【步步高】2014高考数学二轮专题突破(文科)专题六 第3讲
(全国卷地区专用)2014届高考数学二轮复习 专题一 突破高考客观题常考问题课件 文
——主干知识 ——
⇒ 复数的概 念及运算 关键词：复数 的模、纯虚数、分 母实数化，如⑥.
[答案]
2
[解析] ＝ 2.
2 2（1＋i） 1＋i 1－i＝ ＝ 2
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命 题 考 向 探 究
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第1讲
集合与常用逻辑用语、复数
► 考向三 复数的概念与运算 考向：复数的概念、复数的运算、复数的几何意 义． 例3 (1)[2013· 陕西卷] 设z是复数，则下列命题中的 假命题是( ) A．若z2≥0，则z是实数 B．若z2<0，则z是虚数 C．若z是虚数，则z2≥0 D．若z是纯虚数，则z2<0 (2)[2013· 新课标全国卷Ⅰ] 若复数z满足(3－4i)z＝|4 ＋3i|，则z的虚部为( ) 4 4 A．－4 B．－5 C．4 D.5
专题一
突破高考客观题常考问题
第1讲 第2讲 第3讲
集合与常用逻辑用语、复数 平面向量、算法初步、推理与证明 不等式与线性规划
核 心 知 识 聚 焦 命 题 考 向 探 究 命 题 立 意 追 溯
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第1讲
集合与常用逻辑用语、 复数
第1讲
核 心 知 识 聚 焦
集合与常用逻辑用语、复数
—— 体验高考 ——
1． [2013· 江西卷改编] 若集合 A ＝ {x|ax2 ＋ ax ＋ 1 ＝ 0} 中 只有一个元素① ，则 a＝________．
——主干知识 ——
⇒ 集合元素 的确定 关键词：互异性， 含参数的集合，如 ①.
[答案] 4
[解析] 当 a＝0 时，A＝∅；当 a≠0 时，Δ＝a2－4a＝0，则 a＝4.
2014版高考数学(文科)(全国通用版)二轮复习 (审题+解题+回扣+专练 ) 圆锥曲线
圆锥曲线(推荐时间:70分钟）1．如图，F1,F2分别是椭圆C：错误!＋错误!＝1（a>b〉0)的左，右焦点，A是椭圆C的顶点，B是直线AF2与椭圆C的另一个交点,∠F1AF2＝60°。
(1)求椭圆C的离心率；(2)已知△AF1B的面积为40错误!，求a,b的值．解（1）设椭圆的半焦距为c。
由题意可知，△AF1F2为等边三角形，所以b＝错误!c，b2＝3c2,a2＝4c2，a＝2c，所以e＝错误!.(2）方法一因为a2＝4c2,b2＝3c2，所以直线AB的方程可设为y＝－错误!(x－c）．将其代入椭圆方程3x2＋4y2＝12c2，得B错误!。
所以｜AB|＝错误!·错误!＝错误!c。
由S△AF1B＝12｜AF1｜·|AB|sin∠F1AB＝错误!a·错误!c·错误!＝错误!a2＝40错误!，解得a＝10，b＝5错误!。
方法二设｜AB｜＝t。
因为｜AF2｜＝a，所以｜BF2|＝t－a。
由椭圆定义|BF1|＋|BF2｜＝2a可知，｜BF1｜＝3a－t。
再由余弦定理（3a－t）2＝a2＋t2－2at cos 60°可得，t＝错误!a。
由S△AF1B＝错误!a·错误!a·错误!＝错误!a2＝40错误!知,a＝10，b＝5错误!.2．已知△ABC中,点A，B的坐标分别为(－错误!,0)，（错误!，0），点C 在x轴上方．(1)若点C坐标为(2，1)，求以A，B为焦点且经过点C的椭圆的方程;(2)过点P(m,0）作倾斜角为错误!π的直线l交(1)中曲线于M，N两点，若点Q（1，0)恰在以线段MN为直径的圆上，求实数m的值．解（1)设椭圆方程为x2a2＋y2b2＝1，c＝错误!，2a＝|AC|＋｜BC|＝4,b＝错误!,椭圆方程为错误!＋错误!＝1。
（2）直线l的方程为y＝－（x－m)，令M（x1，y1),N（x2，y2),由方程组错误!得3x2－4mx＋2m2－4＝0，即错误!若Q恰在以MN为直径的圆上，则错误!·错误!＝－1，则m2＋1－(m＋1）(x1＋x2）＋2x1x2＝0，3m2－4m－5＝0，解得m＝错误!.将m值代入Δ＝－8m2＋48〉0。
2014届高考数学二轮专题突破预测演练提能训练 第1部分
"《创新方案》2014届高考数学（文科）二轮专题突破预测演练提能训练（浙江专版）：第1部分 专题三 第二讲 高考中的数列(解答题型) （以2013年真题和模拟题为例，含答案解析） "1．已知等差数列{a n }的公差不为零，a 1＝25，且a 1，a 11，a 13成等比数列． (1)求{a n }的通项公式； (2)求a 1＋a 4＋a 7＋…＋a 3n －2.解：(1)设{a n }的公差为d .由题意a 211＝a 1a 13， 即(a 1＋10d )2＝a 1(a 1＋12d )， 于是d (2a 1＋25d )＝0.又a 1＝25，所以d ＝0(舍去)，或d ＝－2. 故a n ＝－2n ＋27.(2)令S n ＝a 1＋a 4＋a 7＋…＋a 3n －2.由(1)知a 3n －2＝－6n ＋31，故{a 3n －2}是首项为25，公差为－6的等差数列． 从而S n ＝n 2(a 1＋a 3n －2)＝n2(－6n ＋56)＝－3n 2＋28n .2．已知等差数列{a n }的前n 项和S n 满足S 3＝0，S 5＝－5. (1)求{a n }的通项公式； (2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a 2n －1a 2n ＋1的前n 项和．解：(1)设{a n }的公差为d ，则S n ＝na 1＋n n －12d .由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧3a 1＋3d ＝0，5a 1＋10d ＝－5.解得a 1＝1，d ＝－1.故{a n }的通项公式为a n ＝2－n . (2)由(1)知1a 2n －1a 2n ＋1＝13－2n1－2n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －3－12n －1，从而数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a 2n －1a 2n ＋1的前n 项和为 12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1－11＋11－13＋…＋12n －3－12n －1＝n 1－2n . 3．数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝32(a n －1)，数列{b n }满足b n ＝14b n －1－34(n ≥2)，且b 1＝3.(1)求数列{a n }与{b n }的通项公式；(2)设数列{c n }满足c n ＝a n ·log 2(b n ＋1)，其前n 项和为T n ，求T n . 解：(1)对于数列{a n }有S n ＝32(a n －1)，①S n －1＝32(a n －1－1)(n ≥2)，②由①－②得a n ＝32(a n －a n －1)，即a n ＝3a n －1，n ＝1时，由S 1＝32(a 1－1)，得a 1＝3，则a n ＝a 1·qn －1＝3·3n －1＝3n.对于数列{b n }有b n ＝14b n －1－34(n ≥2)，可得b n ＋1＝14b n －1＋14，即b n ＋1b n －1＋1＝14.b n ＋1＝(b 1＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫14n －1＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫14n －1＝42－n ， 即b n ＝42－n－1.(2)由(1)可知c n ＝a n ·log 2(b n ＋1)＝3n ·log 242－n ＝3n ·log 224－2n ＝3n (4－2n )． T n ＝2·31＋0·32＋(－2)·33＋…＋(4－2n )·3n ，③3T n ＝2·32＋0·33＋…＋(6－2n )·3n ＋(4－2n )·3n ＋1，④由③－④得－2T n ＝2·3＋(－2)·32＋(－2)·33＋…＋(－2)·3n －(4－2n )·3n ＋1＝6＋(－2)(32＋33＋…＋3n )－(4－2n )·3n ＋1.则T n ＝－3＋91－3n －11－3＋(2－n )·3n ＋1＝－152＋⎝ ⎛⎭⎪⎫52－n ·3n ＋1.4．(2013·合肥模拟)各项为正数的数列{a n }满足a 2n ＝4S n －2a n －1(n ∈N *)，其中S n 为{a n }前n 项和．(1)求a 1，a 2的值； (2)求数列{a n }的通项公式；(3)是否存在正整数m ，n ，使得向量a ＝(2a n ＋2，m )与向量b ＝(－a n ＋5,3＋a n )垂直？请说明理由．解：(1)当n ＝1时，a 21＝4S 1－2a 1－1， 即(a 1－1)2＝0，解得a 1＝1，当n ＝2时，a 22＝4S 2－2a 2－1＝4a 1＋2a 2－1＝3＋2a 2， 解得a 2＝3或a 2＝－1(舍去)． (2)由a 2n ＝4S n －2a n －1， ① 得a 2n ＋1＝4S n ＋1－2a n ＋1－1，②②－①得a 2n ＋1－a 2n ＝4a n ＋1－2a n ＋1＋2a n ＝2(a n ＋1＋a n )， 即(a n ＋1－a n )(a n ＋1＋a n )＝2(a n ＋1＋a n )， ∵数列{a n }各项均为正数， ∴a n ＋1＋a n >0，a n ＋1－a n ＝2，∴数列{a n }是首项为1，公差为2的等差数列， 所以a n ＝2n －1. (3)∵a n ＝2n －1，∴a ＝(2a n ＋2，m )＝(2(2n ＋3)，m )≠0，b ＝(－a n ＋5,3＋a n )＝(－(2n ＋9)，2(n ＋1))≠0.∴a ·b ＝0⇔m (n ＋1)＝(2n ＋3)(2n ＋9)＝[2(n ＋1)＋1]·[2(n ＋1)＋7]⇔m (n ＋1)＝4(n ＋1)2＋16(n ＋1)＋7⇔m ＝4(n ＋1)＋16＋7n ＋1. ∵m ，n ∈N *，∴n ＋1＝7，m ＝4×7＋16＋1，即n ＝6，m ＝45. 当且仅当n ＝6，m ＝45时，a ⊥b .5．甲、乙两容器中分别盛有浓度为10%、20%的某种溶液500 mL ，同时从甲、乙两个容器中各取出100 mL 溶液，将其倒入对方的容器搅匀，这称为一次调和．经n －1(n ≥2，n ∈N *)次调和后甲、乙两个容器中的溶液浓度分别为a n 、b n .记a 1＝10%，b 1＝20%.(1)试用a n －1，b n －1表示a n ，b n ；(2)求证：数列{a n －b n }是等比数列，数列{a n ＋b n }是常数数列； (3)求数列{a n }，{b n }的通项公式． 解：(1)由题意知，a n ＝400a n －1＋100b n －1500＝45a n －1＋15b n －1，b n ＝400b n －1＋100a n －1500＝45b n －1＋15a n －1.(2)证明：由(1)知，a n －b n ＝35(a n －1－b n －1)，又因为a 1－b 1≠0，所以数列{a n －b n }是等比数列；a n ＋b n ＝a n －1＋b n －1＝…＝a 1＋b 1＝30%，所以数列{a n ＋b n }是常数数列．(3)因为a 1－b 1＝－10%，数列{a n －b n }是公比为35的等比数列，所以a n －b n ＝－10%×⎝ ⎛⎭⎪⎫35n－1.又因为a n ＋b n ＝30%，所以a n ＝－5%×⎝ ⎛⎭⎪⎫35n －1＋15%，b n ＝5%×⎝ ⎛⎭⎪⎫35n －1＋15%.6．已知函数f (x )＝2x ＋33x .数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n ，n ∈N *.(1)求数列{a n }的通项公式； (2)令b n ＝1a n －1a n(n ≥2)，b 1＝3，S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，若S n <m －2 0042对一切n ∈N *成立，求最小的正整数m .解：(1)∵a n ＋1＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n ＝2＋3a n 3＝a n＋23，∴{a n }是以23为公差，首项为a 1＝1的等差数列，∴a n ＝23n ＋13.(2)当n ≥2时，b n ＝1a n －1a n ＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －13⎝ ⎛⎭⎪⎫23n ＋13＝92⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1，当n ＝1时，上式同样成立．∴S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝92⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1＝92⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1， ∵S n <m －2 0042，即92⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1<m －2 0042对一切n ∈N *成立， 又92⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1随n 的增大而增大，且92⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1<92， ∴92≤m －2 0042. ∴m ≥2 013，即m min ＝2 013.。
步步高2014届高考数学江苏专用(文)二轮专题突破专题五第3讲圆锥曲线中的热点问题
第3讲圆锥曲线中的热点问题【高考考情解读】纵观近几年高考，解析几何是重要内容之一，所占分值在30分以上，大题小题同时有，除了本身知识的综合，还会与其它知识如向量、函数、不等式等知识构成综合题，多年高考压轴题是解析几何题.1.填空题主要考查圆锥曲线的几何性质，三种圆锥曲线都有可能涉及.2.在解答题中主要考查圆、直线、椭圆的综合问题，难度较高，还有可能涉及简单的轨迹方程和解析几何中的开放题、探索题、证明题，重点关注定点、定值及最值、范围问题．1．直线与圆锥曲线的位置关系(1)直线与椭圆的位置关系的判定方法：将直线方程与椭圆方程联立，消去一个未知数，得到一个一元二次方程．若Δ>0，则直线与椭圆相交；若Δ＝0，则直线与椭圆相切；若Δ<0，则直线与椭圆相离．(2)直线与双曲线的位置关系的判定方法：将直线方程与双曲线方程联立，消去y(或x)，得到一个一元方程ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0)．①若a≠0，当Δ>0时，直线与双曲线相交；当Δ＝0时，直线与双曲线相切；当Δ<0时，直线与双曲线相离．②若a＝0时，直线与渐近线平行，与双曲线有一个交点．(3)直线与抛物线的位置关系的判定方法：将直线方程与抛物线方程联立，消去y(或x)，得到一个一元方程ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0)．①当a≠0时，用Δ判定，方法同上．②当a＝0时，直线与抛物线的对称轴平行，只有一个交点．2．有关弦长问题有关弦长问题，应注意运用弦长公式及根与系数的关系，“设而不求”；有关焦点弦长问题，要重视圆锥曲线定义的运用，以简化运算．(1)斜率为k的直线与圆锥曲线交于两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则所得弦长P1P2＝1＋k2|x2－x1|或P1P2＝1＋1k2|y2－y1|，其中求|x2－x1|与|y2－y1|时通常使用根与系数的关系，即作如下变形：|x 2－x 1|＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2， |y 2－y 1|＝(y 1＋y 2)2－4y 1y 2.(2)当斜率k 不存在时，可求出交点坐标，直接运算(利用两点间距离公式)． 3． 弦的中点问题有关弦的中点问题，应灵活运用“点差法”，“设而不求法”来简化运算．考点一 圆锥曲线的弦长及中点问题例1 已知椭圆G ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为63，右焦点(22，0)，斜率为1的直线l 与椭圆G 交于A ，B 两点，以AB 为底边作等腰三角形，顶点为P (－3,2)． (1)求椭圆G 的方程； (2)求△P AB 的面积．解 (1)由已知得c ＝22，c a ＝63.解得a ＝23，又b 2＝a 2－c 2＝4. 所以椭圆G 的方程为x 212＋y 24＝1.(2)设直线l 的方程为y ＝x ＋m .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，x 212＋y 24＝1.得4x 2＋6mx ＋3m 2－12＝0. ①设A ，B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)(x 1<x 2)，AB 中点为E (x 0，y 0)， 则x 0＝x 1＋x 22＝－3m 4，y 0＝x 0＋m ＝m 4；因为AB 是等腰△P AB 的底边，所以PE ⊥AB . 所以PE 的斜率k ＝2－m4－3＋3m 4＝－1.解得m ＝2.此时方程①为4x 2＋12x ＝0. 解得x 1＝－3，x 2＝0. 所以y 1＝－1，y 2＝2. 所以AB ＝3 2.此时，点P (－3,2)到直线AB ：x －y ＋2＝0的距离d ＝|－3－2＋2|2＝322，所以△P AB 的面积S ＝12AB ·d ＝92.解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单．椭圆x 22＋y 2＝1的弦被点⎝⎛⎭⎫12，12平分，则这条弦所在的直线方程是________． 答案 2x ＋4y －3＝0解析 设弦的两个端点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝1，y 1＋y 2＝1.∵A ，B 在椭圆上，∴x 212＋y 21＝1，x 222＋y 22＝1.(x 1＋x 2)(x 1－x 2)2＋(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0，即y 1－y 2x 1－x 2＝－x 1＋x 22(y 1＋y 2)＝－12，即直线AB 的斜率为－12.∴直线AB 的方程为y －12＝－12⎝⎛⎭⎫x －12， 即2x ＋4y －3＝0.考点二 圆锥曲线中的定值、定点问题例2 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1经过点(0，3)，离心率为12，直线l 经过椭圆C 的右焦点F 交椭圆于A 、B 两点，点A 、F 、B 在直线x ＝4上的射影依次为D 、K 、E . (1)求椭圆C 的方程；(2)若直线l 交y 轴于点M ，且MA →＝λAF →，MB →＝μBF →，当直线l 的倾斜角变化时，探求λ＋μ的值是否为定值？若是，求出λ＋μ的值；否则，说明理由；(3)连结AE 、BD ，试探索当直线l 的倾斜角变化时，直线AE 与BD 是否相交于定点？若是，请求出定点的坐标，并给予证明；否则，说明理由．(1)待定系数法；(2)用直线的斜率为参数建立直线方程，代入椭圆方程消y 后可得点A ，B 的横坐标的关系式，然后根据向量关系式MA →＝λAF →，MB →＝μBF →把λ，μ用点A ，B 的横坐标表示出来，只要证明λ＋μ的值与直线的斜率k 无关即证明了其为定值，否则就不是定值；(3)先根据直线l 的斜率不存在时的特殊情况，看两条直线AE ，BD 的交点坐标，如果直线AE ，BD 相交于定点的话，这个特殊位置时的交点就是这个定点，这样只要证明直线AE ，BD 都经过这个定点即证明了两直线相交于定点，否则两直线就不相交于定点．解 (1)依题意得b ＝3，e ＝c a ＝12，a 2＝b 2＋c 2，∴a ＝2，c ＝1，∴椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)因直线l 与y 轴相交，故斜率存在，设直线l 方程为 y ＝k (x －1)，求得l 与y 轴交于M (0，－k )，又F 坐标为(1,0)，设l 交椭圆于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －1)，x 24＋y 23＝1，消去y 得(3＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0， ∴x 1＋x 2＝8k 23＋4k 2，x 1x 2＝4k 2－123＋4k 2，又由MA →＝λAF →，∴(x 1，y 1＋k )＝λ(1－x 1，－y 1)， ∴λ＝x 11－x 1，同理μ＝x 21－x 2，∴λ＋μ＝x 11－x 1＋x 21－x 2＝x 1＋x 2－2x 1x 21－(x 1＋x 2)＋x 1x 2＝8k 23＋4k 2－2(4k 2－12)3＋4k 21－8k23＋4k 2＋4k 2－123＋4k2＝－83. 所以当直线l 的倾斜角变化时，直线λ＋μ的值为定值－83.(3)当直线l 斜率不存在时，直线l ⊥x 轴，则ABED 为矩形，由对称性知，AE 与BD 相交于FK 的中点N ⎝⎛⎭⎫52，0，猜想，当直线l 的倾斜角变化时， AE 与BD 相交于定点N ⎝⎛⎭⎫52，0， 证明：由(2)知A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，∴D (4，y 1)，E (4，y 2)，当直线l 的倾斜角变化时，首先证直线 AE 过定点⎝⎛⎭⎫52，0，∵l AE ：y －y 2＝y 2－y 14－x 1(x －4)，当x ＝52时，y ＝y 2＋y 2－y 14－x 1·⎝⎛⎭⎫－32＝2(4－x 1)·y 2－3(y 2－y 1)2(4－x 1)＝2(4－x 1)·k (x 2－1)－3k (x 2－x 1)2(4－x 1)＝－8k －2kx 1x 2＋5k (x 1＋x 2)2(4－x 1)＝－8k (3＋4k 2)－2k (4k 2－12)＋5k ·8k 22(4－x 1)·(3＋4k 2)＝0.∴点N ⎝⎛⎭⎫52，0在直线l AE 上．同理可证，点N ⎝⎛⎭⎫52，0也在直线l BD 上．∴当直线l 的倾斜角变化时，直线AE 与BD 相交于定点⎝⎛⎭⎫52，0.(1)定值问题就是在运动变化中寻找不变量的问题，基本思想是使用参数表示要解决的问题，证明要解决的问题与参数无关．在这类试题中选择消元的方向是非常关键的．(2)由直线方程确定定点，若得到了直线方程的点斜式：y －y 0＝k (x －x 0)，则直线必过定点(x 0，y 0)；若得到了直线方程的斜截式：y ＝kx ＋m ，则直线必过定点(0，m )．(2013·陕西)已知动圆过定点A (4,0)，且在y 轴上截得弦MN 的长为8.(1)求动圆圆心的轨迹C 的方程；(2)已知点B (－1,0)，设不垂直于x 轴的直线l 与轨迹C 交于不同的两点P ，Q ，若x 轴是∠PBQ 的角平分线，证明：直线l 过定点．(1)解 如图，设动圆圆心为O 1(x ，y )，由题意，得O 1A ＝O 1M ， 当O 1不在y 轴上时，过O 1作O 1H ⊥MN 交MN 于H ，则H 是MN 的中 点，∴O 1M ＝x 2＋42， 又O 1A ＝(x －4)2＋y 2， ∴(x －4)2＋y 2＝x 2＋42， 化简得y 2＝8x (x ≠0)．又当O 1在y 轴上时，O 1与O 重合，点O 1的坐标为(0,0)也满足方程y 2＝8x ， ∴动圆圆心的轨迹C 的方程为y 2＝8x .(2)证明 由题意，设直线l 的方程为y ＝kx ＋b (k ≠0)， P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，将y ＝kx ＋b 代入y 2＝8x 中， 得k 2x 2＋(2bk －8)x ＋b 2＝0. 其中Δ＝－32kb ＋64>0.由根与系数的关系得，x 1＋x 2＝8－2bkk 2，① x 1x 2＝b 2k2，②因为x 轴是∠PBQ 的角平分线，所以y 1x 1＋1＝－y 2x 2＋1，即y 1(x 2＋1)＋y 2(x 1＋1)＝0， (kx 1＋b )(x 2＋1)＋(kx 2＋b )(x 1＋1)＝0， 2kx 1x 2＋(b ＋k )(x 1＋x 2)＋2b ＝0③将①，②代入③得2kb 2＋(k ＋b )(8－2bk )＋2k 2b ＝0， ∴k ＝－b ，此时Δ>0，∴直线l 的方程为y ＝k (x －1)，即直线l 过定点(1,0)． 考点三 圆锥曲线中的最值范围问题例3 (2013·浙江)如图，点P (0，－1)是椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的一个顶点，C 1的长轴是圆C 2：x 2＋y 2＝4的直径．l 1，l 2是过点 P 且互相垂直的两条直线，其中l 1交圆C 2于A ，B 两点，l 2交椭 圆C 1于另一点D . (1)求椭圆C 1的方程；(2)求△ABD 面积取最大值时直线l 1的方程．解 (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1，a ＝2.所以椭圆C 1的方程为x 24＋y 2＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，D (x 0，y 0)． 由题意知直线l 1的斜率存在，不妨设其为k ， 则直线l 1的方程为y ＝kx －1. 又圆C 2：x 2＋y 2＝4， 故点O 到直线l 1的距离 d ＝1k 2＋1， 所以AB ＝24－d 2＝24k 2＋3k 2＋1.又l 2⊥l 1，故直线l 2的方程为x ＋ky ＋k ＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋ky ＋k ＝0，x 2＋4y 2＝4. 消去y ，整理得(4＋k 2)x 2＋8kx ＝0， 故x 0＝－8k 4＋k 2.所以PD ＝8k 2＋14＋k 2.设△ABD 的面积为S ，则S ＝12·AB ·PD＝84k 2＋34＋k 2，所以S ＝324k 2＋3＋134k 2＋3≤3224k 2＋3·134k 2＋3＝161313， 当且仅当k ＝±102时取等号． 所以所求直线l 1的方程为y ＝±102x －1. 求最值及参数范围的方法有两种：①根据题目给出的已知条件列出一个关于参数的函数关系式，将其代入由题目列出的不等式(即为消元)，然后求解不等式；②由题目条件和结论建立目标函数，进而转化为求函数的值域．已知椭圆C 1与抛物线C 2的焦点均在x 轴上且C 1的中心和C 2的顶点均为坐标原点O ，从每条曲线上的各取两个点，其坐标如下表所示：(1)求C 1，C 2(2)过点A (m,0)作倾斜角为π6的直线l 交椭圆C 1于C ，D 两点，且椭圆C 1的左焦点F 在以线段CD 为直径的圆的外部，求m 的取值范围．解 (1)先判断出(－6，0)在椭圆上，进而断定点(1，－3)和(4，－6)在抛物线上，故(3，1)在椭圆上，所以椭圆C 1的方程为x 26＋y 22＝1，抛物线C 2的方程为y 2＝9x .(2)设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，直线l 的方程为y ＝33(x －m )，由⎩⎨⎧y ＝33(x －m )x 26＋y22＝1，消去y 整理得2x 2－2mx ＋m 2－6＝0， 由Δ>0得Δ＝4m 2－8(m 2－6)>0， 即－23<m <23，①而x 1x 2＝m 2－62，x 1＋x 2＝m ，故y 1y 2＝33(x 1－m )·33(x 2－m ) ＝13[x 1x 2－m (x 1＋x 2)＋m 2] ＝m 2－66.欲使左焦点F 在以线段CD 为直径的圆的外部， 则FC →·FD →>0，又F (－2,0)，即FC →·FD →＝(x 1＋2，y 1)·(x 2＋2，y 2) ＝x 1x 2＋2(x 1＋x 2)＋y 1y 2＋4>0. 整理得m (m ＋3)>0， 即m <－3或m >0.②由①②可得m 的取值范围是(－23，－3)∪(0,23)．1． 求轨迹与轨迹方程的注意事项(1)求轨迹方程的关键是在纷繁复杂的运动变化中，发现动点P 的运动规律，即P 点满足的等量关系，因此要学会动中求静，变中求不变．(2)求出轨迹方程后，应注意检验其是否符合题意，既要检验是否增解(即以该方程的某些解为坐标的点不在轨迹上)，又要检验是否丢解(即轨迹上的某些点未能用所求的方程表示)．检验方法：研究运动中的特殊情形或极端情形． 2． 定点、定值问题的处理方法定值包括几何量的定值或曲线过定点等问题，处理时可以直接推理求出定值，也可以先通过特定位置猜测结论后进行一般性证明．对于客观题，通过特殊值法探求定点、定值能达到事半功倍的效果．3． 圆锥曲线的最值与范围问题的常见求法(1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；(2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立起目标函数，再求这个函数的最值，在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下五个方面考虑： ①利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；②利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是在两个参数之间建立等量关系；③利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； ④利用基本不等式求出参数的取值范围； ⑤利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围.设直线l ：y ＝k (x ＋1)与椭圆x 2＋3y 2＝a 2(a >0)相交于A 、B 两个不同的点，与x 轴相交于点C ，记O 为坐标原点． (1)证明：a 2>3k 21＋3k 2；(2)若AC →＝2CB →，求△OAB 的面积取得最大值时的椭圆方程．(1)证明 依题意，直线l 显然不平行于坐标轴，故y ＝k (x ＋1)可化为x ＝1k y －1.将x ＝1k y －1代入x 2＋3y 2＝a 2，消去x ，得⎝⎛⎭⎫3＋1k 2y 2－2yk ＋1－a 2＝0， ①由直线l 与椭圆相交于两个不同的点，得 Δ＝4k 2－4⎝⎛⎭⎫1k 2＋3(1－a 2)>0，整理得⎝⎛⎭⎫1k 2＋3a 2>3， 即a 2>3k 21＋3k 2.(2)解 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由①，得y 1＋y 2＝2k1＋3k 2， 因为AC →＝2CB →，得y 1＝－2y 2，代入上式，得y 2＝－2k 1＋3k 2.于是，△OAB 的面积S ＝12OC ·|y 1－y 2|＝32|y 2|＝3|k |1＋3k 2<3|k |23|k |＝32. 其中，上式取等号的条件是3k 2＝1，即k ＝±33.由y 2＝－2k 1＋3k 2，可得y 2＝±33. 将k ＝33，y 2＝－33及k ＝－33， y 2＝33这两组值分别代入①， 均可解出a 2＝5.所以，△OAB 的面积取得最大值时的椭圆方程是x 2＋3y 2＝5.(推荐时间：70分钟)一、填空题1． 已知方程x 2k ＋1＋y 23－k＝1(k ∈R )表示焦点在x 轴上的椭圆，则k 的取值范围是________．答案 1<k <3解析 若椭圆焦点在x 轴上，则⎩⎪⎨⎪⎧k ＋1>03－k >0k ＋1>3－k ，解得1<k <3.2． 设M (x 0，y 0)为抛物线C ：x 2＝8y 上一点，F 为抛物线C 的焦点，以F 为圆心，FM 为半径的圆和抛物线的准线相交，则y 0的取值范围是________． 答案 (2，＋∞)解析 依题意得：F (0,2)，准线方程为y ＝－2，又∵以F 为圆心，FM 为半径的圆和抛物线的准线相交，且FM ＝|y 0＋2|， ∴FM >4，即|y 0＋2|>4， 又y 0≥0，∴y 0>2.3． 若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP →·FP→的最大值为________． 答案 6解析 设P (x 0，y 0)，则x 204＋y 203＝1，即y 20＝3－3x 204， 又因为F (－1,0)，所以OP →·FP →＝x 0·(x 0＋1)＋y 20＝14x 20＋x 0＋3 ＝14(x 0＋2)2＋2， 又x 0∈[－2,2]，即OP →·FP →∈[2,6]，所以(OP →·FP →)max ＝6.4． 直线y ＝kx ＋1与椭圆x 25＋y 2m＝1恒有公共点，则m 的取值范围是________． 答案 m ≥1且m ≠5解析 ∵方程x 25＋y 2m＝1表示椭圆， ∴m >0且m ≠5.∵直线y ＝kx ＋1恒过(0,1)点，∴要使直线与椭圆总有公共点，应有：025＋12m≤1，m ≥1， ∴m 的取值范围是m ≥1且m ≠5.5． 设F 1、F 2为椭圆x 24＋y 2＝1的左、右焦点，过椭圆中心任作一直线与椭圆交于P ，Q 两点，当四边形PF 1QF 2面积最大时，PF →1·PF →2的值等于________．答案 －2解析 易知当P ，Q 分别在椭圆短轴端点时，四边形PF 1QF 2面积最大．此时，F 1(－3，0)，F 2(3，0)，不妨设P (0,1)，∴PF →1＝(－3，－1)，PF →2＝(3，－1)，∴PF →1·PF →2＝－2.6． 直线3x －4y ＋4＝0与抛物线x 2＝4y 和圆x 2＋(y －1)2＝1从左到右的交点依次为A ，B ，C ，D ，则AB CD的值为________． 答案 116解析 由⎩⎪⎨⎪⎧3x －4y ＋4＝0，x 2＝4y 得x 2－3x －4＝0， ∴x A ＝－1，y A ＝14，x D ＝4，y D ＝4， 直线3x －4y ＋4＝0恰过抛物线的焦点F (0,1)，且该圆圆心为F (0,1)，∴AF ＝y A ＋1＝54，DF ＝y D ＋1＝5， ∴AB CD ＝AF －1DF －1＝116. 7． 已知双曲线x 2－y 23＝1上存在两点M ，N 关于直线y ＝x ＋m 对称，且MN 的中点在抛物线y 2＝18x 上，则实数m 的值为________．答案 0或－8解析 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，MN 的中点P (x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧ x 21－y 213＝1， ①x 22－y 223＝1， ②x 1＋x 2＝2x 0， ③y 1＋y 2＝2y 0， ④由②－①得(x 2－x 1)(x 2＋x 1)＝13(y 2－y 1)(y 2＋y 1)，显然x 1≠x 2. ∴y 2－y 1x 2－x 1·y 2＋y 1x 2＋x 1＝3，即k MN ·y 0x 0＝3， ∵M ，N 关于直线y ＝x ＋m 对称，∴k MN ＝－1，∴y 0＝－3x 0，又∵y 0＝x 0＋m ，∴P ⎝⎛⎭⎫－m 4，3m 4， 代入抛物线方程得916m 2＝18·⎝⎛⎭⎫－m 4， 解得m ＝0或－8，经检验都符合．8． 已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左、右焦点分别为F 1、F 2，且两条曲线在第一象限的交点为P ，△PF 1F 2是以PF 1为底边的等腰三角形，若PF 1＝10，椭圆与双曲线的离心率分别为e 1，e 2，则e 1·e 2的取值范围是________．答案 (13，＋∞) 解析 设椭圆与双曲线的半焦距为c ，PF 1＝r 1，PF 2＝r 2.由题意知r 1＝10，r 2＝2c ，且r 1>r 2,2r 2>r 1，∴2c <10,2c ＋2c >10，∴52<c <5⇒1<25c 2<4，∴e 2＝2c 2a 双＝2c r 1－r 2＝2c 10－2c ＝c 5－c； e 1＝2c 2a 椭＝2c r 1＋r 2＝2c 10＋2c ＝c 5＋c. ∴e 1·e 2＝c 225－c 2＝125c 2－1>13. 9． 已知抛物线方程为y 2＝4x ，直线l 的方程为x －y ＋4＝0，在抛物线上有一动点P 到y 轴的距离为d 1，P 到直线l 的距离为d 2，则d 1＋d 2的最小值为________．答案 522－1 解析 过点P 作抛物线的准线的垂线，垂足为A ，交y 轴于B ，由抛物线方程为y 2＝4x 得焦点F 的坐标为(1,0)，准线为x ＝－1，则由抛物线的定义可得d 1＋d 2＝P A －AB ＋d 2＝PF －1＋d 2，PF ＋d 2大于或等于焦点F 点P 到直线l ，即PF ＋d 2的最小值为|1－0＋4|2＝522， 所以d 1＋d 2的最小值为522－1. 二、解答题10．已知直线x －2y ＋2＝0经过椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左顶点A 和上顶点D ，椭圆C 的右顶点为B ，点S 是椭圆C 上位于x 轴上方的动点，直线AS ，BS 与直线l ：x ＝103分别交于M ，N 两点．(1)求椭圆C 的方程；(2)求线段MN 的长度的最小值．解 (1)如图，由题意得椭圆C 的左顶点为A (－2,0)，上顶点为D (0,1)，即a ＝2，b ＝1.故椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1. (2)直线AS 的斜率显然存在且不为0，设直线AS 的方程为y ＝k (x ＋2)(k ＞0)，解得M (103，16k 3)，且将直线方程代入椭圆C 的方程，得(1＋4k 2)x 2＋16k 2x ＋16k 2－4＝0.设S (x 1，y 1)，由根与系数的关系得(－2)·x 1＝16k 2－41＋4k 2.由此得x 1＝2－8k 21＋4k 2，y 1＝4k 1＋4k 2，即S (2－8k 21＋4k 2，4k 1＋4k 2)． 又B (2,0)，则直线BS 的方程为y ＝－14k(x －2)， 联立直线BS 与l 的方程解得N (103，－13k)． ∴MN ＝⎪⎪⎪⎪16k 3＋13k ＝16k 3＋13k ≥216k 3·13k ＝83. 当且仅当16k 3＝13k ，即k ＝14时等号成立，故当k ＝14时，线段MN 的长度的最小值为83. 11．在平面直角坐标系中，点P (x ，y )为动点，已知点A (2，0)，B (－2，0)，直线P A 与PB的斜率之积为－12. (1)求动点P 的轨迹E 的方程；(2)过点F (1,0)的直线l 交曲线E 于M ，N 两点，设点N 关于x 轴的对称点为Q (M 、Q 不重合)，求证：直线MQ 过x 轴上一定点．(1)解 由题意知：y x ＋2·y x －2＝－12. 化简得x 22＋y 2＝1(y ≠0)． (2)证明 方法一 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，Q (x 2，－y 2)，l ：x ＝my ＋1，代入x 22＋y 2＝1(y ≠0)整理得 (m 2＋2)y 2＋2my －1＝0.y 1＋y 2＝－2m m 2＋2，y 1y 2＝－1m 2＋2， MQ 的方程为y －y 1＝y 1＋y 2x 1－x 2(x －x 1)， 令y ＝0，得x ＝x 1＋y 1(x 2－x 1)y 1＋y 2＝my 1＋1＋my 1(y 2－y 1)y 1＋y 2＝2my 1y 2y 1＋y 2＋1＝2. ∴直线MQ 过定点(2,0)．方法二 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，Q (x 2，－y 2)，l ：y ＝k (x －1)，代入x 22＋y 2＝1(y ≠0)整理得 (1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2k 2－2＝0，x 1＋x 2＝4k 21＋2k 2，x 1x 2＝2k 2－21＋2k 2， MQ 的方程为y －y 1＝y 1＋y 2x 1－x 2(x －x 1)， 令y ＝0，得x ＝x 1＋y 1(x 2－x 1)y 1＋y 2＝x 1＋k (x 1－1)(x 2－x 1)k (x 1＋x 2－2)＝2x 1x 2－(x 1＋x 2)x 1＋x 2－2＝2. ∴直线MQ 过定点(2,0)．12．设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率e ＝32，左顶点M 到直线x a ＋y b ＝1的距离d ＝455，O 为坐标原点．(1)求椭圆C 的方程；(2)设直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，若以AB 为直径的圆经过坐标原点，证明：点O 到直线AB 的距离为定值；(3)在(2)的条件下，试求△AOB 的面积S 的最小值．(1)解 由e ＝32，得c ＝32a ，又b 2＝a 2－c 2， 所以b ＝12a ，即a ＝2b . 由左顶点M (－a,0)到直线x a ＋y b＝1， 即bx ＋ay －ab ＝0的距离d ＝455， 得|b (－a )－ab |a 2＋b 2＝455，即2ab a 2＋b 2＝455， 把a ＝2b 代入上式，得4b 25b＝455，解得b ＝1. 所以a ＝2b ＝2，c ＝ 3.所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1. (2)证明 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，①当直线AB 的斜率不存在时，则由椭圆的对称性，可知x 1＝x 2，y 1＝－y 2.因为以AB 为直径的圆经过坐标原点，故OA →·OB →＝0，即x 1x 2＋y 1y 2＝0，也就是x 21－y 21＝0，又点A 在椭圆C 上，所以x 214－y 21＝1， 解得|x 1|＝|y 1|＝255.此时点O 到直线AB 的距离d 1＝|x 1|＝255. ②当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y ＝kx ＋m ，与椭圆方程联立有⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y 2＝1， 消去y ，得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0，所以x 1＋x 2＝－8km 1＋4k 2，x 1x 2＝4m 2－41＋4k 2. 因为以AB 为直径的圆过坐标原点O ，所以OA ⊥OB .所以OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝0.所以(1＋k 2)x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2＝0.所以(1＋k 2)·4m 2－41＋4k 2－8k 2m 21＋4k 2＋m 2＝0. 整理得5m 2＝4(k 2＋1)，所以点O 到直线AB 的距离d 1＝|m |k 2＋1＝255. 综上所述，点O 到直线AB 的距离为定值255. (3)解 设直线OA 的斜率为k 0.当k 0≠0时，则OA 的方程为y ＝k 0x ，OB 的方程为y ＝－1k 0x ， 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 0x ，x 24＋y 2＝1，得⎩⎨⎧ x 21＝41＋4k 20，y 21＝4k 201＋4k 20. 同理可求得⎩⎨⎧ x 22＝4k 20k 20＋4，y 22＝4k 20＋4. 故△AOB 的面积为S ＝121＋k 20·|x 1|·1＋1k 20·|x 2|＝2(1＋k 20)2(1＋4k 20)(k 20＋4). 令1＋k 20＝t (t >1)， 则S ＝2t 24t 2＋9t －9＝21－9t 2＋9t ＋4，令g (t )＝－9t 2＋9t ＋4＝－9(1t －12)2＋254(t >1)， 所以4<g (t )≤254.所以45≤S <1. 当k 0＝0时，可求得S ＝1， 故45≤S ≤1，故S 的最小值为45.。
2014版高考数学(文科)(全国通用版)二轮复习 (审题+解题+回扣+专练 ) 压轴大题突破练(一)
压轴大题突破练压轴大题突破练（一)(推荐时间：60分钟)1．已知函数f（x）＝x2－（2a＋1）x＋a ln x（a〉0）．（1）当a＝1时，求函数f（x）的单调增区间；(2）求函数f（x)在区间［1，e]上的最小值．解（1）a＝1时，f(x）＝x2－3x＋ln x,定义域为（0，＋∞），f′（x）＝2x－3＋错误!，令f′(x)>0，∴2x2－3x＋1>0(x>0),∴0〈x<错误!或x>1，∴f（x)的单调增区间为错误!，（1，＋∞）．(2)f(x)＝x2－（2a＋1)x＋a ln x，f′(x)＝2x－(2a＋1）＋错误!＝错误!＝错误!。
①当0<a≤错误!时，f（x）在（0，a），错误!上递增，∴f(x）在[1，e]上单调递增，∴f(x）min＝f（1）＝－2a，②当错误!〈a≤1时，f（x）在［1,e]上单调递增，∴f（x）min＝f（1）＝－2a，③当1〈a〈e时,f(x）在[1，a)上单调递减，在（a，e）上单调递增，∴f（x）min＝f(a）＝－a2－a＋a ln a.④当a≥e时,f(x)在［1，e]上递减，∴f(x）min＝f（e)＝e2－(2a＋1)e＋a。
综上所述：0<a≤1时，f（x)min＝－2a;1<a<e时，f（x）min＝－a2－a＋a ln a；a≥e时，f（x)min＝e2－(2a＋1)e＋a.2．已知抛物线x2＝4y，过点A（0，1）任意作一条直线l交抛物线C于M,N两点，O为坐标原点．(1)求错误!·错误!的值;(2)过M，N分别作抛物线C的切线l1，l2，试探求l1与l2的交点是否在定直线上，并证明你的结论．解(1)由题意知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝kx＋1，M（x1，y1)，N（x2，y2），联立方程组错误!消去y得x2－4kx－4＝0，所以x1＋x2＝4k，x1x2＝－4，y1y2＝(kx1＋1)（kx2＋1）＝k2x1x2＋k（x1＋x2）＋1＝－4k2＋4k2＋1＝1,故错误!·错误!＝x 1x 2＋y 1y 2＝－4＋1＝－3。
2014高考数学(文)二轮专题突破课件(浙江专版)第3部分 专题1 第2讲 保分题——模板解,每分都要保
模板一
[例1]
三角函数的图像与性质
π 2sin2x＋4＋
(2013· 天津高考)(13分)已知函数f(x)＝－
6sin xcos x－2cos2x＋1，x∈R. (1)求f(x)的最小正周期；
π (2)求f(x)在区间0，2上的最大值和最小值．
[解题流程]
π 函数fx的解析式 ⇒ 求函数fx的最小正周期及fx在0， 上的最值 2
[规范解答] c 1 (1)抛物线y ＝8x的焦点为椭圆E的顶点，即a＝2.又a＝2，故
2
c＝1，b＝ 3. x2 y2 ∴椭圆E的方程为 4 ＋ 3 ＝1. (2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)．
y＝kx＋m， 联立 2 3x ＋4y2＝12，
4分
得(4k2＋3)x2＋8kmx＋4m2－12＝0.
11分
π 所以f(x)在区间0，2上的最大值为2
2，最小值为－2.
13分
[解题模板]
第1步：三角函数式化简，一般化为y＝Asin(ωx＋φ)＋b或 y＝Acos(ωx＋φ)＋b的形式如本例中f(x)化简为f(x)＝ 2
π 2sin2x－4；
2π 第2步：由T＝|ω|求最小正周期；
[规范解答] (1)因为 an＞0，令 n＝1，有 4S1＝a2－4－1，即 4a1＝a2－5，所 2 2 以 a2＝ 4a1＋5. 式相减得 4an＝a2 ＋1－a2 －4， n n 2分 4分
2 2 (2)4Sn＝an＋1－4n－1，当 n≥2 时，4Sn－1＝an－4(n－1)－1，两
整理得 a2 ＋1＝(an＋2)2，即 an＋1＝an＋2. n
[规范解答] (1)由已知及正弦定理，得 sin A＝sin Bcos C＋sin C· B， sin ① 2分 3分 5分 6分 7分 9分 11 分 12 分
【步步高】2014高考数学二轮专题突破(文科)专题一 第2讲
热点分类突破
专题一 第2讲
)
(1)函数 y＝xln(－x)与 y＝xln x 的图象关于 ( A．直线 y＝x 对称 B．x 轴对称 ( C．y 轴对称 D．原点对称 log2|x| (2)函数 y＝ x 的大致图象是
)
本 讲 栏 目 开 关
热点分类突破
(3)(2013· 课标全国Ⅰ)已知函数f(x)＝ |f(x)|≥ax，则a的取值范围是 A．(－∞，0] B．(－∞，1]
1 x≥0且x≠1， x－1 1 y＝ ＝ |x|－1 1 － x<0且x≠－1， x ＋ 1
在同一坐标系中画出“囧函数”与 函数y＝lg|x|的图象如图所示，
易知它们有4个交点．
答案 (1)D
(2)4
热点分类突破
专题一 第2讲
(1)作图：常用描点法和图象变换法．图象变换法 常用的有平移变换、伸缩变换和对称变换．尤其注意y＝f(x)
专题一 第2讲
第2讲
函数、基本初等函数的图象与性质
【高考考情解读】 1．高考对函数的三要素，函数的表示方法等内容的考查以基 础知识为主，难度中等偏下. 本 讲 栏 2．函数图象和性质是历年高考的重要内容，也是热点内容， 目 对图象的考查主要有两个方面：一是识图，二是用图，即 开 关 利用函数的图象，通过数形结合的思想解决问题；对函数 性质的考查，则主要是将单调性、奇偶性、周期性等综合 一起考查，既有具体函数也有抽象函数．常以选择题的形 式出现在最后一题，且常与新定义问题相结合，难度较 大．
主干知识梳理
专题一 第2讲
1．函数的概念及其表示 两个函数只有当它们的三要素完全相同时才表示同一函
本 讲 栏 目 开 关
数，定义域和对应关系相同的两个函数是同一函数． 2．函数的性质 (1)单调性：单调性是函数在其定义域上的局部性质．利用 定义证明函数的单调性时，规范步骤为取值、作差、判断 符号、下结论．复合函数的单调性遵循“同增异减”的原 则．
2014高数学(文科,人教版)二轮专题整合突破复习课件：专题6 第2讲 椭圆、双曲线、抛物线 课件(
由③④⑦得�����2 1 +������2 x1x2=.⑦ 6 2 4
当 x1=x2 时 ,A,B 重合于原点 O,AB 中点 N 为 O,坐标满足 x2= y.
2代入
������ 2
������2 + =1,并整理得 4 3
7x2+8x-8=0,解
所以 |AB|= 1 + ������ 2 |x2-x1|= . 当 k=- 时 ,由图形的对称性可知 |AB|= .
4 7 2 18
综上 ,|AB|=2 3或 |AB|= .
7
18
4.(2013·辽宁 ,文 20)如图,抛物线 C1:x2= 4y,C2:x 2=-2py(p>0).点 M(x0,y 0)在抛物线 C2 上 ,过 M 作 C1 的切线,切点为 A,B(M 为原点 O 1 时,A,B 重合于 O).当 x 0=1- 2时,切线 MA 的斜率为- .
A.
B.
C.
D.
解析:如图所示 ,在 Rt△PF1F2 中 ,|F1F2|=2c , 设 |PF2|=x,则 |PF1|=2x, 由 tan 30° = 得 x=
2 3 c. 3 |������������2 | |������1 ������2 |
=
������ 2������
=
3 , 3
而由椭圆定义得 ,|PF1|+|PF2|=2a=3x, ∴ a= x= 3c, ∴ e= =
������ ������ ������ 3c 3 2
=
3 . 3
2.(2013·山东 ,文 11)抛物线 C1:y= x2(p>0)的焦点与双曲线
������2 2 C2: -y =1 的右焦点的连线交 C1 于第一象限的点 M.若 C1 在点 M 处 3
2014版高考数学(文科)(全国通用版)二轮复习 (审题+解题+回扣+专练 ) 立体几何
立体几何（推荐时间：70分钟)1．如图甲，直角梯形ABCD中,AB⊥AD，AD∥BC,F为AD中点，E在BC上，且EF∥AB，已知AB＝AD＝CE＝2，现沿EF把四边形CDFE折起如图乙，使平面CDFE⊥平面ABEF.（1)求证:AD∥平面BCE；(2)求证：AB⊥平面BCE;（3)求三棱锥C－ADE的体积．（1)证明由题意知AF∥BE,DF∥CE，所以平面ADF∥平面BCE,又AD⊂平面ADF,所以AD∥平面BCE。
（2）证明在图甲中，在直角梯形ABCD中，EF∥AB,AB⊥AD，BC∥AD，所以EF⊥BC，所以在图乙中,CE⊥EF.又因为平面CDFE⊥平面ABEF，平面CDFE ∩平面ABEF ＝EF ，所以CE ⊥平面ABEF ，所以CE ⊥AB 。
又AB ⊥BE ，且BE ∩CE ＝E ，所以AB ⊥平面BCE 。
（3)解 因为平面CDFE ⊥平面ABEF ,AF ⊥EF ，所以AF ⊥平面CDFE ,所以AF 为三棱锥A －CDE 的高,AF ＝1。
又AB ＝CE ＝2，所以S △CDE ＝12×2×2＝2, 所以V C －ADE ＝V A －CDE ＝13S △CDE ·AF ＝错误!×2×1＝错误!。
2． 一个多面体的三视图和直观图如图所示,其中M ，N 分别是AB ，AC 的中点，G 是DF 上的一个动点，且DG ＝λDF (0<λ≤1)．(1）求证：对任意的λ∈（0,1），都有AC ⊥GN ；(2）当λ＝错误!时，求证：AG ∥平面FMC 。
证明(1）由题，知该几何体是一个三棱柱，且CD⊥DF,AD⊥DF，AD⊥CD，且DF＝AD＝DC＝a.如下图，连接BD,可知N为AC与BD的交点，且AC⊥BD。
由题，知FD⊥平面ABCD，又G是FD上的一点，所以GD⊥平面ABCD。
而AC⊂平面ABCD,所以GD⊥AC.又BD∩GD＝D，所以AC⊥平面GDN。
2014高考数学二轮专题突破(文科)【主干知识梳理+热点分类突破+押题精练】专题一集合、常用逻辑用语、不等
第2讲 函数、基本初等函数的图象与性质【高考考情解读】 1.高考对函数的三要素，函数的表示方法等内容的考查以基础知识为主，难度中等偏下.2.函数图象和性质是历年高考的重要内容，也是热点内容，对图象的考查主要有两个方面：一是识图，二是用图，即利用函数的图象，通过数形结合的思想解决问题；对函数性质的考查，则主要是将单调性、奇偶性、周期性等综合一起考查，既有具体函数也有抽象函数．常以选择题的形式出现在最后一题，且常与新定义问题相结合，难度较大．1． 函数的概念及其表示两个函数只有当它们的三要素完全相同时才表示同一函数，定义域和对应关系相同的两个函数是同一函数． 2． 函数的性质(1)单调性：单调性是函数在其定义域上的局部性质．利用定义证明函数的单调性时，规范步骤为取值、作差、判断符号、下结论．复合函数的单调性遵循“同增异减”的原则． (2)奇偶性：奇偶性是函数在定义域上的整体性质．偶函数的图象关于y 轴对称，在关于坐标原点对称的定义域区间上具有相反的单调性；奇函数的图象关于坐标原点对称，在关于坐标原点对称的定义域区间上具有相同的单调性．(3)周期性：周期性是函数在定义域上的整体性质．若函数满足f (a ＋x )＝f (x )(a 不等于0)，则其一个周期T ＝|a |.3． 指数函数、对数函数和幂函数的图象和性质(1)指数函数y ＝a x (a >0，a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0，a ≠1)的图象和性质，分0<a <1，a >1两种情况，着重关注两函数图象中的两种情况的公共性质． (2)幂函数y ＝x α的图象和性质，分幂指数α>0，α<0两种情况． 4． 熟记对数式的五个运算公式log a (MN )＝log a M ＋log a N ；log a M N ＝log a M －log a N ；log a M n ＝n log a M ；a log a N ＝N ；log a N ＝log b N log b a (a >0且a ≠1，b >0且b ≠1，M >0，N >0)． 提醒：log a M －log a N ≠log a (M －N )， log a M ＋log a N ≠log a (M ＋N )． 5． 与周期函数有关的结论(1)若f (x ＋a )＝f (x ＋b )(a ≠b )，则f (x )是周期函数，其中一个周期是T ＝|a －b |.(2)若f (x ＋a )＝－f (x )，则f (x )是周期函数，其中一个周期是T ＝2a . (3)若f (x ＋a )＝1f (x )或f (x ＋a )＝－1f (x )，则f (x )是周期函数，其中一个周期是T ＝2a . 提醒：若f (x ＋a )＝f (－x ＋b )(a ≠b )，则函数f (x )关于直线x ＝a ＋b2对称.考点一 函数及其表示例1 (1)若函数y ＝f (x )的定义域是[0,2]，则函数g (x )＝f (2x )ln x的定义域是( )A ．[0,1]B ．[0,1)C ．[0,1)∪(1,4]D ．(0,1)答案 D解析 由函数y ＝f (x )的定义域是[0,2]得，函数g (x )有意义的条件为0≤2x ≤2且x >0，x ≠1，故x ∈(0,1)．(2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ，x >02x ，x ≤0，则f (f (19))等于( )A ．4 B.14 C ．－4D ．－14答案 B解析 因为19>0，所以f (19)＝log 319＝－2，故f (－2)＝2－2＝14.(1)求函数定义域的类型和相应方法①若已知函数的解析式，则这时函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值范围，只需构建并解不等式(组)即可，函数f (g (x ))的定义域应由不等式a ≤g (x )≤b 解出． ②实际问题或几何问题除要考虑解析式有意义外，还应使实际问题有意义． (2)求函数值时应注意形如f (g (x ))的函数求值时，应遵循先内后外的原则；而对于分段函数的求值(解不等式)问题，必须依据条件准确地找出利用哪一段求解．(1)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ≥4，f (x ＋3)，x <4，则f (log 23)等于( )A ．3B ．4C ．16D ．24(2)已知函数f (x )＝2＋log 3x (1≤x ≤9)，则函数y ＝[f (x )]2＋f (x 2)的最大值为 ( )A ．33B ．22C ．13D ．6答案 (1)D (2)C解析 (1)f (log 23)＝f (log 23＋3) ＝f (log 224)＝2log 224＝24.(2)依题意得，y ＝(2＋log 3x )2＋2＋log 3x 2＝log 23x ＋6log 3x ＋6＝(log 3x ＋3)2－3，因为1≤x ≤9，且1≤x 2≤9，所以1≤x ≤3， 所以0≤log 3x ≤1，作出图象知， 当log 3x ＝1时，函数y 取得最大值13. 考点二 函数的性质例2 (1)(2012·福建)设函数D (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x 为有理数，0，x 为无理数，则下列结论错误的是( )A ．D (x )的值域为{0,1}B ．D (x )是偶函数C ．D (x )不是周期函数D ．D (x )不是单调函数答案 C解析 利用函数的单调性、奇偶性、周期性定义判断可得． 由已知条件可知，D (x )的值域是{0,1}，选项A 正确； 当x 是有理数时，－x 也是有理数， 且D (－x )＝1，D (x )＝1，故D (－x )＝D (x )， 当x 是无理数时，－x 也是无理数， 且D (－x )＝0，D (x )＝0，即D (－x )＝D (x )， 故D (x )是偶函数，选项B 正确；当x 是有理数时，对于任一非零有理数a ，x ＋a 是有理数，且D (x ＋a )＝D (x )＝1，当x 是无理数时，对于任一非零有理数b ，x ＋b 是无理数，所以D (x ＋b )＝D (x )＝0，故D (x )是周期函数，但不存在最小正周期，选项C 不正确； 由实数的连续性易知，不存在区间I ，使D (x )在区间I 上是增函数或减函数，故D (x )不是单调函数，选项D 正确．(2)设奇函数y ＝f (x ) (x ∈R )，满足对任意t ∈R 都有f (t )＝f (1－t )，且x ∈⎣⎡⎦⎤0，12时，f (x )＝－x 2，则f (3)＋f ⎝⎛⎭⎫－32的值等于________． 答案 －14解析 根据对任意t ∈R 都有f (t )＝f (1－t )可得f (－t )＝f (1＋t )，即f (t ＋1)＝－f (t )，进而得到f (t ＋2)＝－f (t ＋1)＝－[－f (t )]＝f (t )，得函数y ＝f (x )的一个周期为2，故f (3)＝f (1)＝f (0＋1)＝－f (0)＝0，f ⎝⎛⎭⎫－32＝f ⎝⎛⎭⎫12＝－14.所以f (3)＋f ⎝⎛⎭⎫－32的值是0＋⎝⎛⎭⎫－14＝－14.函数的性质主要是函数的奇偶性、单调性和周期性以及函数图象的对称性，在解题中根据问题的条件通过变换函数的解析式或者已知的函数关系，推证函数的性质，根据函数的性质解决问题．(1)(2013·天津)已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增．若实数a 满足f (log 2a )＋f (log 12a )≤2f (1)，则a 的取值范围是( )A ．[1,2]B.⎝⎛⎦⎤0，12C.⎣⎡⎦⎤12，2D ．(0,2](2)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x >0时，f (x )＝e x ＋a ，若f (x )在R 上是单调函数，则实数a 的最小值是________． 答案 (1)C (2)－1解析 (1)由题意知a >0，又log 12a ＝log 2a －1＝－log 2a .∵f (x )是R 上的偶函数， ∴f (log 2a )＝f (－log 2a )＝f (log 12a )．∵f (log 2a )＋f (log 12a )≤2f (1)，∴2f (log 2a )≤2f (1)，即f (log 2a )≤f (1)． 又因f (x )在[0，＋∞)上递增． ∴|log 2a |≤1，－1≤log 2a ≤1， ∴a ∈⎣⎡⎦⎤12，2，选C.(2)依题意得f (0)＝0.当x >0时，f (x )>e 0＋a ＝a ＋1. 若函数f (x )在R 上是单调函数，则有a ＋1≥0，a ≥－1， 因此实数a 的最小值是－1. 考点三 函数的图象例3 (1)(2013·北京)函数f (x )的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y ＝e x 关于y 轴对称，则f (x )等于( )A ．e x ＋1B ．e x －1 C ．e－x ＋1D ．e－x －1(2)形如y ＝b |x |－a (a >0，b >0)的函数，因其图象类似于汉字中的“囧”字，故我们把它称为“囧函数”．若当a ＝1，b ＝1时的“囧函数”与函数y ＝lg|x |图象的交点个数为n ，则n ＝________. 答案 (1)D (2)4解析 (1)与y ＝e x 图象关于y 轴对称的函数为y ＝e －x .依题意，f (x )图象向右平移一个单位，得y ＝e －x 的图象．∴f (x )的图象由y ＝e －x 的图象向左平移一个单位得到． ∴f (x )＝e －(x ＋1)＝e －x －1.(2)由题意知，当a ＝1，b ＝1时， y ＝1|x |－1＝⎩⎪⎨⎪⎧1x －1(x ≥0且x ≠1)，－1x ＋1(x <0且x ≠－1)，在同一坐标系中画出“囧函数”与函数y ＝lg|x |的图象如图所示，易知它们有4个交点．(1)作图：常用描点法和图象变换法．图象变换法常用的有平移变换、伸缩变换和对称变换．尤其注意y ＝f (x )与y ＝f (－x )、y ＝－f (x )、y ＝－f (－x )、y ＝f (|x |)、y ＝|f (x )|及y ＝af (x )＋b 的相互关系．(2)识图：从图象与轴的交点及左、右、上、下分布范围、变化趋势、对称性等方面找准解析式与图象的对应关系．(3)用图：图象形象地显示了函数的性质，因此，函数性质的确定与应用及一些方程、不等式的求解常与图象数形结合研究．(1)函数y ＝x ln(－x )与y ＝x ln x 的图象关于( )A ．直线y ＝x 对称B ．x 轴对称C ．y 轴对称D ．原点对称(2)函数y ＝log 2|x |x的大致图象是( )(3)(2013·课标全国Ⅰ)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x ≤0，ln (x ＋1)，x >0.若|f (x )|≥ax ，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，0]B ．(－∞，1]C ．[－2,1]D ．[－2,0]答案 (1)D (2)C (3)D解析 (1)若点(m ，n )在函数y ＝x ln x 的图象上， 则n ＝m ln m ，所以－n ＝－m ln[－(－m )]， 可知点(－m ，－n )在函数y ＝x ln(－x )的图象上， 而点(m ，n )与点(－m ，－n )关于原点对称，所以函数y ＝x ln x 与y ＝x ln(－x )的图象关于原点对称． (2)方法一 由于log 2|－x |－x＝－log 2|x |x ，所以函数y ＝log 2|x |x是奇函数，其图象关于原点对称．当x >0时，对函数求导可知，函数图象先增后减，结合选项知选C. 方法二 0<x <1时，y <0；x >1时，根据y ＝log 2x 与y ＝x 的变化快慢知x →＋∞时， y >0且y →0.故选C.(3)函数y ＝|f (x )|的图象如图． ①当a ＝0时，|f (x )|≥ax 显然成立． ②当a >0时，只需在x >0时， ln(x ＋1)≥ax 成立．比较对数函数与一次函数y ＝ax 的增长速度． 显然不存在a >0使ln(x ＋1)≥ax 在x >0上恒成立． ③当a <0时，只需在x <0时，x 2－2x ≥ax 成立． 即a ≥x －2成立，∴a ≥－2. 综上所述：－2≤a ≤0.故选D. 考点四 基本初等函数的图象及性质例4 (1)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，log 12(－x )，x <0，若f (a )>f (－a )，则实数a 的取值范围是 ( )A ．(－1,0)∪(0,1)B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C ．(－1,0)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(0,1)(2)已知a ＝5log 23.4，b ＝5log 43.6，c ＝⎝⎛⎭⎫15log 30.3，则有( )A ．a >b >cB ．b >a >cC ．a >c >bD ．c >a >b答案 (1)C (2)C解析 (1)方法一 由题意作出y ＝f (x )的图象如图．显然当a >1或－1<a <0时，满足f (a )>f (－a )．故选C. 方法二 对a 分类讨论：当a >0时，log 2a >log 12a ，即log 2a >0，∴a >1.当a <0时，log 12(－a )>log 2(－a )，即log 2(－a )<0，∴－1<a <0，故选C.(2)∵a ＝5log 23.4，b ＝5log 43.6，c ＝(15)log 30.3＝5log 3313，根据y ＝a x 且a ＝5，知y 是增函数． 又∵log 23.4>log 3313>1,0<log 43.6<1，∴5log 23.4>(15)log 30.3>5log 43.6，即a >c >b .(1)指数函数、对数函数、幂函数是中学阶段所学的基本初等函数，是高考的必考内容之一，重点考查图象、性质及其应用，同时考查分类讨论、等价转化等数学思想方法及其运算能力．(2)比较指数函数值、对数函数值、幂函数值大小有三种方法：一是根据同类函数的单调性进行比较；二是采用中间值0或1等进行比较；三是将对数式转化为指数式，或将指数式转化为对数式，通过转化进行比较．(1)已知f (x )＝a x ，g (x )＝log a x (a >0且a ≠1)，若f (3)·g (3)<0，则f (x )与g (x )在同一坐标系内的图象可能是( )(2)(2012·天津)已知a ＝21.2，b ＝⎝⎛⎭⎫12－0.8，c ＝2log 52，则a ，b ，c 的大小关系为 ( ) A ．c <b <aB ．c <a <bC ．b <a <cD ．b <c <a答案 (1)C (2)A解析 (1)因为a >0且a ≠1，所以f (3)＝a 3>0. 因为f (3)g (3)<0，所以g (3)<0即log a 3<0，所以0<a <1，则指数函数f (x )＝a x 单调递减，对数函数单调递减，所以答案选C. (2)利用中间值判断大小． b ＝⎝⎛⎭⎫12－0.8＝20.8<21.2＝a ， c ＝2log 52＝log 522<log 55＝1<20.8＝b ， 故c <b <a ，答案选A.1． 判断函数单调性的常用方法(1)能画出图象的一般用数形结合法去观察．(2)由基本初等函数通过加、减运算或复合而成的函数，常转化为基本初等函数单调性的判断问题．(3)对于解析式较复杂的一般用导数法． (4)对于抽象函数一般用定义法． 2． 函数奇偶性的应用函数的奇偶性反映了函数图象的对称性，是函数的整体特性．利用函数的奇偶性可以把研究整个函数具有的性质问题转化到只研究部分(一半)区间上，是简化问题的一种途径．尤其注意偶函数f (x )的性质：f (|x |)＝f (x )． 3． 函数图象的对称性(1)若函数y ＝f (x )满足f (a ＋x )＝f (a －x )，即f (x )＝f (2a －x )，则f (x )的图象关于直线x ＝a 对称．提醒：函数y ＝f (a ＋x )与y ＝f (a －x )的图象对称轴为x ＝0，并非直线x ＝a . (2)若f (x )满足f (a ＋x )＝f (b －x )，则函数f (x )的图象关于直线x ＝a ＋b 2对称．(3)若函数y ＝f (x )满足f (x )＝2b －f (2a －x )，则该函数图象关于点(a ，b )成中心对称．4． 二次函数、一元二次方程和一元二次不等式是一个有机的整体，要深刻理解它们之间的相互关系，能用函数与方程、分类讨论、数形结合思想来研究与“三个二次”有关的问题，高考对“三个二次”知识的考查往往渗透在其他知识之中，并且大都出现在解答题中．5． 指数函数、对数函数的图象和性质受底数a 的影响，解决与指、对数函数特别是与单调性有关的问题时，首先要看底数a 的范围．比较两个对数的大小或解对数不等式或解对数方程时，一般是构造同底的对数函数，若底数不同，可运用换底公式化为同底的对数，三数比较大小时，注意与0比较或与1比较．6． 解决与本讲有关的问题应注意函数与方程、数形结合、分类讨论、化归与转化等思想的运用．1． 已知函数f (x )＝e |ln x |－⎪⎪⎪⎪x －1x ，则函数y ＝f (x ＋1)的大致图象为( )答案 A解析 据已知关系式可得f (x )＝⎩⎨⎧e－ln x ＋⎝⎛⎭⎫x －1x ＝x (0<x ≤1)，eln x－⎝⎛⎭⎫x －1x ＝1x(x >1)，作出其图象然后将其向左平移1个单位即得函数y ＝f (x ＋1)的图象．2． 定义在R 上的奇函数f (x )满足：对任意的x 1，x 2∈(－∞，0)(x 1≠x 2)，有f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1>0.则有( )A ．f (0.32)<f (20.3)<f (log 25)B ．f (log 25)<f (20.3)<f (0.32)C ．f (log 25)<f (0.32)<f (20.3)D ．f (0.32)<f (log 25)<f (20.3) 答案 A解析 由已知可知f (x )在(－∞，0)上递增， 又f (x )为奇函数，故f (x )在(0，＋∞)上递增， ∵0.32<20.3<log 25. ∴f (0.32)<f (20.3)<f (log 25)．3． 已知f (x )是以2为周期的偶函数，当x ∈[0,1]时，f (x )＝x ，那么在区间[－1,3]内关于x 的方程y ＝kx ＋k ＋1(k ∈R ，k ≠－1)的根的个数为( )A ．不可能有3个B ．最少有1个，最多有4个C ．最少有1个，最多有3个D ．最少有2个，最多有4个答案 B解析 函数f (x )的图象如图所示：函数g (x )＝kx ＋k ＋1＝k (x ＋1)＋1恒过定点(－1,1)， 故选B.(推荐时间：40分钟)一、选择题1． 下列函数中，既是偶函数，又在区间(1,2)内是增函数的为( )A ．y ＝cos 2x ，x ∈RB ．y ＝log 2|x |，x ∈R 且x ≠0C ．y ＝e x －e －x2，x ∈RD ．y ＝x 3＋1，x ∈R 答案 B解析 由函数是偶函数可以排除C 和D ，又函数在区间(1,2)内为增函数，而此时y ＝log 2|x |＝log 2x 为增函数，所以选B.2． 已知函数y ＝f (x )是奇函数，当x >0时，f (x )＝lg x ，则f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫1100的值等于 ( )A.1lg 2B ．－1lg 2C ．lg 2D ．－lg 2答案 D解析 当x <0时，－x >0，则f (－x )＝lg(－x )． 又函数f (x )为奇函数，f (－x )＝－f (x )， 所以当x <0时，f (x )＝－lg(－x )． 所以f ⎝⎛⎭⎫1100＝lg 1100＝－2， f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫1100＝f (－2)＝－lg 2. 3． 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x ≥1，x ＋c ，x <1，则“c ＝－1”是“函数f (x )在R 上递增”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 当c ＝－1时，易知f (x )在R 上递增；反之，若f (x )在R 上递增，则需有1＋c ≤0，即c ≤－1. 所以“c ＝－1”是“函数f (x )在R 上递增”的充分不必要条件． 4． (2013·课标全国Ⅱ)设a ＝log 36，b ＝log 510，c ＝log 714，则( )A ．c >b >aB ．b >c >aC ．a >c >bD ．a >b >c答案 D解析 设a ＝log 36＝1＋log 32＝1＋1log 23，b ＝log 510＝1＋log 52＝1＋1log 25，c ＝log 714＝1＋log 72＝1＋1log 27，显然a >b >c .5． 若函数f (x )＝x 2＋|x －a |＋b 在区间(－∞，0]上为减函数，则实数a 的取值范围是( )A ．a ≥0B ．a ≤0C ．a ≥1D ．a ≤1答案 A解析 当a ＝0或者a ＝1时，显然，在区间(－∞，0]上为减函数，从而选A.6． 设定义在[－2,2]上的偶函数f (x )在区间[0,2]上单调递减，若f (1－m )<f (m )，则实数m 的取值范围是( )A ．[－1，12)B ．(－∞，－1]∪(12，＋∞)C ．(－1，12)D ．(－∞，－1)∪(12，＋∞)答案 A解析 ∵f (x )是偶函数，∴f (－x )＝f (x )＝f (|x |)， ∴不等式f (1－m )<f (m )⇔f (|1－m |)<f (|m |)， 又∵当x ∈[0,2]时，f (x )是减函数， ∴⎩⎪⎨⎪⎧|1－m |>|m |，－2≤1－m ≤2，－2≤m ≤2，解得－1≤m <12.7． (2013·四川)函数y ＝x 33x －1的图象大致是()答案 C解析 由3x －1≠0得x ≠0，∴函数y ＝x 33x －1的定义域为{x |x ≠0}，可排除选项A ；当x ＝－1时，y ＝(－1)313－1＝32>0，可排除选项B ；当x ＝2时，y ＝1，当x ＝4时，y ＝45，但从选项D 的函数图象可以看出函数在(0，＋∞)上是单调递增函数，两者矛盾，可排除选项D.故选C.8． 已知直线y ＝mx 与函数f (x )＝⎩⎨⎧2－⎝⎛⎭⎫13x ，x ≤0，12x 2＋1，x >0的图象恰好有3个不同的公共点，则实数m 的取值范围是( )A ．(3，4)B ．(2，＋∞)C ．(2，5)D ．(3，22)答案 B解析 作出函数f (x )＝⎩⎨⎧2－⎝⎛⎭⎫13x ，x ≤0，12x 2＋1，x >0的图象，如图所示．直线y ＝mx 的图象是绕坐标原点旋转的动直线．当斜率m ≤0时，直线y ＝mx 与函数f (x )的图象只有一个公共点；当m >0时，直线y ＝mx 始 终与函数y ＝2－⎝⎛⎭⎫13x(x ≤0)的图象有一个公共点，故要使直线y ＝mx 与函数f (x )的图象有三个公共点，必须使直线y ＝mx 与函数y ＝12x 2＋1 (x >0)的图象有两个公共点，即方程mx ＝12x 2＋1在x >0时有两个不相等的实数根，即方程x 2－2mx ＋2＝0的判别式Δ＝4m 2－4×2>0，解得m > 2.故所求实数m 的取值范围是(2，＋∞)． 二、填空题9． 设函数f (x )＝x (e x ＋a e －x )(x ∈R )是偶函数，则实数a 的值为________．答案 －1解析 因为f (x )是偶函数，所以恒有f (－x )＝f (x )，即－x (e －x ＋a e x )＝x (e x ＋a e －x )，化简得x (e －x ＋e x )(a ＋1)＝0.因为上式对任意实数x 都成立，所以a ＝－1.10．(2012·安徽)若函数f (x )＝|2x ＋a |的单调递增区间是[3，＋∞)，则a ＝________.答案 －6解析 利用函数图象确定单调区间．f (x )＝|2x ＋a |＝⎩⎨⎧2x ＋a ，x ≥－a 2，－2x －a ，x <－a2.作出函数图象，由图象知：函数的单调递增区间为⎣⎡⎭⎫－a2，＋∞， ∴－a2＝3，∴a ＝－6.11．已知函数f (x )＝a sin x ＋bx 3＋5，且f (1)＝3，则f (－1)＝________.答案 7解析 因为f (1)＝3，所以f (1)＝a sin 1＋b ＋5＝3， 即a sin 1＋b ＝－2.所以f (－1)＝－a sin 1－b ＋5＝－(－2)＋5＝7.12．已知奇函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x (x ≥0)，ax 2＋bx (x <0)，给出下列结论：①f (f (1))＝1；②函数y ＝f (x )有三个零点； ③f (x )的递增区间是[1，＋∞)；④直线x ＝1是函数y ＝f (x )图象的一条对称轴； ⑤函数y ＝f (x ＋1)＋2图象的对称中心是点(1,2)．其中，正确结论的序号是________．(写出所有正确结论的序号)． 答案 ①②解析 因为f (x )是奇函数， 所以x <0时，f (－x )＝x 2＋2x ， 即f (x )＝－x 2－2x . 可求得a ＝－1，b ＝－2.即f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ， x ≥0，－x 2－2x ， x <0.①f (f (1))＝f (－1)＝－f (1)＝1，①正确；②易知f (x )的三个零点是－2,0,2，②正确；③当x ∈(－∞，－1]时，f (x )也单调递增，③错误；④由奇函数图象的特点知，题中的函数f (x )无对称轴，④错误；⑤奇函数f (x )图象关于原点对称，故函数y ＝f (x ＋1)＋2图象的对称中心应是点(－1,2)，⑤错误．故填①②. 13．给出下列四个函数：①y ＝2x ；②y ＝log 2x ；③y ＝x 2；④y ＝x . 当0<x 1<x 2<1时，使f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22>f (x 1)＋f (x 2)2恒成立的函数的序号是________． 答案 ②④解析 由题意知满足条件的图象形状为：故符合图象形状的函数为y ＝log 2x ，y ＝x .14．已知定义在R 上的偶函数满足：f (x ＋4)＝f (x )＋f (2)，且当x ∈[0,2]时，y ＝f (x )单调递减，给出以下四个命题： ①f (2)＝0；②x ＝－4为函数y ＝f (x )图象的一条对称轴； ③函数y ＝f (x )在[8,10]上单调递增；④若方程f (x )＝m 在[－6，－2]上的两根为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝－8. 则所有正确命题的序号为________． 答案 ①②④解析 令x ＝－2，得f (2)＝f (－2)＋f (2)， 又函数f (x )是偶函数，故f (2)＝0；根据①可得f (x ＋4)＝f (x )，可得函数f (x )的周期是4， 由于偶函数的图象关于y 轴对称，故x ＝－4也是函数y ＝f (x )图象的一条对称轴；根据函数的周期性可知，函数f (x )在[8,10]上单调递减，③不正确； 由于函数f (x )的图象关于直线x ＝－4对称，故如果方程f (x )＝m 在区间[－6，－2]上的两根为x 1，x 2，则x 1＋x 22＝－4，即x 1＋x 2＝－8.故正确命题的序号为①②④.。