线性代数第5章特征值与特征向量(自考经管类)
(完整版)线性代数第五章特征值、特征向量试题及答案
第五章 特征值和特征向量一、特征值与特征向量定义1：设A 是n 阶矩阵，λ为一个数，若存在非零向量α，使λαα=A ，则称数λ为矩阵A 的特征值，非零向量α为矩阵A 的对应于特征值λ的特征向量。
定义2：()E A f λλ-=，称为矩阵A 的特征多项式，)(λf =0E A λ-=，称为矩阵A 的特征方程，特征方程的根称为矩阵A 的特征根 矩阵E A λ-称为矩阵A 的特征矩阵齐次方程组（0)=-X E A λ称为矩阵A 的特征方程组。
性质1：对等式λαα=A 作恒等变形，得（0)=-αλE A ，于是特征向量α是齐次方程组（0)=-X E A λ的非零解向量，由齐次线性方程组有非零解的充要条件知其系数行列式为零，即0=-E A λ，说明A 的特征值λ为0E A λ-=的根。
由此得到对特征向量和特征值的另一种认识：（1）λ是A 的特征值⇔0=-E A λ，即(λE -A )不可逆.（2）α是属于λ的特征向量⇔α是齐次方程组（0)=-X E A λ的非零解.计算特征值和特征向量的具体步骤为： （1）计算A 的特征多项式，()E A f λλ-=（2）求特征方程)(λf =0E A λ-=的全部根，他们就是A 的全部特征值；（3）然后对每个特征值λ，求齐次方程组（0)=-X E A λ的非零解，即属于λ的特征向量.性质2：n 阶矩阵A 的相异特征值m λλλ 21,所对应的特征向量21,ξξ……ξ线性无关性质3：设λ1,λ2,…,λn 是A 的全体特征值，则从特征多项式的结构可得到：（1）λ1+λ2+…+λ n =tr(A )( A 的迹数，即主对角线上元素之和). （2）λ1λ2…λn =|A |.性质4：如果λ是A 的特征值，则（1）f(λ)是A 的多项式f(A )的特征值.(2)如果A 可逆，则1/λ是A -1的特征值; |A |/λ是A *的特征值. 即： 如果A 的特征值是λ1,λ2,…,λn ，则 （1）f(A )的特征值是f(λ1),f(λ2),…,f(λn ).（2）如果A 可逆，则A -1的特征值是1/λ1,1/λ2,…,1/λn ; 因为A AA =*，A *的特征值是|A |/λ1,|A |/λ2,…,|A |/λn .性质5：如果α是A 的特征向量，特征值为λ，即λαα=A 则（1）α也是A 的任何多项式f(A )的特征向量，特征值为f(λ)；（2）如果A 可逆，则α也是A -1的特征向量，特征值为1/λ；α也是A *的特征向量，特征值为|A |/λ 。
线性代数第五、六章 特征值与特征向量
特征值即为其主对角线元素。
2 1 1
【例
2】求
A
0 4
2 1
0 3
的特征值和特征向量.
2 1 1 【解】 f ( ) A E 0 2 0
4 1 3 (2 ) 2 1 (1 )(2 )2，
4 3 令 f ( ) 0，解得 A的特征值为
1 1, 2 3 2
1 0
0 4
0 1
0 1
x2 x3
0 0
,得非零解为
x
k2
0 4
k3
11,
即为 A的属于特征值2 3 2的所有特征向量,其中k2 , k3
为不全为零的常数。
1 1 0
【例
3】求
A
4 1
3 0
0 2
的特征值和特征向量.
【简解】⑴ A的特征值为1 2,2 3 1。
0
⑵对于1 =2,
⑴ 特征多项式 f ( ) | A E |； ⑵ 求特征方程 f ( ) | A E | 0的解1,2 , ,n， 则1,2 , ,n为 A的特征值（也称特征根）； ⑶ 对于每个i (i 1,2, , n)，求齐次线性方程组
（A i E）x 0 的（所有）非零解 x，即得 A的属于特征值i的（所有）
【定理 5.7】 设 A为n阶实对称阵，则必有正交阵 P ，使得
1
P 1 AP
，其中
1
,
n
,n为 A的特征值。
（一定要记住定理 5.7 的结论）
定理 5.7 表明n阶实对称阵一定有n个线性无关的特征向量。
求正交阵P的方法与步骤（一定要掌握）
①求出A的特征值与特征值对应线性无关的特征向量。
②如果特征值是单根,对应线性无关的特征向量只有 一个，将它单位化;
线性代数第5章 特征值及特征向量
k1 p1 ( k1 0 常数)是对应于1 2 的全部特征向量.
18
回答问题
(1) 向量 0 满足 A ,
0 是 A 的特征向量吗？
(2) 实矩阵的特征值(特征向量)一定是实的吗? (3) 矩阵 A 可逆的充要条件是所有特征值______.
E A 0 或
④
23
二、填空题
１．已知三阶方阵Ａ的三个特征值为１，－２，３．则
|A|＝（
－６
），
Ａ－１的特征值为（ ＡＴ的特征值为（
１，-1/2, 1/3
１，－２，３．
）， ）， ）．
Ａ２＋２Ａ＋Ｅ的特征值为（
4, 1, 16 0
２．设Ａk=0，k是正整数，则Ａ的特征值为（ ３．若Ａ２＝Ａ，则Ａ的特征值为（
）．
当
齐次线性方程组为 ( A 2E ) X O 2 3 2 时，
4 1 1 4 1 1 A 2E 0 0 0 0 0 0 4 1 1 0 0 0 0 1 得基础解系 P2 1 , P3 0 . 1 4
( ) a0 a1 a22 am m
是
( A) a0 E a1 A a2 A2 am Am
的特征值。如果 A 可逆，则
( ) a k k a11 a0 a1 am m
是
( A) a k A k a1 A1 a0 E a1 A am Am
第一节 方阵的特征值与特征向量
一、特征值与特征向量的定义 二、特征值与特征向量的性质 三、特征值与特征向量的求法
1
一、特征值与特征向量的定义 定义1 设 A 是 n 阶方阵，
线性代数学习指导第五章矩阵的特征值与特征向量
第五章 矩阵的特征值与特征向量一．内容提要1 . 特征值和特征向量定义1 设()ijn nA a ⨯=是数域P 上的n 阶矩阵，若对于数域P 中的数λ，存在数域P 上的非零n 维列向量X ，使得X AX λ=则称λ为矩阵A 的特征值，称X 为矩阵A 属于（或对应于）特征值λ的特征向量 注意：1）()ijn nA a ⨯=是方阵；2）特征向量 X 是非零列向量；3）方阵 ()ijn nA a ⨯= 与特征值λ 对应的特征向量不唯一4）一个特征向量只能属于一个特征值.2．特征值和特征向量的计算计算矩阵A 的特征值与特征向量的步骤为： （1） 计算n 阶矩阵A 的特征多项式｜λE －A ｜；（2） 求出特征方程｜λE －A ｜＝０的全部根，它们就是矩阵A 的全部特征值； （3） 设λ1 ，λ2 ，… ，λs 是A 的全部互异特征值。
对于每一个λi ，解齐次线性方程组()i E A X λ-=0，求出它的一个基础解系，该基础解系的向量就是A 属于特征值λi 的线性无关的特征向量，方程组的全体非零解向量就是A 属于特征值λi 的全体特征向量.3． 特征值和特征向量的性质性质1 （1）若X 是矩阵A 属于特征值λ的特征向量，则kX （0k ≠）也是A 属于λ的特征向量；（2）若12,,,s X X X 是矩阵A 属于特征值λ的特征向量，则它们的非零线性组合1122s s k X k X k X +++也是A 属于λ的特征向量；（3）若A 是可逆矩阵，λ是A 的一个特征值，则λ1是A —1的一个特征值，λ||A 是A *的一个特征值；（4）设λ是n 阶矩阵A 的一个特征值，f （x ）= a m x m + a m-1x m -1 + … + a 1x + a 0为一个多项式，则()f λ是f （A ）的一个特征值。
性质2（1） nn n a a a +⋅⋅⋅++=+⋅⋅⋅++221121λλλ（2） || 21A n =⋅⋅⋅λλλ性质3 n 阶矩阵A 和它的转置矩阵T A 有相同的特征值 性质4 n 阶矩阵A 不同的特征值所对应的特征向量线性无关4. 相似矩阵定义2 设A 、B 为n 阶矩阵，若存在可逆矩阵P ，使得Ｂ＝P ―1ＡP则称A 与B 相似。
《线性代数(经管类)》第五章考点手册
《线性代数（经管类）》第五章 特征值与特征向量考点44 特征值与特征向量的定义（★三级考点，选择、填空）1.特征值与特征向量 设A （aij ）为n 阶实方阵，如果存在某个数λ和某个n 维非零列向量p 满足Ap=λp，则称λ是A 的一个特征值，称p 是A 的属于这个特征值λ的个特征向量。
2.特征方阵、行列式、方程 带参数的λ的n 阶方阵λEn －A 称为A 的特征方阵，它的行列式|λEn －A|称为A 的特征多项式，称|λEn －A|＝0为A 的特征方程。
考点45 关于特征值和特征向量的若干结论（★★二级考点，选择、填空、计算）1.定理5.1.1 n 阶方阵A 和它的转置矩阵AT 必有相同的特征值。
2.定理 5.1.2 设n λλλ,...,,21是n 阶方阵()n n ij a A ⨯=的全体特征值，则必有AA tr ai ni ni iin i i =∏=====∑∑λλ111),(。
这里，tr （A ）为()nn ij a A ⨯=中的n 个对角元之和，称为A 的迹。
|A|为A 的行列式。
3.定理5.1.3 设A 为n 阶方阵，f （x ）=amxm+ am-1xm-1+…+a1x+a0为m 次多项式，f （A ）=amAm+ am-1Am-1+…a1A+a0En 为对应的A 的方阵多项式。
如果Ap=λp，则必有f （A ）p=f （λ）p,这说明f （λ）必是f （A ）的特征值。
特别，当f （A ）=0时，必有f （λ）=0，即当f （A ）=0时A 的特征值必然是对应的m 次多项式f （x ）的根。
考点46 关于求特征值和特征向量的一般方法（★★★一级考点，选择、填空、计算）1.求法（1）先求出A 的特征方程|λEn －A|=0； （2）解特征方程求出A 的特征值；（3）对每个特征值λi，求相应齐次线性方程组(λiEn －A ）x=0的基础解系； （4）基础解系的非零线性组合，即为征值λi 的全部特征向量。
线性代数知识点总结(第5章)
线性代数知识点总结（第5章）（一）矩阵的特征值与特征向量1、特征值、特征向量的定义：设A为n阶矩阵，如果存在数λ及非零列向量α，使得Aα=λα，称α是矩阵A属于特征值λ的特征向量。
2、特征多项式、特征方程的定义：|λE-A|称为矩阵A的特征多项式（λ的n次多项式）。
|λE-A |=0称为矩阵A的特征方程（λ的n次方程）。
注:特征方程可以写为|A-λE|=03、重要结论：（1）若α为齐次方程Ax=0的非零解，则Aα=0·α，即α为矩阵A特征值λ=0的特征向量（2）A的各行元素和为k，则(1，1，…，1)T为特征值为k的特征向量。
（3）上（下）三角或主对角的矩阵的特征值为主对角线各元素。
△4、总结：特征值与特征向量的求法（1）A为抽象的：由定义或性质凑（2）A为数字的：由特征方程法求解5、特征方程法：（1）解特征方程|λE-A|=0，得矩阵A的n个特征值λ1，λ2，…，λn注：n次方程必须有n个根(可有多重根，写作λ1=λ2=…=λs=实数，不能省略)（2）解齐次方程（λi E-A）=0，得属于特征值λi的线性无关的特征向量，即其基础解系（共n-r（λi E-A）个解）6、性质：（1）不同特征值的特征向量线性无关（2）k重特征值最多k个线性无关的特征向量1≤n-r（λi E-A）≤k i（3）设A的特征值为λ1，λ2，…，λn，则|A|=Πλi，Σλi=Σa ii（4）当r（A）=1，即A=αβT，其中α，β均为n维非零列向量，则A的特征值为λ1=Σa ii=αTβ=βTα，λ2=…=λn=0（5）设α是矩阵A属于特征值λ的特征向量，则（二）相似矩阵7、相似矩阵的定义：设A、B均为n阶矩阵，如果存在可逆矩阵P使得B=P-1AP，称A与B相似，记作A~B8、相似矩阵的性质（1）若A与B相似，则f（A）与f（B）相似（2）若A与B相似，B与C相似，则A与C相似（3）相似矩阵有相同的行列式、秩、特征多项式、特征方程、特征值、迹（即主对角线元素之和）【推广】（4）若A与B相似，则AB与BA相似，A T与B T相似，A-1与B-1相似，A*与B*也相似（三）矩阵的相似对角化9、相似对角化定义：如果A与对角矩阵相似，即存在可逆矩阵P，使得P-1AP=Λ=，称A可相似对角化。
线性代数中的特征值与特征向量
线性代数中的特征值与特征向量特征值和特征向量是线性代数中的重要概念，广泛应用于物理、经济、计算机科学等领域。
本文将介绍特征值和特征向量的定义、性质以及其在矩阵对角化和特征分解中的应用。
一、特征值与特征向量的定义在线性代数中，给定一个 n×n 的矩阵 A，我们称零向量v≠0 是矩阵A 的特征向量，如果存在一个实数λ，使得Av=λv。
特征值λ 是使得上述等式成立的实数。
特征向量与特征值是成对出现的，每个特征向量都有一个对应的特征值。
二、特征值与特征向量的性质1. 特征值与特征向量的数目相等对于一个 n×n 的矩阵 A，它最多能有 n 个线性无关的特征向量。
而特征值也最多有n 个。
一个特征值可以对应多个线性无关的特征向量。
2. 特征向量的积性质如果 v 是 A 的特征向量，那么对于任意实数 c，cv 也是 A 的特征向量，且特征值保持不变。
3. 特征向量的加性质如果 v1 和 v2 是 A 的特征向量，对应相同的特征值λ，那么 v1+v2也是 A 的特征向量，对应特征值λ。
三、特征值与特征向量的计算要计算一个矩阵的特征值和特征向量，我们需要求解方程Av=λv。
1. 寻找特征值对于一个 n×n 的矩阵 A，我们需要求解行列式 |A-λI|=0 的根，其中I 是 n 阶单位矩阵。
这样可以得到 A 的特征值。
2. 寻找特征向量对于每个特征值λ，我们需要求解方程组 (A-λI)v=0，其中 v 是特征向量。
解这个齐次方程组可以得到 A 的特征向量。
四、特征值与特征向量的应用1. 矩阵对角化如果一个 n×n 的矩阵 A 有 n 个线性无关的特征向量，那么可以找到对角矩阵 D 和可逆矩阵 P，使得 P^{-1}AP=D。
对角矩阵 D 中的对角元素就是特征值，P 中的列向量就是对应的特征向量。
2. 特征分解对于一个对称矩阵 A（A=A^T），可以进行特征分解，表示为A=QΛQ^T，其中 Q 是由 A 的特征向量组成的正交矩阵，Λ 是对角矩阵，其对角元素是 A 的特征值。
线性代数 第5章 特征值
n , 则有
(1) 1 2 n a11 a22 ann ;
( 2) 12 n A .
i 1 i 1
n
2
n a11 a22 ann aii
i 1
n
tr ( A)称为A的迹.
4
3 1 . 例1 求A 的特征值和特征向量 1 3 解 A的特征多项式为 3 1 2 (3 ) 1 1 3 8 6 2 (4 )( 2 )
k 2 p2 k 3 p3
( k 2 , k 3 不同时为 ). 0
12
例４ 证明：若 是矩阵A的特征值，x 是A的属于 的特征向量，则 (1) m是Am的特征值m是任意常数.
(2) 当A可逆时, 1是A1的特征值.
证明
1 Ax x A 2 x 2 x A Ax Ax Ax x
(1) 由 A E 2 2
m 2 次，就得 Am x m x 再继续施行上述步骤
故 m 是矩阵Am的特征值, 且 x 是 Am 对应于m的特 征向量.
13
2 当A可逆时, 0,
1
由Ax x可得 A 1 x 1 x
Ax A1 x A1 x A
的特征向量.
3. 对于特征值 i , 求齐次方程组
A i E x 0
的非零解, 就是对应于 i的特征向量.
18
5.2 方阵的相似变换 一、相似矩阵与相似变换的概念
定义1 设A, B都是n阶矩阵, 若有可逆矩阵P , 使 P AP B , 则称B是A的相似矩阵, 或说矩阵A与B相似.对A进 行运算 P 1 AP称为对A进行相似变换, 可逆矩阵P 称为把A变成B的相似变换矩阵 .
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3
1
0
1
0
解得 x1
x2,
所以对应的特征向量可取为p1
1. 1
所以k1 p1(k1 0)是对应于1 2的全部特征向量.
当 4时,由 2
x x 4 3
x x
1
解得x1
1
4
3
1 2
0 0
,即11
1
1
1 2
0 0
,
x2,所以对应的特征向量可取为p2
2x1 x2 x3
0
0
可
取特征向量
0
p3
1
1
33
1 0 0
这三个线性无关的特征向量可以拼成可逆矩阵
P
0
1
1
1
0 1 1
使得
P 1
AP
1
A
1
下面通过检验矩阵等式 AP P 验证上述矩阵等式是否正确
1 0 01 0 0 1 0 0 1 0 0 1
0
0
1
0
1
1
0
可取解
1
p1
1
1
属于2 3=2的特征向量满足：
1 1 1 1 1 1
2
E3
A
1
1
1
0
0
0
1 1 1 0 0 0
1
0
可取两个线性无关的解
p2
0
,
p3
1
1
1
这三个列向量就是需要求出的线性无关的特征向量.
36
1 1 0
例3
求出
A
4
3
0
1 0 2
Ak
( PP 1 )k
Pk P1
0 P
k
5
P1
28
上例中，对二阶方阵AP，存在可逆矩阵P, 使得P1AP .
对角阵的对角元是A的特征值，可逆阵P 即为相应对角元位置的特征值的线性无关的特 征向量组成.
接下来，主要研究方阵化对角阵的问题.
29
定义 设 A, B 都是 n 阶矩阵，若存在可逆矩阵P，使得 P1AP B
26
一、相似矩阵与相似变换的概念
例
A
1 2
2
4
求Ak
特征值：1=0，2 =5
特征向量：p1
2
1
,
p2
1
2
线性无关.
令P=
p1
,
p2
2
1
1
2
27
AP=A p1 , p2 Ap1 , Ap2 1 p1 , 2 p2
0 p1
,
5 p2
p1
,
p2
0
5
P
所以 P1AP A PP1
1 1 1
-2 0 2
1 1 1
10
=(-2)2 1 1 0 ①+1 ③( 2)2 1 1 0
1 01
1 01
按第三列展开( 2)2 ( 1)
35
它有三个根：1 1, 2 3 2.
属于1=1的特征向量满足：
x1
x2
x3 0 2x2 x3
0
x1 x2 0
即
x3 x2 x1 x2
E A p 0 有非零解的 值 , 即满足方程
E A 0的 都是矩阵 A 的特征值.
2. 齐次线性方程组 i E A x 0 的所有非零
解向量就是 n 阶方阵 A的对应特征值 i 的
所有特征向量 .
6
例1 当 2E A =0时，2就是A的特征值； 当 E+A =0时，即(-1)n E A =0， 所以-1就是A的特征值.
A
0
0
1
,
B
0
y
0
0 1 x 0 0 1
(1)求出参数x与y的值
(2)求出可逆矩阵P使得B P1AP
解 （1）因为|A|=-1,|B|=-y,所以，根据|A|=|B|立刻得到y=1. 再根据tr(A)=tr(B),即1+x=y,立刻得到x=0. (2)根据A与B相似而B为对角矩阵立刻知道，A的特征值就 是B的对角元1,1，-1.
第五章 特征值与特征向量
知识结构
特征值、特征向量
特征值与 特征向量
相似变换 向量内积、正交矩阵
实对称矩阵的相似标准型
1
5.1 特征值与特征向量
一、特征值与特征向量的概念 二、特征值和特征向量的求法 三、特征值和特征向量的性质
2
一、特征值与特征向量的概念
定义1 设 A 是 n 阶方阵,若数 和 n 维非零 列向量 p 使关系式 A p = p 成立,则称数
例9 n阶方阵A满足A2 E, 证明A的特征值只能是 1
22
例10 A 不可逆 A有一个特征值为0.
证明：“” A 0,
A 0E A 0
0为A的一个特征值。
“” 由已知有：A 0E 0，即 A 0
23
A 可逆 A的任一个特征值都不为0. 证明：“” 设存在 0，
则有 A 0E A 0，矛盾. A的特征值都不为0。
20
定理3
设 A为n 阶方阵，f (x) am xm ...+a1x a0为m次多 项式，f ( A) am Am ...+a1A a0En对应的方阵多项式.
则: (1)若为A的特征值，则f ()为f ( A)的特征值;
(2)f ( A) O时，A的特征值为f (x)=0的所有根.
特别的，若为A的一个特征值，则 1 为A-1的一个
线性无关的特征向量.而在例3中，对应于二重特征值
2 3 1 却找不到两个线性无关的特征向量.
事实上，这与特征矩阵的秩有关.
a21
an1
a12
a22
an2
a1n
a2n
ann
称 E A 为A的特征方阵 .
记 f E A ,它是 的 n 次多项式,
称其 为方阵 A的 特征多项式 .
称以 为未知数的一元n 次方程 E A 0
为A的特征方程 .
5
二、特征值与特征向量的求法
由特征值和特征向量的定义，不难发现 1. n阶方阵 A的特征值 , 就是使齐次线性方程组
为方阵 A 的特征值,非零列向量 p 称为 A 的对
应于特征值 的特征向量.
说明 1. 特征向量 p 0 .
2. 特征值问题只对方阵而言 .
3
例
1 21 3 1
2
1
1
=
3
=31
3是
1
2
2
1
的一个特征值，
1 1
是
1 2
2
1
的属于3这个特征值的特征向量
4
a11
定义2
E A
2
3
2 1 0 1 0 1
E
A
4
2
0
0
1
2
,
1 0 1 0 0 0
13
得基础解系
1 p2 2, 1
所以kp2(k 0)是对应于2 3 1的全部特征向量.
14
例5
设
2 A 0
1 2
Байду номын сангаас
1 0
,求A的特征值与特征向量．
4 1 3
解
2 1 1
E A 0 2 0
1 0 2
所以A的特征值为1 2, 2 3 1.
当 2时,解方程(2E A)x 0.由 1
12
3 1 0 1 0 0
2E
A
4
1
0
0
1
0 ,
1 0 0 0 0 0
得基础解系
0 p1 0,
1
所以kp1(k 0)是对应于1 2的全部特征向量.
当 1时,解方程(E A)x 0.由
17
三、特征值与特征向量的几个结论
命题1 实方阵的特征值未必是实数，特征 向量未必是实向量.
例
A=
0 1
1 0
命题2 三角矩阵的特征值就是所有对角元.
命题3 A的特征向量不可能属于不同的特征值.
定理1 A与AT具有相同的特征值.但同一 特征值的特征向量不一定相同.
证： E A E AT E AT
用来求特征向量的齐次线性方程组为
1 0 0 x1 0
0
1
x2
0
0 1 x3 0
32
属于特征值1
2
1的特征向量满足x2
-x 3
=0，而x 1
可任意取值，所以有两个自由未知量x1和x2.可取
两个线性无关的特征向量：
1 0
p1
0
,
p2
1
属于特征值3
0
1
=-1的特征向量满足
特征值， A 为 A 的一个特征值.
问题（ ：1）已知是A的特征值，求f (A)特征值
（2）已知f (A)=O，求A的特征值
21
例6 设3阶矩阵A的一个特征值是-3，则-A2必有 一个特征值 ___
例7
设A=
1 0
2 3
,求B=A2
-2A+3E 的所有特征值 2
例8 设三阶矩阵A的特征值分别为1，2，3, 则 A 2E __
4 1 3
( 1) 22 ,
令 ( 1) 22 0
得A的特征值为1 1,2 3 2.
15
当1 1时,解方程E A x 0.由
1 1 1 1 0 1
E
A
0
3
0
0
1
0
,
4 1 4 0 0 0
得基础解系
1 p1 0, 1