向量能由其余n-1个向量线性表示（3） n 元齐次线性方程组 Ax = 0 有非零解．Case1：向量组A要么线性相关，要么线性无关，两者必居其一Case2：向量组A只包含一个向量α，α是零向量，向量组A线性无关; α是非零向量，向量组A线性无关。
3-1 矩阵的秩
第三章
秩与方程组
第一节
矩阵的秩
秩的概念 秩的计算
一、矩阵秩的概念
定义1 在m×n 矩阵A中任取 k行 k列(k ≤ m, k ≤ n), 位于这些行列交叉处的k 2 个元素，不改变 它们在A中所处的位置次序而得到的 k 阶行 列式称为矩阵A的k 阶子式．
k k m×n 矩阵A的k 阶子式共有 C m 个． Cn
*
(要牢记)
A 1 A* A
1 A A
A可逆
A 1 A
n 1
1
|A|≠0，且
A* A
n1
A*
1
kA k
A ,
*
A
*
*
A
n 2
A (不太常用)
(2)克拉默法则 ①方程个数等于未知量个数;
②系数行列式不等于零.
第三章
矩阵的秩与 线性代数方程组
矩阵的秩 齐次线性方程组 非齐次线性方程组
1 0 0 0 1 0 0 0
2 4 0 0 0 1 0 0ຫໍສະໝຸດ 1 2 0 0 1 2 0 0
0 3 5 0 0 0 1 0
2 1 3 0 2 1 3 0
行梯形阵
行最简形矩阵．
定理1 对于任何矩阵 Am n ，总可经过有限次行 初等变换化为行梯形阵． 例
~
0 0 0 0 0
1 0 0 0 0
1 0 0 0 0
1 1 1 2 1
1 1 1 2 1
1 1 2 3 1
~
~
0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 1 B 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
矩阵秩重要知识点总结_考研必看复习课程
] ]
b1
3 1
4 6
2
1
5
3
1 1
4 1 1 1
b3
a3
[b1 , a3 [b1 , b1
] ]
b1
[b2 [b2
, ,
a3 b2
] ]
b2
1
0
1 3
2 1
5
3
1 1
2
0
1
第二步单位化，令
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1 e1 || b1 || b1
精品文档 一． 矩阵等价
行等价：矩阵 A 经若干次初等行变换变为矩阵 B 列等价：矩阵 A 经若干次初等列变换变为矩阵 B 矩阵等价:矩阵 A 经若干次初等行变换可以变为矩阵 B，矩阵 B 经若干次初等行变换可 以变成矩阵 A，则成矩阵 A 和 B 等价 矩阵等价的充要条件 1. 存在可逆矩阵 P 和 Q,PAQ=B 2. R(A)=R(B) 二． 向量的线性表示
Case1：向量 b 能由向量组 A 线性表示:
充要条件:
1.线性方程组 A x =b 有解
2.R(A)=R(A,b) Case2：向量组 B 能由向量组 A 线性表示 充要条件：
R(A)=R(A,B) 推论 ∵R(A)=R(A,B),R(B) ≤R(A,B) ∴R(B) ≤R(A) Case3：向量组 A 能由向量组 B 线性表示 充要条件：
R(B)=R(B,A) 推论 ∵R(B)=R(A,B),R(A) ≤R(A,B) ∴R(A) ≤R(B) Case4：向量组 A 和 B 能相互表示，即向量组 A 和向量组 B 等价 充要条件:
R(A)=R(B)=R(A,B)=R(B,A) Case5：n 维单位坐标向量组 能由矩阵 A 的列向量组线性表示 充要条件是:
矩阵的秩
第一章 矩阵的秩矩阵理论是高等代数的主要内容之一, 在数学及其它科学领域中有着广泛的应用.在矩阵理论中, 矩阵的秩是一个重要的概念. 它是矩阵的一个数量特征, 而且是初等变换下的不变量. 本文归纳了矩阵的秩与向量的线性关系; 线性方程组的求解; 空间中点面位置关系; 二次型; 线性变换等问题的密切的联系.1 矩阵的秩的定义及简单的公式1.1 矩阵的秩的定义定义1一个向量组的极大线性无关组所含向量的个数称为这个向量组的秩. 所谓矩阵的行秩就是矩阵的行向量组的秩, 矩阵的列秩就是矩阵的列向量组的秩. 矩阵的行秩等于矩阵的列秩, 并统称为矩阵的秩. 另外, 矩阵的秩等于它的不为零的子式的最高阶数, 这是矩阵的秩的行列式定义.定义2设()n m a A ij ⨯=有r 阶子式不为0，任何r +1阶子式(如果存在的话)全为0 , 称r 为矩阵A 的秩，记作()A R 或。
定义3 矩阵A 经过初等变换所化成的阶梯型中非零行的个数称为矩阵A 的秩． 矩阵A 的秩为r ，记为()r A R =.特别，零矩阵的秩()00=R1.2 矩阵的秩的几个简单性质性质1 ()0=A r , 当且仅当A 是零矩阵 性质2 ()n A r =, 当且仅当|A |≠0性质3 设A 是m ×n 矩阵, 则()}{n m A r ,min 0≤≤ 性质4 ()()()B r A r B A r +≤+性质5 ()()TA rank A rank =1.3矩阵秩的求法（1）定义法找出矩阵A 中不为零的最高子式，算出它的阶数． （2）初等变换法用初等变换（行、列均可）将矩阵A 化为标准形r E O O O ⎛⎫⎪⎝⎭，即可得出()R A r =；或化成阶梯形矩阵，其非零行的个数即为秩．例设6117404112901316124223A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪=- ⎪--- ⎪ ⎪-⎝⎭, 求秩(A) 解 A →1290404161171316124223-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--- ⎪ ⎪-⎝⎭→1290084010115570525108403-⎛⎫⎪- ⎪⎪- ⎪-- ⎪ ⎪-⎝⎭→12900151015711015150153-⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪-- ⎪-- ⎪ ⎪--⎝⎭→12900151000458800034000014-⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪- ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭所以()3R A =.第二章 矩阵的秩的相关问题1 矩阵的秩在向量组线性相关性问题中的应用向量组的线性相关性是线性代数中一个较为抽象的概念, 它既是线性代数的重点, 又是一个难点。
线性代数-矩阵的秩
设A
=
2 −2 3
−4 4 −6
8 −2 0
−036 , b
=
2 43
求矩阵A及矩阵B = ( A b)的秩. 解 分析：设 B 的行阶梯形矩阵为 B~ = ( A~,b~),
则 A~ 就是 A 的行阶梯形矩阵， 故从 B~ = ( A~,b~) 中可同时看出 R( A) 及 R(B).
1 − 2 2 − 1 1
故 R(AT A) = R(A).
又由于 B 也可经一次初等变换变为 A, 故也有 R(B) ≤ R( A).
因此 R( A) = R(B).
经一次初等行变换矩阵的秩不变，即可知经 有限次初等行变换矩阵的秩仍不变．
设A经初等列变换变为 B,也有R( A) = R(B).
设 A 经初等列变换变为 B, 则 AT 经初等行变换变为 BT , R( AT ) = R(BT ),
6 11
则这个子式便是A 的一个最高阶非零子式.
设 n 阶可逆矩阵 A， A ≠ 0, ∴ A 的最高阶非零子式为 A, R( A) = n, 故 A 的标准形为单位阵 E, A ~ E.
可逆矩阵的秩等于阶数 ，故称可逆矩阵 为满秩矩阵. 奇异矩阵为降秩矩阵 .
1 − 2 2 − 1 1
例5
− 2 0 1 5
解
13 02 −2 0
1 0
3 = 2 ≠ 0, 2
计算A的3阶子式，
−2
1 3 2 1 −2 2
− 1 = 0, 0 2 3 = 0, 0 − 1 3 = 0,
1
−2 0 5 −2 1 5
3 −2 2
2 − 1 3 = 0, ∴ R(A) = 2.
015
1 3 − 2 2 另解 对矩阵 A = 0 2 − 1 3 做初等变换，
2-4矩阵的秩
（3）非零常数k乘以第i行后加到第j行上
1 1 显然， 3 中的行向量组 A i i 可以由 A 的行向量组线性表示 rj kri A A3 j j k i 而 A 的行向量组可以由 A 中的行向量组线性表示。 3 m m
0 r ( A) min m , n
当r(A)=m，A的行向量组一定线性无关，称A为行 满秩矩阵;当r(A)=n, A的列向量组一定线性无关， 称A为列满秩矩阵 行满秩矩阵和列满秩矩阵统称为满秩矩阵
例1 化矩阵A为等价标准形并求秩R A） （ . 1 2 1 4 A 2 5 3 5 1 1 6 7
r列
1 a12 0 a 22 0 am 2
a1n a2 n
1 0 0 0 1 0 ＝ 0 0 1 A 0 0 0 0 0 0
r列
T 1 T 2
a1 n a2n a in a mn
T m
T 2
T 1
T i
T m
向量组 , , …， 称为矩阵A的行向量组．
定义1：矩阵的行向量的秩，就称为矩阵的行秩; 矩阵的列向量的秩，就称为矩阵的列秩。
1 2 s
1
2
s
1
2
s
j k1 j k2 j k s j
1 2
s
则 A1 的列向量组 1, 2 , , n 中，对应的向量 j 可 由其中的 , , , 线性表示： j j j
第七节 矩阵的秩
显然,有一个 k阶 子式不为零. 而所有 k 1 阶子式 全为零.
即A
r A k
且 (aii 0 , i 1, 2, , k )
2、初等变换求秩法
定理 定理
阶梯形矩阵的秩等于其非零行个数 任意矩阵都可以只通过初等行变换 1 2 3 1
化成阶梯形矩阵.
0 3 1 4 r A 3 定理 初等变换不改变矩阵的秩 A 0 0 2 1 0 0 0 0 这三个定理解决了一般矩阵求秩的问题 0 0 0 0
结论：任何矩阵与可逆矩阵相乘其秩不变. 即
r ( B) r ( AB) r ( BC ) r ( ABC ) 其中B为n×m矩阵, A为n阶可逆矩阵, C是m阶可逆矩阵.
A O 例4 已知 r A r1 ，（B） r2 ， 求证 r （） r r1 r2 O B
分块对角阵的秩等于各子块的秩之和
A1 A A2 r ( A) r ( A ) r ( A ) r ( A ) 1 2 s As
例5
设n阶矩阵Байду номын сангаас
a 1 A 1
1 1 1 a 1
1 a 1
1 3 2 2 A 0 2 1 3 2 0 1 5
求 r ( A)
1 0 3 2 20
1阶子式: 1 1 0
2阶子式:
3阶子式:
1 0 2 3 2 0 2 1 0 1
1 3 2 2 A 0 2 1 3 2 0 1 5
各行都加到 第 n 行上
1 n 1 1 0
1 1 n 1 0
矩阵的秩
（ 1 ）
a1n a2 n asn
n 的行秩 r ，那么它有非零解．
, , , 的秩为r，且不妨设 为其一个极大无关组. 1 2 r
证：设矩阵 A 的行向量组 ( a , a , , a ) , i 1 , 2 , , s i i 1 i 2 i n
, , , , , , 由于向量组 与向量组 等价， 1 2 s 1 2 r
于是方程组(1)与方程组(1')是同解的.
a a 1 1x 1 a 1 2x2 1nx n 0 a a 2 1x 1 a 2 2x 2 2nx n 0 0 a x a x a x 0 rn n r1 1 r2 2
a a n 1 2 1 k k 0 , 2 2 1 n n 1 1 1 1 1 a a
改写一下，有
不全为零的n个数
, ,, 线性相关 R ( A ) n . 1 2 n
a a n 1 2 1 k k k 0 , k 2 n 1 22 n n a a 1 1 1 1
=0
R ( A ) n .
( ) 只有零解 A 0 R ( A ) n .
推论2
n 个 n 维向量
i
( a , a , , a ) , i 1 , 2 , , n i 1 i 2 i n
a11 a12 a 21 a 22 a n1 a n 2 a1 n a2n a nn a1 n a2n a nn 0. 0.
也线性无关． 于是矩阵A的列秩 r1 r ． 同理可证 r1 r . 所以 r1 r ．
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（1）R(A)=R(A,B),方程有解.
（2）R(A)=R(A,B)=n，解唯一.
（3）R(A)=R(A,B)<n,无穷多解.解向量的个数=n-R(A)
（4）R(A)≠R(A,B)
2．齐次线性方程组
（1）一定有解
（2）有非零解的充要条件R(A)<n
四．向量组线性相关性
向量组线性相关：
（3）向量组A中任何一个向量都不能由其余m－1个向量线性表示．
重要推论：
1.若向量组A：a1, a2,…, am线性相关，则向量组B：a1, a2,…, am, am+1也线性相关．其逆否命题也成立，即若向量组B线性无关，则向量组A也线性无关．
2.m个n维向量组成的向量组，当维数n小于向量个数m时，一定线性相关．
一．矩阵等价
行等价：矩阵A经若干次初等行变换变为矩阵B
列等价：矩阵A经若干次初等列变换变为矩阵B
矩阵等价:矩阵A经若干次初等行变换可以变为矩阵B，矩阵B经若干次初等行变换可以变成矩阵A，则成矩阵A和B等价
矩阵等价的充要条件
1.存在可逆矩阵P和Q,PAQ=B
2.R(A)=R(B)
二．向量的线性表示
Case1：向量 能由向量组A线性表示:
3.特别地，n + 1个n维向量一定线性相关．
设向量组A：a1, a2,…, am线性无关，而向量组B：a1, a2,…, am, b线性相关，则向量b必能由向量组A线性表示，且表示式是唯一的．
五.斯密特正交化
第二步单位化，令六、正源自阵n阶矩阵A是正交阵的充要条件是A的列向量都是单位向量且两两正交;A的行向量都是单位向量且两两正交。
充要条件:
1.线性方程组A =b有解
2.R(A)=R(A,b)
Case2：向量组B能由向量组A线性表示
充要条件：
R(A)=R(A,B)
推论∵R(A)=R(A,B),R(B)≤R(A,B)∴R(B)≤R(A)
Case3：向量组A能由向量组B线性表示
充要条件：
R(B)=R(B,A)
推论∵R(B)=R(A,B),R(A)≤R(A,B)∴R(A)≤R(B)
Case4：向量组A和B能相互表示，即向量组A和向量组B等价
充要条件:
R(A)=R(B)=R(A,B)=R(B,A)
Case5：n维单位坐标向量组 能由矩阵A的列向量组线性表示
充要条件是:
R(A)=R(A,E)
n=R(E)<=R(A),又R(A)>=n，所以R(A)=n=R(A,E)
三．线性方程组的解
Case3：两个向量线性相关，向量的分量对应成比例
Case4：三个向量线性相关，向量共面
向量组线性无关
向量组A：a1,a2, …,am线性无关
如果k1a1+k2a2+ … +kmam=0（零向量），则必有k1=k2= … =km=0．
充要条件
（1）m元齐次线性方程组Ax= 0只有零解．
（2）矩阵A= (a1,a2, …,am)的秩等于向量的个数m．
存在不全为0的实数 、 ,满足 =0
充要条件:
（1）R(A)<n
（2）向量组中至少有一个向量能由其余n-1个向量线性表示
（3）n元齐次线性方程组Ax= 0有非零解．
Case1：向量组A要么线性相关，要么线性无关，两者必居其一
Case2：向量组A只包含一个向量 ， 是零向量，向量组A线性无关;
是非零向量，向量组A线性无关。